2光波的叠加及分析
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物理光学-2光波的叠加与分析201
§2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
1. 代数加法 两光波在P点的振动可用波函数表示为： E1 = a1 cos(kr1 − ω t ) E2 = a2 cos(kr2 − ω t ) a1 , a2分别是两光波在P点的振幅。
S1 r1
y P
S2
r2
由叠加原理， P点的合振动应为两振动 的叠加： E = E1 + E 2 = a1 cos(kr1 − ω t ) + a 2 cos(kr2 − ω t ) 令α 1 = kr1，α 2 = kr2，可将上式化简为 E = a1 cos(α 1 − ω t ) + a 2 cos(α 2 − ω t )
E B
§2.2 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
1. 椭圆偏振光
当两波到达 Z轴上 P点时，振动方程为 E x = a1 cos (kz1 − ω t ) E y = a 2 cos (kz 2 − ω t )
x
S1 S2 z1
y
z
P
两波在P点处叠加后的合振动 E = x0 E x + y0 E y = x0 a1 cos(kz1 − ω t ) + y0 a2 cos(kz 2 − ω t )
讨论
2 A2 = a12 + a2 + 2a1a2 cos(α 2 − α1 )
1. 设两单色光波在P点的振幅相等：a1 = a2 = a，则合振动的强度为 I = A2 = a 2 + a 2 + 2aa cos(α 2 − α1 ) = 4a 2 cos 2 式中 I 0 = a 2，是单个光波的光强度；
入射波和反射波的波函数为： E1 = a cos ( kz +ω t ) E1′ = a cos ( kz −ω t+δ )
物理光学 不同频率光波的叠加与分析
合成波的光强为 I A2 4a2 cos2 (km z mt) 2a2[1 cos2(kmz mt)]
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
合成波的强度随时间和位置在0～4a2之间变化，这种强
度时大时小的现象称为拍。
拍频等于 2，m 即等于振幅调制频率的两倍，或等于两
叠加单色光波频率之差。一个拍的空间长度为 12 /(2 1)
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另一个 未知的光频率2。
11
12Biblioteka 132.5 光波的傅里叶分析
1．相同频率而有任意振幅和位相的单色光波 的叠加时，所得到的合成波仍然是单色光波。
2．两个不同频率的单色光波叠加起来，其结 果就不再是单色波，波形曲线不再是正弦或余 弦曲线。
3．反过来，任意一个复杂波也可以分解成一 组单色波。
2.5.1 周期性波的分析
该矩形波的傅里叶级数为：
f (z) 4 (sin kz 1 sin 3kz 1 sin 5kz )
3
5
其中第一项成为基波，它的空间角频率为
k=2π/λ，空间频率为1/λ，是基频。第二项、 第三项是三次谐波和五次谐波[空间频率 m/λ(m≥2)是谐频]。
通常用一种空间频谱图解方法来表示傅里叶 分析的结果。
合成的光波：E 2acos(kmz mt)cos(kz t)
令km z mt 常数，得： vg
, k很小时，vg
d
dk
m
km
1 2
k1 k2
k
z或 t
在时间域上：2 m
2 ：在空间域上 km
群速度和相速度之间的关系
由 vg
d
dk
可得到vg与v之间的关系(用色散表示)。
vg
d
dk
d (kv) dk
光的叠加与分析
光的叠加与分析光是一种电磁波，它在我们日常生活中扮演着至关重要的角色。
在自然界和科技领域，我们经常遇到光的叠加和分析现象。
这些现象对于我们理解光的本质以及应用于光学和通讯领域具有重要意义。
本文将介绍光的叠加和分析的原理、方法和应用。
光的叠加是指两个或多个光波相互叠加形成一个新的光波的过程。
光的叠加可以是波峰与波峰相遇，也可以是波峰与波谷相遇。
当两个波峰相遇时，它们形成了一个更大的波峰；而当波峰和波谷相遇时，则会相互抵消，形成一个更小的波峰。
这种光的叠加现象称为干涉，它是一项重要的光学现象。
干涉现象发生时，可以观察到一系列明暗相间的条纹，称为干涉条纹。
这些干涉条纹可以通过干涉仪来观察和分析。
干涉仪是一种专门用来观察干涉现象的仪器，它通常由一个光源、一束分束光器和一个相位差调节器组成。
当两束光线从分束光器中出射后，它们会相互干涉，并在屏幕上形成干涉条纹。
通过干涉条纹的分析，可以得出很多有关光的性质的信息。
其中一个重要的参数是相位差，即两束光线之间的相位差。
利用干涉条纹的变化可以测量相位差的变化。
这对于光学中的相位测量和干涉测量是至关重要的。
除了干涉，光的叠加还可以导致衍射现象。
衍射是指光波遇到尺寸与其波长相当的物体时发生的弯曲现象。
当光波通过一个狭缝或物体时，它会向各个方向弯曲传播，形成一系列明暗相间的衍射条纹。
这些衍射条纹也可以用于测量物体的形状和尺寸。
光的分析是指对光信号进行解析和处理的过程。
光的分析有很多不同的方法，包括光谱分析、幅度谱分析和相位谱分析等。
光谱分析是一种用来测量光波中不同频率成分的方法。
利用光谱分析仪，可以将复杂的光波分解为一系列单一频率的成分，从而得到光的频谱信息。
幅度谱分析是一种分析光波幅度特性的方法，它可以测量光波的振幅和幅度谱分布。
幅度谱分析对于光学器件的研究和光通信系统的优化至关重要。
相位谱分析是一种分析光波相位特性的方法，它可以测量光波的相位和相位谱分布。
相位谱分析对于相位调制通信和相位成像等领域有着广泛应用。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2 变，将出现一系列的 幅振 为零的点 —波节和一系列振幅为 大最 值
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可 得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个 物理光学第二章光波的叠加与分析
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
物理光学第二章光波的叠加与分析
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
光波的叠加
Ey Ey
a2
Ey
a1
, δ = α 2 − α1 )
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=0 Ey
0<δ<π/2 Ey
δ=π/2 Ey
π/2<δ<π Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=π
π<δ<3π/2
δ=3π/2
3π/2<δ<2π
五、光学拍 合成光波的强度随位置和时间而变化的现象） （合成光波的强度随位置和时间而变化的现象） 光学拍是由两个频率接近、振幅相同、振动方向相 同且在同一方向传播的光形成的。（图10－32）
当δ＝2mπ时， = mλ时，有 (α1 − α2 ) = 1 ∆ cos I＝I MAX = (a1 + a2 )2； I＝I MIN = (a1 − a2 )2
1 当δ＝(2m +1)π，∆＝(m + )λ，有cos(α1 − α2 ) = −1 2 ±， K （m = 0，1 ± 2， )
说明
右旋光与左旋光
1、右旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量顺 时针方向旋转。
Ey 顺时针：右旋
Ex
此时： α2 − α1) < 0 sin(
2、左旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量逆 时针方向旋转。
Ey 逆时针：左旋
Ex
此时： α2 − α1 ) > 0 sin(
椭圆形状和旋向的分析：(
（图10-30）
（三）对叠加结果的分析：（主要对象为合成的光强） 光强） 光强
2 I＝A2 a12 + a2 + 2a1a2 cos(α1 − α 2 ) ＝
合成光强的大小取决于位相差δ － δ＝α1 α 2
a2
Ey
a1
, δ = α 2 − α1 )
Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=0 Ey
0<δ<π/2 Ey
δ=π/2 Ey
π/2<δ<π Ey
Ex
Ex
Ex
Ex
δ=π
π<δ<3π/2
δ=3π/2
3π/2<δ<2π
五、光学拍 合成光波的强度随位置和时间而变化的现象） （合成光波的强度随位置和时间而变化的现象） 光学拍是由两个频率接近、振幅相同、振动方向相 同且在同一方向传播的光形成的。（图10－32）
当δ＝2mπ时， = mλ时，有 (α1 − α2 ) = 1 ∆ cos I＝I MAX = (a1 + a2 )2； I＝I MIN = (a1 − a2 )2
1 当δ＝(2m +1)π，∆＝(m + )λ，有cos(α1 − α2 ) = −1 2 ±， K （m = 0，1 ± 2， )
说明
右旋光与左旋光
1、右旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量顺 时针方向旋转。
Ey 顺时针：右旋
Ex
此时： α2 − α1) < 0 sin(
2、左旋光：迎着光的传 播方向观察，合矢量逆 时针方向旋转。
Ey 逆时针：左旋
Ex
此时： α2 − α1 ) > 0 sin(
椭圆形状和旋向的分析：(
（图10-30）
（三）对叠加结果的分析：（主要对象为合成的光强） 光强） 光强
2 I＝A2 a12 + a2 + 2a1a2 cos(α1 − α 2 ) ＝
合成光强的大小取决于位相差δ － δ＝α1 α 2
《物理光学》第二章 光波的叠加和分析
注意
波的叠加不是强度的叠加，也不是振幅的简单相 加，而是振动矢量的叠加
一、 同向传播的平面波的叠加
假设有两个简谐平面波，其时间频率为ω相同，振幅分别为E10和E20，初始位
相分别为10 和 20 ，振动方向平行，传播方向沿着 z 轴，它们被表示为：
E1 E10 exp i kz t 10 E2 E20 exp i kz t 20
(1)、驻波波函数 假设两个简谐平面标量波的时间频率为ω，振幅分别E10 和E20，初始位相为 10 和20 ，一列波沿着z轴正向传播 另一列沿z轴负向传播，假定E10=E20= E0，即有：
E1 E0 exp i kz t 10
E2 E0 exp i kz t 20
光波叠加原理的数学基础：
2 如果光波E1 (r , t ) 和 E 2 ( r , t )都是方程 E E 的解， t 2
2
则它们的线性叠加 C1E1 (r , t ) C2 E2 (r , t ) C3 也显然是该方程
的解，并且构成一个复杂的波
微分波动方程的解的叠加性，构成了光波叠加原理的数学
（2.2.3 ） （2.2.4 ）
E10 sin 10 E20 sin 20 0 arctan[ ] E10 cos10 E20 cos 20
由以上分析得到合成波的表达式为：
E ( z , t ) | E0 | exp i kz t 0 表明：
几束简单的光波复杂的光波叠加分解一标量波和矢量波光波是横波选择传播方向为直角坐标系的z方向则矢量就变成了二维矢量可将之分解为xy方向的分量是矢量光波本质上是矢量波若光波传播的媒质对这两个方向上的分量有相同的性质则这两个分量有相同的传播规律于是任一个分量的波函数就可代表其对应的矢量波则矢量波的处理变为标量波处理
光的干涉光波的叠加与干涉现象
光的干涉光波的叠加与干涉现象光的干涉是指两束或多束光波相遇后叠加的现象。
在特定条件下，光波之间会产生干涉，使得光的强度发生变化，这种现象称为光的干涉现象。
一、光波的叠加光波是一种电磁波，当两束或多束光波相遇时，它们会产生叠加效应。
根据光波的特性，光波之间可以出现相位差，相位差的大小决定了光波叠加后的干涉效果。
二、干涉现象光波的干涉现象可以分为两种类型：构成干涉的光波来源于同一光源的相干干涉和来自不同光源的非相干干涉。
1. 相干干涉相干干涉是指两束或多束光波源来自同一光源，相位关系固定，波长相同，频率相同，振动方向相同。
在这种情况下，光波的叠加会产生明暗交替的干涉条纹。
相干干涉主要有两种类型：等厚干涉和薄膜干涉。
2. 非相干干涉非相干干涉是指来自不同光源的光波相遇后叠加。
由于光源的相位关系不固定，干涉效果不稳定，产生的干涉条纹呈现随机性。
非相干干涉常见的例子有自然光的干涉和多光束干涉。
三、光的叠加原理光的叠加主要遵循两个基本原理：波动原理和叠加原理。
1. 波动原理根据波动原理，波峰与波峰相遇会发生叠加，产生亮度增强的现象，称为增强干涉；波峰与波谷相遇会发生互相抵消的现象，称为减弱干涉。
2. 叠加原理叠加原理指出，当两束或多束光波相遇时，它们的位移矢量分别相加得到新的位移矢量。
根据位移矢量的大小和方向，可以决定光波的相位差和干涉模式。
四、光的干涉现象的应用光的干涉现象在很多领域中都有重要的应用。
以下是几个常见的应用：1. 干涉测量光的干涉测量可以用于测量非常小的长度或形状的变化，如薄膜厚度、光学元件的形状等。
干涉测量通过测量干涉条纹的位置或形状来确定被测物体的参数。
2. 干涉显微术干涉显微术是一种高分辨率的显微术，它利用光的干涉原理来观察并测量微小物体的形状、粗糙度等参数。
干涉显微术在生物学、材料科学等领域中有广泛的应用。
3. 干涉光纤传感干涉光纤传感技术利用光的干涉现象来实现对温度、压力、湿度等物理量的测量。
光波的数学表述及叠加原(2)_OK
4
2E
1 c2
2E t 2
设波长为λ，传播方向为 z，则上式的解为：
Ε E0 cos2 (z ct) / a
E0 cos(kz t) a
k 2 / , kc
定义一矢量 k，其大小等于k，方向为波的传播方
向，则可推广到任意方向传播的波。
r xex ye y zez 是空间任一点的位置矢量
1 2
r 2 (rE) c2 t 2 (rE)
13
2 r 2
(rE )
1 c2
2 t 2
(rE )
该方程的解为
E(r,t) (1/ r) Aexp i(k r a)exp( it)
U (k r) exp( it)
式中A是一个常数
讨论：1、k r 常数的面是等振幅面，对于单色
光，它同时也是等相面，都是球面
0 0
2E t 2
1 c2
2E t 2
E E0 exp[i(k r a t)] E E0 exp[i(kr a t)]
k' / v, v 1/ 0r 0r c / rr
23
4、在介质中的参量
光波的传播速度 v c / rr c / n
光波的角波数 光波的波长
介质的折射率
k / v /(c n) nk
第二章 光波的数学表述 及叠加原理
1
§2.1 光波及其数学表述，单色平面波
一、简谐波(simple harmonic waves)的表达式
y(z,t) Acos(kz t) a
角波数 k 2 / 即2π长度内所含的
波长数目。
λ 为波动的波长，即具有同一振动相位的空
间两相邻点之间的距离。
ν为频率，即单位时间内振动的次数。
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率相同、振动方向相同的 单色波的叠加 2.2 驻波 2.3两个频率相同、振动方向互相垂直 的光波的叠加 2.4 不同频率的两个单色波的叠加
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )
tg a2
a1
tg b2
b1
a12 a22 b12 b22
由 b1、 b2及β→a1、a2、δ、α、χ
2.3.2 几种特殊情况 1. =±2kπ (k=0,1,2…) 2. =±(2k+1)π (k=0,1,2…) 3. =±(2k+1)π/2 (k=0,1,2…)
E
y
a2 a1
Ex
直线方程
Ey
a2 a1
Ex
直线方程
( Ex )2 ( E y )2 1
a1
a2
标准椭圆方程,主 轴与坐标轴重合
若a1 = a2，则为圆偏振光
4. ≠0、π , ≠±π/2
( Ex )2 ( E y )2 2Ex E y cos sin2
Ax
Ay
Ax Ay
一般椭圆方程
=0
0 < <π/2
=π/2
例1. 设两列同频率的相干平面波k1、k2均在xz平面内,
且从xy平面法线异侧入射,入射角分别为θ1和θ2,分析
xy平面的干涉图样.
x
解:此时有
1
2
1,2
2
2 , 1
2
2
在z=0的平面,其复振幅:
k2
α2
θ1
α1 z
θ2 o
k1
E1(r) A1 exp[i(kx cos1 01)] A1 exp[i(kx sin1 01)] E2(r) A2 exp[i(kx cos2 02)] A2 exp[i(kx sin2 02)]
π/2< <π
=π
π< <3π/2
=3π/2
3π/2< <2π
2.3.3 右旋与左旋
1.右旋光:迎着光的 传播方向观察,合矢 量顺时针方向旋转.
此时：sin(2 1) 0
2.左旋光:迎着光的 传播方向观察,合矢 量逆时针方向旋转.
此时：sin(2 1) 0
Ey 顺时针：右旋 Ex
F(x,y)
F’(x’,y’)
Q
a
O
k1 θ2
z
k2
解: 1)后焦面F’上为两束平行光干涉，条纹间距为：
x
sin1 sin2
f
a
F(x,y)
Q
a
O
条纹形状为平行于y ’轴与O，Q 点连线正交的 一组平行条纹
F’(x’,y’)
k1 θ2
z
k2
当接收屏幕移动时，由于平行光束的倾角不变，所以 条纹形状，间隔，取向均不变；但条纹总体上发生平 移.当点源Q在x轴上方，且屏幕移远时，条纹向下方 移动.在屏幕远离透镜过程中，两光束的 交叠区也随 之减小，将使条纹数目降低.
xy平面的光强分布:
I(x, y) I1 I2 2 I1I2 cos[k(sin1 sin2)x 02 01]
干涉条纹的间距:
k(sin1 sin2 )x 2
y
x
sin1 sin2
x
dx
干涉图样在x、y方向的空间频率分别为:
fx
s in1
sin2
,
f
y
0,
相应的空间周期为:
dx
A2 a12 a22 2a1a2 cos(1 2) tg a1 sin1 a2 sin2 a1 cos1 a2 cos2
合成的光强: I＝A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2)
合成的光强取决于相位差=α1-α2
1
2
k1r1
k2r2
2
n(r1
r2 )
2
Δ=n(r1-r2)为光程差
＝(22mm 1)
I Imax m 0,1,2 I Imin
＝
m
(2m
1)
2
I Imax
I
m Imin
0,1,2
2.2.2 复数方法
E1 a1 exp[i(1 t)]
E2 a2 exp[i(2 t)]
E＝E1＋E2＝a1 exp[i(1 t)]＋a2 exp[i(2 t)]
2.3.1 椭圆偏振光
两频率相同的单色 光源s1、s2在z轴上 的任一点P相遇,两 光波的振动方程为:
s1 s2
y xP
z
z2
z1
Ex＝a1 cos(kz1 t)
E y＝a2 cos(kz2 t)
P点的合振动为:
E＝xoa1 cos(1 t )＋yoa2 cos(2 t ) 1 kz1 2 kz2
sin1
sin2
,d
y
,
xy平面的干涉条纹是一族与y轴平行间距为
d的等宽直线;若两束光从法线同侧入射,只需把
fx、dx中的”+”号换成”-”号,即两平行光束的 夹角越小,则形成的干涉条纹的间距越大.
讨论: x
sin1 sin2
x
1 2 0, dmax , fmin 0
y
dx
1
2
2
, dmin
合振动的大小和方向随时间变化,合振动矢量末 端运动轨迹方程为:
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos(2 1) sin2(2 1)
Ey
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
2a2
α
β
Ex
O
椭圆长轴与x轴的夹角β:
tg 2
2a1a2 a12 a22
例4. 三束同频率的平面波在原点的初相相同,振幅比
为E1:E2:E3=1:2:1,传播方向在xz面内,求z=0平面上光
强的相对分布.
x
解: E1 Aexp(ikxsin )
k1
E2 2A
E3 Aexp(ikxsin )
θ
k2
θ
z
k3
在z=0的平面,其光强分布:
E E1 E2 E3 2A[1 cos(kx sin )]
解:两平行光的 干涉场， 其条纹间距公式为：
xy
k1
x
sin1 sin2
θ
θ
z
k2
2 sin1
1).当θ1=5°时Δx1=632.8/2×sin5°≈3.63μm. 相应的空 间频率f1=1/ Δx1 ≈276线/mm. 2).当θ1=30°时Δx2=632.8/2×sin30°≈0.63μm. 相应的 空间频率f2=1/ Δx2 ≈1580线/mm.
2.介质对光波电磁场作用的线性(入射光强较弱时成立) 注意几个概念：
1.叠加结果为光波振幅的矢量和,而不是光强的和.
2.光波传播的独立性:两个光波相遇后又分开,每个光 波仍然保持原有的特性(频率、波长、振动方向、传 播方向等).
3.叠加的合矢量仍然满足波动方程,一个实际的光场是 许多个简谐波叠加的结果. 2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
2.3.5.偏振片的光强响应
1.椭圆偏振光
设正交分量投影的振幅 为Axp及Ayp,
偏振片透振方向与x 轴成θ 角,透射光强为:
2a2
Ey
P
Ayp Axp
θ
Ex
O
2a1
I Ax2p cos2 Ay2p sin2 2Axp Ayp cos sin cos
2
,I
IM
cos2
Im
sin2
2
θ1
干涉条纹，试问两束平行光的
k1
夹角是多少？
解:两平行光的 干涉场的条纹间距为：
x
sin1 sin2
x
k2
θ2
z
θ1
sin
633
sin
0.53m
64
k1
f 1 1896m m1 x
若想获得频率f=20mm-1的干涉条纹，则：
f sin1 sin2 sin
波的叠加原理:几个波在相遇点产生的合振动是各个波
在该点产生振动的矢量和.
E E1 E2 En
n
原理表明:1.光波传播的独立性.
相邻波幅或 m=0,1,2… 波节的间距:
kz ＝(m 1 )
2
2
Δz=λ/2
2.2 .2 驻波实验
结论: 1.证实了光驻波的存在;
2.光波对乳胶起感光作 用的是电矢量.
乳胶上暗条纹的距离:
e＝ 2sin
实验证明,乳胶膜上第一暗纹不与镜面重合,而是在 离镜面1/4波长处,电矢量产生半波损,磁矢量不产生半 波损,起感光作用的是电矢量.
cos
tg 2
cos
2a1
tg a2
a1
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
光的偏振态由a1、a2、δ完全
确定,易测的是长轴 b1、短轴 b2及长轴与Ex的夹角β
2a2
Ey
χ
β
Ex
O
2a1
tg2 tg2 cos sin2 sin2 cos 五个方程联立:
E＝[a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 )]exp(it) Aexp(i )＝a1 exp(i1)＋a2 exp(i2 ) E＝Aexp(i)exp(it) Aexp[i( t)]
A2 [ Aexp(i )][ Aexp(i )]
结果：I A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2) Aexp(i )＝a1 cos1＋a2 cos2 i(a1 sin1＋a2 sin2 )
tg a2
a1
tg b2
b1
a12 a22 b12 b22
由 b1、 b2及β→a1、a2、δ、α、χ
2.3.2 几种特殊情况 1. =±2kπ (k=0,1,2…) 2. =±(2k+1)π (k=0,1,2…) 3. =±(2k+1)π/2 (k=0,1,2…)
E
y
a2 a1
Ex
直线方程
Ey
a2 a1
Ex
直线方程
( Ex )2 ( E y )2 1
a1
a2
标准椭圆方程,主 轴与坐标轴重合
若a1 = a2，则为圆偏振光
4. ≠0、π , ≠±π/2
( Ex )2 ( E y )2 2Ex E y cos sin2
Ax
Ay
Ax Ay
一般椭圆方程
=0
0 < <π/2
=π/2
例1. 设两列同频率的相干平面波k1、k2均在xz平面内,
且从xy平面法线异侧入射,入射角分别为θ1和θ2,分析
xy平面的干涉图样.
x
解:此时有
1
2
1,2
2
2 , 1
2
2
在z=0的平面,其复振幅:
k2
α2
θ1
α1 z
θ2 o
k1
E1(r) A1 exp[i(kx cos1 01)] A1 exp[i(kx sin1 01)] E2(r) A2 exp[i(kx cos2 02)] A2 exp[i(kx sin2 02)]
π/2< <π
=π
π< <3π/2
=3π/2
3π/2< <2π
2.3.3 右旋与左旋
1.右旋光:迎着光的 传播方向观察,合矢 量顺时针方向旋转.
此时：sin(2 1) 0
2.左旋光:迎着光的 传播方向观察,合矢 量逆时针方向旋转.
此时：sin(2 1) 0
Ey 顺时针：右旋 Ex
F(x,y)
F’(x’,y’)
Q
a
O
k1 θ2
z
k2
解: 1)后焦面F’上为两束平行光干涉，条纹间距为：
x
sin1 sin2
f
a
F(x,y)
Q
a
O
条纹形状为平行于y ’轴与O，Q 点连线正交的 一组平行条纹
F’(x’,y’)
k1 θ2
z
k2
当接收屏幕移动时，由于平行光束的倾角不变，所以 条纹形状，间隔，取向均不变；但条纹总体上发生平 移.当点源Q在x轴上方，且屏幕移远时，条纹向下方 移动.在屏幕远离透镜过程中，两光束的 交叠区也随 之减小，将使条纹数目降低.
xy平面的光强分布:
I(x, y) I1 I2 2 I1I2 cos[k(sin1 sin2)x 02 01]
干涉条纹的间距:
k(sin1 sin2 )x 2
y
x
sin1 sin2
x
dx
干涉图样在x、y方向的空间频率分别为:
fx
s in1
sin2
,
f
y
0,
相应的空间周期为:
dx
A2 a12 a22 2a1a2 cos(1 2) tg a1 sin1 a2 sin2 a1 cos1 a2 cos2
合成的光强: I＝A2＝a12 a22 2a1a2 cos(1 2)
合成的光强取决于相位差=α1-α2
1
2
k1r1
k2r2
2
n(r1
r2 )
2
Δ=n(r1-r2)为光程差
＝(22mm 1)
I Imax m 0,1,2 I Imin
＝
m
(2m
1)
2
I Imax
I
m Imin
0,1,2
2.2.2 复数方法
E1 a1 exp[i(1 t)]
E2 a2 exp[i(2 t)]
E＝E1＋E2＝a1 exp[i(1 t)]＋a2 exp[i(2 t)]
2.3.1 椭圆偏振光
两频率相同的单色 光源s1、s2在z轴上 的任一点P相遇,两 光波的振动方程为:
s1 s2
y xP
z
z2
z1
Ex＝a1 cos(kz1 t)
E y＝a2 cos(kz2 t)
P点的合振动为:
E＝xoa1 cos(1 t )＋yoa2 cos(2 t ) 1 kz1 2 kz2
sin1
sin2
,d
y
,
xy平面的干涉条纹是一族与y轴平行间距为
d的等宽直线;若两束光从法线同侧入射,只需把
fx、dx中的”+”号换成”-”号,即两平行光束的 夹角越小,则形成的干涉条纹的间距越大.
讨论: x
sin1 sin2
x
1 2 0, dmax , fmin 0
y
dx
1
2
2
, dmin
合振动的大小和方向随时间变化,合振动矢量末 端运动轨迹方程为:
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos(2 1) sin2(2 1)
Ey
E x2 a12
E 2y a22
2 Ex a1
Ey a2
cos
sin2
2a2
α
β
Ex
O
椭圆长轴与x轴的夹角β:
tg 2
2a1a2 a12 a22
例4. 三束同频率的平面波在原点的初相相同,振幅比
为E1:E2:E3=1:2:1,传播方向在xz面内,求z=0平面上光
强的相对分布.
x
解: E1 Aexp(ikxsin )
k1
E2 2A
E3 Aexp(ikxsin )
θ
k2
θ
z
k3
在z=0的平面,其光强分布:
E E1 E2 E3 2A[1 cos(kx sin )]
解:两平行光的 干涉场， 其条纹间距公式为：
xy
k1
x
sin1 sin2
θ
θ
z
k2
2 sin1
1).当θ1=5°时Δx1=632.8/2×sin5°≈3.63μm. 相应的空 间频率f1=1/ Δx1 ≈276线/mm. 2).当θ1=30°时Δx2=632.8/2×sin30°≈0.63μm. 相应的 空间频率f2=1/ Δx2 ≈1580线/mm.
2.介质对光波电磁场作用的线性(入射光强较弱时成立) 注意几个概念：
1.叠加结果为光波振幅的矢量和,而不是光强的和.
2.光波传播的独立性:两个光波相遇后又分开,每个光 波仍然保持原有的特性(频率、波长、振动方向、传 播方向等).
3.叠加的合矢量仍然满足波动方程,一个实际的光场是 许多个简谐波叠加的结果. 2.1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
2.3.5.偏振片的光强响应
1.椭圆偏振光
设正交分量投影的振幅 为Axp及Ayp,
偏振片透振方向与x 轴成θ 角,透射光强为:
2a2
Ey
P
Ayp Axp
θ
Ex
O
2a1
I Ax2p cos2 Ay2p sin2 2Axp Ayp cos sin cos
2
,I
IM
cos2
Im
sin2
2
θ1
干涉条纹，试问两束平行光的
k1
夹角是多少？
解:两平行光的 干涉场的条纹间距为：
x
sin1 sin2
x
k2
θ2
z
θ1
sin
633
sin
0.53m
64
k1
f 1 1896m m1 x
若想获得频率f=20mm-1的干涉条纹，则：
f sin1 sin2 sin