北师大版初二(下)数学：平面直角坐标系(教师版)
北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》教案1
北师大版八年级数学上册：3.2《平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了坐标系的基本概念的基础上进行讲解的，通过本节内容的学习，使学生能够熟练地建立平面直角坐标系，能够准确地确定点在坐标系中的位置，并能够利用坐标系解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了坐标系的基本概念，对于如何建立坐标系，如何确定点在坐标系中的位置有一定的了解。
但是，对于如何利用坐标系解决实际问题，部分学生可能会感到困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握平面直角坐标系的建立方法。
2.让学生能够准确地确定点在坐标系中的位置。
3.培养学生利用坐标系解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的建立方法，点在坐标系中的表示方法。
2.难点：如何利用坐标系解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究，发现平面直角坐标系的建立方法，以及如何确定点在坐标系中的位置。
同时，通过实例讲解，让学生学会如何利用坐标系解决实际问题。
六. 教学准备1.准备平面直角坐标系的图片，用于讲解。
2.准备一些实际问题，用于练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实例，如地图上的路线、飞机的飞行轨迹等，引导学生思考这些实例与坐标系之间的关系。
2.呈现（10分钟）讲解平面直角坐标系的定义，以及如何建立坐标系。
通过展示图片，让学生直观地理解坐标系的建立过程。
同时，讲解如何用坐标表示点在坐标系中的位置。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，尝试利用坐标系解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（5分钟）挑选几组学生的实例，让学生上台演示如何利用坐标系解决问题。
其他学生观看并给予评价。
5.拓展（5分钟）讲解坐标系在实际生活中的应用，如航天、地理信息系统等。
2-1-5平面直角坐标系中的距离公式课件(北师大版必修二)
题型四 距离公式的综合应用 【例 4】 (12 分)直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1∥l2， 且 l1 与 l2 的距离为 5，求 l1、l2 的方程． 审题指导 分类讨论是数学中常用的思想方法之一，特别是涉及 到直线的斜率问题，应注意是否需要对斜率进行分类讨论． 由距离公式得 【解题流程】 设所求方程 → → 求出k → 写出方程 关于k的方程
[规范解答] (1)直线斜率存在时，设直线的斜率为 k，由斜截式， 得 l1 的方程 y＝kx＋1，即 kx－y＋1＝0， 由点斜式可得 l2 的方程：y＝k(x－5)即 kx－y－5k＝0，(3 分) 在直线 l1 上取点 A(0,1)， |1＋5k| 则点 A 到直线 l2 的距离 d＝ ＝5，(5 分) 1＋k2 12 ∴25k ＋10k＋1＝25k ＋25，∴k＝ 5 ，(7 分)
【示例】 求过点(3,5)的所有直线中，距原点最远的直线方程． [思路分析] 先设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解或 利用数形结合的方法． 解 法一 设过点(3,5)的直线方程为
y－5＝k(x－3)或 x＝3. 对于 y－5＝k(x－3)， |3k－5| 原点(0,0)到它的距离 d＝ 2 ， k ＋1 化简整理，得(9－d2)k2－30k＋25－d2＝0. 当 9－d2≠0 时，因为 k∈R， ∴Δ＝(－30)2－4(9－d2)(25－d2)≥0.
|2＋1| 由点到直线的距离公式，得 d＝ 2 ＝3. 0 ＋12
法二
∵y＝－1 平行于 x 轴，如图，
∴d2＝|－1－2|＝3. (3)法一 y 轴的方程为 x＝0，
由点到直线的距离公式得， |1＋0＋0| d3＝ 2 2 ＝1. 1 ＋0 法二 由图可知，d3＝|1－0|＝1.
6.平面直角坐标系中的距离公式(教师版)
第二章 解析几何初步§1 直线与直线的方程第6课时 平面直角坐标系中的距离公式【预习导航】1.若),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点之间的距离=||AB ______.2.点),(00y x P 到直线0=++C By Ax 的距离=d ______.参考答案:1.212212)()(y y x x -+-.2.2200||BA C By Ax +++.【基础自测】1.原点到直线1043=-y x 的距离为( )A.1B.2C.5D.10 2.若点),4(m M 关于点)3,(-n N 的对称点为)9,6(-P ,则=+n m ( ) A.1 B.2 C.7 D.8 3.若),1(),1,2(m B A -两点之间的距离为5,则m 的值为( )A.3-B.5C.1-或3-D.3-或54.若过点)1,2(P 的直线l 分别交y x ,轴于点B A ,,且||||PB PA =,则l 的方程为( )A.042=-+y xB.032=--y xC.032=+-y xD.052=-+y x 参考答案: 1.B 2.D 3.D 4.A【典例剖析】题型1: 有关距离的问题例1 已知点)7,2(),2,1(B A -,在x 轴上求一点P ,使得||||PB PA =.[思路分析]由题意先设出点P 的坐标,然后根据题目条件列出方程求解即可. [解法一]由题意可设点P 的坐标为)0,(x ,又由于||||PB PA =,因此有:2222)70()2()20()1(-+-=-++x x 解得1=x .所以,所求点P 的坐标为)0,1(.[解法二]由直线AB 斜率为327-=k ,且线段AB 中点为)272,21(+C ,因此直线AB 的垂直平分线方程为: )21(723272--=+-x y . 令0=y ,得1=x .所以,所求点P 的坐标为)0,1(.[规律技巧]两种解法各有利弊,解法一直接求解；解法二则是抓住几何性质入手,值得关注.[变式训练]在直线043=-+y x 上求一点P ,使其到)1,0(),0,3(-B A 的距离相等.解:由题意可设点P 的坐标为),34(y y -,又由于||||PB PA =,因此有:2222)1()34()334(++-=+--y y y y 解得1=y .所以,所求点P 的坐标为)1,1(.例2 (1)求点)2,1(-P 到下列直线的距离: ①3=x ；②5=y ；③0832=-+y x . (2)求两条平行直线0143=-+y x 和01643=-+y x 之间的距离.[思路分析]对点到直线距离公式的理解与应用应全面、正确.[解](1)①因直线3=x 平行于y 轴,故点)2,1(-P 到3=x 的距离4|)1(3|=--=d .②因5=y 平行于x 轴,故)2,1(-P 到直线5=y 的距离为:3|25|=-=d .③由点到直线的距离公式可得:1313432|823)1(2|22=+-⨯+-⨯=d . (2)两条平行直线之间的距离: 343|)16()1(|22=+---=d .[规律技巧]点),(00y x P 到b y a x ==,的距离既可用点到直线的距离公式计算,也可用||0a x d -=或||0b y d -=计算.另外,平行直线0=++C By Ax 与0'=++C By Ax 间的距离22|'|BA C C d +-=.[变式训练]直线0243=+-y x 与直线02186=+-y x 之间的距离为________.解:由直线02186=+-y x 的方程可化为: 022143=+-y x . 故,两直线间的距离为间的距离 1017)4(3|2221|22=-+-=d . 题型2: 有关距离的应用例3 (1)求经过点)2,3(-P ,且与原点距离为3的直线方程.(2)已知动点P 到直线0132=+-y x 和0932=--y x 的距离相等,求动点P 的轨迹方程.[思路分析]对于(1),将直线方程设出来,再由点到直线距离求解即可.只是需要关注设直线方程时,直线的斜率存在与否需要讨论；对于(2),输出点的坐标,根据已知条件直接求解即可.[解](1)当直线的斜率不存在时,直线方程为3=x ,符合题意；当直线的斜率存在时,由题意可设直线方程为)3()2(-=--x k y ,整理可得: 023=---k y kx . 由点到直线的距离公式可得: 3)1(|2300|22=-+---⋅=k k k d ,解得125=k .故,所求直线方程为:3=x 或039125=--y x .(2)设点P 坐标为),(y x ,则由题意可得:2222)3(2|932|)3(2|132|-+--=-++-y x y x ,从而得所求轨迹方程为0432=--y x . [规律技巧]经过定点的直线的斜率是否存在,在设直线方程时常常需要讨论,否则,容易漏解.[变式训练]求直线01953=+-y x 关于点)3,2(对称的直线方程.解:由题意可知,所求直线与已知直线一定平行,故可设所求直线方程为: 053=+-m y x .又由点)3,2(到两直线距离相等可得:2222)5(3|3523|)5(3|193523|-++⨯-⨯=-++⨯-⨯m ,解得19=m (舍),或1-=m . 故,所求直线方程为0153=--y x . 例 4 两条平行直线分别经过点)2,2(--P 和)3,1(Q ,它们之间的距离为d .如果两条直线各自绕着P ,Q 旋转,并且保持平行． (1)求d 的变化范围； (2)用d 表示两条直线的斜率； (3)当d 最大时,求两条直线的斜率． [思路分析]先设两条平行直线的斜率,再逐步求解即可.[解](1)当两条平行直线的斜率均不存在时,3=d ；当两平行直线的斜率均存在时,设斜率为k ,则过点P 的直线为2(2)y k x +=+,即220kx y k -+-=；过点Q 的直线方程为30kx y k --+=.两条平行直线间的距离为: 22|223||35|,11k k k d k k -+--==++令222930251k k u d k -+==+,去分母,整理得2(9)30(25)0u k k u -++-=，即,关于k 的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=有实数根.①当9=u 时,方程有实数根； ②当9≠u 时,方程要有实数根,则必有:0)25)(9(4302≥---u u ,即,340≤≤u .综上可知,d 的变化范围为034d ≤≤. (2)由(1)中的方程2(9)30(25)0u k k u -++-=,即 222(9)30(25)0d k k d -++-=,解得2215349d d k d -±-=-. (3)当max 34d =时,2215341539255d d k d -±-==-=--. [规律技巧]本题中求d 的取值范围的方法值得关注.读者可以考虑还有什么方法可以求得(1)中的d 的取值范围.[变式训练]已知点)4,3(P ,以及直线0943=++y x 上的动点Q ,则Q P ,两点间距离的最小值为________.解:由于Q P ,两点间距离的最小值即为点P 到直线0943=++y x 的距离,故所求的最小值为53443|94433|22=++⨯+⨯=d . 【课时作业】 一、选择题1.点)1,1(到直线2=-y x 的距离为( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案:C 由点到直线的距离公式可得: 211|21111|22=+-⨯-⨯=d .2.若过点),5(),,3(b B a A 两点的直线与直线m x y +=平行,则=||AB ( ) A.1 B.2 C.2 D.22 答案:D 由题意得135=--ab ,故2=-a b . 因此,22)()35(||22=-+-=a b AB .3.直线0134=-+y x 与0368=++y x 之间的距离为( )A.21 B.1 C.23D.2 答案:A 由直线的方程0134=-+y x 可化为0268=-+y x ,从而可得: 2168|)2(3|22=+--=d . 4.若点P 在直线02743=--y x 上,点Q的坐标为)1,2(,则当||PQ 最小时,点P 的坐标为( )A.)3,5(-B.)0,9(C.)5,3(-D.)3,5(-答案:A 由于当||PQ 最小时PQ 与已知直线垂直,故验证斜率即可得解.二、填空题5.若点P 在直线06125=++y x 上,点Q 为)2,3(,则||PQ 的最小值为______．答案:1345由题有1345125|621235|22=++⨯+⨯. 6.若x 轴上的点P 到直线0643=+-y x 的距离为6,则P 点坐标为______． 答案:)0,8(或)0,12(- 由题可设)0,(x P ,则有6)4(3|6043|22=-++⨯-x ,解之,得8=x 或12-=x .7.若点),4(a 与直线4310x y --=的距离不大于3,则a 的取值范围为______. 答案:010a ≤≤ 根据题意可得|4431|35a ⨯--≤,解得010a ≤≤.8.若)1,1(到直线cos sin 20x y θθ+-=的距离为d ,则d 的最大值为______. 答案:22+ 由题意可得:|2)4sin(2|sin cos |2sin cos |22-+=+-+=πθθθθθd 故,2222+≤≤--d .三、解答题9.在直线2y x =+上找一点,使它到直线3480x y -+=和310x y --=的距离的平方和最小．解:设点(,2)P x x +,则有1348855x x x d --+==,2321231010x x x d ----==.从而可得:10)32(25322221-+=+x x d d ])1115(2245)1115(22[50122⨯-+-=x 所以当1511x =时,有最小值,此时3711y =.∴点P 的坐标为1537(,)1111.10.已知)3,2(1P ,)5,4(2-P 与点)2,1(-A ,求过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线方程． 解法1：当直线斜率不存在时,方程为1-=x ,符合题意；当直线的斜率存在时,设直线的方程为2(1)y k x -=+,即20kx y k -++=，1P ,2P 到直线的距离相等,则有,1254123222+++--=+++-k k k k k k化简得3313+=-k k ,解得13k =-,代入得直线方程为 350x y +-=. 综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.解法2：若1P ,2P 在直线l 的同侧,1P ,2P 到l 的距离相等,则过1P ,2P 的直线与直线l平行,则过点1P ,2P 的直线的斜率为531423k -==---，∴过点A 且与1P ,2P 距离相等的直线l 方程为350x y +-=；若1P ,2P 在直线l 的异侧时,要1P ,2P 到l 的距离相等,则l 一定过1P ,2P 的中点,则1P ,2P 的中点为)4,1(-,又l 要过点A , 故直线l 的方程是10x +=． 综上可知,所求的直线方程为350x y +-=或10x +=.。
八年级数学上册3.2平面直角坐标系第1课时平面直角坐标系说课稿(新版北师大版)
八年级数学上册3.2平面直角坐标系第1课时平面直角坐标系说课稿（新版北师大版）一. 教材分析平面直角坐标系是八年级数学上册第三章第二节的内容，本节课的主要内容有：平面直角坐标系的定义，坐标轴和坐标点的概念，坐标的表示方法以及坐标轴上的点的坐标特征。
这部分内容是学生学习函数、几何等数学知识的基础，对于学生来说具有重要的意义。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了坐标轴和坐标的初步知识，对本节课的内容有一定的了解。
但是，对于平面直角坐标系的定义，坐标轴和坐标点的概念，以及坐标轴上的点的坐标特征等知识，还需要进一步的讲解和巩固。
此外，学生对于实际问题中的坐标系应用还不够熟悉，需要通过实例来加强理解和运用。
三. 说教学目标1.知识与技能：理解平面直角坐标系的定义，掌握坐标轴和坐标点的概念，学会表示坐标，并能判断坐标轴上的点的坐标特征。
2.过程与方法：通过实例和练习，培养学生的空间想象能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义，坐标轴和坐标点的概念，坐标的表示方法。
2.难点：坐标轴上的点的坐标特征的判断，以及坐标系在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法和合作学习法，引导学生主动探究，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件和教具，直观展示平面直角坐标系，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入：通过问题驱动，引导学生回顾七年级学过的坐标轴和坐标点的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.新课讲解：讲解平面直角坐标系的定义，坐标轴和坐标点的概念，坐标的表示方法，以及坐标轴上的点的坐标特征。
通过实例和练习，让学生加深对知识的理解。
3.课堂互动：学生进行小组讨论，分享学习心得，解答疑难问题。
4.练习巩固：布置一些具有代表性的题目，让学生独立完成，检验学习效果。
《平面直角坐标系》word教案 (公开课)2022年北师大版 (17)
1．在给定的直角坐标系下，会根据坐标描出点的位置.通过找点、连线、观察，确定图形的大致形状的问题，能进一步掌握平面直角坐标系的根本内容.2．知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征.知道不同象限点的坐标的特征.3．经历画坐标系、描点、连线、看图以及由坐标找点等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系，开展数形结合意识，培养学生的合作交流能力.教学重、难点：重点：1．能在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标.2．平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标确实定.难点：1．在平面直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标.2．熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标确实定.教法及学法指导：本节采用探究合作式的教学模式，在教学中充分表达学生的主体地位，发挥小组合作学习的优势，同时教师适时点拔的教学方法.上一节课学生已熟练掌握在平面直角坐标系中根据点写出坐标，本节是反过来由点的坐标确定点的位置，并且在方格纸中完成，学生容易接受．课前准备：教具准备：多媒体课件投影仪三角板彩笔学生用具：方格纸假设干张三角板铅笔、橡皮、彩笔等用具教学过程：一、复习回忆，引入新课师：上节课我们学习了哪些知识？请同学们回忆一下.生1：我们学习了平面直角坐标系的定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. 水平的数轴叫横轴或x轴，铅直的数轴叫纵横或y轴，x轴、y 轴统称为数轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点.师：好，谁还有补充吗？生2：平面直角坐标系有四个象限：右上方局部为第一象限，按逆时针依次为第二象限、第三象限、第四象限.生3：点的坐标确实定：先过这一点，向横轴作垂线，垂足所对的数是横坐标．然后过这一点向纵轴作垂线，垂足所对的数是这一点的纵坐标. 点的坐标是一对有序实数对．师：好！给出以下点的坐标你能说出它们所在的位置吗？〔多媒体展示〕练习：指出以下各点所在象限或坐标轴：A 〔－1，－2.5〕，B 〔3，－4〕，C 〔41，5〕，D 〔3，6〕，E 〔－2.3，0〕，F 〔0，32〕， G 〔0，0〕．生：根据点的坐标逐一答复.设计意图：检查上节课学生对点的坐标特征的掌握情况，同时为本节课点的坐标确定位置作知识铺垫，有利于学生在坐标系内准确找出点的位置.师 ：由点找坐标是点在直角坐标系中的位置，根据这点在方格纸上对应的x 轴、y 轴上的数字写出它的坐标，反过来，坐标，让你在直角坐标系中找点，你能找到吗？这就是本节课要探讨学习的内容.二、自主探索，合作交流师：请同学们拿出准备好的方格纸，自己建立平面直角坐标系，然后按照我给出的坐标尝试在直角坐标系中描点，并依次用线段连接起来.〔1〕D 〔－3，5〕，E 〔－7，3〕，C 〔1，3〕，D 〔－3，5〕；〔2〕F 〔－6，3〕，G 〔－6，0〕，A 〔－0，0〕，B 〔0，3〕；观察所描出的图形，它像什么？生：认真描点连线.师：利用实物展台展示学生的作品.师：哪位同学给大家讲解一下，他是如何画图得到这个图形的？生：我是先在横轴上找到-3作垂线，然后在纵轴上找到5作垂线，两直线的交点就是〔-3,5〕这个点，同样的画法我得到了其它各点，最后我依次连接，得到了这个图形．师：答复的很好，很清晰.同学们，你们的方法和他一样吗？生：一样.师：结合刚刚的画图，哪位同学能够以点〔a，b〕为例为我们梳理出由坐标描点的一般方法.生：先在横轴上找到a作垂线，然后在纵轴上找到b作垂线，两直线的交点就是〔a，b〕这个点.师：好，这是一个什么图形？生：“房子〞.师：根据图形解答以下问题：〔1〕图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？〔2〕线段EC与 x 轴有什么位置关系？点 E 和点 C 的坐标有什么特点？线段 EC 上其他点的坐标呢？〔3〕点F 和点G 的横坐标有什么共同特点，线段FG与y 轴有怎样的位置关系？生：先独立思考，再小组交流.生1：〔1〕点A、B都在x轴上，它们的纵坐标等于 0；点A、B 都在y轴上，它们的横坐标等于 0．师：谁还有补充吗？生2：线段 AG 上的点都在x轴上，线段 AB 上的点都在 y轴上.师：答复的好不好？生：好！师：对，请同学们注意应该是线段 AG、线段 AB上的所有点．生3：〔2〕线段 EC 平行于x 轴，点 E 和点 C 的纵坐标相同．线段 EC上其他点的纵坐标相同，都是 3．师：你同意他的看法吗？生：同意！生4：〔3〕点 F和点G 的横坐标相同，线段 FG 与y 轴平行.师：对不对？生：对！师：同学们答复的非常好！看来同学们仔细观察了，认真思考了.结合刚刚的问题你能发现这些点的坐标有什么规律吗？生1：〔积极踊跃的〕平行于x 轴的直线上的各点纵坐标相同，平行于y 轴的直线上的各点横坐标相同．师：总结很到位，谁还有补充吗？生2：x轴上的点的纵坐标为0，y 轴上点的横坐标为0.师：两位同学总结的好不好？生：非常好！师：我们把这两位同学的结论归纳概括就是：1．位于x轴上的点的坐标的特征是_________；位于y轴上的点的坐标的特征是__________.2．与x轴平行的直线上点的坐标的特征是__________；与y轴平行的直线上点的坐标的特征是____________.设计意图：让学生在坐标系中找出点的位置，经历探究的过程，从而总结出一般的由坐标找点的方法，所得图形也是学生比拟熟悉的图形，借助这个图形以几个问题让学生观察给出点的特征，经历探究的过程，从而总结出坐标轴上点的特征，及平行坐标轴点的特征,循序渐进，一步一步突破本节难点，变被动为主动，很好的表达了数学的趣味性，数与形的结合完美的展现了出来，大大激发了学生的学习热情.做一做〔多媒体展示〕如图是一个笑脸．〔1〕在“笑脸〞上找出几个位于第一象限的点，指出它们的坐标，说说这些点的坐标有什么特点．〔2〕在其他象限内分别找几个点，看看其他各个象限内的点的坐标有什么特点．(3)不具体标出这些点，分别判断〔1，2〕，〔-1，-3〕，〔2，-1〕，〔-3，4〕这些点所在的象限，说说你是怎么判断的．生：小组交流讨论，并答复总结得出各象限点的特征．对于点P〔a,b〕，假设点P在第一象限，那么a___0，b___0；假设点P在第二象限，那么a___0，b___0；假设点P在第三象限，那么a___0，b___0；假设点P在第四象限，那么a___0，b___0.设计意图：通过组内合作与自主学习相结合的学习方式，培养学生主动学习与合作学习的意识，发挥了学生的主体地位.三、稳固训练，拓展应用1．在右图的直角坐标系中描出以下各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来。
《平面直角坐标系》核心考点B【教师版】
13．勤学早第7章《平面直角坐标系》核心专题一点通B——核心题型及方法专题核心题型一点的坐标特征1．点P（2m+4，m－1），试分别根据下列条件，求出P点的坐标．（1）点P在y轴上；（2）点P在x轴上；（3）点P的纵坐标比横坐标大3；（4）点P在过A（2，－3）点且与x轴平行的直线上．答案：（1）（0，-3）（2）（6，0）；（3）（-12，-9）；（4）（0，-3）2．已知平面直角坐标系内点M（4a－8，a＋3），分别根据下列条件，求出点M的坐标．（1）点M到x轴的距离为2；（2）点N的坐标为（3，－6），并且直线MN∥x轴．答案：（1）M（2，5.5）或（-2，4.5）；（2）M（-44，-6）3．已知点M（3|a|－9，4－2a）在y轴的负半轴上．（1）求M点的坐标；（2）求(2－a)2018＋1的值．答案：（1）M（0，-2）；（2）2核心题型二坐标与规律4．平面直角坐标系中，一蚂蚁从A出发，沿着A-B-C-D-A…循环爬行，其中A的坐标为（1，－1），B的坐标为（－1，－1），C的坐标为（－1，3），D的坐标为（1，3）．当蚂蚁爬了2018个单位时，蚂蚁所处位置的坐标为（）A．（2，2）B．（－1，－1）C．（1，－1）D．（－2，2）答案：B5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A18的坐标为（）A．（8，0）B．（8，1）C．（9，0）D．（9，1）答案：D6．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内的整点个数有（）A．64个B．49个C．36个D．81个答案：B第6题图第7题图7．如图，长方形BCDE的各边分别平行于轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，第2018次相遇地点的坐标是__________．答案：（-1，-1）核心题型三坐标与位置8．如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（－40，－30）表示，那么（10，20）表示的位置是（）A．点A B．点B C．点C D．点D答案：B9．如图所示的是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成”（）A．（1，0）B．（－1，0）C．（－1，1）D．（1，－1）答案：A第8题图第9题图10．如图，围棋盘放置在某个平面直角坐标系内，白旗②的坐标为（－3，－2），白旗④的坐标为（－2，－6），那么黑棋的坐标应该是__________．答案：（1，-5）第10题图第11题图11．如图，游艇A和B在湖中作直线运动，已知游艇B的速度是游艇A的1.5倍，出发时，游艇A 的位置为（50，20），当B追上A时，此时的位置为（110,20），求出发时游艇B的位置．（游艇的大小忽略不计）答案：（20，20）核心题型四坐标与平移12．将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′（－1，3），则点P的坐标是__________．答案：（1，2）13．在平面直角坐标系中，点M（1，－2）可由点N（1，0）向____平移____个单位长度得到．答案：下14．在平面直角坐标系中，已知线段MN的两个端点的坐标分别是M（－4，－1）、N（0，1），将线段MN平移后得到线段M′N′（点M、N分别平移到点M′、N′的位置），若点M′的坐标为（－2，2）。
高中数学学案北师大版必修2 平面直角坐标系中的距离公式 教案
教学设计1．5平面直角坐标系中的距离公式第1课时整体设计教学分析在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性．课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生去主动地发现问题和解决问题，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，采用如下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法．三维目标1．使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．2．能灵活运用此公式解决一些简单问题，使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式．②如何建立适当的直角坐标系．教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题．课时安排1课时教学过程导入新课已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.推进新课新知探究提出问题①如果A，B是x轴上两点，C，D是y轴上两点，它们坐标分别是x A，x B，y C，y D，那么|AB|，|CD|又怎样求？②求B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家总结一下我们是怎样推导出来的(回忆过程).活动：①可由图形观察得出．②通过观察图1，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到距离．图1 图2③在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图2从P1，P2分别向x轴和y 轴作垂线P1M1，P1N1和P2M2，P2N2，垂足分别为M1(x1,0)，N2(0，y1)，M2(x2,0)，N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2.因为|P1Q|＝|M1M2|＝|x2－x1|，|OP2|＝|N1N2|＝|y2－y1|，所以|P1P2|2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2.由此得到两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离公式为|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④我们先计算在x轴和y轴两点间的距离；又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形；猜想了任意两点距离公式；最后得到平面上任意两点间的距离公式．这种由特殊到一般、由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法．同学们在做数学题中可以采用！讨论结果：①|AB|＝|x B－x A|，|CD|＝|y D－y C|.②B到原点距离是5.③|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④略．应用示例思路1例1 求下列两点间的距离：(1)A (－1,0)，B (2,3)；(2)A (4,3)，B (7，－1)．解：(1)|AB |＝(2＋1)2＋(3－0)2＝32；(2)|AB |＝(7－4)2＋(－1－3)2＝5.例2 已知△ABC 的三个顶点是A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝⎛⎭⎫12，32，试判断△ABC 的形状．图3解：如图3，因为|BC |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1＋34＝1， |AB |＝2，|AC |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3， 有|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以△ABC 是直角三角形．例3 △ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形． 解：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．如图4.图4设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )． 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．点评：根据图形特点，建立适当的直角坐示系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标的方法，也称为解析法．思路2例1 如图5，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(－4,8)，另一个端点B的纵坐标点3，求这个端点的横坐标，并画出这个点．图5 图6解：设B点坐标为(x,3)，根据|AB|＝13，得(x＋4)2＋(3－8)2＝132，解得x＝8或x＝－16.画点B或B′(如图6)．点评：学生先找点，有可能找不全丢掉点，而用代数解比较全面．也可以引至：到A(－4,8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)，是以A点为圆心，13为半径的圆上与y＝3的交点，应交出两个点．变式训练已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是有|P A|＝(x＋1)2＋(0－2)2，|PB|＝(x－2)2＋(0－7)2.由|P A|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.即所求点P的坐标为(1,0)．所以|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.例2 求证：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和．活动：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤．证明：建立直角坐标系，如图7，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．图7设B(a,0)，D(b ，c)，由平行四边形的性质知点C 的坐标为(a ＋b ，c)，因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2＝|BC |2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2，即平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．点评：上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步，建立直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数结果“翻译”成几何关系． 变式训练△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．证明：如图8取线段BC 所在的直线为x 轴，点D 为原点，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(b ，c )，点C 的坐标为(a,0)，则点B 的坐标为(－a,0)，图8可得|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|OC |2＝a 2.所以，|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2.所以，|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2).知能训练1．在x 轴上求一点P ，使P 点到A (—4,3)和B (2,6)两点的距离相等．2．求在数轴上，与两点A (－1,3)，B (2,4)等距离的点的坐标．3．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解答：1．设点P 坐标为(x,0)，由P 点到A (－4,3)和B (2,6)两点的距离相等知，(x ＋4)2＋32＝(x－2)2＋62，解得x ＝54，即点P 坐标为⎝⎛⎭⎫54，0. 2．当在x 轴上时，设点P (x,0)，则(x ＋1)2＋9＝(x －2)2＋16，解得x ＝53，所以点P 为⎝⎛⎭⎫53，0. 当在y 轴上时，设点P (0，y )，则1＋(y －3)2＝4＋(y －4)2，解得y ＝5，所以点P 为(0,5)．综上，到两点A (－1,3)，B (2,4)等距离的点的坐标为⎝⎛⎭⎫53，0或(0,5)．3．C 提示：由两点间的距离公式可得|BC |＝|AC |≠|AB |.拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1，求使不等式x 2＋y 2＋x 2＋(1－y )2＋(1－x )2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2≥22中的等号成立的条件．答案：x ＝y ＝12.[提示：可看作是求到(0,0)，(0,1)(1,0)，(1,1)这四个点的距离的和为22的点的坐标．] 课堂小结通过本节学习，要求大家：①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程．②能灵活运用此公式解决一些简单问题．③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题．④通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．⑤培养勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．作业习题2—1 A 组10,11,12.设计感想通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳，这样更有利于学生掌握知识．为了加深知识理解，掌握和更灵活地运用所学知识去主动的发现问题、解决问题，更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习．本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式？如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系？特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课辅助知识产生、发展和突破重难点的优势．备课资料笛卡儿我们现在所用的直角坐标系，通常叫作笛卡儿直角坐标系．是从笛卡儿(Descartes R ．,1596.3.31—1650.2.11)引进了直角坐标系以后，人们才得以用代数的方法研究几何问题，才建立并完善了解析几何学，才建立了微积分．法国数学家拉格朗日(Lagrange J ．L.,1736.1.25—1813.4.10)曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄．但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力．从那以后，就以快速的步伐走向完善．”笛卡儿的坐标系不同于一个一般的定理，也不同于一段一般的数学理论，它是一种思想方法和技艺，它使整个数学发生了崭新的变化，它使笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一．笛卡儿是十七世纪法国杰出的哲学家，是近代生物学的奠基人，是当时第一流的物理学家，并不是专业的数学家．笛卡儿的父亲是一位律师．当他八岁的时候，他父亲把他送入了一所教会学校，他十六岁离开该校，后进入普瓦界大学学习，二十岁毕业后去巴黎当律师．他于1617年进入军队．在军队服役的九年中，他一直利用业余时间研究数学．后来他回到巴黎，被望远镜的威力所激动，闭门钻研光学仪器的理论与构造，同时研究哲学问题．他于1682年移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，完成了他的许多重要著作，如《思想的指导法则》《世界体系》《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(包括三个著名的附录：《几何》《折光》和《陨星》)，还有《哲学原理》和《音乐概要》等．其中《几何》这一附录，是笛卡儿写过的唯一一本数学书，其中清楚地反映了他关于坐标几何和代数的思想．笛卡儿于1649年被邀请去瑞典做女皇的教师．斯德哥尔摩的严冬对笛卡儿虚弱的身体产生了极坏的影响，笛卡儿于1650年2月患了肺炎，得病十天便与世长辞了，他逝世于1650年2月11日，差一个月零三周没活到54岁．笛卡儿虽然从小就喜欢数学，但他真正自信自己有数学才能并开始认真用心研究数学却是因为一次偶然的机缘．那是1618年11月，笛卡儿在军队服役，驻扎在荷兰的一个小小的城填布莱达．一天，他在街上散步，看见一群人聚集在一张贴布告的招贴牌附近，情绪兴奋地议论纷纷．他好奇地走到跟前，但由于他听不懂荷兰话，也看不懂布告上的荷兰字，他就用法语向旁边的人打听，有一位能听懂法语的过路人不以为然地看了看这个年青的士兵，告诉他，这里贴的是一张解数学题的有奖竞赛．要想让他给翻译一下布告上所有的内容，需要有一个条件，就是士兵要给他送来这张布告上所有问题的答案．这位荷兰人自称，他是物理学、医学和数学教师别克曼，出乎意料的是，第二天，笛卡儿真的带着全部问题的答案见他来了；尤其使别克曼吃惊的是，这位青年的法国士兵的全部答案竟然一点儿差错都没有，于是，二人成了好朋友，笛卡儿成了别克曼家的常客．笛卡儿在别克曼指导下开始认真研究数学，别克曼还教笛卡儿学习荷兰语．这种情况一直延续了两年多，为笛卡儿以后创立解析几何打下了良好的基础．而且，据说别克曼教笛卡儿学会的荷兰话还救过笛卡儿一命：有一次笛卡儿和他的仆人一起乘一艘不大的商船驶往法国，船费不很贵．没想到这是一艘海盗船，船长和他的副手以为笛卡儿主仆二人是法国人，不懂荷兰语，就用荷兰语商量杀害他们俩抢劫他们钱财的事．笛卡儿听懂了船长和他副手的话，悄悄做准备，终于制服了船长，才安全回到了法国．在法国生活了若干年之后，他为了把自己对事物的见解用书面形式陈述出来，他又离开了带有宗教偏见和世俗的专制政体的法国，回到了可爱而好客的荷兰，甚至于和海盗的冲突也抹杀不了他对荷兰的美好回忆．正是在荷兰，笛卡儿完成了他的《几何》，此著作不长，但堪称几何著作中的珍宝．笛卡儿在斯德哥尔摩逝世十六年后，他的骨灰被转送回巴黎．开始时安放在巴维尔教堂，1667年被移放到法国伟人们的墓地——神圣的巴黎的保卫者们和名人的公墓，法国许多杰出的学者都在那里找到了自己最后的归宿．(设计者：释翠香)第2课时整体设计教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具．点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离．”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．三维目标1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．3．培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排1课时教学过程导入新课点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题．推进新课新知探究提出问题①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 均不为0)，求点P 到直线l 的距离．你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？②前面我们是在A ，B 均不为零的假设下推导出公式的，若A ，B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法1的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察下面三种特殊情形中的结论：(Ⅰ)x 0＝0，y 0＝0时，d ＝|C |A 2＋B 2； (Ⅱ)x 0≠0，y 0＝0时，d ＝|Ax 0＋C |A 2＋B 2； (Ⅲ)x 0＝0，y 0≠0时，d ＝|By 0＋C |A 2＋B 2. 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P (x 0，y 0)，d ＝？学生应能猜想：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 求点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离的一般步骤，其算法可用如下流程图表示：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，用上述方法，我们可以得到d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 这就是点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式．今后我们将用向量的方法证明这个公式． ②可以验证，当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③引导学生得到两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离：d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 证明：设P 0(x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C 2＝0上任一点，则点P 0到直线Ax ＋By ＋C 1＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 1|A 2＋B 2. 又Ax 0＋By 0＋C 2＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 2，∴d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 讨论结果：①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. ②当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.应用示例思路1例1 (1)求原点到直线l 1：5x －12y －9＝0的距离；(2)求点P (－1,2)到直线l 2：2x ＋y －10＝0的距离．解：(1)原点到直线l 1的距离d ＝|5×0－12×0－9|52＋(－12)2＝913； (2)点P 到直线l 2的距离d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝2 5. 例2 用解析法证明等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．图1证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为BC 延长线上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F .以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系(如图1)．设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 方程为bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB ，AC 的距离分别为 |PD |＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋ab a 2＋b2， |PE |＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－ab a 2＋b2 . 点C 到直线AB 的距离为|CF |＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2ab a 2＋b 2，则|PD |－|PE |＝2ab a 2＋b 2＝|CF |. 点评：有条件的话可以选用数学软件或图形计算器动态呈现例2的图形的变化过程，体会在变化中的不变的数量关系．例3 两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)与B (0,5)．若l 1与l 2的距离为5，求这两直线方程． 解：显然，直线l 1，l 2均不与x 轴垂直．设l 1的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，则点B 到l 1的距离为|5＋k |k 2＋1＝5，所以k ＝0或k ＝512. l 1的方程为y ＝0或5x －12y －5＝0，可得l 2的方程为y ＝5或y ＝512x ＋5. 故所求两直线方程分别为l 1：y ＝0，l 2：y ＝5；或l 1：5x －12y －5＝0，l 2：5x －12y ＋60＝0.思路2例1 求直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程．活动：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等． 解：设所求直线方程为2x ＋11y ＋C ＝0，则 |0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112C ＝16(已知直线)或C ＝－38. ∴所求直线为2x ＋11y －38＝0.变式训练已知正方形ABCD 的相对顶点A (0，－1)和C (2,5)，求顶点B 和D 的坐标．答案：B (4,1)，D (－2,3).例2 已知直线l 过两条直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点，且与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等，求直线l 的方程．解：直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点为(－1,2)．若直线l 平行于直线AB ，易求得直线l 的方程为x ＋3y －5＝0；若直线l 通过线段AB 的中点，易求得直线l 的方程为x ＝－1.所以直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.知能训练1．求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2.2．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求△ABC 的面积．3．求平行线2x －7y ＋8＝0和2x －7y －6＝0的距离．4．求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0的距离．解答：1.(1)根据点到直线的距离公式得d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝105＝2 5.(2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝⎪⎪⎪⎪23－(－1)＝53. 点评：(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握．(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式．2．设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0. 点C 到x ＋y －4＝0的距离为h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52. 因此，S △ABC ＝12×22×52＝5. 点评：通过这道题，使学生能够进一步理解点到直线的距离问题，能逐步体会用代数方法解决几何问题的优越性．3．在直线2x －7y －6＝0上任取一点，例如取P (3,0)，则点P (3,0)到直线2x －7y ＋8＝0的距离就是两平行线间的距离．因此d ＝|2×3－7×0＋8|22＋(－7)2＝1453＝145353. 点评：把求两平行线距离转化为点到直线的距离．4．解法一：同上题解法．解法二：l 1∥l 2又C 1＝－8，C 2＝－10，则d ＝|－8－(－10)|22＋32＝21313. 拓展提升问题：已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0,0)，M (0,3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：点O (0,0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点为O ′⎝⎛⎭⎫－45，25，则直线MO ′的方程为y －3＝134x ，直线MO ′与直线l ：2x －y ＋1＝0的交点P ⎝⎛⎭⎫－85，－115即为所求，相应的||PO |－|PM ||的最大值为|MO ′|＝1855. 课堂小结1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新，培养学生勇于探索、善于研究的精神．3．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．作业习题2—1A组第13题；B组第1,2题．设计感想本节课采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．备课资料数学史话多产的数学家瑞士数学家列昂纳德·欧拉(1707—1783)在其一生中，为人类作出了卓越的贡献，留下了886篇论文和著作，几乎在数学的每个部门都留下了他的足迹．“聪明来自劳动，天才出于勤奋”，智慧的金花不会为懒汉开放.1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛.1766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究．他的研究工作是大量和杰出的．晚年，他口述其发现，让别人把它笔录下来，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章．在欧拉的886篇著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中有不少是教科书．由于文笔浅显，通俗易懂，引人入胜，甚至在今天读起来也毫无困难．尤其值得一提的是他所编写的平面三角课本，采用了近代记号sin，cos等，实际上他的讲法已经成为最后的形式，三角学到他手里已完全成熟了．欧拉在数学上的贡献多得不胜枚举，经常为人称道和引证的有几个例子．一个是所谓“哥尼斯堡七桥问题”，由于欧拉解决了这个历史上流传甚久的趣题，因而被誉为“拓扑学的鼻祖”．另一个例子是多面体的欧拉公式v－e＋f＝2(v是多面体的顶点数，e是边数，f是面数)．第三个例子，差不多任何关于复数的课本中都不可避免地要提到它，即eix＝cos x＋i sin x.任何科学都有其相关性．尤其在中学时代，学好语文，对于理解和掌握数学知识是非常重要的．作为教育家的欧拉也高度重视这一点．怎样列出代数方程来解文字题，虽是十分古老的题材，但是它在数学发展史上曾起过重大作用，促进了代数学的发展．和牛顿的观点一样，欧拉并不认为解决这类初等数学问题是有损尊严的事，在他的名著《代数基础》中就着意搜集了许多题目．下面就是他的一个题目：“一位父亲临死时叫他的几个孩子按照下列方式瓜分他的财产：第一个儿子分得一百克朗与剩下财产的十分之一；第二个儿子分到二百克朗与剩下财产的十分之一；第三个儿子分到三百克朗与剩下财产的十分之一；第四个儿子分到四百克朗与剩下财产的十分之一……依此类推．问这位父亲共有多少财产？他一共有几个孩子？每个孩子分到多少？”最后发觉这种分法简直太好了，因为所有的孩子分得的数字恰恰相等．中国有句老话说，“一碗水端平”，真是平得不能再平了．这位父亲有九个孩子，他共有财产8 100克朗，每人分到900克朗．(设计者：张新军)。
北师大版八年级数学上册：3.2 《平面直角坐标系》教案1
北师大版八年级数学上册：3.2 《平面直角坐标系》教案1一. 教材分析《平面直角坐标系》是北师大版八年级数学上册第三章第二节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握平面直角坐标系的定义、特点以及坐标轴上的点的坐标特征。
通过本节课的学习，学生能够理解坐标系在数学和物理中的重要性，为后续函数、几何等知识的学习打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了点的坐标，对坐标有一定的认识。
但他们对平面直角坐标系的理解还不够深入，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。
此外，学生需要掌握如何在平面直角坐标系中表示点、直线和图形，以及如何利用坐标系解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：理解平面直角坐标系的定义和特点，掌握坐标轴上的点的坐标特征，学会在平面直角坐标系中表示点、直线和图形。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：感受数学与现实生活的联系，体会数学学习的乐趣，提高学生对数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：平面直角坐标系的定义、特点和坐标轴上的点的坐标特征。
2.难点：如何在平面直角坐标系中表示点、直线和图形，以及利用坐标系解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、问答法、自主探究法、合作交流法等教学方法，引导学生观察、操作、思考、交流，从而达到理解平面直角坐标系的目的。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔、坐标轴模型等。
2.学生准备：笔记本、彩笔、剪刀、胶水等。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾七年级学过的点的坐标知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：“同学们，你们还记得点的坐标吗？在坐标系中，如何表示一个点的位置？”呈现（10分钟）1.教师通过PPT展示平面直角坐标系的定义和特点，引导学生理解新知识。
2.教师讲解坐标轴上的点的坐标特征，如x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0。
操练（10分钟）1.学生自主探究：在平面直角坐标系中表示点、直线和图形。
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平面直角坐标系1.有序数对：我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数队，叫做________。
2.平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条________、________的数轴，组成____________。
水平的数轴称为x轴或____，习惯上取____为正方向；竖直的数轴称为y轴或____，取____方向为正方向；两坐标轴的交战为平面直角坐标系的____。
3.象限：坐标轴上的点不属于任何象限第一象限：x>0，y>0第二象限：x<0，y>0第三象限：x<0，y<0第四象限：x>0，y<0横坐标轴上的点：（x，0）纵坐标轴上的点：_______4.距离问题：点（x，y）距x轴的距离为y的绝对值，距y轴的距离为x的______。
坐标轴上两点间距离：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB距离为 x1-x2的绝对值；点A（0，y1）点B（0，y2），则AB距离为 y1-y2的绝对值。
5.绝对值相等的代数问题：a与b的绝对值相等，可推出a=b或者________。
6.角平分线问题：若点（x，y）在一、三象限角平分线上，则x=y若点（x，y）在二、四象限角平分线上，则______7.对称问题（选讲）：一点关于x轴对称，则x同y反；关于y轴对称，则y同x反；关于原点对称，则x反y反。
8.距离问题（选讲）：坐标系上点（x，y）距原点距离为：________。
坐标系中任意两点（x1，y1），（x2，y2）之间距离为_________。
9.中点坐标（选讲）：点A（x1，0）点B（x2，0），则AB中点坐标为__________。
10.平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）；向左平移a 个单位长度，可以得到对应点________； 向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y+b ）； 向下平移b 个单位长度，可以得到对应点________。
参考答案 1.有序数对2.互相垂直 原点重合 平面直角坐标系 横轴 向右 纵轴 向上 原点3.（0，y ）4.绝对值5.a=-b6.x=-y8.22y x +) 21221)y -y ()x -(x 2+ 9.（2x x 21+，0） 10.（x-a ，y ） （x ，y-b ）1.有序数对【例1】电影院中“2排5号”记作（2，5），则（10，18）的意义为_______________ 【解析】定义：如“2排5号”，前面的表示“排数”，后面的表示“号数”，把这种有顺 序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b ）。
答案：10排18号。
练1.根据下列条件，能确定位置的有哪些？①座位是2排4号；②某城市在东经118°，北纬39°；③家住前进路20号； ④甲地距乙地20km ；⑤沉船距A 港50km 【解析】有序数对，可以很准确地表示出一个位置，例如地球上点的位置通常用经纬度来表示；什么路多少号也可以准确地找到具体位置。
答案：①②③ 2.平面直角坐标系相关概念【例2】写出图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 各点坐标，并说明个点在哪个象限 【解析】坐标轴分坐标平面为五个部分（按逆时针方向依次称为第一、二、三、四象限）， 坐标轴上的点不属于任何一个象限。
答案：以上各点坐标分别为A （1，2）、B （2，1）在第一象限C （1,23-）在第二象限xyD （-2，0）、E （0,25）在x 轴上 F （-2，-1）在第三象限O （0，0）在原点练2.下列各点中，在第二象限的点是（ ）A. （2，3）B. （2，-3）C. （-2，-3）D. （-2，3） 【解析】在各象限内点P （y x ，）的坐标特征：① 第一象限0,0>>y x ， (+, +) ② 第二象限0,0><y x ， (-, +) ③第三象限0,0<<y x ， (-, -) ④第四象限0,0<>y x ， (+, -) 答案：D 练3.已知点M （,）在第二象限，则的值是 。
【解析】第二象限0,0><y x ， (-, +) 答案：m<1【例3】已知：点P 的坐标是(,)，且点P 关于轴对称的点的坐标是(,)，则。
【解析】关于x 轴对称，则x 同y 反；关于y 轴对称，则y 同x 反； 关于原点对称，则x 反y 反。
答案：m=-3，n=21练4.(2014北京清华附中练习）下列说法正确的是（ ）A 、平面内，两条互相垂直的直线构成数轴。
B 、坐标原点不属于任何象限。
C 、X 轴上的点必是纵坐标为0，横坐标不为0。
D 、坐标为(3, 4)与（4，3）表示同一个点。
【解析】A 在平面内把两条互相垂直、原点重合的数轴组成一个平面直角坐标系，而不是直线;B 坐标原点不属于任何象限；忘记原点横坐标为0，纵坐标也为0；D 两个坐标为同一个点的条件必须横坐标相等，纵坐标也相等。
答案：B练5.下列说法正确的是（ ）A 、点p （0，5）在X 轴上 。
B 、点A （-3，4）与点B(3,-4)在X 轴的同一侧。
C 、点M （-a ，a ）在第二象限。
D 、坐标平面内的点与有序数对是一一对应的。
【解析】A 在x 轴上的坐标横坐标为0，对；B 在x 轴同侧的坐标特征横坐标相等，错； 第二象限内的点横坐标小于0.纵坐标大于0，这里没有给出a 的范围，错；D 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。
答案：A练6.（2014顺城一中期末）在平面直角坐标系中，点（-1，m 2+1）一定在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【解析】横坐标小于0，纵坐标为m 2+1大于等于1，所以符合第二象限特征（-，+） 答案：B练7.点 A 在第二象限，它到轴、轴的距离分别是、，则坐标是 。
【解析】第二象限特征（-，+） 答案：（-3，2） 3.距离问题【例4】（2014北京161中学月考）点A(5,7)到轴的距离是 ，到轴的距离是 ，到原 点的距离是 ；【解析】考察点到坐标轴的距离，到x 轴的距离为纵坐标绝对值，到y 轴的距离为横坐标。
到原点的距离为22y x 。
答案：7， 5 ， 23练8.小虫在小方格上沿着小方格的边爬行，它的起始位置是A （2，2）先爬到B （2，4），再爬到C （5，4），最后爬到D(5,6)，则小虫共爬了（ ）A 、7个单位长度B 、5个单位长度C 、4个单位长度D 、3个单位长度 【解析】由A 到B 爬了2个单位长度；由B 到C 爬了3个单位长度；再由C 到D 爬了2个单位长度。
答案:A练9.三角形ABC 中，A （-1，0），B （5，0），C （2，5），则三角形ABC 的面积为（ ） A. 30 B. 15C. 20D. 10【解析】通过作图可知三角形底边AB 长为6，高为C 点纵坐标5，由此可知三角形ABC大面积。
答案：B【例5】点M （a ，a-1）不可能在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】如果a=0，M(0，-1）y 轴；如果a<0,M(-,+)；如果0<a<1，M （+,-);如果a>1, M(+,+)。
答案：C 4.平移【例5】在平面直角坐标系中，将点)5,2(-向右平移3个单位长度，可以得到对应点坐标（ ， ）；将点)5,2(--向左平移3个单位长度可得到对应点（ ， ）；将点)5,2(+向上平移3单位长度可得对应点（ ， ）；将点)5,2(-向下平移3单位长度可得对 应点（ ， ）。
【解析】平面直角坐标系中，将点()y x ，向右（或左）平移a 个单位长度，可以得到对应点()y a x ，+（或()y a x ，-）；将点()y x ，向上或向下平移b 个单位，可以得到 对应点()b y x +，（或()b y x -，）。
简记:右加左减;上加下减.答案：（-1,-5）; （1,-5）；（2，8）,（-2，-2）练10.已知点A 的坐标为（5，1.5），A ′的坐标为（5，﹣1.5），则将点A 沿________移动______ 个单位长度的距离即可得到点A ′。
【解析】平移规律：右加左减;上加下减。
横坐标不变，纵坐标互为相反数，则关于x轴对称。
平移纵坐标绝对值的2倍两点重合。
答案：x=5；3练11.在平面直角坐标系中，若一图形各点的横坐标不变，纵坐标分别减3，那么图形与原图形相比（ ）A. 向右平移了3个单位长度B. 向左平移了3个单位长度C. 向上平移了3个单位长度D. 向下平移了3个单位长度【解析】横坐标不变，则为上下平移，纵坐标不变则为左右平移。
答案：D【例6】已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （﹣3，﹣2），B （0，﹣5），C （2，4）.若 将△ABC 向上平移5个单位，写出三个对应点A ′、B ′、C ′的坐标。
【解析】平移规律：右加左减;上加下减，向上平移则横坐标不变。
答案：A ′（2，﹣2），B ′（5，﹣5），C ′（7，4）练12.如图，将三角形ABC 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到对应的三角形A 1B 1C 1，并写出点A 1、B 1、C 1的坐标。
【解析】平移规律：右加左减;上加下减。
答案：A 1 （0，2），B 1（-3，﹣5），C 1（5，0）1.（2015北京文汇练习）为确定一个平面上点的位置，所用的数据个数为（）A、1个B、2个C、3个D、4个2.在平面直角坐标系中，点（-1，m2+1）一定在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3.点P（m+3,m+1）在x轴上，则点p坐标为（）A（0，-4） B（4，0） C（0，-2） D（2，0）4.下列说法正确地有（）（1）点（1，-a）一定在第四象限（2）坐标轴上的点不属于任一象限（3）横坐标为0的点在Y轴上纵坐标为0的点在X轴上。
(4)直角坐标系中，在Y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是（0，5）。
A 1个B 2个C 3个D 4个5.点p（a,b），ab＞0，a＋b＜0,则点p在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限6.点M在第四象限，它到X轴、Y轴的距离分别为8和5，则点M的坐标为（） A（8，5） B（5，-8） C（-5，8） D（-8，5）7.（2014盐城一中期末）过点A（-3，2）和点B（-3，5）作直线AB,则直线AB（）A 平行于Y轴B 平行于X轴C 与Y轴相交D 与y轴垂直8.若点A（m,n）,点B（n,m）表示同一点则这一点一定在（）A第二、四象限的角平分线上 B第一、三象限的角平分线上C 平行于X轴的直线上 D平行于Y轴的直线上9.线段MN是由线段EF经过平移得到的若点E(-1,3)的对应点M（2，5）。