2012高考试卷-理数-含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。

锥体的体积公式为13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 【答案】D2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}M =， 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6} 【答案】C3. 若向量(2,3)BA =u u u r ，(4,7)CA =u u u r，则BC uuu rA ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)-- 【答案】A4. 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+B ．1y x =-+C ．1()2x y =D ．1y x x=+ 【答案】A5. 已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．－1 【答案】B6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π【答案】C7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是A ．49 B ．13 C ．29 D ．19【答案】D8. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅o 。

若平面向量,a b 满足||||0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b o 和b a o 都在集合{|}2∈nn Z 中，则a b o = A ．12 B. 1 C. 32 D. 52【解析】：因为||cos cos ||2θθ⋅==≥>⋅o a b a a b b b b ，||cos cos 1||θθ⋅==≤<⋅o b a b b a a a a 且a b o 和b a o 都在集合{|}2∈n n Z 中 所以，||1cos ||2θ==o b b a a ，||1||2cos θ=b a ，所以2||cos 2cos 2||θθ==<o a a b b所以22≤<o a b ，故有1=o a b 【答案】B二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9-13题）9. 不等式|2|||1x x +-≤的解集为_____。

【答案】1{|}2x x ≤10. 261()x x+的展开式中3x 的系数为______。

（用数字作答）【答案】2011. 已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____。

【答案】21n a n =-12. 曲线33y x x =-+在点（1，3）处的切线方程为 。

【答案】21y x =+13. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 。

【答案】8（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）和2cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为_______。

【答案】（1，1）15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC =30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A =_____________。

【答案】3三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分） 已知函数()2cos()6f x x πω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π。

（1）求ω的值； （2）设,[0,]2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516(5)617f βπ-=，求cos()αβ+的值。

【答案】（1）15ω=；（2）13cos()85αβ+=-17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50]，[50,60]，[60,70]，[70,80]，[80,90]，[90,100]。

（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ得数学期望。

【答案】（1）0.024x =；（2）25E ξ=ξ12()P ξ2235 1235 13518.（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。

（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；（2） 若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；【答案】（1）略；（2）tan 3θ=19. （本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1221n n n S a +=-+，*n N ∈，且1a ，25a +，3a 成等差数列。

（1） 求1a 的值；（2） 求数列{}n a 的通项公式。

（3） 证明：对一切正整数n ，有123111132n a a a a ++++<L . 【解答】（1）11a =；（2）32n nn a =-；（3）当3n ≥时32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-L 122111222n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅L 2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯- 所以，2(1),2n a n n n >-≥ 所以，11111()2(1)21n a n n n n<=--- 所以，12311111111111131(1)1(1)2234122n a a a a n n n ++++<+-+-++-=+-<-L L20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3。

（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB V 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB V 的面积；若不存在，请说明理由。

【解答】：（1）由2223c e c a a ===，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b +=，所以222222(1)3y x a a y b=-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：22132x y += （2）因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以22132m n +=，22332m n =- 设11(,)A x y ，22(,)B x y由2211mx ny x y +=⎧⎨+=⎩，得2222()210m n x mx n +-+-= 所以，222222222144()(1)4(1)4(2)02m m n n n m n n n ∆=-+-=+-=->，可得24n < 并且：12222mx x m n+=+，212221n x x m n -=+ 所以，2212121212222111()1mx mx m x x m x x m y y n n n m n---++-=⋅==+所以，||AB ==== 设点O 到直线AB 的距离为h ，则h =所以1||2OAB S AB h =⋅=V 设221t m n =+，由204n <<，得22213(1,3)2m n n +=-∈，所以，1(,1)3t ∈OAB S ==V 1(,1)3t ∈所以，当12t =时，OAB S V 面积最大，最大为12。

此时，(0,M21.（本小题满分14分）设1a <，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>，D A B =I 。

（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点。

【解答】：（1）对于方程223(1)60x a x a -++= 判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=-- 因为1a <，所以30a -<① 当113a <<时，0∆<，此时B =∅，所以D =∅； ② 当13a =时，0∆=，此时{|1}B x x =≠，所以(0,1)(1,)D =+∞U ；当13a <时，0∆>，设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <，则1x =，2x =12{|}B x x x x x =<>或③ 当103a <<时，123(1)02x x a +=+>，1230x x a =>，所以120,0x x >> 此时，12(,)(,)D x x x =+∞U)=+∞U④ 当0a ≤时，1230x x a =≤，所以120,0x x ≤>此时，2(,))D x =+∞=+∞（2）2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--，1a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数，在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数① 当113a <<时，因为D =∅，所以()f x 在D 内没有极值点； ② 当13a =时，(0,1)(1,)D =+∞U ，所以()f x 在D 内有极大值点13a =；③ 当103a <<时，)D =+∞U由103a <<，很容易得到1a <<<（可以用作差法，也可以用分析法） 所以，()f x 在D 内有极大值点a ； ④ 当0a ≤时，)D =+∞由0a ≤1>此时，()f x 在D 内没有极值点。