第二章：光波的叠加与分析
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物理光学-2光波的叠加与分析201
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )
物理光学 不同频率光波的叠加与分析
合成波的光强为 I A2 4a2 cos2 (km z mt) 2a2[1 cos2(kmz mt)]
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
光的叠加与分析
光的叠加与分析光是一种电磁波，它在我们日常生活中扮演着至关重要的角色。
在自然界和科技领域，我们经常遇到光的叠加和分析现象。
这些现象对于我们理解光的本质以及应用于光学和通讯领域具有重要意义。
本文将介绍光的叠加和分析的原理、方法和应用。
光的叠加是指两个或多个光波相互叠加形成一个新的光波的过程。
光的叠加可以是波峰与波峰相遇，也可以是波峰与波谷相遇。
当两个波峰相遇时，它们形成了一个更大的波峰；而当波峰和波谷相遇时，则会相互抵消，形成一个更小的波峰。
这种光的叠加现象称为干涉，它是一项重要的光学现象。
干涉现象发生时，可以观察到一系列明暗相间的条纹，称为干涉条纹。
这些干涉条纹可以通过干涉仪来观察和分析。
干涉仪是一种专门用来观察干涉现象的仪器，它通常由一个光源、一束分束光器和一个相位差调节器组成。
当两束光线从分束光器中出射后，它们会相互干涉，并在屏幕上形成干涉条纹。
通过干涉条纹的分析，可以得出很多有关光的性质的信息。
其中一个重要的参数是相位差，即两束光线之间的相位差。
利用干涉条纹的变化可以测量相位差的变化。
这对于光学中的相位测量和干涉测量是至关重要的。
除了干涉，光的叠加还可以导致衍射现象。
衍射是指光波遇到尺寸与其波长相当的物体时发生的弯曲现象。
当光波通过一个狭缝或物体时，它会向各个方向弯曲传播，形成一系列明暗相间的衍射条纹。
这些衍射条纹也可以用于测量物体的形状和尺寸。
光的分析是指对光信号进行解析和处理的过程。
光的分析有很多不同的方法，包括光谱分析、幅度谱分析和相位谱分析等。
光谱分析是一种用来测量光波中不同频率成分的方法。
利用光谱分析仪，可以将复杂的光波分解为一系列单一频率的成分，从而得到光的频谱信息。
幅度谱分析是一种分析光波幅度特性的方法，它可以测量光波的振幅和幅度谱分布。
幅度谱分析对于光学器件的研究和光通信系统的优化至关重要。
相位谱分析是一种分析光波相位特性的方法，它可以测量光波的相位和相位谱分布。
相位谱分析对于相位调制通信和相位成像等领域有着广泛应用。
第二章 光的相干叠加
有
光学
∫1 τ cos ∆ϕdt = cos ∆ϕ ，因而
τ0 I = A1 + A22 + 2 A1A2 cos ∆ϕ （2.1.6）
一般情况下， I ≠ I1 + I2
两列波在空间不同的位置有不同的相位差，叠加后，由于 2A1 A2 cos ∆ϕ 取
不同的值，将会有不同的强度，即出现干涉现象。因而，
注意，亮条纹的 0 级在中心处，而暗条纹如果也要对称分布的话，应该有
x′ = ( j − 1 ) D λ ， j = 1,2,3 ， x′ = ( j + 1 ) D λ ， j = −1,−2,−3 。
2d
2d
间距由 kd ∆x′ = π 决定，为 2D
∆x′ = D λ （2.2.10） d
光学
变，由于 cos ∆ϕ 在（-1，+1）随机取值，则有
∫τ cos ∆ϕdt = 0 0
即 I = A12 + A22 = I1 + I 2 （2.1.5）
是两列光的强度简单相加，这就是我们通常观察到的现象。普通的光之间是 没有干涉的。
2．如 ∆ϕ = ϕ 2 −ϕ1 在观察时间内不随时间改变，而是一个稳定的数值，则
2A1 A2 cos ∆ϕ （2.1.7）
被称为干涉项。
∆ϕ 只与空间位置有关，即不同的空间点具有不同的相位差，因而有不同的
干涉项的数值。
（a） ∆ϕ = 2 jπ 时， cos ∆ϕ = 1
I = A12 + A22 + 2 A1 A2 = ( A1 + A2 )2 > I1 + I 2 ，光强取最大值，称作干涉相长。
正如前面说指出的，由于测量仪器的响应时间比光波的振动周期大许多，光 强的测量值实际上是光波的能流密度在一定时间内（即仪器响应时间内）积累强
光学
∫1 τ cos ∆ϕdt = cos ∆ϕ ，因而
τ0 I = A1 + A22 + 2 A1A2 cos ∆ϕ （2.1.6）
一般情况下， I ≠ I1 + I2
两列波在空间不同的位置有不同的相位差，叠加后，由于 2A1 A2 cos ∆ϕ 取
不同的值，将会有不同的强度，即出现干涉现象。因而，
注意，亮条纹的 0 级在中心处，而暗条纹如果也要对称分布的话，应该有
x′ = ( j − 1 ) D λ ， j = 1,2,3 ， x′ = ( j + 1 ) D λ ， j = −1,−2,−3 。
2d
2d
间距由 kd ∆x′ = π 决定，为 2D
∆x′ = D λ （2.2.10） d
光学
变，由于 cos ∆ϕ 在（-1，+1）随机取值，则有
∫τ cos ∆ϕdt = 0 0
即 I = A12 + A22 = I1 + I 2 （2.1.5）
是两列光的强度简单相加，这就是我们通常观察到的现象。普通的光之间是 没有干涉的。
2．如 ∆ϕ = ϕ 2 −ϕ1 在观察时间内不随时间改变，而是一个稳定的数值，则
2A1 A2 cos ∆ϕ （2.1.7）
被称为干涉项。
∆ϕ 只与空间位置有关，即不同的空间点具有不同的相位差，因而有不同的
干涉项的数值。
（a） ∆ϕ = 2 jπ 时， cos ∆ϕ = 1
I = A12 + A22 + 2 A1 A2 = ( A1 + A2 )2 > I1 + I 2 ，光强取最大值，称作干涉相长。
正如前面说指出的，由于测量仪器的响应时间比光波的振动周期大许多，光 强的测量值实际上是光波的能流密度在一定时间内（即仪器响应时间内）积累强
第二章-光波的叠加与分析
2 A 2 a 1 a 2 2 a 1a 2 cosα 2 α 1 2
I I1 I 2 2 I1I 2 cosδ , δ α 2 α 1 a 1s inα 1 a 2s inα 2 tgα a 1cosα 1 a 2 cosα 2
2-1
特别地，若a1=a2=a
2-4 两个传播方向、振动方向、振幅相同， 频率不同的单色波的叠加
频率虽有差别，但差别很小，ω ωm , k k m
E1 acosk1z ω1t E 2 acosk 2 z ω 2 t
E E1 E 2 Acoskz ω t A 2 acosk m z ω m t
2-1
复数加法
E1 a 1exp iα1 ωt
E 2 a 2 exp iα 2 ωt
E E1 E 2 Aexpiα ωt A 和α 的定义与代数加法中相同
2-1
相幅矢量加法
A
a2 a1 1 x
1
2-2 两个频率相同、振动方向相同、
(2 - 45)
k m k1 k 2 2 , ω m ω1 ω 2 2
k k1 k 2 2 , ω ω1 ω 2 2
合成波波数为 k 、频率为 ω ，振幅为A 光学拍演示课件
2-4
群速度vg，对应能量的传递
（2-45）中振幅A的移动速度vg=m/km 相速度v （2-45）中相位的移动速度v= ω / k vg和v的关系
vg dω dk v kdv dk v λ dv dλ
正常色散：dv/d>0，vg<v 反常色散：dv/d<0，vg>v 无色散：dv/d=0，vg=v
I I1 I 2 2 I1I 2 cosδ , δ α 2 α 1 a 1s inα 1 a 2s inα 2 tgα a 1cosα 1 a 2 cosα 2
2-1
特别地，若a1=a2=a
2-4 两个传播方向、振动方向、振幅相同， 频率不同的单色波的叠加
频率虽有差别，但差别很小，ω ωm , k k m
E1 acosk1z ω1t E 2 acosk 2 z ω 2 t
E E1 E 2 Acoskz ω t A 2 acosk m z ω m t
2-1
复数加法
E1 a 1exp iα1 ωt
E 2 a 2 exp iα 2 ωt
E E1 E 2 Aexpiα ωt A 和α 的定义与代数加法中相同
2-1
相幅矢量加法
A
a2 a1 1 x
1
2-2 两个频率相同、振动方向相同、
(2 - 45)
k m k1 k 2 2 , ω m ω1 ω 2 2
k k1 k 2 2 , ω ω1 ω 2 2
合成波波数为 k 、频率为 ω ，振幅为A 光学拍演示课件
2-4
群速度vg，对应能量的传递
（2-45）中振幅A的移动速度vg=m/km 相速度v （2-45）中相位的移动速度v= ω / k vg和v的关系
vg dω dk v kdv dk v λ dv dλ
正常色散：dv/d>0，vg<v 反常色散：dv/d<0，vg>v 无色散：dv/d=0，vg=v
物理光学第二章光波的叠加与分析
2 变，将出现一系列的 幅振 为零的点 —波节和一系列振幅为 大最 值
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
2光波的叠加及分析
率相同、振动方向相同的 单色波的叠加 2.2 驻波 2.3两个频率相同、振动方向互相垂直 的光波的叠加 2.4 不同频率的两个单色波的叠加
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )
《物理光学》第二章 光波的叠加和分析
注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(1)、驻波波函数 假设两个简谐平面标量波的时间频率为ω，振幅分别E10 和E20，初始位相为 10 和20 ，一列波沿着z轴正向传播 另一列沿z轴负向传播，假定E10=E20= E0，即有：
E1 E0 exp i kz t 10
E2 E0 exp i kz t 20
光波叠加原理的数学基础：
2 如果光波E1 (r , t ) 和 E 2 ( r , t )都是方程 E E 的解， t 2
2
则它们的线性叠加 C1E1 (r , t ) C2 E2 (r , t ) C3 也显然是该方程
的解，并且构成一个复杂的波
微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学
（2.2.3 ） （2.2.4 ）
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos10 E20 cos 20
由以上分析得到合成波的表达式为：
E ( z , t ) | E0 | exp i kz t 0 表明：
几束简单的光波复杂的光波叠加分解一标量波和矢量波光波是横波选择传播方向为直角坐标系的z方向则矢量就变成了二维矢量可将之分解为xy方向的分量是矢量光波本质上是矢量波若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质则这两个分量有相同的传播规律于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波则矢量波的处理变为标量波处理
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I x0 Ex y0 E y x0 Ex y0 Ey Ex I Ix Iy
2
Ey
2
所以，对于两振动方向垂直的单色波叠加 不会发生干涉现象。
2-3 利用全内反射产生椭圆偏振光
回顾，全内反射中s和p分量之间的位相差 =s-p 由折射率n、入射角1决定。调节n和 1就得到适当的，从而使互相垂直振动的s、 p分量合成为所要求的椭圆偏振光。
线偏振光 圆偏振光 菲涅耳菱体
2-3
例题：图示的菲涅耳菱体的折射率为1.5，入 射线偏振光电矢量与图面成450，问： 1. 要使从菱体射出圆偏振光，菱体的顶角φ应 为多大？ 2. 若菱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光？
线偏振光 φ φ 菲涅耳菱体 φ φ 圆偏振光
2-4 两个传播方向、振动方向、振 幅相同，频率不同的单色波的叠加
S2
E E1 E 2 Aexpiα ωt A 和α 的定义与代数加法中相 同
2-1
相幅矢量加法 相幅矢量的概念： E＝a1cos(α1-ωt)的表示
A 1 a1 1 x a2 S1 r1 r2 P
S2
2-1
例题:证明当两单色波的场振动方向垂直 时,两光波不会产生干涉. 例题:N个相同振动方向的波在某点P叠 加,N个波依次相差δ,振幅同为A0,试用相 幅矢量加法求P点的合强度.
驻波的形成，合成波的表达和特点
两个同频、正交光波的振幅、位相差对形 成椭圆偏振光的影响 光学拍的形成和表达，群速和相速的关系
2-2 驻波
两个频率相同、振动方向相同、 传播方向相反的单色光波的叠加
E1 acoskz t
' E1 acoskz t δ
' E E1 E1 2 acoskz δ 2 cost δ 2
E Acost δ 2 , A 2 acoskz δ 2
ik A0 exp( 0 z )... L z L f ( z) 0.......... .......z L
例题：试求如图所示的周期性锯齿波的傅 立叶表示式。
2-5
例题：试求如图所示矩形脉冲的傅立叶分 析。
第二章 重点
用代数、复数和相幅矢量加法求两个同频 率、同振动方向的单色波的叠加，合成波 振幅、强度的表达，强度强弱条件
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 S 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振动。 代数加法
2-5
傅立叶级数定理： 具有空间角频率k的函数f（z）可以表示成 一些空间角频率为k的整数倍的简谐函 数之和，其数学形式为
A0 f ( z) ( An cos nkz Bn sin nkz) 2 n 1 2 2 An f ( z ) cos nkzdz,Bn f ( z ) sin nkzdz
E B
2-3 两个频率相同、振动方向互 相垂直的光波的叠加
已经在前面讲过： 椭圆偏振光 几种特殊情况 左旋、右旋
主要讲的内容： 椭圆偏振光的强度 利用全反射产生椭圆和圆偏振光
2-3 椭圆偏振光的强度
矢量形式下的光强度：
I S v E 2 I E2
对于椭圆偏振光：
k k1 k 2 2 , ω ω1 ω 2 2
合成波波数为 k 、频率为 ω ，振幅为A
2-4
合成波的强度：
A2 4 a 2cos2 k m z ωm t 2 a 2 cos2k m z ωm t 1
强度时大时小的现象称为拍，由上 式可知拍频为2ωm
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E E1 E2 ... En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
1
r1 r2
P
S2
I I1 I 2 2 I1I 2 cosδ , δ α 2 α 1 t gα a 1sinα 1 a 2sinα 2 a 1cosα 1 a 2 cosα 2
2-1
特别地，若a1=a2=a
A 2 4 a 2 cos2 δ 2 δ α 2 α 1 k(r2 r1 ) 2 n(r2 r1 ) λ 0 δ 2 λ 0 I A 2 4 I 0 cos2 δ 2
0
0
2-5
傅立叶积分定理： 当非周期函数f（z）满足一定条件时，其 可以用以下积分来表 exp( ) dk ikz
其中：A( k )
f ( z ) exp(ikz) dz
2-5
例题：一光波波列有如下函数形式，试写 出它的傅立叶分解的强度分布。
E1 a 1 coskr t a 1 cosα 1 t 1 E E1 E 2 Acosα t E 2 a 2 coskr2 t a 2 cosα 2 t
2 A 2 a 1 a 2 2 a 1a 2 cosα 2 α 1 2
频率虽有差别，但差别很小， E1 acosk1z ω1t E 2 acosk 2 z ω 2 t
A 2 acosk m z ω m t
E E1 E 2 Acoskz ω t
(2 - 45)
k m k1 k 2 2 , ω m ω1 ω 2 2
d (kv p ) dvp d vp k dk dk dk dvp dk vp dvp d
k
2
, v g v p k
正常色散：vg<vp。 反常色散： vg>vp 。
2-5 光波的分析
任意多个同频率单色波叠加，合成波为 该频率单色波 不同频率单色波叠加，合成波为非单色 复杂波 提示：任意复杂波可以分解为不同频率 单色波的叠加 分解的办法：1）周期复杂波用傅立叶级 数，2）非周期复杂波用傅立叶变换
2-4 群速度和相速度
E 2 acos k m z ωm t coskz ωt
相速度：等相面的传播速度。 群速度：等幅面的传播速度。
kz ωt const
vp / k
v g m / k m k
km z m t const
2-4
v g m / k m k
S2 r2 S1 r1 P
光程差=n(r2-r1)，可见， 不同的地方， 光强亦不相同。这种叠加区出现光强度 强弱的稳定分布的现象，称为光的干涉， 产生干涉的光波称为相干光波，光源称 为相干光源。
2-1
复数加法
S1 r1 r2 P
E1 a1expiα1 ωt
E 2 a 2expiα 2 ωt
合成波E是一个振幅A随空间位置变化的 简谐波，即驻波
2-2
波节：振幅为零的地方（A=0） 波腹：振幅最大的地方（A=1） 相邻波节或波腹的距离z
kz δ 2 π k z π z λ 2
波节两边的振动反相
2-2
维纳实验证明了 驻波的存在 相邻波腹的间 隔为/2 对乳胶起作用 的是电矢量而不是磁矢量 驻波的应用 激光谐振腔 波导中入射光与反射光的叠加
2
Ey
2
所以，对于两振动方向垂直的单色波叠加 不会发生干涉现象。
2-3 利用全内反射产生椭圆偏振光
回顾，全内反射中s和p分量之间的位相差 =s-p 由折射率n、入射角1决定。调节n和 1就得到适当的，从而使互相垂直振动的s、 p分量合成为所要求的椭圆偏振光。
线偏振光 圆偏振光 菲涅耳菱体
2-3
例题：图示的菲涅耳菱体的折射率为1.5，入 射线偏振光电矢量与图面成450，问： 1. 要使从菱体射出圆偏振光，菱体的顶角φ应 为多大？ 2. 若菱体折射率为1.49，能否产生圆偏振光？
线偏振光 φ φ 菲涅耳菱体 φ φ 圆偏振光
2-4 两个传播方向、振动方向、振 幅相同，频率不同的单色波的叠加
S2
E E1 E 2 Aexpiα ωt A 和α 的定义与代数加法中相 同
2-1
相幅矢量加法 相幅矢量的概念： E＝a1cos(α1-ωt)的表示
A 1 a1 1 x a2 S1 r1 r2 P
S2
2-1
例题:证明当两单色波的场振动方向垂直 时,两光波不会产生干涉. 例题:N个相同振动方向的波在某点P叠 加,N个波依次相差δ,振幅同为A0,试用相 幅矢量加法求P点的合强度.
驻波的形成，合成波的表达和特点
两个同频、正交光波的振幅、位相差对形 成椭圆偏振光的影响 光学拍的形成和表达，群速和相速的关系
2-2 驻波
两个频率相同、振动方向相同、 传播方向相反的单色光波的叠加
E1 acoskz t
' E1 acoskz t δ
' E E1 E1 2 acoskz δ 2 cost δ 2
E Acost δ 2 , A 2 acoskz δ 2
ik A0 exp( 0 z )... L z L f ( z) 0.......... .......z L
例题：试求如图所示的周期性锯齿波的傅 立叶表示式。
2-5
例题：试求如图所示矩形脉冲的傅立叶分 析。
第二章 重点
用代数、复数和相幅矢量加法求两个同频 率、同振动方向的单色波的叠加，合成波 振幅、强度的表达，强度强弱条件
n
内容
2-1 两个频率相同、振动方向相同的单 色光波叠加； 2-2 驻波； 2-3 两个频率相同、振动方向垂直的光 波叠加； 2-4 不同频率的两个单色波叠加； 2-5 光波的分析。
2-1 两个频率相同、振动方向相同 的单色光波叠加
研究对象：频率相同、振动方 S 向相同，P点光波相遇区域 任一点，求在P点的光振动。 代数加法
2-5
傅立叶级数定理： 具有空间角频率k的函数f（z）可以表示成 一些空间角频率为k的整数倍的简谐函 数之和，其数学形式为
A0 f ( z) ( An cos nkz Bn sin nkz) 2 n 1 2 2 An f ( z ) cos nkzdz,Bn f ( z ) sin nkzdz
E B
2-3 两个频率相同、振动方向互 相垂直的光波的叠加
已经在前面讲过： 椭圆偏振光 几种特殊情况 左旋、右旋
主要讲的内容： 椭圆偏振光的强度 利用全反射产生椭圆和圆偏振光
2-3 椭圆偏振光的强度
矢量形式下的光强度：
I S v E 2 I E2
对于椭圆偏振光：
k k1 k 2 2 , ω ω1 ω 2 2
合成波波数为 k 、频率为 ω ，振幅为A
2-4
合成波的强度：
A2 4 a 2cos2 k m z ωm t 2 a 2 cos2k m z ωm t 1
强度时大时小的现象称为拍，由上 式可知拍频为2ωm
第二章：光波的叠加与分析
杨振宇
本章研究频率相同、或相差很小的单色 光波的叠加； 任何复杂的光波都能分解为一组单色光 波之和； 光波服从叠加原理：在线性介质中，几 个光波在相遇点的合振动是各个光波单 独产生的振动的矢量和； E E1 E2 ... En 光波的分析：傅立叶级数定理、傅立叶 积分定理。
1
r1 r2
P
S2
I I1 I 2 2 I1I 2 cosδ , δ α 2 α 1 t gα a 1sinα 1 a 2sinα 2 a 1cosα 1 a 2 cosα 2
2-1
特别地，若a1=a2=a
A 2 4 a 2 cos2 δ 2 δ α 2 α 1 k(r2 r1 ) 2 n(r2 r1 ) λ 0 δ 2 λ 0 I A 2 4 I 0 cos2 δ 2
0
0
2-5
傅立叶积分定理： 当非周期函数f（z）满足一定条件时，其 可以用以下积分来表 exp( ) dk ikz
其中：A( k )
f ( z ) exp(ikz) dz
2-5
例题：一光波波列有如下函数形式，试写 出它的傅立叶分解的强度分布。
E1 a 1 coskr t a 1 cosα 1 t 1 E E1 E 2 Acosα t E 2 a 2 coskr2 t a 2 cosα 2 t
2 A 2 a 1 a 2 2 a 1a 2 cosα 2 α 1 2
频率虽有差别，但差别很小， E1 acosk1z ω1t E 2 acosk 2 z ω 2 t
A 2 acosk m z ω m t
E E1 E 2 Acoskz ω t
(2 - 45)
k m k1 k 2 2 , ω m ω1 ω 2 2
d (kv p ) dvp d vp k dk dk dk dvp dk vp dvp d
k
2
, v g v p k
正常色散：vg<vp。 反常色散： vg>vp 。
2-5 光波的分析
任意多个同频率单色波叠加，合成波为 该频率单色波 不同频率单色波叠加，合成波为非单色 复杂波 提示：任意复杂波可以分解为不同频率 单色波的叠加 分解的办法：1）周期复杂波用傅立叶级 数，2）非周期复杂波用傅立叶变换
2-4 群速度和相速度
E 2 acos k m z ωm t coskz ωt
相速度：等相面的传播速度。 群速度：等幅面的传播速度。
kz ωt const
vp / k
v g m / k m k
km z m t const
2-4
v g m / k m k
S2 r2 S1 r1 P
光程差=n(r2-r1)，可见， 不同的地方， 光强亦不相同。这种叠加区出现光强度 强弱的稳定分布的现象，称为光的干涉， 产生干涉的光波称为相干光波，光源称 为相干光源。
2-1
复数加法
S1 r1 r2 P
E1 a1expiα1 ωt
E 2 a 2expiα 2 ωt
合成波E是一个振幅A随空间位置变化的 简谐波，即驻波
2-2
波节：振幅为零的地方（A=0） 波腹：振幅最大的地方（A=1） 相邻波节或波腹的距离z
kz δ 2 π k z π z λ 2
波节两边的振动反相
2-2
维纳实验证明了 驻波的存在 相邻波腹的间 隔为/2 对乳胶起作用 的是电矢量而不是磁矢量 驻波的应用 激光谐振腔 波导中入射光与反射光的叠加