特殊平行四边形动点及存在性问题压轴题终审稿)
【常考压轴题】平行四边形存在性问题—2023-2024学年八年级数学下册(浙教版) (解析版)
平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式： 类型一 几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（ ）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。
因动点产生的平行四边形问题中考压轴题精编版
因动点产生的平行四边形问题中考压轴题精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】因动点产生的平行四边形问题 例 1 2012年福州市中考第21题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD 思路点拨1．菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在∠ABC 的平分线上，PQ //AB ．先求出点P 运动的时间t ，再根据PQ //AB ，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度．2．探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径．满分解答（1）QB ＝8－2t ，PD ＝43t ． （2）如图3，作∠ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形．过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8．在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． 图3在Rt △APE 中，23cos 5AE A AP t ===，所以103t =． 当PQ //AB 时，CQ CP CB CA =，即106386CQ -=．解得329CQ =． 所以点Q 的运动速度为3210169315÷=． （3）以C 为原点建立直角坐标系．如图4，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)．如图5，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)．直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．如图6，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62t -，t ）．经验证，点M （62t -，t ）在直线EF 上．所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF ＝25．图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6．所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．例 2 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4)．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，△ACG 的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ 中心对称的△FQE 和△ECH ′，可以体验到，线段EQ 的垂直平分线可以经过点C 和F ，线段CE 的垂直平分线可以经过点Q 和H ′，因此以C 、Q 、E 、H 为顶点的菱形有2个．请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，即t=2，△ACG 的面积取得最大值1．观察CQ ，EQ ，EC 的值，发现以C 、Q 、E 、H 为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。
二次函数压轴题之平行四边形存在性问题
平行四边形存在性问题考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为：A B D CAB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx A -x BABC D（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．DCBA【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩， 2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩． 当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：D之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．D 3D 2D 1OyxCBA思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得： （1）BC 为对角线时，531352m n +=+⎧⎨+=+⎩，可得()17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253mn +=+⎧⎨+=+⎩，解得()21,4D -；（3）AB 为对角线时，153235mn +=+⎧⎨+=+⎩，解得()33,0D ．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如：1=D B C A +-，2=D A C B +-，3D A B C =+-．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）． （1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式： A C B D AC BD x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．【2019宜宾中考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并求△P AB 面积的最大值．【分析】（1）抛物线：223y x x =--，直线AB ：3y x =-；（2）考虑EC ∥MN ，故若使点M 、N 、C 、E 是平行四边形，则EC =MN 即可，∵E （1，-2）、C （1，-4）， ∴EC =2，设M 点坐标为（m ，m -3）（m >1），则N 点坐标为()2,23m m m --， 则MN =()()222333MN m m m m m =----=- 由题意得：232m m -=， 232m m -=，解得：1m =，2m =（舍）， 对应P点坐标为⎝⎭； 232m m -=-，解得：32m =，41m =（舍）． 对应P 点坐标为（2，-1）．综上，P点坐标为⎝⎭或（2，-1）． （3）铅垂法可解．【2018河南中考（删减）】如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过B 、C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．【分析】（1）265y x x=-+-；（2）考虑到AM∥PQ，故只需AM=PQ即可．过点A作BC的平行线，与抛物线交点即为P点，易得直线AP的解析式：1y x=-，联立方程：2651x x x-+-=-，解得：11x=（舍），24x=，故对应P点坐标为（4，3）；作点A关于B点的对称点A'，过点A'作BC的平行线，与抛物线的交点亦为题目所求P点，易求直线解析式：9y x=-，联立方程：2659x x x-+-=-，解得：1x，2x=．故对应P点坐标为⎝⎭、⎝⎭．综上所述，P点坐标为（4，3）、⎝⎭、⎝⎭．【2018郴州中考（删减）】如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++； （2）由题意可知CP 、DM 为对角线，考虑DM 在直线x =-1上，故CP 中点在直线x =-1上，∵点C 坐标为（0，3），故点P 横坐标为2，代入解析式得P （2，3）， 易知M 点坐标为（1，6）．【三定一动】（2018·恩施州中考删减）如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(1,0)-，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标．【分析】（1）抛物线：224233y x x =-++；（2）设P 点坐标为（m ，n ），又B （3，0）、C （0，2）、D 813⎛⎫⎪⎝⎭，①若BC 为对角线，由题意得：3018023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：223m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故1P 的坐标为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若BD 为对角线，由题意得：3108023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：423m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故2P 坐标为24,3⎛⎫⎪⎝⎭；③若BP 为对角线，由题意得：3018023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：2143m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故3P 坐标为142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，P 点坐标为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭、142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【两定两动：x 轴+抛物线】（2018·济宁中考删减）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(3,0)A ，(1,0)B -，(0,3)C -．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =--；（2）列方程组求：设P ()2,23m m m --、Q (),0n ，又B （-1，0）、C （0，-3），若BC 为对角线，由题意得：21003230m n m m -+=+⎧⎨-=--+⎩，解得：23m n =⎧⎨=-⎩或01m n =⎧⎨=-⎩（舍）， 故对应的P （2，-3）；若BP 为对角线，由题意得：21023003m n m m -=+⎧⎨--+=-⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩或01m n =⎧⎨=-⎩（舍），故对应的P （2，-3）；若BQ 为对角线，由题意得：21000233n m m m -=+⎧⎨+=---⎩，解得：12m n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩12m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩， 故对应的P ()1+、()1．综上所述，P 点坐标为（2，-3）、()1、()1．（2019·包头中考删减）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ． （1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：224233y x x =-++，对称轴：直线x =1；（2）设M 点坐标为224,233m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，N 点坐标为()1,n ，又B （3，0）、C （0，2）若BC 为对角线，由题意得：23012402233m m m n +=+⎧⎪⎨+=-+++⎪⎩，解得：20m n =⎧⎨=⎩， 故M 点坐标为（2，2）；若BN 为对角线，由题意得：23102402233m n m m +=+⎧⎪⎨+=-+++⎪⎩，解得：443m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故M 点坐标为104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；若BM 为对角线，由题意得：23102420233m m m n +=+⎧⎪⎨-+++=+⎪⎩，解得：2163m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故M 点坐标为102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上所述，M 点坐标为（2，2）、104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2019·咸宁中考删减）如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知E ，F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ，O ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标．【分析】（1）抛物线：213222y x x =-++；（2）设E 点坐标为1,22m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，F 点坐标为213,222n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，又B （0，2）、O （0，0），①若OB 为对角线，由题意得：2001130222222m nm n n +=+⎧⎪⎨+=-+-++⎪⎩，解得：1122m n ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩或2222m n ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩故E点坐标为(2--或(2-+；②若OE 为对角线，由题意得：2001130222222m nm n n +=+⎧⎪⎨-+=-++⎪⎩，解得：3322m n ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩4422m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩故E点坐标为(2+或(2-；③若OF 为对角线，由题意得：2001310222222n mn n m +=+⎧⎪⎨-++=-+⎪⎩，解得：5522m n =⎧⎨=⎩， 故E 点坐标为（2，1）．【两定两动：抛物线+抛物线】（2019·连云港中考删减）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:L y x bx c =++过点(0,3)C -，与抛物线2213:222L y x x =--+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q分别是抛物线1L 、2L 上的动点． （1）求抛物线1L 对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标．备用图【分析】（1）1L 解析式：223y x x =--；（2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解．设P 点坐标为()2,23m m m --，Q 点坐标为213,222n n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，又C （0，-3）、A （2，-3），①若CA 为对角线，由题意得;2202133323222m nm m n n +=+⎧⎪⎨--=----+⎪⎩， 解得：35m n =-⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩（舍），故P 点坐标为（-3，12）；②若CP 为对角线，由题意得：2202133233222m nm m n n +=+⎧⎪⎨-+--=---+⎪⎩， 解得：31m n =⎧⎨=⎩或43103m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故P 点坐标为（3，0）或413,39⎛⎫- ⎪⎝⎭；③若CQ 为对角线，由题意得：22021********n mn n m m +=+⎧⎪⎨---+=-+--⎪⎩， 解得：11m n =-⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩（舍），故P 点坐标为（-1，0）．综上所述，P 点坐标为（-3，12）、（3，0）、413,39⎛⎫- ⎪⎝⎭、（-1，0）．【四动点构造】（2019·锦州中考删减）如图，在平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式（2）F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．【分析】（1）抛物线：21334y x x =-++； （2）本题4个点皆为动点，使四边形DEGF 为平行四边形易，而使周长最大难．设E 点坐标为3,34m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为213,34m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，设F 点坐标为213,34n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则G 点坐标为3,34n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，2213333444DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， 2213333444FG n n n n n ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， 由DE =FG ，可得：2244m m n n -+=-+， ∵m ≠n ，∴4m n +=，过点G 作GH ⊥CD 交CD 于H 点，则()()555425442EG n m m m =-=-=-， 又24DE m m =-+， ∴22524523102DEGFCm m m m m ⎛⎫=-++-=-++ ⎪⎝⎭，当34m =时，四边形DEGF 是平行四边形且周长最大，此时G 点坐标为139,416⎛⎫⎪⎝⎭．。
专题03 平行四边形 压轴题(七大题型)(原卷版)
(1)直接写出C 点坐标；(2)如图2，线段BC 的垂直平分线交y 轴于点E ，F 为AD 的中点，试判断(3)如图3，点16,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 为x 轴上的一点，45ECF ∠=︒，求F 点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 中点A 的坐标为(3,--y 轴交于点M ，点D 是射线OC 上一动点，点E 是OD 的中点，连接AE 交交AE 延长线于点G ，交AB 于点H ，连接OG ．(1)若4OD =，求OG 的长．(2)若2OAE GOE GED ∠=∠-∠，求OD 的长．(3)①连接DF ，问直线DF 是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；②连接FB ，BD ，若30DFB ∠=︒，求OD 的长．题型2：平行四边形与一次函数(1)求直线2l 的函数关系式；(2)若点C 的横坐标是2，求△(3)若存在点P ，使以A C 、、试求．出点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线C （点C 在A 左侧），且ABC 面积为10．(1)求点C 的坐标及直线BC 的解析式；(2)如图1，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，其中90FGQ ∠=︒，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线(3)如图2，若M 为线段BC 上一点，且满足AMB S S =△△点D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点说明理由．题型3：平行四边形与反比例函数5．如图，在平面直角坐标系中，点()2,2A -，()6,6B -(1)求a 和k 的值；(2)作直线l 平行于A C ''且与A B ''，B C ''分别交于M ，N 直线l 的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x 轴上的点P 和直线l 边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点6．如图1，已知点(),0A a ，()0,B b ，且a 、b 满足a 的值；在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M ，当T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A B P Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P 的位置．(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明．题型4：旋转问题8．如图，在三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点P 为ABC 内一点，连接段AP 绕点A 逆时针旋转90︒得到'AP ，连接PP '，CP '．(1)用等式表示CP '与BP 的数量关系，并证明；(2)当135BPC ∠=︒时，①直接写出P CP '∠的度数为________②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示9．如图，在等边ABC 中，点D 是边得到的．(1)如图1，求CBE ∠的度数；(2)如图2，过点A 作AF DE ∥分别交BC CD ，于点F ，G ，连接AE 平分；(3)如图3，在（2）的条件下，若N 是CE 的中点连接FN ，求证：题型5：存在性问题10．如图1，在平行四边形ABCD 中，20AB =，30AD =，ABC ∠速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q 从点B 出发沿BA 度．当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．过点P 作PM ⊥(1)当QP PM ⊥时，求t 的值．(2)如图2，连接MC ，是否存在t 值，使得PCM △的面积是平行四边形ABCD 面积的38若存在，求出对应的t ；若不存在，请说明理由．(3)如图3，过点M 作∥MN AB 交于点N ，是否存在t 的值，使得点P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．题型6：动点问题11．如图，在ABCD Y 中，O 为对角线BD 的中点，90ADB ∠=︒，60A ∠=︒，4=AD ．动点以每秒2个单位的速度沿折线AB BC -向终点C 匀速运动，连结PO 并延长交折线CD DA -PQ 绕着点P 逆时针旋转60︒得到线段PE ，连结QE ，设点P 的运动时间为t （s ）．(1)用含t 的代数式表示PB 的长．(1)若设AP 的长为x ，则PC =，(2)当30BQD ∠=︒时，求AP 的长；(3)过点Q 作QF AB ⊥交AB 延长线于点(4)点P Q ，在运动过程中，线段说明理由．题型7：平行四边形与三角形、特殊三角形的性质与判定综合13．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥B D ∠∠=，．(1)如图1，求证：四边形ABCD 是平行四边形(2)如图2，点E 在BC ，点F 在CD 上，连接AE EF 、，若AB 2AC CF CE-=(3)如图3，在（2）的条件下，连接AF ，过点C 作CH BC ⊥分别交的延长线于点P ，交AC 的延长线于点K ，若22CE =，PK 14．在ABCD Y 中，BD 是对角线，2180ADB BDC ︒∠+∠=，(1)求证：AD BD=(2)当45A ∠=︒时，1DE =，2BE =，3CE =，求CDE 的面积．(3)在（1）的条件下，当BD 平分ADE ∠，DBE CDE ∠=∠，10CD =15．如图，点P 是平行四边形ABCD 内一点，11290AB BPC ︒=∠=，(1)如图1，若45BAD PCD ∠-∠=︒，求证：2AD PB =；(2)如图2，在（1）的条件下，若ABP 的面积与PCD 的面积的比是3:4的面积；(3)如图3，在（1）的条件下，若7514PAB PD ∠=︒=，，求PA 的长．16．如图，在平行四边形ABCD 中，45DAC ∠=︒，AE BC ⊥于E ，CG (1)求证：AEB CEF ≌ ：(2)如图2，平行四边形ABCD 外部有一点H ，连接AH EH 、，满足EH AB ∥，45H ∠=︒，求证：2AG AH CG +=；(3)如图3，在BC 上有一点M ，连接FM ，将FEM △绕着点M 顺时针旋转90︒得F E M ''△，连接点P 为DF '的中点，连接AP 若310CD =，32EF =，当CF 最小时，直接写出线段AP 的长度．。
专题03 平行四边形 压轴题(七大题型)(解析版)
(1)直接写出C点坐标；(2)如图2，线段BC的垂直平分线交y轴于点E，F为AD的中点，试判断(3)如图3，点16,03E⎛⎫⎪⎝⎭，F为x轴上的一点，45ECF∠=︒，求F点的坐标．【答案】(1)()4,4∵四边形ABCD是平行四边形，∴=，∥AD BC AD∴∠=∠，DAO CBEAOD CEB∠=∠=(AASCBE DAO∴≌∵线段BC 的中垂线交CE BE ∴=，∵F 为AD 的中点，22,1F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，222DE DC EC ∴+=①当F 在点E 的左侧时，如图3，过 45ECF ∠=︒，FH CE ⊥，CFH ∴ 是等腰直角三角形，FH CH ∴=，(1)若4OD =，求OG 的长．(2)若2OAE GOE GED ∠=∠-∠，求OD 的长．(3)①连接DF ，问直线DF 是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；②连接FB ，BD ，若30DFB ∠=︒，求OD 的长．∵2OAE GOE GED ∠=∠-∠，GED ∠∴2GOE OAE OEF ∠=∠+∠，∵IOE OAE OEF ∠=∠+∠，∴2IOE GOE ∠=∠，∴30FBF '∠=︒，设FM n =，则2FF n '=，∵226BF BF n '==+，∴22162FN n =+，∵FN BF BM FF ''⋅=⋅，（BFF ' 的两组底和高相乘）(1)求直线2l 的函数关系式；(2)若点C 的横坐标是2，求△(3)若存在点P ，使以A C 、、试求．出点P 的坐标．【答案】(1)4y x =-+则1402m ⨯+=，解得2m =-，∴直线AP 的解析式为122y x =-；DP AC ∥，且过(20)，D -，设直线DP 的解析式为y x n =-+，则20n +=，解得2n =-，(1)求点C 的坐标及直线BC 的解析式；(2)如图1，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，其中90FGQ ∠=︒，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线(3)如图2，若M 为线段BC 上一点，且满足AMB S S =△△D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点明理由．4∵FGQ 是等腰直角三角形，易证∴1MG NQ ==，FM GN ==∴()2,1Q n n -+-，∵点Q 在443y x =+图象上，同理：()2,1Q n n -+，∵点Q 在直线443y x =+图象上，∴()41243n n -=-+，解得：n ∴点()0,1G -，此时与点C 重合；23⎛⎫∵AMB AOB S S =△△，∴ABC AMC AOB S S S -=△△△，∴141105424232m ⎛⎫-⨯+=⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：∴点612,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)求a和k的值；(2)作直线l平行于A C''且与A B''，B C''分别交于M，N 直线l的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l则A B T B GM '''、均为等腰直角三角形，∵GM A T '∥，则23B G GT B M A M '''==：：：，设2B G GM x '==，则3,GT x BT =则6245BT x =-==，的值；在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M∵()1,0A -，(0,B -解得1x =，此时()11,8P ，(10,8Q 如图2所示，若ABPQ ∵()1,0A -，(0,4B -解得=1x -，此时()21,8P --，2Q ②如图3所示，当∵()1,0A -，(0,4B -∴1122x -=，∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH(1)求k的值；(2)点P在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A B P Q、、、为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置．(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HTAB于N，当T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明．【答案】(1)8∵()()1,0,04A B --，，则12解得1x =，此时()118P ，；如图2所示，若ABQP 为平行四边形，∵()()1,0,04A B --，，则12-解得=1x -，此时()218P --，；②如图3所示，当AB 为对角线时：∵()()1,0,04A B --，，∴1122x -=-，解得=1x -，∴()318P --，；故点P 的坐标为：()18，或(-（3）如图4，连接NH NT 、∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH =⎧(1)用等式表示CP '与BP 的数量关系，并证明；(2)当135BPC ∠=︒时，①直接写出P CP '∠的度数为________②若M 为BC 的中点，连接PM 【答案】(1)BP CP '='，证明见解析证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =∴2390∠+∠=︒，∵将线段AP 绕点A 逆时针旋转90∴AP AP '=，90PAP '∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴13∠=∠，(1)如图1，求CBE ∠的度数；(2)如图2，过点A 作AF DE ∥分别交BC CD ，于点F ，G ，连接AE 平分；(3)如图3，在（2）的条件下，若N 是CE 的中点连接FN ，求证：【答案】(1)60CBE ∠=︒(2)见解析∴DCE ACB ∠=∠，∴BCE ACD ∠=∠，∵CE CD =，BCE ACD ∠=∠，BC AC =，∴()SAS BCE ACD V V ≌，∴60CBE A Ð=Ð=°；（2）证明：如图1，连接EF ，∵ABC 是等边三角形，∴60CBD ACF ∠=∠=︒，∵//AF DE ，∴60AGD CDE ∠=∠=︒，∵60AGD CAF ACG BCD ACG ∠=∠+∠=︒=∠+∠，∴BCD CAF ∠=∠，∵BCD CAF ∠=∠，BC AC =，CBD ACF ∠=∠，∴()ASA BCD CAF ≌，∴AF CD DE ==，又∵//AF DE ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AE 与DF 相互平分；（3）证明：如图2，延长FN 至点H ，使HN FN =，∵N 是CE 的中点，∴EN CN =，∵EN CN =，ENH CNF ∠=∠，HN FN =，∴()SAS ENH CNF ≌，∴HEN FCN ∠=∠，EH CF =，∴BC EH ∥，∵()ASA BCD CAF ≌，∴BD CF =，∴EH BD =，∵四边形ADEF 是平行四边形，∴AD EF ，∴60BFE ABC ∠=∠=︒，∵60BEF BFE EBF ∠=∠=∠=︒，∴BEF △是等边三角形，∴EF BF =，∵BC EH ∥，∴60HEF BFE ∠=∠=︒，∴HEF DBF ∠=∠，∵EH BD =，HEF DBF ∠=∠，EF BF =，∴()SAS EHF BDF ≌，∴HF DF =，(1)当QP PM ⊥时，求t 的值．(2)如图2，连接MC ，是否存在t 值，使得PCM △的面积是平行四边形ABCD 面积的38若存在，求出对应的t ；若不存在，请说明理由．(3)如图3，过点M 作∥MN AB 交于点N ，是否存在t 的值，使得点P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4t =(2)不存在t 值(3)409t =【分析】（1）由题意得2BQ t =，3DP t =，由平行四边形的性质得出AB CD ，AD BC ∥60D ABC ∠=∠=︒，证出四边形BCPQ 是平行四边形，得出BQ CP =，得出方程220t =-（2）作AE BC ⊥于E ，延长MP 交BC 延长线于F ，由直角三角形的性质得出12BE AB =3103AE BE ==，求出平行四边形ABCD 的面积3003BC AE =⨯=，由直角三角形的性质得出则9030BAE ABC ∠=︒-∠=︒1102BE AB ∴==，3AE =∴平行四边形ABCD 的面积=∥ AB CD ，，MN AB，AB CD∴ ，MN CDAD BC，∴四边形CDMN是平行四边形，(1)用含t的代数式表示PB的长．(2)当点P在边AB上运动时，求证：△内部时，求(3)当点E在ABD在ABCDY中，O为对角线=，∴经过点O，OA OCAC四边形ABCD为平行四边形，∴∥，AB CD由题意得：PQE V 为等边三角形，60PQE QPE ∴∠=∠=︒，AB CE ∥ ，60QPB PQE ∴∠=∠=︒，60A QPB ∴∠=∠=︒，AD PQ ∴∥，∴四边形APQD 为平行四边形，4PQ AD ∴==，4DQ PQ AP ∴===，24t \=，2t ∴=，②当点E 落在AB 边上时，如图，由题意得：PQE V 为等边三角形，60PEQ ∴∠=︒，60A PEQ ∴∠=∠=︒，AD EQ \∥，∴四边形AEQD 为平行四边形，4EQ AD ∴==，AE DQ =，4PE ∴=．24AE AP PE t ∴=-=-．在DOQ △和BOP △中，DOQ BOP OD OB QDO PBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(AAS)DOQ BOP ≌∴ ，DQ PB ∴=，OD OQ ∴=，30ODQ OQD ∴∠=∠=︒，60QPE ∠=︒ ，90PDQ ∴∠=︒，1232BP BO BD ∴===，2823t ∴-=，(1)若设AP 的长为x ，则PC =，(2)当30BQD ∠=︒时，求AP 的长；(3)过点Q 作QF AB ⊥交AB 延长线于点(4)点P Q ，在运动过程中，线段说明理由．,PE AB QF AB ⊥⊥ ，∴90AEP BFQ ∠=∠=︒，又60,QBF ABC A ∠=∠=∠=︒ ∴()AAS BFQ AEP ≌，∴EP FQ =；AEP BFQ△≌△∴=，AE BF+=+∴BE AE BF BE∴6==AB EF⊥⊥,PE AB QF AB(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形、，若AB (2)如图2，点E在BC，点F在CD上，连接AE EF-=2AC CF CE⊥分别交(3)如图3，在（2）的条件下，连接AF，过点C作CH BCCE=，PK 的延长线于点P，交AC的延长线于点K，若22（3）解：如图，以C为原点，BC 交于点T，DK与x轴交于点S 四边形ABCD是平行四边形，3【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，坐标两点距离公式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想，正确建立直角坐标系，求出相关点坐标是解题关键．14．在ABCD Y 中，BD 是对角线，(1)求证：AD BD=(2)当45A ∠=︒时，1DE =，2BE =，3CE =，求CDE 的面积．(3)在（1）的条件下，当BD 平分ADE ∠，DBE CDE ∠=∠，10CD =【答案】(1)见解析为等腰直角三角形，∴EBK∵ADB BDK ∠=∠，AD DK ADB KDB BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB BDK △≌△，(1)如图1，若45BAD PCD ∠-∠=︒，求证：2AD PB =；(2)如图2，在（1）的条件下，若ABP 的面积与PCD 的面积的比是3:4的面积；(3)如图3，在（1）的条件下，若7514PAB PD ∠=︒=，，求PA 的长．【答案】(1)见解析(2)1542∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD AB CD ∥，=．∵MN AB ⊥，∴MN CD ⊥．∵:3:4ABP PCD S S = ，。
(完整版)特殊的平行四边形(压轴题)
特殊平行四边形1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。
（1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系?证明你的结论；（2）若ODEF 绕点O 旋转,当点D 转到直线OA 上时,DCO 恰好是30°,当点D 转到直线OA或直线OC 上时，求AD 的长。
（本小题只写出结论，不必写出过程)FEDCBAO2、如图，在正方形ABCD 中,点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外),连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线,垂足为点E 、F.（1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2,AF 、CE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； （3）在（2）的条件下，当CE=1时，求EF 的长.P FEDCB A DCBA3、菱形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且B EAF ∠=∠。
（1）如果B ∠=60°，求证：AE=AF ； （2）如果）（︒<<︒=∠900ααB ，(1）中的结论：AE=AF 是否依然成立,请说明理由。
（3）如果AB 长为5,菱形ABCD 面积为20，BE=a ，求AF 的长。
(用含a 的式子表示）FED CBA4、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合）.过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G 。
（1）BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系?证明你的结论.（2）连接DF ，如果正方形的边长为2,设AE=a ，求△DFG 的面积。
（用含a 的式子表示)（3）如果正方形的边长为2,FG 的长为25,求点C 到直线DE 的距离。
GFEDCBA5、已知,在矩形ABCD 中，AB=10，BC=20，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE=2。
压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题(最新整理)
中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)C (0, 3)，所以P (－1, 4)D 1(2, 7)．33 右，上33 右，上由于C (0, 3)A (－3,0)，所以P (－1, 4)D 2(－4, 1)．33 下，左33 下，左由于P (－1, 4)C (0, 3)，所以A (－3,0)D 3(－2, －1)．11 右，下11 右，下我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y ＝－x ＋4，得A (4, 0)，直线AB 与坐标轴的夹角为45°．在O 、A 、C 、D 四个点中，O 、A 是确定的，以线段OA 为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C 和C ′(4-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D 和D ′．(4+-(--图3-2图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线与x 轴的负半轴交241633y x x =+于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M ．16(2,3--图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y ＝ax 2－2ax －3a ＝a (x ＋1)(x －3)，得A (－1, 0)．由CD ＝4AC ，得x D ＝4．所以D (4, 5a )．已知A (－1, 0)、D (4, 5a )，x P ＝1，以AD 为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD 为矩形的边，我们根据AD //QP ，AD ＝QP 来两次平移坐标．由于A 、D 两点间的水平距离为5，所以点Q 的横坐标为－4．所以Q (－4,21a )．由于A 、D 两点间的竖直距离为－5a ，所以点P 的纵坐标为26a ．所以P(1, 26a )．根据矩形的对角线相等，得AP 2＝QD 2．所以22＋(26a )2＝82＋(16a )2．整理，得7a 2＝1．所以P ．a =(1-，②如图5-3，如果AD 为矩形的对角线，我们根据AP//QD ，AP ＝QD 来两次平移坐标．由于A 、P 两点间的水平距离为2，所以点Q 的横坐标为2．所以Q (2,－3a )．由于Q 、D 两点间的竖直距离为－8a ，所以点P 的纵坐标为8a ．所以P (1, 8a )．再根据AD 2＝PQ 2，得52＋(5a )2＝12＋(11a )2．整理，得4a 2＝1．所以．此时P ．12a =-(14)-，我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP ＝90°，那么；如图5-3，如果∠QAP ＝90°，那么MA ND MD NP=．GQ KA GA KP=图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，将抛物线c 1：x 轴翻折，得到抛物线c 2．2y =+现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，、，M ，根据OA 2＝OM (1,0)A m --(1,0)B m -(m -2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G 分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA．（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEFA．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。
(完整版)压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题
中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11右，下D3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y ＝－x ＋4，得A (4, 0)，直线AB 与坐标轴的夹角为45°．在O 、A 、C 、D 四个点中，O 、A 是确定的，以线段OA 为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP ＝90°，那么MA ND MD NP =；如图5-3，如果∠QAP ＝90°，那么GQ KA GA KP=．图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1 【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。
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特殊平行四边形动点及存在性问题压轴题
文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
特殊平行四边形中的动点及存在性问题
【例1】正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。
【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F 的坐标.
【例2】如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D是OA的中点,点P在BC上运动,当三角形△ODP是腰长为5的等腰三角形时，P的坐标为；
【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），
并且a，b满足16
b=．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．
【例3】（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为；
（2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
【练习3】如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．
（1）求G点坐标；
（2）求直线EF解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【例4】在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以
4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts
（0<t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【练习4】如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动时间为t秒（0
t≥）
（1）点E的坐标为，F的坐标为；
（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【巩固练习】
1、菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。
第1题图第2题图第3题图
第4题图
2、如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=BC的中点为D,将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，在旋转过程中，DG的最大值是_________；最小值是__________．
3、已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，连接AE，BG，若BC=DE=4，将正方形DEFG绕点D旋转，当AE取最小值时，AF= ．
4、在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8。
过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为____.
5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
6、如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)
是方程组⎩
⎨⎧=-=632y x y x 的解，点C 是直线x y 2=与直线AB 的交点，点D 在线段OC 上，OD =52。
(1)求直线AB 的解析式及点C 的坐标；
(2)求直线AD 的解析式；
(3)P 是直线AD 上的点，在平面内是否存在点Q ，使以0、A 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．。