概率论与数理统计第二章测验题答案

第二章测验题答案一. 填空(共28分，每题4分)1. 投掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间 (0.5, 1.5)取值的概率为0.5 . 解：随机变量X 的分布律为所以{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤2. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或者2ξ≤-,所以()2{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀分布，所以其概率密度函数为11,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它所以6222214{2}(),55{2}()00.P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞-∞≥===≤-===⎰⎰⎰⎰故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45=. 3. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27.解：由题意知随机变量X 和Y 分别服从参数为2和p 、3和p 的二项分布.5{1}1{0}9P X P X =≥=-=, 得到4{0}9P X ==, 即00222(1)(1)C p p p -=-49=,所以2(1)3p -=, 从而33333219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭4. 设X 的概率密度函数为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P X k ≥=, 则k 的取值范围是13k ≤≤.解：此题用画图的方法来解：下图中红线即为()f x 的图像.其中S1表示由红线1()3f x =与x 轴所夹部分的面积，即{01}P X ≤≤13=；S2表示红线2()9f x =与x 轴所夹部分面积，即{36}P X ≤≤22393=⨯=.而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右侧的面积(绿色虚线所示范围). 因为2{}3P X k ≥={36}P X =≤≤，所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即13k ≤≤.5. 设随机变量(1,4)X N , 则{12}P X <≤= 0.1915 .(已知(0.5)0.6915Φ=.) 解：由(1,4)X N 可知，1,2μσ==. 首先进行正态分布的标准化，在查表计算11211{12}{0}222X X P X P P μμσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭1()(0)2=Φ-Φ0.69150.5=-=0.19156. 设硕士研究生入学数学考试及格率为0.55，则15名考生中数学考试及格人数X 的概率分布是二项分布，参数为15和0.55, 解：15名考生参加考试，可以视为15次伯努利实验。

每一名考生考试及格为成功A ，不及格为失败A ，成功的概率为p=0.55. 因此，15名考生中及格人数X 服从参数为(15, 0.55)的二项分布.7. 用还原抽样的方式从1, 2, …, 9等九个阿拉伯数字中一个接一个地抽取数字，直到出现被3整除的数字为止，则被3整除的数字出现在第三次抽取的概率为__4/27__. 解：从1,2,…,9中随意抽取一个数，能被3整除的概率为p=1/3. 以X 表示题中要求的抽样次数，则X 的概率分布为1,1,2{}(1...),n P X n p p n -==-=即参数为p=1/3的几何分布，因此被3整除的数字出现在第三次抽取的概率为2124.37{3}32P X ⎛⎫⎪⎭= ⎝==二. 选择(共24分，每题4分)1. 设1()F x 和2()F x 分别是随机变量1X 和2X 的分布函数，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列数值中a 和b 应取[ A] (A) 32,55a b ==- (B)22,33a b ==- (C) 13,22a b =-=(D)13,22a b ==-解：为使F(x)也成为分布函数，则需要满足分布函数的四个性质，其中为判定a,b 的取值，则利用121()lim ()()()x F F x aF bF a b →+∞=+∞==+∞-+∞=-,各选项中仅有选项(A)符合这个条件.2. 如果X 的可能值充满区间[A,B]，那么sin x 可以成为这个随机变量的密度函 数.（此题有两个答案）(A) [0,0.5]π (B) [0.5,]ππ(C) [0,]π (D) [,1.5]ππ解：X 的可能值充满某区间[a, b]，即表示X 落在这个区间以外的概率为0，密度函数在此区间以外就等于0. 又因为希望s i n x 为密度函数，则利用密度函数的性质()1f x d x +∞-∞=⎰来判定，即1sin sin b axdx xdx +∞-∞==⎰⎰, 通过对这四个选项的计算，发现只有(A)、(B)满足这个条件.3. 设随机变量X的密度函数为||1()0,||1x f x x <=≥⎩，则c=[ C ].(A) 2π (B) 12π(C)1π(D)2π解：利用密度函数的性质来做：1111()arcsin 2|[()2]f x dx c x c c πππ+∞--∞-===⋅=--=⎰⎰所以1c π=.4. 设随机变量2(,)X N μσ ，则概率{}P X μ≤的值[ D ].(A)与μ有关，但是与σ无关 (B) 与μ无关，但是与σ有关 (C)与μ和σ均有关 (D) 与μ和σ均无关 解：由正态曲线可知，1{}2P X μ≤=，与μ和σ均无关.5. 设随机变量2(,)X N μσ ，且{}{}P X c P X c ≤=>，则c 的值为 [ B ]. (A) 0 (B)μ (C) μ- (D) σ解：由{}{}P X c P X c ≤=>可知，正态曲线与x 轴所夹部分在直线x c =两侧的面积相等，则x c =即为曲线对称轴，所以c μ=. 6. 设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a >0，()F a -=[ B ] (A)01()af x dx -⎰ (B)01()2af x dx -⎰ (C) ()F a (D) 2()1F a -解：由()()f x f x -=可知，密度函数的曲线是关于y 轴对称的，则由曲线与x周所围部分的面积及相互关系可知()1()F a F a -=-，0011()()()22a aF a f x dx f x dx --=-=-⎰⎰.三. 解答题（请写明求解过程，共48分） 1. （12分）已知连续型随机变量X 的分布函数为0,()arcsin ,,(0)1,x a x F x A B a x a a a x a<-⎧⎪⎪=+-≤≤>⎨⎪>⎪⎩求(1) A, B; (2)()f x .解：(1) 利用分布函数的性质求其中的未知系数：因为X 是连续型随机变量，所以其分布函数F(x)在整个实轴上是连续函数，即在,x a x a =-=两个点均连续，因此有：在x a =-点去左极限：()()lim ()lim 00arcsin2x a x a a F x A B A B aπ→--→---===+=-在x a =点取右极限：lim ()lim 11arcsin2x a x a a F x A B A B aπ→+→+===+=+所以解得11,.2A B π==0,()arcsin ,12,1,1x a x F x a x a a x aπ<-⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩其中0a >.(2) 对分布函数在各区间求x 的导数得到，注意()f x 的不连续点x a =-和x a =-, 对这两个间断点赋值为零即可，所以有()011,,a x a f x a π⋅⎧-<<⎪⎪=⎨⎪⎪⎩其它0,a x a -<<=⎩其它. 2. （12分）已知X 的密度函数为,()00,x x x xe f x -=≤>⎧⎨⎩求(1)()F x ; (2) P{X=1}; (3){1}P X ≥ 解：(1) 分别考虑0x ≤和0x >两种情况：当0x ≤时，(){}()0x F x P X x f t dt -∞=≤==⎰；当0x >时，(){}()()x x xttF x P X x f t dt te dt td e ---∞=≤===-⎰⎰⎰（利用分部积分法）()000|()|xx x txtxt xt xtxtee dt xee dt xed e xee--------=--=-+=--=--⎰⎰⎰11(1)xxxxeex e---=--+=-+所以1(1),0()0,0x x e x F x x -⎧-+>=⎨≤⎩，（注意此分布函数为连续函数.）(2) 出现概率密度了，所以X 一定是连续型随机变量，所以单点处的概率为0.如果题目中只给出了分布函数，且分布函数为连续函数，则单点处的概率也为0，不用讨论X 是什么类型的随机变量。

(3) {1}1{1}1{1}P X P X P X ≥=-<=-≤111(1)11(11)2.F e e --⎡⎤=-=--+=⎣⎦3. （8分）已知连续型随机变量的密度函数为1||,11()0,x x f x --<<⎧=⎨⎩其它求(1)1{2}4P X -≤<; (2)(2)F .解：由题意得到1,10()1,010,x x f x x x +-<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它(1) 1110442211{2}()()()()4P X f x dx f x dx f x dx f x dx -----≤<==++⎰⎰⎰⎰1104210(1)(1)dx x dx x dx ---=+++-⎰⎰⎰172323232=+=.(2) 法一：利用分布函数的定义直接结算：2(2){2}()F P X f t dt -∞=≤=⎰101211()()()()f t dt f t dt f t dt f t dt --∞-=+++⎰⎰⎰⎰1012110(1)(1)0dt x dt x dt dt --∞-=+++-+⎰⎰⎰⎰1=法二：利用密度函数的图像直接求面积即可。