江苏省苏锡常镇四市2012届高三数学第三次模拟考试数学试卷(word版含答案)
苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二）
2012.5
数学I （正题）
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在相应位置上。
1.设集合(]1,1-=A ，()2,0=B ，则=B A .
2.若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位），则=z .
3.已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为x y 2
3=，则m 的值为 . 4.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差=2s .
5.如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为 .
6.已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为 .
7.等比数列{}n a 中，若33=a ，246=a ，则8a 的值为 .
8.已知钝角α满足53cos -
=α，则)42tan(πα+的值为 . 9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,
3,2),1()(x x x f x f x 则)2(log 3f 的值为 . 10.已知点P 在ABC ∆所在平面内，若3432=++，则P
A B ∆与PBC ∆的面积的比值为 .
11.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
（1）若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //；
（2）若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥；
（3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //；
（4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥.
上面命题中，所有真命题的序号为 .
12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在曲线)0(1>=x xy 上，点P 在x 轴上的射影为
M .若点P 在直线0=-y x 的下方，当MP
OM OP -2
取得最小值时，点P 的坐标为 .
13.已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB 的中点为M ，若022
≥+∙，则该椭圆离心率的取值范围为 . 14.设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则n m n m 34
4-的最小值为 .
二．解答题：本大题共六小题，共计90分。
请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.如图，在四边形ABCD 中，已知13=AB ，10=AC ，5=AD ，65=CD ，.50=∙AC AB
（1）求BAC ∠cos 的值；
（2）求CAD ∠sin 的值；
（3）求BAD ∆的面积.
16.如图，在三棱锥ABC S -中，平面EFGH 分别与BC ，CA ，AS ，SB 交于点E ，F ，G ，H ，且⊥SA 平面EFGH ，AB SA ⊥，.FG EF ⊥
求证：（1）//AB 平面EFGH ；
（2）EF GH //；
（3）⊥GH 平面SAC .
17.如图，已知矩形油画的长为a ，宽为b .在该矩形油画的四边镶金箔，四个角（图中斜线区域）装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画.设壁画的左右两边金箔的宽为x ，上下两边金箔的宽为y ，壁画的总面积为.S
（1）用x ，y ，a ，b 表示S ；
（2）若S 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大.求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ，y 的值.
18.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆64:22=+y x O ，圆1O 与圆O 相交，圆心为)0,9(1O ，且圆1O 上的点与圆O 上的点之间的最大距离为.21
（1）求圆1O 的标准方程；
（2）过定点),(b a P 作动直线l 与圆O ，圆1O 都相交，且直线l 被圆O ，圆1O 截得的弦长分别为d ，1d .若d 与1d 的比值总等于同一常数λ，求点P 的坐标及λ的值.
19.已知a 为正实数，函数x e x
a x a x f ⋅+-=)(（e 为自然对数的底数）. （1）若)1()0(f f >，求a 的取值范围；
（2）当2=a 时，解不等式1)(<x f ；
（3）求函数)(x f 的单调区间.
20.已知数列{}n a 的前三项分别为51=a ，62=a ，83=a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足222)()(2
1m n S S S m n m n --+=+，其中m ，n 为任意正整数. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
（2）求满足22332
3k a S n n =+-
的所有正整数k ，n .
苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（二）
数学Ⅱ（附加题）
21.选做题
A .选修14-：几何证明选讲
如图，自⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PC 和割线PBA ，点C 为切点，割线PBA 交⊙O 于A ，B 两点，点O 在AB 上.作AB CD ⊥，垂足为点.D 求证：
DC
BD PA PC =.
B .选修24-：矩阵与变换
设a ，R b ∈，若矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=b a A 10把直线42:-=x y l 变换为直线12:'-=x y l ，求a ，b 的值.
C .选修44-：坐标系与参数方程 求椭圆19
16:2
2=+y x C 上的点P 到直线01843:=++y x l 的距离的最小值.
D .选修54-不等式选讲
已知非负实数x ，y ，z 满足4
1332222=+++++z y x z y x ，求z y x ++的最大值.
22.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，2=AD ，21=AA ，F 是棱BC 的中点，点E 在棱11D C 上，且11EC E D λ=（λ为实数）. （1）当3
1=λ时，求直线EF 与平面AC D 1所成角的正弦值的大小； （2）求证：直线EF 不可能与直线EA 垂直.
23.记)()(),(n n n n y x y x y x f +-+=，其中x ，y 为正实数，+∈N n .给定正实数a ，b 满足1
-=
b b a .用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，).2,2(),(n n f b a f ≥。
2012年四校联考第三次高考模拟考试数学理科答案
2012年四校联考第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题：13. 1 14. π34 15. 10 16. 2π三、解答题：17. (Ⅰ)()()1212---=-n n S S n S n n n ……………………………………… 2分n S nn S n n n n -+=--111)2(1≥=--n n b b n n ………………………………………… 6分(Ⅱ) 11=b , n b b n n =--1, 121-=---n b b n n , , 212=-b b 累加得22n n b n +=……………………………………… 10分22nS n =∴ ,()22121≥-=-=-n n S S a n n n …………………… 11分经检验211=a 符合212-=n a n ,212-=∴n a n …………… 12分18. (Ⅰ) ξ可能的取值为8,7,6,5,4,3,2()499217171313===CC C C P ξ ()49122317171213=⨯==CC C C P ξ()4910241717111317171212=⨯+==CC C C CC C C P ξ ()49102251717111317171112=⨯+⨯==CC C C CC C C P ξ()495261717111117171112=+⨯==C C C C C C C C P ξ ()492271717===C C P ξ()491181717===C C P ξ …………………………… 6分(Ⅱ) η可能的取值为,7,6,5,4,3,2 ………………………… 7分()7122723===CC P ξ()723271213===C C C P ξ()2144272213=+==CC C P ξ()2155271213=+==C C C P ξ ()21262712===C C P ξ ()2117==ξP…………………………… 11分 ()4=ξE …………………………… 12分 19. (Ⅰ)设AC 交BD 于O ,连接OEABCD PD 平面⊥ ,AC PD ⊥∴,AC BD ⊥PBD AC 平面⊥∴,又AEC AC 平面⊆,PBD ACE 平面平面⊥∴………………………… 6分(Ⅱ)(方法一) PBD AO ⊥∴4π=∠∴AEO ,设22==AB PD ,则1=OE即1=EBPE ………………………… 12分(方法二)以DA 为x 轴, DC 为y 轴, DP 为z 轴建立空间直角坐标系,如图 平面BDE 法向量为()0,1,1-=n ,设22==AB PD ,()λλλ22,2,2-E)2,2,2(-=PB，令PB PE λ=，则()λλλ22,2,22--=AE ,22=⋅ ,得21=λ 或1=λ（舍），1=BEPE ，……………… 12分20. (Ⅰ) 化简得： ()()2222121λλ-=+-y x①1±=λ时方程为0=y 轨迹为一条直线②0=λ时方程为222=+y x 轨迹为圆③()()1,00,1⋃-∈λ时方程为()1122222=-+λyx轨迹为椭圆④()()+∞⋃-∞-∈,11,λ时方程为()1122222=--λyx轨迹为双曲线.……………………………… 6分(Ⅱ)P ∴=,22λ 点轨迹方程为1222=+yx.21::x x S S OBF OBE =∆∆由已知得1>-∆∆∆OBEOBF OBES S S ,则1121>-x x x ,12121<<∴x x .设直线EF 直线方程为2+=kx y ，联立方程可得：()0682122=+++kx xk23,02>∴>∆k , 21,x x 同号∴2121x x x x =∴221221216,218kx x kk x x +=+-=+ ………………………… 8分设m x x =21 ,则()()⎪⎭⎫⎝⎛∈+=+=+29,46332122221221kkmm x x x x1027232<<k ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈26,1030310303,26k ．．…………………… 12分21. (Ⅰ)当1=a 时，x x x x g ln 3)(2+-=，0132)(2>+-='xx x x g1>x 或21<x 。
江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学三模试卷解析版
高考数学三模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x＜1}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=______．2.已知复数，其中i是虚数单位，则|z|=______．3.已知双曲线C的方程为，则其离心率为______．4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为______．5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为______．6.口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为______．7.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a6=2a2，则=______．8.函数的图象关于直线对称，则ω的最小值为______．9.已知正实数a，b满足a+b=1，则的最小值为______．10.已知偶函数f（x）的定义域为R，且在[0，+∞）上为增函数，则不等式f（3x）＞f（x2+2）的解集为______．11.过直线l：y=x-2上任意点P作圆C：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，当切线最小时，△PAB的面积为______．12.已知点P在曲线C：y=x2上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为______．13.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB=90°，AB=2，以AB为直径在△ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点，点Q在斜边BC上，若=，则的最小值为______．14.已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e x-ax2的图象恒在直线y=ax上方，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.如图，在三棱锥P-ABC中，过点P作PD⊥AB，垂足为D，E，F分别是PD，PC的中点，且平面PAB⊥平面PCD．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：CE⊥AB．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若cos（B+）=，求cos C的值．17.某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．（1）若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；（2）当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0），右准线方程为x=4．过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D．直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；（3）如果，试求λ的取值范围．19.已知函数f（x）=x2+（2-a）x-a ln x，其中a∈R．（1）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）若函数f（x）的极小值不超过，求实数a的最小值；（3）对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[4，8]，使得f（x1）=f（x2）成立，求实数a的取值范围．20.已知数列{a n}是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n∈N*，a1a2+a2a3+…+a n-1a n=λ（n-1）a1a n恒成立．（1）如果，，成等差数列，求实数λ的值；（2）已知λ=1．①求证：数列是等差数列；②已知数列{a n}中，a1≠a2．数列{b n}是公比为q的等比数列，满足，，（i∈N*）．求证：q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列中的项．21.已知矩阵A=，其逆矩阵A-1=，求A2．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l上两点M，N的极坐标分別为（2，0），（，），求直线l被曲线C截得的弦长．23.已知正数a，b，c满足a+b+c=2，求证：．24.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．（1）求线段AF的中点M的轨迹方程；（2）已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．25.已知数列{a n}，a1=2，且对任意n∈N*恒成立．（1）求证：a n+1=a n a n-1a n-2…a2a1+1（n∈N*）；（2）求证：（n∈N*）．答案和解析1.【答案】（0，1）【解析】解：∵A={x|x＜1}，B={x|0＜x＜3}；∴A∩B=（0，1）．故答案为：（0，1）．进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】1【解析】解：∵，∴|z|=||=．故答案为：1．直接由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3.【答案】【解析】解：双曲线C的方程为，可得a=2，b=1，则c==．所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．直接利用双曲线的标准方程，求出a，c，即可求解离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】8【解析】解：模拟程序的运行过程，如下；T=1，i=2，满足T＜6；T=2，i=4，满足T＜6；T=4，i=6，满足T＜6；T=8，i=8，不满足T＜6，输出i=8．故答案为：8．模拟程序的运行过程，即可得出程序结束后输出的i值．本题考查了程序运行的应用问题，是基础题．5.【答案】55【解析】解：依题意得抽取的样本容量为：=55．故答案为：55．根据分层抽样得特点知，抽取的样本中，高一，高二，高三的人数之比也为4：4：3可得．本题考查了分层抽样，属基础题．6.【答案】【解析】解：口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4．从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n=，取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件（a，b）有：（2，4），（3，4），共2个，∴取出的两个球的编号之积大于6的概率为p==．故答案为：．从袋中随机抽取两个球，基本事件总数n=，利用列举法取出的两个球的编号之积大于6包含的基本事件（a，b）有2个，由此能取出的两个球的编号之积大于6的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】【解析】解：因为数列{a n}是等比数列，设其公比为q．所以=q4=2，所以q≠1，所以=====．故填：．设等比数列{a n}的公比是q，所以=q4=2，所以===，将q4=2代入即可．本题考查了等比数列的通项公式，前n项和公式的使用，属于基础题．8.【答案】【解析】解：∵的图象关于直线对称，∴ω-=kπ+π，即ω=2k+，∵ω＞0，∴当k=-1时，ω取得最小值为-2+=，故答案为：．根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．本题主要考查三角函数的对称性的性质，结合条件建立方程关系求出ω的表达式是解决本题的关键．9.【答案】11【解析】解：∵a+b=1∴+=2a+2b++=2++，∵+=（+）（a+b）=1+4++≥5+2=5+4=9，当且仅当=时，即a=，b=时取等号，故+≥2+9=11，故答案为：11．根据基本不等式即可求出最小值．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是基本不等式条件的配凑，1的代换的技巧的应用要注意掌握．10.【答案】（-2，-1）∪（1，2）【解析】解：根据题意，函数f（x）为偶函数且其定义域为R，且在[0，+∞）上为增函数，则f（3x）＞f（x2+2）⇒f（|3x|）＞f（x2+2）⇒|3x|＞x2+2，则有或，解可得：-2＜x＜-1或1＜x＜2，即不等式的解集为（-2，-1）∪（1，2）；故答案为：（-2，-1）∪（1，2）．根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，f（3x）＞f（x2+2）⇒f（|3x|）＞f（x2+2）⇒|3x|＞x2+2，由绝对值的定义可得或，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．11.【答案】【解析】解：如图，要使切线长最小，则|OP|最小，过O作直线y=x-2的垂线，则垂足为P，可得|OP|=，∴A，B为圆C：x2+y2=1与两坐标轴的交点，则PA=PB=1，∠APB=90°，∴△PAB的面积为．故答案为：．由题意画出图形，可得切线最小时的P点，进一步求得PA=PB=1，∠APB=90°，则答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12.【答案】1【解析】解：由y=可得y′=x，设P（m，），则切线l的斜率为m，故直线PQ的方程为：y-=-（x-m）联立方程组，消去y可得：x2+x-m2-2=0，设Q（n，），则mn=-m2-2，∵OP⊥OQ，∴=0，即mn+=0，∴mn=0（舍）或mn=-4，∴-m2-2=-4，即m2=2．∴P点纵坐标为=1．故答案为：1．设P（m，），求出直线PQ的方程，根据根与系数的关系和=0列方程计算m的值即可得出答案．本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法的应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：如图，以O为原点建立直角坐标系，可得A（-1，0），B（1，0），C（-1，-2），即有直线BC的方程为y=x-1，可设Q（m，m-1），=，即为（2，0）•（m+1，m-1）=2（m+1）=，解得m=，即Q（，-），设P（cosα，sinα），0≤α≤π，可得=（，-）•（cosα+1，sinα+2）=cosα+-sinα-=（2c osα-sinα）=cos（α+θ），θ∈（0，），当cos（α+θ）=-1即α+θ=π，可得的最小值为-．故答案为：．以O为原点建立直角坐标系，求得A，B，C的坐标，以及直线BC的方程，设出Q的坐标，由数量积的坐标表示，解得Q的坐标，再设P（cosα，sinα），0≤α≤π，由数量积的坐标表示和两角和的余弦公式，余弦函数的值域可得最小值．本题考查向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．14.【答案】（-，0]【解析】解：∵函数f（x）=e x-ax2的图象恒在直线y=ax上方，∴e x-ax2-ax＞0对一切实数x恒成立，即e x＞ax2+ax对一切实数x恒成立，设g（x）=e x，h（x）=ax2+ax，则①当a＞0时，h（x）开口向上，根据h（x）和g（x）的图象易知，a＞0时g（x）＞h （x）不恒成立，②当a=0时，g（0）=1＞h（0）=0，因此g（x）＞h（x）恒成立③当a＜0时，e x＞ax2+ax对一切实数x恒成立，即＜对一切实数x恒成立，令F（x）=，则F'（x）==-，令F（x）=0，则x=-1或x=，∴当x＜-1或x＞时，F'（x）＜0，当-1＜x＜时，F'（x）＞0，∴F（x）在（-∞，-1）和（，+∞）上单调递减，在（-1，）上单调递增，又当x＞0时，F（x）＞0，∴F（x）min=F（-1）=-，∴要使＜对一切实数x恒成立，只需＜F（x）min=-，∴a＞-，又a＜0，∴-＜a＜0，综上，a的取值范围为（-，0]．故答案为：（-，0]．将函数f（x）=e x-ax2的图象恒在直线y=ax上方转化为e x＞ax2+ax对一切实数x恒成立，然后分a＞0，a=0，a＜0分别求解．本题考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，本题这几种方法都有涉及，属于难题．15.【答案】证明：（1）∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF是△PCD的中位线，则有EF∥CD，又EF⊄平面ABC，CD⊂面ABC，∴EF∥平面ABC．解：（2）∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面PCD=PD，AB⊥PD，AB⊂平面PAB，∴AB⊥平面PCD，又CE⊂平面PCD，则AB⊥CE．【解析】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．（1）推导出EF是△PCD的中位线，从而EF∥CD，由此能证明EF∥平面ABC．（2）推导出AB⊥PD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥CE．16.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴由正弦定理可得：，…2分∴整理可得：sin A+cos A=2，可得：2sin（A+）=2，可得：sin（A+）=1，…4分∵A∈（0，π），A+∈（，），可得：A+=，∴A=．…6分（2）在△ABC中，∵A=，∴B∈（0，），B+∈（，），可得：sin（B+）＞0，又∵cos（B+）=，则sin（（B+）==，…8分又在△ABC中，A+B+C=π，∴可得：cos C=-cos（A+B）=-cos（B+）=-cos[（B+）+]=-cos（B+）cos+sin（B+）sin=-=．…12分【解析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（A+）=1，结合范围A∈（0，π），可得A+=，从而解得A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin（B+）的值，利用三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos C的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.【答案】解：（1）设圆锥形容器的高为h，则容器的体积V=•π•62•h=36π，解得h=3．∴圆锥容器的母线长为=3，∴圆锥容器的表面积为π•62+=（36π+16π）平方米．（2）由V=r2h=36π可得r2=，故圆锥的母线l==，∴容器的侧面积S=πrl=π=π，∵=++≥3=9，当且仅当=即h=6时取等号，∴当h=6时，S取得最小值，即制造该容器的侧面用料最省．【解析】（1）根据体积公式计算容器高，计算母线长，再计算出侧面积和第面积即可；（2）用高h表示出侧面积，利用基本不等式得出侧面积最小时对应的h的值即可．本题考查了圆锥的体积与表面积计算，考查函数最值的计算与基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）由椭圆的左、右顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0），右准线方程为x=4可得a=2，=4，故c=1，b2=a2-c2=3，故椭圆方程为+=1．（2）设直线A1D：y=k（x+2），①（k＞0），则与右准线x=4的交点D（4，6k），又A2（2，0），所以设直线A2D：y=3k（x-2），则，解得G（，），则直线OG的斜率为k OG=，②，∵OG⊥A1D，∴•k=-1，又k＞0，解得k=，则直线A1D的方程为y=（x+2）．（3）由（2）中②可得，设直线OG：y=x，联立可得，解得H（，），联立，∵解得P（，），∵，∴（x H+2，y H）=λ（x P+2，y P），∴y H=λy P，∴λ==f（k）====，∵f（k）在（0，+∞）为减函数，∴λ∈（，）．【解析】（1）由题意可得a=2，=4，故c=1，b2=a2-c2=3，可得椭圆方程，（2）设直线A1D：y=k（x+2），再设直线A2D：y=3k（x-2），求出点G的坐标，根据HG⊥A1D，可求出k的值，即可求出直线方程，（3）分别求出点H，P的坐标，根据向量的运算借助函数的单调性即可求出．本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、函数的性质，向量的运算，属于中档题．19.【答案】解：（1）f（x）=x2+（2-a）x-a ln x（x＞0），则．∵曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为1，∴f'（1）=2（2-a）=1，∴．（2）当a≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上不存在极值；当a＞0时，令f'（x）=0，则，∴当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴=≤．∵a＞0，∴，令g（a）=（a＞0），则，∴g（a）在（0，+∞）上单调递减，又g（2）=0，∴当a≥2时，g（a）≤g（2）=0，∴实数a的最小值为2．（3）记f（x）在[1，2]上的值域为A，在[4，8]上的值域为B，由任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[4，8]，使得f（x1）=f（x2）成立，知A⊆B．当≤1或≥8，即a≤2或a≥16时，f（x）在[1，8]上为单调函数，不合题意；当1＜≤2，即2＜a≤4时，由（2）知，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（）∈A，但f（）∉B，不合题意；当2＜≤4，即4＜a≤8时，A=[f（2），f（1）]，B=[f（4），f（8）]，由A⊆B，得，即，∴，又4＜a≤8，∴；当4＜＜8，即8＜a＜16时，由A⊆B，得f（8）≥f（1），∴a≤，∴8＜a≤，综上，a的取值范围为．【解析】（1）对f（x）求导后，由导数的几何意义可得f'（1）=2（2-a）=1，从而求出a的值；（2）根据函数f（x）的极小值不超过，对a分类讨论，将问题转化为解关于a的不等式，从而求出a的最小值；（3）设f（x）在[1，2]上的值域为A，在[4，8]上的值域为B，根据任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[4，8]，使得f（x1）=f（x2）成立，知A⊆B，然后分情况求解可得a的范围．本题考查了导数的几何意义，导数在研究函数性质中的应用和集合之间的关系，考查了转化思想，分类讨论思想，考查了逻辑推理能力和运算能力，属难题．20.【答案】解：（1）∵n≥3，且n∈N*时，a1a2+a2a3+…+a n-1a n=λ（n-1）a1a n恒成立，则n=3时，a1a2+a2a3=2λa1a3，∵数列{a n}各项都不为0，同除a1a2a3，得：=，又∵成等差数列，则，比较，得=，∴λ=1．证明：（2）①当λ=1，n=3时，a1a2+a2a3=2a1a3，①整理，得：=，∴=，②当n=4时，a1a2+a2a3+a3a4=3a1a4，③③-①，得：a3a4=3a1a4-2a1a3，∴，∵=，∴，④当n≥3时，a1a2+a2a3+…+a n-1a n=（n-1）a1a n，a1a2+a2a3+…+a n-1a n+a n a n+1=na1a n+1，两式相减，得：a n a n+1=na1a n+1-（n-1）a1a n，∵a n≠0，∴，∴，∴=，∵x==表示首项为q2，公比为q=i-2，（i≥4），共k-3（k≥4）项的等比数列的和，∴x为正整数，∴{b n}中的每一项都是数列{c n}，即{}中的项，整理，得，即，（n≥3），⑤由②④⑤得：对任意正整数n≥1恒成立，∴数列{}成等差数列．②设数列{}公差为d，令=c（c≠0），则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2-c1=b2-b1=cq-c，当i=2时，b3=c2=b2，∴q=1，b2=b1，∴a1=a2，与已知不符，当i=3时，由b3=c3，cq2=c+2d=c+2c（q-1），得q=1+2（q-1），解得q=1，与已知不符．当i=1时，由=c，得q2=1，由q≠1，得q=-1为整数，数列{b n}为：c，-c，c，…，数列{c n}中，c1=c，c2=-c，公差d=-2c，数列{b n}中每一项都是{c n}中的项，（c=c1，-c=c2），当i≥4时，由b3=c i，cq2=c+（i-1）d=c+（i-1）c（q-1），得q2-（i-1）q+（i-2）=0，得q=1，（舍），q=i-2，（i≥4）为正整数，∵cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需=c i+xd=b3+x（cq-c）=cq2+x（cq-c）有正整数解x，等价于：q k-1=q2+x（q-1），x=为正整数，∴q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列中的项．【解析】（1）n≥3，且n∈N*时，a1a2+a2a3+…+a n-1a n=λ（n-1）a1a n恒成立，n=3时，a1a2+a2a3=2λa1a3，同除a1a2a3，得=，由成等差数列，得，由此能求出λ的值．（2）①当λ=1，n=3时，=，从而=，当n=4时，，从而，当n≥3时，推导出，由此能证明数列{}成等差数列．②设数列{}公差为d，令=c（c≠0），则b1=c1=c，b2=c2=c+d，d=c2-c1=b2-b1=cq-c，推导出cq=c+d，b3=c i，对任意的正整数k≥4，欲证明b k是数列{c n}中的项，只需=c i+xd=b3+x（cq-c）=cq2+x（cq-c）有正整数解x，等价于：q k-1=q2+x（q-1），x=为正整数，由此能证明q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列中的项．本题考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列的性质基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．21.【答案】解：由题意，根据公式AA-1=E，可得：•=．即：=．∴，解得：．∴A=．∴A2=•=．【解析】本题先根据公式AA-1=E可将具体矩阵进行代入计算得到a、b、c的值，即可得到矩阵A，则A2即可求出．本题主要考查逆矩阵定义式公式AA-1=E，然后代入矩阵求参数的值，以及矩阵的乘法运算．22.【答案】解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得，M（2，0），N（3，），则直线l：y=（x-2），曲线C：（x-2）2+（y+）2=4，圆心C（2，-），半径r=2，则圆心到直线l的距离为d==，则直线l被曲线C截得的弦长为2=．【解析】将直线和圆化成直角坐标方程后，利用圆中的勾股定理列式可得弦长．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】证明：∵a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴2a+2b+2c=4，∴4（++）=[（b+c）+（c+a）+（a+b）]（++）≥（+•+•）2=（a+b+c）2=4，∴++≥1．【解析】不等式两边同乘（2a+2b+2c），利用柯西不等式证明．本题考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，属于中档题．24.【答案】解：（1）抛物线的焦点为F（1，0），设M（x，y），则A（2x-1，2y），把A（2x-1，2y）代入y2=4x可得4y2=8x-4，即y2=2x-1．（2）设直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x可得y2-4my-4=0，设A（x1，y），B（x2，y2），则y1y2=-4，①若A在第一象限，B在第四象限，则y1＞0，y2＜0，则S AOB=•OF•（y1-y2），S△BOF=•OF•（-y2），∵S△AOB=3S△BOF，∴y1-y2=-3y2，∴y1=-2y2，又y1y2=-4，∴y1=2，y2=-．故x1=2，x2=，把A（2，2）代入x=my+1可得m==，∴直线l的方程为x-y-1=0，即4x-y-4=0．②若A在第四象限，B在第一象限，则y1＜0，y2＞0，S AOB=•OF•（y2-y1），S△BOF=•OF•y2，∵S△AOB=3S△BOF，∴y2-y1=3y2，∴y1=-2y2，又y1y2=-4，∴y1=-2，y2=．故x1=2，x2=，把A（2，-2）代入x=my+1可得m=-=-，∴直线l的方程为x+y-1=0，即4x+y-4=0．综上，直线l的方程为：4x-y-4=0或4x+y-4=0．【解析】（1）设M（x，y），表示出A点坐标，代入抛物线方程化简即可；（2）设A（x1，y），B（x2，y2），直线l的方程为x=my+1，联立方程组可得则y1y2=-4，三角形的面积比得出y1=-2y2，讨论A，B所在象限得出A的坐标，进而可得出直线l的方程．本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．25.【答案】证明：（1）∵a1=2，且对任意n∈N*恒成立，∴当n=1时，a2=3=1+a1成立，假设当n=k时成立，即a k+1=a k a k-1a k-2…a2a1+1，当n=k+1时，a k+2=a k+1（a k+1-1）+1=（a k a k-1a k-2…a2a1）a k+1+1=a k+1a k a k-1…a2a1+1，则当n=k+1时，命题成立，综上可得，a n+1=a n a n-1a n-2…a2a1+1；（2）要证：，由（1）a n+1=a n a n-1a n-2…a2a1+1，只要证∴a n a n-1a n-2…a2a1＞n n，下面用数学归纳法证明：当n=1，2，3时，a1=2，a2=3，a3=7，则2＞1，2×3＞22，2×3×7＞33假设当n=k（k≥3）时结论成立，即a k a k-1a k-2…a2a1＞k k，则当n=k+1时a k+1a k a k-1…a2a1+1=（a k a k-1…a2a1+1）a k a k-1…a2a1＞（a k a k-1…a2a1）2＞k2k设f（x）=2x lnx-（x+1）ln（x+1），x≥3，则=ln（x-1）+1≥ln2+1＞0∴f（x）单调递增，则f（x）≥f（3）=2（3ln3-2ln4）=2ln＞0则2k lnk＞（k+1）ln（k+1），∴ln k2k＞ln（k+1）k+1，即k2k＞（k+1）k+1，∴a k+1a k a k-1…a2a1＞（k+1）k+1，则当n=k+1时，命题成立综上可得，a n a n-1a n-2…a2a1＞n n，∴，【解析】（1）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；（2）要证：，由（1）a n+1=a n a n-1a n-2…a2a1+1，只要证∴a n a n-1a n-2…a2a1＞n n，可用数学归纳法证明．本题主要考查了利用数学归纳法证明与数列有关的等式及不等式，试题具有一定的综合性。
江苏省徐州、宿迁市2012届高三第三次质量检测数学试题
江苏省苏北四市2011-2012学年度高三第三次质量检测数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上1、已知集合U=｛1，2，3，4，5｝，A=｛1，2｝，B=｛3，4｝，则()U C A B = ▲2、若(1－2i)(x ＋i)＝４－３ｉ(i 是虚数单位），则实数ｘ为 ▲3、某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：由此可预测参加面试的分数线为 ▲ 分4、已知一个算法的伪代码如图所示，则输出的结果为 ▲5、若实数,{1,1,2,3},m n m n ∈-≠，则方程221x y m n+=表示的曲线是焦点在ｘ轴上的双曲线概率为 ▲6、已知向量(sin ,cos ),(3,4),,tan a b a b θθθ==-=若则 ▲７、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前ｎ项和，若135720,,,a a a a =且成等比数列，则10S = ▲ 8、曲线12x y x +=-在ｘ＝１处的切线与直线10x by ++=，则实数ｂ的值为 ▲９、若函数()sin()(0,||)2fxx πωϕωϕ=+><且，在区间2[,]63ππ上是单调减函数，且函数值从１减少到－１，则()4f π= ▲１０、如图，ABC ∆是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP BP =▲１１、已知长方体的长，宽，高为5，4，3，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，则这两个三棱柱表面积之和的最大为 ▲ １２、已知函数2log ,0()2,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是 ▲Print IEnd While SI+2I While S ≤2001I2S PBA C１３、在平面直角坐标系中，不等式组02030y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩表示的区域为M ，1t x t ≤≤+表示的区域为N ，若12t <<，则M 与N 公共部分面积的最大值为 ▲１４、已知直线y x =与函数2)(0)g x x x=>（和图象交于点Q ，P ，M 分别是直线y x =与函数2)(0)g x x x=>（的图象上异于点Q 的两点，若对于任意点M ，P M ≥PQ 恒成立，则点P 横坐标的取值范围是 ▲二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏苏锡常镇四届高三年级第三次模拟考试数学Word版含答案
江苏苏锡常镇四市届高三第三次模拟考试数学Word 版含答案 1 / 1）届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)）．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0<x<3}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝3＋4i 5i，其中i 是虚数单位，则|z|＝________． 3. 已知双曲线C 的方程为x24－y 2＝1，则其离心率为________． 4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i 的值为________．T ←1i ←2While T<6T ←2Ti ←i ＋2End WhilePrint i(第4题)5.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．6.口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝2a 2，则S12S8＝________．8. 若函数f(x)＝cos (ωx －π3)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________．9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a2＋1a －2b2＋4b的最小值为________．10.已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x 2＋2)的解集为____________．。
苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试数学试题
苏锡常镇四市2012 届高三教学调研测试一数学试题一、填空题（每小题5 分，共70 分）1．若集合U R ，A x x 2 0 ，B x x …1 ，则A СU B ＝；2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线8kx ky 8 的渐近线方程为2 2 ；3．函数f x sin x cos x 的最小正周期为2 ；开始2 i 24．已知i 是虚数单位，计算的结果是； 3 4i S 0 n 1 i 15．已知奇函数f x 的图像关于直线x 2 对称，当x 0 2 时，f x 2 x ，f 9 ＝则；1 SS 6 ．已知常数t 是负实数，则函数n f x 12t2 tx x 2 的定义域是；n n27．某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为 5 ：2 ：3 ，且已知初中生有800 人，现采用分层抽样的方法从这所学校i i 1 抽取一个容量为80 的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是；1 1 18．右图给出的是计算1 的值的一个程序 3 5 19 框图，其中判断框内应填入的条件是输出S i ；9．已知圆O 的方程为x y 2 ，圆M 的方程为2 2 结束x 12 y 3 2 1 ，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是；10．已知结论：“在三边长都相等的ABC 中，若 D 是BC 的中点，G AG 是ABC 外接圆的圆心，则2 ”．若把该结论推广到空间，GD 则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，M 是BCD 的三边中线的交点，若AO O 为四面体ABCD 外接球的球心，则”．OM11 ．设等差数列an 的前n 项和为S n 若 1 ≤ a5 ≤ 4 ，2 ≤ a6 ≤ 3 ，则S 6 的取值范围是；12．已知过点O 的直线与函数y 3 的图象交于 A 、B 两点，点 A 在线段OB 上，过A 作x y 轴的平行线交函数y 9 x 的图象于C 点，当BC ‖x 轴，点 A 的横坐标是；13．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP ，则的最小值为；14．设m N ，若函数f x 2 x m 10 x m 10 存在整数零点，则m 的取值集合为．（14 分）设平面向量 a ＝cos x sin x ，b cos x 2 3sin x ，c sin cos ，15．xR，⑴若a c ，求cos2 x 2 的值；⑵若x 0 ，证明a 和b 不可能平行；2 ⑶若0 ，求函数f x a b 2c 的最大值，并求出相应的x 值．16．（14 分）在菱形ABCD 中， A 60 ，线段AB 的中点是E ，现将ADE 沿DE 折起到FDE 的位置，使平面FDE 和平面EBCD 垂直，线段FC 的中点是G ．⑴证明：直线BG ‖平面FDE ；⑵判断平面FEC 和平面EBCD 是否垂直，并证明你的结论．（14 分）如图，ABC 为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3 （百米）17．，底AB 的长为4 （百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1 和S 2 ．⑴若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度；S1 ⑵求的最小值．S2 x2 y 2 218．（16 分）已知椭圆E ：2 2 1a b 0 的离心率为，且过点P 2 2 ，设a b 2 椭圆的右准线l 与x 轴的交点为 A ，椭圆的上顶点为 B ，直线AB 被以原点为圆心的圆4 5 O 所截得的弦长为．5 ⑴求椭圆 E 的方程及圆O 的方程；⑵若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，对于圆O 上任意MN 一点N ，有为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上．NQ19．（16 分）设函数f x x x 1 ，x 0 ．2 ⑴求f x 的极值；F a ⑵设0 a ≤ 1 ，记f x 在0 a 上的最大值为F a ，求函数G a 的最小值；a ⑶设函数g x ln x 2 x 4 x t（t 为常数）若使g x ≤ x m ≤ f x 在0 上2 ，恒成立的实数m 有且只有一个，求实数m 和t 的值．n2 （16 分）设数列an 是一个无穷数列，记Tn20．2 i 1 ai 2a1 a3 2n 2 an 1 ，n N ．i 1 ⑴若an 是等差数列，证明：对于任意的n N ，Tn 0 ；⑵对任意的n N ，若Tn 0 ，证明：an 是等差数列；⑶若Tn 0 ，且a1 0 ，a2 1 ，数列bn 满足bn 2 n ，由bn 构成一个新数列 3 ，a b2 ，b3 ，设这个新数列的前n 项和为S n ，若S n 可以写成a b ，a b N a 1 b 1 ，则称S n 为“好和”．问S1 ，S 2 ，S3 ，中是否存在“好和”，若存在，求出所有“好和”；若不存在，说明理由．附加题21．选做题 A ．平面几何选讲（10 分）过圆O 外一点 A 作圆O 的两条切线AT 、AS ，切点分别为T 、S ，过点A 作圆O 的AT 2 PT PS 割线APN ，证明：．AN 2 NT NS B ．矩阵与变换（10 分）已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45 ，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．C ．坐标系与参数方程（10 分）已知 A 是曲线12 sin 上的动点，B 是曲线12 cos 上的动点，试求线6段AB 长的最大值．D ．不等式选讲（10 分）m3 n3 已知m n 是正数，证明：≥ m2 n2 ．n m22. （10 分）如图，正方体ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为1 ，E F 分别在棱AA1 和CC1 上（含线段端．点）（10 分）⑴如果AE C1 F 试证明B E D1 F 四点共面；⑵在⑴的条件下，是否存在一点E ，使得直线A1 B 和平面BFE 所成角等于？如果存6 在，确定 E 的位置；如果不存在，试说明理由．23．（10 分）⑴当k N 时，求证：1 3 k 1 3 k 是正整数；⑵试证明大于1 32 n 的最小整数能被2 整除（n N ）n1简答：7 241．21 2．y 2 2 x 3．4．i 25 25 15．2 6．3t 4t 7．8．10 509．1 或7 10．3 11．12 42 12．log 3 2 113．14．031430 215．⑴cos2 x 2 1 ⑵不平行⑶f x max 5 x 2k k Z 616．⑵垂直30 1117．⑴E 为AC 中点时，⑵ 2 25 x2 y218．⑴椭圆方程：1 圆的方程：x 2 y 24 8 4 NM 16 t 2 1 1 ⑵定值为：，Q 在圆心0 ，半径为的定圆上NQ 2 2 219．⑴x 1 极小值f 1 0 4 ⑵G a min 27 59 32 ⑶t ，m 27 2720．⑴错位相减⑵作差⑶逆用等比数列求和公式 2221．A ．B ．2 2 C ．18 D．2 2 2 222．⑴共面⑵E 与A 重合时23．⑵最小整数为1 3 2 n 1 3 2 n。
苏北四市2011—2012学年度高三年级第三次调研测试数学答案
苏北四市2011—2012学年度高三年级第三次调研测试数学试题参考答案与评分标准 2012年3月数学Ⅰ 必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．0； 2 3．40； 4．25； 5．1； 6．32； 71 ； 8．28π；9 10．2011； 11．[)8,7； 12．15； 13．93,8⎛⎫- ⎪⎝⎭； 14．． 二、解答题： 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤．15．⑴ππ()sin()sin()cos 44f x x x x x =+-sin cos cos 44x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x =+ ………………………………………………… 2分 πsin(2)6x =+， ……………………………………………………………4分 所以π()6f =1 ．………………………………………………………………………………6分⑵由()12A f =，有π()sin()126A f A =+=，因为0πA <<，所以ππ62A +=，即π3A =. …………………………………………8分2πsin sin sin sin()3B C B B +=+- =3πsin )23B B B =+. ……12分 因为2π03B <<，所以πππ33B <+<，π0sin()13B <+≤，所以sin sin B C +14分16．⑴设AC BD O = ，连结FO ．因为ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，因为DBFE 是梯形，且2BD EF =，所以DO EF∥， 所以四边形DOFE 是平行四边形，所以DE OF ．………………………………5分 因为DE ⊄平面ACF ， OF ⊂平面AFC ， 所以DE 平面ACF ．………………………7分⑵因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为平面ABCD ⊥平面BDEF ， 平面ABCD 平面BDEF BD =，所以AC ⊥平面BDEF ，因为BE ⊂平面BDEF ，所以BE ⊥AC ． ……………………………………………10分 又因为12BF BD =，所以BF BO =， 所以四边形BOEF 是正方形，所以BE OF ⊥． ………………………………………12分 因为OF AC O = ，,OF AC ⊂平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF ．……………………………………………………………………14分 17．⑴因为AOC △的面积与BOC △的面积之和等于AOB △的面积，所以11145sin75222x y xy += ，……………………………4分12y +=， 所以2)y x =>．………………………………………………………………………6分 ⑵AOB △的面积1sin 752S xy ==22x x - ………………………8分424)2x x -++-81)=． ……………12分 当且仅当4x =时取等号，此时y =．故当4OA km =，OB =时，AOB ∆的面积最小． ……………………………14分 18．⑴依题意知(21)A ，,(21)B -，. ……………………………………………………2分 设00()P x y ，,则220014x y +=.由OP mOA nOB =+ ,得002()x m n y m n =-⎧⎨=+⎩, 第16题图ABCDEFO由224()()14m n m n -++=,得2212m n +=.故点()Q m n ，在定圆2212x y +=上. ……………………………………………………8分 ⑵设11()M x y ，，22()N x y ，,则121214y y x x =-. 平方得22222212121216(4)(4)x x y y x x ==--,所以22124x x +=. ………………………10分 又因为直线MN 的方程为21211221()()0x x x y y y x y x y ---+-= , 所以O 到直线MN的距离为d =………………………………12分所以OMN △的面积122111||22S MN d x y x y ==-=1=. 故OMN △的面积为定值1. ………………………………………16分 19．⑴因为()2g x x '=，所以222()()2(1)10xg x g x x x x '-=--=+>在(0,)+∞上恒成立， 即()()xg x g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以2()1g x x =-是A 型函数．…………………………………………………………3分 ⑵211()(0)ah x a x x x -'=-+>，由()()xh x h x '>，得 1113ln ---+>---a aax ax x x x，因为0>x ，所以可化为2(1)2ln -<+a x x x ，令()2ln p x x x x =+，()3ln p x x '=+，令()0p x '=，得3e -=x ，当3(0,e )-∈x 时，()0p x '<，()p x 是减函数； 当3(e ,)-∈+∞x 时，()0p x '>，()p x 是增函数，所以33min ()(e )e p x p --==-，所以32(1)e --<-a ，311e 2a -<-．………………5分 ①当0=a 时，由21()0xh x x -'=>，得1<x ，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞； ②当0<a 时，由21()(1)()0a a x x a h x x---'=>，因为10a a -<，得01x <<， 所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；③当102a <<时，11a a ->，所以由21()(1)()0aa x x a h x x---'=>得， 1x <或1a x a ->， 所以增区间为(0,1)，1(,)a a -+∞，减区间为1(,1)aa-； ④当12a =时，()0h x '≥，所以，函数增区间为(0,)+∞；⑤3111e 22a -<<-时，11a a -<，由21()(1)()0a a x x a h x x---'=>，得1x >，或1a x a -<， 所以增区间为1(0,)a a -，(1,)+∞，减区间为1(,1)aa-． …………………………10分 ⑶因为函数()f x 是(0,)+∞上恒有()()xf x f x '>在(0,)+∞上成立，设()()f x F x x =，则2()()()0xf x f x F x x '-'=>在(0,)+∞时恒成立， 所以函数()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数， ………………………………………12分 因为120,0x x >>，所以1211220,0x x x x x x +>>+>>， 所以121122()(),()()F x x F x F x x F x +>+>，即121122121122()()()(),f x x f x f x x f x x x x x x x ++>>++， ………………………………………14分所以112212121212()()(),()x f x x x f x x f x f x x x x x ++<<++， 两式相加，得1212()()()f x f x f x x +<+． …………………………………………16分20．⑴当3k =，1236a a a =，则1236a a a ++=．设32313n n n n c a a a --=++，由33n n a a +=+，得19n n c c +=+，所以数列{}n c 是公差为9的等差数列，故361212121112696662S c c c ⨯=+++=⨯+⨯= ．………………………………4分 ⑵若2k =时，1212a a a a +=⋅，又12a a <，所以1222a a a ⋅<，所以11a =，此时221a a +=，矛盾． …………………………………………………………………6分 若3k =时，123123a a a a a a ++=⋅⋅，所以12333a a a a ⋅⋅<，123a a ⋅<，所以1231,2,3a a a ===，满足题意． ……………………………………………………8分若4k ≥时，1212k k a a a a a a +++=⋅⋅⋅ ，所以12k k a a a ka ⋅⋅⋅< ，即121k a a a k-⋅⋅⋅< ，又因为12112(1)22k a a a k k k -⋅⋅⋅>⨯⨯⨯--> ≥，所以4k ≥不满足题意．……10分 所以，11a =，22a =，33a =，且33n n a a +=+，所以3213(1)32n a a n n -=+-=-，3123(1)31n a a n n -=+-=-，333(1)3n a a n n =+-=， 故n a n =． ………………………………………………………………………………12分 ⑶又81121()2n a n n b b -+⋅=-⋅ ，所以1812121()2n a n n b b +-++⋅=-⋅，所以212n n b b +=，所以{}{}221,n n b b -都是以12为公比的等比数列，所以16212132(), 1,2114(), 2,2n n nn n b n n --⎧⋅⋅⎪⎪=⎨⎪-⋅⎪⎩≥为奇数,≥为偶数. …………………………………………14分令11n n b b +⋅<，即8121()12n --⋅<，811()221n -<，所以13n ≥， n 为奇数时有,12341112131415161,11,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅< ，，， 从而24121214,T T T T T <<<>> ，n 为偶数时，有23451213141516171,1,,1,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅< ，从而13131315,T T T T T <<<>> ，注意到12130,0T T >>，且131********T b T T T =⋅=>，所以数列{}n b 的前n 项积n T 最大时n 的值为13． ………………………………………16分数学Ⅱ 附加题部分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．如图，连接OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥． 因为OC 是圆的半径， 所以AB 是圆的切线．……………3分 因为ED 是直径，所以90ECD ︒∠=，所以90E EDC ︒∠+∠=， 又90,BCD OCD OCD ODC ︒∠+∠=∠=∠， 所以BCD E ∠=∠，又因为CBD EBC ∠=∠， 所以BCD ∆∽BEC ∆，所以2BC BDBC BD BE BE BC=⇒=⋅， …………………5分 21tan ==∠EC CD CED ，BCD ∆∽BEC ∆，21==EC CD BC BD ．……………………7分 设BD x =，则2BC x =，因为2BC BD BE =⋅，所以2(2)(6)x x x =+，所以2BD =．……………………………………………………9分 所以235OA OB BD OD ==+=+=． ………………………………10分ABCDEO第21—A 题B ．设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故3,3a b c d =⎧⎨=⎩++． ………………………4分 19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故29,215a b c d -=⎧⎨-=⎩++． ………………………………………………7分 联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ………………10分 C ．椭圆的普通方程为221259x y +=，左焦点为(4,0)-，…………………………………4分 直线1,42x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）的普通方程为260x y --=，……………………………8分所求直线斜率为12-，方程为1(4)2y x =-+，即240x y ++=． …………………10分 D ．因为0a ≠，所以原不等式等价于212||a b ||a b ||x ||x |a |++--+-≥，设t ab =，则原不等式等价于|1||21||1||2|t t x x ++--+-≥对任意实数t 恒成立． …………2分 因为13,,21|1||21|2,1,23,1,t t t t t t t t ⎧⎪⎪⎪++-=-+-<<⎨⎪--⎪⎪⎩≥≤所以21=t 时取得最小值23． ………………6分所以有232,3121122321x ,x x x ,x ,x,x -⎧⎪-+-=<<⎨⎪-⎩．≥≥≤解得39[,]44x ∈．所以，实数x 的取值范围为39[,]44．……………………………………………………10分 22．⑴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)D ，，， 1(002)D ，，，(210)E ，，，(020)C ，，． 设(2)P x y ，，，则1(0)D P x y = ，，，(212)EP x y y =--，，(210)EC =-，，．……………………………………2分因为1D P ⊥平面PCE ，所以1D P EP ⊥，1D P EC ⊥，所以10D P EP =，10D P EC = ，故(2)(1)020x x y y x y -+-=⎧⎨-+=⎩，．解得0,0x y =⎧⎨=⎩． (舍去)或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，． ………………………………4分即48(,2)55P ，， 所以148(,0)55D P = ，，所以1D P ==．………………6分 ⑵由⑴知，(2,1,0)DE = ，148(,,0)55D P = ，1D P ⊥ 平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P 与DE 所成角为α，则11164sin cos 5D P DE D P DEθα⋅====所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45． ………………………………………10分 23．⑴由二项式定理,得02233C C C C C n nn n n n n a =++++ ，所以02244224C C C 12C 2C n n n n n a =+++=+++ ，因为2242C 2C n n ++ 为偶数，所以a 是奇数．……………………………………………4分⑵由⑴设(1)n n a a a b Z ==+∈，,则(1n a =- ………………………………………………………………………5分所以222((1(1(12)n n n a b a a -=+-==-， ……………………6分 当n 为偶数时, 2221a b =+,存在2k a =，使得n a a =+…………………………………………8分 当n 为奇数时,2221a b =-,存在22k b =，使得n a a =+ …………………………………………9分 综上，对于任意n N *∈，都存在正整数k，使得n a = ………………10分。
2012年江苏省高三数学预测卷及答案
2012年江苏省高三数学预测卷及答案◎试卷使用说明1、此试卷完全按照2012年江苏高考数学考试说明命题，无超纲内容。
2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩，上下浮动15分左右。
3、若此试卷达120分以上，高考基本可以保底120分；若达85分，只要在下一个阶段继续努力高考可以达96分。
4、此试卷不含理科加试内容。
江苏省2012届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．复数在复平面上对应的点在第象限．2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是．3．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是．4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为．（第4题）．5．集合若则．6．阅读如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的值是．7．向量，=．8．方程有个不同的实数根．9．设等差数列的前项和为,若≤≤，≤≤，则的取值范围是．10．过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为．11．若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是．12．如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是．13．已知实数满足，则的最大值为．14．当为正整数时，函数表示的最大奇因数,如,设,则．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求；（2）当，且时，求.16．（本题满分14分）如图,是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.(1)求证：平面；（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝．(1)用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2)求线段长度的最小值．19．（本题满分16分）已知,函数.(1)如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相应的值,如果没有，说明为什么?(2)如果判断函数的单调性；(3)如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设，，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．1.四2.63.4.5.{2,3,4}6.50497.8.29.10.11.12.13.414.二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求；（2）当，且时，求.解：（1）由已知可得.所以.………………2分因为在中，，所以.………………………………4分（2）因为，所以.………………………………6分因为是锐角三角形，所以，.………………8分所以.11分由正弦定理可得：，所以.…………………………………………14分说明:用余弦定理也同样给分.16．（本题满分14分）如图,是边长为的正方形，平面，，.(1)求证：平面；（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.16.(1)证明：因为平面，所以.……………………2分因为是正方形，所以，因为………………4分从而平面.……………………6分（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM ＝BD时，AM∥平面BEF．…………7分取BE上的三等分点N，使3BN＝BE，连结MN，NF，则DE∥MN，且DE＝3MN，因为AF∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝MN，故四边形AMNF是平行四边形．……………………………………10分所以AM∥FN，因为AM平面BEF，FN平面BEF，…………………………………………12分所以AM∥平面BEF．…………………………………………14分17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．解：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，∴不妨设椭圆C的方程为．（2分）∴，（4分）即．（5分）∴椭圆C的方程为．（6分）⑵F（1，0），右准线为l：，设，则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分）∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为，（9分）∴直线OM的方程为：，点M的坐标为．（11分）∴直线MN的斜率为．（12分）∵MN⊥ON，∴，∴，∴，即．（13分）∴为定值．（14分）说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P，准线l与x轴交于Q，则有，又，所以为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝．(1)用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2)求线段长度的最小值．解：（1）设，则．（2分）在Rt△MB中，，（4分）∴．（5分）∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，∴．（7分）（2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分）,（9分）＝．（10分）令＝＝．（13分）∵，∴．（14分）当且仅当，时，有最大值，（15分）∴时，有最小值．（16分）19．（本题满分16分）已知,函数.(1)如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有，求出相应的值；如果没有，说明为什么?(2)如果判断函数的单调性；(3)如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.解：（1）如果为偶函数，则恒成立，（1分）即：（2分）由不恒成立，得（3分）如果为奇函数，则恒成立，（4分）即：（5分）由恒成立，得（6分）（2），∴当时,显然在R上为增函数；（8分）当时，，由得得得.（9分）∴当时,,为减函数;（10分）当时,,为增函数.（11分）(3)当时，如果，（13分）则∴函数有对称中心（14分）如果（15分）则∴函数有对称轴.（16分）20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设，，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．解：（1）n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，．（1分）n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，①2Sn－1＝an－1an＋r，②①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．（3分）则a1，a3，a5，…，a2n－1，…成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．a2，a4，a6，…，a2n，…成公差为2的等差数列，a2n＝a2＋2(n－1)．要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即．r＝c－c2．（4分）∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．∵当c＝－2，，不合题意，舍去.∴当且仅当时，数列为等差数列（5分）（2）＝a1＋2(n－1)]－a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2．＝a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()．（8分）∴（9分）．（10分）＝．（11分）∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1．（13分）且＞－1．（14分）又∵r＞c＞4，∴，则0＜．．∴＜1．．∴＜1．（15分）∴对于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）。
江苏省苏北四市高三数学第三次模拟考试试题
江苏省苏北四市2011-2012学年度高三第三次质量检测数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上1、已知集合U=｛1，2，3，4，5｝，A=｛1，2｝，B=｛3，4｝，则()U C AB = ▲2、若(1－2i)(x ＋i)＝４－３ｉ(i 是虚数单位），则实数ｘ为 ▲3、某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表： 分数段[)60,65 [)65,70 [)70,75 [)75,80 [)80,85 [)85,90 [)90,95 人数 １ ３ ６ ６ ２ １ １ 若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 ▲ 分 4、已知一个算法的伪代码如图所示，则输出的结果为 ▲5、若实数,{1,1,2,3},m n m n ∈-≠，则方程221x y m n+=表示的曲线是焦点在ｘ轴上的双曲线概率为 ▲6、已知向量(sin ,cos ),(3,4),,tan a b a b θθθ==-=若则 ▲ ７、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前ｎ项和，若135720,,,a a a a =且成等比数列，则10S = ▲ 8、曲线12x y x +=-在ｘ＝１处的切线与直线10x by ++=，则实数ｂ的值为 ▲９、若函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><且，在区间2[,]63ππ上是单调减函数，且函数值从１减少到－１，则()4f π= ▲１０、如图，ABC ∆是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP BP = ▲１１、已知长方体的长，宽，高为5，4，3，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，则这两个三棱柱表面积之和的最大为 ▲１２、已知函数2log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则满足不等式(())1f f x >的x 的取值范围是 ▲Print IEnd While SI+2I While S ≤2001I2SPBAC１３、在平面直角坐标系中，不等式组02030y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩表示的区域为M ，1t x t ≤≤+表示的区域为N ，若12t <<，则M 与N 公共部分面积的最大值为 ▲１４、已知直线y x =与函数2)(0)g x x x=>（和图象交于点Q ，P ，M 分别是直线y x =与函数2)(0)g x x x=>（的图象上异于点Q 的两点，若对于任意点M ，PM ≥PQ 恒成立，则点P 横坐标的取值范围是 ▲二、解答题：本大题共6小题，共90分。
2012年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷
2012 年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷2012 年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，计 70 分 .请把答案写在答题纸的指定地点上 .1．（ 5 分）（ 2012?盐城三模） 已知会合 A={ ﹣ 1，1，3} ，B= ，且 B? A ，则实数 a 的值是 _________．2．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知复数 z 知足（ 2﹣ i ） z=5i （此中 i 为虚数单位），则复数 z 的模是_________．3．（ 5 分）（2012?盐城三模）依据如下图的流程图，若输入 x 的值为﹣ 7.5，则输出 y 的值为 _________．4．（5 分）（ 2012?盐城三模）若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有 1、 2、3、4、5、6 个点的正方形玩具）先后投掷两次，向上的点数挨次为 m 、 n ，则方程 x 2+2mx+n=0 无实根的概率是_________ ． 5．（ 5 分）（ 2014?扬州模拟）为了检测某自动包装流水线的生产状况，在流水线上随机抽取 40 件产品，分别称出它们的重量（单位：克）作为样本．如图是样本的频次散布直方图，依据图中各组的组中值预计产品的均匀重量是_________ 克．6．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知正 △ ABC 的边长为 1，，则 = _________ ．7．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知 α、 β是两个不一样的平面，以下四个条件： ① 存在一条直线 a ， a ⊥α， a ⊥ β；② 存在一个平面γ， γ⊥ α， γ⊥ β；③ 存在两条平行直线 a 、 b ， a? α，b? β， a ∥ β， b ∥ α； ④ 存在两条异面直线a 、b ， a? α，b? β， a ∥ β， b ∥ α．此中是平面 α∥ 平面 β的充足条件的为 _________ ．（填上全部切合要求的序号）8．（ 5 分）（2012?盐城三模）若函数是奇函数，则知足 f （x ）＞ a 的 x 的取值范围是_________ ．9．（ 5 分）（2012?盐城三模）在直角坐标系 xOy 中，记不等式组 表示的平面地区为 D ．若指数函数y=a x（ a ＞ 0 且 a ≠1）的图象与 D 有公共点，则 a 取值范围是 _________ ．10．（ 5 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线上，且位于 x 轴上方．若点 P 到坐标原点 O 的距离为 ，则过 F 、 O 、P 三点的圆的方程是_________ ．11．（5 分）（ 2012?盐城三模）已知，则 cos α= _________ ．12．（ 5 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （ 0， 2），直线 l ： x+y ﹣ 4=0 ．点 B （ x ，y ）是圆 C ： x 2+y 2﹣ 2x ﹣1=0 的动点， AD ⊥ l ， BE ⊥ l ，垂足分别为 D 、 E ，则线段 DE 的最大值是 _________ ． 13．（5 分）（ 2012?盐城三模）如图，将数列 {a n } 中的全部项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的 第一列 a 1，a 2，a 5， 组成一个公比为 2 的等比数列，从第 2 行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若 a 4=5，a =518，则 d= _________ ．8614．（ 5 分）（ 2013?宝应县一模） 若不等式 |ax 3﹣ lnx|≥1 对随意 x ∈（ 0，1]都成立， 则实数 a 取值范围是_________ ．二、解答题（共 6 小题，满分 90 分）15．（ 14 分）（2013?宝应县一模）在 △ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、c ．已知向量，，且．（ 1）求的值；（ 2）若，求 △ ABC 的面积 S ．16．（ 14 分）（ 2012?盐城三模）在 △ ABC 中， ∠ BAC=90 °，∠ B=60 °，AB=1 ， D 为线段 BC 的中点， E 、 F 为线段 AC 的三平分点（如图 1）．将 △ABD 沿着 AD 折起到 △ AB ′D 的地点，连结 B'C （如图 2）．（ 1）若平面 AB ′D ⊥ 平面 ADC ，求三棱锥 B ′﹣ ADC 的体积；（ 2）记线段 B ′C 的中点为 H ，平面 B ′ED 与平面 HFD 的交线为 l ，求证： HF ∥ l ；（ 3）求证： AD ⊥ B ′E ．17．（ 14 分）（2012?盐城三模）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业．其用氧量包含 3 个方面：①下潜时，均匀速度为 v （米 /单位时间），单位时间内用氧量为cv 2（ c 为正常数）；② 在水底作业需 5 个单位时间，每个单位时间用氧量为 0.4；③ 返回水面时，均匀速度为（米 /单位时间），单位时间用氧量为 0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y ．（ 1）将 y 表示为 v 的函数；（ 2）设 0＜ v ≤5，试确立下潜速度 v ，使总的用氧量最少．18．（ 16 分）（ 2012?盐城三模） 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A （﹣ 2，﹣ 1）椭圆的左焦点为 F ，短轴端点为 B 1、 B 2， ．（ 1）求 a 、b 的值；（ 2）过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为 Q ，与 y 轴的交点为 R ．过原点 O 且平行于 l 的直线与椭圆的一个交点为 P ．若 AQ ?AR=3OP 2，求直线 l 的方程．19．（ 16 分）（2012?盐城三模）已知数列 {a n } 的奇数项是公差为 d 1 的等差数列，偶数项是公差为 d 2 的等差数列， S n是数列 {a n } 的前 n 项和， a 1=1， a 2=2． （ 1）若 S 5 =16， a 4=a 5，求 a 10；（ 2）已知 S 15=15a 8，且对随意 n ∈N *，有 a n ＜ a n+1 恒成立，求证：数列 {a n } 是等差数列；（ 3）若 d 1 =3d 2（ d 1≠0），且存在正整数 m 、 n （m ≠n ），使得 a m =a n ．求当 d 1 最大时，数列 {a n } 的通项公式．20．（ 16 分）（ 2013?宁波模拟）已知函数 f （ x ） =x 3+ax 2﹣ a 2x+2 ， a ∈R ． （ 1）若 a ＜0 时，试求函数 y=f （x ）的单一递减区间；（ 2）若 a=0，且曲线 y=f （ x ）在点 A 、B （A 、 B 不重合）处切线的交点位于直线x=2 上，证明： A 、 B 两点的横坐标之和小于 4；（ 3）假如对于全部 x 1、 x 2、 x 3∈[0 ， 1] ，总存在以 f （ x 1）、 f （ x 2）、f （x 3）为三边长的三角形，试求正实数 a 的取值范围．三、 [选做题 ]在 A 、 B 、 C 、 D 四小题中只好选做 2 题，每题 0 分，共 20 分．请在答题卡指定地区内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 1：几何证明选讲：如图， ⊙ O 的直径 AB 的延伸线与弦 CD 的延伸线订交于点P ，E 为 ⊙ O 上一点， ，DE 交 AB 于点 F ．求证：PF?PO=PA?PB ．22．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 2：矩阵与变换：已知曲线 C ： x 2+y 2=1，对它先作矩阵 A=对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，获得曲线．务实数 b 的值．23．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程：在以 O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线 C 的极坐标方程分别是和 ρsin 2θ=8cos θ，直线l 与曲线 C 交于点 A 、 B ，求线段 AB 的长．24．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 5：不等式选讲： 解不等式：．四、 [必做题 ]每题 10 分，共 20 分．请在答题卡指定地区内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．（ 2012?盐城三模）一个袋中装有大小和质地都同样的 10 个球，此中黑球 4 个，白球 5 个，红球 1 个． （ 1）从袋中随意摸出 3 个球，记获得白球的个数为 X ，求随机变量 X 的概率散布和数学希望 E （X ）； （ 2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求 3 次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．26．（ 2012?盐城三模）已知数列 {a n } 的首项为 1，．（ 1）若数列 {a n } 是公比为 2 的等比数列，求p （﹣ 1）的值；（ 2）若数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列，求证： p （x ）是对于 x 的一次多项式．2012 年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷参照答案与试题分析一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，计 70 分 .请把答案写在答题纸的指定地点上.1．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知会合A={ ﹣ 1， 1， 3} ，B=，且B ? A，则实数a 的值是1．考点：会合的包含关系判断及应用．专题：计算题．剖析：由 B ? A，及+2≥2 知+2∈A，且+2=3 ，直接得出a=1．解答：解：因为A={ ﹣ 1， 1， 3} ，B=，且B? A，则 +2∈A ，又+2≥2，∴+2=3 ，a=1所以 a 的值为 1．故答案为： 1评论：此题考察了会合的包含关系，属于基础题型．2．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知复数z 知足（ 2﹣ i） z=5i （此中 i 为虚数单位），则复数z 的模是．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．剖析：对复数方程两边求模，而后求出复数z 的模．解答：解：因为复数z 知足（ 2﹣ i） z=5i ，所以 |（ 2﹣ i） z|=|5i|，所以 |z|=．故答案为：．评论：此题考察复数的模的求法，考察计算能力．3．（ 5 分）（2012?盐城三模）依据如下图的流程图，若输入x 的值为﹣ 7.5，则输出y 的值为﹣1．考点：程序框图．专题：图表型．剖析：联合框图，写出前几次循环的结果，判断每一次结果能否知足判断框的条件，直到知足履行Y，输出 y 的值．解答： 解：经过第一次循环获得x= ﹣5.5经过第二次循环获得 x= ﹣ 3.5 经过第三次循环获得 x= ﹣ 1.5 经过第四次循环获得x=0.5知足判断框的条件，履行 Y ， y=log 20.5=﹣ 1，输出﹣ 1故答案为：﹣ 1评论： 此题考察解决程序框图中的循环构造时，常采纳写出前几次循环的结果，找规律．4．（5 分）（ 2012?盐城三模）若将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有1、 2、3、4、5、6 个点的正方形玩具）先后投掷两次，向上的点数挨次为m 、 n ，则方程2无实根的概率是．x +2mx+n=0考点 ： 古典概型及其概率计算公式． 专题 ： 计算题．剖析： 连续投掷两次骰子分别获得的点数记作（m ， n ）：共 36 个，方程 x 2+2mx+n=0 无实根，即 △ ＜ 0，即 n ＞ m 2 ，这样的（ m ， n ）有 7 个，由此求得方程 x 2+2mx+n=0 无实根的概率．解答： 解：连续投掷两次骰子分别获得的点数记作（ m ， n ）：（ 1， 1），（1， 2），（1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（ 1， 6） （ 2， 1），（2， 2），（2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 2， 6） （ 3， 1），（3， 2），（3， 3），（ 3， 4），（ 3， 5），（ 3， 6） （ 4， 1），（4， 2），（4， 3），（ 4， 4），（ 4， 5），（ 4， 6） （ 5， 1），（5， 2），（5， 3），（ 5， 4），（ 5， 5），（ 5， 6）（ 6， 1），（6， 2），（6， 3），（ 6， 4），（ 6， 5），（ 6， 6）．共 36 个方程 x 2+2mx+n=0 无实根，即 △ =4m 2 ﹣4n ＜ 0，即 n ＞m 2，这样的（ m ， n ）有：（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（1， 6），（ 2， 5），（2， 6），共 7 个，故方程x 2+2mx+n=0 无实根的概率是，故答案为．评论： 此题考察古典概型问题，能够列举出试验发生包含的事件和知足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于基础题．5．（ 5 分）（ 2014?扬州模拟）为了检测某自动包装流水线的生产状况，在流水线上随机抽取40 件产品，分别称出它们的重量（单位：克）作为样本． 如图是样本的频次散布直方图， 依据图中各组的组中值预计产品的均匀重量是507克．考点 ： 频次散布直方图．专题：计算题．剖析：直接依据频次直方图均匀数的求法求解即可．解答：解：由题意可知：均匀重量=0.1×490+0.3×500+0.4×510+0.2×520=507．故答案为： 507．评论：此类题要点考察频次散布直方图的知识，加权均匀数，频次计算，考察计算能力．6．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知正△ ABC的边长为1，，则=﹣2．考点：平面向量数目积的性质及其运算律；向量加减混淆运算及其几何意义．专题：计算题．剖析：由题意可得=（）? =7+3，再利用两个向量的数目积的定义求出结果．解答：解：由题意可得=（）? =7+3=7×1×1cos120°+3×1×1cos60°=+ =﹣2，故答案为﹣ 2．评论：此题主要考察两个向量的数目积的定义，注意两个向量的夹角的值，属于基础题．7．（ 5 分）（2012?盐城三模）已知α、β是两个不一样的平面，以下四个条件：①存在一条直线a， a⊥α， a⊥ β；② 存在一个平面γ，γ⊥ α，γ⊥ β；③存在两条平行直线a、 b， a? α，b? β， a∥ β， b∥ α；④存在两条异面直线a、 b， a? α，b? β， a∥ β， b∥ α．此中是平面α∥ 平面β的充足条件的为①④．（填上全部切合要求的序号）考点：平面与平面平行的判断．专题：证明题．剖析：利用空间直线与平面平行、垂直的判断与性质和平面与平面平行的判断与性质，对各个选项分别加以推理论证，则不难获得此题的正确答案．解答：解：对于① ，依据直线与平面垂直的性质可知，当直线a⊥ α且 a⊥ β，必有平面α、β相互平行时，故①正确；对于② ，以长方体的一个角为例，可知γ⊥α且γ⊥β时，也可能α、β订交，不必定有α∥ β，故② 不正确；对于③，当α、β订交，交线 l 既与 a 平行，又与 b 平行时，存在两条平行直线a、 b， a? α， b? β， a∥ β，b∥ α，所以，③ 不正确；对于④，存在两条异面直线a、b， a? α，b? β， a∥ β， b∥ α．可将α内的直线平移到β内的直线c，则有订交直线b、 c 都与平面α平行，依据面面平行的判断定理，可得④ 正确．故答案为：①④评论：此题以充足条件的判断为载体，找寻使两个平面平行的充足条件，侧重考察了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的判断与性质等知识点，属于基础题．8．（ 5 分）（2012?盐城三模）若函数是奇函数，则知足 f （x）＞ a 的 x 的取值范围是．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．剖析： 依据奇函数定义求出a 的值，得原不等式即 f （ x ）＞﹣ 2，再分类议论，分别解一元二次不等式，可得原不等式的解集．解答： 解：当 x ＜0 时， f （﹣ x ） =（﹣ x ） 2﹣ 2（﹣ x ） =x 2+2x∵ 函数 f （ x ）是奇函数，∴ 当 x ＜ 0 时， f （ x ）=﹣ f （﹣ x ） =﹣ x 2﹣ 2x ，比较已知条件，得 a=﹣ 2① 当 x ≥0 时，原不等式可化为x 2﹣ 2x ＞﹣ 2，即 x 2﹣ 2x+2 ＞ 0 解之得 x ≥0；② 当 x ＜ 0 时，原不等式可化为﹣ x 2﹣ 2x ＞﹣ 2，即 x 2+2x ﹣ 2＜0解之得﹣ 1﹣ ＜x ＜ 0综上所述，得原不等式的解集为故答案为：评论： 此题给出分段函数为奇函数，求参数a 值并解对于 x 的不等式，侧重考察了函数奇偶性和一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．9．（ 5 分）（2012?盐城三模）在直角坐标系 xOy 中，记不等式组表示的平面地区为 D ．若指数函数y=a x（ a ＞ 0 且 a ≠1）的图象与 D 有公共点，则 a 取值范围是[ ） ．考点 ： 简单线性规划的应用．专题 ： 综合题．剖析： 作出平面地区，对底数 a 议论，联合函数的图象，利用指数函数的性质，即可获得结论．解答： 解：暗影部分是平面地区D ，依据指数函数的性质可知，当 a ＞ 1 时，函数图象离 y 轴越近，则 a 的值越大∴ 当图象经过 g （ x ）与 r （ x ）的交点时， a 的值最小由，可得∴ 3=a 2， ∴ a=∴ a ≥当 0＜ a ＜ 1 时，函数图象与 D 没有公共点 综上知， a ≥ 故答案为： [）评论： 此题考察线性规划知识，考察指数函数，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．10．（ 5 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，点 P 在抛物线上，且位于 x轴上方．若点 P 到坐标原点 O 的距离为 ，则过 F 、 O 、P 三点的圆的方程是22．x +y ﹣ x ﹣ 7y=0考点 ： 抛物线的简单性质；圆的一般方程．专题 ： 计算题．剖析： 依据抛物线方程，求出焦点F 的坐标和知足条件 |OP|=4 的 P 点的坐标，再设经过 F 、O 、P 三点圆的一般式方程，将 O 、F 、 P 坐标代入，解对于 D 、 E 、 F 的方程组，即可获得所求圆的方程．解答： 解： ∵ 抛物线的方程为 y 2=4x ， ∴ 抛物线焦点为 F （ 1， 0）设 P （， t ），则 |OP|==4 ，解之得 t=4 （舍负），∴ P 坐标为（ 4， 4）设经过 F 、 O 、P 三点的圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 ，将 O （ 0， 0），F （ 1，0）， P （ 4， 4）代入，得，解之得 D= ﹣ 1， E=﹣ 7，F=022∴ 经过 F 、 O 、P 三点的圆的方程为x +y ﹣x ﹣ 7y=0 ．22故答案为： x +y ﹣ x ﹣7y=0评论： 此题给出过抛物线上一点和焦点的圆经过坐标原点，求圆的一般式方程，侧重考察了抛物线的标准方程和基本观点、圆的一般式方程等知识，属于基础题．11．（5 分）（ 2012?盐城三模）已知，则 cos α= ．考 两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系． 点：专 计算题．题： 分由条件求得，再由 ，可得 ，再由析：，利用两角和差的正弦公式求出结果．解解： ∵已知 ，答：∴，，又，所以．∴= ?cos+sin?sin=，故答案为．点 此题主要考察两角和差的正弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．评：12．（ 5 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （ 0， 2），直线 l ： x+y ﹣ 4=0 ．点 B （ x ，y ）是圆 C ： x 2+y 2﹣ 2x ﹣1=0 的动点， AD ⊥ l ， BE ⊥ l ，垂足分别为 D 、 E ，则线段 DE 的最大值是．考点 ： 直线和圆的方程的应用．专题 ： 计算题．剖析： 线段 DE 的最大值等于圆心（ 1，0）到直线 AD ： x ﹣y+2=0 的距离加半径，由此可得结论．解答： 解：圆 C ： x 2+y 2﹣2x ﹣ 1=0 的圆心坐标为（ 1， 0），半径为 ；依据题意，线段 DE 的最大值等于圆心（ 1， 0）到直线 AD ： x ﹣ y+2=0 的距离加半径，∵ 圆心（ 1， 0）到直线 AD ：x ﹣ y+2=0 的距离为=∴ 线段 DE 的最大值为故答案为：．评论： 此题考察直线与圆的方程的应用，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．13．（5 分）（ 2012?盐城三模）如图，将数列 {a n } 中的全部项按每一行比上一行多两项的规则排成数表．已知表中的第一列 a 1，a 2，a 5， 组成一个公比为2 的等比数列，从第2 行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列．若 a 4=5，a =518，则 d= 1.5 ．86考点 ： 等差数列与等比数列的综合． 专题 ： 综合题．剖析： 由第 2 行成公差为 d 的等差数列，得 a 2=5﹣ 2d ，由第 n 行的数的个数为2n ﹣1，从第 1 行到第 n 行的全部数的个数总和 n 2，由此利用 a 4=5， a 86=518 ，能求出 d ． 解答： 解： ∵ 第 2 行成公差为 d 的等差数列，∴ a 2=a 4﹣ 2d=5﹣ 2d ，第 n 行的数的个数为 2n ﹣ 1，从第 1 行到第 n 行的全部数的个数总和为，86=9 2+5，第 10 行的前几个数为： a 82， a 83，a 84， a 85， a 86， ，所以 a 82=a 86﹣ 4d=518﹣ 4d ．第一列 a 1 2 5 10 17 26 375065822 的等比数列，， a ， a ， a ， a ，a ， a ， a， a ， a ， 组成一个公比为 故有 ，解得： d=1.5． 故答案为： 1.5．评论： 此题考察等差数列和等比数列的综合应用，解题时要认真审题，认真察看，注意找寻规律．14．（ 5 分）（2013?宝应县一模）若不等式 |ax 3﹣ lnx| ≥1 对随意 x ∈（ 0，1] 都成立，则实数 a 取值范围是．考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．专题 ： 综合题；导数的综合应用．剖析：令 g（ x）=ax 3﹣ lnx ，求导函数，确立函数的单一性，从而可求函数的最小值，利用最小值大于等于1，即可确立实数 a 取值范围．解答：解：明显 x=1 时，有 |a|≥1， a≤﹣ 1 或 a≥1．令 g（ x）=ax 3﹣ lnx ，①当 a≤﹣ 1 时，对随意x∈（ 0，1] ，，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g（1）=a≤﹣ 1，此时 g（ x）∈[a， +∞）， |g（ x） |的最小值为0，不合适题意．②当 a≥1 时，对随意x∈（ 0， 1]，，∴函数在（ 0，）上单一递减，在（，+∞）上单一递加∴ |g（ x） |的最小值为≥1，解得：．∴实数 a 取值范围是评论：此题考察导数知识的运用，考察函数的单一性与最值，考察分类议论的数学思想，正确求导是要点．二、解答题（共 6 小题，满分90 分）15．（ 14 分）（2013?宝应县一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、 b、c．已知向量，，且．（ 1）求的值；（ 2）若，求△ ABC的面积S．考点：解三角形；平面向量的综合题．专题：计算题；解三角形．剖析：（ 1）由可得b（cosA﹣2cosC）+（a﹣2c）cosB=0法一：依据正弦定理可得， sinBcosA ﹣ 2sinBcosC+sinAcosB ﹣ 2sinCcosB法二：依据余弦定理可得，b×=0化简可得，而后依据正弦定理可求（ 2）由（ 1） c=2a 可求 c，由 | |可求 b，联合余弦定理可求cosA ，利用同角平方关系可求sinA ，代入三角形的面积公式S=可求解答：解：（ 1）法一：由可得b（cosA﹣2cosC）+（a﹣2c）cosB=0依据正弦定理可得， sinBcosA ﹣2sinBcosC+sinAcosB ﹣ 2sinCcosB=0∴（ sinBcosA ﹣ sinAcosB ）﹣ 2（sinBcosC+sinCcosB ） =0∴sin（A+B ）﹣ 2sin（ B+C ）=0∵A+B+C= π∴sinC﹣ 2sinA=0∴（法二）：由可得 b（ cosA﹣ 2cosC）+（ a﹣ 2c）cosB=0依据余弦定理可得， b×=0整理可得， c﹣ 2a=0∴=2（ 2）∵由（ 1）可知 c=2a=4∴b=3∴ cosA==，sinA==∴ △ABC 的面积 S===评论：此题以向量的坐标运算为载体主要考察了正弦定理及余弦定理在三角形求解中的应用，属于三角知识的综合应用16．（ 14 分）（ 2012?盐城三模）在△ ABC 中，∠ BAC=90 °，∠ B=60 °，AB=1 ， D 为线段 BC 的中点， E、 F 为线段 AC 的三平分点（如图 1）．将△ABD 沿着 AD 折起到△ AB ′D 的地点，连结 B'C （如图 2）．（1）若平面 AB ′D⊥平面 ADC ，求三棱锥 B ′﹣ ADC 的体积；（2）记线段 B ′C 的中点为 H，平面 B ′ED 与平面 HFD 的交线为 l，求证： HF ∥ l；（3）求证： AD ⊥ B′E．考点：直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的地点关系．剖析：（1）要求三棱锥的体积，要点要确立高与底面，因为平面AB'D ⊥平面 AD C ，则可让△ADC 为底， B'到面 ADC 的距离为高，即要找到过B'点的 AD 的垂线即可；（ 2）此问是要证明线线平行，又知l 为平面 B'ED 与平面 HFD 的交线，故可证HF ∥面 B'ED ，再用线面平行的性质定理即得证；（ 3）要证 AD ⊥ B'E，可用线面垂直的性质定理，即让AD 垂直于 B'E 所在的此中一个平面即可．解答：解：（1）在直角△ ABC中，D为BC的中点，所以AD=BD=CD ．又 ∠ B=60 °，所以 △ABD 是等边三角形．取 AD 中点 O ，连结 B'O ， ∴ B'O ⊥ AD ． ∵ 面 AB'D ⊥ 面 ADC ，面 AB'D ∩面 ADC=AD ， B'O? 面 AB'D ， ∴ B'O ⊥ 面 ADC ．在 △ ABC 中， ∠ BAC=90 °， ∠ B=60 °， AB=1 ， D 为 BC 的中点，∴ AC=， B'O=，∴． ∴ 三棱锥 B' ﹣ADC 的体积为 V=．（ 2）∵H又 HF?面 ∵HF? 面 为 B'C 的中点， F 为 CE 的中点， ∴ HF ∥B'E ，B'ED ， B'E ? 面 B'ED ， ∴HF ∥ 面 B'ED ， HFD ，面 B'ED ∩面 HFD=l ，∴ HF ∥ l ．（ 3）由（ 1）知， B'O ⊥ AD ．∵ AE= ， ， ∠DAC=30 °，∴=，∴ AO 2+EO 2=AE 2， ∴AD ⊥ EO又 B'O ? 面 B'EO ， EO? 面 B'EO ， B'O ∩EO=O ， ∴AD ⊥ 面 B'EO ，又 B'E? 面 B'EO ， ∴ AD ⊥B'E ．评论： 此题考察的是立体几何的平行与垂直的关系和空间体的体积；立体几何的平行与垂直的问题是高考的常考必考内容，除了要掌握与平行垂直有关的结论外，理科生还要注意掌握用空间向量的方法解决立体几何中的平行、垂直、空间角的问题．17．（ 14 分）（2012?盐城三模）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业．其用氧量包含 3 个方面：①下潜时，均匀速度为 v （米 /单位时间），单位时间内用氧量为 cv 2（ c 为正常数）；② 在水底作业需 5 个单位时间，每个单位时间用氧量为 0.4；③ 返回水面时，均匀速度为（米 /单位时间），单位时间用氧量为 0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y ．（ 1）将 y 表示为 v 的函数；（ 2）设 0＜ v ≤5，试确立下潜速度 v ，使总的用氧量最少．考点 ： 函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．专题 ： 应用题；函数的性质及应用．剖析： （ 1）分别计算潜入水底用时、用氧量；水底作业时用氧量；返回水面用时、用氧量，即可获得总用氧量的函数；（ 2）利用基本不等式可得 时取等号， 再联合 0＜ v ≤5，即可求得确立下潜速度 v ，使总的用氧量最少．解答：解：（ 1）潜入水底用时 ，用氧量为，水底作业时用氧量为5×0.4=2，返回水面用时，用氧量为= ，∴ 总用氧量 y=（v ＞ 0）；（ 2） y=≥2+2=2+12，当且仅当 ，即时取等号当≤5，即时，时，y的最小值为2+12，当＞ 5，即时，y′=0，∴函数在（ 0， 5] 上为减函数∴ v=5 时， y 的最小值为．综上，当时，下潜速度为时，用氧量最小值为2+12；当时，下潜速度为 5 时，用氧量最小值为．评论：此题考察函数模型的建立，考察基本不等式的运用，考察导数知识，考察分类议论的数学思想．18．（ 16 分）（ 2012?盐城三模）在平面直角坐标系xOy 中，过点 A（﹣ 2，﹣ 1）椭圆的左焦点为 F，短轴端点为 B1、 B2，．（ 1）求 a、b 的值；（ 2）过点 A 的直线 l 与椭圆 C 的另一交点为Q，与 y 轴的交点为 R．过原点 O 且平行于 l 的直线与椭圆的一个交点为 P．若 AQ ?AR=3OP 2，求直线 l 的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：（ 1）利用222，依据椭圆过点A（﹣ 2，﹣ 1），可得，由此可求 a、，可得 c ﹣ b=2bb 的值；（ 2）设直线 l 的方程代入椭圆方程，求出Q 的横坐标；直线OP 的方程代入椭圆方程，求出P 的横坐标，利用 AQ ?AR=3OP 2，成立方程，即可求得直线l 的方程．解答：解：（ 1）由题意， F（﹣ c， 0）， B 1（0，﹣ b），B 2（ 0， b），则∵∴c 2﹣ b2=2b2①∵椭圆过点 A （﹣ 2，﹣ 1）∴②2 2由①②解得 a =8， b =2∴；x+2）[ （4k 2+1）（x+2 ）﹣（ 8k+4 ）]=0（ 2）由题意，设直线l 的方程为 y+1=k （x+2 ），代入椭圆方程可得（∵ x+2≠0，∴，∴ x Q+2=由题意，直线OP 的方程为 y=kx ，代入椭圆方程可得（4k 2+1） x2=8∴∵AQ ?AR=3OP 2，∴∴∴k=1 或 k=﹣ 2当 k=1 时，直线 l 的方程为 x﹣ y+1=0 ；当 k=﹣ 2 时，直线 l 的方程为 2x+y+5=0评论：此题考察椭圆的方程，考察直线与椭圆的地点关系，考察学生的计算能力，属于中档题．19．（ 16 分）（2012?盐城三模）已知数列{a } 的奇数项是公差为 d 的等差数列，偶数项是公差为d的等差数列， Sn12n 是数列 {a n12．} 的前 n 项和， a =1， a =2（1）若 S5 =16， a4=a5，求 a10；（2）已知 S15=15a8，且对随意 n∈N *，有 a n＜ a n+1恒成立，求证：数列 {a n} 是等差数列；（3）若 d1 =3d2（ d1≠0），且存在正整数 m、 n（m≠n），使得 a m=a n．求当 d1最大时，数列 {a n} 的通项公式．考点：数列的应用；等差关系确实定．专题：综合题；等差数列与等比数列．剖析：（1）确立数列的前 5 项，利用S5=16， a4=a5，成立方程，求出d1=2， d2=3，从而可求a10；（2）先证明 d1=d2，再利用 S15=15a8，求得 d1=d2=2，从而可证数列 {a n} 是等差数列；（3）若 d1 =3d2（ d1≠0），且存在正整数 m、 n（m≠n），使得 a m=a n，在 m， n 中必定一个是奇数，一个是偶数．不如设 m 为奇数， n 为偶数，利用 a m=a n，及 d1=3d2，可得，从而可求当 d1最大时，数列 {a n} 的通项公式．解答：（ 1）解：依据题意，有a1=1，a2=2， a3=a1+d1=1+d1， a4=a2+d2=2+d 2， a5=a3+d1=1+2d 1∵ S5=16， a4=a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d 2=16 ，2+d 2=1+2d1∴ d1=2， d2=3．∴a10=2+4d 2=14（ 2）证明：当n 为偶数时，∵ a n＜ a n+1恒成立，∴2+，∴（d2﹣d1）+1﹣d2＜0∴d2﹣ d1≤0 且 d2＞ 1当 n 为奇数时，∵ a n n+1恒成立，∴，＜a∴（ 1﹣ n）（ d1﹣ d2）+2＞ 0∴d1﹣ d2≤0∴d1=d2∵ S15=15a8，∴ 8++14+=30+45d 2∴d1=d2=2∴a n =n∴数列 {a n} 是等差数列；（3）解：若 d1=3d2（d1≠0），且存在正整数 m、 n（ m≠n），使得 a m=a n，在 m，n 中必定一个是奇数，一个是偶数不如设 m 为奇数， n 为偶数∵a m=a n，∴∵d1=3d2，∴∵ m 为奇数， n 为偶数，∴ 3m﹣ n﹣ 1 的最小正当为2，此时 d1=3， d2=1∴ 数列 {a nn．} 的通项公式为a =评论： 此题考察数列的通项，考察数列的乞降，考察学生剖析解决问题的能力，确立数列的通项是要点．20．（ 16 分）（ 2013?宁波模拟）已知函数 f （ x ） =x 3+ax 2﹣ a 2x+2 ， a ∈R ． （ 1）若 a ＜0 时，试求函数 y=f （x ）的单一递减区间；（ 2）若 a=0，且曲线 y=f （ x ）在点 A 、B （A 、 B 不重合）处切线的交点位于直线 x=2 上，证明： A 、 B 两点的横坐标之和小于 4；（ 3）假如对于全部 x 1、 x 2 、 x 3∈[0 ， 1] ，总存在以 f （ x 1）、 f （ x 2）、f （x 3）为三边长的三角形，试求正实数 a 的取值范围．考点 ： 利用导数研究函数的单一性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题 ： 综合题．剖析： （ 1）求导函数，令 f' （ x ）＜ 0，联合 a ＜0，可得函数单一递减区间；（ 2）设在点 A （ x 1 3 2 3，x 1 +2 2+2）处切线的交点位于直线 x=2 上一点 P （ 2，t ），求出切线方程，）、B （ x ， x 代入点 P 的坐标，双方程相减，借助于基本不等式，即可证得 A 、 B 两点的横坐标之和小于 4；（ 3）先确立 0＜ a ＜ 2，再求导函数，确立函数的单一性与最小值，从而可确立正实数a 的取值范围．解答：（ 1）解： f'（ x ） =3x 2+2ax ﹣ a 2=3（x+a ）（ x ﹣ ）令 f' （ x ）＜ 0， ∵ a ＜ 0， ∴∴ 函数单一递减区间 [ ，﹣ a] ；（ 2）证明：当 a=0 时， f （ x ） =x 3+2设在点 A （ x 33x=2 上一点 P （ 2， t ），1，x 1 +2）、 B （ x 2， x 2 +2）处切线的交点位于直线 ∵ y ′=3x 2， ∴ 在点 A 处的切线斜率为 k=∴ 在 A 处的切线方程为y ﹣（ x 13+2） = 1（（ x ﹣ x ）3（（ 2﹣x 1）∵ 切线过点 P ， ∴ t ﹣（ x 1 +2 ） =∴①同理②①﹣②可得∵ x 1≠x 2， ∴∵ x 1≠x 2， ∴∴∴ 0＜ x 1+x 2 ＜4∴ A 、B 两点的横坐标之和小于4；2（ 3）解：由题设知， f （ 0）＜ f（ 1）+f （ 1），即 2＜ 2（﹣ a +a+3 ），∴ ﹣1＜ a＜ 2∵a＞ 0，∴0＜ a＜ 2∵∴ x∈时，f′（x）＜0，f（x）单一递减；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）单一递加∴当 x=时，f（x）有最小值 f （）=﹣∴ f（）=﹣＞0① ，f（0）＜2（﹣）② ，f（1）＜2（﹣）③ ，由①得 a＜；由② 得，∵ 0＜a＜2，∴不等式③化为＜0令 g（ a）=，则g′（a）=，∴ g（a）为增函数∵ g（ 2）=﹣＜0，∴ 当时，g（a）＜0恒成立，即③ 成立∴正实数 a 的取值范围为．评论：此题考察导数知识的运用，考察函数的单一性，考察导数的几何意义，考察存在性问题的研究，正确求导是要点．三、 [选做题 ]在 A 、 B 、 C、 D 四小题中只好选做 2 题，每题 0 分，共 20 分．请在答题卡指定地区内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（ 2012?盐城三模）选修4﹣ 1：几何证明选讲：如图，⊙ O 的直径 AB 的延伸线与弦CD 的延伸线订交于点P，E 为⊙ O 上一点，，DE交AB于点F．求证：PF?PO=PA?PB．考点：与圆有关的比率线段．专题：证明题；直线与圆．剖析：先证明△PDF∽ △ POC，再利用割线定理，即可证得结论．解答：证明：连结OC、 OE，则∠ COE=2 ∠ CDE∵， ∴ ∠AOC= ∠AOE∴ ∠ AOC= ∠ CDE ∴ ∠ COP= ∠PDF ∵ ∠ P=∠P∴ △ PDF ∽ △POC∴∴ PF ×PO=PD ×PC 由割线定理可得PC ×PD=PA ×PB∴ PF?PO=PA?PB ．评论： 此题考察三角形相像，考察割线定理的运用，考察学生剖析解决问题的能力，属于基础题．22．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 2：矩阵与变换：已知曲线 C ： x 2+y 2=1，对它先作矩阵 A=对应的变换，再作矩阵 B=对应的变换，获得曲线．务实数 b 的值．考点 ： 矩阵变换的性质．专题 ： 计算题．剖析：从曲线 C 1 变到曲线 C 2 的变换对应的矩阵为 BA ，而后在曲 C 1 上随意选一点 P （ x 0， y 0），设它在矩阵 BA对应的变换作用下变成 P'（ x'，y' ），成立关系式，将 P （x 0， y 0）代入 x 2+y 2=1，最后与 比较可得 b 的值．解答：解：从曲线 C 1 变到曲线 C 2 的变换对应的矩阵 BA= ? =在曲 C 1 上随意选一点 P （x 0， y 0），设它在矩阵 BA 对应的变换作用下变成 P'（ x'， y' ），则有?=故解得代入曲线 C 1 方程得， y'2+=1即曲线 C 2 方程为：+y 2=1与已知的曲线 C 2 的方程为：比较得（ 2b ） 2=4所以 b=±1评论： 此题主要考察了矩阵变换的性质，同时考察了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．23．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程：在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是和 ρsin 2θ=8cos θ，直线l 与曲线 C 交于点 A 、 B ，求线段 AB 的长．考点 ： 简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系．剖析： 把两曲线化为一般方程，分别获得直线与抛物线的方程，联立直线与抛物线的分析式，消去y 获得对于 x的一元二次方程，求出交点A 与B 的坐标，利用弦长公式求出弦AB 的长度．解答： 解：直线 l 的直角坐标方程为 x ﹣y ﹣ 6=0 ，抛物线 C 的一般方程为 y 2=8x ，二者联立解得 A 和 B 的坐标为： A （2，﹣ 4），B （ 18， 12）∴ 线段 AB 的长：|AB|=．评论： 本小题主要考察圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的地点关系，属于基础题．24．（ 2012?盐城三模）选修 4﹣ 5：不等式选讲：解不等式：．考点 ： 绝对值不等式的解法．专题 ： 计算题；不等式的解法及应用．剖析：依据解绝对值不等式的方法， 经过分类议论将不等式|x ﹣ 1|＞ 化为整式不等式， 从而获得原不等式的解集．解答：解：不等式 |x ﹣ 1|＞ 可化为：当 x ＜ 0 时，原不等式成立；当 x ≥1 时，原不等式可化为 x （ x ﹣ 1）＞ 2，解得 x ＞ 2 或 x ＜﹣ 1，所以 x ＞2．当 0＜ x ＜ 1 时，原不等式可化为： x （ 1﹣ x ）＞ 2，此不等式无解，综上所述，原不等式的解集是 {x|x ＜ 0 或 x ＞ 2} ．评论： 此题考察的知识点是绝对值不等式的解法，此中将含绝对值符号的不等式化为整式不等式是解答此题的要点．四、 [必做题 ]每题 10 分，共 20 分．请在答题卡指定地区内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（ 2012?盐城三模）一个袋中装有大小和质地都同样的 10 个球，此中黑球 4 个，白球 5 个，红球 1 个．（ 1）从袋中随意摸出 3 个球，记获得白球的个数为X ，求随机变量 X 的概率散布和数学希望E （ X ）；（ 2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求 3 次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．考点 ： 失散型随机变量的希望与方差；等可能事件的概率；n 次独立重复试验中恰巧发生 k 次的概率．专题 ： 综合题．剖析： （ 1）确立随机变量 X 的取值，求出相应的概率，即可获得随机变量的散布列及数学希望；（ 2）3 次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球，包含 3 个黑球， 2 个黑球 1 个白球或 2 个黑球 1 个红球，由此可得结论．解答： 解：（ 1）随机变量 X 的取值为 0， 1， 2， 3，则P （X=0 ）= = ；P （X=1 ） = ； P （X=2 ） = = ； P （X=3 ） = = ．X 的散布列为 X 0123P。
2023-2024学年江苏省盐城市高三三模数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年江苏省盐城市高三三模数学模拟试题一、单选题1．已知复数(1i z =，其中i 为虚数单位，则z =（）A ．14B ．12C ．1D ．2【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算求解出z ，然后根据复数模的计算公式求解出z .【详解】由题知i 14i i4z +=，所以1z ==，故选：C.2．如图所示的Venn 图中，A 、B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若{}21,,4A x x n n n ==+∈≤N ，{}2,3,4,5,6,7B =，则A B ⊗=（）A ．{}2,4,6,1B ．{}2,4,6,9C ．{}2,3,4,5,6,7D ．{}1,2,4,6,9【正确答案】D【分析】分析可知()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂，求出集合A 、A B ⋃、A B ⋂，即可得集合A B ⊗.【详解】由韦恩图可知，()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂，因为{}{}21,,41,3,5,7,9A x x n n n ==+∈≤=N ，{}2,3,4,5,6,7B =，则{}1,2,3,4,5,6,7,9A B = ，{}3,5,7A B = ，因此，{}1,2,4,6,9A B ⊗=.故选：D.3．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：2781a a a +=+，且248,,a a a 成等比数列，则2023a =（）A ．2023B ．2023-C ．0D ．12023【正确答案】A【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则2781112771a a a a d a d +=+⇔+=++，11a =，因为248,,a a a 成等比数列，所以2428a a a =，即()()()213117d d d +=++，因为0d ≠，所以1d =，所以()20231202312023a a d =+-⨯=.故选：A4．在△ABC 中4AB AC ⋅= ，2BC = ，且点D 满足BD DC =，则AD = （）A B CD ．32【正确答案】A【分析】由1()2AD AB AC =+ 、22()BC AC AB =-，结合向量数量积的运算律转化求模长即可.【详解】由题设，D 为BC 中点，则1()2AD AB AC =+，所以222211||()(2)44AD AB AC AB AB AC AC =+=+⋅+ ，又2222()24BC AC AB AC AC AB AB =-=-⋅+= ，即224212AC AB AC AB +=+⋅=，所以21||(128)54AD =⨯+= ，故||AD =故选：A5．已知函数()f x 的导函数()3f x x '=，21log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．b a c <<B ．b<c<aC ．a b c <<D ．a c b<<【正确答案】A【分析】由题，写出原函数()f x ，讨论其奇偶性、单调性，再结合21log 3、342-、342--的范围即可比较大小【详解】()3f x x '=，则()414f x x c =+，()f x 为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，()221log log 32,-13=-∈-，10342(22),--∈，即3412,12-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4324,2-∈--，所以()234342log 32f f f -⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴c a b >>，故选：A6．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．670243【正确答案】B【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为22215()(339+=；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为49，且对下一轮比赛是否停止无影响.由此可计算ξ为2，4的概率，ξ为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止的概率即可.【详解】解：依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，ξ为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮24(6)916()81P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选：B7．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()()(),2223f x f x f x f x -=+'-='，则下列结论不一定正确的是（）A ．()()113f x f x -++=B ．()()22f x x f ''=+-C ．()()()()11f f x f f x -='+'D ．()()()()2f f x f f x ''+=【正确答案】C【分析】根据题意令2x x =可得()()23f x f x +-=，即函数()f x 图象关于31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，即可判断A ；根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数()f x '的周期为2，即可判断BD ；由(2)(2)f x f x ''-=+知函数()f x '图象关于直线2x =对称，举例说明即可判断C.【详解】A ：()()2223f x f x +-=令2x x =，得()()23f x f x +-=，则函数()f x 图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称.若(1)(1)3f x f x -++=，则函数()f x 图象关于点31,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，符合题意，故A 正确；B ：由选项A 的分析知()()23f x f x +-=，等式两边同时求导，得()()20f x f x ''--=，即()()2f x f x ''=-①，又()()f x f x ''=-，()f x '为偶函数，所以()2(2)f x f x ''-=-②，由①②得()(2)f x f x ''=-，所以函数()f x '的周期为2.所以(2)()(2)f x f x f x '''-==+，即(2)(2)f x f x ''-=+，故B 正确；C ：由选项B 的分析知(2)(2)f x f x ''-=+，则函数()f x '图象关于直线2x =对称.令()()()()331Δ,1Δ22f x x f x x -=-+=+，若33(Δ())(+Δ())22f x f x ''-=，则函数()f x '图象关于直线32x =对称，不符合题意，故C 错误；D ：由选项B 的分析可知函数()f x '的周期为2，则()(2)f x f x ''=+，所以(())((2))f f x f f x ''=+，故D 正确.故选：C.8．已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan 3AMB ∠=-，则双曲线的离心率为（）A ．2BC D ．3【正确答案】D【分析】设出点P ，M 的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得MN x ⊥轴，再利用和角的正切公式求出a ，b 的关系作答.【详解】如图，设00(,)P x y ，点,,P M A 共线，点,,P B N 共线，所在直线的斜率分别为,PA PB k k，点P 在双曲线上，即2200221x y a b -=，有200200y y b x a x a a ⋅=-+，因此22PA PB b k k a ⋅=，点11(,)M x y 在椭圆上，即2211221x y a b +=，有211211y y b x a x a a⋅=--+，直线,MA MB 的斜率,MA MB k k ，有22MA MBb k k a⋅=-，即22PA MB b k k a⋅=-，于是MB PB BN k k k =-=-，即直线MB 与NB 关于x 轴对称，又椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，由22221x c x ya b =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2||b y a =，显然222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，22222222222tan tan 2tan 31tan tan 1a ac a acAMF BMF a b b AMB a ac a ac AMF BMF b a b b +-+∠+∠∠====-+--∠⋅∠--⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率e ===故选：D方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多选题9．已知(),,0,1a b c ∈,随机变量ξ的分布列为:ξ123Pabc则()A ．()()2E E ξξ-=B ．()()2D D ξξ-=C ．()()22[]E E ξξ≥D ．()()22[2]D D ξξ-=【正确答案】BC【分析】根据期望方差的相关公式2()(),()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，以及()22()[()]D X E X E X =-判断ABC ,再举特例判断D 即可.【详解】因为(2)()2E E ξξ-=-,所以A 错，因为(2)()D D ξξ-=,所以B 对，因为[][][]2221122()()()()n nD X xE X p x E X p x E X p =-+-++- []{}21()ni i i x E X p ==-∑()()221ni i i x p E X =⎡⎤=-⎣⎦∑，所以()()22[()]0E E D ξξξ=-≥,所以()22[()]E E ξξ≥,所以C 对，举特例来说明D 错,取13a b c ===，则22221112(2)(12)(22)(32)3333E ξ⎡⎤-=-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦，22222121212(2)1013333339D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-⨯-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2111141493333E ξ=⨯+⨯+⨯=，()2222141141141149333333D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121416929498(2)272727279D ξ⎡⎤=++==≠-⎣⎦,所以D 错.故选:BC 10．已知曲线2:14x x C y +=，则（）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 上任意点P 满足1OP ≥（O 为坐标原点)C ．曲线C 与2240x y -=有且仅有两个公共点D ．曲线C 上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）【正确答案】BC【分析】选项A ，取特殊点(2,0)，(2,0)-验证即可判断；选项B，由==OP 0x ≥，0x <讨论，即可判断；选项C ，联立222140x xy x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，分0x ≥，0x <讨论，即可判断；选项D ，分0x ≥，0x <讨论，分析即可判断【详解】选项A ，(2,0)满足214x x y +=，故点(2,0)在曲线上，但(2,0)-不满足214x x y +=，故点(2,0)-不在曲线上，故曲线C 不关于原点对称，错误；选项B ，令(,)P x y在曲线上，故==OP 当0x ≥时，1=≥O P 当0x <时，1=>O P 故曲线C 上任意点P 满足1OP ≥（O 为坐标原点)，正确；选项C ，联立2221440x xy x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，故2||4+=x x x 当0x ≥时，224=x，解得x =，故有两个交点当0x <时，04=，无解故曲线C 与2240x y -=有且仅有两个公共点，正确；选项D ，当0x ≥时，曲线C 为2214+=x y 若为整点，则22104，==x y 或22014，==x y 故有(2,0),(0,1),(0,1)-三个整点当0x <时，曲线C 为2214-+=x y若为整点，则2,x k k Z =∈，=y若=y Z ，则0k =，与0x <矛盾故曲线C 上只有三个整点，不正确故选：BC11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，H 为棱1AA （包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A ．CH BD⊥B ．二面角11D AB C --的大小为3πC ．点H 到平面11B CD 距离的取值范围是33⎣⎦D ．若CH ⊥平面β，则直线CD 与平面β所成角的正弦值的取值范围为⎣⎦【正确答案】ACD【分析】根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出,CH DB的坐标后利用数量积可判断A 的正误，求出平面1AB C 的法向量和平面11AB D 的法向量可利用数量积计算夹角的余弦值后可判断B 的正误，利用点到平面的距离的公式计算后可判断C 的正误，最后利用直线CD 和平面β的法向量计算线面角的正弦值后可判断D 的正误.【详解】由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()1110,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1D B C A D C B ，设()1,0,H h ，其中01h ≤≤，对于A ：()()1,1,,1,1,0CH h DB =-= ，故0CH DB ⋅=即CH BD ⊥，故A 正确.对于B ：()10,1,1AB =，()()11,0,1,1,1,0AD AC =-=- ，设平面11AB D 的法向量为(),,m x y z =，则1100m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则1,1x y ==-，故()1,1,1m =-.设平面1AB C 的法向量为(),,n a b c =，则100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00b c a b +=⎧⎨-+=⎩，取1b =，则1,1a c ==-，故()1,1,1n =-.故1cos ,3m n =- ，而二面角11D AB C --为锐二面角，故其余弦值为13，不为12，故二面角11D AB C --的平面角不是π3，故B 错误.对于C ：()111,1,0D B = ，()10,1,1D C =-，设平面11CB D 的法向量为(),,k p q r =，则11100k D B k D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00p q q r +=⎧⎨-=⎩，取1q =，则1,1p r =-=，故()1,1,1k =-.而()10,1,1B H h =--，故H 到平面11CB D的距离为33BH kBH BH k⎤⋅⨯∈⎢⎥⨯⎣⎦，故C 正确.对于D ：设直线CD 与平面β所成的角为θ.因为CH ⊥平面β，故()1,1,CH h =-为平面β的法向量，而()0,1,0DC =，故sin cos ,DC CH θ===而[]0,1,h ∈⎣⎦，故D 正确.故选：ACD.思路点睛：空间中位置关系的判断、角的计算或范围的判断，可结合几何体的规则性建立合适空间直角坐标系，通过向量的共线、向量的数量积等来判断位置关系，通过平面的法向量、直线的法向量等来处理相关角的计算或范围问题.12．已知函数()()e 1xf x x =+，()()1lng x x x =+，则（）A ．函数()g x 在()0,∞+上存在唯一极值点B ．()f x '为函数()f x 的导函数，若函数()()h x f x a '=-有两个零点，则实数a 的取值范围是211,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若对任意0x >，不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，则实数a 的最小值为2eD ．若()()()120f x g x t t ==>，则()12ln 1t x x +的最大值为1e【正确答案】BCD【分析】对于A ：利用导数推出()g x 在()0,∞+单调递增，可得A 错误；对于B ：利用导数研究函数()y f x '=的性质，得其图象，根据函数()y f x '=的图象与直线y a =有两个交点，可得B 正确；对于C ：根据()f x 在()0,∞+单调递增，将不等式化为2ln xa x≥恒成立，右边构造函数求出最大值，可得C 正确；对于D ：根据()()()120f x g x t t ==>以及指对同构得12e xx =，将()12ln 1t x x +化为ln tt，再求导可求出最大值，可得D 正确.【详解】对于A ：()11ln g x x x'=++，令11()1ln g x x x =++，则()122111x g x x x x -'=-+=，令()10g x '>，解得：1x >，令()10g x '<，解得：01x <<，故()g x '在()1,+∞单调递增，在()0,1单调递减，故()()120g x g ''≥=>，故()g x 在()0,∞+单调递增，函数()g x 在()0,∞+上无极值点，故A 错误；对于B ：()e 1e (1)e 1x x x f x x x '=++=++，令1()(1)e 1x f x x =++，则1()e (1)e (2)e x x xf x x x '=++=+，当<2x -时，1()0f x '<，当2x >-时，1()0f x '>，故1()f x 在(),2-∞-上为减函数，在(2,)-+∞上为增函数，故1min 121()(2)1ef x f =-=-，即min 21()1e f x '=-，又1x <-时，()1f x '<，作出函数()y f x '=的图象，如图：若函数()()h x f x a '=-有两个零点，得()f x a '=有两个实根，得函数()y f x '=的图象与直线y a =有两个交点，由图可知，2111e a -<<，故B 正确；对于C ：由B 得：()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，则()f x 在()0,∞+单调递增，则不等式()()2ln f ax f x ≥恒成立，等价于2ln ax x ≥恒成立，故2ln xa x≥，设()2ln x h x x =，则()()221ln x h x x -'=，令()0h x '>，解得：0e x <<，令()0h x '<，解得：e x >，故()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故max 2()(e)e h x h ==，故2e a ≥，则实数a 的最小值为2e，故C 正确；对于D ：若()()()120f x g x t t ==>，则()()1122e 11ln xx x x t +=+=，即()()1122e 1ln e 1ln x xx x t +=+=，∵0t >，∴1>0x ，1e 0x >，21x >，由A 知，()(1)ln g x x x =+在()0,∞+上单调递增，故12e xx =，所以()1121ln ln ln 1(e 1)x t t tx x x t==++，设ln ()t t t ϕ=，则()21ln tt t ϕ-'=，令()0t ϕ'>，解得：0e t <<，令()0t ϕ'<，解得：t e >，故()t ϕ在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，故()()max 1e et ϕϕ==，此时()()1122e e 11ln xx x x =+=+，故()12ln 1t x x +的最大值是1e，故D 正确；故选：BCD结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，（1）若[],x a b ∀∈，总有()f x k <成立，故()max f x k <；（2）若[],x a b ∀∈，总有()f x k >成立，故()min f x k >；（3）若[],x a b ∃∈，使得()f x k <成立，故()min f x k <；（4）若[],x a b ∃∈，使得()f x k >，故()max f x k >.三、填空题13．6人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有______种．【正确答案】216．【分析】分最左端排甲、乙两类，结合分步计数，求最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲的排法.【详解】（1）当最左端排甲的时，排法的种数为55A ；（2）当最左端排乙的时，排法种数为1444C A ．∴不同的排法的种数为51454412096216A C A +=+=．故21614．(),P x y 为圆C ：()()22215x y -+-=上任意一点，且点P 到直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y m -+=的距离之和与点P 的位置无关，则m 的取值范围是_______.【正确答案】(,8]-∞-【分析】作出图形，结合图形可知当圆C 位于直线1l 与2l 之间时即为所求，根据直线与圆相切时是临界值即可求解.【详解】由图可知当圆C 位于两直线1l 与2l 之间时，点P 到两直线1l 和2l 的距离之和即为1l 与2l 两平行直线间的距离，即点P 到直线1l 和2l 的距离之和与点P 的位置无关，当直线2l 4155m-+=，解得8m =-或2m =（舍去），所以8m ≤-，即m 的取值范围是(,8]-∞-，故答案为.(,8]-∞-15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是______.【正确答案】222⎛ ⎝由正弦定理，三角恒等变换和辅助角公式可得2(22)2sin()b c B λλϕ+=-++，其中2tan 22ϕλ=-04B π<<，由于b c λ+2122λ>-，进而求解λ的取值范围.【详解】由于34A π=，所以04B π<<，由正弦定理得223sin sin sin sin4b c a B C A π====，所以2sin b B =，2sin c C =，所以2sin 2sin 2sin 2sin 4b c B C B B πλλλ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭222sin 2cos sin (22)sin 222B B B B B λλ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭.当20λ=，即2λ=时，b c B λ+=，没有最大值，所以λ≠则sin()b c B λϕ+=+，其中tanϕ，要使b c λ+有最大值，则B ϕ+要能取2π，由于04B π<<，所以42ππϕ<<，所以tan 1ϕ>1,>，解得2λ<<.所以λ的取值范围是⎝.故2⎛ ⎝解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16．已知正四面体ABCD 的棱长为3，点E 满足()01AE AB λλ=<<，过点E 作平面α平行于AC和BD ，设α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，DA 相交于点F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为______，四棱锥A EFGH -的体积的最大值为______.【正确答案】63【分析】根据线面平行的性质可得四边形EFGH 为平行，根据线段的比例关系可求该平行四边形的周长为6，取BD 的中点为M ，AC 的中点为Q ，连接,,AM MC MQ ，则可求MQ 的长度，故可求A 到平面EFGH 的距离，故可求四棱锥A EFGH -的体积，利用导数可求体积的最大值.【详解】//AC 平面α，平面α 平面ABC EF =，AC ⊂平面ABC ，故AC EF ∥，同理AC GH ∥，故EF GH ∥，同理EH GF ∥，故四边形EFGH 为平行四边形.由AE AB λ=，可得:AE AB λ=，则:HE DB λ=，:1EF AC λ=-又正四面体ABCD 的棱长为3，则3HE GF λ==，()31EF GH λ==-四边形EFGH 的周长为()23316HE GF EF GH λλ+++=+-=⎡⎤⎣⎦.取BD 的中点为M ，AC 的中点为Q ，连接,,AM MC MQ ，则由正四面体可得AM MC ==，故2MQ ==且MQ AC ⊥，故MQ EF ⊥.因为,AD AB DM MB ==，故AM BD ⊥，同理CM BD ⊥，而,,AM MC M AM MC =⊂ 平面AMC ，故BD ⊥平面AMC ，因,AC MQ ⊂平面AMC ，故BD MQ ⊥，BD AC ⊥，故HE MQ ⊥，且HE EF ⊥，故平行四边形EFGH 为矩形.而,,HE EF E HE EF =⊂ 平面EFGH ，故MQ ⊥平面EFGH ,因为//AC 平面EFGH ，//BD 平面EFGH ，故A 到平面EFGH 的距离即为Q 到平面EFGH 的距离，B 到平面EFGH 的距离即为M 到平面EFGH 的距离，而AE AB λ= ，故1AE EB λλ=-，故A 到平面EFGH 的距离与B 到平面EFGH 的距离的比值为1λλ-，结合MQ =A 到平面EFGH ，则四棱锥A EFGH -的体积()()2133113V λλλ=⨯⨯--.令()()()2101f x x x =-<<，则()()23f x x '=-，由()0f x ¢>得203x <<，由()0f x '<，得213x <<，则()f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在23x =时取最大值222213333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21λ-的最大值为3.故6，23.四、解答题17．已知正项数列{n a }中，11a =，n S 是其前n 项和，且满足)211n n S S S +=+(1)求数列{n a }的通项公式：(2)已知数列{n b }满足()1111n n n n n a b a a +++=-，设数列{n b }的前n 项和为n T ，求n T 的最小值.【正确答案】(1)21(N*)n a n n =-∈(2)25【分析】（1）根据已知条件，利用列{n a }为正项数列，将条件给的式子两边开方，从而构造出n S n S n S ，然后再利用1n n n a S S -=-去求解数列{n a }的通项公式，注意验证1n =时是否满足；（2）将第（1）问中求解出的数列{n a }的通项公式带入n b ，并使用裂项的方法将通项公式展开，然后求解出n T 的表达式，根据n 取奇数、偶数不同通过讨论分别求解出对应的最小值，即可完成求解.【详解】（1）正项数列{n a }，11a =，满足()211n n S S S +=+11n n S S +=，所以数列n S 是以1为首项1为公差的等差数列，1(1)1n S n n =+-⨯=，所以2n S n =，当2n ≥时，221(1)21(N*)n n n a S S n n n n -=-=--=-∈，当1n =时也成立，所以21(N*)n a n n =-∈.（2）因为()1111n n n n n a b a a +++=-()()()()1112111212122121n n nn n n n ++-⎛⎫=-=+ ⎪-+-+⎝⎭所以1111111111(1)()(1)()1(1)23352121221n n n T n n n ++⎡⎤⎡⎤=+-+++-+=+-⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦，所以当n 为奇数时，11112212n T n ==++（）＞；当n 为偶数时，111221n T n ==-+（），由{n T }递增，得225n T T ≥=，所以n T 的最小值为25.18．如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C ，E ，D ，G 四点共面.(1)证明：平面⊥BDF 平面BCG ；(2)若平面BDF 与平面ABGAB 长度为2，求点G 到直线DF 的距离.【正确答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）过G 作//GH CB ，交底面弧于H ，连接HB ，有HBCG 为平行四边形，根据题设可得FB HB ⊥，即FB CG ⊥，再由线面垂直的性质可得CB ⊥FB ，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.（2）构建如下图示空间直角坐标系A xyz -，令半圆柱半径为r ，高为h ，确定相关点坐标，进而求平面BDF 、平面ABG 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得2h r =，即可求出点G 到直线DF 的距离.【详解】（1）过G 作//GH CB ，交底面弧于H ，连接HB ，易知：HBCG 为平行四边形，所以//HB CG ，又G 为弧CD 的中点，则H 是弧AB 的中点，所以45HBA ∠=︒，而由题设知：45ABF ∠=︒，则90HBF HBA ABF ∠=∠+∠=︒，所以FB HB ⊥，即FB CG ⊥，由CB ⊥底面ABF ，FB ⊂平面ABF ，则CB FB ⊥，又CB CG C ⋂=，,CB CG ⊂平面BCG ，所以FB ⊥平面BCG ，又FB ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面BCG .（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系A xyz -，令半圆柱半径为r ，高为h ，则()0,2,0B r ，()2,0,0F r ，()0,0,D h ，(),,G r r h -，所以()2,0,FD r h =- ，()0,2,BD r h =-，()0,2,0AB r = ，(),,AG r r h =- ，若(),,m x y z = 是面BDF 的一个法向量，则2020m FD rx hz m BD ry hz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z r =，则(),,2m h h r = ，若(),,n a b c = 是面ABG 的一个法向量，则200n AB rb n AG ra rb hc ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令c r =，则(),0,n h r = ，所以22cos ,5m n m n m n ⋅==，整理可得()()2222420h r h r -+=，则2h r =，又2AB =，由题设可知，此时点()1,1,2G -，()0,0,2D ，()2,0,0F ，则()2,0,2DF =- ，()1,1,0DG =-，所以点G 到直线DF的距离2d =..19．如图，在平面四边形ABCD 中，2AB BC CD ===，AD =(1)若DB 平分ADC ∠，证明：A C π+=；(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．【正确答案】(1)证明见解析(2)14【分析】（1）利用cos cos ADB CDB ∠=∠可构造方程求得2BD ，利用余弦定理可求得cos cos A C =-，由此可得结论；（2）在,ABD BCD 中，利用余弦定理可构造方程求得cos 1C A -，利用三角形面积公式化简2212S S +为224cos 14A ⎛--+ ⎝⎭，结合二次函数性质可得最大值.【详解】（1）DB 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，则cos cos ADB CDB ∠=∠，由余弦定理得：22222222AD BD AB CD BD BC AD BD CD BD+-+-=⋅⋅，22444BD BD +-=，解得：)241BD =；22212441cos2AD AB BD A AD AB +-++-=⋅ ，)22244411cos 282CD BC BD C CD BC +-+-===⋅，cos cos A C ∴=-，又()0,A π∈，()0,C π∈，A C π∴+=（2）222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-⋅=+-⋅ ，1688cos A C ∴-=-，整理可得：cos 1C A =-；2222221211sin sin 12sin 4sin 22S S AD AB A BC CD C A C⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)22221212cos 44cos 1612cos cos 1A C A A =-+-=---2224cos 1224cos 14A A A ⎛=-++=--+ ⎝⎭，()0,A π∈ ，∴当cos 6A =时，2212S S +取得最大值，最大值为14.20．2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有()N k k *∈发子弹，甲每次打靶的命中率均为12，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有(1)m m ≥发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行()N n n ∈次射击后，记弹巢中空包弹的发数为n X ，①当N k *∈时，请直接写出数学期望()n E X 与()1n E X -的关系；②求出()n E X 关于n 的表达式.【正确答案】(1)分布列见解析，数学期望为11()2k -；(2)①()()1516n n E X E X -=+；②()()56()N 6n n E X m n =-∈.【分析】（1）根据给定条件，求出X 的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）①按第n 次射出是空包弹和实弹求出对应的概率及空包弹数，进而求出()n E X 即可；②利用构造法求出数列{()}n E X 的通项公式作答.【详解】（1）依题意，X 的所有可能取值为0,1,2,,1,k k - ，1111()()(1)(),(0,1,2,,1)222m m P X m m k +==-==- ，1()(2k P X k ==，所以X 的分布列为X012…1k -kP1221()231()2…1()2k 1()2k X 的数学期望23111(1()()(((2222)2)1k kE X k k =+++-+ ，显然341111111()()(1()2()1()22222(2)()2k k k E X k k k ++=+++-+-+ ，两式相减得231112()111111()()()()2(1)((22222)k k k k E X k k k ++=++++--- 2111111111()()()()222211([1()]111122(1)()()1222212k k k k k k k k k k -++++-=+---=-+=--，所以()11()2kE X =-.（2）①第n 次射击后，包含两种情况：第n 次射出空包弹和第n 次射出实弹，第n 次射击前，剩余空包弹的期望是()1n E X -，若第n 次射出空包弹，则此时对应的概率为()16n E X -，因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为()()1111n n E X E X ---+=，若第n 次射出实弹，则此时对应的概率为()116n E X --，此时空包弹的数量为()11n E X -+，所以()()()()()()111115111666n n n n n n E X E X E X E X E X E X -----⎡⎤⎡⎤⋅+-+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦=.②当0n =时，弹巢中有6m -发空包弹，即()06E X m =-，由()()1516n n E X E X -=+，得()()15666n n E X E X --=-⎡⎤⎣⎦，当N n *∈时，数列{()6}n E X -是首项为15()66E X -=-，公比为56的等比数列，因此1555()6(()666n nn E X m m --=-⋅=-，而当0n =时，0()6E X m =-满足上式，所以5()6()(N)6nn E X m n =-∈.21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点在圆E ：221x y +=上.(1)设点P 是双曲线2214y x -=左支上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，证明：直线AB 与圆E 相切；(2)设点T 是圆E 上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l 是圆E 在点T 处的切线，若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，求TM TN ⋅的最大值.【正确答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）联立直线PA 与抛物线方程，根据相切得判别式为0，进而得2000m my x -+=，进而得00,m n y mn x +==，()2,2A m m ，()2,2B n n ，根据两点坐标可得直线AB 的方程，根据点到直线的距离公式即可求解；（2）根据切线得MN 的方程，进而联立直线MN 与抛物线方程，根据韦达定理得121244,b y y y y a a +=-=-，222221212121222241,416y y y y a b x x x x a a +++====，进而由向量的坐标运算即可得2125TM TN a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⋅，根据二次函数的性质即可求解最值.【详解】（1）抛物线C ：()220y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故可知122p p =⇒=，设00(,)P x y ，PA 的直线方程为()00x m y y x =-+，PB 的直线方程为()00x n y y x =-+，m n ≠，则()22000044440y x y my my x x m y y x ⎧=⎪⇒-+-=⎨=-+⎪⎩，由于PA 与抛物线相切，所以()2200001644400m my x m my x ∆=--=⇒-+=，故方程的根为2y m =，将其代入抛物线方程得2x m =，故()2,2A m m ，同理2000n ny x -+=,()2,2B n n ，因此,m n 是方程2000x y x x -+=的两个根，故00,m n y mn x +==，直线AB 的方程为()222222m n y x m m m n -=-+-，化简得()2022y x m m y =-+，圆心(0,0)到直线AB的距离为d =由于220014yx -=，200m my x =-，将其代入得212x d r x =====，故直线AB 与圆E 相切（2）联立22224410251y xx x x x y ⎧=⇒+-=⇒=-+⎨+=⎩设(,)T a b ，且满足221a b +=，251a -<<，则OT b k a =，则MN ak b=-，此时MN 的直线方程为()ay x a b b=--+，联立直线MN 与抛物线方程()224440y xb y y aa a y x ab b ⎧=⎪⇒+-=⎨=--+⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y ,所以121244,b y y y y a a+=-=-，进而222221212121222241,416y y y y a b x x x x a a+++====，()()1122,,,MT a x b y TN x a y b =--=--，因此()()()()22212121212121MT TN x a a x y b b y ax x x a ax by y y b by ⋅=--+--=--++--+ ()()22221122112222241441411a b b MT TN a x x x x b y y y y b a a b a a a a a a +⎛⎫⋅=+-++---=⨯-+-+-=-+ ⎪⎝⎭ 2125a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由于251a -<≤，当12a=时，12a =时MT TN ⋅ 取最大值5，由于T 是圆E 上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，所以,M N 在T 的两侧，故MT TM N T T N =⋅⋅，故此时TM TN⋅的最大值为5，本题重点考查了圆锥曲线的综合运用，主要考查直线与曲线位置关系问题．常需要联立直线与曲线的方程，根据韦达定理法处理直线和曲线的相交问题.对交点设而不求，勇用韦达定理实现转化，必要时也可采用点差法配合求解与中点弦有关的问题，关于参数范围问题常用思路有：几何法，二次配方法，三角代换法，均值不等式.22．已知函数()e cos xf x x =，()()cos 0g x a x x a =+<，曲线()y g x =在6x π=处的切线的斜率为32.(1)求实数a 的值；(2)对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()()0tf x g x '-≥恒成立，求实数t 的取值范围；(3)设方程()()f x g x '=在区间()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 内的根从小到大依次为1x 、2x 、L 、n x 、L ，求证：12n n x x +->π．【正确答案】(1)1a =-；(2)1t ≥；(3)证明见解析.【分析】（1）由已知可得出362g π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，即可求得实数a 的值；（2）由题意可知e cos 1sin x t x x ≥+对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π恒成立，验证2x π=-对任意的R t ∈恒成立；在,02x π⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，由参变量分离法可得出1sin e cos x x t x +≥，利用导数求出函数()1sin e cos x x h x x +=在区间,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最大值，可得出t 的取值范围，综合即可得解；（3）令()e cos sin 1xx x x ϕ=--，利用导数分析函数()x ϕ在区间()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上的单调性，利用零点存在定理可知()2,232n x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，求得()112,232n x n n n ππππ+⎛⎫-∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，证明出()()12n n x x ϕπϕ+-<，结合函数()x ϕ的单调性，即可证得结论成立.【详解】（1）解：因为()()cos 0g x a x x a =+<，则()1sin g x a x '=-，由已知可得131622g π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-.（2）解：由（1）可知()1sin g x x '=+，对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()()0tf x g x '-≥恒成立，即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π恒成立，当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立；当02x π-<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x +≥，令()1sin e cos x xh x x+=，其中02x π-<≤，()()()()()()222e cos e cos sin 1sin 1cos 1sin 0e cos ecos x x x xx x x x x x h x xx --+-+'==≥且()h x '不恒为零，故函数()h x 在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，则()()max 01h x h ==，故1t ≥.综上所述，1t ≥.（3）证明：由()()f x g x '=可得e cos 1sin x x x =+，令()e cos sin 1xx x x ϕ=--，则()()e cos sin cos x x x x x ϕ'=--，因为()2,232x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，则sin cos 0x x >>，所以，()0x ϕ'<，所以，函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上单调递减，因为223312ecos 2sin 21e 13332n n n n n πππππππϕπππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23e1022ππ+≥->，2202n πϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以，存在唯一的()02,232x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，使得()00x ϕ=，所以，()2,232n x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，则()122,232n x n n n πππππ+⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭+N ，所以，()()()121112ecos 2sin 21n x n n n x x x πϕπππ+-+++-=----()()1111122211111e cos sin 1e cos e cos e e cos 0n n n n n x x x x x n n n n n n x x x x x x πππϕ+++++---+++++=--=-=-<=，因为函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上单调递减，故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π.方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。