数学公式2
考研数学二必背公式及知识点(自己精心总结整理)
[基础知识]n -b n =(a -b)( a n−1+a n−2b+…+ab n−2+b n−1) ( n 为正偶数时)a n -b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…+ab n−2-b n−1) ( n 为正奇数时)a n +b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…-ab n−2+b n−1)+b)n =∑C n k a k bn−kn k=0(1) a,b 位实数，则○12|ab |≤a 2+b 2；○2|a ±b |≤|a |+|b |；○3|a |−|b |≤|a −b |. (2) a 1,a 2,…,a n >0, 则 ○1a 1+a 2+⋯+a n n ≥√a 1a 2⋯a n n＜[x]≤x和差化积;积化和差(7)：sin α+sin β=2(sin α+β2)(cosα−β2) sin αcos β=12(sinα+β2+cosα−β2)sin α-sin β=2(cosα+β2)(sinα−β2) cos αcos β=12(cos α+β2+cosα−β2)cos α+cos β=2(cos α+β2)(co sα−β2) sin αsin β=-12(cosα+β2-cosα−β2)cos α-cos β=2(sinα+β2)(sinα−β2)1+tan 2α=sec 2α 1+cot 2α=csc 2αsin 2α=2sin αcos α cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtan β cot (α±β)=1∓cot αcot βcot α+cot βtanα2=1−cosαsinα=sinα1+cosα=±√1−cosα1+cosαcotα2=sinα1−cosα=1+cosαsinα=±√1+cosα1−cosα万能公式：u=tan x2(−π<x<π)，则sin x=2u1+u2，cos x=1−u21+u2函数图像sec(x) csc(x) cot(x)arcsin(x) arccos(x)arctan(x) arc cot(x)[极限]函数极限x→•：（6）limx→x0f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<|x- x0|< δ时，恒有|f(x)-A|< E.limx→x0+f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<(x- x0)< δ时，恒有|f(x)-A|<E.limx→x0−f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<( x0- x)< δ时，恒有|f(x)-A|< E.limx→∞f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当|x|>X时,恒有|f(x)-A|<E.limx→∞+f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当x>X时,恒有|f(x)-A|< E.limx→∞−f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当-x>X时,恒有|f(x)-A|< E.数列极限n→∞：limn→∞f(x)=A: ∀E>0, ∃N>0,当n>N时,恒有|X n-A|< E.(1)唯一性:设limx→x0f(x)=A，limx→x0f(x)=B，则A=B.(2)局部有界性：若limx→x0f(x)存在，则存在δ>0,使f(x)在U={x｜0<｜x-x0｜<δ内有界.(3)局部保号性：○1(脱帽)若limx→x0f(x) =A>0,则存在x0的一个去心邻域，在该邻域内恒有f(x)>0.○2(戴帽)若存在x0的一个去心邻域，在该邻域内f(x)>(≥)0，且limx→x0f(x)=A(∃)，则A≥0.极限四则运算：设lim x→x 0f(x)=A(∃),lim x→x 0f(x)=B(∃),则○1lim x→x 0 [f (x )±g (x )]=A±B. ○2lim x→x 0[f (x )g (x )]=A⋅B. ○3lim x→x 0f(x)g(x)=AB(B≠0). 等价无穷小（9）sin x 1−cos x ~12x 2 arc sin x a x −1~lna ⋅xtan x (1+x )α−1~αx ~xarctan xln (1+x )e x −1lim n→∞√n n =1 , lim n→∞√a n=1, (a>0) ,lim x→0+x δ(ln x )k =0 ,lim x→+∞x k e −δx =0 (δ>0,k >0) lim n→∞√a 1n +a 2n +⋯+a m nn =max {a i }i =1,2,…,m;a i >0洛必达法则：“00”型：○1lim x→x 0f(x)=0, lim x→x 0g(x)=0; ○2f(x),g(x)在x 0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0 ○3lim x→ x 0f′(x)g′(x)=A 或为∞.则limx→x 0f(x)g(x)=limx→x0 f′(x)g′(x)“∞∞”型：○1lim x→x 0f(x)=∞, lim x→x0g(x)=∞; ○2f(x),g(x)在x 0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0○3lim x→x 0 f′(x)g′(x)=A 或为∞.则limx→x 0f(x)g(x)=limx→x 0 f′(x)g′(x)[注]洛必达法则能不能用，用了再说.数列极限存在准则： 1. 单调有界数列必收敛2.夹逼准则：如果函数f(x),g(x)及h(x)满足下列条件： (1) g(x)≤f(x)≤h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A, 则limf(x)存在，且limf(x)=A .两种典型放缩：○1max{u i }≤∑u i n i=1≤n∙max{u i }; ○2n∙min{u i }≤∑u i n i=1≤n∙max{u i }选取的依据是谁在和式中去决定性作用海涅定理（归结原则）：设f(x)在 (x 0,δ)内有定义，则lim x→x 0f(x)=A 存在⟺对任何以x 0为极限的数列{x n }（x n ≠x 0），极限lim n→∞f(x n )=A存在.连续的两种定义：（1） lim Δx→0Δy =lim Δx→0[f (x 0+Δx )−f (x 0)]=0（2） lim x→x 0f (x )=f (x 0)间断点：第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡[一元微分学]导数定义式：f’ (x 0)=dydx ｜x=x0=limΔx→0f (x 0+Δx )−f(x 0)Δx=limx→x 0f (x )−f(x0)x−x 0微分定义式：若Δy=A Δx +o(Δx ),则dy=A Δx . 可导的判别:(1) 必要条件:若函数f(x)在点x 0处可导,则f(x)在点x 0处连续.(2) 充要条件:f ′(x0)f +(x 0)′,f −(x 0)′都存在，且f +(x 0)′=f −(x 0)′.[注]通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断. 可微的判别：limΔx→0Δy−AΔx Δx=0，则f(x)可微。
高中数学必修二公式
公式一：设α为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：sin〔2kπ＋α〕＝sinαcos〔2kπ＋α〕＝cosαtan〔2kπ＋α〕＝tanαcot〔2kπ＋α〕＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin〔π＋α〕＝－sinαcos〔π＋α〕＝－cosαtan〔π＋α〕＝tanαcot〔π＋α〕＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin〔－α〕＝－sinαcos〔－α〕＝cosαtan〔－α〕＝－tanαcot〔－α〕＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π－α〕＝sinαcos〔π－α〕＝－cosαtan〔π－α〕＝－tanαcot〔π－α〕＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin〔2π－α〕＝－sinαcos〔2π－α〕＝cosαtan〔2π－α〕＝－tanαcot〔2π－α〕＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin〔π/2＋α〕＝cosαcos〔π/2＋α〕＝－sinαtan〔π/2＋α〕＝－cotαcot〔π/2＋α〕＝－tanαsin〔π/2－α〕＝cosαcos〔π/2－α〕＝sinαtan〔π/2－α〕＝cotαcot〔π/2－α〕＝tanαsin〔3π/2＋α〕＝－cosαcos〔3π/2＋α〕＝sinαtan〔3π/2＋α〕＝－cotαcot〔3π/2＋α〕＝－tanαsin〔3π/2－α〕＝－cosαcos〔3π/2－α〕＝－sinαtan〔3π/2－α〕＝cotαcot〔3π/2－α〕＝tanα(以上k∈Z)诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.〔奇变偶不变〕然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
考研数学二公式完整版（免费版_考研必备）
考研数学公式完整版高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
小学数学公式2
31、把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。
其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。
32、把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
33、要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。
34、最大公约数：几个数都能被同一个数一次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公约数。
（或几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个，叫做最大公约数。
）35、互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。
36、最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
37、通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。
（通分用最小公倍数）38、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（约分用最大公约数）39、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。
40、分数计算到最后，得数必须化成最简分数。
41、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，即能用2进行42、约分。
个位上是0或者5的数，都能被5整除，即能用5进行约分。
在约分时应注意利用。
43、偶数和奇数：能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
44、质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。
45、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
1不是质数，也不是合数。
46、利息＝本金×利率×时间（时间一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应）47、利率：利息与本金的比值叫做利率。
一年的利息与本金的比值叫做年利率。
一月的利息与本金的比值叫做月利率。
48、自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。
0也是自然数。
49、循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。
数学二阶公式
数学二阶公式二阶公式是高中数学学科中重要的一部分，也是数学中的基本公式之一。
在学习二阶公式之前，我们需要了解什么是一次函数。
一次函数是指函数中未知数的最高次数为1的函数。
例如 y = 2x + 3 就是一个一次函数。
而二阶公式又叫作二次函数，是指函数中未知数的最高次数为2的函数。
例如y = x² + 2x + 1 就是一个二次函数。
二阶公式的一般形式为：y = ax² + bx + c （a、b、c为常数，a ≠ 0）。
其中，a控制着二次函数的开口方向和大小，如果a>0，则开口向上；如果a<0，则开口向下。
b控制着二次函数与y轴的截距，而c则是二次函数与x轴的交点的纵坐标，也被称为二次函数的常数项。
根据二阶公式的一般形式，我们可以推导出二次函数的顶点坐标和对称轴的方程式。
顶点坐标：( -b/2a, c - b²/4a)对称轴的方程式：x = -b/2a其中，顶点坐标就是二次函数的最高点或最低点，具有重要的意义。
对称轴则是二次函数的最高点和最低点的中垂线，对称轴方程式的作用就是确定二次函数的对称轴位置和方向。
在实际运用中，二阶公式有着广泛的应用。
例如在物理学中，落体运动的高度和速度可以用二次函数来进行计算；在经济学中，销售额和成本之间的关系也可以用二次函数来描述。
因此，学好二阶公式对我们日后的职业生涯和实际生活都有很大的帮助。
在学习二阶公式时，我们需要注意掌握解二次方程和画出二次函数的技巧。
同时，还需要了解二次函数在几何意义上的应用，以便更好地理解和应用二阶公式。
总之，二阶公式是数学中的重要基础知识，也是数学学习的重要环节之一。
只有充分掌握和应用二阶公式，才能更好地理解和应用数学知识，为将来的学习和工作打下坚实的基础。
考研数学二公式高数线代(整理)技巧归纳(精选.)
高等数学公式一、常用的等价无穷小当x →0时x x x x x （1+x ） ~-11x a(1+x )α-1 ~ αx (α为任意实数，不一定是整数)1x ~21x 2增加x x ~61x 3 对应 x –x ~ 61x 3x –x ~ 31x 3 对应 x - x ~ 31x 3二、利用泰勒公式= 1 + x + +！22x o （2x ） ） （33 o !3sin x x x x +-=x 1 – +！22x o （2x ） （1+x ）=x – +22x o （2x ）导数公式： 基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμαααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
考研数学二必背公式及知识点(自己精心总结整理)
[基础知识]n -b n =(a -b)( a n−1+a n−2b+…+ab n−2+b n−1) ( n 为正偶数时)a n -b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…+ab n−2-b n−1) ( n 为正奇数时)a n +b n =(a +b)( a n−1-a n−2b+…-ab n−2+b n−1)+b)n =∑C n k a k bn−kn k=0(1) a,b 位实数，则○12|ab |≤a 2+b 2；○2|a ±b |≤|a |+|b |；○3|a |−|b |≤|a −b |. (2) a 1,a 2,…,a n >0, 则 ○1a 1+a 2+⋯+a n n ≥√a 1a 2⋯a n n＜[x]≤x和差化积;积化和差(7)：sin α+sin β=2(sin α+β2)(cosα−β2) sin αcos β=12(sinα+β2+cosα−β2)sin α-sin β=2(cosα+β2)(sinα−β2) cos αcos β=12(cos α+β2+cosα−β2)cos α+cos β=2(cos α+β2)(co sα−β2) sin αsin β=-12(cosα+β2-cosα−β2)cos α-cos β=2(sinα+β2)(sinα−β2)1+tan 2α=sec 2α 1+cot 2α=csc 2αsin 2α=2sin αcos α cos 2α=cos 2α-sin 2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtan β cot (α±β)=1∓cot αcot βcot α+cot βtanα2=1−cosαsinα=sinα1+cosα=±√1−cosα1+cosαcotα2=sinα1−cosα=1+cosαsinα=±√1+cosα1−cosα万能公式：u=tan x2(−π<x<π)，则sin x=2u1+u2，cos x=1−u21+u2函数图像sec(x) csc(x) cot(x)arcsin(x) arccos(x)arctan(x) arc cot(x)[极限]函数极限x→•：（6）limx→x0f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<|x- x0|< δ时，恒有|f(x)-A|< E.limx→x0+f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<(x- x0)< δ时，恒有|f(x)-A|<E.limx→x0−f(x)=A: ∀E>0,∃δ>0,当0<( x0- x)< δ时，恒有|f(x)-A|< E.limx→∞f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当|x|>X时,恒有|f(x)-A|<E.limx→∞+f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当x>X时,恒有|f(x)-A|< E.limx→∞−f(x)=A: ∀E>0, ∃X>0,当-x>X时,恒有|f(x)-A|< E.数列极限n→∞：limn→∞f(x)=A: ∀E>0, ∃N>0,当n>N时,恒有|X n-A|< E.(1)唯一性:设limx→x0f(x)=A，limx→x0f(x)=B，则A=B.(2)局部有界性：若limx→x0f(x)存在，则存在δ>0,使f(x)在U={x｜0<｜x-x0｜<δ内有界.(3)局部保号性：○1(脱帽)若limx→x0f(x) =A>0,则存在x0的一个去心邻域，在该邻域内恒有f(x)>0.○2(戴帽)若存在x0的一个去心邻域，在该邻域内f(x)>(≥)0，且limx→x0f(x)=A(∃)，则A≥0.极限四则运算：设lim x→x 0f(x)=A(∃),lim x→x 0f(x)=B(∃),则○1lim x→x 0 [f (x )±g (x )]=A±B. ○2lim x→x 0[f (x )g (x )]=A⋅B. ○3lim x→x 0f(x)g(x)=AB(B≠0). 等价无穷小（9）sin x 1−cos x ~12x 2 arc sin x a x −1~lna ⋅xtan x (1+x )α−1~αx ~xarctan xln (1+x )e x −1lim n→∞√n n =1 , lim n→∞√a n=1, (a>0) ,lim x→0+x δ(ln x )k =0 ,lim x→+∞x k e −δx =0 (δ>0,k >0) lim n→∞√a 1n +a 2n +⋯+a m nn =max {a i }i =1,2,…,m;a i >0洛必达法则：“00”型：○1lim x→x 0f(x)=0, lim x→x 0g(x)=0; ○2f(x),g(x)在x 0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0 ○3lim x→ x 0f′(x)g′(x)=A 或为∞.则limx→x 0f(x)g(x)=limx→x0 f′(x)g′(x)“∞∞”型：○1lim x→x 0f(x)=∞, lim x→x0g(x)=∞; ○2f(x),g(x)在x 0的某去心领域内可导,且g’(x)≠0○3lim x→x 0 f′(x)g′(x)=A 或为∞.则limx→x 0f(x)g(x)=limx→x 0 f′(x)g′(x)[注]洛必达法则能不能用，用了再说.数列极限存在准则： 1. 单调有界数列必收敛2.夹逼准则：如果函数f(x),g(x)及h(x)满足下列条件： (1) g(x)≤f(x)≤h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A, 则limf(x)存在，且limf(x)=A .两种典型放缩：○1max{u i }≤∑u i n i=1≤n∙max{u i }; ○2n∙min{u i }≤∑u i n i=1≤n∙max{u i }选取的依据是谁在和式中去决定性作用海涅定理（归结原则）：设f(x)在 (x 0,δ)内有定义，则lim x→x 0f(x)=A 存在⟺对任何以x 0为极限的数列{x n }（x n ≠x 0），极限lim n→∞f(x n )=A存在.连续的两种定义：（1） lim Δx→0Δy =lim Δx→0[f (x 0+Δx )−f (x 0)]=0（2） lim x→x 0f (x )=f (x 0)间断点：第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡[一元微分学]导数定义式：f’ (x 0)=dydx ｜x=x0=limΔx→0f (x 0+Δx )−f(x 0)Δx=limx→x 0f (x )−f(x0)x−x 0微分定义式：若Δy=A Δx +o(Δx ),则dy=A Δx . 可导的判别:(1) 必要条件:若函数f(x)在点x 0处可导,则f(x)在点x 0处连续.(2) 充要条件:f ′(x0)f +(x 0)′,f −(x 0)′都存在，且f +(x 0)′=f −(x 0)′.[注]通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断. 可微的判别：limΔx→0Δy−AΔx Δx=0，则f(x)可微。
五年级数学乘法公式(二)教学课件
【例1】 计算：⑴ 2()a b c ++；⑵ 2()a b c --；⑶ 2(23)a b c -+填空：⑷ 2222111111(__________________)9164643a b c ab bc ca +++++=++；⑸ 22224164816(____________4)m n p mn np pm p ++--+=-+ 【解析】⑴ 原式222222a b c ab ac bc =+++++ ⑵ 原式222222a b c ab ac bc =++--+模块一 三元完全平方公式夯实基础15乘法公式(二)⑶ 原式232234618a b c ab ac bc =++-+-⑷ 111342a b c ，，⑸ 2m n ，【例2】 ⑴ 已知2()2210x y x y +--+=，则999()x y +=___________．⑵ 已知三个数a b c ，，满足方程222214229221b ac c ab a bc ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，求a b c ++．【解析】⑴ 解法一：由已知条件可知，2221222(1)0x y xy y x x y +++--=+-=，故1x y +=，999()1x y +=．解法二：由已知条件可知，22()2()1(1)0x y x y x y +-++=+-=，故1x y +=，999()1x y +=．⑵ 三式相加，得22222264a b c ab bc ca +++++=，所以()264a b c ++=，8a b c ++=±．【例3】 ⑴ 若1990a =，1991b =，1992c =，则222a b c ab bc ac ++---= ．⑵ 已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值．【解析】⑴ 222a b c ab bc ac ++---2221()()()2a b a c b c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ 2221(1)(2)(1)32⎡⎤=-+-+-=⎣⎦ ⑵ 由35a b b c -=-=可知，65a c -=，故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣⎦ 1993621()225252525=-⨯++=-．【例4】 ⑴ 已知3224a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则32a b c ++=_________⑵ 如果a ，b ，c 是ABC ∆三边的长，且22()a b ab c a b c +-=+-，那么ABC ∆是( ) A ． 等边三角形 B ． 直角三角形 C ． 钝角三角形 D ． 形状不确定 【解析】 ⑴ 由222a b c ab bc ca ++=++，可得a b c ==;则4a b c ===．3284a b c ++=⑵ 已知关系式可化为2220a b c ab bc ac ++---=，即2221(222222)02a b c ab bc ac ++---=， 能力提升所以2221[()()()]02a b b c a c -+-+-=，故a b =，b c =，c a =．即a b c ==．选A ．【备选】 若222214()(23)a b c a b c ++=++，求::a b c ．【解析】 ∵222214()(23)a b c a b c ++=++，∴2221310541260a b c ab bc ac ++---=，即222222(44)(96)(9124)0a ab b a ac c b bc c -++-++-+=， 亦即222(2)(3)(32)0a b a c b c -+-+-=． ∴ 2030320a b a c b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩， 解得 2b a =，3c a =，∴::1:2:3a b c =．【例5】 计算：⑴ 2224(2)(42)m n m mn n +-+；⑵ 2422(32)(964)x y x x y y -++；⑶ 22()()m n m mn n x x x x x +-+；填空：⑷ 2233(_____)(42)8b a ab b b a -++=-；⑸ 2233(3)(____9)27x y x y x y +-+=+【解析】⑴ 222436(2)(42)8m n m mn n m n +-+=+；⑵ 242223363(32)(964)(3)(2)278x y x x y y x y x y -++=-=- ⑶ 223333()()()()m n m mn n m n m n x x x x x x x x x +-+=+=+⑷ 2a ；⑸ 3xy ；【例6】 ⑴ 计算：4224(2)(2)(816)a b a b a a b b +--+⑵ 计算：222(2)4(2)a b a a b b ⎡⎤+--⎣⎦⑶ 计算：22111111()()()()333939a a a a a a -+-+++【解析】⑴ 4224223642246(2)(2)(816)(4)124864a b a b a a b b a b a a b a b b +--+=-=-+-．⑵ 222(2)4(2)a b a a b b ⎡⎤+--⎣⎦22223326336(2)(42)(8)6416a b a ab b a b a a b b =+-+=+=++；⑶ 22336111111111()()()()()()3339392727729a a a a a a a a a -+-+++=-+=-；夯实基础模块二 立方公式【例7】 ⑴ 已知3a b +=，12ab =，求下列式的值：22a ab b -+= ；2()a b -=⑵ 已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值． ⑶ 若5a b +=，求3315a b ab ++的值．【解析】⑴ 2222223()345a ab b a ab b ab a b ab -+=++-=+-=222222()224()457a b a ab b a ab b ab a b ab -=-+=++-=+-=⑵ 2222()()132a b a b a b ++-+==，22()()64a b a b ab +--==-，227a b ab ++=．⑶ 解法一：由5a b +=，故33222()()()()312515a b a b a ab b a b a b ab ab ⎡⎤+=+-+=++-=-⎣⎦从而可知，3315125a b ab ++= 解法二：由5a b +=，故332233333()333()15125a b a a b ab b a b ab a b a b ab +=+++=+++=++=【例8】 若x y m n +=+，2222x y m n +=+，求证：2012201220122012x y m n +=+【证明】因为x y m n +=+，所以22()()x y m n +=+，即222222x xy y m mn n ++=++；因为2222x y m n +=+，所以22xy mn =，于是222222x xy y m mn n -+=-+， 即22()()x y m n -=-，所以x y m n -=-或者x y n m -=-； 于是x m =，y n =或者x n =，y m =； 无论哪种情况，都有2012201220122012x y m n +=+【例9】 ⑴ 已知10x y +=，33100x y +=，求22x y +的值．⑵ 已知1x y +=，222x y +=，求66x y +的值．【解析】⑴ 由333()3()x y x y xy x y +=+-+，得1000310100xy -⨯=，即30xy =．所以222()240x y x y xy +=+-=．⑵ 由22211()()22xy x y x y ⎡⎤=+-+=-⎣⎦， ∴662323()()x y x y +=+2232222()3()x y x y x y =+-+132=．【例10】 ⑴ 若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= ．⑵ 已知(2012)(2010)2011a a --=，那么22(2012)(2010)a a -+-= ．【解析】⑴ 令2x a +=，3x b -=，问题变为：5a b +=，2213a b +=，求ab 的值．能力提升模块三 公式的应用易知2221(2)(3)()()62x x ab a b a b ⎡⎤+-==+-+⨯=⎣⎦． ⑵ 令2012a x -=，2010a y -=，问题变为：2x y -=，2011x y ⋅=，求22x y +的值．易知2222()22220114026x y x y xy +=-+=+⨯=【例11】 ⑴ 已知15a a+=，则4221a a a ++=_________．⑵ 已知：2217a a +=，求1a a+的值．【解析】⑴ 2211523a a a a+=⇒+=，4222211124a a a a a ++=++= ⑵ ∵2217a a +=，∴22129a a ++=，即21()9a a +=，13a a+=±【例12】 已知：2710x x -+=，求⑴ 1x x +；⑵ 221x x +；⑶ 441x x +的值．【解析】⑴ ∵2710x x -+=，∴0x ≠，∴2710x x x -+=，即17x x+=⑵ ∵17x x +=，∴221249x x ++=，∴22147x x +=⑶ ∵22147x x +=，∴44122209x x ++=，∴4412207x x+=【备选】若271xx x =-+，则2421x x x ++=__________． 【解析】 22211813477117491x x x x x x x x x =⇒=⇒+=⇒+=--++-242221114913415115114949x x x x x ====++++-知识模块一 三元完全平方公式 课后演练【演练1】 计算：⑴ 2(35)x y z -+⑵ 2(59)x y -- ⑶ 2122x y z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】⑴ 2222(35)92561030x y z x y z xy yz zx -+=++--+；⑵ 222(59)2581109018x y x y xy y x --=++-+-．⑶ ()2222211122442224x y z x y z x y z xy yz zx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=+-+-=++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【演练2】 已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+， 求代数式222a b c ab bc ca ++---的值．【解析】由12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，可知，1a b -=，2b c -=-，1c a -=故22222211()()()6322a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-=⨯=⎣⎦【演练3】 若a ，b ，c 均为正数，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，那么a ，b ，c 之间有什么关系？ 【解析】 由 444222222a b c a b b c c a ++=++，得 4442222222()2()a b c a b b c c a ++=++故 422442244224(2)(2)(2)0a a b b b b c c c c a a -++-++-+=即 222222222()()()0a b b c c a -+-+-=，得 220a b -=,220b c -=,220c a -= 即 222a b c ==，又由a ，b ，c 为正数，即得a b c ==实战演练知识模块二 立方公式 课后演练【演练4】 ⑴ 填空：33(2)(____2____)8m n mn m n +-+=+⑵ 计算：22(3)(93)b a a ab b +-+ ⑶ 计算：2222(2)(24)x y x xy y +-+【解析】⑴ 2m ，24n ；⑵ 22223333(3)(93)(3)(39)(3)27b a a ab b b a b ab a b a b a +-+=+-+=+=+； ⑶ 2222(2)(24)x y x xy y +⋅-+2223326336(2)(24)(8)1664x y x xy y x y x x y y ⎡⎤=+-+=+=++⎣⎦知识模块三 公式的应用 课后演练【演练5】 已知3a b +=，2230a b ab +=-，则2211a ab b -++= ． 【解析】22()330a b ab ab a b ab +=+==-，所以10ab =-，22211()31150a ab b a b ab -++=+-+=．【演练6】 已知1x y +=，3313x y +=，求66x y +的值．【解析】由于3331()3()133x y x y xy x y xy +=+-+=-=，得到29xy =；于是：6633233()2x y x y x y +=+-2312()2()39=-⨯ 65729=【演练7】 已知：2213a a +=，求1a a-的值． 【解析】∵2213a a +=，∴22121a a +-=，即21()1a a -=，11a a-=±。
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定义及概念数学公式，是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好的理解事物的本质和内涵。
编辑本段示例抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上bx再加上ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2pyx^2=-2py编辑本段关于圆的公式体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高编辑本段三角函数两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*ta nA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*ta nA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*t anA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+ 16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^ 2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|编辑本段一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根编辑本段立体图形及平面图形的公式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*rV=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长编辑本段三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积”南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 |这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】编辑本段秦九韶三角形中线面积公式S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高编辑本段平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)编辑本段推论及定理1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短78 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行1112两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边1718 推论119 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角2122边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合3031 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边8182÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似9192 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。