圆的概念 公式及推导(完整版)
圆的相关概念与计算
圆的相关概念与计算圆是几何学中的一种基本图形，它在我们日常生活中随处可见，例如车轮、钟表等。
在数学中，圆有着独特的性质和计算方法。
本文将详细介绍圆的相关概念和计算方法。
一、圆的基本概念圆是由平面上和一个点为中心，到该点的距离都相等的所有点的集合。
其中，中心点称为圆心，距离称为半径。
圆的半径用字母r表示，圆心用字母O表示。
以O为圆心，r为半径的圆记作⚪O(r)。
圆的直径是圆上任意两点间的距离，直径的长度是半径的两倍。
直径用字母d表示，可用半径来计算，即d=2r。
圆的周长是圆上所有点之间的距离总和，即圆周的长度。
根据圆的定义，所有点到圆心的距离都相等，因此圆的周长可以通过半径r和π（圆周率）来计算，周长C=2πr。
圆的面积是圆内部的所有点构成的集合的大小。
我们常用πr²来表示圆的面积，其中π是一个无理数，值约为3.14159。
因此，圆的面积S=πr²。
二、圆的计算方法1. 已知半径求周长和面积当已知圆的半径r时，可以通过以下公式计算圆的周长和面积：周长C=2πr面积S=πr²例如，已知一个圆的半径为5cm，可以计算其周长和面积：周长C=2π×5=10π≈31.42cm面积S=π×5²=25π≈78.54cm²2. 已知直径求周长和面积当已知圆的直径d时，可以通过以下公式计算圆的周长和面积：周长C=πd面积S=π(d/2)²=πd²/4例如，已知一个圆的直径为8cm，可以计算其周长和面积：周长C=π×8=8π≈25.12cm面积S=π×(8/2)²=π×16/4=4π≈12.56cm²3. 已知面积求半径和周长当已知圆的面积S时，可以通过以下公式计算圆的半径和周长：半径r=√(S/π)周长C=2πr=2π√(S/π)=2√(πS)例如，已知一个圆的面积为50cm²，可以计算其半径和周长：半径r=√(50/π)≈3.99cm周长C=2π×3.99≈25.10cm三、圆的相关概念应用1. 圆的应用圆在几何学和物理学中有广泛的应用。
圆的基本知识点总结和公式
圆的基本知识点总结和公式圆是平面几何中最基本的几何图形之一。
它是由一个平面上距离固定点相等的点构成的集合。
本文将概述圆的基本定义、性质和公式，以及它在现实生活中的应用。
一、基本定义圆被定义为距离中心点固定距离的所有点的集合。
距离被称为半径（r），中心点被称为圆心（O）。
用符号表示圆。
二、圆的性质1.直径直径（d）是连接圆上两个相对点的线段，通过圆心。
它是半径的两倍，即d=2r。
2.周长周长（C）是圆上所有点到圆心的距离之和。
圆的周长公式是C=2πr，其中π（pi）表示一个圆的周长和直径之比，大约为3.14。
3.面积圆的面积（A）是圆内部的所有点的面积的总和，公式是A=πr²。
4.弧弧是圆上两个点之间的一段曲线。
圆的周长可以看作是一个完整的弧的长度。
5.扇形扇形是由圆心和两个相邻半径之间的弧形区域组成的图形。
圆的面积可以分解为若干个扇形的面积之和。
6.切线切线是从圆外一点画出的一条直线，它与圆相切于圆上一个点处。
切线与半径的长度相等。
7.圆弦圆弦是连接圆上两个点的线段。
如果一条弦穿过圆心，则被称为直径。
三、现实应用在现实生活中，圆形图案经常出现。
圆形的形状使得它非常适合用于实现运动和旋转。
以下是一些示例。
1. 轮胎轮胎是由圆形轮辋和圆形轮胎组成的。
轮胎的圆形轮廓使它可以在任何方向上旋转。
2. 模拟器游戏、飞行和汽车模拟器通常都有一个圆形的控制器。
圆形的形状使其易于操纵，可以随意改变方向。
3. 平盘秤平盘秤是一种由两个圆形盘组成的手持秤，遵循平衡原则。
当需要测量重量时，将物品放在一个盘子上，然后向另一个盘子上添加重量，直到两个盘子保持平衡。
4. 平面旋转圆形的形状也使得它非常适合在一个平面上做旋转运动。
这个概念被广泛应用于机械和电子工程，如发动机和电机。
四、结论在我们的日常生活中，圆形图案似乎无处不在。
可以想象一下，如果没有圆形，我们的许多设备和工具将无法如此有效地运作。
与其他几何形状相比，圆形的形状会导致许多有趣的性质和应用。
圆的知识点总结
圆的知识点总结圆是几何学中的基本图形之一，是指平面上的一组点，这些点到一个固定点的距离都相等。
下面将对圆的知识点进行总结。
一、基本概念：1. 圆心：圆心是圆的中心点，用字母O表示。
2. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，用字母r表示。
3. 直径：穿过圆心，且两个端点在圆上的线段称为直径，直径的长度是半径的2倍。
4. 弦：在圆上任取两点，并连接这两点的线段称为弦。
5. 弧：在圆上，弦所夹的部分叫做弧，两点所表示的角度可以表示弧的长度。
二、圆的公式：1. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π（π≈3.14），即C=2πr。
2. 圆的面积：圆的面积等于圆的半径平方乘以π，即A=πr²。
三、圆与直线的相关性质：1. 切线：切线是与圆相切且与半径垂直的直线。
切线与半径的交点是相切点。
2. 弦切角定理：在圆内部，如果一条弦与一个切线相交，那么这条弦所对的弧的两条弦所对的弧的和等于弧所对的角的度数。
3. 弧切角定理：在圆内部，如果一条弧与一个切线相交，那么该弧能够分出的两个弧所对的角的度数和等于弧所对的角的度数。
四、圆的相交关系及性质：1. 两个圆相交：当两个圆的半径之和大于两个圆心之间的距离时，两个圆相交。
2. 相交弦定理：两个相交圆的弦所夹的两个圆弧，所对的角互为补角。
3. 两个圆的外切线：当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，两个圆的外切线重合。
4. 两个圆的内切线：当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，两个圆的内切线重合。
五、圆的投影：1. 圆柱的投影：当有一个光源位于圆柱上方时，圆柱在水平面上的投影是一个同心圆。
2. 球的投影：球在投影平面上的投影是一个圆。
六、圆相关的常用公式：1. 弧长公式：L = rθ，其中L代表弧长，r代表半径，θ代表所对弧的角度。
2. 弧度制与角度制的转换：θ（角度）= π/180 × θ（弧度）。
3. 扇形面积公式：A = 1/2 × r² × θ，其中A代表扇形的面积，r代表半径，θ代表对应的圆心角的弧度数。
圆的概念公式及推导(完整版)
〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是…，通常用π表示，计算中常取为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O 相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P ＜R-r。
圆形的基础知识
圆形的基础知识一、圆形的定义圆呢，就是在一个平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线。
这个点就叫做圆心，而从圆心到圆上任意一点的距离就叫做半径。
就像我们生活中的车轮子，它基本上就是圆形的，圆心就是轮子中间的那个点，半径就是从中间那个点到轮子边缘的距离啦。
二、圆形的周长1. 计算方法圆的周长计算公式是C = 2πr或者C = πd。
这里面的C就是周长啦，r是半径，d是直径（直径就是半径的两倍哦，也就是d = 2r），π呢，是一个无限不循环小数，通常我们取3.14来计算。
比如说，一个圆的半径是3厘米，那它的周长就是2×3.14×3 = 18.84厘米。
这就好像我们用一根绳子去绕这个圆一圈，绳子的长度就是这个圆的周长。
2. 生活中的例子在生活中，我们计算圆形花坛的围栏长度就会用到这个公式。
假如花坛的半径是5米，那围栏的长度就是2×3.14×5 = 31.4米，这样我们就能知道需要买多长的围栏材料啦。
三、圆形的面积1. 计算方法圆的面积公式是S = πr²。
比如说一个圆的半径是4厘米，那它的面积就是3.14×4² = 3.14×16 = 50.24平方厘米。
这个公式是怎么来的呢？其实是把圆转化成近似的长方形推导出来的，不过这有点复杂，我们只要记住这个公式就好啦。
2. 生活中的应用比如我们要给一个圆形的餐桌铺上桌布，就需要先算出餐桌的面积，然后买合适大小的桌布。
如果餐桌的半径是0.5米，那它的面积就是3.14×0.5² = 0.785平方米。
四、圆形的相关概念1. 弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
比如在一个钟面上，从12点到3点的那一段弧线就是弧。
弧长的计算公式是l = nπr÷180（n是圆心角的度数，r是半径）。
2. 扇形由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
圆的知识点总结简要
圆的知识点总结简要一、圆的定义和基本概念1. 圆的定义圆是一个平面上的点到另一个点距离等于定值的所有点的集合。
通常我们将这个距离定值称为圆的半径。
可以用数学式表示为：圆的定义为：平面上到定点距离等于常数r（半径）的点的集合。
2. 圆的基本元素圆的基本元素包括圆心、半径、直径、圆周和弧。
圆心是指圆上所有点到该点的距离相等（等于半径）。
半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用r表示。
直径是圆上通过圆心的任意两点之间的距离，直径是直线段的长度，是半径的两倍。
圆周是圆上的一条封闭曲线，是所有到圆心距离等于r的点的集合，通常也称为圆的周长。
而弧是圆周上两点之间的曲线部分。
二、圆的性质1. 圆的性质- 圆上任意一点到圆心的距离都相等，等于半径r。
- 任意一条直径等分圆，即将直径平分为两个相等的半圆。
- 圆的直径是圆周的两倍，即直径d=2r。
- 圆的直径是最长的弦，即圆周上任意两点的连线。
- 圆的面积和周长与半径的关系分别为：面积S=πr^2，周长C=2πr。
- 圆的任意弧长s和对应的对角线长d之间的关系为：s=rθ，d=2rsin(θ/2)，其中θ为弧度。
2. 圆的切线性质- 圆上任意一点，有且只有一条与圆相切的直线。
- 切线与半径的夹角为直角（90度）。
三、圆的相关公式1. 圆的周长和面积- 圆的周长公式为：C=2πr。
- 圆的面积公式为：S=πr^2。
2. 圆的弧长和扇形面积- 弧长公式为：s=rθ，其中θ为弧度。
- 扇形面积公式为：A=0.5r^2θ，其中θ为扇形的圆心角的弧度。
3. 圆的切线方程和切点坐标- 圆的标准方程为（x-a）^2 + (y-b)^2 = r^2，其中（a，b）为圆心坐标，r为半径。
- 圆的切线方程为y = mx ±√(r^2m^2-r^2+b^2)。
四、圆的应用1. 工程应用- 圆的几何形状在工程设计和施工中具有广泛的应用，例如桥梁拱形结构、齿轮的设计等。
- 圆的运动学特性在机械传动系统和轮胎等方面有着重要应用。
圆的概念及公式总结
1 ．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
圆心一般用字母 O 表示。
它到圆上任意一点的距离都相等．3 ．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母 r 表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4 ．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5 ．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母 d 表示。
6 ．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7 ．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。
8 ．在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。
1用字母表示为： d ＝2 r r ＝2 d用文字表示为：直径 =半径×2 半径 =直径÷29 ．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10 ．圆的周长总是直径的 3 倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率，用字母表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时，取 3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
11 ．圆的周长公式： 1.知道直径 d ：圆周长 = ×直径： C = d2.知道半径 r ：圆周长=2××半径： C=2 r12.知道圆的周长 C 求直径： d=C 知道圆的周长 C 求半径：r= C 213、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
S = r2 2.已知 d 时：S = (d 2)214 ．求圆面积的公式： 1.已知 r 时：3.已知 C 时：先求出半径( r= C 2)，然后S = r2或者直接用公式：S = (C 2)215 ．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
16 ．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
17 ．一个环形，外圆的半径是 R ，内圆的半径是 r它的面积是S = R2 一 r2 或 S= (R2 -r2)18 ．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
圆的基本概念
圆的基本概念圆是几何学中的一种基本形状，它具有许多独特的特性和重要的应用。
本文将介绍圆的基本概念、性质和应用，以及与圆相关的一些重要定理和公式。
一、圆的定义圆是由平面上距离中心固定距离的所有点构成的图形。
其中，距离中心最远的点称为圆的边界，也称为圆周；距离中心的长度称为圆的半径，用字母r表示；直径是通过圆心并且两端点都在圆周上的线段，直径的长度是半径长度的两倍。
二、圆的性质1. 圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 圆的直径是圆周长的两倍。
3. 圆的面积公式为S = π * r²，其中π是一个常数，约等于3.14。
4. 圆的周长公式为C = 2 * π * r。
5. 在圆内任取一点A，与圆心连线，得到线段OA。
以OA为半径，做圆心在圆上作弦AB，与OA所关的扇形和三角形OAB的面积之和等于全圆的面积。
三、圆的重要定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切于点T，那么切线的斜率等于与圆心连线的斜率。
2. 弧长定理：弧所对的圆心角的大小等于弧长与半径的比值。
3. 弦长定理：弦所对的两个圆心角的大小相等。
四、圆的应用1. 圆在几何图形的构建中具有重要作用，可以通过给定的半径和圆心画出一个确定的圆。
2. 圆的应用广泛，例如建筑设计中的圆形窗户和圆形拱门，以及机械工程中的圆锥和齿轮系统。
3. 圆的性质在计算机图形学和计算机编程中被广泛应用，例如设计和绘制圆形图标、圆形按钮等。
总结：圆作为几何学中的基本形状，具有着丰富的性质和重要的应用价值。
通过对圆的定义、性质和定理的理解，我们可以更好地认识和应用圆形图形。
在实际生活和工作中，我们经常会遇到和使用圆，因此深入理解圆的基本概念对我们的学习和工作具有重要意义。
通过不断学习和探索，我们可以更好地利用圆的特性，将其应用于各个领域，促进我们的创新和发展。
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〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.149323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。
两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
【圆的平面几何性质和定理】〖有关圆的基本性质与定理〗圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
〖有关圆的计算公式〗1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr²3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr²/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角）。
弦切角定理弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明：证明一：设圆心为O，连接OC，OB,连接BA并延长交直线T于点P。
∵∠TCB=90-∠OCB∵∠BOC=180-2∠OCB此图证明的是弦切角∠TCB∴,∠BOC=2∠TCA（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）∴∠TCA=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC 所夹的弧.求证：（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O于A，∴弧CmA=弧CA∵为半圆,∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角B点应在A点左侧（2）圆心O在∠BAC的内部.过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E那么，连接EC、ED、EA则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB∴∠CEA=∠CAB∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部,过A作直径AD交⊙O于D那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90∴∠CDA=∠CAB∴（弦切角定理）弦切角推论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等举例: 例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.∵在中, ∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.解：连结OA，OB.∵在中, ∠C=90∴∠BAC=30°∴BC=1/2a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF∥BC.证明：连DF.AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC∠EFD=∠BAD∠EFD=∠DAC⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC∠EFD=∠FDCEF∥BC例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
如图中，切线长AC=AB。
∵∠ABO=∠ACO=90°BO=CO=半径AO=AO公共边∴RtΔABO≌RtΔACO（H.L）∴AB=AC∠AOB=∠AOC∠OAB=∠OAC切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．推广：连接BC，BC⊥AO相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）编辑本段如何证明证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB ＝PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB 证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT²=PB·PA相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）如何证明证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB ＝PC·PD注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。
从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD。
证明：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD∴由圆周角定理，得∠A=∠C又∵∠APD=∠CPB∴△ADP∽△CBP∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。