2019年河南省郑州一中高考数学模拟试卷学生(1)
河南省部分重点中学2019届高三第一次模拟考试数学试题
河南省部分重点中学2019届高三第一次模拟考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =( ) A.{1} B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )C.D.5.函数2sin(6)241xxxyπ⋅+=-的图像大致为( )A. B. C. D.6.使231()()2nx n Nx*+∈展开式中含有常数项的n的最小值是( )A.3B.4C.5D.67.已知00M x y，（）是双曲线C：2212xy-=上的一点，12F F、是C上的两个焦点，若12MF MF⋅<，则y的取值范围是( )A.(33B.(66C.()33-D.(8.已知函数()sin(2)(0)2f x xπϕϕ=+<<的图象的一个对称中心为3(,0)8π, 则函数()f x的单调递减区间是( )A.3[2,2]()88k k k Z ππππ-+∈ B.5[2,2]()88k k k Z ππππ++∈ C.3[,]()88k k k Z ππππ-+∈ D.5[,]()88k k k Z ππππ++∈9.如图1，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1AD 、1B C 、11C D 上，当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时，三棱锥Q BMN -的正视图面积为( )A.212a B.214a2 2a10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( ) A.12p p =B.13p p =C.23p p =D.123p p p =+11.设抛物线C :24x y ＝与椭圆E :2229x y +=交于A B 、两点，在椭圆E 位于抛物线C 上方的部分取一点P ，点Q 为椭圆E 的右顶点，若QP QA QB λμ=+u u u r u u r u u u r ，则λμ+的取值范围是( ) A.(1,2]B.(1,3]C.(1,4]D.(1,5]12.已知函数2()(2)2bf x lnx e a x =+--，其中e 是自然对数的底数，若不等式()0f x ≤恒成立，则ba的最小值为( ) A.21e-B.22e -C.1e -D.2e-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________.14.已知变量x y ,满足约束条件10220|1|(0)x y x y x a a +-≥-+≥-≤>⎧⎪⎨⎪⎩，若目标函数z x y =-的最小值为34-，则实数a 的值为___________.15.已知向量,a b ，||1,||2==a b ，若对任意单位向量e，均有||||⋅+⋅≤a e b e 则⋅a b 的最大值是___________.16.用123456，，，，，组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，246，，三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为___________.（用数字填写答案）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠； （2）若DC =BC .18.（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，*13()3n n S S n N +=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n nnb a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，其中*n N ∈.19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中,PA ABC ⊥底面,90BAC ∠=︒.点D E N ,,分别为棱PA PC BC ,,的中点,M 是线段AD 的中点,4PA AC ==,2AB =.（Ⅰ）求证：MN BDE 平面∥； （Ⅱ）求二面角C EM N --的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21，求线段AH 的长.20.（本题满分12分）某中学数学组推出微信订阅号后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；（2） 如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重充实哪个栏目的内容，并简要说明理由.（2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）21.（本题满分12分）已知函数()f x ax =，()ln g x x =.（Ⅰ）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（Ⅱ）若函数()[sin(1)]()G x f x g x =--在(0,1)上为减函数，求a 的取值范围； （Ⅲ）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑.22.（本题满分12分）抛物线1C :22(0)x py p =>的焦点F 是2C :2112y x =+的顶点,过F 点的直线12,l l 的斜率分别是12,k k ，且12,2k k =-,直线1l 与12,C C 交于,,A C M ，直线2l 与12,C C 交于,,B D N .（Ⅰ）求抛物线1C 的方程，并证明：,M N 分别是,AC BD 的中点，且直线MN 过定点； （Ⅱ）①求MFN ∆面积的最小值②设,,ABF MNF CDF ∆∆∆面积分别为123,,S S S ，求证：22134S S S =⋅.数学答案一、选择题：1.设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】由题意22(1)11(1)(1)i i i i i i i +==-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.2.已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B =( )A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}-【答案】C【解析】集合{|12,}{B x x x Z =-<<∈=，而{1,2,A =，所以0,1,3}2,{A B =，故选C.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由折线图，易知选项A 错误，故选A.4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )C.D.【答案】D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以f 为首项，数列，故第八个单音的频率为18f-⋅=，故选D.5.函数2sin(6)241xxxyπ⋅+=-的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D【解答】由题意得2c o s6()41xxxf x⋅=-，所以2c o s(6)2c o s6()()4141x xx xf x f x-⋅-⋅-==-=---，所以()f x为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A；因为当x从右趋向于0时，()f x趋向于+∞，当x趋向于+∞时，()f x趋向于0，故排除BC，故选D.6.使231()()2nx n Nx*+∈展开式中含有常数项的n的最小值是( )A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】2251311()()22k n k k k n kk n nkT C x C xx--+==，令250n k-=得52n k=，所以n的最小值是5，故选C.7.已知00M x y，（）是双曲线C：2212xy-=上的一点，12F F、是C上的两个焦点，若12MF MF⋅<，则y的取值范围是( )A.(33B.(66C.()33-D.(33-【答案】A【解析】由题知12(F F ,220012x y -=,故120000(,),)MF MF x y x y ⋅=-⋅-，2220003310x y y =+-=-<，解得033y -<<A . 8.已知函数()sin(2)(0)2f x x πϕϕ=+<<的图象的一个对称中心为3(,0)8π, 则函数()f x 的单调递减区间是( ) A.3[2,2]()88k k k Z ππππ-+∈ B.5[2,2]()88k k k Z ππππ++∈ C.3[,]()88k k k Z ππππ-+∈ D.5[,]()88k k k Z ππππ++∈ 【答案】D【解析】由题意得3sin(2)08πϕ⨯+=，得4πϕ=，所以()sin(2)4f x x π=+，由3222242k x k πππππ+≤+≤+，得()f x 的单调递减区间为5[,]()88k k k Z ππππ++∈，故选D .9. 如图1，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1AD 、1B C 、11C D 上，当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时，三棱锥Q BMN -的正视图面积为( )A.212aB.214aC.24a D.24a【答案】B【解析】由俯视图可知点N 和点C 重合，点Q 和1D 重合，M 为1AD 的中点，故其正视图为三角形，如右图，从而得其面积为2111224a a a ⨯⨯=.10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .ABC ∆的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A.12p p =B.13p p =C.23p p =D.123p p p =+【答案】A【解析】假设2,2,2AC a AB b BC c ===，由三角形ABC 是直角三角形得，222AC AB BC +=，即222(2)(2)(2)a b c +=，即222a b c +=，故区域Ⅰ的面积为2222a b ab ⨯=，区域Ⅱ的面积为222(2)2222a b c ab ab πππ+--=，区域Ⅲ的面积为222()2222c a b ab ab ππ+-=-，又由于总区域固定，所以12p p =，故选A .11.设抛物线C :24x y ＝与椭圆E :2229x y +=交于A B 、两点，在椭圆E 位于抛物线C 上方的部分取一点P ，点Q 为椭圆E 的右顶点，若QP QA QB λμ=+u u u r u u r u u u r ，则λμ+的取值范围是( )A.(1,2]B.(1,3]C.(1,4]D.(1,5] 【答案】B【解析】易得(2,1),(2,1)A B -，又因为Q ，所以322(2,1),(2,1)QA QB =-=-,设(,)(13)P x y y <≤，()QP x y =，所以(1,3]y λμ+=∈，故选B .12.已知函数2()ln (2)2bf x x e a x =+--，其中e 是自然对数的底数，若不等式()0f x ≤恒成立，则ba的最小值为( )A.21e -B.22e -C.1e -D.2e -【答案】B【解析】因为函数2()ln (2)2b f x x ea x =+--，所以21()(2)f x e a x'=+-，其中0x >，当22a e ≤时，()0f x '>，()f x 在(0)+∞，上是增函数，∴()0f x ≤不可能恒成立，当22a e >时，由()0f x '=，得212x a e =-，所以21(0,)2x a e ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 21(,)2x a e ∈+∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当212x a e =-时，()f x 取最大值，又因为不等式()0f x ≤恒成立，所以()f x 的最大值为0， 所以22111()ln()10222f b a e a e =--≤--，即21ln(2)102a e b -++≥，即211l n (2)2b a e ≥---，所以2211ln(2)(2)2b a e a e a a ---⋅≥>，令221l ()n(2)(2)x e F e xx x --->=，则 222222221ln(2)(2)ln(2)2()2(2)xx e x e x e e F x x e x x e x-++-----=-'=， 令222()(2)ln(2)2H x x e x e e =---，则2()ln(2)1H x x e '=-+，由()0H x '=得212x e e =+，当21(2,)x e e∈++∞时，()0H x '>，()H x 是增函数，221(2,2)x e e e ∈+时，()0H x '<，()H x 是减函数，所以当212x e e =+时，()H x 取最小值2211(2)2H e e e e+=--，因为22x e →时，()0H x →，23x e >时，()0H x >，2(3)0H e =， 所以当22(2,3)x e e ∈时，()0F x '<，()F x 是减函数；当2(3,)x e ∈+∞时，()0F x '>，()F x 是增函数所以23x e =时，()F x 取最小值，221()3F e e=-， 所以12b a ⋅的最小值为21e -，即有b a 的最小值为22e-.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________.【答案】63-【解析】由题意，当1n =时，1121a a =+，解得11a =-.当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+=-，整理得，12(2)n n a a n -=≥， 故{}n a 是以1-为首项，2为公比的等比数列，因此66(1)(12)6312S -⨯-=--=.14.已知变量x y ,满足约束条件10220|1|(0)x y x y x a a +-≥-+≥-≤>⎧⎪⎨⎪⎩，若目标函数z x y =-的最小值为34-，则实数a 的值为___________.【答案】12【解析】不等式组10220|1|(0)x y x y x a a +-≥-+≥-≤>⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域如图所示，当0＜a ＜1时，可行域为梯形ABCD ； 当a ≥1时，可行域为△CDE ；当0＜a ＜1时，直线z x y =-经过点3(1,)2a A a --时，z 取得最小值34-， 所以312a a ---=34-，解得12a =； 当a ≥1时，直线z x y =-经过点(01)E ，时，z 取得最小值﹣1，此时不满足题意；综上，实数a 的值为.15.已知向量,a b ，||1,||2==a b ，若对任意单位向量e ，均有|||6⋅+⋅a e b ，则⋅a b 的最大值是___________.【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为1216.用123456，，，，，组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，246，，三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为___________.（用数字填写答案） 【答案】288【解析】从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”,方法有236A =种,先排3个奇数,有336A =种,形成了4个空,将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中,方法有2412A =种,根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6612432⨯⨯=种.若1排在两端,1的排法有12224A A ⋅=种;形成了3个空,将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中,方法有236A =种,根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有646144⨯⨯=种,故满足1不在左右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为432144288-=种.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC .【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin 5ADB ∠=.………………………………………3分 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==分 （2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.………………………………………7分在BCD △中，由余弦定理得：2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=，故5BC =.……10分18.（本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，*13()3n n S S n N +=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n nnb a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，其中*n N ∈.【解析】（1）133n n S S +=+，当2n ≥时，133n n S S -=+， 两式相减，得：13n na a +=（2n ≥）……………………………………………………………2分 又13a =，代入133n n S S +=+得29a =，所以213a a =，………………………………………3分所以数列{}n a 是13a =为首选，3为公比的等比数列，………………………………………4分 所以133n nn a -=⋅=()n N +∈， …………………………………………………………………6分 （2）1n n nnb a a +=-133n n n +=-123n n =， ………………………………………………………8分231123()23333n nn T =+++2341111231()3233333n n n n n T +-=++++ 23412111111()32333333n n n n T +∴=++++- ……………………………………………………10分 解得，36243n nn T +=-……………………………………………………………………………12分19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥底面，90BAC ∠=︒.点D E N ,,分别为棱PA PC BC ,,的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（Ⅰ）求证：MN BDE 平面∥； （Ⅱ）求二面角C EM N --的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE，求线段AH 的长.【解析】如图，以A 为坐标原点，分别以,,AB AC AP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则由题意得(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,2)A B C D ， (0,2,2),(0,0,4),(0,0,1),(1,2,0)E P M N ，（Ⅰ）(0,2,0)DE =，(2,0,2)DB =-.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又(1,2,1)MN =-，可得0MN ⋅=n ， 因为M N⊄平面，所以M N 平面∥. ………………………………………………4分（Ⅱ）易知1(1,0,0)=n 是平面CEM 的一个法向量，设2(,,)x y z =n 是平面EMN 的法向量， 则2200EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，因为(0,2,1),(1,2,1)EM MN =--=-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩，不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n ，………………………………………6分所以121212,|||cos <>=⋅=n n n n |n n12sin ,<>=n n ， 所以二面角C EM N--的正弦值为21.……………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设(04)AH h h =≤≤，则(0,0,)H h ，从而可得(1,2,),(N H h B E =--=-， 由已知得，|,|co ||21|s |NH BE NH BE NH BE h <>==⋅=||，整理得2102180h h -+=， 解得8152h =或，所以，线段AH 的长为8152或.……………………………………………12分 20.（本题满分12分）某中学数学组推出微信订阅号后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；（2） 如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）【解析】（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以25,5,15,15a b c d ====，列联表如图……………………2分2260(2515515)7.5 6.63530302040K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，………………………………………………………4分所以能有99%的把握认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”. …………………5分 （2）X的取值为0,1,2，由题意，2(2,)3XB ，……………………………………………6分所以1(0)9P X ==，4(1)P x ==，4(2)P x ==，分布列如下……………………8分X 的期望为43EX =， …………………………………………………………………………10分（3）关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，即关注栏目1的人数多， 所以应该充实栏目1的内容. …………………………………………………………………12分 21.（本题满分12分）已知函数()f x ax =，()ln g x x =.（Ⅰ）若函数()()()F x f x g x =-有极值1，求a 的值；（Ⅱ）若函数()[sin(1)]()G x f x g x =--在(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：211sinln 2(1)nk k =<+∑. 【解析】（Ⅰ）()()()ln F x f x g x ax x =-=-，1()F x a x'=-，易得定义域为(0,)+∞，……2分所以当0a ≤时，()0F x '<，()F x 在(0,)+∞上单调递减，()F x 无极值， …………………3分当0a >时，由()0F x '=得1x a =，从而()F x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增，所以()F x 有极小值为，1()1ln 1F a a=+=，解得1a =， ………………………………4分 （Ⅱ）由题意()(G x f x g x=--=-， (5)分 因为()G x 在()0,1上为减函数，所以1()cos(1)0G x a x x '=--≤在(0,1)恒成立，又因为(0,1)x ∈时，c o s (1)0x ->，所以1c o s (1)a x x ≤-在(0,1)上恒成立，……………6分设1()(01)cos(1)H x x x x =<<-，则22sin(1)cos(1)()0cos (1)x x x H x x x '---=<-， 所以()H x 在区间()0,1上为减函数，∴1()1cos(1)H x x x =>-， 故所求a的范围是：(],1-∞.………………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）()G x 在()0,1上为减函数，取1a =有()(1)0G x G >=,所以s i n (x x -->，即sin(1)ln x x ->，即1sin(1)ln x x -<, ………………………9分取211(1)x k =-+，k N *∈，显然()0,1x ∈， 则221(1)sin ln (1)(2)k k k k +<++，………………………………………………………………10分所以222112s i (1nk n n k n n n =++<⋅⋅⋅=<+⋅⋅⋅++∑，得证. …………12分22.（本题满分12分）抛物线1C :22(0)x py p =>的焦点F 是2C :2112y x =+的顶点,过F 点的直线12,l l 的斜率分别是12,k k ，且12,2k k =-,直线1l 与12,C C 交于,,A C M ，直线2l 与12,C C 交于,,B D N .（Ⅰ）求抛物线1C 的方程，并证明：,M N 分别是,AC BD 的中点，且直线MN 过定点；（Ⅱ）①求MFN ∆面积的最小值②设,,ABF MNF CDF ∆∆∆面积分别为123,,S S S ，求证：22134S S S =⋅.【解析】（Ⅰ）因为121:22+=x y C 的顶点()0,1F ,所以抛物线:1C 24x y =，………………1分 直线11:1l y k x =+，22:1l y k x =+，由121214404y k x x k x x y =+⎧⇒--=⎨=⎩,设()()1122,,,A x y C x y ，则121124,4x x k x x +==-， 所以AC的中点为211(2,21)k k +，同理BD 的中点为222(2,21)k k +，…………………………2分 易知211(2,21)k k +、222(2,21)k k +满足方程121:22+=x y C ， 故由题意,M N 坐标即为211(2,21)k M k +、222(2,21)k N k +，从而可知,M N 分别是,A C B D 的中点，………………………………………………………4分 由上得()22212121222MN k k k k k k k -==+-，所以直线()()22112112112:21(2)22MN y k k k x k k k x k k k --=+-=+--因为122k k =-，所以()221121122122y k k k x k k k --=+--，即()125y k k x =++， 所以直线MN过定点()0,5, ……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）①||MN ==F到直线MN的距离d =………………………………………………………7分1||2FMN S MN d ∆=⨯==≥==，…………………………………………8分② 设()()1122,,,A x y C x y ,()()3344,,,B x y D x y121124,4x x k x x +==-,342342,4x x k x x +==-()222121212112111,24216y y x x y y k x x k ==+=++=+,2343421,42y y y y k =+=+ 设AFB θ∠=，则1311||||sin ||||sin 22S S FA FB FC FD θθ=⨯()()()()()()22123412123434111111sin 11sin 44y y y y y y y y y y y y θθ=++++=++++++ ()()()()222222*********sin 411sin 4k k k k θθ=++=++，………………………………………10分()()2222242422112211||||sin 4444sin 44S FM FN k k k k θθ==++ ()()()()22222222121212411sin 1611sin k k k k k k θθ=++=++所以2214S S =，………………………………………………………………………………12分。
2019年河南省郑州一中高考数学二模试卷(理科)解析版
2019年河南省郑州一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-4x-5＜0}，集合B={x|-2＜x＜2}．则A∩B=（）A. B. C. D.2.已知复数z=（i为虚数单位），则=（）A. B. C. D.3.已知命题p：方程ax2+by2=1表示双曲线；命题q：b＜0＜a．命题p是命题q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知等差数列{a n}各项均为正数，a1+a2+a3=12，a1•a2•a3=48，则数列{a n}的通项公式为（）A. 2nB.C.D. n5.函数y=的图象大致为（）A.B.C.D.6.已知F1，F2分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点．若的最大值为3，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.7.如图所示的程序框图，则输出结果为（）A.B.C. 3D. 8.已知函数f（x）=，，＜，则不等式f（x）≤1的解集为（）A. B. ， C. D.9.将曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域记为Ⅰ，曲线x2+y2=1围成的区域记为Ⅱ，曲线x2+y2=1与坐标轴的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD围成的区域记为Ⅲ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，则（）A. B. C. D.10.第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”“编制剪辑”等四项工作，每项工作至少一人参加，但两名女记者不参加“负重扛机”，则不同的安排方案数共有（）A. 150B. 126C. 90D. 5411.若关于x的方程2019|x-1|+a sin（x-1）+a=0只有一个实数解，则实数a的值（）A. 等于B. 等于1C. 等于2D. 不唯一12.已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O的表面积为20π，则三棱柱的体积为（）A. B. 12 C. D. 18二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足线性约束条件，则2x-3y的最小值为______．14.已知||=1，=（，），||=2，则在方向上的投影为______．15.将y=sin（x）的图象向右平移φ个单位后（φ＞0），得到y=cos x的图象，则φ的最小值为______．16.已知二进制和十进制可以相互转化，例如89=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20，则十进制数89转化为二进制数为（1011001）2，将n对应的二进制数中0的个数，记为a n（例如：4=（100）2，51=（110011）2，89=（1011001）2，则a4=2，a51=2，a89=3，），记f（n）=，则f（22018）+f（22018+1）+f（22018+2）+…+f（22019-1）=______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=sin2sin x-，△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．（1）求f（A）的取值范围；（2）若C＞A，f（A）=0，且2sin A=sin B+，△ABC的面积为2，求b的值．18.如图所示，在多面体BC-AEFD中，矩形BCFE所在平面与直角梯形AEFD所在平面垂直，AE∥DF，AE⊥EF，G为CD的中点，且AE=BE=BC=1，DF=2．（1）求证：AG∥平面BCFE；（2）求直线AB与平面AGE所成角的正弦值．19.某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．问两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．（设各局胜负相互独立，各选手水平互不相同．）20.已知点G在抛物线C：x2=4y的准线上，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）证明：x1x2+y1y2为定值；（2）当点G在y轴上时，过点A作直线AM，AN交抛物线C于M，N两点，满足AM⊥MN．问：直线MN是否恒过定点P，若存在定点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.设函数f（x）=x lnx-+a-x（a∈R）．（1）若函数f（x）有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；（2）若a=2，k∈N，g（x）=2-2x-x2，且当x＞2时不等式k（x-2）+g（x）＜f（x）恒成立，试求k的最大值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+a=0．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程，并指出两曲线的轨迹图形；（2）曲线C1与两坐标轴的交点分别为A、B，点P在曲线C2运动，当曲线C1与曲线C2相切时，求△PAB 面积的最大值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-1|．（1）解不等式f（x）＞2；（2）记函数g（x）=f（x）+f（-x），若对于任意的x∈R，不等式|k-1|＜g（x）恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|-1＜x＜5}；∴A∩B={x|-1＜x＜2}．故选：A．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：∵z=，∴z（1+i）2=1-i，∴2zi=1-i，则-2z=i（1-i）=1+i，∴z=-，则．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：方程ax2+by2=1表示双曲线等价于ab＜0，即命题p：ab＜0，由ab＜0推不出b＜a＜0，充分性不具备，由b＜a＜0能推出ab＜0，必要性具备，故命题p是命题q的必要不充分条件，故选：B．命题p等价为ab＜0，在和命题q对比即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用好双曲线方程系数的关系是解决本题的关键，比较基础．4.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a2+a3=12，可得：3a2=12，解得a2=4，又a1•a2•a3=48，∴a1•a3=12，又a1+a3=8，∴a1，a3是方程x2-8x+12=0的两根，又等差数列{a n}各项均为正数，∴a1=2，a3=6，∴d=2故数列{a n}的通项公式为：a n=2+2（n-1）=2n．故选：A．利用等差数列的性质及通项公式求得首项与公差，即可得到数列{a n}的通项公式．本题考查了等差数列的通项公式及性质、一元二次方程的根与系数的关系及其解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由f（x）的解析式得f（-x）+f（x）=0，∴f（x）是奇函数图象关于原点对称，当x=1时，f（1）=＜1，排除A，当x＞0时，f（x）==，函数在（0，+∞）上单调递减，故可排除B，D故选：C．结合函数图象性质，利用函数的单调性及特殊值即可作出判断．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的定义域，函数的单调性，函数的奇偶性，判断图象的对称性；函数的特征点，利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：P到椭圆C焦点的最大距离为a+c，最小距离为a-c，又的最大值为3，∴，∴e=．故选：B．P到椭圆C焦点的最大距离为a+c，最小距离为a-c，结合题意可得结果．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见方法：求出a，c，代入公式e=只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．7.【答案】D【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89值，由于S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89=×==log29．故选：D．模拟执行程序框图，可得程序的功能是求S=log23×log34×log45×log56×log67×log78×log89值，即可求得S的值．本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序框正确得到程序的功能是解题的关键，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：当x≥1时，f（x）≤1即为：log2x≤1解得1≤x≤2当x＜1时，f（x）≤1，即为：解得x≤0．综上可得，原不等式的解集为（-∞，0][1，2]故选：D．对x讨论，当x＞0时，当x≤0时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由方程x2+y2=|x|+|y|，得：，或者，或者，或者，曲线x2+y2=|x|+|y|围成的区域Ⅰ、曲线x2+y2=1围成的区域Ⅱ、四边形ABCD围成的区域Ⅲ，如图：可知区域Ⅰ的面积为=2+π；区域Ⅱ的面积为π×12=π；区域Ⅲ的面积=2；∴由几何概率公式得：，，故p1+p2=1．故选：C．由题意分别计算出三个区域的面积，即可得到p1+p2=1，本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一：C31×A33=18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，故选：B．记两名女记者为甲乙，三名男记者为丙、丁、戊，根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了“负重扛机”的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．11.【答案】A【解析】解：令t=x-1，则关于x的方程2019|x-1|+asin（x-1）+a=0只有一个实数解等价于关于t的方程2019|t|+asint+a=0只有一个实数解，若a≥0，则由sint≥-1及y=2019x为增函数，得：2019|t|+asint+a≥20190-a+a=1＞0，方程无解，故a＜0，令f（t）=2019|t|+a，g（t）=asint，则y=f（t）在t=0时取最小值1+a，又函数y=g（t）的图象关于点（0，0）对称，当a=-1时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象有且只有一个交点，此而满足题意，当a＜-1时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象有两个交点，此而不合题意，当-1＜a＜0时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象没有交点，此而不合题意，所以a=-1为所求，故选：A．由函数的对称性得：令f（t）=2019|t|+a，g（t）=asint，则y=f（t）在t=0时取最小值1+a，又函数y=g（t）的图象关于点（0，0）对称，由分类讨论的数学思想方法得：分别讨论当a=-1时，当a＜-1时，当-1＜a＜0时，两函数y=f（t）、y=g（t）的图象的交点个数即可得解，本题考查了函数的对称性及函数图象的交点，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型12.【答案】A【解析】解：为三棱柱ABC-A1B1C1的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R，∵球O的面积为20π，4πR2=20π，解得，底面和侧面截得的圆的大小相同，∴，∴，①又∵，②由①②得，h=2，三棱柱的体积为．故选：A．由题意可知该三棱柱的底面是等边三角形，设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R ，可得，，从而得到结果．空间几何体与球接、切问题的求解方法（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2=a2+b2+c2求解．13.【答案】【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，令z=2x-3y，则，作出直线l ：，平移直线l，由图可得，当直线经过点C时，直线在y轴上的截距最大，此时z=2x-3y取得最小值，由，可得，即，∴z=2x-3y 的最小值是．故答案为：．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-3y直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．14.【答案】【解析】解：∵||=1，=（），||=2，∴=4，∴∴则在方向上的投影为：故答案为：-．对向量的模两边平方得到数量积，代入投影公式得到结果．本题考查平面向量的数量积的性质，考查向量的模，向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：将y=sin（x）的图象向右平移φ个单位后（φ＞0），可得y=sin（x-φ）的图象；又因为得到y=cosx=sin（x+）的图象，∴sin（x+）=sin（x-φ），∴=2kπ-φ-，k∈Z，∴φ=2kπ-，则当k=1时，φ取得最小值为，故答案为：．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得φ的最小值．本题主要考查了三角函数的图象变换，诱导公式、考查了函数与方程思想，属于中档题．16.【答案】32018【解析】解：依题意=1×22018+0×22017+0×22016+……+0×20=2018，可以理解为在1×22018后的2018个数位上，有2018选择0，∴f（22018）=22018，=1×22018+0×22017+……+0×21+1×20=2017，可以理解为在1×22018后的2018个数位上，有2017选择0，∴f（22018+1）=22017，根据计数原理，在f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于22017共有个，同理在f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于22016的共有个，……在f（22018），f（22018+1），f（22018+2），…，f（22019-1）中等于20的有个．所以f（22018）+f（22018+1）+f（22018+2）+…+f（22019-1）=++……+=（1+2）2018=32018．故填：32018．根据计数原理将原式转化为求和问题，再用二项式定理处理．本题考查了二进制，计数原理，二项式定理等知识，综合性强，难度大，属于难题．17.【答案】解：（1）f（x）=sin2sin x-=+-=sin（x-）．由题意0＜A＜π，则A-∈（-，），可得：sin（A-）∈（-，1]．可得：f（A）的取值范围为（-，]．（2）方法一：由题意知：sin（A-）=0，∴A-=kπ，k∈Z，∴A=+kπ，k∈Z．又∵A为锐角，∴A=．由余弦定理及三角形的面积得：，解得b=2．方法二：2sin=sin（-C）+sin C，且C＞A，可得C=，则△ABC为等腰直角三角形，由于：b2=2，所以：b=2．【解析】（1）由题易得f（x）=sin（x-），利用正弦函数的图象与性质可得f（A）的取值范围；（2）利用f（A）=0，可得A=，结合余弦定理及三角形的面积公式可得结果．解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．第三步：求结果．18.【答案】（1）证明：取CF的中点H，连结EH．∵H是CF的中点，G是CD的中点．∴GH∥FD，GH=FD．又AE∥DF，AE=DF．∴AE∥GH，AE=GH．∴四边形AGHE是平行四边形，∴AG∥EH．又∵AG⊄平面EFCB，EH⊂平面EFCB．∴AG∥平面EFCB．（2）∵平面BEFC⊥平面AEFD，CF⊥EF，平面AEFD∩平面EFCB=EF，∴CF⊥平面AEFD．∴CF⊥EF，CF⊥FD．∵AE∥DF，AE⊥EF，∴EF⊥DF．以F为原点，分别以FE、FD、FC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系F-xyz，则E（1，0，0），F（0，0，0），D（0，2，0），C（0，0，1），A（1，1，0），B（1，0，1），G（0，1，），∴=（-1，0，），=（0，-1，0）．设平面AGE的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=2，得=（1，00，2）．又=（0，-1，1），∴cos＜，＞==．∴直线AB与平面AGE所成角的正弦值为．【解析】（1）取CF的中点H，连结EH，证明四边形AGHE为平行四边形即可得出AG∥EH，故而AG∥平面BCFE；（2）以F为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出直线AB与平面AGE所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间向量坐标法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.【答案】解：甲乙两人对决，若甲更强，则其胜率p＞．采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为：，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜二局，由独立性得五局三胜制下甲最终获胜的概率为：（1-p）+．而p2-p1=p2（6p3-15p2+12p-3）=3p2（p-1）2（2p-1）．∵p＞，∴p2＞p1，即五局三胜的条件下甲最终获胜的可能更大．∴五局三胜制更能选拔出最强的选手．【解析】分别求出三局两胜制甲胜的概率和五局三胜制甲胜的概率，由此能得到采用“五局三胜制”对甲有利．本题考查概率的求法及应用，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）法1：抛物线C：x2=4y的准线为l：y=-1，故可设点G（a，-1），由x2=4y，得，所以．所以直线GA的斜率为．因为点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．所以直线GA的方程为．因为点G（a，-1），在直线GA上，所以，即．同理，可知．所以x1，x2是方程x2-2ax-4=0的两个根，所以x1x2=-4．又，所以x1x2+y1y2=-3为定值．法2：设过点G（a，-1），且与抛物线C相切的切线方程为y+1=k（x-a），由，消去y得x2-4kx+4ka+4=0，由△=16k2-4（4ak+4）=0，化简得k2-ak-1=0，所以k1k2=-1．由x2=4y，得，所以．所以直线GA的斜率为．直线GB的斜率为．所以，即x1x2=-4．又，所以x1x2+y1y2=-3为定值．（2）存在，由（1）知．不妨设x1＜x2，则x1=-2，x2=2，即A（-2，1），B（2，1）．设设M（x M，y M），N（x N，y N）．则，两式作差，可得（x1-x M）（x1+x M）=4（y1-y M），所以直线AM的斜率为，同理可得，因为AM⊥MN，所以，整理得x M•x N-2（x M+x N）+20=0，又，①又因为因为，，两式作差，可得（x M-x N）（x M+x N）=4（y M-y N），从而可得直线MN的斜率为，所以直线MN的方程为，化简可得4y=（x M+x N）x-x M x N，将①代入上式得4y=（x M+x N）x-2（x M+x N）+20，整理得4（y-5）=（x M+x N）（x-2）．所以直线MN过定点（2，5），即P点的坐标为（2，5）．【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．【解析】（1）求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则x1，x2是方程x2-2ax-4=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；（2）设M（x M，y M），N（x N，y N ）．利用点差法可得，同理可得，结合垂直关系可得x M•x N-2（x M+x N）+20=0，又因为，两式作差，可得（x M-x N）（x M+x N）=4（y M-y N），，从而可得结果．本题主要考查圆锥曲线中定点问题的常见解法，假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；属于较难题目．21.【答案】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f （x）=ln x-ax，令f （x）=0，可得ln x-ax=0，∴a=，令h（x）=，则由题可知直线y=a与函数h（x）的图象有两个不同的交点，h （x）=，令h （x）=0，得x=e，可知h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，h（x）max=h（e）=，当x趋向于+∞时，h（x）趋向于零，故实数a的取值范围为（0，）．（2）当a=2时，f（x）=x lnx-x2+2-x，k（x-2）+g（x）＜f（x），即k（x-2）＜x lnx+x，因为x＞2，所以k＜，令F（x）=（x＞2），则F （x）=，令m（x）=x-4-2ln x（x＞2），则m （x）=1-＞0，所以m（x）在（2，+∞）上单调递增，m（8）=4-2ln8＜4-ln e2=0，m（10）=6-2ln10＞6-2ln e3=0，故函数m（x）在（8，10）上唯一的零点x0，即x0-4-2ln x0=0，故当2＜x＜x0时，m（x）＜0，即F （x）＜0，当x0＜x时，F （x）＞0，所以F（x）min=F（x0）===，所以k＜，因为x0∈（8，10），所以∈（4，5），所以k的最大值为4．【解析】（1）求出函数的导数，得到a=，令h（x）=，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）代入a的值，问题转化为k ＜，令F（x）=（x＞2），求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解（1）曲线C1化为普通方程为x+y+3=0，是一条直线，对于曲线C2：由x=ρcosθ及x2+y2=ρ2代入曲线C2的极坐标方程得其直角坐标方程为x2+y2-2x+a=0，即为（x-1）2+y2=1-a．当a＜1，曲线C2是以（1，0）为圆心，为半径的圆．当a=1，曲线C2表示一点（1，0）．当a＞1，曲线C2不存在．（2）由（1）知曲线C1化为普通方程为x+y+3=0，令x=0，y=-3；y=0，x=-3，所以A（-3，0），B（0，-3），又由题可知a＜1，曲线C2：（x-1）2+y2=1-a，由直线与圆相切可知=，解得a=-7，此时C2：（x-1）2+y2=8，所以（S△PAB）max=|AB|•2R=×3×=12，所以△PAB面积的最大值为12．【解析】（1）曲线C1化为普通方程，表示一条直线；曲线C2化为普通对a分类讨论明确轨迹的形态；（2）先求出A，B的坐标，得到|AB|，利用圆的切线求出圆上点到直线的最大距离，即可得到结果．本题考查三角形面积最值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）依题意得f（x）=，，＜＜，，于是得＞或＜＜＞或；解得x＜-，或x＞0；即不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-或x＞0}；（2）g（x）=f（x）+f（-x）=|x-1|+|x+1|+（|2x+1|+|2x-1|）≥|（x-1）-（x+1）|+|（2x+1）-（2x-1）|=4，当且仅当，即x∈[-，]时取等号，若对于任意的x∈R，不等式|k-1|＜g（x）恒成立，则|k-1|＜g（x）min=4，所以-4＜k-1＜4，解得-3＜k＜5，即实数k的取值范围为（-3，5）．【解析】（1）讨论x的取值范围，解不等式组即可得到结果；（2）不等式|k-1|＜g（x）恒成立即|x-1|＜g（x）min恒成立，求函数的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式的应用问题问题，也考查了不等式恒成立求参数的范围问题，考查了分类讨论思想，转化思想，是中档题．。
河南省郑州一中2019届高三数学考前冲刺卷(一)文
河南省郑州一中2019届高三数学考前冲刺卷（一）文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{})1lg(-==x y x A ，集合{}522++==x x y y B ，则=)(B C A U （ ）A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2) 2.i 是虚数单位，复数=-+ii212（ ）A ．)2(2i +B ．1+iC ．iD ．-i3.若直线1:+=kx y l 与圆1:22=+y x O 相交于A ，B 两点，则“k=1”是“2=AB ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.如图，若x x g x f x 2log )(,3log )(==，输入25.0=x ，则输出=)(x h （ ） A ．0.25 B ．2log 23 C ．3log 212-D ．-25.数列{}n a 满足：11=a ，且对任意的*∈N n m ,，都有mn a a a n m n m ++=+，则=+⋅⋅⋅+++20143211111a a a a （ ） A ．20142013 B ．10072013C ．20152013D ．20154028 6.抛物线24x y -=的准线方程为（ ）A ．1=xB ．1=yC ．161=x D ．161=y 7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是23，则正视图中x 的值是（ ）A ．2B ．29C ．23D ．38.函数x x x f cos 2sin )(+=的值域为（ ）A ．]5,1[B ．]2,1[C ．]5,2[D ．]3,5[9.已知直线01=-++m y mx 上存在点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>≤--≤-+,1,032,03x y x y x 则实数m 的取值范围为（ ）A ．)1,21(-B ．]1,21[-C ．)21,1(-D ．]21,1[- 10.已知数列{}n a 满足m n n a n ++-=3453123，若数列{}n a 的最小项为1，则实数m 的值为（ ） A ．41 B ．31 C ．41- D ．31-11.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=),1(log ),10(sin )(2014x x x x x f π若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是（ ）A ．)2014,1(B ．)2015,1(C ．)2015,2(D ．]2015,2[12.已知抛物线x y 42=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，且与双曲线交于B A ,两点，O 为坐标原点，AOB ∆的面积为23，则双曲线的离心率为（ ） A ．23B ．4C ．3D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点.若21,120-=⋅=∠A的最小值是_____.14.若),0(πα∈，且)4sin(2cos 3απα-=，则α2sin 的值为_____.15.在半径为2的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若AB=AC=AD=2，则平面BCD 被球所截得图形的面积为________. 16.已知函数)()(R a e ae xf xx∈+=在区间]1,0[上单调递增，则实数a 的取值范围是_____.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知a,b,c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，且3,2π==C c .（1）若△ABC 的面积等于3，求a,b 的值； （2）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求A 的值. 18.（本小题满分12分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）求此人停留期间空气质量至少有1天为优良的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 19.（本小题满分12分）如图所示，已知直三棱柱111C B A ABC -中，Q N M AC AB AC AB AA ,,,,1⊥==分别是AC BC CC ,,1的中点，点P 在线段11B A 上运动.（1）证明：无论点P 在线段11B A 上的任何位置，总有AM ⊥平面PNQ ； （2）若AC=1，求三棱锥P-MNQ 的体积.20.（本小题满分12分）已知)0,1(),0,1(21F F -为椭圆C 的左、右焦点，且点)332,1(P 在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，则AB F 2∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）设0>a ，函数ax e x f x+=2)(.（1）若95=a ，求函数)(x f 的单调区间； （2）当21=x 时，函数)(x f 取得极值，证明：对于任意]23,21[,21∈x x ，e ex f x f 33)()(21-≤-.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，圆O 的直径AB=10，P 是AB 延长线上的一点，BP=2，割线PCD 交圆O 于点C ，D ，过点P 作AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F. （1）求证：∠PEC=∠PDF ； （2）求PF PE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程极坐标与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，已知曲线C 的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 1+=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为参数方程； （2）已知曲线C 上两点]),0[)(2,(),,(21πθπθρθρ∈+B A ，求△AOB 的面积的最小值及此时θ的值.24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知正实数a,b 满足a+b=2. （1）求ba 11+的最小值m ； （2）设函数)0(1)(≠++-=t tx t x x f ，对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得m x f =)(成立？若存在，求出x 的取值范围；若不存在，说明理由.数学（文科）试卷（一）参考答案1-5DCADD 6-12DCAAB CD 13.21 14.1或1817- 15.π3 16.[-1,1] 17.（1）根据三角形的面积公式可知：2321sin 213⋅===ab C ab S ，所以ab=4. 又由余弦定理可知：abb a abc b a C 824221cos 22222-+=-+==，所以822=+b a . 综上可得a=b=2.（2）因为A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，所以A A A B A B A B cos sin 4cos sin 2)sin()sin(==-++， 当0cos =A 时，2π=A .当0cos ≠A 时，A B sin 2sin =.由正弦定理得a b 2=.联立⎩⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 得334,332==b a .根据题意，得131)(=i A P ，且i A 与j A 互斥，i ，j=1，2,3，...，13，i ≠j. （1）设B 表示事件“此人到达当日空气重度污染”，则85A A B =. 所以132)()()()(8585=+==A P A P A A P B P . （2）设此人停留期间刚好有一天空气质量优良的事件为C ，刚好有两天空气质量优良的事件为D ，则134)()()()()()(1176311763=+++==A P A P A P A P A A A A P C P ， 134)()()()()()(131221131221=+++==A P A P A P A P A A A A P D P .所以此人停留期间空气质量至少有1天为优良的概率为138)()(=+D P C P .（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大. 19.（1）连接Q A 1.因为AC AA =1，M ，Q 分别是AC CC ,1的中点，所以CAM Q AA ∆≅∆1. 所以∠MAC=A QA 1∠.所以∠MAC =∠+1AQA =A QA 1∠=∠+1AQA 90°，即Q A AM 1⊥.① 因为N ，Q 分别是BC ，AC 的中点，所以NQ ∥AB. 又AB ⊥AC ，所以NQ ⊥AC.在直三棱柱中，⊥1AA 平面ABC ，所以1AA NQ ⊥.又A AA AC =1 ，所以NQ ⊥平面11A ACC ，所以NQ ⊥AM.② 由①②及Q Q A NQ =⊥1，得AM ⊥平面PNQ. （2）设点P 到平面MNQ 的距离为h ， 由NQ AB B A ∥∥11可得∥11B A 平面MNQ. 由MQ A N MNQ A MNQ P V V V 11---==得NQ S V MQ A MNQ P ⋅=∆-131， 易得21,831==∆NQ S MQ A ，所以161=-MNQ P V . 20.（1）由已知，可设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x .因为222221)332()11()332()11(+-+++=+PF PF ， 所以2,322==b a .所以椭圆C 的方程为12322=+y x . （2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为)1(+=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(12322x k y y x 得0636)32(2222=-+++k x k x k . 设),(),,(2211y x B y x A ，则22212221326,3263kk x x k k x x +-=++-=， 所以22212212132)1(344)(kk x x x x x x ++=-+=-. 设内切圆半径为r ，因为2ABF ∆的周长为344=a （定值），r r a S ABF 324212=⨯⨯=∆，所以当2ABF ∆的面积最大时，内切圆面积最大.又2222121212132)1(34212kk k x x k y y y y F F S ABF ++=-=-=-=∆， 令2322≥+=k t ，则322-=t k ， 所以34112343)1)(2(432)1(34222222<+--⋅=+-=++=∆t t t t t k k k S ABF ， 又当k 不存在时，3421=-y y ，此时π94,32322===∆圆S S r ABF ， 故当k 不存在时内切圆面积最大，π94=圆S ，此时直线方程为1-=x . 21.（1）222222222)(]94)1[()(]1)1[()()2()(a x x e a x a x e a x x a x e x f x x x +--=+-+-=+-+='. 令0)(>'x f ，即094)1(2>--x ，解得31<x 或35>x .因此函数)(x f 在区间),35(),31,(+∞-∞上单调递增.令0)(<'x f ，即094)1(2<--x ，解得3531<<x .因此函数)(x f 在区间)35,31(上单调递减.（2）当21=x 时，函数)(x f 取得极值，即0)21(='f ，所以0212)21(2=⨯-+a ，所以43=a .同理，由（1）易知，)(x f 在区间),23(),21,(+∞-∞上单调递增，在区间)23,21(上单调递减.所以)(x f 在21=x 处取得极大值e f =)21(，在23=x 处取得极小值3)23(e e f =.所以在区间]23,21[上，)(x f 的最大值是e f =)21(，最小值是3)23(ee f =. 所以对于任意]23,21[,21∈x x ，e e e x f x f 3)()(21-≤-，即e ex f x f 33)()(21-≤-.22.（1）连接BC ，则∠ACB=∠APE=90°， 即B ，P ，E ，C 四点共圆.∴∠PEC=∠CBA. 又A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以∠CBA=∠PDF.∴∠PEC=∠PDF.（2）因为∠PEC=∠PDF ，所以F ，E ，C ，D 四点共圆. 又24)102(2=+⨯=⋅=⋅PA PB PD PC ， 所以24=⋅=⋅PD PC PF PE .23.（1）曲线C 的直角坐标方程为1422=+y x . 所以参数方程为为参数）ααα(,sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x . （2）)cos 4sin )(sin 4cos (1,212222222121θθθθρρρρ++==∆AOB S4cos sin 16sin cos 174422θθθθ++=4sin cos 2)cos (sin 16sin cos 172222222θθθθθθ--+=中小学最新教育资料中小学最新教育资料 ]6425,41[41642sin 92∈+=θ， 当且仅当12sin 2=θ，即4πθ=，或43πθ=时，AOB S ∆有最小值为54. 24.（1）2)2(21)11)((2111≥++=++=+b a a b b a b a b a ， 当且仅当1==b a 时等号成立，所以m=2.（2）m tt t x t x x f =≥+≥++-=211)(， 当且仅当1±=t 时等号成立，此时11≤≤-x ， 所以存在]1,1[-∈x ，使m x f =)(成立.。
2019年1月河南省郑州市高三第一次模拟考试数学(理)试卷及解析
2019年1月河南省郑州市高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数的实部和虚部相等，则实数的值为A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．【详解】∵复数的实部和虚部相等，∴，解得a．故选：C．2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∪N和M∩N．【详解】∵集合M＝{x|﹣3≤x＜4}，N＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，∴M∪N＝{x|﹣3≤x≤4}，M∩N＝{x|﹣2≤x＜4}．故选：D．3.已知矩形中，，现向矩形内随机投掷质点，则满足的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图建立以点B为坐标原点，BC，BA所在直线为x轴，y轴的直角坐标系得各点坐标，设M（x，y），则（﹣x，﹣y），（4﹣x，﹣y），由•0得：（x﹣2）2+y2≥4，由其几何意义和几何概型可得解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B（0，0），C（4，0），A（0，2），D（4，2）设M（x，y），则（﹣x，﹣y），（4﹣x，﹣y），由•0得：（x﹣2）2+y2≥4，由几何概型可得：p1，故选：B．4.下列函数既是奇函数，又在上单调递增的是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及上的单调性，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝|sin x|，为偶函数，不符合题意；。
2019届河南省郑州市第一中学高三月考数学(理)试题
河南省郑州市第一中学2019届高三上学期诊断测试数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{A x y ==，集合(){}2lg 1,B y y x y Z ==+∈，则A B 中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.42.已知i 为虚数单位，且复数z 满足()22aiz a R i+=∈+，若z 为实数，则实数a 的值为（ ） A.4B.3C.2D.13.已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ） A.[]1,2B.[]3,5C.[]1,1-D.13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ） A.4x π=B.1912x π=C.1312x π=D.6x π= 5.已知焦点在x 轴上，渐近线方程为34y x =±的双曲线的离心率和曲线()222104x y b b +=>的离心率之积为1，则b 的值为（ ） A.65B.103C.65D.1036.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.0B.12C.1-D.32-7.下列说法正确的个数为（ ）①对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件； ②命题“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“x R ∃∈，sin 1x >”； ③“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； ④已知直线a ，b 和平面α，若a α⊥，b α ，则a b ⊥. A.1B.2C.3D.48.已知直线10ax by ++=与圆221x y +=相切，则a b ab ++的最大值为（ ）A.1B.1-12D.19.已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ） A.2B.3C.72D.5210.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（ ） A.2B.3C.4D.511.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.1235π B.1243π C.1534πD.1615π 12.已知函数()21lg ,10,102,0x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪--≤⎩若11,11,a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩则方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦有五个不同根的概率为（ ） A.13B.38C.25D.112第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知直线y x =与抛物线2y x =围成的区域面积为1n ，则()112nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为__________.14.已知x ，y 满足约束条件0,20,220,x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩且目标函数(),0z ax by a b =+>的最大值为4，则42a b +的最小值为__________.15.已知直线22y x =-与抛物线28y x =交于A ，B 两点，抛物线的焦点为F ，则FA FB ⋅的值为__________.16.已知数列{}n a 中，12a =，()11n n n n a a a +-=+，*n N ∈，若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则t 的取值范围为__________. 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）若函数()()()()1cos cos 2f x x x x ωϕωϕωϕ⎤=++++-⎦，其中0ω>，02πϕ<<，函数()f x 的图象与直线y t =相切，切点的横坐标依次组成公差为π的等差数列，且()f x 为偶函数.Ⅰ.试确定函数()f x 的解析式与t 的值；Ⅱ.在ABC ∆中，三边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且满足122C f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ABC ∆，试求ab 的最小值.18.（本小题满分12分）某相关部门推出了环境执法的评价与环境质量的评价系统，每项评价只有满意和不满意两个选项，市民可以随意进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了200位市民的信息，发现对环境质量满意的占60%，对执法力度满意的占75%，其中对环境质量与执法力度都满意的维80人. Ⅰ.是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为环境质量与执法力度有关？Ⅱ.为了改进工作作风，从抽取的200位市民中对执法力度不满意的再抽取3位进行家访征求意见，用ξ表示3人中对环境质量与执法力度都不满意的人数，求ξ的分布列与期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.19.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒.EA FC ，且FC ⊥平面ABCD ，2FC =，1AE =，点M 为EF 上任意一点.Ⅰ.求证：AM BC ⊥；Ⅱ.点M 在线段EF 上运动（包括两端点），若平面MAB 与平面FBC 所成的锐二面角为60︒，试确定点M 的位置.20.（本小题满分12分）已知动圆C 与圆2220x y x ++=外切，与圆222240x y x +--=内切. Ⅰ.试求动圆圆心C 的轨迹方程；Ⅱ.过定点()0,2P 且斜率为()0k k ≠的直线l 与（Ⅰ）中轨迹交于不同的两点M ，N ，试判断在x 轴上是否存在点(),0A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 2f x a x a x x =-++. Ⅰ.求函数()f x 的单调区间；Ⅱ.若对于任意[]4,10a ∈，1x ，[]21,2x ∈，恒有()()121212f x f x x x x x λ-≤-成立，试求λ的取值范围. 请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1,1x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-. Ⅰ.写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；Ⅱ.已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求AB . 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()322f x x x =-+-，()g x x a a x =-++. Ⅰ.解不等式()10f x >；Ⅱ.若对于任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =，试求a 的取值范围.数学（理科）参考答案13.16014.3+15.11-16.(][),22,-∞-+∞17.解析（Ⅰ）()()()()()21cos cos 222f x x x x x ωϕωϕωϕωϕ=++++-=+ ()()()1cos 221122cos 22sin 222226x x x x ωϕπωϕωϕωϕ++⎛⎫+-=+++=++ ⎪⎝⎭，由函数()f x 的图象与直线y t =相切可得1t =±.()f x 为偶函数，()262k k Z ππϕπ∴+=+∈，()26k k Z ππϕ∴=+∈，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 6πϕ∴=，由题意可知22ππω=，1ω∴=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数()cos2f x x =，122C f ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 1cos 2C ∴=-，又()0,C π∈，23C π∴=112sin sin 223ABC S ab C ab π∆=== ，3c ab ∴=，根据余弦定理可得()222232cos3ab a b ab π=+-， 222292a b a b ab ab ab ∴=++≥+，13ab ∴≥，当且仅当a b =时，取等号，故ab 的最小值为13.18.解析Ⅰ.对环境质量满意的为20060%120⨯=人，对执法力度满意的为20075%150⨯=人，对环境质量与执法力度都满意的为80人，列出22⨯的列联表如下：所以()222008010407010010.82815050120809K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为环境质量与执法力度有关.Ⅱ.随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()3403502470490C P C ξ===；()12104035039198C C P C ξ===； ()2110403509298C C P C ξ===；()31035033490C P C ξ===， ξ∴的分布列为()012349098984905E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.解析Ⅰ.证明：AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=︒，2AB ∴=， 连接AC ，在ABC ∆中，222222cos6021221AC AB BC AB BC =+-⋅︒=+-⨯⨯cos 603⨯︒=，222AB AC BC ∴=+，BC AC ∴⊥，FC ⊥ 平面ABCD ，FC BC ∴⊥，又AC FC C = ， BC ∴⊥平面AEFC ，AM ⊂ 平面AEFC ，BC AM ∴⊥.Ⅱ.以C 为坐标原点，分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B ，()0,0,0C ，()0,0,2F ，)E，()AB =，设(),,M x y z ，()01FM FE λλ=≤≤，则()),,21x y z λ-=-，x ∴=，0y =，2z λ=-，故),0,2Mλ-，)2AM λ∴=-- ，设平面ABM 的法向量为()111,,m x y z =，则)()11112100,00,x z m Am m AB y λλ⎧-+-=⋅=⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩即)1111,12y z x λλ⎧=⎪⎨-=⎪-⎩令11x =，可得1y =)112z λλ-=-，)12m λλ⎛⎫-∴= ⎪ ⎪-⎝⎭.易知平面FBC 的一个法向量为()1,0,0n =，1cos 602m nm n⋅∴︒===， 1λ∴=.∴点M 与点E 重合.20.解析Ⅰ.由2220x y x ++=得()2211x y ++=，由222240x y x +--=得()22125x y -+=，设动圆C 的半径为R ，两圆的圆心分别为()11,0F -，()21,0F ，则11CF R =+，25CF R =-，126CF CF ∴+=，根据椭圆的定义可知点C 的轨迹为以1F ，2F 为焦点的椭圆，1c ∴=，3a =，222918b a c ∴=-=-=，∴动圆圆C 的轨迹方程为22198x y +=.Ⅱ.存在，直线l 的方程为2y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的中点为()00,E x y .假设存在点(),0A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE MN ⊥， 由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，1223698k x x k +=+，021898k x k -∴=+，00216298y kx k =+=+， AE MN ⊥ ，1AE k k ∴=-，即221601981898k k k m k -+=---+，2228989k m k k k --∴==++， 当0k >时，89k k +≥=0m ≤<； 当0k <时，89k k +≤-0m ∴<≤因此，存在点(),0A m ，使得以AM ，AN 为邻边的平行四边形为菱形，且实数m的取值范围为⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦. 21.解析Ⅰ.函数的定义域为()0,+∞，()()()()()2222122x a x a x a x af x a x x x x-++--'=-++==， 当0a ≤时，函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 当02a <<时，函数在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2a =时，函数在()0,+∞上单调递增； 当2a >时，函数在()0,1，,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. Ⅱ.()()121212f x f x x x x x λ-≤-恒成立，即()()121211f x f x x x λ-≤-恒成立， 不妨设21x x >，因为当[]4,10a ∈时，()f x 在[]1,2上单调递减，则()()121211f x f x x x λ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，可得()()1212f x f x x x λλ-≤-，设()()()2ln 2g x f x a x a x x xxλλ=-=-++-，∴对于任意的[]4,10a ∈，1x ，[]21,2x ∈，21x x >，()()12g x g x ≤恒成立，()()g x f x xλ∴=-在[]1,2上单调递增，()()()()322212202x a x x a x ax g x x x xλλ---+++'=+=≥在[]1,2x ∈上恒成立， ()32220x a x ax λ∴-+++≥在[]1,2x ∈上恒成立，即()232220a x x x x λ-++-+≥在[]1,2x ∈上恒成立，当[]1,2x ∈时，20x x -+≤，∴只需()23210220x x x x λ-++-+≥在[]1,2x ∈上恒成立，即32212100x x x λ-++≥在[]1,2x ∈上恒成立，设()3221210h x x x x λ=-++，则()()22624106214h x x x x '=-+=--，在[]1,2x ∈上，()0h x '<，()h x ∴在[]1,2上单调递减，()2120h λ∴=-+≥，12λ∴≥，故实数λ的取值范围为[)12,+∞.22.解析Ⅰ.把直线l的参数方程化为普通方程为)11y x =-+，cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴直线lcos sin 10θρθ-=.由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =.Ⅱ.直线l 的倾斜角为3π， ∴直线l '的倾斜角也为3π，又直线l '过点()2,0M ，∴直线l '的参数方程为12,2x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数）， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A 、B 对应的参数分别为1t '，2t '. 由一元二次方程的根与系数的关系知12163t t ''=-，1243t t ''+=，123AB t t ''∴=-===23.解析Ⅰ.当1x <时，()()3223510f x x x x =---=-+>，解得53x <-； 当13x ≤≤时，()()322110f x x x x =-+-=+>，解得9x >，不符合题意； 当3x >时，()3223510f x x x x =-+-=->，解得5x >， 所以原不等式的解集为53x x ⎧<-⎨⎩或}5x >. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()35,1,1,13,35,3,x x f x x x x x -+<⎧⎪=+≤≤⎨⎪->⎩根据函数的图象可知，当1x =时，()f x 取得最小值，且()12f =， 易知()()2g x x a a x x a x a a =-++≥--+=，对于任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =，22a ∴≤，11a ∴-≤≤，a ∴的取值范围为[]1,1-.。
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)
2019年高考数学(理科)模拟试卷(一) 2019年高考数学(理科)模拟试卷(一)第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|y=lg(3-2x)}，B={x|x²≤4}，则A∪B=（）A。
{x|-2≤x<2}B。
{x|x<2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|x≤2}2.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（）A。
(-∞,1)B。
(-∞,-1)C。
(1,+∞)D。
(-1,+∞)3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）A。
6斤B。
9斤C。
9.5斤D。
12斤4.某三棱锥的三视图如图M1-1，则该三棱锥的体积为（）A。
60B。
30C。
20D。
105.设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数。
若存在实数t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tn]=n同时成立，则正整数n的最大值是（）A。
3B。
4C。
5D。
66.执行两次如图M1-2所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（）A。
0,0B。
1,1C。
0,1D。
1,07.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图M1-3，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m+n的值是（）A。
10B。
11C。
12D。
138.若x，y满足约束条件x+y-3≥0，x-2y≤0，则x≥（）A。
[0,6]B。
[0,4]C。
[6,+∞)D。
[4,+∞)13.首先求出向量a和b的夹角，由向量点乘公式可得cosθ = (a·b)/(|a||b|) = 9/√20，其中θ为夹角。
2019年郑州市高考数学一模试卷及答案
∴ a b 2 log 2 3 log 3 2 4 ， ab 2 log 2 3 log3 2
2
2
2
2
a1
b1
log 2 3
log3 2 2log 2 3 log3 2
∵ a2 b 2 2 2 log2 3 log 3 2
2
2
log 2 3
log3 2
4 ，故 A, B 正确； 2 ，故 C 错误；
17
26
17． 计算： cos(
) sin
4
3
_____ ．
18． 锐角 △ABC 中，若 B＝ 2A，则 b 的取值范围是 __________． a
19． 已知正三棱锥 P ABC 的底面边长为 3，外接球的表面积为 16 ，则正三棱锥
P ABC 的体积为 ________.
20． 设等比数列 an 满足 a1+a3=10， a2 +a4=5，则 a1a2…ａn 的最大值为
很容易地观察出 OM MP AT ，即 cos sin tan .
故选 C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切
线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于
基础题 .
8．A
解析： A
【解析】
试题分析：二项式
的展开式的通项为
2 4 log 2 3 log3 2 2 log2 3 log 3 2 8 ，故 D 正确
故 C． 【点睛】 本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：
等式 a 2 b 2 2ab 的应用，属于中档题 11．A
解析： A 【解析】
2019年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
一、抛择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{x|x≤﹣3或x≥1}B．{x|x＜﹣1或x≥3}C．{x|x≤3}D．{x|x≤﹣3}【解答】解：全集U＝R，集合A＝（x|﹣3＜x＜1），B＝{x|x+1≥0}＝{x|x≥﹣1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣3}，∴∁U（A∪B）＝{x|x≤﹣3}．故选：D．2．（5分）若复数z满足（3+4i）z＝25i，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A．3i B．﹣3i C．3D．﹣3【解答】解：z=25i3+4i=25i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=4+3i，故z=4﹣3i，其虚部是﹣3，故选：D．3．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作实验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（）A．x1，x2，…x n的平均数B．x1，x2，…x n的标准差C．x1，x2，…x n的最大值D．x1，x2，…x n的中位数【解答】解：表示一组数据x1，x2，…x n的稳定程度是方差或标准差．故选：B．4．（5分）已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，则a4＝（）A．4B．32C．108D．256【解答】解：数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，公比设为q，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1+b2+b3＝12，即有log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3＝12， log 2（a 1a 2a 3）＝12，即a 23＝212， 即有a 2＝16，q ＝4， 则a 4＝44＝256． 故选：D ． 5．（5分）椭圆x 225+y 216=1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是（ ） A ．16√33B ．32√33 C ．16√3 D ．32√3【解答】解：由椭圆x 225+y 216=1，得a ＝5，b ＝4，c ＝3，在△F 1PF 2中，∵∠F 1PF 2＝60°，∴由余弦定理可得：|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|cos60°， 则4c 2＝（2a ）2﹣3|PF 1||PF 2|，即36＝100﹣3|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|=643． ∴△F 1PF 2的面积是S =12|PF 1||PF 2|sin60°=16√33． 方法二、由椭圆的焦点三角形的面积公式S ＝b 2tan ∠F 1PF 22=16•√33=16√33． 故选：A ．6．（5分）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x −2π3），则下面结论正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的是12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2【解答】解：∵y ＝sin （2x −2π3）＝cos[π−（2x −2π3）]＝cos （2x −7π6）＝cos2（x −7π12），∴把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝cos2x 图象，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin （2x −2π3）＝cos2（x −7π12）的图象，即曲线C 2， 故选：C ．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．（4+4√5）π+4√2B ．（4+4√5）π+4+4√2C ．12π+12D ．12π+4+4√2【解答】解：由题意可知，几何体下部是圆锥，上部是四棱柱，可得：几何体的表面积为：4π+12×4π×√20+1×4√2=（4+4√5）π+4√2． 故选：A ．8．（5分）设函数f （x ）＝2ln （x +√x 2+1）+3x 3（﹣2＜x ＜2），则使得f （2x ）+f （4x ﹣3）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（12，1）C ．（14，1）D ．（14，54）【解答】解：∵f （x ）＝2ln （x +√x 2+1）+3x 3（﹣2＜x ＜2）， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 故f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣2，2）递增， 故由f （2x ）+f （4x ﹣3）＞0， 得：f （2x ）＞f （3﹣4x ），则{2x ＞3−4x −2＜2x ＜2−2＜3−4x ＜2，解得：12＜x ＜1，故选：B ．9．（5分）已知变量x ，y 满足{x −2y +4≤0，x ≥2x +y −6≥0，则k =y+1x−3的取值范围是（ ）A ．k ＞12或k ≤﹣5B ．﹣5≤k ＜12C ．﹣5≤k ≤12D ．k ≥12或k ≤﹣5【解答】解：由变量x ，y 满足{x −2y +4≤0，x ≥2x +y −6≥0作出可行域如图：{x =2x +y −6=0解得A（2，4）， k =y+1x−3的几何意义为可行域内动点与定点D （3，﹣1）连线的斜率． ∵k DA =4+12−3=−5，．x ﹣2y +4＝0的斜率为：12， ∴k =y+1x−3的取值范围是k ＞12或k ≤﹣5． 故选：A ．10．（5分）魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1（x ）＝2x ，f 2（x ）＝2x，f 3（x ）＝x 2，f 4（x ）＝sin x ，f 5（x ）＝cos x ，f 6（x ）=1−2x1+2x ，现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率A ．25B ．35C ．12D ．13【解答】解：根据题意，对于6个函数， f 1（x ）＝2x ，为正比例函数，为奇函数； f 2（x ）＝2x ，为指数函数，为非奇非偶函数函数； f 3（x ）＝x 2，为二次函数，为偶函数； f 4（x ）＝sin x ，为正弦函数，是奇函数； f 5（x ）＝cos x ，为余弦函数，是偶函数；f 6（x ）=1−2x 1+2x ，有f 6（﹣x ）=1−2x 1+2x =1−2−x 1+2−x =−（1−2x 1+2）＝﹣f （x ），为奇函数； 在6个函数中任选2个，有C 62＝15种选法，若两个函数的乘积为奇函数，必须其中一个为奇函数，一个为偶函数，有3×2＝6种选法；则所得新函数为奇函数的概率P =615=25； 故选：A ．11．（5分）已知数列{a n }满足2a n +1+a n ＝3（n ≥1，n ∈N +），且a 3=134，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1123的最小整数n 是（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【解答】解：由2a n +1+a n ＝3，得a n+1−1=−12(a n −1)，又a 3=134，∴a 2−1=−2(a 3−1)=−92，a 1﹣1＝﹣2（a 2﹣1）＝9． ∴{a n ﹣1}为首项是9，公比为−12的等比数列， 则a n ﹣1＝9•(−12)n−1，a n ＝1+9•(−12)n−1，S n ＝n +9•1−(−12)n 1−(−12)=n +6﹣6•(−12)n ，则|S n ﹣n ﹣6|＝3⋅12n−1，|S n ﹣n ﹣6|＜1123，即3⋅12n−1＜1123，解得n ＞9，∴满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1123的最小整数n 是10．12．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径．若平面PCA ⊥平面PCB ，P A ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P ﹣ABC 的体积为a ，则球O 的体积为（ ） A ．2πaB ．4πaC ．23πaD ．43πa【解答】解：如下图所示，设球O 的半径为R ，由于PC 是球O 的直径，则∠P AC 和∠PBC 都是直角，由于P A ＝AC ，PB ＝BC ，所以，△P AC 和△PBC 是两个公共斜边PC 的等腰直角三角形， 且△PBC 的面积为S △PBC =12PC ⋅OB =R 2， ∵P A ＝AC ，O 为PC 的中点，则OA ⊥PC ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，OA ⊂平面P AC ，所以，OA ⊥平面PBC ，所以，三棱锥P ﹣ABC 的体积为13×OA ×S △PBC =13R ×R 2=13R 3=a ，因此，球O 的体积为43πR 3=4π×13R 3=4πa ，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13．（5分）已知e 1→，e 2→为单位向量且夹角为2π3，设a→=3e 1→+2e 2→，b→=3e 2→，则a →在b →方向上的投影为 12．【解答】解：根据题意得，a →•b →=9e 1→•e 2→+6e 2→2＝9×1×1×(−12)+6×1×1=−92+6=32； 又∵|b |＝3，∴a →在b →方向上的投影为a⋅b |b|=323=12；故答案为12．14．（5分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）的图象与直线x ﹣y +1＝0相切，则实数a 的值为1e 2−1 ．【解答】解：由f （x ）＝lnx ﹣ax ，（a ∈R ）得f ′（x ）=1x −a ， 设切点横坐标为x 0，依题意得1x 0−a =1，并且lnx 0﹣ax 0＝x 0+1，解得a =1e 2−1； 则实数a 的值为1e −1；故答案为：1e 2−1．15．（5分）已知双曲线E ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，0＞0）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于Q ，若5PF →=3FQ →，则该双曲线E 的离心率为√52． 【解答】解：由题意得右焦点F （c ，0）， 设一渐近线OP 的方程为y =b ax ， 则另一渐近线ON 的方程为y =−ba x ， 由FP 的方程为y =−ab （x ﹣c ）， 联立方程y =ba x ， 可得P 横坐标为a 2c ，由FP 的方程为y =−ab （x ﹣c ），联立方程y =−ba x ， 可得Q 的横坐标为a 2ca 2−b 2．由5PF →=3FQ →，可得5（c −a 2c ）＝3（a 2c a −b−c ），即为8c ﹣5•a 2c=3•a 2c 2a −c ，由e =ca ，可得8−52=32，即有4e 4﹣9e 2+5＝0， 解得e 2=54或1（舍去）， 即有e =√52， 故答案为：√52．16．（5分）不等式x （sin θ﹣cos 2θ+1）≥﹣3对任意θ∈R 恒成立，则实数x 的取值范围是 [−32，12] ．【解答】解：当x ＝0时，x （sin θ﹣cos 2θ+1）≥﹣3恒成立； 当x ＞0时，sin θ+sin 2θ≥−3x ，由sin θ+sin 2θ＝（sin θ+12）2−14，可得sin θ=−12时，取得最小值−14， sin θ＝1时，取得最大值2， 即有−14≥−3x ，解得0＜x ≤12； 当x ＜0时，可得sin θ+sin 2θ≤−3x， 即有2≤−3x ，解得−32≤x ＜0， 综上可得x 的范围是[−32，12]． 故答案为：[−32，12]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B =b24S．（Ⅰ）求sin A sin C ；（Ⅱ）若4cos A cos C ＝1，b =√15，求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵△ABC 的面积为S =12ac sin B ，sin B =b24S ．∴4×（12ac sin B ）×sin B ＝b 2，∴ac =b 22sin 2B，∴由正弦定理可得：sin A sin C =sin 2B 2sin 2B =12；（Ⅱ）∵4cos A cos C ＝1，sin A sin C =12， ∴cos B ＝﹣cos （A +C ）＝sin A sin C ﹣cos A cos C =12−14=14， ∵b =√15，可得：ac =b 22sin 2B =b 22(1−cos 2B)=(√15)22(1−116)=8，∴由余弦定理可得：15＝a 2+c 2﹣4＝（a +c ）2﹣2ac ﹣4＝（a +c ）2﹣20，解得：a +c =√35，∴△ABC 的周长a +b +c =√35+√15．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面P AD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点（靠近C 点处）．（Ⅰ）求证：平面MBD ⊥平面P AD ； （Ⅱ）求三棱锥D ﹣MAB 的体积．【解答】解法一：证明：（1）由题知BD ＝AD ＝4√2，AB ＝8， AB 2＝AD 2+BD 2，∴BD ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，交线是AD ，BD ⊂平面ABCD ，BD ⊥AD ， ∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面P AD ．解：（2）过P 作PO ⊥AD 于O ，∴PO ⊥平面BAD ， ∴d P−DAB =2√2，∴三棱锥D ﹣MAB 的体积：V D ﹣MAB ＝V M ﹣DAB =13×S △DAB ×d M−DAB =13×12×(4√2)2×13×2√2 =32√29． 解法二：证明：（Ⅰ）在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面P AD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点（靠近C 点处）．∴以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则P （6，2，2√2），C （0，0，0），M （2，23，2√23），B （0，4，0），D （4，0，0），A （8，4，0），DP →=（2，2，2√2），DA →=（4，4，0），DM →=（﹣2，2√23，2√23），DB →=（﹣4，4，0）， 设平面P AD 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DP →=2x +2y +2√2z =0n →⋅DA →=4x +4y =0，取x ＝1，得n →=（1，﹣1，0），设平面BDM 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅DB →=−4x +4y =0m →⋅DM →=−2x +2√23y +2√23z =0，取x ＝1，得m →=（1，1，√3−1）， ∴m →⋅n →=0，∴平面MBD ⊥平面P AD ． 解：（Ⅱ）∵S △ABD =12×AB ×BC =12×8×4=16， M 到平面ABD 的距离d =2√23， ∴三棱锥D ﹣MAB 的体积：V D ﹣MAB ＝V M ﹣ABD =13×d ×S △ABD =13×2√23×16=32√29．19．（12分）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全，因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：未感染病毒感染病毒总计 未注射疫苗 40 p x 注射疫苗 60 q y 总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35． （Ⅰ）求2×2列联表中的数据p ，q ，x ，y 的值； （Ⅱ）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗有效？（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥K 0）0.05 0.01 0.005 0.001 K 03.8416.6357.87910.828【解答】解：（Ⅰ）从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为35，则未感染的为25，即25x ＝40，解得x ＝100，∴p ＝100﹣40＝60； q ＝100﹣60＝40，y ＝100；（Ⅱ）由列联表中数据，计算K 2=200×(40×40−60×60)2100×100×100×100=8＜10.828，∴没有99.9%把握认为注射此种疫苗有效；（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只， 未注射疫苗的有3只，记为a 、b 、c ，注射疫苗的有2只，记为D 、E ， 从这5只小白鼠中随机抽取3只，基本事件为：abc 、abD 、abE 、acD 、acE 、aDE 、bcD 、bcE 、bDE 、cDE 共10种不同的取法， 则至少抽到2只为未注射疫苗的基本事件是abc 、abD 、abE 、acD 、acE 、bcD 、bcE 共7种，故所求的概率为P =710．20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M ，N ，R 为准线上一点． （Ⅰ）若AR ∥FN ，求|MR||MN|的值；（Ⅱ）若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系．【解答】解（Ⅰ） 设l 的方程为x ＝my +1．A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 可得y 12=2px 1 y22=2px 2由{x =my +1y 2=4x 得y 2﹣4my ﹣4＝0，可知y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4． 可知F （p2，0），N （−p2，y 2）∴k FN =y2−p∵AR ∥FN ，∴直线AR 的方程为y −y 1=y2−p (x −x 1)，令x =−p2可得y R =y 22+x 1y 2p+y 1=y22+y 122p ⋅−p 2y 1p+y 1=y 22+y12，∴点R 是MN 的中点，∴|MR||MN|=12；（Ⅱ）∵点R为线段MN的中点，以线段AB为直径的圆为圆E，∴ER⊥MN．由抛物线定义可得ER=AM+BN2=AF+BF2=AB2=r．∴点R在圆E上．21．（12分）已知函数f（x）＝（e x﹣2a）e x，g（x）＝4a2x．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），试讨论h（x）在定义域内的单调性；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x，h′（x）＝2e2x﹣2ae x﹣4a2＝2（e x+a）（e x﹣2a）．当a＝0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数；当a＞0时，由h′（x）＝0，得x＝ln2a，则当x∈（﹣∞，ln2a）时，h′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增；当a＜0时，由h′（x）＝0，得x＝ln（﹣a），则当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，h′（x）＜0，当x∈（ln（﹣a），+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，ln（﹣a））上单调递减，在（ln（﹣a），+∞）上单调递增．（Ⅱ）函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，即h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（e x﹣2a）e x﹣4a2x＝e2x﹣2ae x﹣4a2x＞0．当a＝0时，h（x）＝e2x＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，符合题意；当a＞0时，h（x）在（﹣∞，+∞）上的最小值为h（ln2a）＝e2ln2a﹣2ae ln2a﹣4a2ln2a＝﹣4a2ln2a．由﹣4a2ln2a＞0，得ln2a＜0，即0＜a＜1 2；当a＜0时，h（x）在（﹣∞，+∞）上的最小值为h（ln（﹣a））＝e2ln（﹣a）﹣2ae ln（﹣a）﹣4a2ln（﹣a）＝3a2﹣4a2ln（﹣a）．由3a2﹣4a2ln（﹣a）＞0，得−e 34＜a＜0．∴若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝g（x）图象的上方，则a的取值范围为（−e 34，12）．选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答如果多选，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ=5π6（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M（﹣4，0），求△MPQ的面积．【解答】1解：（Ⅰ）知曲线C1：x2+（y﹣3）2＝9，整理得：x2+y2﹣6y+9＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝6sinθ，A是曲线C1上的动点，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2．所以得到的直角坐标方程为：（x+3）2+y2＝9，转换为极坐标方程为：ρ＝﹣6cosθ．（Ⅱ）由于射线θ=5π6（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，则：|OQ|=ρ1=6sin 5π6=3，|OP|=ρ2=6cos 5π6=3√3，所以：S△MOP=12⋅|OM|⋅|OP|sin5π6=12⋅4⋅3⋅12=3，S△MOQ=12⋅|OM|⋅|OQ|sin5π6=12⋅4⋅3√3⋅12=3√3，所以：S△MPQ＝S△MOQ﹣S△MOP＝3√3−3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|3x﹣2a|+|2x﹣2|（a∈R）．（Ⅰ）当a =12时，解不等式f （x ）＞6；（Ⅱ）若对任意x 0∈R ，不等式f （x 0）+3x 0＞4+|2x 0﹣2|都成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）a =12时，|3x ﹣1|+|2x ﹣2|＞6，故{x ≥13x −1+2x −2＞6或{13＜x ＜13x −1+2−2x ＞6或{x ≤131−3x +2−2x ＞6， 解得：x ＞95或x ＜−35，故不等式的解集是（﹣∞，−35）∪（95，+∞）；（Ⅱ）若对任意x 0∈R ，不等式f （x 0）+3x 0＞4+|2x 0﹣2|都成立， 则|3x 0﹣2a |+3x 0＞4恒成立， 故x 0≥23a 时，6x 0＞2a +4恒成立， 故6×23a ＞2a +4，解得：a ＞2， x 0＜23a 时，2a ＞4，解得：a ＞2， 综上，a ∈（2，+∞）．。
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2019年河南省郑州一中高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x∈N|x2﹣3x≤0}，则∁U（A∪B）＝（）
A．{0，1，2，3}B．{0，4，5}C．{1，2，4}D．{4，5}
2．（5分）i为虚数单位，若复数z+＝i，则＝（）
A．1﹣i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1+i
3．（5分）已知等差数列{a n}，a5﹣2a1＝7，a3＝5，则a9＝（）
A．23B．20C．17D．13
4．（5分）设命题p：函数在定义域上为减函数；命题q：∃a，b∈（0，+∞），当a+b ＝1时，．则以下说法正确的是（）
A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p，q均为假5．（5分）已知向量，的夹角为60°，且，，，则＝（）
A．3B．C．2D．4
6．（5分）已知椭圆mx2+3y2﹣6m＝0的一个焦点为（0，2），则m的值为（）A．1B．3C．5D．8
7．（5分）要得到函数的图象，只需把函数的图象（）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
8．（5分）图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）
A．B．C．﹣1D．2﹣
9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．ð+1D．
10．（5分）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是双
曲线C上的点，且PF1与x轴垂直，△PF1F2的内切圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝1，则双曲线C的渐近线方程为（）
A．B．C．D．y＝±2x
11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝，若实数a 满足f（3﹣|a+1|）＞f（﹣），则a的取值范围是（）
A．（﹣，﹣）B．（﹣）∪（﹣，+∞）
C．（﹣，﹣）D．（﹣）∪（﹣，+∞）
12．（5分）用一个体积为36ð的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（）
A．B．C．18D．27
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）如图的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况（单位：元），则销售额的中位数是元．
14．（5分）已知动点P（x，y）满足则的最大值为．
15．（5分）若执行如图所示的程序框图，输入N＝2019，则输出S的值为．
16．（5分）已知l为曲线y＝在（1，a）处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形面积为，实数a的值为
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．在△ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，已知a＝3，．
（1）若，求sin A；
（2）若AB边上的中线长为，求△ABC的面积．
18．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥AC，AP＝AB＝2，AC＝4，D是AC的中点，E是线段BC上的一点，且．
（1）求证：DE∥平面P AB；
（2）求点C到平面PDE的距离．
19．某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务．现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图．
（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；
（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：①电动自行车每辆补助300元；②电动汽车每辆补助500元；③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元．试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算；并利用样本估计总体，试估计市政府执行此方案的预算．
20．已知动点P到直线的距离比到定点的距离大1．
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）若M为直线y＝x﹣2上一动点，过点M作曲线C的两条切线MA，MB，切点为A，B，N为AB的中点．
①求证：MN⊥x轴；
②直线AB是否恒过一定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．21．已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）对任意的a∈[3，5]，x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜ë|x1﹣x2|，求实数ë的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为，（è为参数）
（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当á＝时，求曲线C1，C2的极坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点（不重合），求|OA|+|OB|的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．
（1）当a＝2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）＝|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．。