计算方法第一章
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计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案
1
9000 m=1
9000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×10 ,
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
-2
（2）∵ －0.00200= -0.2×10 ,
m=-2
x − x ∗ = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
4 3 4 πR − π ( R * ) 3 3 ε r* (V ) = 3 4 3 πR 3 R 3 − (R* )3 ( R − R * )( R 2 + RR * + R * ) = = R3 R3 R − R * R 2 + RR * + R * R − R * R 2 + RR * + RR * = ⋅ ≈ ⋅ R R R2 R2
可以得到计算积分的递推公式：
I n = 1 − nI n −1
1 0
n = 1,2, L
1 0
I 0 = ∫ e x −1 dx = e x −1
则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有
* *
= 1 − e −1
I n = 1 − nI n −1
* * In = 1 − nI n −1 * * * In − In = −n( I n −1 − I n −1 ) = − ne( I n −1 ) *
9000 m=1
9000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×10 ,
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
-2
（2）∵ －0.00200= -0.2×10 ,
m=-2
x − x ∗ = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
4 3 4 πR − π ( R * ) 3 3 ε r* (V ) = 3 4 3 πR 3 R 3 − (R* )3 ( R − R * )( R 2 + RR * + R * ) = = R3 R3 R − R * R 2 + RR * + R * R − R * R 2 + RR * + RR * = ⋅ ≈ ⋅ R R R2 R2
可以得到计算积分的递推公式：
I n = 1 − nI n −1
1 0
n = 1,2, L
1 0
I 0 = ∫ e x −1 dx = e x −1
则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有
* *
= 1 − e −1
I n = 1 − nI n −1
* * In = 1 − nI n −1 * * * In − In = −n( I n −1 − I n −1 ) = − ne( I n −1 ) *
计算方法_课后习题答案
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8
计算方法
计算方法第一章绪论1.1计算方法的任务与特点计算方法（又称数值计算方法，数值方法）定义：研究数学问题数值解法及其理论的一门学科1.2误差知识误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差绝对误差：|e（x*）|=|x－x*|相对误差：e r=e（x*）/x*x*=±10m（a1×10－1＋a2×10－2+…+an×10-n）n为有效数字|x-x*|≤（1/2）×10m-n1.3选用算法时应遵循的原则要尽量简化计算步骤以减少运算次数、要防止大数“吃掉”小数、尽量避免相近的数相减、除法运算中应尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值选用数值稳定性好的公式，以控制舍入误差的传播第二章方程的近似解法方程f（x）=a0+a1x+…+a m-1x m-1+a m的根的模小于u+1大于1/|1+v| （u=max｛|a m-1|,…,|a1|,|a0|｝v=1/|a0|max｛1,||a m-1|,…,|a1|｝）2.1二分法解法步骤：第一步利用（b-a）/2n+1≤1/2×10-m解得n+1≥~得最小对分次数2.2迭代法解法步骤：第一步画图求的隔根区间第二步建立迭代公示并判别收敛性第三步令初始值计算2.3牛顿迭代法迭代公式：x n+1= x n -f（x n）/f’（x n）解法步骤：第一步列出迭代公式第二步判断收敛性3.1解线性方程组的直接法高斯消去法、列主元素消去法、总体选主元素消去法暂不介绍矩阵三角分解法Ly=b Ux=y以三行三列为例介绍u11=a11u12=a12u13=a13l21=a21/u11l31=a31/u11u22=a22-l21×u12u23=a23-l21×u13l32=(a32-l31u12)/u22u33=a33-l31×u13-l32×u233.2解线性方程组的迭代法简单迭代法（雅可比迭代法）x=Bx+g收敛性判断|E入-B T B|=0 max入＜1赛德尔迭代法x(k+1)=B1x(k+1)+B2x(k)+g收敛性判断|E入-C T C|=0 max入＜1 C=(E-B1)-1B2第五章插值法余项R n（x）=f（n+1）（~）∏（x-x i）5.1拉格朗日插值法l k（x）=[（x-x0）…（x-x k-1）（x-x k+1）…（x-x n）]/[（x k-x0）…（x k-x k-1）（x k-x k+1）…（x k-x n）] L n(x)=∑l k(x)y k第六章最小二乘法与曲线拟合A T Ax=A T b第七章数值积分与数值微分梯形公式∫f（x）dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]Rn=-(b-a)3/12f’’(m) (m∈(a,b))复化梯形公式Rn=-(b-a)h2/12f’’(m) (m∈(a,b))辛浦生公式∫f（x）dx=(b-a)/6[f(a)+f((a+b)/2)+f(b)]Rn=- (b-a)5/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))Rn=- (b-a)h4/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))柯特斯公式∫f（x）dx=(b-a)/90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]Rn=-8(b-a)/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))Rn=-2(b-a)（h/4）6/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))龙贝格求积公式S N=(4T2N-T N)/(4-1)C N=(42S2N-S N)/(42-1)R N=(43C2N-C N)/(43-1)T梯形S辛浦生C柯特斯第八章常微分方程初值问题的数值解法欧拉法y n+1=y n+hf(x n,y n)梯形法y n+1=y n+h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1)]欧拉预估-校正公式y n(0)=y n+hf(x n,y n) y n+1=h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1(0))]。
计算方法 第1章 预备知识与误差分析
1． 误差的来源及误差类型 一般使用计算机解决实际问题须经过如下几个过程： 实际问题 数学模型 数值算法 程序设计 计算结果
根据实际问题建立数学模型的过程中通常会忽略某些次要因素而对问题进行简化， 由此 产生的误差称为模型误差； 很多数学模型都含有若干个参数， 而有些参数往往又是观测得到 的近似值， 如此取得的近似参数与真实参数值之间的误差称为参数误差或观测误差。 例如自 由落体运动规律的公式
nn
(1.2)
其矩阵形式可以表示为 Ax b, A R
, x, b R n ，由线性代数知识我们知道，当其系数
授课对象：北京工业大学计算机学院本科生
杨中华
2
编者：杨中华
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
矩阵对应的行列式不等于零时，即 D 法则，有：
A 0 ，该线性方程组有唯一一组解，根据克莱姆
这个耗时数还不包括求解过程中的加减运算以及更耗时的读写内存数据操作所需要的时间。 但是如果用 Gauss 消去法求解此规模的线性方程组，其乘除法次数约仅为：
n3 n n 2 3060 3 3
(1.4)
从(1.3)与(1.4)式的巨大差距可以看出求解线性方程组用 Gauss 消去法非常有效， 因此对于稍 微大一点规模的线性方程组没有任何理由选择克莱姆法则解决此类问题。 对程序员的忠告：千万不要以为计算机的速度不是问题，选择数学方法不当可能让你 永远等不到最后的计算结果！ 我们再看一个实例， 从中可以发现， 有时直接使用高等数学中给出的很简单明了的数学 表达式进行计算并不一定能够得到我们预期的结果。 例1.2 考虑导数的近似计算问题，根据导数的定义
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
计算方法(1)-数值计算中的误差
* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
计算方法01
误差产生的原因.（例1.2.1）
例1.2.1 试求摆长为L的单摆运动周期.
l 在物理学中我们知道单 摆周期T 2 g 其中: l为摆长；g为自由落体加速度； 是质点 m 的质量。如图所示：由 牛顿定律 d f m g sin m a m l 2 dt
2
d 2 所以 m l 2 m g sin dt 2 d g 即 sin 0 2 dt l g 当很小时, sin , 令 l d 2 则有 2 0 dt 2
现取h=0.05,其结果见下表:
数值解 理论解
xn
yn
y
xn
yn
y
0
0.2
1.00000 1.00000 1.2
1.18322 1.18322 1.4
1.84931 1.84931
1.94396 1.94396
0.4
0.6 0.8 1.0
1.34164 1.34164 1.6
1.48324 1.48324 1.8 1.61245 1.61245 2.0 1.73205 1.73205 …
防止大数吃小数 1000+0.1+0.2+0.3+0.4=？ 避免两个相近的数相减 1-cosx与2sin^2(x/2)
1.3 函数的性态
见例9
设函数y f ( x),当x用近似数x*代替 计算函数值则 ( x* )时，则误差为 f e( f ) f ( x ) f ( x) df ( x )
*
四则运算的误差累计
* * 设x1 , x2的近似数x1 , x2，则 * * * * * * e( x1 x2 ) d ( x1 x2 ) dx1 dx2 * * e( x1 ) e( x2 ) * * * * * * er ( x1 x2 ) d ln(x1 x2 ) d (ln x1 ln x2 )
南航《计算方法》第1章-绪论
绪论
南京航空航天大学数学系
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算在美国 3. 科学计算的基本内容 4. 科学计算主要进展 5. 相容性与稳定性
一. 科学计算的地位与应用
科学计算的地位
科学研究/工程技术
理论 研究
科学 计算
科学 实验
科学工程计算
建模 计算
应用 问题
数学 计算 模型 方法
二. 科学计算在美国
2
美国从1942年8月13日开始曼哈顿 计划，到1945年制造出三颗原子 弹：代号为：“三一”，用于试 验（7月16日），“瘦子”投于广 岛(8月6日)，“胖子”投于长崎(8 月9日)。历时三年，涉及到理论 物理、爆轰物理、中子物理、金
属物理、弹体弹道等大量的数值 计算。
1983年一个由美国著名数学家拉 克斯(P. Lax)为首的不同学科的专 家委员会向美国政府提出的报告 之中，强调“科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步 的关键性环节，是事关国家命脉 的大事。”
有限差分法的基本思想是用离散的、 只含有限个未知数的差分方程去代 替连续变量的微分方程和定解条件。 求出差分方程的解作为求偏微分方 程的近似解。
3.5 微分方程(组)数值解
有限元法是近代才发展起来的， 它是以变分原理和剖分差值作为 基础的方法。在解决椭圆形方程 边值问题上得到了广泛的应用。 有许多人正在研究用有限元素法 来解双曲形和抛物形的方程。
1 en1 n en
故得 | en
|
1 n1
1 n
2
1 N
| eN
| (n
N)
计算稳定。
x * ---数学模型精确解 x ---计算格式理论解 x ---计算格式近似解
南京航空航天大学数学系
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算在美国 3. 科学计算的基本内容 4. 科学计算主要进展 5. 相容性与稳定性
一. 科学计算的地位与应用
科学计算的地位
科学研究/工程技术
理论 研究
科学 计算
科学 实验
科学工程计算
建模 计算
应用 问题
数学 计算 模型 方法
二. 科学计算在美国
2
美国从1942年8月13日开始曼哈顿 计划，到1945年制造出三颗原子 弹：代号为：“三一”，用于试 验（7月16日），“瘦子”投于广 岛(8月6日)，“胖子”投于长崎(8 月9日)。历时三年，涉及到理论 物理、爆轰物理、中子物理、金
属物理、弹体弹道等大量的数值 计算。
1983年一个由美国著名数学家拉 克斯(P. Lax)为首的不同学科的专 家委员会向美国政府提出的报告 之中，强调“科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步 的关键性环节，是事关国家命脉 的大事。”
有限差分法的基本思想是用离散的、 只含有限个未知数的差分方程去代 替连续变量的微分方程和定解条件。 求出差分方程的解作为求偏微分方 程的近似解。
3.5 微分方程(组)数值解
有限元法是近代才发展起来的， 它是以变分原理和剖分差值作为 基础的方法。在解决椭圆形方程 边值问题上得到了广泛的应用。 有许多人正在研究用有限元素法 来解双曲形和抛物形的方程。
1 en1 n en
故得 | en
|
1 n1
1 n
2
1 N
| eN
| (n
N)
计算稳定。
x * ---数学模型精确解 x ---计算格式理论解 x ---计算格式近似解
计算方法第一章 绪论
知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值 一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数 ，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
15
例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对 误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产 生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又 （0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故 有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于 中的数字9不是有效数字,故 不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26
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Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）
计算方法
邓建中、葛仁杰、程正兴编著
（西安交通大学出版社）
现代数值分析
（高等教育出版社）
李庆扬、易大义、王能超 编著
2015-6-11
软件学院 张奕韬
2
总评成绩构成
总评成绩由学习过程中的各项考核指标综合评定。 上课考勤：10% 记 平时作业及平时表现：10% 住 上机实验：30% 大作业：50% 关于考勤： 旷课一次-5， 迟到、早退每次-2，请假次数 多者酌情扣分，扣完为止。
软件学院 张奕韬
8
课程特点
具有数学类课程中的抽象性和严谨性的理 论特性。 具有实验类课程的实用性和实验性的技术 特性。 前提课程是微积分、线性代数和一门计算 机语言。
2015-6-11
软件学院 张奕韬
9
课程内容
误差 非线性方程求根 求解线性方程组 数值积分
2015-6-11
软件学院 张奕韬
数值分析 Numerical Analysis
主讲教师：张奕韬
E-mail: 93444774@
2015-6-11
软件学院 张奕韬
1
教材
数值方法
金一庆、陈越、王冬梅 编著（机械工业出版社）
参考书目 Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版）
更多技巧请见教材第8页习题6。
2015-6-11 软件学院 张奕韬 23
I15 1 15 I14 1423 .3914 ! !
1 1 In e(n 1 ) n1
What happened ?!
2015-6-11
软件学院 张奕韬
15
考察第n步的误差 En
* * n |En1| ... n ! | E0 | | En | | I n I n | | (1 nI n1 ) (1 nI n 1 ) |
xε x ε xε x ;
ε l n x ε l n x l n 1 ; x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 | x | << 1 时： 1 cos x 2 sin 2 x ;
1 1 e x 1 x 1 x x 2 ... 2 6
有效数字
* 有几位有效数字？请证明你的结论。 问：
证明： π* 0 .3 1 4 1 5 1 01 ,
a n d |π * π| 0 .5 1 0 3 0 .5 1 01 4 * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第3 位。
注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如 果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
1 10 n1 2(a1 1)
相对误差限 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | εr * | x* | 0 .a1a 2 ... 10m 2(a1 1)
10 n 1 (a1 1) 10m 1 0 .5 10m n 2(a1 1)
10
怎样学习“计算方法”课程
认清方法的计算对象，了解方法计算原理
和计算步骤；
用简单的模拟数据调用方法； 选择某种高级语言，编制3-5道程序并在计 算机上运行。
2015-6-11
软件学院 张奕韬
11
二、 误差
§1 误差的背景介绍
1. 来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型—— 模型误差
通过测量得到模型中参数的值—— 观测误差
0
(1 x
e
e
dx
R4
取 0 e
1
x
2
dx S4 ,
S4
1 1 1 1 由留下部分 ... 称为截断误差 则 4! 9 5! 11 引起 1 1 这里 R4 0 .005 由截去部分 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 引起 0 .743 3 10 42 | 舍入误差 | 0.0005 2 0.001 R4
可取 I
* N
1 1 1 IN 2 e( N 1) N 1
在理论上等价。
* 当 N 时, E N I N I N 0
2015-6-11 软件学院 张奕韬 16
1 1 1 * 取 I 15 0 .042746233 2 e 16 16 1 * * I 14 (1 I 15 ) 0 .063816918 15 1 * * I 13 (1 I 14 ) 0 .066870220 14 1 * * I 12 (1 I 13 ) 0 .071779214 13 1 * * I 11 (1 I 12 ) 0 .077351732 12 1 * * I 10 (1 I 11 ) 0 .083877115 11 ... ... ... ...
n 0 , 1 , 2 , ......
公式一：
I n 1 n I n1
记为 * 1 1 x 1 I 0 e dx 1 0 .63212056 I0 0 注意此公式精确成 e e 8 立 E I I 0 . 5 10 0 0 则初始误差 0
根 据 公 式 一 可 得 ：
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。
2015-6-11
软件学院 张奕韬
22
§4 几点注意事项
1. 避免相近二数相减 (详细分析请参阅教材p.7 - p.8)
例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 几种经验性避免方法：
以此类推，对 n < N 有：
| En | 1 | EN | N ( N 1) ... ( n 1)
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法
在我们今后的讨论中，误差将不可回避，
算法的稳定性会是一个非常重要的话题。
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2015-6-11
§2 误差与有效数字
绝对误差
e* x* x 其中x为精确值，x*为x的近似值。
可见初始的小扰动 | E0 | 0.5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 我们有责任改变。
公式二：
I n 1 n I n 1
I n 1
1 (1 I n ) n
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。
1 1 I 注意此公式与公式一 N e( N 1) N 1
1 1 n 0 1 1 n 1 x e dx I n x e dx 0 e e 0 I1* 1 1 I 0* 0.36787944 ... ... ... ... * I10 1 10 I 9* 0.08812800 * * I11 1 11 I10 0 .03059200 * * I12 1 12 I11 0 .63289600 ? * * I13 1 13 I12 7 .2276480 ?? * * I14 1 14 I13 94 .959424 ? !
可见 x* 至少有 n 位有效数字。
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例：为使 π *的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n1 2a1
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
1 εr * 10 n1 0.001% 2a1
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•
提问：数值分析是什么？
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
ln x,
Ax b ,
a
b
f ( x) dx,
d f ( x ), ...... dx
数值 分析
解
计算机
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第1章 绪论
一、课程简介
数值计算方法，是一种研究数学问题的数值近 似解方法，简称计算方法。 人类的计算能力=计算工具的效率×计算方法的效率 计算方法的发展与计算机同步。在计算机上使用 的解数学问题的方法就是数值计算方法。 计算工具：计算机
计算 0 e -x
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1
2
dx 的总体误差 0 .005 0 .001 0 .006
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2. 传播与积累
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京 就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题
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1 1 n x 例：计算 I n x e dx , e 0
求近似解—— 方法误差(截断误差） 舍入误差
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机器字长有限——
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例：近似计算
1
0
e
x2
dx = 0.747… …
解法之一：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 1 1 x4 x6 x8 x 2
计算方法
邓建中、葛仁杰、程正兴编著
（西安交通大学出版社）
现代数值分析
（高等教育出版社）
李庆扬、易大义、王能超 编著
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2
总评成绩构成
总评成绩由学习过程中的各项考核指标综合评定。 上课考勤：10% 记 平时作业及平时表现：10% 住 上机实验：30% 大作业：50% 关于考勤： 旷课一次-5， 迟到、早退每次-2，请假次数 多者酌情扣分，扣完为止。
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8
课程特点
具有数学类课程中的抽象性和严谨性的理 论特性。 具有实验类课程的实用性和实验性的技术 特性。 前提课程是微积分、线性代数和一门计算 机语言。
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课程内容
误差 非线性方程求根 求解线性方程组 数值积分
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数值分析 Numerical Analysis
主讲教师：张奕韬
E-mail: 93444774@
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教材
数值方法
金一庆、陈越、王冬梅 编著（机械工业出版社）
参考书目 Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析 （第七版 影印版）
更多技巧请见教材第8页习题6。
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I15 1 15 I14 1423 .3914 ! !
1 1 In e(n 1 ) n1
What happened ?!
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考察第n步的误差 En
* * n |En1| ... n ! | E0 | | En | | I n I n | | (1 nI n1 ) (1 nI n 1 ) |
xε x ε xε x ;
ε l n x ε l n x l n 1 ; x
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 | x | << 1 时： 1 cos x 2 sin 2 x ;
1 1 e x 1 x 1 x x 2 ... 2 6
有效数字
* 有几位有效数字？请证明你的结论。 问：
证明： π* 0 .3 1 4 1 5 1 01 ,
a n d |π * π| 0 .5 1 0 3 0 .5 1 01 4 * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第3 位。
注：0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如 果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
1 10 n1 2(a1 1)
相对误差限 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | εr * | x* | 0 .a1a 2 ... 10m 2(a1 1)
10 n 1 (a1 1) 10m 1 0 .5 10m n 2(a1 1)
10
怎样学习“计算方法”课程
认清方法的计算对象，了解方法计算原理
和计算步骤；
用简单的模拟数据调用方法； 选择某种高级语言，编制3-5道程序并在计 算机上运行。
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二、 误差
§1 误差的背景介绍
1. 来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型—— 模型误差
通过测量得到模型中参数的值—— 观测误差
0
(1 x
e
e
dx
R4
取 0 e
1
x
2
dx S4 ,
S4
1 1 1 1 由留下部分 ... 称为截断误差 则 4! 9 5! 11 引起 1 1 这里 R4 0 .005 由截去部分 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 引起 0 .743 3 10 42 | 舍入误差 | 0.0005 2 0.001 R4
可取 I
* N
1 1 1 IN 2 e( N 1) N 1
在理论上等价。
* 当 N 时, E N I N I N 0
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1 1 1 * 取 I 15 0 .042746233 2 e 16 16 1 * * I 14 (1 I 15 ) 0 .063816918 15 1 * * I 13 (1 I 14 ) 0 .066870220 14 1 * * I 12 (1 I 13 ) 0 .071779214 13 1 * * I 11 (1 I 12 ) 0 .077351732 12 1 * * I 10 (1 I 11 ) 0 .083877115 11 ... ... ... ...
n 0 , 1 , 2 , ......
公式一：
I n 1 n I n1
记为 * 1 1 x 1 I 0 e dx 1 0 .63212056 I0 0 注意此公式精确成 e e 8 立 E I I 0 . 5 10 0 0 则初始误差 0
根 据 公 式 一 可 得 ：
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即 n 6，应取 * = 3.14159。
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§4 几点注意事项
1. 避免相近二数相减 (详细分析请参阅教材p.7 - p.8)
例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。 几种经验性避免方法：
以此类推，对 n < N 有：
| En | 1 | EN | N ( N 1) ... ( n 1)
误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法
在我们今后的讨论中，误差将不可回避，
算法的稳定性会是一个非常重要的话题。
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§2 误差与有效数字
绝对误差
e* x* x 其中x为精确值，x*为x的近似值。
可见初始的小扰动 | E0 | 0.5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 我们有责任改变。
公式二：
I n 1 n I n 1
I n 1
1 (1 I n ) n
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。
1 1 I 注意此公式与公式一 N e( N 1) N 1
1 1 n 0 1 1 n 1 x e dx I n x e dx 0 e e 0 I1* 1 1 I 0* 0.36787944 ... ... ... ... * I10 1 10 I 9* 0.08812800 * * I11 1 11 I10 0 .03059200 * * I12 1 12 I11 0 .63289600 ? * * I13 1 13 I12 7 .2276480 ?? * * I14 1 14 I13 94 .959424 ? !
可见 x* 至少有 n 位有效数字。
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例：为使 π *的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n1 2a1
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
1 εr * 10 n1 0.001% 2a1
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提问：数值分析是什么？
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
ln x,
Ax b ,
a
b
f ( x) dx,
d f ( x ), ...... dx
数值 分析
解
计算机
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第1章 绪论
一、课程简介
数值计算方法，是一种研究数学问题的数值近 似解方法，简称计算方法。 人类的计算能力=计算工具的效率×计算方法的效率 计算方法的发展与计算机同步。在计算机上使用 的解数学问题的方法就是数值计算方法。 计算工具：计算机
计算 0 e -x
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1
2
dx 的总体误差 0 .005 0 .001 0 .006
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2. 传播与积累
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京 就刮起台风来了？！
NY
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1 1 n x 例：计算 I n x e dx , e 0
求近似解—— 方法误差(截断误差） 舍入误差
12
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例：近似计算
1
0
e
x2
dx = 0.747… …
解法之一：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 1 1 x4 x6 x8 x 2