二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线234y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线334y x t=-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．（1）确定b c ，的值：__________b c ==，；（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．[解] （1）94b =3c = （2）(40)B ， (40)Q t ， (443)P t t -，（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ PB =时PH OB ⊥ ，则GH HB = 4444t t t ∴--= 13t ∴=②当PB QB =时 得445t t -= 49t ∴=③当PQ QB =时，如图解法一：过Q 作QD BP ⊥，又PQ QB =则522BP BD t == 又BDQ BOC △∽△C OBD BQBO BC ∴= 544245tt -∴= 3257t ∴=解法二：作Rt OBC △斜边中线OE则522BC OE BE BE ===，， 此时OEB PQB △∽△BE OBBQ PB∴= 542445t t ∴=-3257t ∴=解法三：在Rt PHQ △中有222QH PH PQ += 222(84)(3)(44)t t t ∴-+=-257320t t ∴-=32057t t ∴==，（舍去） 又01t <<∴当13t =或49或3257时，PQB △为等腰三角形．解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。

代数讨论：计算出△PQB 三边长度，均用t 表示，再讨论分析Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而PB 、BQ 长度都可以直接直接用t 表示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t 值与题目中的01t <<矛盾，应舍去CO6. （本题满分14分）如图12，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S= .解：（1）令0=x ，则4=y ；令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，， ∴可设二次函数的关系式为42++=bx ax y又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -，∴093404a b a b =++⎧⎨=-+⎩，．解之，得34-=a ，38=b ． ∴所求二次函数的关系式为438342++-=x x y （2）∵438342++-=x x y =()3161342+--x∴顶点M 的坐标为1613⎛⎫⎪⎝⎭， 过点M 作MF x ⊥轴于F∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形=()1013164213161321=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯-⨯ ∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =． 设点E 的坐标为()11x y ，∴54431-=t x ，∴512121-=t x ∵DE OC ∥，∴t t 2351212=- ∴38=t∵38=t >2，不满足12t <<．∴不存在DE OC ∥．②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为1124423543=+++（秒） 现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时，2134322S t t t =⨯= ； ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ，∴()544542--=t y ，∴516362t y -=∴t t t t S 5275125163623212+-=-⨯⨯=ⅲ）当2 <t <1124时，设点E 的坐标为()33x y ，，类似ⅱ可得516363ty -=设点D 的坐标为()44,y x∴532344-=t y ， ∴51264-=t y∴AOE AOD S S S =-△△512632151636321-⨯⨯--⨯⨯=t t =572533+-t ③802430=S7.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方．（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．参考资料：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，对称轴是直线2bx a=-． 解：（1）据题意得：240k -=，2k ∴=±．当2k =时，2220k -=>． 当2k =-时，2260k -=-<．又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，2k ∴=．∴抛物线的解析式为：22y x =-+．函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）（2）解：令220x -+=，得x =不0x <<112A D x =，2112A B x =-+，211112()244l A B A D x x ∴=+=-++．当x >222A D x =，2222(2)2A B x x =--+=-． 222222()244l A D A B x x ∴=+=+-．l ∴关于x 的函数关系是：当0x <<2244l x x =-++；当x >2244l x x =+-．（3）解法一：当0x <<1111A B A D =，得2220x x +-=．解得1x =-，或1x =-．将1x =-代入2244l x x =-++，得8l =．当x >2222A B A D =，得2220x x --=．解得1x =，或1x =将1x =代入2244l x x =+-，得8l =．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8．解法二：当0x <<1x =-．∴正方形的周长11488l A D x ===．当x >1x =∴正方形的周长22488l A D x ===．（第26题）综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8．解法三： 点A 在y 轴右侧的抛物线上，0x ∴>，且点A 的坐标为2(2)x x -+，．令AB AD =，则222x x -+=．∴222x x -+=， ①或222x x -+=- ②由①解得1x =-，或1x =-由②解得1x =，或1x =． 又8l x =，∴当1x =-时8l =；当1x =时8l =．综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当1x =时正方形的周长为8；当1x =时，正方形的周长为8．8.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得第26题图⎩⎪⎨⎪⎧0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得⎩⎨⎧a ＝－23b ＝－83∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－83x ＋8（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m8∴EF ＝40－5m 4过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－12＜0，∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．9.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.第26题图(批卷教师用图)（1） 求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。