2019届中考数学《第六讲第4课时抛物线中的两个动点问题》同步练习

第4课时 抛物线中的两个动点问题(60分)1．(20分)[2017·凉山州]如图6－4－1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OB ＝8，OC ＝6.(1)求抛物线的表达式；(2)点M 从A 点出发，在线段上AB 以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，同时，点N 从B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN 存在时，求运动多少秒使△MBN 的面积最大，最大面积是多少？(3)在(2)的条件下，△MBN 面积最大时，在BC 上方的抛物线上是否存在点P ，使△BPC 的面积是△MBN 面积的9倍，若存在，求点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】 (1)由线段的长度得出点A ，B ，C 的坐标，然后把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，解方程组即可得抛物线的表达式；(2)设运动时间为t s ，则MB ＝10－3t ，然后根据△BHN ∽△BOC ，求得NH ＝35t ，再利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式S △MBN ＝－910⎝ ⎛⎭⎪⎫t －532＋52，利用二次函数的图象性质进行解答； (3)利用待定系数法求得直线BC 的表达式为y ＝－34x ＋6.由二次函数图象上点的坐标特征可设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－38m 2＋94m ＋6.过点P 作PE ∥y 轴，交BC 于点E .结合已知条件和(2)中的结果求得S △PBC ＝452.则根据图形得到S △PBC ＝S △CEP ＋S △BEP ＝12EP ·m ＋12·EP ·(8－m )，把相关线段的长度代入推知：－32m 2＋12m图6－4－1＝452.易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，758或⎝ ⎛⎭⎪⎫5，638. 解：(1)∵OA ＝2，OB ＝8，OC ＝6，∴A (－2，0)，B (8，0)，C (0，6)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，64a ＋8b ＋c ＝0，c ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，b ＝94，c ＝6，∴抛物线的表达式为y ＝－38x 2＋94x ＋6；(2)设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t .∴MB ＝10－3t .在Rt △BOC 中，BC ＝82＋62＝10. 如答图①，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ，∴HN OC ＝BN BC ，即HN 6＝t 10，∴HN ＝35t .∴S △MBN ＝12MB ·HN＝12(10－3t )·35t ＝－910⎝ ⎛⎭⎪⎫t －532＋52，∴当t ＝53时，S △MBN 最大＝52.答：运动53 s 时，△MBN 的面积最大，最大面积是52；(3)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋c (k ≠0)．把B (8，0)，C (0，6)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋c ＝0，c ＝6，图第1题答图①解得⎩⎨⎧k ＝－34，c ＝6，∴直线BC 的表达式为y ＝－34x ＋6.∵点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－38m 2＋94m ＋6， 如答图②，过点P 作PE ∥y 轴，交BC 于点E ，则E点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－34m ＋6， ∴EP ＝－38m 2＋94m ＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ＋6＝－38m 2＋3m ， 当△MBN 的面积最大时，S △PBC ＝9S △MBN ＝452，∴S △PBC ＝S △CEP ＋S △BEP ＝12EP ·m ＋12EP ·(8－m )＝12×8·EP ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38m 2＋3m ＝－32m 2＋12m ， 即－32m 2＋12m ＝452，解得m 1＝3，m 2＝5，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，758或⎝ ⎛⎭⎪⎫5，638. 2．(20分)[2017·内江]如图6－4－2，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴交于点C (0，3)，与x 轴交于A ，B 两点，点B 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x ＝1.(1)求抛物线的表达式；(2)点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t的函数关系，并求S 的最大值；(3)在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．第1题答图②图6－4－2【解析】 (1)由点B 的坐标与对称轴可求得点A 的坐标，把点A ，B ，C 的坐标分别代入抛物线的表达式，列出关于系数a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)设运动时间为t s ，利用三角形的面积公式列出S △MBN 与t 的函数关系式，用配方法求得最大值；(3)根据余弦函数，可得关于t 的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论． 解：(1)∵点B 坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x ＝1，∴A (－2，0)．把点A (－2，0)，B (4，0)，C (0，3)，分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝3. 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－38，b ＝34，c ＝3，∴该抛物线的表达式为y ＝－38x 2＋34x ＋3.'(2)设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t ，∴MB ＝6－3t .在Rt △BOC 中，BC ＝32＋42＝5.如答图①，过点N 作NH ⊥AB 于点H ， ∴NH ∥CO ，∴△BHN ∽△BOC ，∴HN OC ＝BN BC ，即HN 3＝t 5，∴HN ＝35t .∴S △MBN ＝12MB ·HN ＝12(6－3t )·35t ＝－910t 2＋95t ＝－910(t －1)2＋910.当△MBN 存在时，0＜t ＜2，∴当t ＝1时，S 最大＝910.∴S 与t 的函数关系为S ＝－910(t －1)2＋910，S 的最大值为910.① ②第2题答图(3)如答图②，在Rt △OBC 中，cos B ＝OB BC ＝45，设运动时间为t s ，则AM ＝3t ，BN ＝t .∴MB ＝6－3t .当∠MNB ＝90°时，cos B ＝BN BM ＝45，即t 6－3t＝45，解得t ＝2417. 当∠BM ′N ′＝90°时，cos B ＝6－3t t ＝45，解得t ＝3019.综上所述，当t ＝2417或3019时，△MBN 为直角三角形．3．(20分)[2017·山西]综合与探究如图6－4－3，抛物线y＝－39x2＋233x＋33与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连结AC，BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连结PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E.连结PD，与BC交于点F.设点P的运动时间为t s(t＞0)．(1)求直线BC的函数表达式；(2)①直接写出P，D两点的坐标(用含t的代数式表示，结果需化简)；②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值．(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由函数与方程的关系得到点B，C的坐标，利用待定系数法求直线BC的表达式；(2)①过点P作x轴的垂线段，构造与Rt△AOC相似的直角三角形，利用相似的性质得到与点P的横、纵坐标有关的线段的方程求解；由QD⊥x轴可知点D与点Q的横坐标相同，将点Q的横坐标代入抛物线表达式便得点D的纵坐标；②由等腰三角形的性质找到P，D两点纵坐标的关系建立方程求解；(3)假设存在点F为PD的中点，由中点的特征结合P，D两点的坐标表示出点F的坐标，将其代入直线BC建立方程求得t的值，确定点F的具体坐标．解：(1)由y＝0，得－39x2＋233x＋33＝0，解得x1＝－3，x2＝9，∴点B的坐标为(9，0)，图6－4－3由x ＝0，得y ＝33，∴点C 的坐标为(0，33)，设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，由B ，C 两点的坐标得⎩⎪⎨⎪⎧9k ＋b ＝0，b ＝33，解得⎩⎨⎧k ＝－33，b ＝33， ∴直线BC 的函数表达式为y ＝－33x ＋33；(2)①P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－3，32t ，D ⎝⎛⎭⎪⎫9－2t ，－439t 2＋833t ； ②如答图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，PH ⊥QD 于点H ，∵QD ⊥x 轴，∴四边形PGQH 是矩形，∴HQ ＝PG ，∵PQ ＝PD ，PH ⊥QD ，∴DQ ＝2HQ ＝2PG ，∵P ，D 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－3，32t ，⎝⎛⎭⎪⎫9－2t ，－439t 2＋833t ， ∴－439t 2＋833t ＝2×32t ，解得t1＝0(舍去)，t 2＝154，∴当PQ ＝PD 时，t 的值为154；(3)t ＝3，F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1134. (20分)4．(20分)[2017·淮安]如图6－4－4①，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－13x 2＋bx ＋c 的图象与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(4，0)，连结AC ，BC .动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t s ．连结PQ . 第3题答图。