学案—— 3整式与因式分解
整式和因式分解复习教案
整式和因式分解复习教案一、教学目标：1. 复习和巩固学生对整式的概念、性质和运算法则的理解。
2. 提高学生对因式分解的方法和技巧的掌握，增强其解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维和数学表达能力，使其能运用整式和因式分解解决实际问题。
二、教学内容：1. 整式的概念、性质和运算法则。
2. 因式分解的方法和技巧。
3. 实际问题中的应用。
三、教学过程：1. 复习整式的概念、性质和运算法则：a. 回顾整式的定义，提醒学生注意整式中各项的系数、变量和指数。
b. 通过例题，复习整式的加减、乘法和除法运算。
c. 讨论整式的性质，如合并同类项、分配律等。
2. 讲解因式分解的方法和技巧：a. 介绍因式分解的概念，解释因式分解的意义。
b. 通过例题，演示因式分解的基本步骤，如提取公因式、十字相乘法等。
c. 分析因式分解的技巧，如观察多项式的结构、寻找合适的公因式等。
3. 应用练习：a. 提供一些实际问题，要求学生运用整式和因式分解的方法进行解决。
b. 引导学生讨论解题过程，互相交流经验和心得。
c. 教师对学生的解答进行评价和指导，纠正错误和不足。
四、作业布置：1. 完成课后练习题，巩固整式和因式分解的知识。
五、教学反思：本节课通过复习整式和因式分解的知识，帮助学生巩固和提高相关技能。
在教学过程中，注意引导学生的思考，培养其逻辑思维和数学表达能力。
通过实际问题的解决，让学生感受数学的应用价值，激发其学习兴趣。
在作业布置方面，注重学生的自主学习和思考，培养其解决问题的能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生在整式和因式分解方面的掌握情况较好。
六、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对整式概念、性质和运算法则的理解程度。
2. 通过例题讲解和练习，评估学生对因式分解方法和技巧的掌握情况。
3. 收集学生的作业和练习，分析其在实际问题中应用整式和因式分解的能力。
七、教学策略调整：1. 根据学生的课堂表现和作业情况，针对性地进行讲解和辅导，巩固学生的薄弱环节。
初中整式与因式分解教案
初中整式与因式分解教案教学目标：1. 知识与技能：- 学生能够理解整式的概念，掌握整式的加减乘除运算。
- 学生能够理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法和技巧。
2. 过程与方法：- 学生能够通过观察、分析和推理，探索整式运算的规律和性质。
- 学生能够运用因式分解的方法，将多项式分解为几个整式的乘积形式。
3. 情感态度价值观：- 学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，体验到数学的乐趣。
- 学生能够通过解决实际问题，感受到数学与生活的紧密联系。
教学内容：1. 整式的概念和运算：- 学生首先需要了解整式的定义，包括单项式和多项式。
- 学生需要掌握整式的加减乘除运算规则，例如同类项的合并、系数的乘除等。
2. 因式分解的概念和方法：- 学生需要了解因式分解的定义，即将一个多项式分解为几个整式的乘积形式。
- 学生需要学习不同的因式分解方法，如提公因式法、十字相乘法、平方差法等。
教学过程：1. 导入：- 教师可以通过实际生活中的例子，如购物问题，引出整式和因式分解的概念。
- 教师可以提问学生是否曾经遇到过类似的问题，让学生思考和参与进来。
2. 整式的概念和运算：- 教师可以通过示例和练习，引导学生理解和掌握整式的概念和运算规则。
- 教师可以设置一些练习题，让学生进行自主学习和合作交流，巩固对整式的理解。
3. 因式分解的概念和方法：- 教师可以通过讲解和示例，引导学生理解和掌握因式分解的概念和方法。
- 教师可以设置一些练习题，让学生进行自主学习和合作交流，巩固对因式分解的理解。
4. 应用和拓展：- 教师可以提供一些实际问题或综合题目，让学生运用整式和因式分解的知识进行解决。
- 教师可以引导学生思考和探索更高级的因式分解方法，如差平方、完全平方等。
教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度，提问和回答问题的积极性。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的情况，对整式和因式分解的理解和应用能力。
3. 学生互评和自我评价：鼓励学生进行互评和自我评价，反思自己的学习过程和进步。
初三数学专题复习教案：整式及因式分解.
第2讲整式及因式分解一、教学目标1、整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法。
2、会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式。
3、能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．二、教学重难点重点：公式及法则的运用。
难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解。
三、教学用具：多媒体四、学情分析：九年级的学生对于整式及因式分解掌握不是很好，特别是因式分解的内容，加强学生的整式的乘除运算及因式分解五、教学方法：归纳、探究六教学资源：PPT七、教学过程：一、知识要点知识点一：代数式知识点二：整式的概念知识点三：整式的运算1.同类项所含相同,并且相同字母的也相同的项叫做同类项,几个项也是同类项.2.合并同类项(1)概念:把多项式中的合并成一项,叫做合并同类项.(2)法则:把同类项的相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数.3.去括号法则如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号;如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号.4.整式的加减有括号就先,再.5.幂的运算(常考点)(1)同底数幂的乘法:a m·a n= (m,n为整数).(2)幂的乘方:(a m)n= (m,n 为整数).(3)积的乘方:(ab)n= (n为整数).(4)同底数幂的除法:a m÷a n= (a≠0,m,n为整数).6.整式的乘法(1)单项式乘以单项式:把它们的, 分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式乘以多项式:m(a+b+c)= .(3)多项式乘以多项式:(m+n)(a+b)=(4)乘法公式:(常考点)平方差公式:(a+b)(a-b)= .完全平方公式:(a±b)2= .7.整式的除法(1)单项式除以单项式:把与分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式:先把这个多项式的除以这个单项式,再把所得的商相加.知识点四：因式分解1.概念把一个多项式化成几个整式的的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,因式分解与是方向相反的变形.2.方法(1)提公因式法:ma+mb+mc=m(a+b+c).(2)公式法:a2-b2=(a+b)(a-b).a2±2ab+b2=(a±b)2.(3)十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).3.步骤一提:有公因式要先;二套:再考虑应用;三检查:因式分解的结果要彻底,每个因式要分解到为止(结果必须是整式).二、典型例题例1 (1)(2020山西模拟)某水果店老板以每千克x元的单价购进草莓100千克,加价30%卖出70千克以后,每千克比进价降低a元,将剩下的30千克全部卖出,则可获得利润为元;(2)(2020临洮一模)图①是一个三角形,分别连接这个三角形的中点得到图②;再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③.按上面的方法继续下去,第n个图形中有个三角形(用含字母n的代数式表示).变式1 (2020甘孜)若m2-2m=1,则代数式2m2-4m+3的值为.变式2 (2020黔西南改编)如图,是一个运算程序的示意图,若开始输入x的值为625,求第2 020次输出的结果.思政元素：程序是电脑的逻辑，一个个程序组成代码，手机、电脑的芯片就是由核心技术编制的代码，这是知识产权，我国仍是芯片进口国，未能掌握核心技术，华为在美国的排挤下自主研发芯片，为祖国不牵制于人打下基础。
因式分解教案4篇
因式分解教案4篇因式分解教案篇1教学目标1．知识与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．2．过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．3．情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值．重、难点与关键1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用．2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系．3．关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解．教学方法采用“激趣导学”的教学方法．教学过程一、创设情境，激趣导入请同学们探究下面的2个问题：问题1：720能被哪些数整除？谈谈你的想法．问题2：当a=102，b=98时，求a2－b2的值．二、丰富联想，展示思维探索：你会做下面的填空吗？1．ma+mb+mc=（）（）；2．2－4=（）（）；3．2－2y+y2=（）2．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．三、小组活动，共同探究（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①（+1）（－1）=2－1；②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2；③7－7=7（－1）．（2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立．①92（______）+y2=（3+y）（_______）；②2－4y+（_______）=（－_______）2．四、随堂练习，巩固深化课本练习．计算：993－99能被100整除吗？五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：1．什么叫因式分解？2．因式分解与整式运算有何区别？六、布置作业，专题突破选用补充作业．板书设计15.4.1 因式分解1、因式分解例：练习：15.4.2 提公因式法教学目标1．知识与技能能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．2．过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．3．情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．重、难点与关键1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．•公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．教学方法采用“启发式”教学方法．教学过程一、回顾交流，导入新知下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（1）22+4=2（2+2）；（2）2t2－3t+1= （2t3－3t2+t）；（3）2+4y－y2=（+4y）－y2；（4）m（+y）=m+my；（5）2－2y+y2=（－y）2．问题：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？2．多项式42－和y2－yz－y呢？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式式是m，在42－中的公因式是，在y2－yz－y中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、小组合作，探究方法多项式42－86，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．三、范例学习，应用所学把－42yz－12y2z+4yz分解因式．解：－42yz－12y2z+4yz=－（42yz+12y2z－4yz）=－4yz（+3y－1）分解因式，3a2（－y）3－4b2（y－）2观察所给多项式可以找出公因式（y－）2或（－y）2，于是有两种变形，（－y）3=－（y－）3和（－y）2=（y－）2，从而得到下面两种分解方法．解法1：3a2（－y）3－4b2（y－）2=－3a2（y－）3－4b2（y－）2=－[（y－）23a2（y－）+4b2（y－）2]=－（y－）2 [3a2（y－）+4b2]=－（y－）2（3a2y－3a2+4b2）解法2：3a2（－y）3－4b2（y－）2=（－y）23a2（－y）－4b2（－y）2=（－y）2 [3a2（－y）－4b2]=（－y）2（3a2－3a2y－4b2）用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解：0.84×12+12×0.6－0.44×12=12×（0.84+0.6－0.44）=12×1=12．在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同？四、随堂练习，巩固深化课本P167练习第1、2、3题．利用提公因式法计算：0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69五、课堂总结，发展潜能1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．•在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．六、布置作业，专题突破课本P170习题15．4第1、4（1）、6题．板书设计15.4.2 提公因式法1、提公因式法例：练习：15.4.3 公式法（一）教学目标1．知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．3．情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．重、难点与关键1．重点：利用平方差公式分解因式．2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．教学过程一、观察探讨，体验新知请同学们计算下列各式．（1）（a+5）（a－5）；（2）（4m+3n）（4m－3n）．动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．（2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．引导学生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．二、范例学习，应用所学把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（1）2－9y2；（2）164－y4；（3）12a22－27b2y2；（4）（+2y）2－（－3y）2；（5）m2（16－y）+n2（y－16）．在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演．分四人小组，合作探究．解：（1）2－9y2=（+3y）（－3y）；（2）164－y4=（42+y2）（42－y2）=（42+y2）（2+y）（2－y）；（3）12a22－27b2y2=3（4a22－9b2y2）=3（2a+3by）（2a－3by）；（4）（+2y）2－（－3y）2=[（+2y）+（－3y）][（+2y）－（－3y）] =5y （2－y）；（5）m2（16－y）+n2（y－16）=（16－y）（m2－n2）=（16－y）（m+n）（m－n）．三、随堂练习，巩固深化课本P168练习第1、2题．1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数．2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．四、课堂总结，发展潜能运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．五、布置作业，专题突破课本P171习题15．4第2、4（2）、11题．板书设计15.4.3 公式法（一）1、平方差公式：例：a2－b2=（a+b）（a－b）练习：15.4.3 公式法（二）教学目标1．知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．重、难点与关键1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．3．关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知1．分解因式：（1）－92+4y2；（2）（+3y）2－（－3y）2；（3） 2－0.01y2．因式分解教案篇2学习目标：经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述，并会熟练地进行计算。
整式及因式分解教案
整式及因式分解教案教案标题：整式及因式分解教案教学目标：1. 理解整式的概念，并能够识别整式的项、系数、次数等要素；2. 掌握因式分解的基本方法和技巧；3. 运用因式分解解决实际问题。
教学准备：1. 教师：准备教学课件、教学板书、示例题目和练习题；2. 学生：课本、练习册。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 创设情境：引入整式概念。
举例说明现实生活中的整数、小数及代数式的例子，引导学生思考何为整式。
2. 引出问题：询问学生整数加减乘除运算规则，并引导学生思考是否能将代数式类似于整数进行加减乘除运算。
二、整式（15分钟）1. 教师介绍：给出整式的定义，解释其中的术语如项、系数、次数等，通过示例帮助学生理解。
2. 教师演示：在黑板上列出几个代数式，引导学生思考其是否为整式，并逐步提取其中的项、系数和次数。
3. 学生练习：让学生在课本上完成对整式的识别练习题，然后互相交流。
三、因式分解的基本方法（20分钟）1. 教师讲解：通过示例引导学生理解因式分解的概念和作用。
2. 教师演示：在黑板上列出几个常见的因式分解例子，解释其中的分解步骤和技巧。
3. 学生练习：让学生在课本上完成因式分解的练习题，然后互相交流和讨论解题思路。
四、因式分解的应用（20分钟）1. 教师讲解：引导学生思考因式分解的实际应用场景，如求解方程、化简表达式等。
2. 教师演示：在黑板上列出几个应用型的因式分解例子，解释其应用思路和解题步骤。
3. 学生练习：让学生在练习册上完成相关的应用题，同时指导学生如何将因式分解技巧应用到解决问题中。
五、总结与展望（5分钟）1. 教师总结：回顾整节课的内容，强调整式和因式分解的重要性，并提及学生在未来学习中会经常用到相关知识。
2. 学生提问：鼓励学生提问和提出疑惑，进行互动交流。
3. 展望下节课：简要介绍下节课将学习的内容和目标。
教学评估：1. 学生课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、回答问题的准确度和互相学习讨论的情况；2. 练习题表现：检查学生在练习册上的习题完成情况，包括整式的识别和因式分解的应用。
九年级 下册 数学 一轮复习 第3课时 《整式与因式分解》学案
初中数学“空中课堂”学习经历案例题：如图是用4个相同的小长方形与一个小正方形密铺而成的大正方形图案．已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为16，若用a ，b 分别表示小长方形的长与宽（其中a ＞b ），则下列关系不正确的是（ ）A ．4=-b aB ．4022=+b aC ．12=abD ．48—22=b a 定义：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两直线之间的距离OA 叫做△ABC 的“水平宽”，中间直线处于△ABC 内部的线段BD 的长度叫做△ABC 的“铅垂高”．性质：三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．理解：例如：如图1，OA ＝3，BD ＝1.6，则S △ABC ＝×3×1.6＝2.4应用：（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A （4，0），B（3，4），D （3，1）．则△ABC 的面积为 ；（2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+3x +4过A ，C 两点，点M 在第一象限的抛物线上运动，在点M 的运动过程中，求△AMC 面积的最大值．控制时间）一、基础作业：1．下列因式分解正确的是（）A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）22．计算（﹣2m）2•（﹣m•m2+3m3）的结果是（）A．8m5B．﹣8m5C．8m6D．﹣4m4+12m53．若2x＝3，2y＝5，则2x+y＝．二、能力提升作业：1. 4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（）A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b2.如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2＝．三、拓展作业：如图（1），有A、B、C三种不同型号的卡片若干张，其中A型是边长为a（a＞b）的正方形，B型是长为a、宽为b的长方形，C型是边长为b的正方形．（1）若用A型卡片1张，B型卡片2张，C型卡片1张拼成了一个正方形（如图（2）），此正方形的边长为，根据该图形请写出一条属于因式分解的等式：．（2）若要拼一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，设需要A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，则x+y+z＝．（3）现有A型卡片1张，B型卡片6张，C型卡片11张，从这18张卡片中拿掉两张卡片，余下的卡片全用上，你能拼出一个长方形或正方形吗？有几种拼法？请你通过运算说明理由．五、总结反思（学生填写）。
整式和因式分解复习教案
整式和因式分解复习教案第一章：整式的概念与性质1.1 内容概述本节主要回顾整式的定义、分类及其基本性质。
1.2 教学目标(1) 理解整式的概念，掌握整式的分类；(2) 掌握整式的加减法、乘法运算规则；(3) 理解整式的系数、次数、度等基本性质。
1.3 教学重点与难点重点：整式的概念、分类、基本性质；难点：整式的运算规则及性质的灵活运用。
1.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
1.5 教学过程(1) 复习整式的定义及分类；(2) 复习整式的加减法、乘法运算规则；(3) 复习整式的系数、次数、度等基本性质；(4) 进行典型例题讲解与分析；(5) 学生练习，教师点评。
第二章：因式分解的概念与方法2.1 内容概述本节主要回顾因式分解的定义、方法及其应用。
(1) 理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法；(2) 学会运用因式分解解决实际问题。
2.3 教学重点与难点重点：因式分解的概念、方法；难点：因式分解在实际问题中的应用。
2.4 教学方法采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
2.5 教学过程(1) 复习因式分解的定义及方法；(2) 复习因式分解在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第三章：提公因式法与公式法3.1 内容概述本节主要回顾提公因式法与公式法在因式分解中的应用。
3.2 教学目标(1) 掌握提公因式法与公式法的运用；(2) 学会运用提公因式法与公式法解决实际问题。
3.3 教学重点与难点重点：提公因式法与公式法的运用；难点：提公因式法与公式法在实际问题中的应用。
采用讲授法、例题解析法、小组讨论法等。
3.5 教学过程(1) 复习提公因式法与公式法的定义及运用；(2) 复习提公因式法与公式法在实际问题中的应用；(3) 进行典型例题讲解与分析；(4) 学生练习，教师点评。
第四章：因式分解的应用4.1 内容概述本节主要回顾因式分解在实际问题中的应用。
4.2 教学目标(1) 学会运用因式分解解决实际问题；(2) 培养学生的数学应用能力。
第3课时 整式与因式分解(导学案)
第3课时整式与因式分解1.掌握字母表示数的意义和代数式、整式的概念,会分析具体问题中的数量关系,并用代数式表示.2.会求代数式的值,会解释代数式的实际背景或几何背景.3.掌握单项式、多项式及其相关概念,并能运用其解决有关问题.4.熟练掌握幂的运算法则,能熟练进行简单的整式加、减、乘、除运算(多项式乘法仅限于一次式相乘),会熟练运用乘法公式进行整式的乘法运算.5.掌握因式分解的意义,能运用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行多项式的因式分解.1.(1)代数式:用把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式.单独的一个数或者一个字母也是代数式.(2)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,并按代数式中的计算所得的结果叫做代数式的值.2. 整式的有关概念(1)单项式:由数与字母的 组成的代数式叫做单项式.单独的一个数或字母也是单项式.(2)多项式:几个 的和叫做多项式.不含字母的项叫做 .(3)同类项:所含字母 ,且相同字母的指数也分别 的项叫做同类项.3. 整式的运算(1)整式的加减法:实质上就是合并同类项,遇到括号要先去括号.①合并同类项法则:就是把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数 .②去括号法则:+(a-b+c )= , -(a-b+c )= .(2)整式的乘除法①幂的运算:a m ·a n = ,a m ÷a n = ,(a m )n = ,(ab )n = (m ,n 为整数). ②整式的乘法单项式乘以单项式:如212x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭·(4xy 4)= . 单项式乘以多项式:m (a-b+c )= .多项式乘以多项式:(m+n )(a+b )= .③整式的除法单项式除以单项式,如(-12a 3bc 2)÷(3abc )= .多项式除以单项式,如(9a 3b 2-6a 2b 3c )÷(3a 2b )= .4. 因式分解:把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.因式分解是整式乘法的逆变形.例1 (2014·山东济宁)如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a 克,再称得剩余电线的质量为b 克,那么原来这卷电线的总长度是 米.【解析】 本题是以实际背景为素材,考查列代数式.根据1米长的电线,称得它的质量为a 克,只需根据剩余电线的质量除以a ,即可知道剩余电线的长度.故总长度是1b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭米. 【全解】 1b a ⎛⎫+⎪⎝⎭米 举一反三 1. (2014·吉林长春)为落实“阳光体育”工程,某校计划购买m 个篮球和n 个排球,已知篮球每个80元,排球每个60元,购买这些篮球和排球的总费用为 元.2. (2014·湖北咸宁)体育委员小金带了500元钱去买体育用品,已知一个足球x 元,一个篮球y 元.则代数式500-3x-2y 表示的实际意义是 .【小结】 列代数式的关键是准确分析出数量关系,并按代数式的书写要求列出.本题解答的关键是求出每克电线的长.例2 (2014·贵州黔西南州)当x=1时,代数式x 2+1= .【解析】 此题考查了代数式求值的知识,解答本题直接代入即可得出答案.原式=1+1=2.【全解】 2举一反三3. (2014·江苏盐城)已知x (x+3)=1,则代数式2x 2+6x-5的值为 .4. (2014·安徽)已知x 2-2x-3=0,则2x 2-4x 的值为( ).A. -6B. 6C. -2或6D. -2或305. (2014·湖北十堰)已知:a 2-3a+1=0,则a+1a-2的值为( ).A.+1 B. 1 C. -1 D. -5 【小结】 (1)代数式求值的方法主要有:直接代入、化简代入、整体代入、变形代入、设参代入、降次代入等.(2)代数式求值一定要先化简,化简过程中注意运算顺序和乘法公式的运用.例3 (2013·云南德宏)-4a 2b 的次数是( ).A. 3B. 2C. 4D. -4【解析】考查了单项式的次数.∵单项式-4a2b中所有字母指数的和为2+1=3,∴此单项式的次数为3.故应选A.【全解】A举一反三6. (2014·广东佛山)多项式2a2b-a2b-ab的项数及次数分别是().A. 3,3B. 3,2C. 2,3D. 2,27. (2013·湖南岳阳)单项式-5x2y的系数是.8. (2013·山东济宁)如果整式x n-2-5x+2是关于x的三次三项式,那么n等于().A. 3B. 4C. 5D. 6【小结】准确理解整式的有关概念是解这类问题的关键.需要注意的是确定单项式的次数时,不要忘记单个字母指数是1.多项式的次数不是所有项次数的和.例4(2014·安徽)x2·x4等于().A. x5B. x6C. x8D. x9【解析】本题考查幂的运算性质.根据同底数幂相乘法则,得x2·x4=x6.所以应选B.【全解】B举一反三9. (2014·浙江湖州)计算2x(3x2+1),正确的结果是().A. 5x3+2xB. 6x3+1C. 6x3+2xD. 6x2+2x10. (2014·湖南益阳)下列式子化简后的结果为x6的是().A. x3+x3B. x3·x3C. (x3)3D. x12÷x211. (2014·福建福州)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=1 3.【小结】对于幂的运算:(1)熟练掌握运算法则是解题的关键;(2)注意理清指数的变化,分清运算类型是解题的重点.对于整式的运算,要抓住以下几点:(1)运用好转化的思想方法,多项式的运算转化为单项式的运算;(2)注意运算顺序和灵活运用乘法公式;(3)恰当地进行逆向思维能使解题更加方便、快捷.例5(2014·安徽)下列四个多项式中,能因式分解的是().A. a2+1B. a2-6a+9C. x2+5yD. x2-5y【解析】本题显然只有选项B符合完全平方公式因式分解.故选B.【全解】B举一反三12. (2014·贵州毕节)下列因式分解正确的是().A. 2x2-2=2(x+1)(x-1)B. x2+2x+1=(x-1)2C. x2+1=(x+1)2D. x2-x+2=x(x-1)+213. (2014·山东潍坊)分解因式:2x(x-3)-8=.14. (2014·陕西)因式分解:m(x-y)+n(x-y)=.【小结】分解因式的步骤:(1)分解因式时,首先考虑是否有公因式,如果有公因式,一定要先提取公因式,然后再考虑是否能用公式法分解.(2)在用公式时,若是两项,可考虑用平方差公式;若是三项,可考虑用完全平方公式.分解因式时要注意:(1)提公因式时,其公因式应找字母指数最低的,而不是以首项为准;(2)若有一项被全部提出,括号内的项“1”不要漏掉;(3)分解要彻底,还要注意不要保留中括号形式等.参考答案【自主梳理】知识网络数字因数和次数最高项单项式(a+b)(a-b)=a2-b2(a±b)2=a2±2ab+b2a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=(a±b)2重点积累1. (1)运算符号(2)运算顺序2. (1)积(2)单项式常数项(3)相同相同3. (1)①不变②a-b+c-a+b-c(2)①a m+n a m-n a mn a n b n②-2x3y5ma-mb+mc ma+mb+na+nb③-4a2c3ab-2b2c4.积【真题精讲】1.(80m+60n)解析:因为费用=单价×数量,所以篮球的费用为80m元,排球的费用为60n元.故总费用为(80m+60n)元.2.小金买了3个足球和2个篮球后剩余的钱数.3.-34. B5. B 解析:将a2-3a+1=0左右两边同时除以a,得a-3+1a=0,得a+1a=3,所以原式=3-2=1.6. A7.-58. C9. C10. B11.原式=(x2+4x+4)+(2x-x2)=x2+4x+4+2x-x2=6x+4,当x=13时,原式=6×13+4=6.12. A13. 2(x+1)(x-4)14. (x-y)(m-n)。
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（3）8(x2 - 2y2) - x(7x＋y)＋xy (x＋4y)(x - 4y)
（4）
1 4
x
2
y2
1
xy
14．已知多项式A＝(x＋2)2＋(1 - x)(2＋x) - 3． （1）化简多项式A；
化简A＝3x＋3
（2）若(x＋1)2＝6，求A的值．
x＋1＝ ，A＝3x＋3＝3(x＋1) ＝
（三）冲刺名校（C组）
11．一个多项式与m2＋m - 2的和是m2 - 2m，则这个多项式 是 - 3m＋2 ．
12．定义
a c
b 为二阶行列式，规定它的运算法则为 a
d
c
b ad bc
d
，那么当
x
2，二阶行列式
x +1 x
1 的值为
x -1
5
．
13．分解因式 （1）1 - x4
(1＋x2)(1＋x)(1- x)
（2）- 3m2＋6mn - 3n2 - 3(m- n)2
（2）公式法：a2 b2
；a2 2ab b2
；
（3）十字相乘法：x2 (a b)x ab
．
因式分解时，能先提公因式的，先提公因式，再利用公 式法进行分解.
三、典例解析
例1．已知 x2 4x 1 0 ，求代数式(2x 3)2 (x y)(x y) y2的值．
原式
，由
得原式＝12
A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C． a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋2b)(a－2b)＝a2－ab－2b2
10．已知(m - n)2＝32，(m＋n)2＝4000，则m2＋n2的值为（ B ）． A．2014 B．2016 C．2015 D．2017
( 2)0 1 ； a2
；
4．（2020广州）下列运算正确的是（ D ） A. a b a b B. 2 a 3 a 6 a C. x5•x6＝x30 D. （x2）5＝x10
5． a b
； 2a(a 1) 2a2– 2 ；
(a 2)(2a 1) 2a2＋3a – 2；(x 1)(x 1) x2 – 1 ；
（二）能力提升（B组）
8．已知x - 2y＝3，那么代数式3 - 2x＋4y的值是（ A ）． A．-3 B．0 C．6 D．9
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b) (如 图甲)，把余下的部分拼成一个矩形(如图乙)，根据两个图形中阴 影部分的面积相等，可以验证等式（ C ）．
4. 乘法公式
（1）平方差公式：(a b)(a b)
；
完全平方公式：(a b)2
．
（2）(a b)2 (a b)2 +4ab；
(a
1 )2 a
a2
2
1 a2
5．因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，
这种变形叫做因式分解．
方法有：（1）提公因式法： ma mb mc
；
5．(2018杭州)若a，b互为相反数，则
的值是 0 ．
6．化简：（1）(m 2)2 4(2 m) ＝ m2＋12 ．
（2）(3a2b ab) ( 1 ab) ＝
.
2
7．先化简，再求值：2b2 (a b)(a b) (a b)2 ， 其中a 3，b 1 ．
2 原式=2ab，代值得 - 3
例2．已知 a 5 1 ，b 5 1 ，求 2a2b2 ab3 a3b 的值．
2
2
，代入a、b，得原式=1
四、中考演练
（一）基础训练（A组）
1．（2020广东）已知x＝5-y，xy＝2，计算3x+3y-4xy的值 为（ B ）
A．6 B．7
C．-3 D．11
2．下列计算正确的是（ D ）．
2．幂的运算 ：
am an
(m、n为整数)；(am )n =
(m、n为整数)；
(ab)n =
Байду номын сангаас
(n为整数)； am an
(m、n为整数)；
a0
（ a 0）；an
（a 0，n是正整数）；
3．整式的乘法
（1）单项式乘多项式：m(a b) ma mb
（2）单项式乘多项式：(a b)(c d) ac ad bc bd
第3课时 整式与因式分解
一、以题点知
1． 1 xy3 的系数是
2
系数是 -1 ．
，次数是
4
； 1 xy3 xy 1 的二次项
2
2．（2020广东）如果单项式3xmy与-5x3yn是同类项，那 么m+n＝ 4 ．
3．计算 ：a3 a4 a7 ； a5 a2 a3 ；
(a2 )3 a6 ； (3a)2 9a2 ；
15．已知：a，b，c为△ABC的三边长， 且，2a2 2b2 2c2 2ab 2ac 2bc 请判断△ABC的形状，并证明你的结论．
由题意得(a - b)2＋(b - c)2＋(a - c)2＝0，∴a＝b＝ c，∴△ABC为等边三角形.
A. 2x 3y 5xy B.(2x2 )3 6x6 C.3y2 ( y) 3y2 D. 6y2 2y 3y
3．(2018南宁)下列二次三项式是完全平方式的是（ B ）． A. x2 8x 16 B. x2 8x 16 C. x2 4x 16 D. x2 4x 16
4.（2019广州）因式分解：（1）x2y+2xy+y＝ y（x+1）2 ． （2）x3 y xy3 xy(x＋y)(x - y) ． （3）a2 6a 8 = (a - 2)(a - 4) ．
(a 3)2 a2＋6a ＋9； 22 =
；
6．（2020广东）分解因式：xy-x＝ x(y-1) ．
（2020深圳）分解因式：m3-m＝ m(m＋1)(m－1)；
a2 2a 1 (a－1)2 ．
二、考点梳理
1．整式的有关概念 （1）单项式：数字与字母的积.单独的数字或字母也是单项 式；字母前面的数字因数叫单项式的系数；所有字母的指数 和叫单项式的次数，如 2xy2 是3次单项式，系数为-2； （2）多项式：几个单项式的和.多项式里，次数最高项的次 数，就是这个多项式的次数，如 2xy2 xy 3 是3次3项式， 特别注意，每一项都应包括前面的符号； （3）整式：单项式和多项式统称整式； （4）同类项：①字母相同；②相同字母的指数相同．合并 时只把系数相加减.