概率统计试卷4
概率统计练习4--高考真题解答题--生物医学问题学生版
概率统计练习4——生物医学问题1.（2022·新高考Ⅱ卷T19）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）2.（2022·新高考Ⅱ卷T20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：（1）略（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（Ⅱ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；（Ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（Ⅱ）的结果给出R的估计值．3. （2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）Ⅱ若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；Ⅱ已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．4. （2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ卷））一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，()(0,1,2,3)i P X i p i ===．（1）已知01230.4,0.3,0.2,0.1p p p p ====，求()E X ；（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：230123p p x p x p x x +++=的一个最小正实根，求证：当()1E X ≤时，1p =，当()1E X >时，1p <；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．。
长安大学大二统计学专业概率论与数理统计试卷及答案 (4)
长安大学?概率论与数理统计?试题（时间120分钟）年级院系专业姓名学号座位号一、填空题〔每题3分，共15分〕1．甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为和，现目标被命中，则它是甲命中的概率是______。
2．设X和Y为两个随机变量，且，则。
3．设随机变量X与Y独立，,且，则。
4．设是来自正态总体N〔0，1〕的简单随机样本，令为使服从分布，则a=______,b=______.5．设由来自正态总体的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5，则未知数的置信度为的置信区间为______。
〔每题3分，共15分〕1．当事件A与事件B同时发生时，事件C必发生，则〔〕。
2．设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y＝min〔X，2〕的分布函数〔〕。
〔A〕是连续函数；〔B〕至少有两个间断点；〔C〕是阶梯函数；〔D〕恰好有一个间断点。
3．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X +Y ,则随机变量U与V也〔〕。
〔A〕不独立；〔B〕独立；〔C〕相关系数不为零；〔D〕相关系数为零。
4．设总体X服从正态分布，是来自X的简单随机样本，为使是的无偏估计量，则A的值为〔〕。
5．对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平下，接受假设，则在显著水平下，以下结论中正确的选项是〔〕。
〔A〕必接受；〔B〕可能接受，也可能有拒绝；〔C〕必拒绝；〔D〕不接受，也不拒绝。
三、〔此题总分值10分〕三架飞机：已架长机两架僚机，一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，一定要有无线电导航。
而只有长机有此设备。
一旦到达目的地，各机将独立进行轰炸，且每架飞机炸毁目标的概率均为。
在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空。
此时任一飞机被击落的概率为，求目标被炸毁的概率。
四、〔此题总分值10分〕使用了小时的电子管在以后的小时内损坏的概率等于，其中是不依赖于的数，求电子管在T小时内损坏的概率。
五、〔此题总分值10分〕设随机变量X与Y独立同服从参数为1的指数分布。
考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X与Y都服从正态分布，则( )A．X与Y一定独立．B．(X，Y)服从二维正态分布．C．X与Y未必独立．D．X+Y服从一维正态分布．正确答案：C解析：事实上，X与Y都服从正态分布，二者在已知条件下得不到它们之间的必然联系．(X，Y)服从二维正态分布的充分必要条件是aX+bY服从一维正态分布，其中x，b不同时为0．即使(X，Y)服从二维正态分布，X与Y也未必服从正态分布，因此选项(B)和(D)都不正确．知识模块：概率论与数理统计2．边缘分布均为正态分布的二维随机变量其联合分布( )A．必为二维正态分布．B．必为均匀分布．C．不一定为二维正态分布．D．由两个边缘分布确定．正确答案：C解析：边缘分布可由联合概率分布确定，但联合概率分布需要在诸如独立等条件下才能由边缘分布确定，因此(D)不正确．例如，如果(X，Y)的概率密度为f(x，y)=(1+sinxsiny)，一∞＜x，y＜+∞．其不服从二维正态分布，但X和Y都服从标准正态分布．知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X，Y，Z相互独立，且X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，Z服从N(3，7)，a=P{X＜Y}，b=P{Y＜Z}，则( )A．a＞b．B．a＜b．C．a=b．D．a，b大小不能确定．正确答案：A解析：由于X服从N(1，2)，Y服从N(2，2)，且X与Y相互独立，从而X 一Y服从N(一1，4)，同理Y-Z服从N(一1，9)．从而a＞b．知识模块：概率论与数理统计4．设相互独立的随机变量X1和X2的分布函数分别为F1(x)和F2(x)，概率密度分别为f1(x)和f2(x)，则随机变量Y=min(X1，X2)的概率密度f(x)=( ) A．f1(x)f2(x)．B．f1(x)F1(x)+f2(x)F2(x)．C．f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1一F1(x)]．D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)．正确答案：C解析：Y=min(X1，X2)的分布函数为FY(x)=1一[1一F1(x)][1一F2(x)]，所以fY(x)=F’Y(x)=f1(x)[1一F2(x)]+f2(x)[1-F1(x)]，因此选(C)．知识模块：概率论与数理统计5．设(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX｜Y(x｜y)为( ) A．fX(x)．B．fY(y)．(c)fX(x)fY(y)．C．．D．考查二维正态分布的独立性的判断和应用，如果(X，Y)服从二维正态分布，X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关．正确答案：A解析：由于X与Y不相关，从而X与Y独立，所以fX｜Y(x｜y)=fX(x)．知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X和Y相互独立，且都服从指数分布E(λ)，则下列结论正确的是( )A．X+Y服从E(2λ)．B．X-Y服从E(2λ)．C．min(X，Y)服从E(2λ)．D．max(X，Y)服从E(2λ)．正确答案：C解析：由于X和Y相互独立，且都服从E(λ)，其分布函数为F(x)=min(X，Y)的分布函数Fmin(x)=1-[1-F(x)]2=1—e-2λx，x＞0．即min(X，Y)服从E(2λ)．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量X与Y相互独立，且X在区间(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率分布为P{Y=0}=P{Y=1}=P{Y=2}=，记FZ(z)=的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．正确答案：B解析：因为X在区间(0，1)上服从均匀分布，显然，z=0是FZ(z)的间断点，因此选(B)．知识模块：概率论与数理统计8．设X，Y为连续型随机变量，且P{XY≤0}=，则P{min(X，Y)≤0}=( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：事件{max(X，Y)≥0}的对立事件为{X＜0，Y＜0}，由P{max(X，Y)≥0}=．又{XY≤0}{min(X，Y)≤0}，且{X＜0，Y＜0}={min(X，Y)≤0}一{XY≤0}，故P{min(X，Y)≤0}=P{X＜0，Y＜0}+P{XY≤0}=．知识模块：概率论与数理统计9．设X1，X2，…，Xn相互独立同分布，每个分布函数均为F(x)，记X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，则(X，Y)的分布函数F(x，y)当y ＞x时在(x，y)处的值为( )A．[F(x)F(y)]nB．[F(y)]n一[F(y)一F(x)]nC．[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．D．[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．正确答案：B解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y} =P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n (y＞x)．知识模块：概率论与数理统计填空题10．设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，则Z=X—Y的概率密度fZ(z)=__________。
《概率统计》期终考题(A卷)
6．若随机变量 X 的数学期望存在，则X 的方差也存在. ( )
7．样本二阶中心矩不是总体方差的无偏估计. ( )
8．假设检验中，样本容量确定时，犯弃真错误和取伪错误的概率不能同时减小. ( )
(2) 求铅中毒患者脉搏均值的0.95的置信区间.
以下分位数全部为下侧?--分位数：
?(0.50)=0.6915; ?(0.55)=0.7088; ?(1.00)=0.8413; ?(1.05)=0.8531; ?(1.65)=0.95;
?(1.95)=0.9744; ?(1.96)=0.9750; ?(2.00)=0.9772; ?(2.05)=0.9798; ?(3)=0.9987;
2. (15分) 设二维随机变量( X, Y )的联合密度函数为：
试求 (1) 系数c； (2) X和Y各自的边缘密度函数；
(3) P( X<Y ) ； (4) X与Y相互独立吗？为什么？
3. (10分) 某工厂有100台机器，各台机器独立工作，每台机器的开工率为0.8，工作时各需要1kw电力，问供电局至少要供应多少电力，才能以97.5%的把握保证正常生产？
()； ().
3. 人的体重为随机变量，，，10个人的平均体重记为，则 .
()； ()；
()； ().
4. 设的联合概率密度为
则与为 的随机变量.
2．如果P(A) = P(B) = 0.5, 则P( AB ) = P(). ( )
3．设 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的次数为X, 则 4 n 次独立重复试验中，A出现的次数为 4 X. ( )
4．如果随机变量 X ? N ( ? , ?2 ), 则 (? ?X) /? ? N (0, 1) . ( )
江西师范大学大一公共课专业概率统计考试试卷及参考答案4
江西师范大学概率统计考试试卷及参考答案4一、单项选择题（5’）1.如图所示：答案：D2.如图所示：答案：A3.如图所示：答案：B4.如图所示：答案：A5.如图所示：答案：B6．设事件A和B为两个随机事件，且已知AP=BAP，则()⋃PB=()(=,7.08.0)),5.0(P AB可能为（）。
A．0B．0.4C．0.2D．1/4答案：B7．从0、1、2···9这10个数字中，任意选出三个不同的数字，则3个数字中不含0和5的概率为（）。
A．0B ．1C ．157D ． 158答案：C8．在1-9的整数中可重复地随机取6个数字组成一个六位数，则六个数中不含奇数的概率为（）。
A ．0B ．6694C ．1D ．94答案：B9．设A ，B 为任意两个事件，且0)(,>⊂B P B A ，则下列选项必然成立的是（）。
A ．)()(B A P A P <B ．)()(B A P A P ≤C ． )()(B A P A P >D ． )()(B A P A P ≥ 答案：B 10. 如图所示：答案：B11. 如图所示：答案：A12. 如图所示：答案：B13. 在假设检验中，一般情况下（）错误。
A、只犯第一类B、只犯第二类C、既可能犯第一类也可能犯第二类D、不犯第一类也不犯第二类答案：C14. 下列说法正确的是（）。
A、如果被择假设是正确的，但作出的决策是拒绝被择假设，则犯了弃真错误B、如果被择假设是错误的，但作出的决策是接受被择假设，则犯了采伪错误C、如果零假设是正确的，但作出的决策是接受被择假设，则犯了弃真错误D、如果零假设是错误的，但作出的决策是接受被择假设，则犯了采伪错误答案：C15. 检验的显著性水平是（）。
A、第一类错误概率B、第一类错误概率的上界C、第二类错误概率D、第二类错误概率的上界答案：B16. 如图所示：答案：C17.如图所示：答案：B18. 假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（）。
概率统计试题及答案(本科完整版)
填空题（每题2分，共20分）A1、记三事件为A ，B，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 .A3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__⋃==。
A4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。
A5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >，必有概率{}P c x c e <<+ ＝⎧+<⎪⎪-⎨-⎪+>⎪-⎩e,c e b b a b c ,c e b b aA6、设X 服从正态分布2(,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) .A7、设1128363X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝，＝，则 A8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。
则X 的数学期望=)(X E 4.5 。
A9、设随机变量(,)X Y 的分布律为则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 .A10、设121,,X X 来自正态总体)1 ,0(N , 2129285241⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数k =1/4 时，kY 服从2χ分布。
A 二、计算题（每小题10分，共70分）A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率（2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则:P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=⋅⋅=⨯⨯=ABC ABC ABC()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....⋃⋃=-=-⨯⨯= ()()()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+++=A2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。
概率论与数理统计试卷4
《概率论与数理统计》试卷4一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知随机变量X 的分布函数为F (x )=A +B arctan x ，则A =____，B =____，概率密度函数f (x )=_ _________.2. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P {|X －Y | ≥ 6}≤ .3. 设X 1，X 2，X 3，X 4是来自正态总体N (0, 32)的简单随机样本，X = a (X 1－2X 2)2＋b (3X 3－4X 4)2.则当a = ，b = 时，统计量X 服从χ2分布，其自由度为 .4. 设总体X~),(2σμN ，则~)1(22σS n -_ _分布, E (S 2) =__ _，D (S 2)=_ _.5. 设随机变量X ，Y 相互独立都服从正态分布)3,0(2N ，而X 1, X 2,…,X 9和Y 1, Y 2,…, Y 9分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量922221921Y Y Y X X X U ++++++=服从_ _ _分布，参数为_ __.二、选择题（每小题3分，共15分）1． 已知X 服从参数为n , p 的二项分布且() 3.6E X =，2()14.4E X =，则n , p 的值分别为 ( )(A) 6, 0.6 (B) 12, 0.3 (C) 36, 0.1 (D) 24, 0.152． 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1), 则( )(A) P {X +Y ≤0}=0.5 (B) P {X +Y ≤1}=0.5 (C) P {X -Y ≤0}=0.5 (D) P {X -Y ≤1}=0.53． 设随机变量X ，Y 都服从标准正态分布，则（ ） （A ）X +Y 服从正态分布 （B ）X 2+Y 2服从χ2分布（C ）X 2和Y 2都服从χ2分布 （D ）X 2/Y 2服从F 分布4． 设两个随机变量X 与Y 相互独立同分布：P {X = －1} = 0.5，P {X= 1}= 0.5，则下列各式成立的是（ ）（A ） P {X = Y } = 0.5 （B ）P {X =Y } = 1（C ）P {X ＋Y = 0} = 0.25 （D ）P {X Y = 1} = 0.255． 设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体N (0，1)的简单随机样本，X 、S 分别是样本的均值和样本标准差，则有（ ）（A ）~(0,1)nX N （B ）~(0,1)X N （C ）~(1)Xt n S - （D ）221~()ni i X n χ=∑ 三、（10分）某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为p （0 < p < 1），射击进行到击中目标两次时为止.令X 表示第一次击中目标时的射击次数，Y 表示第二次击中目标时的射击次数，试求X 、Y 的联合分布列p ij ，条件分布列p i |j , p j |i 及条件期望E {X |Y = n }. 四、（15分）某种电子仪器由甲乙两部件构成，以X ，Y 分别表示甲乙两部件的寿命（以小时计）.已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5()1e e e , 0,0(,)0, x y x y x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其它(1) 关于X ，Y 的边缘分布函数F X (x )及F Y (y )； （2）问X 和Y 是否相互独立，为什么？（3）求X 与Y 的联合概率密度f (x , y )； （4）计算两个部件的寿命都超过100小时的概率.五、（10分）某单位内部有260部电话分机，每个分机有4％的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互独立的，问总机要备有多少条外线才能以95％的把握保证各个分机在用外线时不必等候.( Φ (1.65)=0.9505 Φ (1.64)=0.9495 )六、（10分）某化工厂的产品中含硫量的百分比在正常情形下服从正态分布N (μ, σ 2).为了知道设备经过维修后产品中平均含硫量的百分比μ是否改变，测试了9个产品，它们含硫量的百分比的均值和方差分别为： 4.364 0.054x s ==，试求 （1） μ的置信水平为0.9的置信区间；（2） 能否认为含硫量的百分比显著小于 4.55？（显著性水平α＝0.05）七、（10分）设某种商品每年的需求量X （以万吨计）服从[2, 4]上的均匀分布，设每售出1吨这种商品可以获利3万元，假设销售不出而囤积于仓库，则每吨需要花费1万元保管费，问需要组织多少货源，才能使商店获得的期望利润最大.八、（15分）设X 1, X 2, …, X n 是取自下列指数分布的一个样本，1e , 0()0 , 0x x f x x θθ-⎧≥⎪=⎨⎪<⎩(1) 试求θ的矩估计量ˆθ；(2) 证明ˆθ是θ 的无偏、一致、有效估计.参考答案： 一、填空题1. 1/2 ，1/π， 1/π (1+x 2)2. 1/123. 1/45，1/225，24. χ2, σ 2, 2σ4/ (n -1)5. t , 9 二、选择题1. A2. B3. C4. A5. D 三、解：据题意知P ij = P {X = i , Y = j } = p 2q j －2, 1 ≤ i < j = 2, 3, …其中q =1－p ，又2122111i j i i j i p q p p qpq q-∞--=+===-∑, i =1, 2, (1)1222211(1)j j j j j ij i i p p p q j p q ----=-===-∑∑, j =2, 3, …于是条件分布列为|11ij i j jp p p j ==- 1 ≤ i < j = 2, 3, (22)1|1j ijj i j i i i p p q p pq p pq----=== j > i , i = 1, 2, … 这时E {X |Y = n }11|11112n n i n i i nip in --=====-∑∑. 四、解：（1）F X (x )＝F X (x ，＋∝)＝0.51e , 00, x x -⎧-≥⎨⎩其它F Y (x )＝F Y (＋∝，y )＝0.51e , 00, y y -⎧-≥⎨⎩其它（2）因为 F (x ，y )＝F X (x )·F Y (y )，所以X 和Y 相互独立（3）f (x , y )＝0.5()20.25e, 0,00, x y x y F x y -+⎧>>∂=⎨∂∂⎩其它（4）P (X >100, Y >100) =0.5()100100100100(,)d d 0.25e d d x y f x y x y x y +∞+∞+∞+∞-+=⎰⎰⎰⎰=100e - 五、解：令1, 0, i i X i ⎧=⎨⎩第个分机要用外线第个分机不用外线i =1, 2, …, 260则P (X i = 1) = 0.04 = p (q =1－p = 0.96)如果260架分机中同时使用外线的分机数为X ，显然有X 2601i i X ==∑据题意是要求确定最小的整数x ，使得P (X < x ) ≥ 0.95成立.因为n = 260较大，所以有P (X < x)P =<22e d t bt --∞≈其中b.查标准正态分布表，知道Φ (1.65) = 0.9505 > 0.95，故取b = 1.65，于是260x p =以 p = 0.04、q = 0.96及b = 1.65代入，即可求得x ≈ 15.61 取x = 16，所以总机要备有16条外线才能以95％的把握保证各个分机在用外线时不必等候.六、解：（1）μ的置信水平为0.1的置信区间为（0.10.122(8),(8)x x ）＝（4.297, 4.397） 假设H 0：μ ≥ μ0 = 4.55，备择假设H 1：μ <μ0 = 4.55由0.05(8)}0.05x P t <-=，查表－t 0.05(8) =－1.8595，x －10.28，故拒绝H 0，认为含硫量的百分比显著小于4.55. （t 0.1(8)=1.3968, t 0.1(9)=1.3830, t 0.05(8)=1.8595,t 0.05(9)=1.8331）七、解：设需要组织货源a 吨，商店获得的利润L (X ,a ) = 3, 3(), a X aX a X X a≥⎧⎨--<⎩X 的分布函数为1, 24()20, x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它期望利润为(,)EL X a =4214)d 3d 2aa x a x a x -+⎰⎰（=212d (2)3(4)2a x x a a a a --+-⎰2272d 132a x x a a =-+⎰令d (,)0d EL X a a=，得2a －7a ＋13 = 0，解得 a = 2.6 八、证明：（1）总体均值1()d e d xEX xf x x x x θθθ-+∞+∞-∞===⎰⎰所以θ 的矩估计量ˆθ＝11ni i X n =∑（2） 1︒ 因为E X = E 11ni i X n =∑= θ ，所以X 是θ 的无偏估计2︒ 由辛钦大数定律，对任意的ε > 0, 11lim {||}1ni n i P X n θε→∞=-<=∑,所以X是θ 的一致估计. 3︒ 先求出信息量I (θ),2log (,)1(log )f x x xθθθθθθθ∂∂=--=-+∂∂ 2222234log (,)11[()][()][2]f X X X X E E E θθθθθθθ∂=-+=-+∂223421212θθθθθθ=-+＝21()nI nθθ=222111()()n i i D X D X n n n nθθ====∑ 所以X 是θ 的有效估计.。
上海交通大学历年概率统计试卷
上海交通大学概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分: 一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( ) 4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(a) r n r r n p p C ----)1(11； (b) r n rr n p p C --)1(； (c) 1111)1(+-----r n r r n p pC ； (d) r n r p p --)1(. 2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P . (ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ； (ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.6 5. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ))(~/21n t nX -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-； (ｃ))1,0(~/21N nX -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-. 二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f则条件密度函数为,当 时 ,=)(x y f X Y5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设X 的分布律为X 1 2 3 P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数 分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率. 4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （%5=α）（2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . 问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t概 率 统 计 试 卷 参 考 答 案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ； 4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(x y x x x y f X Y ；5. ),1(m F6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分) 2. ⎩⎨⎧>=-其他0)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f yY μμ (1分)0≤z 时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分) 0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21 (2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i iXY ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分)6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze n n z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn 122-=σ令=5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量)1(~)(2202512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为 488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内， [711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分) 五、证明题 (7分) 由题设知X 0 1 Y X + 0 1 2P p qP 2q pq 2 2p (2分))0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P ；）分（2)1(2-=n n k πXYP+ZpqZ)1P；XY=P(,0)0=((2=)1=+==XPYP=+ZP；=XYZpq)0()1(=2)0,1+=(2==YP+ZX=YP；XZpqP=(2)1(=)1)1=,1+=(2=YX=+ZPY=P；XZpqP()2(=)0)0=+=,2(2=X+ZPPYY=P.XZp(3=()2()1=)1=,2=+=X+与Z相互独立. (5分) 所以Y一 是非题（请填写是或非。
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备用数据：22
0.950.950.05(3) 2.3534,(3) 6.815,(3)0.352
t χχ===
8413.0)1(=Φ ，7881.0)8.0(,9993.0)2.3(=Φ=Φ.
一、填空题(18分)
1、(4分)已知5.0)(=A P ,4.0)(=B P ,6.0)|(=B A P ，则)(AB P = ，
)(B A A P ⋃= .
2、(4分)设随机变量ξ服从二项分布),4(p B ，01p <<，已知)3()1(===ξξP P ，则
=p ，)2(=ξP = .
3、(6分)设随机变量X 服从参数为1的指数分布，随机变量Y 服从二项分布(2,0.5)B ，且
(,)0.5cov X Y =，则(3)E X Y -= ，(3)D X Y -= ，利用切比雪夫不等
式可得()
≥≤+-223Y X P .
4、(4分)设126,,X X X 相互独立且服从相同的分布，且1X 服从正态分布)9,0(N ，记
()()22
2
123456
T a X X b X X X cX
=+++++，其中,,a b c 为常数，且0≠abc ，当
a = ,
b = ,
c = 时，T 服从自由度为 的2χ分布.
二、(12分)甲、乙两人各自独立作同种试验，已知甲、乙两人试验成功的概率分别为0.6，0.8. (1) 求两人中只有一人试验成功的概率；
(2) 在已知甲乙两人中至少有一人试验成功的情况下，求甲成功但乙未成功的概率。
三、(12分)设随机变量)4,1(~N ξ,)9,0(~N η,且ξ与η的相关系数2
1-=ξηρ. 记3
2
η
ξ
+
=Z .求(1))(Z E ，)(Z D ；(2)),(Cov Z ξ.
四、(12分)假设二维随机变量(,)X Y 服从矩形 }10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀
分布. 记01X Y U X Y ≤⎧=⎨
>⎩若若, 0212X Y
V X Y
≤⎧=⎨>⎩若若,
(1)求),(V U 的联合概率函数； (2)求概率)1(22≤+V U P .
五、(12分)设随机变量21ξξ与相互独立, 它们均服从标准正态分布.记
211ξξη+=,212ξξη-=.可以证明：(1η，2η)服从二维正态分布.
(1) 分别求1η和2η的密度函数； (2) 求),(21ηη的联合密度函数； (3) 求概率()
22,2221≤≤-≤≤-ηηP .
六、(10分)某生产线上组装一件产品的所需时间X 服从指数分布，10)(=X E (单位：分钟)，假设组装各件产品所需时间相互独立.用中心极限定理求组装100件产品所需时间在18小时至22小时之间的概率的近似值
七、(10分)设某种新型塑料的抗压力X 服从正态分布2
(,)N μσ，现对4个试验件做压力试
验，得到试验数据(单位：10MPa)，并由此算出
4
4
21
1
32,268i
i i i x
x ====∑∑，分别求μ和σ的置
信水平0.90的双侧置信区间.
八、(14分)设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本，X 服从区间]8,8[θ+上的均匀分布，其中0>θ. θ未知.
(1)求θ的极大似然估计θˆ；(2)求θ的极大似然估计θˆ的密度函数；
(3)问：θ的极大似然估计θˆ是否为θ的无偏估计？如果是的话，给出证明；如果不是的话，将其修正为θ的一个无偏估计.。