四边形中的最值问题专题(提纲)
四边形中的最值问题专题
2.三角形任两边之和大 于第三边。
将军饮马视频
P
P
一动两定点 A'B为最小值
两点之间线段最短
例2：如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°， E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则 PE+PB的最小值是______________四边形DMAN是
四边形？
MN=AD
AD⊥BC
利用等面积法求AD BC*AD/2=BA*AC/2
垂线段最短。
例6
垂线段最短。
（D ）
C
x 2 勾股定理列方程求边长 x
PQ=2X
例7
垂线段最短。
四边形ABEF的周长： AB+BF+AE+EF
AE=CF
周长转化边长
四边形ABEF的周长最小值由EF决定 当EF⊥AD时，四边形周长最短。
解直角三形求EF
EF 3
四边边ABEF 的周长周 AB + BF + AE + EF 4 3
本节小结
1.将军饮马问题 2.垂线段最短。
P
A
E B
点P在AC上运动，点B、E位置不变
C
2.两定点在AC两侧
做点B（或E）关于AC的对称点D
3.PE+PB=PE+PD
DE为最小值
4.解直角三角形求边长
CC
1.一动两定点
E'
2.两定点在AC两侧 3.E'F为最小值 AP三线合一 E'F=AB=4
例4
（） C
CE为最小值
垂线段最短。
例5
（） C
专题
四边形中的最值问题
专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)
专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．∵四边形ABCD 是矩形，∴8BC AD ==，90D Ð=°，∠QCE ＝90°，∵2PQ =，∴6DF AD AF =-=,∵点F 点关于BC 的对称点G ，∴FG AD⊥∴90DFG ∠=︒∴四边形FGHD 是矩形，∴GH ＝DF ＝6，∠H ＝90°,∵点E 是CD 中点，∴CE =2，∴EH ＝2+4＝6，∴∠GEH ＝45°，∴∠CEQ ＝45°，设BP ＝x ，则CQ ＝BC ﹣BP ﹣PQ ＝8﹣x ﹣2＝6﹣x ，在△CQE 中，∵∠QCE ＝90°，∠CEQ ＝45°，∴CQ ＝EC ，∴6﹣x ＝2，解得x ＝4．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．例3．如图，在矩形ABCD 中，26AB AD ==,，O 为对角线AC 的中点，点P 在AD 边上，且2AP =，点Q【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC 明四边形APHB是矩形可得AB②过点O作关于BC的对称点PQ OQ+的最小值为PO'的长度，延长∵GO AD'⊥，点O是AC的中点，∴132AG AD==，【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）A ．35B ．32C ．6D ．5【答案】A 【详解】解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴226335BE =+=故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A 10B 13C 15D ．3【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE 2213+AB BC 即PB ＋PC 13故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【答案】1【分析】作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，可判定当点P ，E ，M 三点共线时，PM -PE 的值最大，为ME 的长，求出CE ，CQ ，得到EQ ，利用垂直平分线的性质得到EM =CM =1即可．【详解】解：如图：作N 关于BD 的对称点E ，连接PE ，ME ，过点M 作MQ ⊥AC ，垂足为Q ，∴PN =PE ，则PM -PN =PM -PE ，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF类型二、翻折型最值问题例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是（）【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE =D 'B ＝．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】3【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：AE ==3AE EC '-=-，∴AC '的最小值为3．类型三、旋转型最值问题【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴226,3,3EC BC BE EJ CJ EC EJ =-===-=,∴CG =CJ +GJ =332+.∴CG 的最小值为332+.故答案为：332.【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG AB ⊥交AB 延长线于点G ，先证明AED GFE △≌△，即可得到点F 在CBG ∠的角平分线上运动，作点C 关于BF 的对称点C '，当点D ，F ，C 三点共线时，DF CF DC +='最小，根据勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为35，即可求出此时DCF 的周长为353+．将ED绕点E顺时针旋转90︒到EF，=，∴⊥，EF DEEF DEDEA FEG DEA ADE∴∠+∠=∠+∠=︒，90∴∠=∠，ADE FEG又90，∠=∠=︒DAE FGE(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC 是等腰直角三角形，AD BC ∴⊥，BD CD =，90ADB ADC ∴∠=∠=︒．四边形DEFG 是正方形，DE DG ∴=．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ADE BDG ∴△≌△，BG AE ∴=；（2）（1）中的结论仍然成立，BG AE =，BG AE ⊥．理由如下：如图②，连接AD ，延长EA 交BG 于K ，交DG 于O ．在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，2，==BC DEBG∴=+=．213AE∴=．3在Rt AEF中，由勾股定理，得222=+=+3AF AE EF中，如图②中，在BDGBG∴-≤≤+，2112∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．类型四、PA+KPB型最值问题3A．27B．23【答案】C【分析】连接AC与EF相交于∵四边形ABCD是菱形，∠=∠，∴OAE OCFA．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，GGH∴是AEF△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到AH AM MH>=-–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC '''∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值．。
初中数学 微拓展 特殊平行四边形中的最值问题
微拓展：特殊平行四边形中的最值问题解题策略:线段长度的最值常与图形运动、点运动相关联，需理清定点与动点、常量与变量，动静转化.我们一般根据“对称性+两点之间线段最短或垂线段最短”求最值.几何模型：条件：如图1，A,B是直线l同旁的两个点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．原型：“饮马问题”方法归纳：求线段和最小时，若已知的两点在直线的同侧，则将动点所在的直线为对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与此对称点连接，则连线与对称轴的交点即为所求动点的位置，再求出所连接的线段长，即为所求的最小值. 作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA+PB=A'B的值最小(不必证明)模型应用：（出题背景变式很多，有时经常会出现在矩形、菱形、正方形背景下）(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点A(0,−1)和B(2,−1)，P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小时，点P的横坐标是______，此时PA+PB=______．(2)如图3，若正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称，则PB+PE的最小值是______．(3)如图4，若正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为______．(4)如图5，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E,F分别是AG,AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是______．知识迁移：如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将B M绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，尝试解决：①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；③当AM＋BM＋CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长.答案模型应用：解：(1)如答图2，取点A 关于x 轴对称的点A '，连接A'B 交x 轴于P ， 则此时PA +PB 最小 ,∵点A 的坐标为（0，-1）,点B 的坐标为（2，-1）∴AB //x 轴∴AB =2，过B 作BH ⊥x 轴于H ,则BH =1，△A'OP ≌△BHP ,OP =PH =1∴点P 的横坐标是1，∴PA +PB =A'B =22故答案为：1；22(2) ∵B 与D 关于直线AC 对称∴PB +PE 的最小值是DE 的长∵正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点∴AE =1在Rt △ADE 中，DE =5212222=+=+AE AD , 则PB +PE 的最小值是5 故答案为：5；(3)如图4，设BE 与AC 交于点P ′，连接BD ．∵点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小．∵正方形ABCD 的面积为12，∴AB =32又∵△ABE 是等边三角形，∴BE =AB =32， 故答案为：32．(3) 如图5，作DH ⊥AC 垂足为H 与AG 交于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =AD =CD =BC =8，∵∠B =60°∴∠ADC =∠B =60°∴△ADC 是等边三角形，∵AG 是中线，∴∠GAD =∠GAC∴点H 关于AG 的对称点F 在AD 上，此时EF +ED 最小值=DH ．在Rt △DHC 中，∵∠DHC =90° DC =8，∠CDH =21∠ADC =30°∴CH =21DC =4，DH =3422=-CH CD ∴EF +DE 的最小值=DH =34故答案为：34知识迁移：解：①当M 点落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小.②如图，连接CE ，当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最理由如下：连接MN ，易知△AMB ≌ △ENB ，∴AM ＝EN .∵∠MBN ＝60°，MB ＝NB ，∴△BMN 是等边三角形.∴BM ＝MN .∴AM ＋BM ＋CM ＝EN ＋MN ＋CM .根据“两点之间线段最短”，得EN ＋MN ＋CM ＝EC 最短∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，即等于EC 的长. ⑶过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，∴∠EBF ＝90°－60°＝30°,设正方形的边长为x ，则BF ＝x ，EF ＝. 在Rt △EFC 中，∵EF 2＋FC 2＝EC 2，∴（）2＋（x ＋x ）2＝. 解得，x ＝2±（舍去负值）∴正方形的边长为2.。
2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练2(附答案详解)
解：∵在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM= EF= AP,
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高
AP= ,
∴AM的最小值是 ．
故选C．
②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，根据勾股定理即可求解．
【详解】
如图所示：
（1）∵BD∥CE，CD∥BE，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴四边形BECD是矩形；
（2）①当BE的长为 时，四边形BECD是菱形．理由如下：
6．C
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM= EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
设 与AC交于点O，作 ⊥ 于 ，如图所示：
在Rt△ABC中，∠BAC=90 ，∠ACB=45 ，
∴ ，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴ ，
∵ ⊥ ，∠ACB=45 ，
∴ ，
当 与 重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键．
高考数学----四边形定值和最值规律方法及典型例题讲解
高考数学----四边形定值和最值规律方法及典型例题讲解【规律方法】正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≥⋅，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，等号成立．【典型例题】例38．（2022·甘肃·兰州西北中学高三期中（理））在四边形ABCD 中，2,3AB BC CD AD ====，则四边形ABCD 面积的最大值为______.【解析】在ABC 中，由余弦定理知2222cos 44222cos 88cos AC AB BC AB BC B B B =+−⋅=+−⨯⨯=−，在ACD 中，由余弦定理知2222cos 49223cos 1312cos AC AD CD AD CD D D B =+−⋅=+−⨯⨯=−，所以88cos 1312cos B D −=−，即53cos 2cos 4D B −=. 可得11sin sin 2sin 3sin 22ABC ACDABCD S SSAB BC B AD CD D B D =+=⋅+⋅=+四边形， 令53cos 2cos 4M D B =−=，3sin 2sin N D B =+， 则2294232(cos cos sin sin )1312cos()25M N B D B D B D +=+−⨯⨯−=−+≤，等号成立时πB D +=所以2252515251616N ⨯≤−=，所以四边形ABCD .例39．（2022·江苏无锡·高三期中）如图，在平面四边形ABCD 中，cos AB BD ABD =∠．(1)判断ABD △的形状并证明；(2)若AB =，BC =，12BC =，求四边形ABCD 的对角线AC 的最大值．【解析】（1）已知cos AB BD ABD =∠，由正弦定理可得：sin sin cos ADB BAD ABD ∠=∠⋅∠，()sin sin cos BAD ABD BAD ABD ∠+∠=∠∠即sin cos cos sin sin cos BAD ABD BAD ABD BAD ABD ∠∠+∠∠=∠∠ 得cos sin 0BAD ABD ∠∠=，sin 0ABD ∠≠，∴cos 0BAD ∠=，故90BAD ∠=︒，即ABD △为直角三角形．（2）如图，在BC 上方作Rt △BCM 使BM ABCM AD==90BMC ∠=︒，∴BCMBDA ，∴BA BDBM BC=且ABM CBD ∠=∠ ∴ABM BCD ，由BC =，12BC =，得CD =在Rt BCM △中，222BM CM BC +=，由BMCM12BC =，得6CM =.由AM AB CD BD ==，得3AM =， ∴639AC AM CM +=+=≤，当M 在AC 上时等号成立， ∴()max 9AC =．例40．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长； (2)求四边形ABCD 周长的最大值． 【解析】（1）连接BD ，因为20AB AD ==，π3BAD ∠=，故ABD △为等边三角形，20BD ∴=， 5πππ12312CBD ABC ABD ∴∠=∠−∠=−=，则ππ4BDC BCD CBD ∠=−∠−∠=， 由正弦定理得sin sin BD BC BCD BDC =∠∠，所以，πsin42πsin 3BD BC ==（2）由余弦定理可得222222π4002cos3BD BC CD BC CD BC CD BC CD ==+−⋅=++⋅ ()()()()2222344BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD ++=+−⋅≥+−=，所以，BC CD +≤，当且仅当BC CD =. 因此，四边形ABCD周长的最大值为40+例41．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市实验中学高三阶段练习）已知函数()((1sin cos 1sin cos f x x x x x ⎡⎤⎡⎤=−⋅−⎣⎦⎣⎦. (1)求()f x 的最小正周期T 和单调递减区间；(2)四边形ABCD 内接于⊙O ，BD =2，锐角A 满足314A f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，求四边形ABCD 面积S 的取值范围.【解析】（1）((1sin cos 1sin cos x x x x ⎡⎤⎡⎤−⋅−⎣⎦⎣⎦()()sin cos sin cos x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=−⋅−⎣⎦⎣⎦ ()22sin cos 2sin x x x =−−222sin 2sin cos cos 2sin x x x x x =−+− 212sin sin 2x x =−−cos2sin 2x x =−24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴T π=. 由()2224k x k k ππππ≤+≤+∈Z ，得()388k x k k ππππ−≤≤+∈Z ， 所以()f x 单调递减区间为()3,88k k k ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由于314A f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，根据（132144A π⎛⎫⨯+=− ⎪⎝⎭， ∵02A π<<，∴3A π=，23C π=. 分别设AB =a ，AD =b ，BC =c ，CD =d .因BD =2，分别在ABD △和CBD △中由余弦定理得222cos43a b ab π+−=，2222cos43c d cd π+−=， ∴224a b ab +=+，224c d cd +=−.∵222a b ab +≥，222c d cd +≥，等号在a =b =2，c d ==时成立， ∴42ab ab +≥，42cd cd −≥，解得04ab <≤，403cd <≤.∴1603ab cd <+≤.等号在a =b =2，c d ==∵)11sin sin 22S ab A cd C ab cd =+=+，所以S 的取值范围是⎛ ⎝⎦.例42．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）如图，在平面凹四边形ABCD 中，=2AB ，=3BC ，60B ∠=︒.(1)若sin sin AD A CD C =且=1AD ，求凹四边形ABCD 的面积； (2)若120ADC ∠=︒，求凹四边形ABCD 的面积的最小值. 【解析】（1）如图，连接BD ，在ABD △中， 由正弦定理得sin sin AD BD ABD A=∠，所以sin sin AD A BD ABD =∠，同理可得，在CBD △中，有sin sin CD C BD CBD =∠， 因为sin sin AD A CD C =，所以sin sin BD ABD BD CBD ∠=∠， 即sin sin ABD CBD ∠=∠，又ABD ∠，CBD ∠都是锐角，60B ∠=︒ 所以30ABD CBD ∠=∠=︒.（也可由点D 向BA ，BC 作垂线，证明BD 是角平分线）在ABD △中，由余弦定理得2222cos AD AB BD AB BD ABD =+−⋅⋅⋅∠， 即214BD =+−，解得BD 所以凹四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB BD ABD CB BD CBD =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠=△△.（2）如图，连接AC ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos 7AB BC A A A B C BC BC +=−⋅⋅⋅∠=，故AC 在ADC △中，设AD m =，CD n =， 因为120ADC ∠=︒所以，由余弦定理得2222cos AC m n mn ADC =+−∠， 所以2272m n mn mn +=−≥，即73mn ≤，当且仅当m n =时等号成立， 此时显然点D 在ABC 的内部，所以117sin 223ADC S mn ADC =∠≤⨯△（不写取等条件扣1分）又1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅⋅∠=△所以凹四边形ABCD 的面积的最小值min S ==例43．（2022·全国·高三阶段练习（理））如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，()090BAD BCD θθ∠=∠=<<o o ，6AB BC +=.(1)若=2BC AB ，75θ=，求对角线AC 的长；(2)当AD CD =，=3BC 时，求平面四边形ABCD 的面积的最大值及此时θ的值.【解析】（1）因为,75AD CD BAD BCD θ︒⊥∠=∠==所以36027590120ABC ∠=−⨯−=o o o o .又因为2,6BC AB AB BC =+=， 所以4,2BC AB ==.在ABC 中，由余弦定理得2222cos 416224cos120AC AB BC AB BC ABC =+−⋅⋅∠=+−⨯⨯⨯o28=，故AC = 即对角线AC 的长为（2）因为6,3AB BC BC +==， 所以3AB BC ==，连接BD . 又AD CD =， 所以BD 为ADC ∠的平分线， 所以18045135ABD CBD θθ∠=∠=−−=−o o o ，在BCD △中， 由正弦定理sin sin BD BC BDCθ=∠得sin 3sin sin sin 45BC BD BDC θθθ===∠o .所以四边形ABCD 的面积()()122sin 135sin 1352BCD S S BD BC θθθ==⨯⨯⨯−=−o oV29sin cos 9sin θθθθθθ⎫==+⎪⎪⎝⎭()999sin 2(1cos 2)245222θθθ=+−=−+o ， 因为090θ<<， 所以45245135θ−<−<o o o .所以当24590θ−=o o ， 即67.5θ=o 时，S 例44．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设()()cos sin f x x x ϕ=−−，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，已知03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小值；(2)已知凸四边形ABCD 中，()114,7AB AC AD f A ====，求ABCD 面积的最大值.【解析】（1）依题意，由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得：cos sin 33ππϕ⎛⎫−== ⎪⎝⎭，而0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即,363πππϕ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，于是得36ππϕ−=，解得6πϕ=，()11cos sin sin sin sin cos()6226f x x x x x x x x x ππ⎛⎫=−−=+−=−=+ ⎪⎝⎭，所以当52(Z)6x k k ππ=+∈时，()f x 的最小值为1−. （2）由（1）知，()1cos()67f A A π=+=，在凸四边形ABCD 中，0A π<<，于是得A 为锐角，sin()6A π+，cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666A A A A ππππππ=+−=+++=，sin 2A ===， 设()222A A A BAC θθ∠=−−<<，则()222A A ADAC θθ∠=+−<<，令凸四边形ABCD 的面积为S ， 11sin sin 98[sin()sin()]2222ABC ADCA AS SSAB AC BAC AD AC DAC θθ=+=⋅∠+⋅∠=−++196sincos 1962A θθ==≤0θ=时取等号， 所以ABCD 面积的最大值为。
特殊的平行四边形中的最值模型-胡不归模型(解析版)
特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。
本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.补充知识：在直角三角形中锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A =∠A 的对边斜边。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形(含30°，45°，60°)的三边关系。
【模型解读】一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．(注意与阿氏圆模型的区分)1)AC V 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值.2)构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH AC=k ，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.3)过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【解题关键】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．(若k >1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可)。
平行四边形最值问题及解决方法
平行四边形最值问题及解决方法一、边长相关的最值问题。
题目1：在平行四边形ABCD中，AB = 5，AD = 3，对角线AC和BD相交于点O，点E 是边AD上的动点，求OE的最大值。
解析：因为平行四边形的对角线互相平分，所以AO=(1)/(2)AC。
在AOD中，OE是AOD的中线，根据三角形中线的性质，OE<(1)/(2)AD。
当E点与D点重合时，OE取得最大值，此时OE=(1)/(2)AD=(3)/(2)。
题目2：已知平行四边形ABCD中，AD = 6，∠ DAB=60^∘，E是AB上的动点，连接DE，求DE的最小值。
解析：过D作DF⊥ AB于F。
在Rt ADF中，∠ DAB = 60^∘，AD=6，则DF =AD×sin60^∘=6×(√(3))/(2)=3√(3)。
因为垂线段最短，所以当E点与F点重合时，DE取得最小值3√(3)。
题目3：平行四边形ABCD中，AB = 8，BC=10，P是平行四边形ABCD内一点，求PA + PC的最小值。
解析：利用平行四边形的对称性，连接AC、BD相交于点O，PA + PC≥slant AC。
根据平行四边形的性质，AC=√(AB^2)+BC^{2- 2AB× BC×cos∠ ABC}。
因为平行四边形ABCD，AB = 8，BC = 10，设∠ ABC=θAC=√(64 + 100-2×8×10×cosθ)根据平行四边形对角线互相平分，PA+PC的最小值就是AC的长。
由平行四边形性质可知cos∠ ABC=cos∠ BAD在ABC中，AC=√(8^2)+10^{2-2×8×10×cos∠ ABC}=√(64 + 100-160×cos∠ ABC)当cos∠ ABC = 1时（∠ ABC = 0^∘，这种极限情况方便计算最小值）AC=√(64+100 - 160)=2实际上，根据平行四边形性质计算AC=√(8^2)+10^{2-2×8×10×cos∠ ABC}=√(164-160cos∠ ABC)，AC的最小值为2二、面积相关的最值问题。
专题5.4四边形中的最值问题专项训练(30道)(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题5.4 四边形中的最值问题专项训练（30道）【浙教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强化学生对四边形中最值问题模型的记忆与理解！一．选择题（共10小题）1．（2022春•重庆期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2√3，BC＝6，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC的最小值是（）A．4√3+3B．2√21C．2√3+6D．4√52．（2022•灞桥区校级模拟）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（）√2A．5B．7C．7√2D．723．（2022春•中山市期末）如图，在边长为a的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（）aA．有最大值a B．有最小值√22C．是定值a D．是定值√2a24．（2022春•三门峡期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．√2D．2√25．（2022春•滨湖区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为20，边长为5，点P、Q分别是边BC、CD上的动点，且PC＝CQ，连接PD、AQ，则PD+AQ的最小值为（）A．4√5B．√89C．10D．7√26．（2022•泰山区一模）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（）A．2B．1C．√5−1D．√5−27．（2022•龙华区二模）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为√13−2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2022•南平校级自主招生）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（）A．4B．4.8C．5.2D．69．（2022春•崇川区期末）如图，正方形ABCD边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为（）A．√2B．√3C．√5D．√610．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．√2B．2C．2√2D．4二．填空题（共10小题）11．（2022春•江城区期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是．12．（2022•东莞市校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+DQ的最小值为．13．（2022•钱塘区一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连结AH，CG．若AB＝10，AD＝6，EF＝4，则AH+CG的最小值为．14．（2022春•东城区期中）在正方形ABCD中，AB＝5，点E、F分别为AD、AB上一点，且AE＝AF，连接BE、CF，则BE+CF的最小值是．15．（2022春•虎林市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝12，AC＝16，点D是斜边BC 上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为．16．（2022•灞桥区校级三模）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为．17．（2022春•靖江市校级期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH 的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为．18．（2022春•郫都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，连接CF，点P为CF中点，则DP的最小值为．19．（2022春•江都区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2√3，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．20．（2022春•如东县期中）如图，已知AB＝2√2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为（结果保留根号）．三．解答题（共10小题）21．（2022•禹城市二模）（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM＝CN，连AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．22．（2022春•东坡区校级月考）正方形ABCD中，E、F是AD上的两个点，AE＝DF，连CF交BD于点M，连AM交BE于点N，连接DN．如果正方形的边长为2．（1）求证：BE⊥AM；（2）求DN的最小值．23．（2022•黄埔区模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．24．（2022春•洪山区期中）如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．25．（2022•宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长．26．（2022•南充模拟）如图，M，N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足CM＝DN，AC，BM相交于点E，DE与AN相交于点F，连接CF．（1）求证：DE⊥AN．（2）若正方形ABCD的边长为4，求CF的最小值．27．（2022春•思明区校级期中）已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH为正方形，AE＝2，求GC的长．x．在（2）如图2，四边形EFGH为菱形，设BF＝x，△GFC的面积为S，且S与x满足函数关系S＝6−12自变量x的取值范围内，是否存在x，使菱形EFGH的面积最大？若存在，求x的值，若不存在，请说明理由．28．（2022•南岗区校级一模）已知菱形ABCD的对角线相交于O，点E、F分别在边AB、BC上，且BE ＝BF，射线EO、FO分别交边CD、AD于G、H．（1）求证：四边形EFGH为矩形；（2）若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．29．（2022春•戚墅堰区校级月考）如图，已知∠MON＝90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连接OC．（1）求OC的最大值；（2）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）若OP＝4√2cm，求OA的长．30．（2012秋•吴中区月考）如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？（2）求证：△AMB≌△ENB；（3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由．。
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主备（讲）人：八年级10班邓永豪
路在脚下 志在我心 全力以赴 永创辉煌
四边形中的最值问题
例1 如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为（ ）
A.1
B. √3 C ．2 D ．√3＋1
试一试 化动为静，先确定K 点位置，从特殊位置切入。
（2012年台州市中考题）
例2 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）
A ．
B ．
C . 2 D.3
试一试 三角形任两边之和大于第三边。
（2012年济南市中考题）
例3 如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，△AMB ≌△ENB 。
求证：
（1）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小。
②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由。
试一试 连接M 、N ，将AM 、BM 、CM 替换。
（2）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为√3+1时，求正方形的边长。
试一试 ①等腰三角形三线合一 ②构建直角三角形求正方形边长 （2010年宁德市中考题）
①求线段最值常用的方法：
1.两点之间线段最短
例：如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是_________________。
2.垂线段最短。
例： (09陕西) 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是_____________。
3.斜边大于直角边。
4.三角形任两边之和大于第三边。
例：已知菱形ABCD ，点P 是OD 上一点，当AP+CP 值最大时，点P 于何位置？___________________________。
②线段长度最值常与图形运动、点运动相关联，需理清静点与动点、常量与变量，动静转化。
拓展：费马点：
1.若给定一个三角形△ABC 的话，从这个三角形的费马点P 到三角形的三个顶点A 、B 、C 的距离之和比从其它点算起的都要小。
2.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
3.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120°。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
D
A
C
E
P。