高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
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2.2.2 圆的一般方程 课件(北师大必修2)
可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示
圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F 是否为正，确定它是否表示圆．
[通一类] 1．求下列圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2－x＋y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax－2ay＋a2＝0.(a≠0) 12 12 1 解：(1)原方程可化为(x－ ) ＋(y＋ ) ＝ ， 2 2 2
§
[读教材·填要点] 1．圆的一般方程的定义 Nhomakorabea当
D2＋E2－4F＞0 时，称二元二次方程x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．
2．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形 D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 为圆 (1)当 D ＋E －4F＞0 时，方程表示以 1 2 D ＋E2－4F 心，以 2 为半径的圆． D E (－ ，－ ) 2 2 2 2 ． (2)当 D ＋E －4F＝0 时， 方程表示一个点 (3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程 不表示任何图形 ．
(3)原方程可化为：(x＋10)2＋y2＝－21＜0，故方
程不表示任何曲线，故不能表示圆． (4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆； ②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a| 的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.
[悟一法] 对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程
[研一题]
[例1] 判断下列方程是否表示圆，若是，化成
标准方程．
(1)x2＋y2＋2x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ay－1＝0； (3)x2＋y2＋20x＋121＝0； (4)x2＋y2＋2ax＝0.
[自主解答] (1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它 表示点(－1,0)，不表示圆． (2)原方程可化为 x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆 心在(0，－a)，半径为 a2＋1的圆，标准方程为 x2＋(y＋a)2＝( a2＋1)2.
(北师大)高中数学必修2课件：2.2.2圆的一般方程
数 学 第二章 解析几何初步
必修2
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2．2 圆的一般方程
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数 学 第二章 解析几何初步
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[提示] 可以，但有一定条件． [问题4] 给出二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F ＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的标准方程确定成 立的条件？ [提示] 可以．
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1．了解圆的一般方程的特点，熟练掌握圆的两种方程的互化． 2．会根据已知条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题． 3．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．
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解析： (1)∵D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，
∴方程 x2＋y2＋x＋1＝0 不表示任何图形；
Hale Waihona Puke (2)∵方程化为(x＋a)2＋y2＝0，
∴x＝－a，y＝0，
∴方程 x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)表示一个点(－a,0)．
a a 1 (3)∵方程可以化为x＋22＋y－22＝2a2，且 a≠0，
[思路探究] 解答本题可直接利用 D2＋E2－4F＞0 是否成立来判断，也可把 左端配方，看右端是否为大于零的常数．
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2．2 圆的一般方程
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[提示] 可以，但有一定条件． [问题4] 给出二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F ＝0，若该方程表示圆的方程，可否根据圆的标准方程确定成 立的条件？ [提示] 可以．
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1．了解圆的一般方程的特点，熟练掌握圆的两种方程的互化． 2．会根据已知条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题． 3．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．
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解析： (1)∵D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0，
∴方程 x2＋y2＋x＋1＝0 不表示任何图形；
Hale Waihona Puke (2)∵方程化为(x＋a)2＋y2＝0，
∴x＝－a，y＝0，
∴方程 x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)表示一个点(－a,0)．
a a 1 (3)∵方程可以化为x＋22＋y－22＝2a2，且 a≠0，
[思路探究] 解答本题可直接利用 D2＋E2－4F＞0 是否成立来判断，也可把 左端配方，看右端是否为大于零的常数．
数 学 第二章 解析几何初步
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
因为 O, M1 , M 2都在圆上,所以其坐标都满足圆的 方程,即 F = 0 D = -8 E = 6 D + E + F + 2 = 0 F = 0 4 D + 2 E + F + 20 = 0 所以,圆的方程为:
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
2.2.2《圆的一般方程》课件(北师大版必修2)
）
【解析】选D.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心为（1，-2）， ∴由点到直线的距离公式得
d= |1+2-1| 1 +(-1)
2 2
= 2.
二、填空题 5.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心，4为半径的圆， 则F=______.
D - 2 =2 【解析】由题意可知 E , - =-4 2 1 2 2 2 D +E -4F =4 答案：4
① F=0 ② D+E+F+2=0 令y=0得x2+Dx=0,
∴x1=0,x2=-D,由|x1-x2|=3,得|D|=3, ∴D=〒3.代入②得E=-5或E=1. ∴所求圆的方程为x2+y2+3x-5y=0或x2+y2-3x+y=0.
8.圆x2+y2+Dx+Ey-3=0的圆心在坐标轴上，半径为2，当D>E时， 求圆的方程. 【解题提示】求解本题可先就D=0或E=0分开讨论，然后利
【解析】选A.方程x2+y2-2x-35=0可化为(x-1)2+y2=36.
由题意可知，所求圆的圆心为(1,0)，半径r满足 1 πr2= π〓36,∴r2=18. 2
4.（2010·蚌埠高一检测）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线
x-y=1的距离为（
(A)2 (C)1 (B) 2 2 (D) 2
所在直线的方程是x+y=0,边AC上高BE所在直线的方程是
x+3y+4=0. (1)求点B、C的坐标； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【解题提示】设出B点坐标，从中线CD出发可解B点坐标， 再由AC、CD两方程求出C点坐标，第（1）问可解；利用待定 系数法求（2）.
高中数学 第2章 2.2 圆的一般方程优质课件 北师大版必修2
答案:D=4,E=4.求经过6,三F=点-3(sān diǎn)A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程
待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.
第十六页，共19页。
1.圆的一般方程的形式(xíngshì)及特点:
x2 y2 Dx Ey F 0
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F (D2 E2 4F 0)
待定系数
D E F 2 0,
4D 2E F 20 0,
(xìshù)
解得:F=0,D=-8,E=6.
所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0, 法
半径为 r 1 D2 E2 4F 5 2
圆心坐标为(4,-3).
第十三页，共19页。
【提升(tíshēng) 用待总定结系】数(xìshù)法求圆的方程的步
一般方程）
第十八页，共19页。
不是什么(shén me)人都可以交往的，慎交朋 友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心.
第十九页，共19页。
2
2
4
2.利用待定系数(xìshù)法求圆的方
程：
第十七页，共19页。
设方程为 (x - a)2 +(y - b)2 = r2 (或x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0)
列关于(guānyú)a，b，r（或D， E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准(biāozhǔn)方程（或
（ 2 ） 当 D2 E2 4F 0 时 ， 方 程 ( ) 只 有 一 个 实 数 解
x
D,y
E ，所以方程 ( ) 表示一个点 ( D , E ) .
待定系数法,答案:x2+y2-7x-3y+2=0.
第十六页，共19页。
1.圆的一般方程的形式(xíngshì)及特点:
x2 y2 Dx Ey F 0
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F (D2 E2 4F 0)
待定系数
D E F 2 0,
4D 2E F 20 0,
(xìshù)
解得:F=0,D=-8,E=6.
所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0, 法
半径为 r 1 D2 E2 4F 5 2
圆心坐标为(4,-3).
第十三页，共19页。
【提升(tíshēng) 用待总定结系】数(xìshù)法求圆的方程的步
一般方程）
第十八页，共19页。
不是什么(shén me)人都可以交往的，慎交朋 友。笑看人生潮起潮落，守住自己的心.
第十九页，共19页。
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2.利用待定系数(xìshù)法求圆的方
程：
第十七页，共19页。
设方程为 (x - a)2 +(y - b)2 = r2 (或x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0)
列关于(guānyú)a，b，r（或D， E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准(biāozhǔn)方程（或
（ 2 ） 当 D2 E2 4F 0 时 ， 方 程 ( ) 只 有 一 个 实 数 解
x
D,y
E ，所以方程 ( ) 表示一个点 ( D , E ) .
高中数学 2.2.2 圆的一般方程课件 北师大版必修2
第二十三页，共36页。
• 求圆心在直线3x＋2y＝0上，并且(bìngqiě)与 x轴交于A(－2,0)和B(6,0)两点的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心
为(－D2 ，－E2)．由题意可得
3×－D2 ＋2×－E2＝0， 4－2D＋F＝0， 36＋6D＋F＝0，
[规律总结] 1.求圆的方程通常用待定系数法，如果圆的几 何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明 显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组．不论设圆的 标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三 个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．
2．用待定系数法求圆的一般方程分三步： (1)设出一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据题意，列出关于 D，E，F 的方程组； (3)解出 D，E，F 的值代入即得圆的一般方程．
• (2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足， 若满足，则表示圆；若不满足，则不表示 圆．
• (3)配方法能化为标准形式的，也是常用方法， 它可以直接看出圆心坐标(zuòbiāo)和半径．
第十八页，共36页。
• 若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k 的取值范围是( )
• A．k>1 B．k<1
下列方程能否表示圆？若能表示，求出圆心和半 径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0； (5)x2＋y2＋20x＋62＝0.
第十六页，共36页。
• [思路分析] 解答本题的关键是验证二元二次 方程是否满足圆的一般方程的特征．
• C．(－2,3)，5 D．(－2,3)，25
• 求圆心在直线3x＋2y＝0上，并且(bìngqiě)与 x轴交于A(－2,0)和B(6,0)两点的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心
为(－D2 ，－E2)．由题意可得
3×－D2 ＋2×－E2＝0， 4－2D＋F＝0， 36＋6D＋F＝0，
[规律总结] 1.求圆的方程通常用待定系数法，如果圆的几 何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明 显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组．不论设圆的 标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三 个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．
2．用待定系数法求圆的一般方程分三步： (1)设出一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据题意，列出关于 D，E，F 的方程组； (3)解出 D，E，F 的值代入即得圆的一般方程．
• (2)判断圆的一般方程成立的条件是否满足， 若满足，则表示圆；若不满足，则不表示 圆．
• (3)配方法能化为标准形式的，也是常用方法， 它可以直接看出圆心坐标(zuòbiāo)和半径．
第十八页，共36页。
• 若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k 的取值范围是( )
• A．k>1 B．k<1
下列方程能否表示圆？若能表示，求出圆心和半 径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0； (5)x2＋y2＋20x＋62＝0.
第十六页，共36页。
• [思路分析] 解答本题的关键是验证二元二次 方程是否满足圆的一般方程的特征．
• C．(－2,3)，5 D．(－2,3)，25
高中数学北师大版必修2《第2章22.2圆的一般方程》课件
20
【例 3】 已知△ABC 的边 AB 长为 2a，若 BC 的中线为定长 m， 求顶点 C 的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[思路探究] 设出动点坐标(x，y)，根据已知找出动点(x，y)满足 的条件，从而求出轨迹方程．
21
[解] 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中 垂线为 y 轴建立坐标系，则 A(－a,0)，B(a,0)，
5
1．圆 x2＋y2－4x－1＝0 的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5
B．(2,0)， 5
C．(0,2)， 5
D．(2,2)，5
6
B [x2＋y2－4x－1＝0 可化为(x－2)2＋y2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径 r＝ 5.]
7
2．如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的取值范围 是________．
→ 得到圆的方程
16
[ 解 ] 设 圆 的 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 则 圆 心 是 －D2 ，－E2，由题意知，
－D2 ＝－E2， 2－D＋E＋F＝0， 10＋3D－E＋F＝0， 解得 D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
()
A．m≤2
B．m<12 C．m<2
D
D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即
1 m<2.]
34
4．已知圆 x2＋y2＝4 上一点为 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求 PQ 中点的轨迹方程．
－∞，45 [若方程 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 表示圆，则(－2)2＋12 －4k>0.
【例 3】 已知△ABC 的边 AB 长为 2a，若 BC 的中线为定长 m， 求顶点 C 的轨迹方程．(轨迹方程是动点坐标所满足的方程)
[思路探究] 设出动点坐标(x，y)，根据已知找出动点(x，y)满足 的条件，从而求出轨迹方程．
21
[解] 如图，以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中 垂线为 y 轴建立坐标系，则 A(－a,0)，B(a,0)，
5
1．圆 x2＋y2－4x－1＝0 的圆心坐标及半径分别为( )
A．(2,0)，5
B．(2,0)， 5
C．(0,2)， 5
D．(2,2)，5
6
B [x2＋y2－4x－1＝0 可化为(x－2)2＋y2＝5， ∴圆心为(2,0)，半径 r＝ 5.]
7
2．如果 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 是圆的方程，则实数 k 的取值范围 是________．
→ 得到圆的方程
16
[ 解 ] 设 圆 的 方 程 为 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ， 则 圆 心 是 －D2 ，－E2，由题意知，
－D2 ＝－E2， 2－D＋E＋F＝0， 10＋3D－E＋F＝0， 解得 D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是 x2＋y2－4x－4y－2＝0.
()
A．m≤2
B．m<12 C．m<2
D
D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即
1 m<2.]
34
4．已知圆 x2＋y2＝4 上一点为 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
(1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求 PQ 中点的轨迹方程．
－∞，45 [若方程 x2＋y2－2x＋y＋k＝0 表示圆，则(－2)2＋12 －4k>0.
北师大版数学必修二：2.2.2圆的一般方程ppt课件
= -95
所以圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.
1
2
3
4
5
解法 2:由 A(1,12),B(7,10),得
1
AB 的中点坐标为(4,11),k AB=- ,
3
那么AB的中垂线方程为3x-y-1=0.
同理得AC的中垂线方程为x+y-3=0.
3--1 = 0
=1
联立
,得
,
=
2
+ -3 = 0
探求三
易错辨析
解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将 A,B,C 三点的坐标分别代入上述方程得
- + 5 + + 26 = 0,
-2-2 + + 8 = 0,
5 + 5 + + 50 = 0,
= -4,
解得 = -2,
= -20.
∴△ABC 的外接圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0.
方程
条件
图形
D2+E2-4F<0
不表示任何图形
2
2
D +E -4F=0
x2+y2+Dx+Ey
D
E
2
2
D
E
2
2
表示点 - ,表示以 - ,-
+F=0
2
2
D +E -4F>0
为
圆心,以
1
2
D2 + E 2 -4F为半
径的圆
做一做2 方程x2+y2-4x+4y+10-k=0表示圆,那么k的取值范围是
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 6 = 0 表示图形 方程 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) = -1 不表示任何图形.
1) x + y - 2 x + 4 y + 2 = 0
高一数学：2.2.2圆的一般方程 课件(北师大必修2)
圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
x + y - 8x + 6 y = 0
2 2
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通 常设为标准方程; 若已知圆经过两点或三点,通常设 为一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组. 3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或 一般方程.
x + y + Dx + Ey + F = 0 26 - D + 5 E + F = 0 D = -4, E = -2, F = -20 2 2 50 + 5 D + 5 E + F = 0 x + y - 4 x - 2 y - 20 = 0 40 + 6 D - 2 E + F = 0 ( x - 2)2 + ( y - 1)2 = 25
2 2
+ y + 2by = 0
2
(b 0)
2
6) （4）x
2
+ y + 2ax - b = 0
2 2
2
D = 2a , E = 0, F = - b
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平面上不共线的三点可以确定一个圆 思考：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上? 分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有 A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定 的圆的方程为同一方程 求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐 标满足圆的方程.
D E ,- ） 2 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
D E y=-E/2，表示一个点（ - 2 ,- 2 ）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程无实数解，所以
不表示任何图形。
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2—4F>0）可表示圆的方程
a +b
2
2
练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:
( x - 1) + ( y - 2) = 3 2 2 x + y - 2x - 4 y + 2 = 0
2 2
( x + 2) + ( y + 1) = 7
2 2
2 2
x + y + 4x + 2 y - 2 = 0
2
练习3.将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出圆心 坐标及半径
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.
本节课用的数学方法和数学思想方法:
①数学方法: 配方法 (求圆心和半径). ②数学思想方法: (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 (原则是不重复,不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法) (ⅲ)数形结合的思想
求下列各圆的方程 (1)圆心在C(8, -3),且过点A(5,1) (标准方程)
( x - 8)2 + ( y + 3)2 = r 2 代入A点坐标
r = 25
2
( x - 8) + ( y + 3) = 25
2 2
(2)过A(-1, 5), B(5, 5), C(6,-2)三点. (一般方程)
求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); 2.列出动点M满足的等式并化简; 3.说明轨迹的形状.
求轨迹方程的方法:
若生成轨迹的动点 P ( x , y )随另一动点 Q ( x0 , y0 ) 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 x0 , y0 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点 满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程
2 2
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)，
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直接法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x - 3 = 0
2 2
例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端 2 2 点A在圆( x + 1) + y = 4 上运动,求线段 AB的中点M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) .
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2 2
D = -2, E = 4, F = 1 D + E - 4F = 16 圆心: (1, -2) 半径: r = 2
2 2
（2） + y - 6 x = 0 3) x
Hale Waihona Puke D = -6, E = F = 0 D + E - 4F = 36
2 2
圆心: (3,0)
半径:
r=3
（3） 2 4) x
E = 2b, D = F = 0 D + E - 4F = 4b 圆心: (0, -b) 半径: | b |
关键:列出P,Q两点的关系式.
[课堂小结]
(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x D 2 + E 2 - 4 F 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 一般方程 标准方程(圆心,半径) 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
探究:方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 在什 么条件下表示圆?
2 2
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 + E 2 - 4F 2
2 2
+ y + 2by = 0
2
(b 0)
2
6) （4）x
2
+ y + 2ax - b = 0
2 2
2
D = 2a , E = 0, F = - b
2 2
D + E - 4F = 4(a + b )
2 2 2 2
当 a + b 0时, 圆心: (-a,0) 半径: 当 a 2 + b2 = 0 时, 表示点: (0,0)
圆的方程
标准方程: ( x - a ) + ( y - b) = r
2 2 2
2 2
展开
x + y - 2ax - 2by + (a + b - r ) = 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 ( D + E - 4F 0)
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
问：是不是任何一个形如
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示
由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, x0 = 2 x - 4 y0 + 3 x0 + 4 所以 y= 即: x= 2 2 y0 = 2 y - 3 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x0 + 1) + y0 = 4 (2 x - 4 + 1)2 + (2 y - 3)2 = 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 (x - ) + ( y - ) = 1 2 2
x + y - 8x + 6 y = 0
2 2
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通 常设为标准方程; 若已知圆经过两点或三点,通常设 为一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组. 3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或 一般方程.
D 2 E 2 D 2 + E 2 - 4F 配方 (x + ) + ( y + ) = 2 2 4 1 -D -E 2 2 圆心: ( D + E - 4F , ) 半径: 2 2 2
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 2 D + E - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
1) x + y - 2 x + 4 y + 2 = 0
2
4) x + y + 2ax - 4by - a + b = 0
2 2 2 2
( x - 1) + ( y + 2) = 3
2 2
( x + a ) + ( y - 2b) = 2a + 3b
2 2 2
2
例1:求过点 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4,2) 的圆的 方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
的曲线都是圆呢？
请举出例子
例如
方程 x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示图形
( x - 1) + ( y + 2) = 4
2 2
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.
x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 6 = 0 表示图形 方程 2 2 ( x - 1) + ( y - 2) = -1 不表示任何图形.
解:设圆的方程为: x + y + Dx + Ey + F = 0