2016-2017学年北师大版必修二1.2直线的方程学案word版2
高中数学学案北师大版必修2 直线的方程 教案
教学设计第1课时整体设计教学分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和途径．在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的．从初中代数中的一次函数y＝kx＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题．在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手．在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程．三维目标1．掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；培养学生相互合作意识和思维的严谨性．2．引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程．3．掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围，培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力．重点难点教学重点：引导学生探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程．教学难点：在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)①什么叫直线的倾斜角和斜率？②已知直线上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求此直线的斜率．③对于函数y＝kx＋b，当不区分变量x和y时，它叫什么方程？④对于直线l(如图1)，θ和b在l中分别表示什么？⑤方程y＝kx＋b与直线l之间存在着什么样的关系？图1让学生边回答，教师边适当板书．如问题⑤它们之间存在着一一对应的关系，即 1°直线l 上任意一点P (x 1，y 1)的坐标是方程y ＝kx ＋b 的解；2°若(x 1，y 1)是方程y ＝kx ＋b 的解，则点P (x 1，y 1)在直线l 上．这样好像直线能用方程表示，这节课我们就来学习、研究直线的方程．思路2.(直接导入)在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图像，现在，请同学们回顾一下：一次函数y ＝kx ＋b 的图像是一条直线，它是以满足y ＝kx ＋b 的每一对x ，y 的值为坐标的点构成的．由于函数式y ＝kx ＋b 也可以看作二元一次方程，所以我们可以说，这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系．这节课我们就来学习直线的方程．推进新课新知探究提出问题①如果把直线当作结论，那么确定一条直线需要几个条件？如何根据所给条件求出直线的方程？②已知直线l 的斜率为k ，且l 经过点P 1(x 1，y 1)，如何求直线l 的方程？③方程导出的条件是什么？④若直线的斜率k 不存在，则直线方程怎样表示？⑤k ＝11y y x x --与y －y 1＝k (x －x 1)表示同一直线吗？ ⑥已知直线l 的斜率k 且l 经过点(0，b)，如何求直线l 的方程？活动：①自主交流、小组讨论．②回忆上节所讲，由经过两点的直线的斜率公式k ＝y －y 1x －x 1(x 1≠x 2)为切入点，使他们讨论得出直线方程的点斜式．设点P (x ，y )是直线l 不同于点P 1(x 1，y 1)的任意一点，根据直线的斜率公式，得k ＝y －y 1x －x 1(x ≠x 1)，可化为y －y 1＝k (x －x 1)．可以验证：直线l 上每一个点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线l 上．这个方程就是过点P 1，斜率为k 的直线l 的方程，叫作直线方程的点斜式．③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在．④1°如图2，如果直线l 的倾斜角为0°，那么直线l 经过一点P 1(x 1，y 1)的方程为y ＝y 1.图2 图32°如图3，如果直线l 的倾斜角为90°，那么直线l 经过一点P 1(x 1，y 1)的方程为x ＝x 1. 求直线的方程应注意分类：当k 存在时，经过点P 1(x 1，y 1)的方程为y －y 1＝k (x －x 1)；当k 不存在时，经过点P 1(x 1，y 1)的方程为x ＝x 1.⑤注意分母不能为0.⑥方程y ＝kx ＋b 是由直线l 的斜率和它在y 轴上的截距确定的，所以叫作直线方程的斜截式．方程y ＝kx ＋b 是y －y 1＝k (x －x 1)的特殊情况，其图形都是直线，运用它们解决问题的前提条件是k 存在．说明：b 为直线l 在y 轴上截距；斜截式方程可由过点(0，b )的点斜式方程得到；当k ≠0时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．讨论结果：①确定一条直线需要两个条件．1°确定一条直线只需知道k ，b 即可；2°确定一条直线只需知道直线l 上两个不同的已知点或一点与直线的斜率等．②设P (x ，y )为l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式，得k ＝y －y 1x －x 1，化简，得y －y 1＝k (x －x 1)．③方程导出的条件是直线l 的斜率k 存在．④x ＝x 1.⑤启发学生回答：方程k ＝y －y 1x －x 1表示的直线l 缺少一个点P 1(x 1，y 1)，而方程y －y 1＝k (x －x 1)表示的直线l 才是整条直线．⑥y ＝kx ＋b .应用示例思路1例1 分别求出通过点P (3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形：(1)斜率k ＝2；(2)与x 轴平行；(3)与x 轴垂直．解：(1)这条直线经过点P (3,4)，斜率k ＝2，点斜式方程为y －4＝2(x －3)，可化为2x －y －2＝0.如图4所示．图4 图5 图6(2)由于直线经过点P (3,4)且与x 轴平行，即斜率k ＝0，所以直线方程为y ＝4.如图5所示．(3)由于直线经过点P (3,4)且与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝3.如图6所示．例2 求经过点(0，b )，斜率是k 的直线方程．解：由于这条直线经过点(0，b )并且斜率是k ，所以它的点斜式方程是y －b ＝k (x －0)，可化为y ＝kx ＋b .点评：我们称b 为直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，称y ＝kx ＋b 为直线方程的斜截式． 例3 求经过两点A (－5,0)，B (3，－3)的直线方程．解：根据经过两点的直线的斜率公式得k ＝－3－03－(－5)＝－38. 该直线的点斜式方程是y －0＝－38(x ＋5)， 可化为3x ＋8y ＋15＝0.思路2例1 已知直线l 1：y ＝4x 和点P (6,4)，过点P 引一直线l 与l 1交于点Q ，与x 轴正半轴交于点R ，当△OQR 的面积最小时，求直线l 的方程．活动：因为直线l 过定点P (6,4)，所以只要求出点Q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程．解：因为过点P (6,4)的直线方程为x ＝6和y －4＝k (x －6)．当l 的方程为x ＝6时，△OQR 的面积为S ＝72；当l 的方程为y －4＝k (x －6)时，点R 的坐标为R ⎝⎛⎭⎫6k －4k ，0，点Q 的坐标为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k －4k －4，24k －16k －4，此时△OQR 的面积S ＝12×6k －4k ×24k －16k －4＝8(3k －2)2k (k －4). ∵S ≥0，∴R (R －4)＞0，∴R ＞4或R ＜0.变形为(S －72)k 2＋(96－4S )k －32＝0(S ≠72)．因为上述方程根的判别式Δ≥0，所以(96－4S )2＋4·32(S －72)≥0，解得16S (S －40)≥0，即S ≥40，此时k ＝－1.所以，当且仅当k ＝－1时，S 有最小值40.此时，直线l 的方程为y －4＝－(x －6)，即x ＋y －10＝0.点评：此题是一道有关函数最值的综合题．如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键．怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难，教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导．变式训练如图7(1)，要在土地ABCDE 上划出一块长方形地面(不改变方向)，问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积(单位：m)．图7解：如图7(2)，建立直角坐标系，在线段AB 上任取一点P ，分别向CD ，DE 作垂线，划得一矩形土地．∵AB 方程为x 30＋y 20＝1，∴P ⎝⎛⎭⎫x ，20－2x 3(0≤x ≤30)． 则S 矩形＝(100－x )⎣⎡⎦⎤80－⎝⎛⎭⎫20－2x 3＝－23(x －5)2＋6 000＋503(0≤x ≤30)． ∴当x ＝5，y ＝503，即P ⎝⎛⎭⎫5，503时，(S 矩形)max ＝18 0503(m 2). 例2 已知直线过点P (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程． 解：因为直线与x 轴不垂直，所以可设直线的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2. ∴由题意，得12⎪⎪⎪⎪(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫－3k －2＝4. 若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫－3k －2＝－8，无解； 若(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫－3k －2＝8，解得k ＝－12，k ＝－92. ∴所求直线的方程为y －3＝－12(x ＋2)和y －3＝－92(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0和9x ＋2y ＋12＝0.点评：已知直线过一个点常选用直线方程的点斜式．例3 设△ABC 的顶点A (1,3)，边AB ，AC 上的中线所在直线的方程分别为x －2y ＋1＝0，y ＝1，求△ABC 中AB ，AC 各边所在直线的方程．活动：为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出图8，帮助思考问题．解：如图8，设AC 的中点为F ，则AC 边上的中线BF 为y ＝1.图8AB 边的中点为E ，则AB 边上中线CE 为x －2y ＋1＝0.设C 点坐标为(m ，n )．在A ，C ，F 三点中A 点已知，C 点未知，F 虽为未知但其在中线BF 上，满足y ＝1这一条件．这样用中点公式⎩⎨⎧ m ＋12＝F 点横坐标，n ＋32＝F 点纵坐标＝1.解出n ＝－1.又C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1＝0.∴m ＝－3.∴C 点为(－3，－1)．用同样的思路去求B 点．设B 点为(a ，b )，显然b ＝1.又B 点、A 点、E 点中，E 为中点，B 点为(a,1)，E 点坐标为⎝⎛⎭⎫1＋a 2，3＋12，即⎝⎛⎭⎫1＋a 2，2.E 点在CE 上，应当满足CE 的方程1＋a 2－4＋1＝0，解出a ＝5.∴B 点为(5,1)．由两点式，即可得到AB ，AC 所在直线的方程．l AB ：x ＋2y －7＝0，l AC ：x －y ＋2＝0. 点评：此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来．变式训练已知点M (1,0)，N (－1,0)，点P 为直线2x －y －1＝0上的动点，则|PM |2＋|PN |2的最小值为多少？解：∵P 点在直线2x －y －1＝0上，∴设P (x 0,2x 0－1)．∴|PM |2＋|PN |2＝(2x 0－1)2＋(x 0－1)2＋(2x 0－1)2＋(x 0＋1)2＝2(2x 0－1)2＋2x 20＋2＝10x 20－8x 0＋4＝10⎝⎛⎭⎫x 0－252＋125≥125. ∴最小值为125. 知能训练1．一条直线经过点P1(－2,3)，倾斜角α＝45°，求这条直线方程，并画出图形．2．如果设两条直线l1和l2的方程分别是l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：(1)当l1∥l2时，两条直线在y轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？(2)l1⊥l2的条件是什么？3．求直线y＝－3(x－2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30°所得的直线方程．解答：1．这条直线经过点P1(－2,3)，斜率是k＝tan45°＝1.代入点斜式方程，得y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0.这就是所求的直线方程，图形如图9所示．点评：本题是点斜式方程的直接运用，要求学生熟练掌握，并具备一定的作图能力．图92．(1)当直线l1与l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2时，直线l1∥l2的充要条件是k1＝k2，且b1≠b2.(2)l1⊥l2 k1k2＝－1.3．设直线y＝－3(x－2)的倾斜角为α，则tanα＝－ 3.又∵α∈[0°，180°)，∴α＝120°.∴所求的直线的倾斜角为120°－30°＝90°.∴直线方程为x＝2.拓展提升已知直线y＝kx＋k＋2与以A(0，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求实数k的取值范围．活动：这题要首先画出图形如图10，帮助我们找寻思路，仔细研究直线y＝kx＋k＋2，我们发现它可以变为y－2＝k(x＋1)，这就可以看出，这是过(－1,2)点的一组直线．设这个定点为P(－1,2)．图10解：我们设P A的倾斜角为α1，PC的倾斜角为α，PB的倾斜角为α2，且α1≤α≤α2.则k1＝tanα1≤k≤k2＝tanα2.又k 1＝2＋3－1＝－5，k 2＝2－1－3＝－12， 则实数k 的取值范围是－5≤k ≤－12. 课堂小结通过本节学习，要求大家：1．掌握由一点和斜率导出直线方程的方法．2．掌握直线的点斜式方程．3．了解直线方程的斜截式是点斜式的特例．作业习题2—1 A 组第5题．设计感想直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线的方程的方法和途径．在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式和后面要讲的两点式都是由点斜式推出的．本节课有个基本例题，即已知直线上的一点及直线的倾斜角，求直线的方程并作图．教学时应注意让学生明确直线的倾斜角与斜率的关系，训练学生求直线的方程的书写格式及其直线的规范作图．备课资料解析几何的应用解析几何又分为平面解析几何和空间解析几何．在平面解析几何中，除了研究直线的有关性质外，主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质．在空间解析几何中，除了研究平面、直线的有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面．椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用．比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的．总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质．运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案．(设计者：张合森)第2课时整体设计教学分析本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k＝0时对两点式的讨论及变形．直线方程的两点式可由点斜式导出．若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程．由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式．三维目标1．让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程．培养学生数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础．2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．3．培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识，培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练．重点难点教学重点：直线方程两点式和截距式．教学难点：关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k＝0时对两点式方程的讨论及变形．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？我们已经会利用点斜式解答如下问题：已知直线l经过两点P1(1,2)，P2(3,5)，求直线l的方程(3x－2y＋1＝0)，那么已知两点P1(x1，x2)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，怎样用其他方法求通过这两点的直线方程呢？思路2.要学生求直线的方程，题目如下：(1)A(8，－1)，B(－2,4)；(2)A(6，－4)，B(－1,2)；(3)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)．(分别找3个同学回答上述题目的求解过程和答案，并着重要求说求k的过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢(引入课题)?推进新课新知探究提出问题①已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，求通过这两点的直线方程．②若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中有x 1＝x 2，或y 1＝y 2，此时过这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A (a,0)，与y 轴的交点为B (0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求直线l 的方程．⑤a ，b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动：①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程．师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：1°先判断是否x 1＝x 2，当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1.2°当x 1≠x 2时，利用直线的斜率公式求出斜率k ，∵x 1≠x 2，∴k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3°利用点斜式写出直线的方程．直线方程为y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，① 当y 1≠y 2时，方程①可以写成y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫作直线方程的两点式．注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同．①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称，形式更美观、更整齐，便于记忆．如果把两点式变成(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程．②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式．教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1＝x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y ＝y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件．④使学生学会用两点式求直线方程，理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形．教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程．因为直线l 经过(a,0)和(0，b )两点，将这两点的坐标代入两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a，就是x a ＋y b ＝1. 注意：x a ＋y b＝1这个方程形式对称、美观，其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距．因为x a ＋yb ＝1是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以叫作直线方程的截距式．⑤注意到截距的定义，易知a ，b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离．⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式．讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1.②当x 1＝x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y ＝y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(x 1≠x 2，y 1≠y 2)． ④x a ＋yb＝1. ⑤a ，b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离．⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式．应用示例思路1例1 求经过两点P (a,0)，Q (0，b )的直线方程(其中ab ≠0)．解：因为直线l 经过点P (a,0)，Q (0，b )，所以直线l 的两点式方程为y －0b －0＝x －a 0－a ，整理得x a ＋yb＝1. 例2 已知三角形三个顶点分别是A (－3,0)，B (2，－2)，C (0,1)，求这个三角形三边各自所在直线的方程．解：如图1，因为直线AB 过A (－3,0)，B (2，－2)两点，由两点式，得y －0x －(－3)＝－2－02－(－3)，整理，得2x ＋5y ＋6＝0，图1这就是直线AB 的方程；直线AC 过A (－3,0)，C (0,1)两点，由两点式得y －0x －(－3)＝1－00－(－3)，整理得x －3y ＋3＝0，这就是直线AC 的方程；直线BC 的斜率是k ＝1－(－2)0－2＝－32，过点C (0,1)，由点斜式得y －1＝－32(x －0)，整理得3x ＋2y －2＝0， 这就是直线BC 的方程． 变式训练已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝3，BC ＝4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程．答案：4x －3y ＋12＝0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (4,3)，M 是BC 边上的中点． (1)求AB 边所在的直线方程； (2)求中线AM 的长．解：(1)由两点式写方程得y －5－1－5＝x ＋1－2＋1，即6x －y ＋11＝0.(2)设M 的坐标为(x 0，y 0)，则由中点坐标公式得x 0＝－2＋42＝1，y 0＝－1＋32＝1. 故M (1,1)，AM ＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程． 解：设直线方程为x a ＋y b ＝1，则由题意知12ab ＝2，∴ab ＝4.又|a －b |＝3，解得a ＝4，b ＝1或a ＝1，b ＝4.则直线方程是x 4＋y 1＝1或x 1＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0.例 2 经过点A (1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．解：当截距为0时，设y ＝kx ，过点A (1,2)，则得k ＝2，即y ＝2x ； 当截距不为0时，设x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a ＝1，过点A (1,2)，则得a ＝3或a ＝－1，即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.综上，所求的直线共有3条：y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.知能训练1．求出下列直线的截距式方程：(1)横截距是3，纵截距是5；(2)横截距是10，纵截距是－7； (3)横截距是－4，纵截距是－8.2．已知如图2所示三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求这个三角形三边所在直线的方程．图2 图33．已知如图3，正方形边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程．解答：1．(1)5x ＋3y －15＝0；(2)7x －10y －70＝0；(3)2x ＋y ＋8＝0.2．根据A ，B ，C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式．AB 所在直线的方程，由两点式，得y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，即3x ＋8y ＋15＝0；BC 所在直线的方程，由斜截式，得y ＝－53x ＋2，即5x ＋3y －6＝0；AC 所在直线的方程，由截距式，得x －5＋y2＝1，即2x －5y ＋10＝0.3．由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程．而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴、y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式，x 轴、y 轴的方程可以直接写出．因为|AB |＝4，所以|OA |＝|OB |＝42＝2 2. 因此A ，B ，C ，D 的坐标分别为(22，0)，(0,22)，(－22，0)，(0，－22)． 所以AB 所在直线的方程是x22＋y 22＝1，即x ＋y －22＝0. BC 所在直线的方程是x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0.CD 所在直线的方程是x －22＋y－22＝1，即x ＋y ＋22＝0.DA 所在直线的方程是x22＋y －22＝1，即x －y －22＝0. 对称轴方程分别为x ±y ＝0，x ＝0，y ＝0.拓展提升把函数y ＝f (x )在x ＝a 及x ＝b 之间的一段图像近似地看作直线，设a ≤c ≤b ，证明：f (c )的近似值是：f (a )＋c －ab －a[f (b )－f (a )]．证明：如图4，依题意，点M ，N 的坐标分别为(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，所以直线MN 的方程为y －f (a )＝f (b )－f (a )b －a(x －a )，其中a ≤x ≤b .图4因为a ≤c ≤b ，所以当x ＝c 时，有y ＝f (a )＋f (b )－f (a )b －a (c －a )．因为在x ＝a ，x ＝b 之间的一段图像可以近似地看作直线， 所以有f (c )≈f (a )＋f (b )－f (a )b －a (c －a )，即f (c )的近似值为f (a )＋c －ab －a[f (b )－f (a )]．课堂小结通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程；理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础；了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神．作业课本本节练习第1,2题．设计感想计算机技术的发展日新月异，将计算机引进课堂是大势所趋，有条件的学校或教师可以引进或自己制作多媒体课件来辅助教学，以激发学生兴趣，达到事半功倍的效果．对制作多媒体课件介绍如下：在直角坐标系中，给出两个已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，但A 点、B 点的坐标受变量控制，即是可变的，坐标系中显示A ，B 两点决定的直线，且显示相对应的两点式表示的直线方程，当A ，B 两点不断任意变化时，直线和直线方程也随之不断变化(通过动感引发学生的兴趣)，并伴随悦耳的音乐声，只有当x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线依然存在，而直线方程显示“不存在”(并不断闪烁)，伴以提示音，且变幻的画面停滞不前，须用鼠标点击才能继续运转．对于两点式的其他变式也可以同样如法炮制．通过这些形象、生动的画面和声音能极大引发学生学习的兴趣，达到意想不到的效果，学生学过以后也会终生难忘．备课资料备用习题1．已知直线l 过点P (5,10)，且原点到它的距离为5，则直线l 的方程为________． 答案：x ＝5或3x －4y ＋25＝02．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是______．答案：[－2,0)∪(0,2]3．经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段没有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，则m 的值是________．答案：m ＝0或m ＝－125．已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程．答案：3x ＋4y ±24＝0(设计者：狄秋香)第3课时 整体设计教学分析直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础．直线方程是这一章的重点内容，在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式．掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础．三维目标1．掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2．会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力，渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想．重点难点教学重点：直线方程的一般式及各种形式的互化．教学难点：在直角坐标系中直线方程与关于x 和y 的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化．课时安排 1课时 教学过程导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢？这节课我们就来研究这个问题．思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形． (1)斜率是1，经过点A (1,8)；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是－7,7； (3)经过两点P 1(－1,6)，P 2(2,9)； (4)在y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y －8＝x －1，x －7＋y7＝1，y －69－6＝x ＋12＋1，y ＝x ＋7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合．原来它们的方程化简后均可统一写成：x －y ＋7＝0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式．推进新课新知探究提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x ，y 的二元一次方程？②关于x ，y 的一次方程的一般形式Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为零)是否都表示一条直线？③我们学习了直线方程的一般式，它与另外四种形式的关系怎样，是否可以互相转化？ ④特殊形式是否都能化一般式？一般式是否都能化特殊形式？特殊形式之间是否都能互化？⑤我们学习了直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0，系数A ，B ，C 有什么几何意义？什么场合下需要化成其他形式？各种形式有何局限性？活动：①在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y ＝kx ＋b . 当α＝90°时，它的方程可以写成x ＝x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x ，y 的二元一次方程，其中y 的系数是零．。
2016-2017学年高中数学必修二北师大版 2.1.2直线的方程教案
1.2直线方程两点式、截距式一、教材的地位与作用本节课是在学习直线的点斜式方程的基础上，引导学生根据除了已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径外探讨已知两点来求直线方程。
在求直线的方程中，直线方程的点斜式是最基本的，而直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。
在推导直线方程的两点式时，根据直线方程的点斜式这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据已知的两点猜想得到的条件求出直线的方程。
在应用直线两点式方程及截距式方程应注意满足的条件。
二、教学目标1.知识与技能：（1）理解直线方程的两点式、截距式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的两点式、截距式公式求直线方程； （3）体会直线的截距式方程的几何意义.2.过程与方法：通过让学生体会直线的点斜式方程与两点式方程的关系，培养学生的知识的互相联系性。
学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3.情感态度与价值观：再根据截距的图像性质进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
三、教学重难点教学重点: 直线的两点式方程和截距式方程，两点间的中点公式。
教学难点: ①直线的两点式方程和截距式方程的推导及应用； ②两种形式方程表示直线的局限性。
四、教法学法、教具本节课主要采取“分析法”“讨论法”“归纳法”相结合进行教学，同时还利用多媒体进行辅助，增强动感和直观性。
五、教学过程设计 温故知新（1）点斜式：11()y y k x x -=-，当l 的90 α=时, l 的方程为1.x x =（2）斜截式: y kx b =+，其中b 称为直线在y 轴上的截距1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点12(12),(35)P P ，，，求直线l 的方程 2121523312y y k x x --===--，点斜式32(1)2y x -=-由上述过程，我们可以看出，已知直线上两点坐标，便可得到直线方程，也即我们通常所说的“两点确定一条直线”，那么，能否将12(12),(35)P P ，，的坐标推广到一般呢?这也就是我们这节课将要研究的问题. （2）已知直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，求直线l 的方程211121()y y y y x x x x --=--设计意图：遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。
高中数学 第二章2.1.2 直线的方程第1课时目标导学 北师大版必修2
1.2 直线的方程第1课时直线方程的点斜式方程名称 确定条件 直线方程局限性 选择条件 点斜式 已知一点P 0(x 0，y 0)和斜率k y －y 0＝k (x －x 0)不能表示与x 轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知一点可设点斜式方程 斜截式已知斜率和在y 轴上的截距y ＝kx ＋b不能表示与x 轴垂直的直线①已知在y 轴上的截距；②已知斜率可设斜截式方程预习交流1方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程y －y 0x －x 0＝k 表示的直线是否相同？ 提示：不相同．前者表示整条直线，而后者表示少了点(x 0，y 0)的直线． 预习交流2当直线l 经过点P (x 0，y 0)且与x 轴垂直时，它的方程是什么？ 提示：x ＝x 0. 2．直线的截距方程y ＝kx ＋b 叫作直线的斜截式方程，其中k 为斜率，b 叫作直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．预习交流3直线在y 轴上的截距和直线与y 轴交点到原点的距离有什么关系？提示：直线在y 轴上的截距是它与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y 轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y 轴交点到原点距离的相反数．预习交流4(1)经过点A (－3，－3)，斜率为4的直线的点斜式方程是__________； (2)斜率是2，在y 轴上的截距是1的直线的斜截式方程是__________． 提示：(1)y ＋3＝4(x ＋3) (2)y ＝2x ＋11．求直线的点斜式方程根据下列条件写出直线的点斜式方程．(1)与直线y ＝－23x 有相同的斜率，且过点(－1,2)；(2)经过点(3,1)，倾斜角为135°； (3)斜率为32，与x 轴交点的横坐标为－7； (4)过点B (－1,0)，与x 轴平行； (5)过点C (－2,3)，与x 轴垂直．思路分析：直线的点斜式方程需要定点坐标和斜率两个条件，解题时首先分析所求直线的斜率是否存在，若存在，斜率是什么，再根据点斜式写出方程．解：(1)所求直线的斜率为－23，又过点(－1,2)，故所求方程为y －2＝－23(x ＋1)．(2)设直线的倾斜角为α，∵α＝135°，k ＝tan α＝tan 135°＝－1， ∴所求直线的点斜式方程为y －1＝－(x －3)．(3)由直线与x 轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7,0)． 又斜率为32，由直线的点斜式方程得y －0＝32[x －(－7)]． (4)y ＝0.(5)x ＝－2.(1)求经过点(－2，2)，倾斜角是60°的直线方程； (2)求经过点(10,3)且平行于x 轴的直线方程；(3)求经过点(－3，－2)，倾斜角是120°的直线方程．解：(1)k ＝tan 60°＝3，故所求直线的点斜式方程为y －2＝3(x ＋2)． (2)由直线与x 轴平行，得直线的斜率k ＝0. 故所求直线的方程为y ＝3.(3)由k ＝tan 120°＝－3，故所求直线的方程为y ＋2＝－3(x ＋3)．求直线的点斜式方程时，首先应确定直线的斜率，然后在直线上找一点，代入点斜式方程即可，若直线的斜率不存在，则直线方程不能写成点斜式形式．2．求直线的斜截式方程求下列直线的方程：(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行．思路分析：(1)已知斜率和在y轴上的截距，可直接利用斜截式写方程；(2)所求直线与x轴平行，此时斜率为0是特殊的直线，可以确定直线上所有点的纵坐标，再由纵坐标写直线的方程．解：(1)由斜截式可得，所求直线的方程为y＝－4x＋7；(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为2，所以所求的直线方程为y＝2.1．斜率为33，在y轴上的截距为－5的直线方程是__________．答案：y＝33x－52．直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，求直线l的方程．解：由题意知，直线l的截距为6，斜率为－2，故直线l的方程为y＝－2x＋6.1.在求直线的斜截式方程时，首先要确定直线的斜率和截距．在这里，要分清是在x轴上的截距还是在y轴上的截距．另外，还要区分好截距和距离是两个不同的概念．截距可以取一切实数，即可为正数、负数、零，而距离只能是非负数．2．一般地，在设直线方程时，若已知点的坐标，可用点斜式；若已知直线斜率，可设斜截式．3．点斜式方程的综合应用直线l 的斜率为14，且和两坐标轴围成面积为2的三角形，求直线l 的方程．思路分析：已知斜率，且与坐标轴上的截距有关，因此可设截距式y ＝14x ＋b ，利用直线l 和两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线l 的方程．解：∵直线l 的斜率为14，故设直线l 的方程为y ＝14x ＋b .令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－4b .由直线l 和两坐标轴围成的三角形的面积为2，可得12×|－4b |×|b |＝2，∴b 2＝1，解得b ＝±1.故所求直线l 的方程为y ＝14x ±1.斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l 的方程．解：设直线的斜截式方程为y ＝－43x ＋b ，令x ＝0，则y ＝b ；令y ＝0，则x ＝34b ，由|b |＋34|b |＋b －02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－34b 2＝9， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋34＋54|b |＝9，得|b |＝3，即b ＝±3， ∴所求直线的方程为y ＝－43x ±3.解决此类问题的常用方法是待定系数法，首先设出直线方程，然后根据已知条件求出待定系数来．方程的思想是解答此类题目的重要手段．1．直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可以表示( )． A ．任何一条直线 B ．不过原点的直线 C ．不与坐标轴垂直的直线 D ．不与x 轴垂直的直线答案：D2．过点P (－2,0)，斜率是3的直线的方程是( )． A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x ＋2 C ．y ＝3(x －2) D ．y ＝3(x ＋2) 答案：D3．直线y ＝2x －1在y 轴上的截距为( )． A ．2 B ．1C ．－1D.12答案：C 4．(1)斜率是32，在y 轴上的截距是－2的直线的斜截式方程为__________； (2)已知直线的斜截式方程是y ＝x －1，那么此直线的斜率是__________． 答案：(1)y ＝32x －2 (2)1 5．写出斜率为－2，且在y 轴上的截距为t 的直线的方程；且求t 为何值时，直线过点(4，－3)？并作出该直线的图像．解：由直线方程的斜截式，可得方程为y ＝－2x ＋t .将点(4，－3)代入方程y ＝－2x ＋t ，得－3＝－2×4＋t ，解得t ＝5，故当t ＝5时，直线通过点(4，－3)．直线y ＝－2x ＋5的图像如图所示．。
高中数学 2.1.2 直线的方程2教案 北师大版必修2
2.1.2 直线的方程(2)教学目标：1．掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况2．能够根据条件熟练地求出直线的方程教学重点：直线方程的两点式、截距式的推导及适用范围教学难点：根据条件熟练地求出直线的方程教学过程：1．问题情境问题：在几何中我们知道不同的两点确定一条直线，那如果知道直线上不同的两点坐标，如何求这条直线的方程呢？2．两点式方程已知直线l 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠，求直线l 的方程． 解：直线l 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠，∴斜率2121y y k x x -=-，代入点斜式得：211121()y y y y x x x x --=--， 当12y y ≠时，方程可写成112121y y x x y y x x --=--． 说明：(1)以上方程是由直线上的两点确定，叫做直线的两点式方程；(2)两点式方程适用范围是12x x ≠，12y y ≠，即当直线与x 轴或y 轴垂直时，直线不能用两点式方程表示． 思考：由112121y y x x y y x x --=--得()()()()121121y y x x x x y y --=--，此方程表示什么？它能表示所有的直线吗？3．截距式方程例1．已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程． 解：l 经过两点(,0)a ，(0,)b ，代入两点式得：000y x a b a --=--，即1x y a b+=． 说明：(1)以上方程是由直线在x 轴与y 轴上的截距确定，叫做直线的截距式方程；(2)截距式方程适用范围是0,0a b ≠≠．即当直线与x 轴，y 轴垂直或过原点时，直线不能用截距式方程表示．4．例题讲解例2．三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程。
北师大版高中数学必修二第二章1.2直线的方程第2课时.docx
第2课时直线方程的两点式和一般式问题导学1．直线的两点式和截距式方程活动与探究1求满足下列条件的直线的方程：(1)经过点A(－1，－5)和B(2,1)；(2)经过点A(0，－3)和B(4,0)；(3)经过点M(2,6)，且在两坐标轴上的截距相等．迁移与应用1．求满足下列条件的直线方程：(1)过点A(－2，－3)，B(－5，－6)；(2)过点A(－3，－4)，B(－3,10)；(3)在x轴上的截距为－2，在y轴上的截距为2；(4)在x轴，y轴上的截距都是4.2．求过点A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．1．已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程；若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程；若利用条件能求出x轴、y轴上的截距时，可用截距式表示方程，但不论用何种方法，最后结果通常化为一般式．2．由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，所以在利用待定系数法设直线的截距式方程求解时，要注意这一局限性，避免造成丢解．一般地，当直线在两坐标轴上的截距相等、在两坐标轴上的截距互为相反数、在x轴上的截距是在y轴上截距的k(k≠0)倍时，经过原点的直线均符合这些要求，求其方程时应分类讨论．2．直线方程的一般式活动与探究2设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.迁移与应用1．经过点(1，－3)，且斜率是直线3x＋2y－1＝0的斜率的2倍的直线方程的一般式是__________．2．如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．3．直线方程的综合应用活动与探究3已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．迁移与应用1．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )．A ．b ＞0，d ＜0，a ＜cB ．b ＞0，d ＜0，a ＞cC ．b ＜0，d ＞0，a ＞cD ．b ＜0，d ＞0，a ＜c2．若直线(3a ＋2)x ＋y ＋8＝0不过第二象限，求a 的取值范围．1．含有一个参数的直线方程一般是过定点的，解决这类问题时对一般式灵活变形后发现定点是解决问题的关键，在变形后特殊点还不明显的情况下可采用方法二的解法．2．直线在坐标系中的位置可由直线的斜率以及直线在y 轴上的截距确定，若直线斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，那么当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过第一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过第二、三、四象限．当堂检测1．过A (1,1)，B (0，－1)两点的直线方程是( )．A ．y ＋11＋1＝xB ．y －1－1＝x －1－1C ．y －10－1＝x －1－1－1D ．y ＝x2．在x 轴，y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为( )．A ．x 2＋y 3＝1B ．x 2－y 3＝1C ．y 3－x 2＝1D ．x 2＋y 3＝03．若直线mx ＋(m －2)y ＋3＝0的斜率存在，则实数m 的取值范围是( )． A ．m ≠0 B ．m ≠2 C ．m ≠0且m ≠2 D ．m ≠34．若直线3x ＋4y ＋m ＝0经过第二、三、四象限，则m 的取值范围是__________． 5．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． 求：(1)边AC 所在直线方程；(2)AC 边上的中线BD 所在直线方程．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.答案：课前预习导学 预习导引1．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 x a ＋y b＝1 Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 预习交流1 提示：不能．当x 1＝x 2或y 1＝y 2时，x 2－x 1＝0或y 2－y 1＝0，此时方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1无意义，因此不能用两点式表示．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.预习交流2 提示：若A ＝B ＝0，则方程变为C ＝0，此时该式不能表示任何直线．故直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0必须加上A ，B 不同时为0这个条件，才能表示一条直线．预习交流3 提示：当B ≠0时，直线的斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB；当B ＝0时，直线的斜率不存在，在y 轴上的截距不存在． 课堂合作探究 问题导学活动与探究1 思路分析：(1)直接根据直线方程的两点式写出方程；(2)可利用直线方程的两点式，也可利用截距式直接写出方程；(3)需要对直线在两坐标轴上的截距等于0和不等于0进行分类求解．解：(1)由两点式得：y －(－5)1－(－5)＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x －y －3＝0，此即为所求直线的方程．(2)(方法1)由两点式得：y －(－3)0－(－3)＝x －04－0，整理得3x －4y －12＝0，即直线方程为3x －4y －12＝0.(方法2)由于直线经过点(0，－3)和(4,0)，所以直线在x 轴、y 轴上的截距分别是4和－3，由截距式得x 4＋y－3＝1，整理得3x －4y －12＝0.(3)①当直线在两坐标轴上的截距相等且不等于0时，设其方程为x a ＋ya＝1，又直线经过点M (2,6)，所以2a ＋6a＝1，解得a ＝8.因此直线方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y －8＝0.②当直线在两坐标轴上的截距相等且均等于0时，设其方程为y ＝kx ，又直线经过点M (2,6)，所以6＝2k ，解得k ＝3.直线方程为y ＝3x .综上，直线的方程为x ＋y －8＝0或y ＝3x .迁移与应用 1．解：(1)y －(－3)－6－(－3)＝x －(－2)－5－(－2)，整理得x －y －1＝0.(2)∵直线与x 轴垂直， ∴方程为x ＝－3.(3)x －2＋y2＝1，整理得x －y ＋2＝0. (4)x 4＋y4＝1，整理得x ＋y －4＝0. 2．解：(1)当直线l 在坐标轴上截距互为相反数且不为0时，设直线l 的方程为x a ＋y－a ＝1.又l 过点A (3,4)，∴3a ＋4－a ＝1，解得 a ＝－1.∴直线l 的方程为x －1＋y1＝1，即x －y ＋1＝0.(2)当直线l 在坐标轴上截距均为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ，将(3,4)代入得k ＝43，∴直线l 的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.综上，直线l 的方程为x －y ＋1＝0或4x －3y ＝0.活动与探究2 思路分析：(1)要使直线在x 轴上的截距为－3，可令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3＝－3，但需m 2－2m －3≠0；(2)当斜率为－1时，有－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1，但需注意2m 2＋m －1≠0.解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得m ≠－1且m ≠3，由②得m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1， ④ 由③得m ≠－1且m ≠12，由④得m ＝－1或m ＝－2. ∴m ＝－2.迁移与应用 1．3x ＋y ＝0解析：由3x ＋2y －1＝0得y ＝－32x ＋12，该直线斜率为－32，从而所求直线斜率为2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，于是由点斜式可得所求直线方程为y ＋3＝－3(x －1)，整理得3x ＋y ＝0.2．C 解析：因为AC ＜0，BC ＜0，所以AB ＞0，显然B ≠0.将一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式y ＝－A B x －C B ，所以k ＝－A B ＜0，b ＝－CB＞0.所以直线不经过第三象限．活动与探究3 思路分析：先将一般式方程化为点斜式方程，然后指明直线恒过第一象限内的某点可证得第(1)问；第(2)问可先画出草图，借助图形，然后用“数形结合”法求得．(1)证明：方法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35.而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．方法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a ＋(3－5y )＝0.∵上式对任意的a 总成立，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，3－5y ＝0，即⎩⎨⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35.以下同方法一．(2)解：直线OA 的斜率为k =305105--=3. 要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x =0时，y =35a --≤0，∴a ≥3.迁移与应用 1．C 解析：由题图形可知，直线l 1的斜率－1a ＞0，在y 轴上的截距－ba＜0，因此a ＜0，b ＜0；直线l 2的斜率－1c ＞0，在y 轴上的截距－dc＞0，因此c ＜0，d ＞0.且l 1的斜率大于l 2的斜率，即－1a ＞－1c，因此a ＞c ，故选C.2．解：直线方程化为y ＝－(3a ＋2)x －8，由于该直线不过第二象限，∴－(3a ＋2)≥0，∴a ≤－23.当堂检测1．A 2．B 3．B 4．m ＞0 5．解：(1)∵A (0,4)，C (－8,0)，∴由直线的截距式方程，得x －8＋y4＝1，即为x －2y ＋8＝0.∴边AC 所在直线的方程为x －2y ＋8＝0.(2)设中点D (x 0，y 0)，由中点坐标公式，得x 0＝0－82＝－4，y 0＝4＋02＝2.由直线的两点式方程得BD 所在直线的方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即为2x －y ＋10＝0.∴AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －y ＋10＝0.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 1.2直线的方程》
讲授新课,y yk x xx x-=≠-即：问：（1）经过点000(,)P x y且倾斜角为00的直线方程是什么？答：直线与y轴垂直，直线方程为：y y=（2）经过点000(,)P x y且倾斜角为090的直线能用点斜式方程表示吗？答：直线与x轴垂直，所以直线方程为：x x=例1求下列直线的方程（1）直线l：过点()1,2，1-=k;（2）直线l：过点()1,2和点()3,3-（3）直线l过点()5,0,1-=k问：若已知直线l与y轴的交点为(0,)A b，的斜率等于k，求直线l的方程。
方程bkxy+=与我们学过的一次函数的表达式类似．我们知道，一次函数的图象是一条直线．你如何从直线方程的角度认识一次函数bkxy+=？一次函数中和b的几何意义是什么？例2：求过点()1,0，斜率为-21的直线方程？问：已知两点()112,P x x，()222,P x y，其中()1212,x x y y≠≠，求通过这两点的直线方程解：当21x x≠时，直线斜率存在，且斜率2121y ykx x-=-，学生根据斜率公式，可以得到直线的点斜式。
教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使每个学生都能推导出这个方程。
在学生得到上式后，要求学生小组讨论，并思考直线的两种特殊情况。
通过做题使学生了解方程为点斜式方程必须满足两个条件。
学生独立完成练习，并展示答案。
引入斜截式方程，让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程本课总结使学生对直线方程的理解有一个整体的认识，同时养成良好的学习习惯布置作业课后习题练习题86页87页练习第2题，第3题；课后练习89页A组第1题,第3题；课后练习89页B组第2题，第3题。
让学生思维由具体问题向含参问题过渡，给学生更多的应用数学思想的空间，分层梯度训练让学生夯实基础，逐步提高教学反思本节课通过对直线方程的推导和探究，让每一位学生都能积极主动参与到教学活动中，并且敢于发表自己的见解，调动了学生学习的兴趣，使学生的主体地位得到充分的体现，也使得本节课的重点和难点得以突破但是，在探究过程中没能把握好时间的安排，使得未能安排深入性对五类直线特殊形式问题的练习，对知识点的巩固运用形式比较单一板书设计 一．黑板布局直线的几种形式一、点斜式：二、斜截式：b kx y += 三、两点式：()1112122121,y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 四、截距式：1=+bya x （a ,b 均不为0）五、一般式：)0B A,(0B 不同时为，=++C y Ax例题解析过程：例1求下列直线的方程 例2：求过点()1,0，斜率为-21的直线方程 例3、已知直线与轴的交点为Aa,0,与轴的交点为B0,b 其中a ≠0,b ≠0,求这条直线的方程例4已知直线经过点)4,-6(A ，斜率为34-，求直线的点斜式、一般式和截距式方程 例4、。
北师大版高中数学必修2：直线的方程学案
直线方程的点斜式 第一课时[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义． 3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.【主干自填】1．直线方程的点斜式和斜截式2．垂直于坐标轴的直线3．截距的概念(1)在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的□03纵坐标． (2)在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a,0)的□04横坐标． 【即时小测】1．思考下列问题(1)若直线经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则该直线上任意一点的坐标满足什么关系？ 提示：设P (x ，y )是直线上除P 0外任意一点，那么y －y 0x －x 0＝k ，∴y －y 0＝k (x －x 0)，点P 0也满足该式，这就是直线的方程．(2)过点(2,1)且垂直于x 轴或y 轴的直线方程是怎样的？ 提示：x ＝2，y ＝1.(3)经过y 轴上一点(0，b )且斜率为k 的直线方程是什么？提示：设直线上除(0，b )外任一点坐标为(x ，y )，则y －bx＝k ，即y ＝kx ＋b .点(0，b )也满足该式，∴直线方程为y ＝kx ＋b .2．过点P (－2,0)，斜率为3的直线方程是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x ＋2 C ．y ＝3(x －2)D ．y ＝3(x ＋2)提示：D 由点斜式得y －0＝3(x ＋2)，即y ＝3(x ＋2)． 3．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 提示：C ∵直线方程y ＋2＝－x －1， 可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]， 故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.4．直线方程y ＝kx ＋b (k ＋b ＝0，k ≠0)表示的图形可能是( )提示：B 解法一：因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即k ＝－b ，所以令y ＝0，得x ＝－bk＝1，所以直线与x 轴的交点为(1,0)．只有选项B 中图形符合要求．解法二：已知k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，代入直线方程，可得y ＝－bx ＋b ，即y ＝－b (x －1)．又k ≠0，所以b ≠0，所以直线必过点(1,0)．只有选项B 中图形符合要求．解法三：由直线方程为y ＝kx ＋b ，可得直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .因为k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，即直线的斜率与直线在y 轴上的截距互为相反数．选项A 中，k >0，b >0，则k ＋b >0，不符合要求； 选项B 中，k >0，b <0，图形可能符合要求； 选项C 中，k <0，b ＝0，则k ＋b <0，不符合要求； 选项D 中，k <0，b <0，则k ＋b <0，不符合要求.例1 根据条件写出下列直线方程的点斜式．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；(3)经过原点，倾斜角为60°；(4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[解](1)直线斜率为tan45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1.(2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，∴所求直线方程为x＝4.(3)直线斜率为tan60°＝3，∴所求直线的方程为y＝3x.(4)直线斜率为0，∴直线方程为y＝1.类题通法点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存在.若存在，求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在，直接写出方程x＝x0.[变式训练1]根据下列条件写出直线方程的点斜式．(1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；(2)斜率为32，与x轴交点的横坐标为－7.解(1)设直线的倾斜角为α，∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝3，∴所求直线的点斜式方程为y－1＝3(x－3)．(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7得直线过点(－7,0)，又斜率为32，由直线方程的点斜式得y－0＝32[x－(－7)]，即y＝32(x＋7).例2 (1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．[解] (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)． 类题通法斜截式方程书写注意的问题(1)已知直线斜率或直线与y 轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．[变式训练2] 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y ＝3x －3.(2)由题意可知，直线的斜率k ＝tan60°＝3，所求直线的方程为y ＝3x ＋5. (3)由题意可知所求直线的斜率k ＝tan30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y ＝33x .例3 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． [证明] 证法一：直线l 的方程可化为 y －3＝(m －1)(x ＋2)，∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 证法二：直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)．∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限． 类题通法直线的斜截式方程的书写方法直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[变式训练3] 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.所以，k 的取值范围是{|k k ≥32.易错点⊳忽略方程的适用条件致错[典例] 已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求直线AB 的方程． [错解] 由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [错因分析] 没有讨论直线AB 的斜率是否存在(m 的取值)，而直接认为直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [正解] 当m ＝－1时，由A (－1,2)，B (－1,3)，得直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．课堂小结1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的两条反向射线的方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x －0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.1．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )A．60°，2 B．120°，2－ 3C．60°，2－ 3 D．120°，2答案 B解析该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ 3.2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，则由图知，k>0，b<0.3．斜率为4，经过(2，－3)的直线方程为________．答案y＋3＝4(x－2)4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l 的方程为________．答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.直线方程的两点式和一般式 第二课时[学习目标] 1.掌握直线方程的两点式的形式了解其适用范围． 2.了解直线方程截距式的形式、特征及适用范围．3．掌握直线的一般方程． 4.会进行直线方程不同形式的转化.【主干自填】直线方程的两点式、截距式和一般式【即时小测】1．思考下列问题(1)方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)能表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)所有的直线吗？ 提示：在方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1中，不能表示垂直于坐标轴的直线，而在(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)中因为是整式方程，又没有限制条件，所以能表示所有的直线．(2)直线的一般式方程中，A ，B 不同时为零有哪些情况？能不能用一个代数式表示？ 提示：A 、B 不同时为零的含义有三点：①A ≠0且B ≠0；②若A ＝0且B ≠0；③若B ＝0且A ≠0.以上三种情况可用统一的代数式A 2＋B 2≠0表示．2．直线2x －y ＝8的截距式方程为( ) A ．y ＝2x －8 B.x 4＋x8＝1C.x 4＋y －8＝0D.x 4＋y－8＝1 提示：D 方程2x －y ＝8中，令x ＝0，得y ＝－8；令y ＝0，得x ＝4；即直线2x －y ＝8的纵截距为－8，横截距为4，由截距式得方程为x 4＋y－8＝1.3．如果AC <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 提示：C 因为AC <0，BC <0，所以AB >0，显然B ≠0. 将一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式y ＝－A B x －C B ，所以k ＝－A B <0，b ＝－C B>0.所以直线不通过第三象限．4．已知直线l 与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l 的方程为________． 提示：2x ＋3y －6＝0 由截距式得x 3＋y2＝1，整理可得，直线方程为2x ＋3y －6＝0.例1 求满足下列条件的直线方程． (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．[解] (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2，化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式得x 4＋y－5＝1，化简为5x －4y －20＝0.(3)①若截距为零，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若截距不为零，则l 的方程可设为x a ＋y a＝1. ∵l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a＝1，即a ＝1，∴直线l 的方程为x ＋y ＝1，即为x ＋y －1＝0.综合①②可知直线l 的方程为2x ＋3y ＝0或x ＋y －1＝0.类题通法求直线方程的注意事项(1)直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．(2)要根据不同的要求选择适当的方程形式．(3)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑．[变式训练1] 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 解 (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －－－－－＝x －50－5， 即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝5＋02＝52，y 0＝－＋－2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －－52－－，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.例2 设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值：(1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0. [解] (1)因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2， 由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. (2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1， 由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1. 类题通法直线方程的一般式与其他形式的转化(1)直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求，A ，B 不同时为0；(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．[变式训练2] 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，①2m －6m 2－2m －3＝－3，②由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1.④由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；[解] (1)证法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．证法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，5y －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同证法一． (2)要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零， 即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3. 类题通法解方程法求解含参数的直线方程的有关问题含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可以求得定点的坐标．在变形后特点如果不明显，可采用证法二的解法，即将方程变形，把x ，y 作为参数的系数，因为此式对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x ，y 的值，即为直线过的定点．[变式训练3] 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等，此时a ＝2，方程为3x ＋y ＝0.若a ≠2，由l 在两坐标轴上的截距相等，有a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可知，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1]．易错点⊳忽略截距为零的情况[典例] 已知直线l 经过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．[错解] 设直线l 的方程为x m ＋y m＝1，因为直线l 过点P (2,3)，所以2m ＋3m＝1，解得m＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.[错因分析] “截距相等”还包含截距均为零的情况，此时直线方程不能用截距式表示，错解中忽略了这种情况．[正解] 若两截距不为0，解答过程同错解，此时直线l 的方程为x ＋y －5＝0； 若两截距为0，直线过原点，此时斜率为k ＝3－02－0＝32，故此时直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 课堂小结1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式直线方程的逆向应用.1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2； ③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．过两点A (1,1)，B (0，－1)的直线方程是( ) A.y ＋1x －0＝1＋11－0 B.y －10－1＝x －10－1 C.y －10－1＝x －1－1－1D.y ＋11＋1＝x －01－0答案 D解析 由直线的两点式方程，易得y －－1－－＝x －01－0，即y ＋11＋1＝x －01－0. 3．下列说法中正确的是( )A ．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B.x 2－y 3＝1与x 2＋y3＝－1是直线的截距式方程C ．直线方程的斜截式都可以化为截距式D ．在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为x 2＋y－3＝1答案 D解析 因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，所以A 错误．因为方程x 2－y3＝1与x 2＋y3＝－1不符合截距式方程的结构特点，所以B 错误．因为斜截式的直线方程包含截距为0的情况，而此类直线不可以化为截距式，如直线y ＝2x ，所以C 错误．直线在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3，根据直线方程的截距式，可得直线的方程为x 2＋y－3＝1，所以D 正确．4．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(2，－1) 答案 D解析 y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．。
北师大版数学高一必修2教学案第二章1直线与直线的方程
直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率预习课本P61～64，思考并完成以下问题(1)直线倾斜角是怎么定义的？(2)过两点的直线的斜率公式是什么？斜率与倾斜角的关系如何？[新知初探]1．直线的倾斜角(1)概念：在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角．(2)范围：0°≤α＜180°，当直线l和x轴平行时，倾斜角为0°.2．直线的斜率(1)概念：斜率k是直线倾斜角α(α≠90°)的正切值，通常把tan_α叫作直线的斜率．(2)斜率与倾斜角对应关系：图示倾斜角(范围) α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)k＝0k＞0不存在k＜0(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝y2－y1 x2－x1.[点睛]直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．()(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．()(3)斜率公式与两点的顺序无关．()答案：(1)×(2)×(5)√2．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．答案： 33．经过两点A(3,2)，B(4,7)的直线的斜率是________．答案：54．经过两点P(1，－4)，Q(－1，－4)的直线的倾斜角是________．答案：0°直线的倾斜角[典例]设直线l45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°[解析]因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．根据题意，画出图形，如图所示：通过图像可知：当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.[答案] D求直线倾斜角的常用方法(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义求出倾斜角．(2)分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°及90°＜α＜180°.[活学活用]一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α解析：选D如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.求直线的斜率[典例](1)过原点且斜率为3的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．(2)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．①A(1,1)，B(－1，－2)；②A(－2，－3)，B(－2,3)；③A(2,2)，B(10,2)．[解析](1)因为直线l的斜率k＝33，所以直线l的倾斜角为30°，所以直线l′的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l′的斜率k′＝tan 60°＝ 3.答案： 3(2)解：①存在，k ＝－2－1－1－1＝32.②不存在，因为两点的横坐标相等，所以斜率不存在． ③存在，k ＝2－210－2＝0.求直线斜率的两种方法(1)已知直线的倾斜角α时，可根据斜率的定义，利用k ＝tan α求得． (2)已知直线上经过的两点时，可利用两点连线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1，要注意前提条件x 1≠x 2.若x 1＝x 2，则斜率不存在．当两点的横坐标含有字母时，要先讨论横坐标是否相等再确定直线的斜率．[活学活用]经过点P (2，m )和Q (2m,5)的直线的斜率等于12，则m 的值是( )A ．4B ．3C ．1或3D ．1或4解析：选B 由条件知5－m2m －2＝12.解得m ＝3.直线的倾斜角和斜率的综合应用[典例] (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围． [解] 如图所示，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使l 与线段AB 有公共点，故直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，故α的取值范围是45°≤α≤135°.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解． [活学活用]已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)， (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围． 解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.层级一 学业水平达标1．给出下列说法，正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．已知直线l 的倾斜角为120°，则直线l 的斜率为( )A ．－ 3 B. 3 C ．1D ．－22解析：选A 由题意可知，k ＝tan 120°＝－ 3.3．过点A (－3，2)与B (－2，3)的直线的倾斜角为( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135°D ．60°解析：选A k AB ＝3－2－2－(－3)＝3－23－2＝1.4．若经过A (2,1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)解析：选A 由l 的倾斜角为锐角，可知k AB ＝m －11－2＞0，即m ＜1.5．若A ，B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在D ．180°，不存在解析：选C 由于A ，B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.6．若过点A (4,2)和B (5，b )的直线与过点C (1,2)，D (3,4)的直线的斜率相等，则b 的值为________．解析：由题意，可得b －25－4＝4－23－1＝1，∴b ＝3.答案：37．已知点A (3,4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝2，则B 点的坐标为________． 解析：若B 点在x 轴上，则设B 点坐标为(x,0)， 由题意知4－03－x ＝2，解得x ＝1，即B (1,0)；若B 点在y 轴上，则设B 点坐标为(0，y )， 由题意知4－y3－0＝2，解得y ＝－2，即B (0，－2)．∴点B 的坐标可以为(1,0)或(0，－2)． 答案：(1,0)或(0，－2)8．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________． 解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k BC ，即53－a＝9a ＋75，∴a ＝2或29.答案：2或299．已知直线过点A (2m,3)，B (2，－1)，根据下列条件求m 的值． (1)直线的倾斜角为135°； (2)直线的倾斜角为90°； (3)点C (3，m )在直线上．解：(1)由题意，得3－(－1)2m －2＝tan 135°＝－1，得m ＝－1.(2)由题意，得2m ＝2，得m ＝1.(3)由题意，得3－(－1)2m －2＝m －(－1)3－2，得m ＝±3.10．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值．解：由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1.∵C 在l 上，k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1.∴a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12.层级二 应试能力达标1．设点P 在y 轴上，点N 是点M 关于y 轴的对称点，若直线PM 的斜率为k (k ≠0)，则直线PN 的斜率是( )A ．kB ．－kC.1k D ．－1k解析：选B 设P 点的坐标为(0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (－x 1，y 1)，由题意知PM 斜率为k ＝y 0－y 10－x 1，而直线PN 的斜率为y 0－y 10－(－x 1)＝－k ，故选B.2．l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．0°≤α＜90° B ．90°≤α＜180° C ．90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°解析：选C 直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的范围是90°＜α＜180°. 3．如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 1＜k 3＜k 2 C ．k 2＜k 1＜k 3 D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．4．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－1,0]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[0,2]解析：选D 由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.5．已知A (－1,2)，B (3,2)，若直线AP 与直线BP 的斜率分别为2和－2，则点P 的坐标是________．解析：设点P (x ，y )，则有y －2x ＋1＝2且y －2x －3＝－2，解得x ＝1，y ＝6，即点P 坐标是(1,6)．答案：(1,6)6．若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，斜率k ＝1＋a －2a 1－a －3＝a －1a ＋2＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：(－2,1)7．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°， 当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1，当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°.所以直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，0)∪(0，＋∞)，倾斜角α的取值范围为0°＜α＜180°.8．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图像上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率． ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图像上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)． ∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为⎣⎡⎦⎤－16，53. 1．2 直线的方程 第一课时 直线方程的点斜式预习课本P65～67，思考并完成以下问题(1)直线的点斜式方程是什么？(2)直线的斜截式方程是什么？两种形式的方程适用的条件是什么？(3)直线在y轴上的截距指的是什么？[新知初探]1．直线的点斜式与斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P0(x0，y0)和斜率k 斜率k，直线与y轴的交点为(0，b)方程形式y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b图示适用条件斜率存在2．直线在y轴上的截距(1)条件：直线的斜截式方程y＝kx＋b.(2)结论：b叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距．[点睛]点斜式与斜截式的选择条件(1)点斜式的选择条件：①已知斜率(或直线的倾斜角)；②已知直线上一点可选点斜式方程．(2)斜截式的选择条件：①已知在y轴上的截距；②已知斜率可选斜截式方程．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的任何直线．()(2)直线l的斜率为k，与x轴交点的横坐标为b，则直线方程可表示为y＝kx＋b.()(3)经过点P(x0，y0)的直线有无数条，这无数条直线都可写出点斜式方程．()答案：(1)√(2)×(3)×2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)答案：D3．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,2 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3答案：D4．直线l的点斜式方程是y＋2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是________．答案：3直线方程的点斜式[典例]根据条件写出下列直线的方程，并画出图形：(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2,8)，D(－3，－2)．[解](1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.图形如图(1)所示．(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.图形如图(2)所示．(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3.图形如图(3)所示．(4)k＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.图形如图(4)所示．求直线的点斜式方程的方法步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．[活学活用]1．过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．解析：k＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝02．斜率为32，与x轴交点的横坐标为－7的直线的点斜式方程为________．解析：由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7,0)．又斜率为3 2，所以所求直线的点斜式方程为：y－0＝32(x＋7)．答案：y－0＝32(x＋7)直线方程的斜截式[典例](1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [解](1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3，由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.直线的斜截式方程的求解策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件．(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k.[活学活用]已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1,1)，求m的值．解：由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.∵直线l过点(1,1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m,1＝2×1＋m，∴m＝－1即为所求．层级一学业水平达标1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为()A．y＝3x＋2B．y＝－3x＋2C．y＝－3x－2 D．y＝3x－2解析：选D斜率k＝tan 60°＝3，则此直线方程为y＝3x－2.3．方程y＝k(x＋4)表示()A．过点(－4,0)的所有直线B．过点(4,0)的一切直线C．过点(－4,0)且不垂直于x轴的一切直线D．过点(－4,0)且除去x轴的一切直线解析：选C显然y＝k(x＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x轴的直线．4．如果方程为y ＝kx ＋b 的直线经过二、三、四象限，那么有( ) A ．k ＞0，b ＞0 B ．k ＞0，b ＜0 C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0解析：选D 因为直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，所以直线的斜率为负值，在y 轴上的截距为负，因此k ＜0，b ＜0，故选D.5．直线y ＝ax －1a 的图像可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a 可知，斜率和在y 轴上的截距必须异号，故B 正确． 6．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．解析：由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4.答案：－47．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．解析：y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12.答案：－128．已知一条直线经过点P (1,2)，且其斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．解析：直线的斜率与y ＝2x ＋3的斜率相同，故k ＝2，又过P (1,2)，∴直线的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝09．直线l 1过点P (－1,2)，斜率为－33，把l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°角得直线l 2，求直线l 1和l 2的方程．解：直线l 1的方程是y －2＝－33(x ＋1)． 即3x ＋3y －6＋3＝0.∵k 1＝－33＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线l 2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l 2的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y －2＋3＝0.10．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3， ∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33， (1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为33， ∴所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)， 即3x －3y －6＝0. (2)∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5. 层级二 应试能力达标1．直线3x ＋2y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A ．k ＝－32，b ＝3B ．k ＝－23，b ＝－2C ．k ＝－32，b ＝－3D ．k ＝－23，b ＝－3解析：选C 由3x ＋2y ＋6＝0，得y ＝－32x －3，知k ＝－32，b ＝－3.2．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( ) A ．k 1＜k 2且b 1＜b 2 B ．k 1＜k 2且b 1＞b 2C．k1＞k2且b1＞b2D．k1＞k2且b1＜b2解析：选A设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°＜α1＜α2＜180°，所以k1＜k2.又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2.故选A.3．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)解析：选D如图，由几何性质知，OA与AB的倾斜角互补，k OA ＝3，k AB＝－3，∴直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)．4．不论m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点()A．(1,2) B．(－2,1)C．(2，－1) D．(2,1)解析：选B∵直线方程可化为y－1＝m[x－(－2)]，∴直线恒过定点(－2,1)．5．已知直线l：y＝k(x－1)＋2不经过第二象限，则k的取值范围是________．解析：由l的方程知l过定点A(1,2)，斜率为k，则k OA＝2(O为坐标原点)，如图所示，则由数形结合可得，k ≥2时满足条件． 答案：[2，＋∞) 6．给出下列四个结论： ①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确结论的序号为________．解析：①不正确．方程k ＝y －2x ＋1不含点(－1,2)；②正确；③正确；④只有k 存在时成立．答案：②③7．已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线l 的方程． 解：设所求的直线l 的方程为y ＝6x ＋b ， 令x ＝0，y ＝b ，令y ＝0，x ＝－b6，∴l 与x ，y 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－b6，0，(0，b )． 由题意，得⎝⎛⎭⎫－b62＋b 2＝37，得b ＝±6. ∴直线l 的方程为y ＝6x ±6.8．求与两坐标轴围成的三角形的周长为9，且斜率为－43的直线方程．解：设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b .令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝34b .由题意，得|b |＋34|b |＋b 2＋⎝⎛⎭⎫34b 2＝9.∴|b |＋34|b |＋54|b |＝9，∴b ＝±3.∴所求直线方程为y ＝－43x ＋3或y ＝－43x －3.第二课时 直线方程的两点式和一般式预习课本P67～69，思考并完成以下问题(1)如何由直线上的两点确定直线的方程？(2)直线的两点式方程的适用范围是什么？直线的截距式方程与两点式方程的关系是什么？(3)直线的一般式方程是什么？[新知初探]1．直线方程的两点式和截距式名称两点式截距式已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，在x，y轴上的截距分别为a，b 示意图方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围y1≠y2且x1≠x2ab≠0 [点睛]在求直线方程时，应适当选用方程的形式，并注意各种形式的适用条件，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和经过原点的直线．2．直线的一般式方程把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0叫做直线的一般式方程，简称一般式．其中系数A，B满足A，B不同时为0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．()(2)截距式可表示除过原点外的所有直线．()(3)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．()(4)平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．直线x a ＋yb ＝1(ab ＜0)的图像可能是( )答案：C3．过两点(2 015,2 016)，(2 015,2 017)的直线方程是( ) A ．x ＝2 015 B ．x ＝2 016 C ．y ＝2 015 D ．x ＋y ＝2 017答案：A4．直线x －y ＋5＝0的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．120° D ．135°答案：A直线方程的两点式和截距式[典例] (1)(1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．[解] (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2，化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1，化简得5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0. 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1， ∵直线过P (2,3)，∴2＋3a ＝1，∴a ＝5， 直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错位．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]若直线l 过点P (4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线l 的方程． 解：法一：设直线在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b . (1)当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点P (4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. (2)当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二：设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k . 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等．∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.直线方程的一般式[典例] 设直线l 根据下列条件分别确定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.[解](1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3. ②由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2. ∴m ＝－2.直线方程的几种形式的转化[活学活用]根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． (1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P 1(3，－2)，P2(5，－4)．解：(1)由点斜式得y －(－2)＝－12(x －8)，即x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式得y ＝2，即y －2＝0.(3)由截距式得x 32＋y－3＝1，即2x －y －3＝0.(4)由两点式得y －(－2)－4－(－2)＝x －35－3，即x ＋y －1＝0.直线方程的综合应用[典例] (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围． [解] (1)证明：将直线l 的方程整理为 y －35＝a ⎝⎛⎭⎫x －15， ∴直线l 的斜率为a ，且过定点A ⎝⎛⎭⎫15，35，而点A ⎝⎛⎭⎫15，35在第一象限内，故不论a 为何值，l 恒过第一象限． (2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.如图所示，要使l 不经过第二象限，需斜率a ≥k OA ＝3，∴a ≥3. 故a 的取值范围为[3，＋∞)．含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线是过同一个点的．这里对一般式灵活变形后变成点斜式是解决问题的关键．[活学活用]设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)．(1)求证：不论a 取何值，直线l 必过定点，并求出这个定点；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：直线l 的方程可变形为 (a ＋1)x ＋y ＋3－(a ＋1)＝0. 即y ＋3＝－(a ＋1)(x －1)．故不论a 取何值，直线l 恒过定点(1，－3)． (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.故a 的取值范围是(－∞，－1]．层级一 学业水平达标1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y2＝0 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y 3＝1 解析：选C 由截距式得，所求直线的方程为x 2＋y3＝1.2．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 3．直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＞0，b ＜0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0解析：选C 由于直线过第一、二、三象限，故其a ＜0，b ＞0.4．直线2x ＋y ＋7＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a ，b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7解析：选D 令x ＝0得y ＝－7，∴b ＝－7，令y ＝0得x ＝－72，∴a ＝－72.5．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0解析：选A ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上．∵点A (2,1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上．∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.6．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是________． 解析：直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32.答案：－327．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：由题意，k ＝tan 60°＝3，点斜式方程：y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y－4＝1，斜截式方程：y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝08．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为____________．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝09．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程．解：设直线方程的截距式为xa ＋1＋ya＝1. 则6a ＋1＋－2a ＝1， 解得a ＝2或a ＝1，则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.10．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点，由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.层级二 应试能力达标1．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2mm ＋2，∴2m m ＋2＝3，∴m ＝－6. 2．两条直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k (k ＞0，b ＞0，k ≠b )的图像是( )解析：选C 由k ＞0，b ＞0可知，直线l 1和l 2的倾斜角都是锐角，且在y 轴上的截距为正，所以A 、B 、D 错误．3．直线x －y －1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14 B ．2 C ．1D.12解析：选D 由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为12.4．若直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A ，B ，C 需满足条件( ) A ．A ，B ，C 同号 B ．AC ＜0，BC ＜0 C ．C ＝0，AB ＜0D ．A ＝0，BC ＜0解析：选A 将直线方程化为点斜式为y ＝－A B x －CB.由题意知直线过二、三、四象限，则有⎩⎨⎧－AB ＜0，－CB ＜0.由此可知A ，B ，C 同号．5．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________．解析：(1)过原点时，设为y ＝kx ，则k ＝－32，∴y ＝－32x .(2)不过原点时，设为x a ＋y－a ＝1，∴将点(－2,3)代入得a ＝－5，∴所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0. 答案：3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝06．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________． 解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－AB ＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3C ＝0， 所以－5B －2B ＋3C ＝0， 即C ＝73B .此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋73B ＝0.即－5x ＋y ＋73＝0，故所求直线的方程为15x －3y －7＝0. 答案：15x －3y －7＝07．求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)当直线过原点时，设为y ＝kx ，由点A (－5,2)得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12， 此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.8．一条光线从点A (3,2)发出，经x 轴反射后，通过点B (－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解：如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，显然，A ′坐标为(3，－2)，连接A ′B ，则A ′B 所在直线即为反射光线．∴由两点式可得直线A ′B 的方程为y －6－2－6＝x ＋13＋1，即2x ＋y －4＝0.同理，点B 关于x 轴的对称点为B ′(－1，－6)， 由两点式可得直线AB ′的方程为y －2－6－2＝x －3－1－3，即2x －y －4＝0，∴入射光线所在直线方程为2x －y －4＝0， 反射光线所在直线方程为2x ＋y －4＝0.1．3两条直线的位置关系预习课本P70～72，思考并完成以下问题(1)两条直线平行时，它们的斜率之间有什么关系？(2)两条直线垂直时，它们的斜率之间有什么关系？[新知初探]1．当直线是斜截式方程时，两条不重合直线l1与l2的倾斜角分别为α1，α2，当斜率存在时，设直线方程为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，则位置关系平行垂直斜率存在斜率不存在斜率存在一条斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝a2＝90°|α2－α1|＝90°α1＝0°，α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1斜率为0，l2斜率不存在图示2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条不重合直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等．()(2)斜率相等的两条直线一定平行．()(3)若两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1.()答案：(1)×(2)×(3)×2．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A ．x ＋y －1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．ax －ay －a ＝0D ．x －y ＋1＝0或ax －ay －a ＝0答案：B3．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k ＝________. 答案：－124．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________. 答案：－23两条直线平行、垂直的判定[典例] (1)l 1：3x ＋5y －6＝0，l 2：6x ＋10y ＋3＝0； (2)l 1：3x －6y ＋14＝0，l 2：2x ＋y －2＝0； (3)l 1：x ＝2，l 2：x ＝4； (4)l 1：y ＝－3，l 2：x ＝1.[解] (1)l 1：y ＝－35x ＋65，l 2：y ＝－35x －310.则k 1＝－35，b 1＝65，k 2＝－35，b 2＝－310.∵k 1＝k 2，b 1≠b 2， ∴l 1∥l 2.(2)l 1：y ＝12x ＋73，l 2：y ＝－2x ＋2.则k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝－1， ∴l 1⊥l 2.(3)∵直线l 1，l 2的斜率均不存在，且2≠4，∴l 1∥l 2. (4)∵直线l 1的斜率k 1＝0，直线l 2斜率不存在， ∴l 1⊥l 2.已知直线方程判断两条直线平行或垂直的方法[活学活用]判断下列各小题中的直线l1与l2的位置关系．(1)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(2)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)；(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．解：(1)k1＝1，k2＝2－12－1＝1，k1＝k2，∴l1∥l2或l1与l2重合．(2)k1＝0－11－0＝－1，k2＝0－32－(－1)＝－1，k1＝k2，数形结合知，l1∥l2.(3)k1＝－10，k2＝3－220－10＝110，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝40－4010－(－10)＝0，则l2∥x轴．∴l1⊥l2.利用两直线平行、垂直求直线方程[典例](1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[解]法一：∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，∴k l ＝－34. (1)设过点A 与直线l 平行的直线为l 1，∵k l ＝kl 1，∴kl 1＝－34. ∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)， 即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与直线l 垂直的直线为l 2，∵k l ·kl 2＝－1，∴⎝⎛⎭⎫－34·kl 2＝－1，∴kl 2＝43. ∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0. 法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋C ＝0，∵点(2,2)在直线上，∴3×2＋4×2＋C ＝0，∴C ＝－14.∴所求直线方程为3x ＋4y －14＝0.(2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0，∵点(2,2)在直线上，∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2，即所求直线方程为4x －3y －2＝0.直线方程的常用设法(1)过定点P (x 0，y 0)，可设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)；(2)知斜率k ，设斜截式y ＝kx ＋b ；(3)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行，设为Ax ＋By ＋m ＝0；(4)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直，设为Bx －Ay ＋n ＝0.[活学活用]若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l 的方程． 解：设直线的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)，令x ＝0，则在y 轴上的截距为b ＝－λ3； 令y ＝0，则在x 轴上的截距为a ＝－λ2， 由a ＋b ＝－λ2－λ3＝56，得λ＝－1， 所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －1＝0.利用两直线平行、垂直求参数[典例] 121l 2，l 1⊥l 2.[解] 将直线l 1化成斜截式方程为y ＝－a 4x ＋12， 当a ＝0时，l 2的方程为x ＝－1，l 1的方程为y ＝12，此时l 1⊥l 2； 当a ≠0时，l 2的斜截式方程为y ＝－1a x －1a .若⎩⎨⎧－a 4＝－1a ，12≠－1a ，即a ＝2时，l 1∥l 2；若－a 4·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，即14＝－1，矛盾，故l 1与l 2在a ≠0时不垂直． 综上，当a ＝2时，l 1∥l 2；当a ＝0时，l 1⊥l 2.在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能直观判断两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论，若用一般式的系数解题则无需讨论．[活学活用]已知直线l 1过点A (1,1)，B (3，a )，直线l 2过点M (2,2)，N (3＋a,4)．(1)若l 1∥l 2，求a 的值；(2)若l 1⊥l 2，求a 的值．解：kl 1＝a －13－1＝a －12，。
2.1.2【教学设计】《直线的方程》(北师大版)
《直线的方程》本课是北师大版普通高中数学必修二第二章第1节的内容，是高中解析几何内容的开始。
确定直线在平面直角坐标系中的表示，建立直线的方程，然后通过方程，用代数方法研究有关的几何问题解决简单的线性规划问题等。
解析几何研究问题的主要方法是坐标法，直线与方程的学习为后面学习直线与圆，直线与圆锥曲线奠定基础。
【知识与能力目标】（1）理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系；（4）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； （5）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
【过程与方法目标】在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
【情感态度价值观目标】通过让学生体会直线的方程，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
【教学重点】直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程和一般式方程。
【教学难点】直线的点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程和一般式方程的应用。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分有一根长长的线，线的一端绑着一个美丽的风筝．如果把风筝看作一个点，随着风向的变化，风筝带着线在空中画出了一条条的直线。
在平面直角坐标系中，若风筝看作一点，则过此点是否可以确定无数条直线？二、研探新知，建构概念1、电子白板投影出上面实例。
答案是肯定的。
那么在平面直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？解：(1)已知直线上一点P(x0，y0)和直线的倾斜角。
(2)已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)。
2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 1.2直线的方程》8
《直线的点斜式方程》教学设计李光一．内容解析《直线的点斜式方程》选自北师大版必修二第二章这一节，其主要内容是直线的点斜式方程和斜截式方程。
在本节课的学习中，学生们将迈出探究解析几何学的第一步，在“数”和“形”之间建立联系。
这为后续学习直线与直线的位置关系等内容，提供了重要的思想方法。
高一学生具有一定直观感知能力，也具备一次函数和直线的斜率等知识储备，但还没有尝试过用代数方法解决几何问题，同时分析论证的能力有待提高，因此在概念的推导过程中可能会比较困难。
二．目标及目标解析1目标（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系2 目标解析在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
三．教学重难点重点：通过确定直线的要素探讨直线方程的求法，掌握点斜式方程。
难点：在理解的基础上掌握直线方程的点斜式方程特征和适用范围。
四．教学问题诊断分析（1）学生能听懂建立直线的点斜式的过程,但可能会不知道为什么要这么做因此还是要跟学生讲清坐标法的实质——把几何问题转化成代数问题,用代数运算研究几何图形性质（2）由于学生没有学习“曲线与方程”,因此学生难以理解直线与直线的方程,甚至认为验证直线是方程的直线是多余的这里让学生初步理解就行,随着后面教学的深入和反复渗透,学生会逐步理解的五．教学过程设计【温故知新】如何刻画直线的方向：①直线的倾斜角α，范围 。
②倾斜角与斜率的关系 。
③已知直线上不同两点111222(,),(,)P x y P x y 且12()x x ≠，则直线的斜率为= 。
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高一数学导学案
课题：直线方程的两点式和截距式 时间：_________________ 班级：_______________ 姓名：_________________
【学习目标】灵活运用直线方程的两点式和截距式
【重点难点】灵活运用直线方程的两点式和截距式
【知识链结】
直线方程的点斜式
________________________________________
直线方程的斜截式
________________________________________
【学习过程】
问题一：
在实际生活中，如果没有测角仪器，通过求斜率来求直线方程相对较难，
而点的坐标往往更容易确定，那么，知道两个点的坐标，如何求过这两个
点的直线方程呢？
直线方程的两点式
________________________________________
⑴ 给定两点1122(,),(,)A x y B x y 是否就可以用两点式写出直线AB 的方
程？需要注意哪特殊情况.
⑵ 两点式方程变形后，是否可以表示任何过两点1122(,),(,)A x y B x y 的
直线呢？
问题二：
若已知直线l 与两坐标轴的交点(,0)a 和(0,)b （其中0ab ），试用两点
式写出直线l 的方程，所得方程是否可以转化为一个比较简捷的形式？
直线方程的截距式
________________________________________
⑴ 能用两点式表示的直线方程，就一定可以用截距式表示吗？
⑵ 如图所示，直线1234,,,l l l l 中，在两坐标轴上的截距相等的直线有哪几
例1、看课本例5并做练习2的第1题于导学案上.
例2、若直线l 的方程为1213
x y -=-，则它的截距式方程为 _______________________，斜截式方程为______________________，
直线l 与x 轴交于点____________，与y 轴交于点__________________.
例3、已知直线120mx ny ++=在x 轴、y 轴上的截距分别为3,4-，
则,m n 的值分别为___________________________________________.
例4、根据下列条件求直线方程：
⑴ 过点(2,1),(0,3)A B -
⑵ 在y 轴上的截距是5-，在x 轴上的截距是3。