2014年全国高中数学联赛A卷真题word版

一试

一、填空题

1. 若正数b a ,满足()b a b a +=+=+632log log 3log 2，则b a 11+的值为________.

2. 设集合??????≤≤≤+213b a b a 中的最大元素与最小元素分别为m M ,，则m M -的值为__________.

3. 若函数()12-+=x a x x f 在[)+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.

4. 数列{}n a 满足21=a ，()()

*+∈++=N n a n n a n n 1221，则=+++2013212014a a a a Λ . 5. 正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是__________.

6. 设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,.若212F F PF =，且1143QF PF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.

7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I .若点P 满足1=PI ，则APB ?与APC ?的面积之比的最大值为__________.

8. 设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以2

1的概率在每对边之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________.

二、解答题

9. 平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：

过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直.

设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为R Q ,.

（1）证明R 是一个定点； （2）求

QR PQ 的最小值. 10. 数列{}n a 满足61π

=a ，()n n a a sec arctan 1=+()*∈N n .求正整数m ，使得

1001sin sin sin 21=

???m a a a Λ. 11. 确定所有的复数α，使得对任意复数21,z z ()

2121,1,z z z z ≠<，均有 ()()222121z z z z αααα++≠++.

二试

一、设实数c b a ,,满足1=++c b a ，0>abc .求证：412+<

++abc ca bc ab .

二、如图，在锐角ABC ?中，?≠∠60BAC ，过点B 、C 分别作ABC ?的外接圆⊙O 的切线BD 、EC ，且满足BC CE BD ==.直线DE 与AB 、AC 的延长线分别交于点F 、G .设CF 与BD 交于点M ，CE 与BG 交于点N .

求证：AN AM =.

三、设{

}100,,3,2,1Λ=S .求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.

四、设整数201421,,,x x x Λ模2014互不同余，整数201421,,,y y y Λ模2014也互不同余. 证明：可将201421,,,y y y Λ重新排列为201421,,,z z z Λ，使得

201420142211,,,z x z x z x +++Λ

模4028互不同余.