力学例题
高一物理力学典型例题
以下是一些高一物理力学的典型例题：1. 一个物体在水平地面上做匀速直线运动，受到的摩擦力是20N，那么物体受到的拉力是（）A. 大于20NB. 等于20NC. 小于20ND. 无法判断答案：B解析：物体做匀速直线运动时，处于平衡状态，受到的摩擦力和拉力是一对平衡力，所以拉力等于摩擦力等于20N。
2. 一辆汽车在平直的公路上行驶，从甲地经过乙地到达丙地，若汽车在甲、乙两地间的平均速度为v1，在乙、丙两地间的平均速度为v2，则汽车从甲地到丙地的平均速度为（）A. （v1+v2）/2B. v1+v2C. v1v2/（v1+v2）D. v1v2/v1+v2答案：C解析：设甲、乙两地间的距离为s1，乙、丙两地间的距离为s2，则汽车从甲地到乙地的时间t1=s1/v1，从乙地到丙地的时间t2=s2/v2，则汽车从甲地到丙地的平均速度v=s1+s2/t1+t2=s1+s2/s1/v1+s2/v2=v1v2/v1+v2。
3. 一个物体在竖直方向上做自由落体运动，其在t时间内位移为x，在紧接着的t时间内位移为x\prime，则物体刚下落时离地面的高度为（）A. x+x\prime/t\textsuperscript{2}B. x-x\prime/t\textsuperscript{2}C.x+x\prime/t\textsuperscript{2}-gt\textsuperscript{2}/4D.x+x\prime/t\textsuperscript{2}+gt\textsuperscript{2}/4 答案：C解析：根据自由落体运动的位移时间关系公式，有x=gt\textsuperscript{2}/2；x′=g(t+t\textsubscript{0})\textsuperscript{2}/2，其中t\textsubscript{0}=t，解得物体刚下落时离地面的高度h=x+x′/t\textsuperscript{2}-gt\textsuperscript{2}/4。
初中物理力学经典例题15道题
初中物理力学经典例题15道题1. 一个质量为2kg的物体，在水平地面上受到10N的水平拉力，求物体的加速度。
解答：根据牛顿第二定律，物体的加速度等于合外力除以物体的质量。
所以物体的加速度为a = F/m = 10N / 2kg = 5m/s^2。
2. 一个质量为0.5kg的物体受到一个5N的竖直向下的重力，求物体的重力加速度。
解答：重力加速度是指物体在自由下落时垂直于地面的加速度。
根据牛顿第二定律，物体的重力加速度等于重力除以物体的质量。
所以物体的重力加速度为g = F/m = 5N / 0.5kg = 10m/s^2。
3. 一个质量为4kg的物体，向右运动时受到一个10N的水平拉力和一个8N的水平推力，求物体的加速度。
解答：物体的加速度等于合外力除以物体的质量。
合外力等于水平拉力减去水平推力，即F = 10N - 8N = 2N。
所以物体的加速度为a = F/m = 2N / 4kg = 0.5m/s^2。
4. 一个质量为2kg的物体，在斜面上受到一个与斜面垂直的力为10N的重力和一个沿斜面方向的力为4N，斜面的倾角为30度，求物体的加速度。
解答：首先将斜面上的力分解为与斜面垂直方向的力和沿斜面方向的力，即重力沿斜面方向的分力为F1 = mg * sinθ，沿斜面方向的合力为F2 = mg * cosθ。
其中，m = 2kg，g = 9.8m/s^2，θ = 30°。
所以沿斜面方向的合力为F2 = 2kg * 9.8m/s^2 * cos(30°) ≈ 16.96N。
物体的加速度等于沿斜面方向的合力除以物体的质量，即a = F2/m = 16.96N / 2kg ≈ 8.48m/s^2。
5. 一个质量为3kg的物体，向左运动时受到一个3N的水平拉力和一个5N的水平推力，求物体的加速度。
解答：物体的加速度等于合外力除以物体的质量。
合外力等于水平推力减去水平拉力，即F = 5N - 3N = 2N。
初中物理力学经典例题
初中物理力学经典例题以下是一些经典的初中物理力学例题：1. 一个质量为5kg的物体静止在水平地面上，施加一个10N的水平力。
求物体的加速度。
解答：根据牛顿第二定律F = ma，其中F是物体所受的合力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
由于力和质量已知，将其代入方程可以求得加速度。
所以a = F / m = 10N / 5kg = 2m/s²。
2. 一个弹簧常数为200N/m的弹簧拉伸10cm后，求弹簧所受的弹力。
解答：根据胡克定律F = kx，其中F是弹簧所受的弹力，k是弹簧的弹簧常数，x是弹簧的伸长量。
由于弹簧常数和伸长量已知，将其代入方程可以求得弹力。
所以F = 200N/m × 0.1m = 20N。
3.一个物体以2m/s的速度沿直线运动，经过5s后速度变为8m/s。
求物体的加速度。
解答：根据加速度的定义a = (vf - vi) / t，其中a是物体的加速度，vf是物体的最终速度，vi是物体的初始速度，t是时间间隔。
由于初始速度、最终速度和时间间隔已知，将其代入方程可以求得加速度。
所以 a = (8m/s - 2m/s) / 5s = 1.2m/s²。
4. 一个质量为2kg的物体以10m/s的速度水平地撞击到静止的墙壁，反弹后以8m/s的速度反向运动。
求撞击过程中墙壁对物体的平均力。
解答：由于撞击过程中物体速度发生了变化，需要用动量定理来求解。
根据动量定理FΔt = Δmv，其中F是力，Δt是撞击时间，Δm是物体的质量变化量，v是物体的速度变化量。
由于质量变化量为零（质量不变），而速度变化量已知，可以求得撞击时间。
所以Δt = Δmv / F = (2kg × (8m/s - (-10m/s))) / (8m/s) = 9.5s。
由于撞击过程是瞬间发生的，可以认为撞击时间非常短，近似为0。
因此，墙壁对物体的平均力可以近似为墙壁对物体的瞬时力，即F = Δmv / Δt = 2kg × (8m/s - (-10m/s)) / 0s = ∞（无穷大）。
(完整版)高一物理力学典型例题
高中物理力学典型例题1、如图1—1所示，长为5米的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4米的两杆顶端A、B。
绳上挂一个光滑的轻质挂钩。
它钩着一个重为12牛的物体.平衡时,绳中张力T=＿＿＿＿分析与解：本题为三力平衡问题。
其基本思路为：选对象、分析力、画力图、列方程。
对平衡问题,根据题目所给条件，往往可采用不同的方法，如正交分解法、相似三角形等。
所以，本题有多种解法。
解法一:选挂钩为研究对象，其受力如图1-2所示，设细绳与水平夹角为α，由平衡条件可知：2TSinα=F，其中F=12牛,将绳延长，由图中几何条件得:Sinα=3/5，则代入上式可得T=10牛。
解法二：挂钩受三个力，由平衡条件可知:两个拉力(大小相等均为T）的合力F’与F大小相等方向相反。
以两个拉力为邻边所作的平行四边形为菱形.如图1-2所示，其中力的三角形△OEG与△ADC相似，则:得:牛.想一想:若将右端绳A 沿杆适当下移些，细绳上张力是否变化？（提示:挂钩在细绳上移到一个新位置，挂钩两边细绳与水平方向夹角仍相等，细绳的张力仍不变。
）2、如图2—1所示，轻质长绳水平地跨在相距为2L的两个小定滑轮A、B 上，质量为m的物块悬挂在绳上O点，O与A、B两滑轮的距离相等.在轻绳两端C、D分别施加竖直向下的恒力F=mg。
先托住物块，使绳处于水平拉直状态，由静止释放物块，在物块下落过程中,保持C、D两端的拉力F不变.（1）当物块下落距离h为多大时，物块的加速度为零？(2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力F做功W为多少？（3）求物块下落过程中的最大速度Vm和最大距离H?分析与解：物块向下先作加速运动，随着物块的下落,两绳间的夹角逐渐减小。
因为绳子对物块的拉力大小不变,恒等于F，所以随着两绳间的夹角减小，两绳对物块拉力的合力将逐渐增大，物块所受合力逐渐减小,向下加速度逐渐减小.当物块的合外力为零时，速度达到最大值。
之后，因为两绳间夹角继续减小，物块所受合外力竖直向上，且逐渐增大，物块将作加速度逐渐增大的减速运动。
力学题库1(例题与作业)
第一章质点运动学例1、质点沿x轴正向运动，加速度a=-kv，k为常数。
设从原点出发时速度为v0，求运动方程x=x(t)与速度—位移关系v=v(x)。
例2、已知斜抛运动的抛射角为θ，初速度为v0。
求其轨迹方程。
例3、如图，小船在绳子的匀速v0牵引下运动，已知h。
求θ位置时船的速度与加速度大小。
（两种方法）例4、有一轮以匀角速ω旋转，一质点自轮心沿水平轮轴以匀速v0向轮边移动。
求质点的轨迹方程，以及t时刻质点的速度和加速度大小。
*例5、一只狼沿着半径为R的圆形岛边缘按逆时针方向匀速跑动，当狼经过某点时，一只猎犬以相同的速率从岛中心出发追逐狼。
设追逐过程中犬、狼、岛中心始终在一直线上，求猎犬的轨迹和追上狼时的位置。
*例6、（上海高考题改编）下图为平静海面上拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。
已知A、B的速度分别沿缆绳CA、CB方向，且A、B、C不共线。
以下说法正确的是（）（多选）（A）C的速度大小可能介于A、B的速度大小之间（B）C的速度一定不小于A、B的速度（C）C的速度方向可能在CA、CB的夹角之外（D）C的速度方向一定在CA、CB的夹角之内**例7、已知点P0(l,0)处有一小船，以长为l的线，拉着小船从原点向上走，小船沿着绳运动，PQ为P点切线，Q点恒在y轴上。
（1）以图中θ为参数，求P点的轨迹方程。
（曳物线）（2）若Q 点以匀速u 向上运动，求θ位置处P 点的加速度。
练习题1、一质点沿x 轴运动，其速度—时间关系为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t v 6sin 23ππ，式中各量均取国际单位。
已知当t =0时质点在x =-2m 处。
求：（1）2s 时质点的位置；（2）0s 至2s 质点的位移；（3）0s 和2s 两时刻质点的加速度。
2、一质点以初速度v 0=5i 开始离开原点，其运动加速度为a =-i -j 。
求：（1）质点到达x 坐标最大值时的速度；（2）上述时刻质点的位置。
3、如图所示，长为l 的棒的一端A 靠在墙上，另一端B 搁在地面上，A 端以恒定速率u 向下运动。
(完整版)八年级的物理力学典型例题.docx
液体压强典例例 1 小华制成如图 5 所示的“自动给水装置”，是用一个装满水的塑料瓶子倒放在盆景中，瓶口刚好被水浸没。
其瓶中水面能高于盆内水面，主要是由于（）A、瓶的支持力的作用B、瓶的重力作用C、水的浮力作用支持力D、大气压的作用【解题思路】瓶内高于水面的水与瓶的支持力和重力作用无关，可排除A、 B。
瓶内装满水瓶子倒放在盆景中后，是大气压的作用，与浮力无关。
【点评】只所以瓶中水面能高于盆内水面是由于瓶外大气压比瓶内上面的空气气压大。
此题考查学生是否理解大气压在生产生活中的应用原理；考查学生的物理知识与生产生活结合能力。
难度较小。
例 2 在塑料圆筒的不同高处开三个小孔，当筒里灌满水时．各孔喷出水的情况如图 5 所示，进表明液体压强（）A．与深度有关B．与密度有关C．与液柱粗细有关D．与容器形状有关图 5【解题思路】由图示可知，小孔距水面越远，孔中喷出的水流越远，这说明液体的压强随深度的增加而增大。
【答案】 A【点评】本题考查了液体内部压强的特点。
理解水从孔中喷出的越远，液体压强越大，是解题的关键。
本题难度中等。
例 3 在两个完全相同的容器 A 和B 中分别装有等质量的水和酒精(p水>p 酒精 ) ，现将两个完全相同的长方体木块甲和乙分别放到两种液体中，如图 2 所示，则此时甲和乙长方体木块下表面所受的压强P 甲、 P 乙，以及 A 和B 两容器底部所受的压力F A、 F B的关系是A．P甲<P 乙F A<F B。
B．P甲=P 乙FA>FB。
C．P甲=P 乙FA<FB。
D ．P甲= P乙F A= FB。
例 4 如图 1 所示，在三个相同的容器中分别盛有甲、乙、丙三种液体；将三个完全相同的铜球，分别沉入容器底部，当铜球静止时，容器底受到铜球的压力大小关系是F < F < ，甲乙丙则液体密度相比较图 1A ．一样大B ．乙的最小C ．丙的最小D ． 甲的最小例 5 右图为小明发明的给鸡喂水自动装置，下列是同学们关于此装置的讨论， 其中说法正确的是()A ．瓶内灌水时必须灌满，否则瓶子上端有空气，水会迅速流出来B ．大气压可以支持大约10 米高的水柱，瓶子太短，无法实现自动喂水C ．若外界大气压突然降低，容器中的水会被吸入瓶内，使瓶内的水面升高D ．只有当瓶口露出水面时，瓶内的水才会流出来例 6 内都装有水的两个完全相同的圆柱形容器， 放在面积足够大的水平桌面中间位置上。
高一物理力学经典例题
高一物理力学经典例题1. 一维运动中的速度与加速度计算题目描述一辆汽车以恒定速度v行驶了t时间，在某一时刻该车突然加速a，然后以加速度a行驶了一个时间间隔t1，最后以减速度b减速到停止。
求汽车以恒定速度v行驶的距离和总时间。
解答设汽车以恒定速度v行驶的距离为S1，加速度为a行驶的距离为S2，减速度为b行驶的距离为S3，总时间为T。
根据物理学中的基本关系式：速度v = 距离S / 时间t，我们可以得到以下关系：- 恒定速度v行驶的距离S1 = v × t - 初速度为v，加速度为a，时间间隔为t1时的位移S2 = v × t1 + 0.5 × a × t1² - 以减速度b减速到停止的位移S3 = 0.5 × b × (T - t -t1)² - 总时间T = t + t1 + (T - t - t1)代入上述方程，我们可以解得答案。
2. 牛顿第二定律与力的计算题目描述一个质量为m的物体，受到一个恒定的水平力F作用，获得了加速度a。
根据牛顿第二定律，计算物体所受的力F。
解答根据牛顿第二定律 F = ma，我们可以计算物体所受的力F。
给定质量m和加速度a，代入上述公式即可得到答案。
3. 竖直上抛运动中的最大高度和落地时间计算题目描述一个物体以初速度v0竖直向上抛出，经过一段时间后落回原点。
已知重力加速度g，求物体的最大高度和落地时间。
对于竖直上抛运动，我们可以利用运动学中的关系式来计算最大高度和落地时间。
1.计算最大高度：–最大高度h = (v0²) / (2g)2.计算落地时间：–首先计算上升时间t1 = v0 / g–再计算下降时间t2 = 2t1–最后计算落地时间t = t1 + t2代入已知的初速度v0和重力加速度g，即可计算出最大高度和落地时间。
4. 斜抛运动中的最大高度和飞行时间计算题目描述一个物体以初速度v0与水平面成角度θ斜抛出，求物体的最大高度和飞行时间。
静力学30个例题
F F
ix
0 0
FAx FBC cos 45 0
FAy FBC sin 45 F1 0
iy
M F A i 0
FBC sin 45
l F1 l 0 2
FBC 2 2 F1 可得 FAx 2 F1 F F 1 Ay （ 2） 三力矩式： M A Fi 0
y F1
A B
F4
y
D C
2
45
A
Fx MB Fy
1
D B Cx
M
F2
x
F3
F
y
A
MC
B
F
解：1 计算力系的主矢 F ：
D C
x
F
y
A (-3,0) B
D Cx
Fx Fix F4 cos 45 F2 2 KN F y Fiy F1 F3 F4 sin 45 1KN
有
Fx c xdF
0 L
xc
1 F
q0 x 2 2 0 l dx 3
l
例 11 已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图 a 所示。其 中 F1 2 KN , F2 3KN , F3 4 KN , F4 2 KN 力偶矩 M 10 KM m ，转向如图 所示，图中长度单位为 m 。试分别求:1)力系向点 B 简化结果 2)力系向点 C 简化 结果 3)力系简化的最后结果
tg 1 2
FA FB F sin( 90 ) sin 45 sin( 45 )
F sin 45 FA cos
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1. 一质点作平面运动，已知加速度为t A a x ωωcos 2-=，t B a y ωωsin 2-=，其中A,B,ω均为正常数，且0,0,≠≠≠B A B A 。
初始条件为t=0时，0,000==y xv v，0,00==y A x 。
试求该质点的运动轨迹。
解 由加速度的定义分别积分上式，并代入初始条件，得⎰⎰-=-+=+=tx x x tA tdt A dx a v v 0210sin cos 0ωωωω (1) ⎰⎰=-+=+=tt y y y tB tdt B B dt a v v 0200cos sin ωωωωω (2)由速度的定义分别积分上式，并代入初始条件和式（1）、式（2），得⎰⎰=-=+=t tx tA tdt A A dt v x x 00cos sin ωωω （3）⎰⎰=+=+=t ty tB tdt B dt v y y 000sin cos 0ωωω （4）式（3）和式（4）为质点运动的运动学方程，消去参数t ω，即得质点的运动轨迹方程 这一结果表明，指点运动的轨迹为椭圆。
2. 已知一质点由静止出发，它的加速度在X 轴和Y 轴上的分量分别为t a x 10=和215t a y =（SI 制）。
试求5s 时质点的速度和位置。
解 取指点的出发点为坐标原点。
由题意知质点的加速度为（1）由初始条件t=0时，000==y x v v ，对式（1）进行积分，有（2） 即j t i t v 3255+= （3） 将s t 5=代入式（3）有又由速度的定义及初始条件0=t 时，000==y x 对式（2）进行分离变量并积分，有即jt i t r 453543+= （4）将s t 5=代入式（4）有3. 一质点沿半径为R 的圆周轨道运动，初速为0v，其加速度方向与速度方向之间的夹角α恒定，如图所示。
试求速度大小与时间的关系。
解 有题意有 而 所以 分离变量dtR v dv αtan 12= （1）对上式积分，并代入初始条件t=0时，0v v =，得αtan 110R t v v =- （2）整理式（2）得4. 有一条宽度均匀的小河，河宽为d ，已知靠岸边水流速度为0，水的流速按正比增大，河中心水流速度最快，流速为0v。
现有一人以不变的划船速度u 沿垂直于水流方向划一艘小船从河岸某点渡河。
试求小船的运动轨迹。
解 取河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标系，由题意可知，初始条件为 t=0时，000==y x ，uv v y x ==00,0 （1）由题意，水流速度可表示为 又当2dy =时，0v v =水。
故因此yd v v 02=水 （2）对小船有（3）结合式（1）、（2），对式（3）积分，并应用初始条件得（4）对式（4）消去t ，得20yud v x =（5）这就是小船渡河的运动轨迹方程，其为抛物线。
这里需要注意的是，式（5）只适用于小船划至河中心之前，对于后半程小船的轨迹很容易从对称性获得20)2(2v du y u y u dv x -+= （6） 5. 设有一架飞机从A 处向东飞到B 处，然后又向西飞回到A 处，飞机相对空气保持不变的速率v '，而空气相对于地面的速率为u ，A 与B 间的距离为l 。
在下列三种情况下，试求飞机来回飞行的时间。
（1） 空气是静止的（即u=0）； （2） 空气的速度向东； （3） 空气的速度向北。
解 取地面为绝对参照系，空气为相对参照系。
（1）空气是静止的，即u=0，则飞机往返飞行速度大小均匀为v '。
飞机往返所需时间为 BA AB t t t +=1（2）由速度变换定理，飞机由A 到B 向东飞行时的速度大小为 由B 到A 向西飞行时的速度大小为 因此，飞机往返飞行所需时间为（3）当空气的速度u 向北时，飞机相对于地面的飞行速度v 及飞机相对空气的速度v '与 u 间由相对运动关系有因此，飞机对地飞行速度的大小为 故飞机往返飞行所需时间6. 如图所示，质量为M 的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为m 的小球水平向右飞行，以速度1v（对地）与滑块斜面相碰，碰后竖直向上弹起，速率为v 2（对地），若碰撞时间为∆t ，试计算此过程中滑块对地的平均作用力和滑块速度增量的大小。
解：(1) 小球m 在与M 碰撞过程中给M 的竖直方向冲力在数值上应等于M 对小球的竖直冲力，而此冲力应等于小球在竖直方向的动量变化率即：由牛顿第三定律，小球以此力作用于M ，其方向向下。
对M ，由牛顿第二定律，在竖直方向上 N ―Mg ―f ＝0 N ＝Mg ＋f又由牛顿第三定律，M 给地面的平均作用力也为 方向竖直向下。
(2) 同理，M 受到小球的水平方向冲力大小应为tmv f ∆='1，方向与m 原运动方向一致。
根据牛顿第二定律，对M 有利用上式的f '，即可得M mv v /1=∆。
7. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC 自由转动，转动惯量为J 0，环的半径为R ，初始时环的角速度为ω0，质量为m 的小球静止在环内最高处A 点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的B 点和环的最低处的C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大？（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r <<R ）解：选小球和环为系统，运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒，对地球、小球和环系统机械能守恒，取过环心的水平面为势能零点。
对B 点时：ωω)(2000mR J J +=①)(21212122220200B v R m J mgR J ++=+ωωω ② 式中v B 表示小球在B 点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度。
由式①得： )/(2000mR J J +=ωω代入式②得：当小球滑到C 点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至ω0，又由机械能守恒定律知，小球在C 的动能完全由重力势能转换而来，即：∴ v c ＝gR 48. 从一个半径为R 的均匀薄板上挖去一个直径为R 的圆板，所形成的圆洞中心在距原薄板中心R ／2处（如图），所剩薄板的质量为m 。
求此时薄板对通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量。
解：由于转动惯量具有可加性，所以已挖洞的圆板的转动惯量J 加上挖去的圆板补回原位后对原中心的转动惯量J 1，就等于整个完整圆板对中心的转动惯量J 2。
设板的密度为ρ，厚度为a ，则对于通过原中心而与板面垂直的轴又由于m a R R =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-ρππ222，则代入上面求J 的公式，最后可得9. 空气对自由落体的阻力决定于许多因素，一个有用的近似假设是，空气阻力f 的大小与落体的速度ν成正比而方向相反，即νk f -=，其中k 为大于零的常数，其数值与速度无关，而由其它因素确定。
就物体在空气中由静止开始的自由下落考虑，并将Y 轴的正方向取为竖直向下。
（1）试证，物体运动的收尾速度（即物体不再加速时的速度）k mg v r =；（2）试求出速度随时间变化的关系式，并作出v 对t 的曲线图；（3）试定性地画出这种运动的y 对t 以及a 对t 的曲线图。
证 （1）物体在下落过程中除受重力外，还受空气阻力。
因此，其y 方向的合力为kv mg -。
根据牛顿运动定律，有ma dt dvmkv mg ==- （1）物体下落的加速度m kvmg a -=（2） 当收尾时，即物体不再加速时：0=a ，由式（2）得k mg v r =（3） （2）将式（3）代入式（1）后分离变量，得故积分，有 得)1(t mk r ev v --= （4） t v - 的曲线图如图（a ）所示。
（3）由式（4）及dt dyv =可得而t y -及t a -的曲线图如图（b ）、（c ）所示。
10. 如图所示，若使邮件沿着地球的某一直径的隧道传递，试求邮件通过地心时的速率。
已知地球的半径约为m 6104.6⨯，密度约为33/105.5m kg ⨯。
解 设邮件在隧道P 点，如图所示，其在距离地心为r 处所受到的万有引力为 式中的负号表示f 与r 方向相反，m 为邮件的质量。
根据牛顿运动定律，得 即r r G dt r d 222)34(ωρπ-=-= （1） 其中：ρπωG 342=。
为了简化计算，设邮件刚进入隧道时开始记时，则方程（1）的解可表示为 t R r ωcos = （2）式中R 为地球半径。
式（2）对时间求导，即得邮件传递的速度 t R v ωωsin -= （3） 由式（3）可知，邮件通过地心时速率最大，即11. 设在地球表面附近，一质量为kg 5100.5⨯的火箭（含燃料），从尾部喷出气体的速率为s m /100.23⨯。
试求：（1）每秒需喷出多少气体，才能使火箭最初向上的加速度大小为2/9.4s m ；（2）若火箭的质量比为6，该火箭的最后速率。
解 （1）取火箭和燃料为研究系统。
设在某一时刻t ，系统质量为M ，在随后的dt 时间内有质量dm 的燃料变为气体，则dt dMdtdm -=。
在地球表面附近向上发射火箭时，系统受到向下的重力Mg 和喷出气体向上的推力dt dm u，按牛顿运动定律有MaMg dt dm u =- (1)整理得初始时刻火箭质量0MM =，要使火箭获得的最初加速度为0a ，则需要每秒喷出的气体为（2）为求火箭的最后速率可将式（1）改写为 即gdt M dMudv --= (2)根据初始条件，有 积分，得火箭的速率gt M M u v -=0ln(3)由火箭质量与时间的关系，有 可得火箭到达最后速率的时刻m t 满足解得dt dm M dt dM M t m 65)(6500=-=(4)把式（4）代入式（3）可得火箭的最后速率12. 如图（a ）所示，一质量为M ，长度为l 的均质绳子，以匀角速度ω绕固定端旋转。
设绳子不伸长，重力忽略不计。
试求离固定端距离为r 处绳中的张力。
解 以固定端为原点O ，选取距O 点r 至r r ∆+之间的一微小段绳子作为研究对象，如图（b ），其受力示情况如图（c ）所示。
设r r ∆+处受力为r T ()r ∆+，r 处受力为)(r T ，这一微小段绳子的运动方程为rdrl M dT 2ω-= (1)利用条件l r =时，0)(=l T ，有⎰⎰-=rlr T rdr l M dT 2)(0ω (2)积分可得)(2)(222r l l M r T -=ω (3)从结果可得，张力T 在绳中不同位置处，是不同的。
在绳的末端附近，张力最小；在绳的固定端附近，张力最大。
13. 有一条单位长度为λ的匀质细绳，开始时盘绕在光滑的水平桌面上（其所占的体积可忽略不计）。
试求：现以一恒定的加速度a 竖直向上提绳，当提起y 高度时，作用在绳端上的力为多少？若以一恒定速度v 竖直向上提绳时，当提起y 高度时，作用在绳端上的力又为多少？解 取坐标OY ，如图所示，以已提起的高度为y 的细绳为研究对象，由牛顿运动定律，有dt yv d yg F )(λλ=- (1)即ya v yg F λλλ++=2 (2)当a 为恒量时，由dy dvva =及0=y 时0=v ，可得ay v 22= (3)将式（3）代入式（2）得 题1-20图=y a g )3(+λ当v 为恒量时，0=a ,代入式（2）得=)(2v yg +λ14. 一长为l 的细绳（质量不计）一端固定，另一端系一小球。