江苏省苏州市工业园区2016届九年级上学期期中考试数学试题
2016-2017学年上学期九年级期中考试数学参考答案
∴易求得 A（k-2，k2-2k），B（k+2，k2+2k）……..……9 分 直线 x=1 上有一点 P，可设 P（1，m） ∵△PAB 是一个以 AB 为斜边的等腰直角三角形 ∴AM=PN，PM=BN
图2 y
x=1
∴k2-2k-m=k+2-1，1-（k-2）=k2+2k-m……..……11 分
∴ k 1 ， m 17 ……..……12 分
3
9
B
O
A
M
PN
图3
x x
3
三角形，且∠AEC=90°.
………………………………4 分
所以 CD= DE2 CE2 62 52 61 .所以 BC 的长是 2 61 .………………6 分
设点 A 到 BC 的距离为 h,由面积公式得
1 2
BC
h
SABC
,
1 2
2
61h 1 125 2
解得 h= 30 61 . 61
………………8 分
在△DCE 和△DAF 中，∵CD=AD，∠C=∠DAF，CE=AF ∴△DCE≌△DAF（SAS）……7 分 ∴DE=DF．……8 分 19、解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴ (2k 1)2 4(k 2 1) 4k 3 0 ，……3 分
解得： k 3 ． 4
……………………4 分
1
20、（1）如下图：
………………………………2 分 [来源:学*科*网Z*X*X*K]
（2）①2（2.1 到 1.7 之间都正确）
………………………………5 分
②该函数有最大值 4（其他正确性质都可以，比如从增减性的角度）． ……8 分
20．(1)作出△CDE；
2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区星海实验初级中学九年级(上)期中数学试卷+答案解析
2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区星海实验初级中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据85，95，96，98，98，则这组数据的中位数是()A.89 B.95C.96D.982.若a 是方程的一个根，则的值为()A.B.2011C.0D.20123.某农机厂四月份生产零件50万个，设该厂平均每月的增长率为x ，六月份生产零件182万个．那么x 满足的方程是()A. B.C.D.4.如表给出了二次函数的自变量x 与函数值y 的部分对应值，那么方程的一个根的近似值可能是()x 1yA. B.C.D.5.某学校女子排球队12名队员的年龄分布如图所示，则这12名队员的年龄的众数是()A.12岁B.13岁C.14岁D.15岁6.若关于x 的一元二次方程没有实数根，则m 的取值范围是()A.B.C.D.7.图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶拱桥洞的最高点离水面2m，水面宽4m，如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是()A. B. C. D.8.二次函数的图象如图所示，当时，那么当时，函数值()A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.二次函数的图像的顶点坐标是______.10.将抛物线沿y轴向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为________.11.星海秋季运动会开始前，九年级2班提前进行选手选拔，甲、乙两名50米运动员5次跑步成绩单位：秒的平均数分别为、，方差分别为、，若，，，则________的成绩更稳定．12.已知，则代数式的值为________.13.已知函数的部分图象如图，满足的x的取值范围是____.14.实数a，b，c满足，则________填“>”、“<”、“”、“”、“=”15.小强从如图所示的二次函数图象中，观察得出了下面几个信息：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④；⑤你认为其中正确的说法有_____把正确答案的序号填在横线上16.若抛物线的顶点在x轴上，且不等式的解集为或，则m 的值为________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。
九年级数学上学期阶段性学业水平测试试题苏科版
2015—2016学年度第一学期阶段性学业水平测试九年级数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号写在答题纸相应位置．．．．．．．上）1．下列图形中不一定是相似图形的是【▲】A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形 C．两个长方形D．两个正方形2．反比例函数1yx=的图象是【▲】A．线段 B．直线C．抛物线 D．双曲线3．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是【▲】A．2：3 B．： C．4：9 D．8：274．在反比例函数1kyx-=的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是【▲】A．﹣1 B．1 C．2 D．35．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO=1：2，那么下列式子正确的是【▲】A．BO：BC=1：2 B．CD：AB=2：1 C．CO：BC=1：2 D．AD：DO=3：1(第5题图) （第7题图）（第8题图）6．已知反比例函数2yx=-，下列结论不正确的是【▲】A．图象必经过点（﹣1，2） B．y随x的增大而增大C．图象分布在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0 7．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是【▲】A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．AD AB AB BC=8．如图，A、B两点在双曲线4yx=上，分别经过A、B两点向x轴，y轴作垂线段，若图中阴影部分的面积为1，则S1+S2=【▲】A．3 B．4 C．5 D．69．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是【▲】A．124xyx=--B．21xyx=--C．31xyx=--D．84xyx=--(第9题图) （第10题图）（第12题图）10．如图，点A在双曲线3yx=上，点B在双曲线kyx=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为【▲】A．6 B．9 C．10 D．12二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答．题纸相应位置．．．．．．上）11．已知反比例函数kyx=经过点（1，5），则k= ▲ ．12．如图，△ABC∽△ACP，若∠A=75°，∠APC=65°，则∠B的大小为▲ 度．13．点（﹣1，1y），（2，2y），（3，3y）均在函数6yx=的图象上，则1y，2y，3y的大小关系是▲ ．14．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AODO等于▲ ．（第14题图）（第16题图）（第17题图）15．若函数4y x=与1yx=的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是▲ ．16．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是▲ 米．17．如图，已知A（，1y），B（2，2y）为反比例函数1yx=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是▲ ．18．如图，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣2），反比例函数kyx=的图象经过顶点C，AD边交y轴于点E，若四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，则k的值等于▲ ．（第18题图）三、解答题：（本大题共10小题，共96分，请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分10分）如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．20．（本小题满分10分）如图，已知反比例函数kyx的图象经过点A（﹣3，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m），C（3，n）在该函数的图象上，试比较m与n的大小．21．（本小题满分10分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且AD CD CD BD=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．22．（本小题满分8分）去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待．经调查发现，同学的舒适度指数y与等待时间x（分）之间存在如下的关系：100yx=，求：（1）若等待时间x=5分钟时，求舒适度y的值；（2）舒适度指数不低于10时，同学才会感到舒适．函数100yx=的图象如图（x＞0），请根据图象说明，作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间？23．（本小题满分8分）在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．24．（本小题满分10分）如图，已知A（﹣4，n），B（1，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数myx的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求不等式kx+b﹣mx＜0的解集（请直接写出答案）．25．（本小题满分8分）如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB=30米，AD=20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．（1）DQ=10米时，求△APQ的面积．（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．26．（本小题满分8分）阅读理解：对于任意正实数a，b，∵（2(a b≥0，∴a﹣ab+b≥0，∴a+b ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b ab（a，b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b P当a=b，a+b有最小值P根据上述内容，回答下列问题：（1）若x＞0，4xx+的最小值为▲ ．（2）探索应用：如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣3），点P为双曲线6yx=（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．27．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，函数1y =12x（x ＞0），2y =3x-（x ＜0）的图象如图所示，点A ，B 分别是1y =12x（x ＞0），2y =3x-（x ＜0）图象上的点，连接OA ，OB ．（1）若OA 与x 轴所成的角为45°，求点A 的坐标； （2）如图1，当∠AOB =90°，求OA OB的值；（3）设函数3k y x=（x ＞0）的图象与1y =12x（x ＞0）的图象关于x 轴对称，点B 的横坐标为﹣2，过点B 作BE ⊥x 轴，点F 是y 轴负半轴上的一个动点，函数3k y x=（x ＞0）的图象上是否存在一点G ，使以点O 、F 、G 为顶点的三角形与△OBE 相似？如果存在，求出点F 的坐标，如果不存在，请说明理由．28．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C 时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．初三数学阶段性测试参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图形中不一定是相似图形的是（）A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形C．两个长方形D．两个正方形【考点】相似图形．【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误；B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故本选项错误；C、两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项正确；D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．2．反比例函数y=的图象是（）A．线段 B．直线 C．抛物线D．双曲线【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质可直接得到答案．【解答】解：∵y=是反比例函数，∴图象是双曲线．故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．3．如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A．2：3 B．：C．4：9 D．8：27【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【解答】解：两个相似三角形面积的比是（2：3）2=4：9．故选C．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．4．在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】反比例函数的性质．【分析】利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1﹣k＞0即可．【解答】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，∴1﹣k＞0，解得k＜1．故选A．【点评】本题主要考查反比例函数的性质的知识点，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．5．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO=1：2，那么下列式子正确的是（）A．BO：BC=1：2 B．CD：AB=2：1 C．CO：BC=1：2 D．AD：DO=3：1【考点】平行线分线段成比例．【分析】证明△AOB∽△DOC，得到AB：CD=AO：DO=1：2，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴△AOB∽△DOC，∴AB：CD=AO：DO=1：2，∴CD：AB=2：1，故选B．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是判断出△AOB∽△DOC．6．已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大C．图象分布在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数y=的性质，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大，即可作出判断．【解答】解：A、（﹣1，2）满足函数的解析式，则图象必经过点（﹣1，2）；B、在每个象限内y随x的增大而增大，在自变量取值范围内不成立，则命题错误；C、命题正确；D、命题正确．故选B．【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．7．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．8．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向x轴，y轴作垂线段，若图中阴影部分的面积为1，则S1+S2=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2．【解答】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4﹣1×2=6．故选D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．9．如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣【考点】相似三角形的判定与性质；函数关系式；全等三角形的判定与性质．【分析】作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG=BE=x，EG=DB=2x，然后根据平行线的性质即可求得．【解答】解：作FG⊥BC于G，∵∠DEB+∠FEC=90°，∠DEB+∠DBE=90°；∴∠BDE=∠FEG，在△DBE与△EGF中，，∴△DBE≌△EGF（AAS），∴EG=DB，FG=BE=x，∴EG=DB=2BE=2x，∴GC=y﹣3x，∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，CG：BC=FG：AB，即=，∴y=﹣．故选A．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，以及平行线的性质，辅助线的做法是解题的关键．10．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为（）A．6 B．9 C．10 D．12【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形OEBF 是矩形，得出S矩形AFOD=3，S矩形OEBF=k，根据平行线分线段成比例定理证得AB=2OD，即OE=3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，∵AB∥x轴，∴AF⊥y轴，∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，∴AF=OD，BF=OE，∴AB=DE，∵点A在双曲线y=上，∴S矩形AFOD=3，同理S矩形OEBF=k，∵AB∥OD，∴==，∴AB=2OD，∴DE=2OD，∴S矩形OEBF=3S矩形AFOD=9，∴k=9，故选B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．二．填空题（共8小题）11．已知反比例函数y=经过点（1，5），则k= 5 ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】把点（1，5）代入反比例函数y=中，可直接求k的值．【解答】解：依题意，得x=1时，y=5，所以，k=xy=5．故答案为：5【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特点．关键是设函数关系式，根据已知条件求函数关系式．12．如图，△ABC∽△ACP，若∠A=75°，∠APC=65°，则∠B的大小为40 度．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据三角形的内角和得到∠ACP=40，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠A=75°，∠APC=65°，∴∠ACP=40，∵△ABC∽△ACP，∴∠B=∠ACP=40°，故答案为：40．【点评】本题考查了相似三角形三角形的内角和，熟记相似三角形的性质是解题的关键．13．点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y3＜y2．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）代入函数y=，求出y1，y2，y3的值，并比较出其大小即可．【解答】解：∵点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数y=的图象上，∴y1==﹣6，y2==3，y3==2，∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．14．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】数形结合．【分析】利用两角对应相等易得△AOD∽△EAD，那么=．【解答】解：∵∠ADO=∠ADO，∠DOA=∠DAE=90°，∴△AOD∽△EAD，∴==．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与应用；把所求的线段的比进行相应的转移是解决本题的关键．15．若函数y=4x与y=的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是（﹣，﹣2）．【考点】反比例函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：正比例函数y=4x与反比例函数y=的图象均关于原点对称，则其交点也关于原点对称，那么（，2）关于原点的对称点为：（﹣，﹣2）．故答案为：（﹣，﹣2）．【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．16．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是8 米．【考点】相似三角形的应用．【分析】首先证明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相应数据可得答案．【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，∴=，CD=8米，故答案为：8．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形对应边成比例．17．如图，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．【解答】解：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，∴A（，2），B（2，）．在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y=ax+b（a≠0）把A、B的坐标代入得：，解得：，∴直线AB的解析式是y=﹣x+，当y=0时，x=，即P（，0）；故答案为：（，0）．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P点的位置，题目比较好，但有一定的难度18．如图，矩形ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣2），反比例函数y=的图象经过顶点C，AD边交y轴于点E，若四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，则k的值等于﹣．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】首先得出△AEB≌△GBE，再利用四边形BCDE的面积等于△ABE面积的5倍，进而得出AE与BC之间的关系，由△BCF∽△EAO，得出C点坐标，进而求出k的值．【解答】解：如图，作CF⊥y轴于F，作EG⊥BC于G，∵∠EGB=∠EAB=∠ABG=90°，∴四边形ABGE是矩形，在△AEB和△GBE中，，∴△AEB≌△GBE（SSS），∵A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（0，﹣2），∴AB直线解析式为：y=kx+b，故将两点代入得出：，解得：，故直线AB解析式为：y=﹣2x﹣2，∵AD⊥AB，AO⊥BE，∴OA2=OE•OB，即12=OE×2，∴OE=，∴E（0，）∵S四边形BCDE=5S△AEB∴S四边形BCDE=5S△GBE∴S四边形CDEG=4S△GBE∴CG=2BG=2AE=2=，∴BG=，∵∠AEO=∠CBF，∠EOA=∠CFB=90°，∴△BCF∽△EAO，∴==，∵AE=BG=，BC=BG+CG=+=∴∴===3，∴BF=3EO=，CF=3AO=3，∴OF=OB﹣BF=2﹣=，设C的坐标为（x，y）则x=3，y=﹣．故k=xy=3×（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了反比例函数的综合运用，通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标是解题关键．三．解答题（共10小题）19．如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．【考点】相似多边形的性质．【专题】计算题．【分析】由相似多边形的性质可得，AD：AB=A′D′：A′B′，∠C=∠C′，根据图中表明的数字求解即可．【解答】解：由题意得：，∴x=18，∵∠C′=360°﹣（63°+129°+78°）=90°，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠C=∠C′=90°，即α=90°．【点评】本题考查相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．20．如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B（1，m），C（3，n）在该函数的图象上，试比较m与n的大小．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据反比例函数的性质先判定图象在一、三象限，y随x的增大而减小，根据0＜1＜3，可以确定B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，从而判定m，n的大小关系．【解答】解：（1）因为反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，﹣2），把x=﹣3，y=﹣2代入解析式可得：k=6，所以解析式为：y=；（2）∵k=6＞0，∴图象在一、三象限，y随x的增大而减小，又∵0＜1＜3，∴B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，∴m＞n．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．21．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．22．去学校食堂就餐，经常会在一个买菜窗口前等待．经调查发现，同学的舒适度指数y与等待时间x（分）之间存在如下的关系：y=，求：（1）若等待时间x=5分钟时，求舒适度y的值；（2）舒适度指数不低于10时，同学才会感到舒适．函数y=的图象如图（x＞0），请根据图象说明，作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间？【考点】反比例函数的应用．【专题】应用题．【分析】函数关系式y=中，y代表舒适度指数，x（分）代表等待时间．（1）是已知x=5，代入函数解析式求得y．（2）是已知y≥10，就可以得到关于x的不等式求的x的范围．【解答】解：（1）当x=5时，舒适度y===20；（2）舒适度指数不低于10时，由图象y≥10时，0＜x≤10所以作为食堂的管理员，让每个在窗口买菜的同学最多等待10分钟．【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是根据函数关系及题目的已知条件，分别求解，要注意自变量和函数代表的实际意义．23．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换．【专题】作图题．【分析】（1）利用轴对称图形的性质进而得出对应点位置进而画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出图形即可．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．【点评】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．24．如图，已知A（﹣4，n），B（1，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】数形结合．【分析】（1）将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；将A坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）对于直线AB，令y=0求出x的值，即可确定出C坐标，三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可；（3）由两函数交点A与B的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．【解答】解：（1）∵反比例函数y=（m≠0）过点B（1，﹣4），∴m=1×（﹣4）=﹣4，∴y=﹣，将x=﹣4，y=n代入反比例解析式得：n=1，∴A（﹣4，1），∴将A与B坐标代入一次函数解析式得：，解得：，∴y=﹣x﹣3；（2）在直线y=﹣x﹣3中，当y=0时，x=﹣3，∴C（﹣3，0），即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△COB=（3×1+3×4）=；（3）不等式kx+b﹣＜0的解集是﹣4＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，其中AB=30米，AD=20米．现欲将其扩建成一个三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ经过点C．（1）DQ=10米时，求△APQ的面积．（2）当DQ的长为多少米时，△APQ的面积为1600平方米．【考点】平行线分线段成比例；一元二次方程的应用．【分析】（1）由DC∥AP，得到=，代入数据求得AP=90，于是得到结论；（2）设DQ=x米，则AQ=x+20，根据平行线分线段成比例定理得到=，得到方程=，求出AP=，解一元二次方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵DC∥AP，∴=，∴=，∴AP=90，∴S△APQ=AQ•AP=1350米2；（2）设DQ=x米，则AQ=x+20，∵DC∥AP，∴=，∴=，∴AP=，由题意得××（x+20）=1600，化简得3x2﹣200 x+1200=0，解x=60或．经检验：x=60或是原方程的根，∴DQ的长应设计为60或米．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，求三角形的面积，一元二次方程的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．26．阅读理解：对于任意正实数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2（a，b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b≥2，当a=b，a+b有最小值2．根据上述内容，回答下列问题：（1）若x＞0，x+的最小值为 4 ．（2）探索应用：如图，已知A（﹣2，0），B（0，﹣3），点P为双曲线y=（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题．【分析】（1）利用在a+b≥2得到x+≥2，即可得到x+的最小值；（2）设p（x，），则C（x，0），D（0，），则可表示出四边形ABCD面积S=AC•DB=（x+2）（+3），变形得S=（x+）+6，利用前面的结论可得四边形ABCD面积的最小值为12．此时x=，则x=2，得到OA=OC=2，OD=OB=3，利用平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，而AC⊥BD，再根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形．【解答】解：（1）4；（2）设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴四边形ABCD面积S=AC•DB=（x+2）（+3）=（x+）+6，由（1）得若x＞0，x+的最小值为4，∴四边形ABCD面积S≥×4+6=12，∴四边形ABCD面积的最小值为12．此时x=，则x=2，∴C（2，0），D（0，3），∴OA=OC=2，OD=OB=3，∴四边形ABCD是平行四边形．又AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了阅读理解题的解题方法：利用题目中给的方法或结论解决问题．也考查了利用坐标表示线段长以及平行四边形和菱形的判定方法．27．在平面直角坐标系中，函数y1=（x＞0），y2=（x＜0）的图象如图所示，点A，B分别是y1=（x＞0），y2=（x＜0）图象上的点，连接OA，OB．（1）若OA与x轴所成的角为45°，求点A的坐标；（2）如图1，当∠AO B=90°，求的值；（3）设函数y3=（x>0）的图象与y1=（x＞0）的图象关于x轴对称，点B的横坐标为﹣2，过点B作BE⊥x轴，点F是y轴负半轴上的一个动点，函数y3=（x＞0）的图象上是否存在一点G，使以点O、F、G为顶点的三角形与△OBE相似？如果存在，求出点F的坐标，如果不存在，请说明理由．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）设A（a，b），根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出ab=12，进而得出a=b=2，就可求得A的坐标；（2）过A、B分别作y轴的垂线，垂足为C、D，通过证得△AOC∽△OBD，然后根据相似三角形的性质即可求得；（3）分四种情况分别讨论求得．【解答】解：（1）设A（a，b），∵OA与x轴所成的角为45°，∴a=b，∵点A在y1=（x＞0）图象上，∴ab=12，。
2023-2024学年江苏省苏州市工业园区星湾九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省苏州市工业园区星湾学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2xy＝5B．x2+1x=2C．x2+y2＝6D．x2＝52．（3分）抛物线y＝2x2的对称轴是直线（）A．y＝0B．y＝1C．x＝0D．x＝23．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方正确的是（）A．（x+3）2＝13B．（x+3）2＝5C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝54．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝142°，点B是AĈ的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°5．（3分）下列选项是对二次函数y＝2（x﹣3）2+1的描述，其中正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的对称轴为直线x＝﹣3C．函数的最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大6．（3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（）A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G7．（3分）某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛28场．设共有x 个班参赛，根据题意可列方程为（ ）A ．x （x ﹣1）＝28B ．x(x+1)2=28C ．x(x−1)2=28D ．x （x +1）＝288．（3分）如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y =x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y =x 29(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD //x 轴分别与y 轴和抛物线C 交于点C ，D ，过点B 作EF //x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD 的值为（ ）A ．√39B ．124C ．19D ．164二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）抛物线y ＝﹣（x +2）2+6顶点坐标是 ．10．（3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣ax +1＝0有两个相等的实数根，则a 的值是 ．11．（3分）把二次函数y ＝﹣x 2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为 ．12．（3分）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点（﹣1，y 1），（2，y 2），则y 1 y 2．（填“＞”“＜”或“＝”）13．（3分）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，直接写出不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为 ．14．（3分）将半径为5的⊙O 如图折叠，折痕AB 长为6，C 为折叠后AB̂的中点，则OC 长为 ．15．（3分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解为．16．（3分）如图，正方形OABC的边长为4，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a ＜0）的图象上，则a的值为．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．（12分）解方程：（1）（x﹣5）2＝16；（2）2x2﹣1＝﹣4x；（3）5x（x+1）＝2（x+1）；（4）2x2﹣x﹣1＝0．18．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3．（1）画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出；①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；②当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围．19．（6分）已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2﹣2bx ﹣a +c ＝0，其中a ，b ，c 为△ABC 的三边．（1）若x ＝1是方程的根，判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC 的形状，并说明理由．20．（5分）已知点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB̂=DC ̂，判断弦AC 与BD 是否相等，并说明理由． 21．（7分）如图，若二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）若P （m ，﹣2）为二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2图象上一点，求m 的值．22．（6分）某品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果需要盈利700元，那么每件降价多少元？23．（7分）如图所示，⊙O 的直径AB 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）判断△ADB 的形状，并证明；（2）求BD 的长．24．（8分）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB 长度小于10米），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD 边的长为x m ，矩形面积为y m 2．（1）矩形面积y ＝ （用含x 的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m 2时，求CD 边的长；（3）能否围成面积为52m 2矩形动物场？说明理由．25．（8分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA ，OA ＝2m ，从A 处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是y ＝ax 2+bx +c （x ＞0），已知水流的最高点到OA 的水平距离是12m ，最高点离水面是94m ． （1）求二次函数表达式；（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？26．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +t 与坐标轴交于A 、C 两点，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣6与x 轴的另一交点B 的坐标为（2，0），连接BC ．（1）填空：t ＝ ，a ＝ ，b ＝ ；（2）若点Q 在直线AC 下方的抛物线上一动点，连接AQ 、CQ ，当S △AQC ＝12，求点Q 的坐标；（3）若点Q 在直线AC 下方的抛物线上一动点，当CA 恰好平分∠BCQ 时，求点Q 横坐标．27．（9分）定义：若一个函数图象中存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点（1，1）是函数y＝2x﹣1的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝2x+1，y＝x2﹣x+2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）设函数y=9x(x＞0)，y＝﹣x+b（x＞0）的图象的“等值点”分别为点A、B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，当△ABC面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣4（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W，与W2组合成的图象上恰有两个“等值点”时，请求出m的取值范围．2023-2024学年江苏省苏州市工业园区星湾学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2xy＝5B．x2+1x=2C．x2+y2＝6D．x2＝5【分析】据一元二次方程的定义即可解答．【解答】解：A．x2+2xy＝5，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；B．x2+1x=2，是分式方程，故本选项不合题意；C．x2+y2＝6，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；D．x2＝5，是一元二次方程，故本选项符合题意．故选：D．2．（3分）抛物线y＝2x2的对称轴是直线（）A．y＝0B．y＝1C．x＝0D．x＝2【分析】抛物线y＝2x2的对称轴是y轴，即直线x＝0．【解答】解：抛物线y＝2x2的对称轴为y轴，即直线x＝0．故选：C．3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方正确的是（）A．（x+3）2＝13B．（x+3）2＝5C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝5【分析】先移项得到x2﹣6x＝﹣4，再把方程两边加上9，然后把方程左边用完全平方形式表示即可．【解答】解：∵x2﹣6x+4＝0，∴x2﹣6x＝﹣4，∴x2﹣6x+9＝﹣4+9，（x﹣3）2＝5．故选：D．4．（3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝142°，点B是AĈ的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°【分析】连接OB，根据圆心角、弧、弦的关系的关系定理求出∠AOB，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：如图，连接OB，∵点B是AĈ的中点，∴∠AOB＝∠COB=12∠AOC，∵∠AOC＝142°，∴∠AOB=12×142°＝71°，由圆周角定理得：∠D=12∠AOB＝35.5°，故选：C．5．（3分）下列选项是对二次函数y＝2（x﹣3）2+1的描述，其中正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的对称轴为直线x＝﹣3C．函数的最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：对于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，∵a＝2＞0，∴图象开口向上，A选项说法错误，不符合题意；图象的对称轴为直线x＝3，B选项说法错误，不符合题意；函数的最小值为1，C选项说法正确，符合题意；当x＜3时，y随x的增大而减小，D选项说法错误，不符合题意；故选：C ．6．（3分）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C ．D 、E 、F 在小正方形的顶点上，则△ABC 的外心是（ ）A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G【分析】根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．【解答】解：根据题意可知，点D 是△ABC 外心．故选：A ．7．（3分）某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛28场．设共有x 个班参赛，根据题意可列方程为（ ）A ．x （x ﹣1）＝28B ．x(x+1)2=28C ．x(x−1)2=28D ．x （x +1）＝28【分析】利用比赛的总场数＝参赛班级数×（参赛班级数﹣1）÷2，即可列出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：x(x−1)2=28．故选：C ．8．（3分）如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y =x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y =x 29(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD //x 轴分别与y 轴和抛物线C 交于点C ，D ，过点B 作EF //x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD 的值为（ ）A ．√39B ．124C ．19D ．164【分析】设E 点坐标为（0，m ），用含m 代数式表示出A ，D ，F ，B 的坐标，进而求解．【解答】解：设E 点坐标为（0，m ），令x 2＝m ，解得x =√m ，∴点F （√m ，m ）．令x 29=m ，解得x ＝3√m ，∴点B （3√m ，m ），∴BF ＝3√m −√m =2√m ，OE ＝m ．∵AB ∥y 轴，∴点A 的横坐标与点B 的横坐标相同，为3√m ，∴y ＝（3√m ）2＝9m ，∴点A 的坐标为（3√m ，9m ）．∵CD ∥x 轴，∴点D 的纵坐标为9m ，∴x 29=9m ，∴x ＝9√m ，∴点D 的坐标为（9√m ，9m ），∴AD ＝9√m −3√m =6√m ，CE ＝9m ﹣m ＝8m ，∴S △OFBS △EAD =12BF⋅OE 12AD⋅CE =BF⋅OE AD⋅CE =√m×m 6√m×8m =124．故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）抛物线y＝﹣（x+2）2+6顶点坐标是（﹣2，6）．．【分析】根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标．【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2+6的顶点坐标是（﹣2，6），故答案为：（﹣2，6）．10．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0有两个相等的实数根，则a的值是±2．【分析】先根据已知条件可以判定判别式b2﹣4ac＝0，列出关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，（﹣a）2﹣4×1×1＝0，a2﹣4＝0，a2＝4，a＝±2．11．（3分）把二次函数y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为y＝﹣（x+1）2+3．【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到：y＝﹣（x+1）2+3．故答案为：y＝﹣（x+1）2+3．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，y1），（2，y2），则y1＞y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝1，可知离对称轴的距离越大，函数值越大．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵该函数经过点（﹣1，y1），（2，y2），|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，∴y1＞y2，故答案为：＞．13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣2＜x＜6．【分析】直接写出抛物线在x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：根据函数图象知，抛物线在x 轴上方时，﹣2＜x ＜6，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为﹣2＜x ＜6．故答案为：﹣2＜x ＜6．14．（3分）将半径为5的⊙O 如图折叠，折痕AB 长为6，C 为折叠后AB̂的中点，则OC 长为 3 ．【分析】延长OC 交AB 于N ，交圆于M ，连接OA 、OB 、AC 、BC ，由圆心角、弧、弦的关系得到AC ＝BC ，而OA ＝OB ，推出OC 垂直平分AB ，由此AN =12AB ＝3，由勾股定理求出ON =√OA 2−AN 2=4，求出MN ＝OM ﹣ON ＝1，由折叠的性质得到CN ＝MN ＝1，即可得到OC ＝ON ﹣CN ＝4﹣1＝3．【解答】解：延长OC 交AB 于N ，交圆于M ，连接OA 、OB 、AC 、BC ，∵C 为AB̂的中点， ∴AC ＝BC ，∵OA ＝OB ，∴OC 垂直平分AB ，∴AN ＝BN =12AB =12×6＝3，∵OA ＝5，∴ON =√OA 2−AN 2=4，∴MN ＝OM ﹣ON ＝5﹣4＝1，由折叠的性质得到CN ＝MN ＝1，∴OC ＝ON ﹣CN ＝4﹣1＝3．故答案为：3．15．（3分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，方程Max{1，x}＝x2﹣6的解为x＝3或x=−√7．【分析】分类讨论x的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．【解答】解：当x＞1时，方程为：x2﹣6＝x，即x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝3；∴此时x＝3，当x＜1时，方程为：x2﹣6＝1，解得：x1=√7（舍去），x2=−√7，∴x=−√7．故答案为：x＝3或x=−√7．16．（3分）如图，正方形OABC的边长为4，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为−√212．【分析】根据条件求出点B的坐标，代入解析式求出a值即可．【解答】解：如图，作BD⊥x轴垂足为点D，连接OB，∵OABC是边长为4的正方形，∴∠AOB＝45°，OB＝4√2，∵∠AOD＝15°，∴∠DOB＝30°，∴BD=12OB=2√2，OD＝2√6，∴B（﹣2√6，﹣2√2），将点B坐标代入抛物线y＝ax2（a＜0）得：﹣2√2=a×24，∴a=−√212．故答案为：−√212．三、解答题（本大题共11小题，共82分）17．（12分）解方程：（1）（x﹣5）2＝16；（2）2x2﹣1＝﹣4x；（3）5x（x+1）＝2（x+1）；（4）2x2﹣x﹣1＝0．【分析】（1）把方程两边开方得到x﹣5＝±4，然后解两个一次方程即可；（2）利用配方法得到（x+1）2=32，然后利用直接开平方法解方程；（3）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+1＝0或5x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可；（4）先利用因式分解法把方程转化2x+1＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1））（x﹣5）2＝16，x﹣5＝±4，所以x1＝1，x2＝9；（2）2x2﹣1＝﹣4x，x2+2x=1 2，x2+2x+1=12+1，（x+1）2=3 2，x +1＝±√62， 所以x 1＝﹣1+√62，x 2＝﹣1−√62；（3）5x （x +1）＝2（x +1），5x （x +1）﹣2（x +1）＝0，（x +1）（5x ﹣2）＝0，x +1＝0或5x ﹣2＝0，所以x 1＝﹣1，x 2=25；（4）2x 2﹣x ﹣1＝0，（2x +1）（x ﹣1）＝0，2x +1＝0或x ﹣1＝0，所以x 1=−12，x 2＝1．18．（6分）已知二次函数y ＝﹣x 2+2x +3．（1）画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出；①当函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围；②当﹣2＜x ＜2时，函数值y 的取值范围．【分析】（1）把二次函数的一般式转化成顶点式即可求得顶点坐标；根据5点画出函数的图象；（2）根据函数的图象即可求得．【解答】解；（1）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴函数图象的顶点坐标（1，4）；函数的图象如图：（2）根据图象可知：①函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围为﹣1＜x ＜3；②当﹣2＜x ＜2时，函数值y 的取值范围﹣5＜y ≤4．19．（6分）已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2﹣2bx ﹣a +c ＝0，其中a ，b ，c 为△ABC 的三边．（1）若x ＝1是方程的根，判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）若方程有两个相等的实数根，判断△ABC 的形状，并说明理由．【分析】（1）根据方程的解把x ＝1代入方程得到c ﹣b ＝0，即c ＝b ，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC 是等腰三角形；（2）根据根的判别式得出a ，b ，c 的关系，即可根据勾股定理的逆定理判断△ABC 的形状．【解答】解：（1）把x ＝1代入方程得，a +c ﹣2b ﹣a +c ＝0，化简得c ＝b ，则该三角形ABC 的形状为等腰三角形．（2）由题意可得方程有两个相等的实数根，则方程（a +c ）x 2﹣2bx ﹣a +c ＝0的判别式，Δ＝（﹣2b ）2﹣4a ×（a +c ）（﹣a +c ）＝0，4b 2﹣4×（c 2﹣a 2）＝0，化简可得b 2+a 2＝c 2，则该三角形ABC 的形状为直角三角形．20．（5分）已知点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，AB̂=DC ̂，判断弦AC 与BD 是否相等，并说明理由．【分析】根据等量加或减等量还是等量，得出AĈ=BD ̂，然后根据在同圆和等圆中等弧所对的弦相等即可证得．【解答】答：AC ＝BD ．证明：∵AB̂=DC ̂， ∴AB̂+BC ̂=DC ̂+BC ̂，或AB ̂−BC ̂=DC ̂−BC ̂， ∴AĈ=BD ̂， ∴AC ＝BD ．21．（7分）如图，若二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）若P （m ，﹣2）为二次函数y ＝x 2﹣x ﹣2图象上一点，求m 的值．【分析】（1）通过解方程x 2﹣x ﹣2＝0得A 、B 的坐标；（2）把P （m ，﹣2）代入y ＝x 2﹣x ﹣2得m 2﹣m ﹣2＝﹣2，然后解关于m 的方程即可．【解答】解：（1）当y ＝0时，x 2﹣x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝2，∴A （﹣1，0），B （2，0）；（2）把P （m ，﹣2）代入y ＝x 2﹣x ﹣2得m 2﹣m ﹣2＝﹣2，解得m 1＝0，m 2＝1，∴m 的值为0或1．22．（6分）某品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，如果需要盈利700元，那么每件降价多少元？【分析】设每件降价x 元，则每件盈利（40﹣x ）元，平均每天可售出（10+2x ）件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设每件降价x 元，则每件盈利（40﹣x ）元，平均每天可售出（10+2x ）件，依题意得：（40﹣x ）（10+2x ）＝700，整理得：x 2﹣35x +150＝0，解得：x 1＝5，x 2＝30．答：每件降价5元或30元．23．（7分）如图所示，⊙O 的直径AB 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）判断△ADB 的形状，并证明；（2）求BD 的长．【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠ACD ＝∠BCD ，从而可得AD̂=BD ̂，进而可得AD ＝BD ，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB ＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论：ADB 是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质，进行计算即可解答．【解答】解：（1）△ADB 是等腰直角三角形，证明：∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ，∴AD̂=BD ̂， ∴AD ＝BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴△ADB 是等腰直角三角形；（2）由（1）得：∠ADB ＝90°，AD ＝BD ，∵AB ＝6cm ，∴BD =AB √2=6√2=3√2（cm ）， ∴BD 的长为3√2．24．（8分）某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙AB 长度小于10米），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场CD 边的长为x m ，矩形面积为y m 2．（1）矩形面积y ＝ ﹣2x 2+20x （用含x 的代数式表示）；（2）当矩形动物场面积为48m 2时，求CD 边的长；（3）能否围成面积为52m 2矩形动物场？说明理由．【分析】（1）根据矩形的面积＝长×宽求解即可；（2）根据矩形动物场面积为48m 2，列一元二次方程，求解即可；（3）根据矩形动物场面积为52m 2列一元二次方程，求解即可．【解答】解：（1）根据题意，y ＝x （20﹣2x ）＝﹣2x 2+20x ，故答案为：﹣2x 2+20x ；（2）根据题意，得﹣2x 2+20x ＝48，解得x 1＝4，x 2＝6，当CD ＝6米时，AB ＝20﹣2×6＝8（米），符合题意；当CD ＝4米时，AB ＝20﹣2×4＝12（米），∵墙AB 长度小于10米，∴CD ＝4米不符合题意；∴CD 边的长为6米；（3）不能围成面积为52m 2矩形动物场，理由如下：根据题意，得﹣2x 2+20x ＝52，整理，得x 2﹣10x +26＝0，∵Δ＝100﹣4×1×26＝﹣4＜0，∴方程没有实数根，∴不能围成面积为56m 2矩形动物场．25．（8分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA ，OA ＝2m ，从A 处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．王丽芳同学根据题意在图中建立如图所示的坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是y ＝ax 2+bx +c （x ＞0），已知水流的最高点到OA 的水平距离是12m ，最高点离水面是94m ．（1）求二次函数表达式；（2）若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【分析】（1）根据抛物线的顶点式求解即可．（2）令y ＝0得到﹣（x −12）2+94=0求得抛物线与x 轴正半轴的交点坐标，其横坐标就是所求．【解答】解：（1）∵水流的最高点到OA 的水平距离是12m ，最高点离水面是916m ，OA ＝2m ，∴抛物线的顶点坐标为（12，94），A （0，2） 故设抛物线的解析式为y ＝a （x −12）2+94，∴2＝a （0−12）2+94，解得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x −12）2+94；（2）令y ＝0得到﹣（x −12）2+94=0，解得x 1＝2，x 2＝﹣1（舍去），故水池的半径至少为2米．26．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +t 与坐标轴交于A 、C 两点，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2+bx ﹣6与x 轴的另一交点B 的坐标为（2，0），连接BC ．（1）填空：t ＝ ﹣6 ，a ＝ 12 ，b ＝ 2 ；（2）若点Q 在直线AC 下方的抛物线上一动点，连接AQ 、CQ ，当S △AQC ＝12，求点Q 的坐标；（3）若点Q 在直线AC 下方的抛物线上一动点，当CA 恰好平分∠BCQ 时，求点Q 横坐标．【分析】（1）在y ＝ax 2+bx ﹣6中，令x ＝0可得C （0，﹣6），把C （0，﹣6）代入y ＝﹣x +t 得t ＝﹣6；由y ＝﹣x ﹣6得A （﹣6，0），再用待定系数法可得y =12x 2+2x ﹣6；（2）过Q 作QH ∥y 轴交AC 于H ，求得直线AC 函数表达式为y ＝﹣x ﹣6；设Q （m ，12m 2+2m ﹣6），则H （m ，﹣m ﹣6），QH ＝﹣m ﹣6﹣（12m 2+2m ﹣6）=−12m 2﹣3m ；故12×6（−12m 2﹣3m ）＝12，可解得Q （﹣2，﹣8）或（﹣4，﹣6）；（3）过A 作AD ⊥x 轴交CQ 延长线于K ，由△AOC 是等腰直角三角形，可得∠OAC ＝∠KAC ＝45°，根据CA 恰好平分∠BCQ ，即可得△ABC ≌△AKC （ASA ），故AB ＝AK ＝8，K （﹣6，﹣8），由K （﹣6，﹣8），C （0，﹣6）得直线CK 函数表达式为y =13x ﹣6，联立{y =13x −6y =12x 2+2x −6，即可解得点Q 横坐标为−103． 【解答】解：（1）在y ＝ax 2+bx ﹣6中，令x ＝0得y ＝﹣6， ∴C （0，﹣6），把C （0，﹣6）代入y ＝﹣x +t 得： ﹣6＝﹣0+t ， ∴t ＝﹣6；∴直线y ＝﹣x +t 即为直线y ＝﹣x ﹣6； 在y ＝﹣x ﹣6中，令y ＝0得x ＝﹣6， ∴A （﹣6，0），把A （﹣6，0），B （2，0）代入y ＝ax 2+bx ﹣6得： {36a −6b −6=04a +2b −6=0， 解得{a =12b =2，∴y =12x 2+2x ﹣6； 故答案为：﹣6，12，2；（2）过Q 作QH ∥y 轴交AC 于H ，如图：由A （﹣6，0），C （0，﹣6）得直线AC 函数表达式为y ＝﹣x ﹣6； 设Q （m ，12m 2+2m ﹣6），则H （m ，﹣m ﹣6），∴QH ＝﹣m ﹣6﹣（12m 2+2m ﹣6）=−12m 2﹣3m ；∵S △AQC ＝12，∴12×6（−12m 2﹣3m ）＝12，解得m ＝﹣2或m ＝﹣4， ∴Q （﹣2，﹣8）或（﹣4，﹣6）；（3）过A 作AD ⊥x 轴交CQ 延长线于K ，如图：∵A （﹣6，0），C （0，﹣6）， ∴OA ＝OC ，∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴∠OAC ＝45°， ∵∠OAK ＝90°， ∴∠OAC ＝∠KAC ＝45°， ∵CA 恰好平分∠BCQ ， ∴∠BCA ＝∠KCA ， ∵AC ＝AC ，∴△ABC ≌△AKC （ASA ）， ∴AB ＝AK ，在y =12x 2+2x ﹣6中，令y ＝0得：0=12x 2+2x ﹣6， 解得x ＝﹣6或x ＝2， ∴A （﹣6，0），B （2，0）， ∴AB ＝AK ＝8， ∴K （﹣6，﹣8），由K （﹣6，﹣8），C （0，﹣6）得直线CK 函数表达式为y =13x ﹣6， 联立{y =13x −6y =12x 2+2x −6， 解得{x =0y =−6或{x =−103y =−649，∴点Q 横坐标为−103．27．（9分）定义：若一个函数图象中存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点（1，1）是函数y ＝2x ﹣1的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y ＝2x +1，y ＝x 2﹣x +2的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；（2）设函数y =9x(x ＞0)，y ＝﹣x +b （x ＞0）的图象的“等值点”分别为点A 、B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，当△ABC 面积为3时，求b 的值；（3）若函数y ＝x 2﹣4（x ≥m ）的图象记为W 1，将其沿直线x ＝m 翻折后的图象记为W 2，当W ，与W 2组合成的图象上恰有两个“等值点”时，请求出m 的取值范围． 【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数的图象上“等值点”A （3，3），同理求出B （12b ，12b ），根据△ABC 的面积为3可得12×12|b |×|3−12b |＝3，求解即可；（3）先求出函数y ＝x 2﹣4的图象上有两个“等值点”（1−√172，1−√172），（1+√172，1+√172），再利用翻折的性质分类讨论即可．【解答】解：（1）在y ＝2x +1中，令x ＝2x +1，得x ＝﹣1， ∴函数y ＝2x +1的图象上存在“等值点”为（﹣1，﹣1）； 在y ＝x 2﹣x +2中，令x ＝x 2﹣x +2，此时Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程无解， ∴函数y ＝x 2﹣x +2的图象上不存在个“等值点”； （2）在函数y =9x （x ＞0）中，令x =9x ， 解得：x ＝3， ∴A （3，3），在函数y ＝﹣x +b 中，令x ＝﹣x +b ， 解得：x =12b （b ＞0）， ∴B （12b ，12b ），∵BC ⊥x 轴， ∴C （12b ，0），∴BC =12b ，∵△ABC 的面积为3， ∴12×12|b |×|3−12b |＝3，当0≤b ＜6时，b 2﹣6b +24＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×24＝﹣60＜0， ∴方程b 2﹣6b +24＝0没有实数根， 当b ≥6时，b 2﹣6b ﹣24＝0， 解得：b ＝3+√33，综上所述，b 的值为3+√33； （3）令x ＝x 2﹣4，解得：x =1−√172或x =1+√172， ∴函数y ＝x 2﹣4的图象上有两个“等值点”（1−√172，1−√172），（1+√172，1+√172）， ①当m ＜1−√172时，W 1，W 2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（1−√172，1−√172），（1+√172，1+√172）， 将函数y ＝x 2﹣4（x ≥m ）的图象沿直线x ＝m 翻折后为：y ＝（x ﹣2m ）2﹣4（x ＜m ）， 令x ＝（x ﹣2m ）2﹣4，整理得：x 2﹣（4m +1）x +4m 2﹣4＝0， ∵W 2的图象上不存在“等值点”， ∴Δ＜0，∴（4m +1）2﹣4（4m 2﹣4）＜0，∴m ＜−178； ②当m =1−√172时，有3个“等值点”（−1+√172，−1+√172），（1−√172，1−√172），（1+√172，1+√172）； ③当1−√172＜m ＜1+√172时，W 1，W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”； ④当m =1+√172时，W 1，W 2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（1+√172，1+√172）； ⑤当m ＞1+√172时，W 1，W 2两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当W 1，W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m ＜−178或1−√172＜m ＜1+√172．。
2024年江苏省苏州市苏州工业园区九年级中考一模数学试题
2024年江苏省苏州市苏州工业园区九年级中考一模数学试题一、单选题1．2-的倒数是（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．2024苏州马拉松暨大运河马拉松系列赛（苏州站）于4月1I4日成功举行，本次赛事吸引了来自世界各地的约25000名选手同台竞技，数据25000用科学记数法可以表示为（ ） A ．32.510⨯B ．50.2510⨯C ．42.510⨯D ．32510⨯3．下列等式成立的是（ ） A ．22()()a b a b a b -=+- B ．222()a b a b +=+ C ．()ax ay a a x y +-=+D ．221(1)a a a ++=+4．如图，将长为6的矩形纸片沿虚线折成一个无盖三棱柱，则图中a 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的菱形镖盘ABCD 上，其中点E 、F 、G 、H 分别是菱形各边中点，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．346．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在函数2y x b =-+的图象上，且120x x <<，则下列结论一定成立的是（ ） A ．120y y +<B ．120y y +>C ．12y y <D ．12y y >7．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长为（ ） A ．10尺B ．5尺C ．10尺或2尺D ．5尺或4尺8．现定义一种新的距离：对于平面直角坐标系内的点(,)P a b ，(,)Q c d ，将a c b d -+-称作P 、Q 两点间的“拐距”，记作(,)G P Q ，即(,)G P Q a c b d =-+-，已知点(05)A ，，动点B 在直线1y x =+上，横坐标为m ，当(,)G A B 取得最小值时，m 应满足的条件是（ ） A ．0m =B ．04m <<C ．04m ≤≤D ．4m =二、填空题9x 的取值范围是． 10．计算：23(2)x -=．11．计算：2=．12．用半径为30，圆心角为120︒的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是．13．CBA 球员的能力值从得分、盖帽、抢断、助攻、篮板等五方面按3:1:2:2:2确定，根据球员在2023-2024赛季中这五个方面的数据，浙江广厦球员胡金秋赋分后的情况如图所示，他的能力值为分．14．秋千吊绳的长度为2m ，当秋千摆动时，吊绳向两边摆动的最大角度均为30︒，秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差约为m ．（精确到0.01m ） 15．如图直线y kx =与双曲线my x=相交于点A 、B ，点C 在x 轴的负半轴上，且90ACB ∠=︒，点D 在双曲线()0n y x x =<上，线段CD 的中点E 也在双曲线()0ny x x=<上，若AC 平分OCD ∠，18ACD S =V ，则n =．16．如图，在矩形纸片ABCD 中，1AB =，BC =，点O 是对称中心，点P 、Q 分别在边AD 、BC 上，且PQ 经过点O ，将该纸片沿PQ 折叠，使点A 、B 分别落在点,A B ''的位置，则BA B ''V 面积的最大值为．三、解答题17．计算：021(3)()2cos602π---+︒．18．解不等式组：()112324x x x ⎧-<⎪⎨⎪--≤⎩． 19．先化简2344(1)11a a a a a +++-÷--，再选择一个合适的a 的值代入求值． 20．如图，在四边形ABCD 中，90B ??，AC 平分BAD ∠，过D 作DE AC ⊥，垂足为E ，且DE BC =．(1)求证：AED ABC △≌△；(2)若64BAD ∠=︒，求CDE ∠的度数．21．如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同．(1)若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是_____；(2)若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率． 22．在跨学科学习成果现场展示活动中，为了解学生最喜爱的初中数学学习项目，随机抽取了部分学生进行调查（每人只能选择一个项目），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题：(1)此次抽样调查的学生有____人，补全统计图①； (2)图②中扇形C 的圆心角为_____º；(3)已知参加展示活动的学生共有2000人，估计最喜爱“枕河人家”项目的学生人数． 23．一个高为30cm 的圆柱形玻璃杯中存有一定量的水，将大小相同的棋子轻轻投入该玻璃杯中，玻璃杯中水面的高度()cm y 会随着投入的棋子数x （枚）的变化而变化．根据表格中的信息，解答下列问题：(1)求y 与x 的函数表达式；(2)要使水不溢出玻璃杯，最多可以投入多少枚棋子？24．如图，已知二次函数211(1)42y x m x m =-+-+(0m >)的图像与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ．(1)求tan ABC ∠值；(2)作出点C 关于对称轴的对称点D ，若BDC V 是等腰三角形，求m 的值．25．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，过点D 的切线DF 交CB 的延长线于点F ，且DF AB P ．(1)求证：CD 平分ACB ∠； (2)若5AB =，3BC =，求CE 的长； (3)若8DE DC ⋅=，求O e 的半径长． 26．古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】先将正方形ABCD 、EFGH 完全重合，再将正方形EFGH 绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形IJKLMNOP ，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º；（2）若正八边形IJKLMNOP 的边长为2，则正方形ABCD 的边长为______； （3）连接AC ，则AC 与AO 之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】（4）如图③，已知正方形ABCD请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形ABCD的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）27．数学实验活动：两个正方形纸片的摆放．''''按图①方式进行摆放后，得到了8个阴将两个边长为10cm的正方形纸片ABCD、A B C D影三角形，这些三角形的周长会有怎样的特点呢？数学实验小组经过探究，有了如下3个发现：发现1：图①中的8个阴影三角形的周长之和是一个定值，这个定值为_______cm；发现2：将两个正方形按图②方式进行摆放，其中B C''经过点C，且A D''与AB、AD都相△）的周长是一个定值，请你求出这交，交点分别为E、F，则图中的阴影三角形（AEF个值；''''，使得A D''分别与AB、AD 发现3：在图②的情形下，按图③方式平移正方形纸片A B C DV相交于点G、H，B C''分别与BC、CD相交于点M、N，则图中的2个阴影三角形（AGH V）的周长之和也是一个定值，请你求出这个值．与CMN。
江苏省苏州市工业园区2013-2014学年九年级数学第一学期期中试卷(含答案)
苏州市工业园区2013-2014学年第一学期九年级数学期中试卷 苏科版第一部分（共54分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案填在答题纸相对应的位置上．．．．．．．．．．） 1．一元二次方程x 2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是（▲）A.-3B. -2C. -1D. 32.若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（▲）A ．1B ．2C ．1或2D ．03.二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（▲）A ．直线x ＝4B ．直线x ＝3C ．直线x ＝－5D ．直线x ＝－1． 4.在锐角ABC ∆中,B ,且AB=4,则ABC ∆的面积等于（▲） A ．4 B ．2 C．．5. 下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形只需已知除直角外的两个元素；③Rt △ABC 中，∠B=90°，则sin 2A+cos 2A=1；④Rt △ABC 中，∠A=90°，则C C C sin cos tan =⋅.其中真命题的有（▲）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 6. 下列四个说法中，正确的是（▲）A．一元二次方程245x x ++=有实数根； B ．一元二次方程245x x ++=C ．一元二次方程245x x ++=有实数根；D ．一元二次方程x 2+4x+5=a(a≥1)有实数根．7.若把抛物线122+-=x x y 向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线c bx x y ++=2，则（▲）A ．b =2，c =－2B ．b =－6，c =6C ．b =－8，c =14D ．b =－8，c =18 8.上午9时，一条船从A 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B 处，从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东45°和北偏东15°方向，则在B 处船与小岛M 的距离是（▲）A.20海里B.202海里C.153海里D.203海里9.已知直线y 1＝kx ＋m 和抛物线y 2＝ax2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列说法中正确的个数是（▲）⑴ a ＞0，b ＜0，c ＝0，Δ＝0； ⑵ a ＋b ＋c ＞0；⑶ 当x ＞1时，y 1和y 2都随x 的增大而增大； ⑷ 当x ＞0且x ≠2时，y 1·y 2＞0．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个题910.已知1x 和2x 是032=-+x x 的两个根，则1942231+-x x 的值（▲）A ．4 B.-4 C.0 D.1二、填空题：本大题共8小题,每小题3分,共24分．把答案直接填在答题纸相对应的位置上．11.方程022=-x x 的解是 ▲ ．12.已知抛物线422+-=bx x y 的顶点在坐标轴x 轴上，则b 的值是 ▲ ．13.若一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个实数根分别是3、b ，则a+b= ▲ ． 14.若二次函数9)1(22-++=m x m y 有最小值，且图象经过原点，则m ＝ ▲ ． 15.某手提电脑,原售价10000元/台,经连续两次降价后,现售价为4900元/台, 则平均每次降价的百分率为 ▲ ．16.如图，在平地上种植树时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ．如果在坡度为0．5题16已知关于x 的一元二次方程222x bx c ++有最 ▲ 值，该最值为18.在Rt △ABC 中，∠C ＝900，∠A 、∠B 的对边分别是、，且满足0=--b ab a ，则tanA 等于 ▲ ．第二部分（共76分）三、解答题：本大题共10小题，共76分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．把解答过程写在答题纸相对应的位置上．19. 计算：（本题满分51021(π1)2cos 454-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭°20、解方程：（本题满分10分，每小题5分）(1) 31082=+x x （2）13)2(2-=--x x x ．21.(本题满分6分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tan ∠B=cos ∠DAC. （1）求证：AC=BD ； （2）若sin ∠C=1312,BC=12,求AD22.（本题满分8分）二次函数2=ax y 列问题：（1）写出方程02=++c bx ax （2）写出不等式c bx ax ++2＞0（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量（4）若方程k c bx ax =++2求k 的取值范围．23.（本题满分6计一横二竖的等宽的、小路的宽应是多少米？24.（本题满分6测得屏幕下端D 处的仰角为30端C 处的仰角为45º．若该楼高为房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（ 3 ≈1.732，结果精确到0.1m ）．25.（本题满分7分）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．26.（本题满分8分）抛物线2y x x =--C 点 （1）求ABC S ∆；（2）抛物线y 上是否存在点M ，使S ∆说明理由．A B C D E27.(本题10分)抛物线a bx ax y 42-+=经过)0,1(-A ，)4,0(C 两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点)1,(+m m D 在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；学校 考场号_____________考试号_____________班级_____________姓名_____________成绩_____________------------------------------------------------------------装-----------订-----------线-------------------------------------------------------------二、填空题：本大题共8小题,每小题3分,共24分．11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. ______ 18.第二部分（共76分）三、解答题：本大题共10小题，共76分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字2013-2014学年第一学期期中考试试卷答案初三数学二、填空题：本大题共8小题,每小题3分,共24分．11.0,221==x x 12. 2或－2 13. 5 14. 3 15. 30％ 16.52 17. 小 ，0 18.三、解答题：本大题共10小题，共76分．19.1021(π1)2cos 454-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭°解:原式=41123+--………………（4分） =223+…………… …（5分）20．(1) 31082=+x x （2）13)2(2-=--x x x ．解：0)14)(32(=-+x x ………（3分） 解：13222-=--x x x ……（1分）41,2321=-=x x …（5分） 01222=-+x x ……（2分）4322±-=x ……（3分） 231,23121--=+-=x x ……（5分） 21．（1）证明：∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的高 ∴BC AD ⊥，︒=∠=∠90ADC ADB∴tanB=BD AD ，cos ∠DAC=ACAD… …（1分） ∵tan ∠B=cos ∠DAC.∴AC=BD … …（2分） （2）在直角△A DC 中∵sin ∠C=1312=ACAD ，设k AC k AD 13,12==,则k DC 5=… （3分） ∵AC=BD ∴k BD 13=∴1218==k BC … （4分）∴32=k … （5分）∴AC=8… （6分）22．(1)3,121-==x x （２分）(2)-3＜x ＜1 （４分） (3)X ＞-1 （６分）考场号_____________考试号_____________班级_____________姓名_____________成绩_____________------------------------------------------------------------装-----------订-----------线-------------------------------------------------------------(4)k ＜4 （８分）23．解：设小路的宽为x 米,依题意可列方程：()()⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=--811153215232x x（３分）解方程得x=1,x=31（不合题意舍去） （５分） 答：小路的宽为1米 （6分）24．解：∵∠CBE =45º CE ⊥AE ∴CE =BE ………… ……………（1分） ∵CE =26.65-1.65=25 ∴BE =25∴AE =AB +BE =30 ……………………………… ………（3分） 在Rt △ADE 中，∵∠DAE =30º ∴DE =AE ×tan30 º =30×33=10 3 ………… ………（5分） ∴CD =CE -DE =25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m) …… ………（6分） 答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m25．解：（1）由题意有22(21)40m m ∆=--≥， …（２分） 解得14m ≤． 即实数m 的取值范围是14m ≤． （3分） （2）由22120x x -=得1212()()0x x x x +-=． （4分）若120x x +=，即(21)0m --=，解得12m =．∵21＞41，12m ∴=不合题意，舍去． （5分） 若120x x -=，即12x x = 0∴∆=，由（1）知14m =．故当22120x x -=时，14m =． （7分）26．（1）∵220x x --=∴12x = 21x =- （１分） ∴AB=3 （2分） ∵OC=2 ∴3ABC S ∆= （4分） (2) 2MAB ABC S S ∆∆==6 而AB=3∴h=4 即M 的纵坐标为-4或4 （5分） 当m=-4时 224x x --=- 而∆=1-4×2<0 即无解 ∴不存在M 点 （6分）当m=4时 224x x --= 13x = 22x =- ∴12(2,4)(3,4)M M - （8分）27．(1)∵抛物线a bx ax y 42-+=经过)0,1(-A ，)4,0(C 两点∴⎩⎨⎧=-=--4404a a b a （1分）解得⎩⎨⎧=-=31b a （2分）∴抛物线的解析式432++-=x x y （3分） （2）∵点)1,(+m m D 在抛物线上， ∴4312++-=+m m m ∴1-=m 或3=m∵点D 在第一象限， ∴点)4,3(D由（1）知，OB OC =，∴︒=∠45CBA 设点D 关于直线BC 对称的点为点E ∵)4,0(C ，∴CD 平行AB ，且3=CD ∴︒=∠=∠45DCB ECB ∴点E 在y 轴上，且3==CD CE∴1=OE ，∴)1,0(E （3）如图，作AB PF ⊥于点F ，DG ⊥由（1），有4==OB OC ∴︒=∠45OBC ∵︒=∠45DBP∴PBA CBD ∠=∠∵)4,0(C ，)4,3(D ∴CD 平行AB ，且3=CD∴︒=∠=∠45CBO DCG ，∴==CG DG ∵4==OB OC ，∴24=CB∴225=-=CG BC BG∴53tan tan ==∠=∠BG DG CBD PBF （8分） 设t PF 3=，则t BF 5=，∴45-=t OF∴)3,45(t t P +- （9分） ∵点P 为抛物线上一点∴4)45(3)45(32++-++--=t t t ∴0=t （舍去）或2522=t ∴)2566,52(-P （10分）28．（1）∵折叠后使点B 与点A 重合 ∴BCD ACD ∆≅∆ 设点C （0，m ） ∴m BC -=4∴m BC AC -==4 （1分） 直角△A OC 中,222OA OC AC += 即2222)4(+=-m m ，解得23=m （2分） ∴C （0，23） （3分） （2）折叠后点B 落在边OA 上的点为'B ∴BCD CD B ∆≅∆'∵y OC x OB ==,'，则y BC C B -==4'（4分） 直角OC B '∆中,2'22'OB OC C B +=∴2222)4(+=-y y （5分） 即2812+-=x y （6分） ∵点'B 在边OA 上，有20≤≤x∴y 的取值范围是223≤≤y （7分） （3）折叠后点B 落在边OA 上的点为''B ，使D B ''平行OB则D CB OCB ''''∠=∠ ∵D CB CBD ''∠=∠ ∴C B ''平行AB∴''COB Rt ∆相似于BOA Rt ∆∴''2OB OC = （8分） 在''COB Rt ∆中，设)0('' n n OB =，则n OC 2= 由（2）的结论，得28122+-=n n∴解得548±-=n （9分） ∵0 n ∴548+-=n∴点C 的坐标（0，5816+-） （10分）。
江苏省常州市2016届九年级上学期期中考试数学试题解析(解析版)
一、选择题：本大题共8个小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.⊙O 的半径为6，点P 在⊙O 内，则OP 的长可能是【 】A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A.【解析】 试题分析：点在圆内，点到圆心的距离小于半径.故选A.考点：点与圆的位置关系.2.方程x 2＋6x －5＝0的左边配成完全平方后所得方程为【 】 A ．2)3(+x ＝14B ．2)3(-x ＝14C ．2)6(+x ＝21D ．2)3(+x ＝4【答案】A.【解析】 试题分析：移项得2265,6914,x x x x +=++=2(3)14.x ∴+=故选A. 考点：一元二次方程中的配方法.3.下列方程中，没有实数根的是【 】A ．2x －4x ＋4＝0B ．2x －2x ＋5＝0C ．2x －2x ＝0D ．2x －2x －3＝0 【答案】B.【解析】试题分析：A 项24b ac =-2(4)4140.=--⨯⨯=方程有两个相等的实数根；B 项24b ac =- 2(2)415160=--⨯⨯=-<方程没有实数根；C 项24b ac =-2(2)40=-=>方程有两个不相等的实数根；D 项24b ac =-2(2)41(3)160=--⨯⨯-=>方程有两个不相等的实数根.故选B.考点：一元二次方程根的判别式.4.已知x ＝1是关于x 的一元二次方程2x 2－x ＋a ＝0的一个根，则a 的值是 ------ 【 】A ．2B ．－2C ．1D ．－1【答案】D.【解析】试题分析：1x =是关于x 的一元二次方程220x x a -+=的一个根，2110, 1.a a ∴⨯-+=∴=-故选D. 考点：一元二次方程的根.5.如图，在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，连接OC ．若∠BCD ＝50°，则∠AOC 的大小为【 】 A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°【答案】C.【解析】 试题分析：根据切线的性质得出90,OCD ∠=进而得出40,OCB ∠=280.AOC OCB ∴∠=∠=故选C. 考点：切线的性质.6.如图，扇形的圆心角为，则图中弓形的面积为【 】ABCD【答案】C.【解析】试题分析：211=,62S ππ=扇形23(S =⨯=12S π∴==弓故选C. 考点：扇形面积的计算.7.如果等腰三角形的两边长分别是方程x 2－10x ＋21＝0的两根，那么它的周长为 - 【 】 A ．17 B ．15 C ．13 D ．13或17【答案】A.【解析】试题分析：解方程210210x x -+=得123,7,x x ==∴等腰三角形的腰长为7，底边长为3，∴等腰三角形的周长为7+7+3=17.故选A.考点：1、解一元二次方程；2、等腰三角形的性质；3、三角形三边关系.8.学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是【 】A ．221x =B ．1(1)212x x -=C ．21212x =D ．(1)21x x -=【答案】B.【解析】试题分析：设有x 个队，每个队都要赛(1)x -场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：1(1)212x x -=，故选B.考点：由实际问题抽象出一元二次方程.二、填空题（每题2分，满分16分，将答案填在答题纸上）9.一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．【答案】2，－3，1.【解析】试题分析：一元二次方程22310x x -+=的二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为1.考点：一元二次方程的一般形式.10.方程(2)(3)2x x x +-=+的解是 ．【答案】－2或4.【解析】试题分析：(2)(3)2,x x x +-=+(2)(3)(2)0,x x x ∴+--+=(2)(4)0,x x +-=122, 4.x x ∴=-= 考点：一元二次方程的解.11.若关于x 的一元二次方程x 2＋4x －a ＝0有两个实数根，则a 的取值范围是 ．【答案】 4.a ≥-【解析】试题分析：240x x a +-=有两个实数根，22444()1640,b ac a a ∴=-=-⨯-=+≥ 4.a ∴≥- 考点：一元二次方程根的判别式.12.如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x 的值为 ．【答案】1x =±【解析】试题分析：根据题意列方程得：2(1)(3)9x -⨯-=-，2(1)3,x ∴-=1211x x ∴=+=-考点：一元二次方程的应用.13.如下图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为 ．【答案】3.【解析】试题分析：圆锥的侧面是扇形，圆锥的侧面积=123 3.2⨯⨯= 考点：圆锥侧面积的计算.14.为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元．设该校为新增电脑投资的年平均增长率为x ，根据题意得方程为： ．【答案】211(1)18.59.x +=【解析】试题分析：根据题意得：211(1)18.59.x +=考点：一元二次方程的应用.15.如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的点，AO ＝AB ，则∠ACB ＝ 度．第13题图 第15题图【答案】150.【解析】试题分析：点A ，B ，C 是⊙O 上的点，,AO AB =,OA OB =AOB ∴为等边三角形，60,AOB ∴∠= 30,ABC BAC ∴∠+∠=150.ACB ∴∠=考点：1、圆周角定理；2、圆内接四边形的性质.16.如图，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（0，3），（4，3），（0，-1），则△ABC 外接圆的圆心坐标为 ．【答案】（2，1）.【解析】试题分析：根据垂径定理的推论，则作弦AB 、AC 的垂直平分线，交点1O 即为圆心，则1O 的坐标为（2,1）.考点：1、三角形的外接圆与外心；2、坐标与图形性质.三、解答题 （本大题共9小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解下列方程（每题4分，共16分）⑴ 2(2)x +＝3⑵ 2x －5x －6＝0 ⑶ 2x －6x －6＝0 ⑷ 32x －x －1＝0【答案】⑴2x =-±；⑵ 11,x =-26;x =⑶3x =±⑷x =【解析】 试题分析：（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）求出24b ac -的值，再代入公式求出即可；（4）求出24b ac -的值，再代入公式求出即可.试题解析：(1)2(2)3,2x x +=+=2x ∴=-±（2）2560,(6)(1)0,x x x x --=-+= 11,x ∴=-26;x =（3）2660,x x --=224(6)41(6)60,b ac -=--⨯⨯-=x ∴=3x =±（4）2310,x x --=224(1)43(1)13,b ac -=--⨯⨯-=x ∴= 考点：一元二次方程的解法.18.（6分）已知关于x 的方程0222=-++a x x .⑴ 若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；⑵ 若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根．【答案】（1）a 的取值范围是3a <；（2）1,a =-该方程的另一根为－3.【解析】试题分析：（1）方程有两个不相等的实数根，则240b ac ->，代入求出a 的范围即可；（2）将1x =代入原方程得出a 的值，再将a 代入原方程求出方程的另一个根即可.试题解析：⑴ 224(2)41(2)1240b ac a a -=--⨯⨯-=->，解得：3a <，∴a 的取值范围是3a <．⑵ 将1x =代入原方程得212120,a +⨯+-=1,a =-将1a =-代入原方程得2230x x +-=，3,x =-则a 的值是－1，该方程的另一根为－3．考点：1、根的判别式；2、一元二次方程的解.19.（6分）小明家的玉米产量从2012年的5吨增加到2014年的6.05吨，平均每年增长的百分率是多少？【答案】平均每年增长的百分率为10%．【解析】试题分析：要想求得平均每年的增长率，可先设其为x ，由题意可列方程，2013年的产量为5(1)x +，2014年的产量为25(1) 6.05x +=，由此解答得出答案即可.试题解析：设平均每年增长的百分率为x ，则根据题意可列方程为：25(1) 6.05x +=，解得：120.1, 2.1()x x ==-舍去.答：平均每年增长的百分率为10%．考点：一元二次方程的应用.20.（6分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，AE 是⊙O 的切线，∠CAE ＝60°．⑴ 求∠D 的度数；⑵ 当BC ＝4时，求劣弧AC 的长．【答案】（1）60;D ∠=（2）8.3π【解析】试题分析：（1）根据切线的性质得出90BAE ∠=，根据BAC BAE CAE ∠=∠-∠，求出BAC ∠的度数，再根据AB 是O 的直径，得出90ABC ∠=，求出B ∠的度数，再根据D B ∠=∠，即可得出D ∠的度数；（2）连接OC ，根据,60OB OC B =∠=，得出OBC 是等边三角形，求出4,OB OC ==60BOC ∠=，从而得出120AOC ∠=，再根据弧长公式即可得出答案.试题解析：⑴ AE 是O 的切线，,AB AE ∴⊥ 90.BAE ∴∠=60,CAE ∠=906030.BAC BAE CAE ∴∠=∠-∠=-=AB 是O 的直径，90.ABC ∴∠=60,B ∴∠= ,D B ∠=∠60.D ∴∠=（2）连接OC ，,60,OB OC B =∠=OBC ∴是等边三角形，4,OB OC ∴==60BOC ∠=，120,AOC ∴∠=∴劣弧AC 的长是：12048.1803ππ⨯= 考点：1、切线的性质；2、弧长的计算.21.（6分）如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，那么道路的宽度应该是多少？【答案】修建的路宽为2米．【解析】试题分析：把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形面积公式列方程求解即可.试题解析：设道路的宽应为x米，由题意有：(22)(17)300,x x--=解得：1237() 2.x x==舍，答：修建的路宽为2米．考点：一元二次方程的应用.22.（6分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动．P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．⑴若△PCQ的面积是△ABC面积的41，求t的值；⑵△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【答案】（1）2t=；（2）PCQ的面积不可能是ABC面积的一半，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角形的面积公式可以得出ABC面积为148162⨯⨯=，PCQ的面积为1(82)2t t⨯⨯-，由题意列出方程解答即可；（2）由等量关系12PCQ ABCS S=列方程求出t的值，但方程无解.试题解析：⑴PCQS=1(82)2t t⨯⨯-，ABCS=148162⨯⨯=,11(82)16,24t t⨯⨯-=⨯2440,t t∴-+=解得 2.t=AC P BQ⑵ 当12PCQ ABC S S =时，11(82)16,22t t ⨯⨯-=⨯2480,t t ∴-+=2(4)418160,=--⨯⨯=-< ∴此方程没有实数根，∴PCQ 的面积不可能是ABC 面积的一半．考点：一元二次方程的应用.23.（6分）商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元．已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8台．若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台．设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x 元．⑴ 填表（不需化简）：⑵ 商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元，则每台冰箱的实际售价应定为多少元？【答案】（1）表格见解析；（2）每台冰箱的实际售价应定为2750元．【解析】试题分析：（1）设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x 元，根据在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台得出结果，填表即可；（2）根据利润=售价-进价列出方程，求出方程的解即可得到结果.试题解析：⑴ 填表如下：⑵ 根据题意，可得：(400)84500050x ⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭，化简，整理得：2300225000,x x -+= 即2(150)0,x -=解得：150.x =∴实际售价定为：2900－150＝2750（元）.答：每台冰箱的实际售价应定为2750元．考点：一元二次方程的应用.24.（8分）如图，△ABC 中，∠B ＝60°，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线，交CO 延长线于点M ，CM 交⊙O 于点D ．⑴ AM 与AC 相等吗？为什么？⑵ 若AC ＝3，求MC 的长．【答案】（1）.AM AC =证明见解析；（2）MC =考点：切线的性质.25.（8分）如图，直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，交⊙O 于点P ，OA ＝5．AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ．⑴ AB 与AC 相等吗？为什么？⑵ 若PC＝O 的半径．【答案】⑴ AB AC =，证明见解析；（2） 3.r =考点：切线的性质.：。
2023-2024学年江苏省苏州市平江草桥九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区平江草桥九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）一组数据﹣2，0，3，1，﹣1的极差是（）A．2B．3C．4D．52．（3分）将一元二次方程x（x+1）＝2化为一般形式，正确的是（）A．x2+x＝2B．x2﹣x+2＝0C．x2+x﹣2＝0D．x2+2x﹣2＝03．（3分）将抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1B．y＝﹣3（x﹣2）2+1C．y＝﹣3（x+2）2﹣1D．y＝﹣3（x+2）2+14．（3分）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜25．（3分）二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4B．8C．12D．167．（3分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（）A．x1＝2，x2＝6B．x1＝﹣2，x2＝﹣6C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝1，x2＝﹣38．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当x=32时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+2n＜﹣10；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞13时，y1＞y2．其中正确的结论是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标为．10．（3分）若关于x的方程x2+mx﹣2＝0的一根为2，则m＝．11．（3分）从3名男生和2名女生中随机抽取“支援江苏、抗击疫情”志愿者，若抽取1名，则恰好抽到1名男生的概率是．12．（3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，若方差S甲2＜S乙2，则队员身高比较整齐的球队是队（填“甲”或“乙”）．13．（3分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为．14．（3分）已知点A（﹣1，a），B（3，b）均在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k上，则a b．（填“＞”“＝”或“＜”）15．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13−2022x1+x22的值是．16．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为．三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）解方程： （1）（x ﹣1）2＝16； （2）x 2+x ﹣3＝0； （3）x 2﹣3x +2＝0； （4）x+2x−2=3x+10x 2−4．18．（6分）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为 ；（2）统计的这组项数数据的平均数为 项、众数为 项、中位数为 项； （3）若该年级有800名学生，估计该年级参加4项活动的有多少人？19．（6分）在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A 唱歌、B 跳舞、C 说相声、D 弹古筝．并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序． （1）第一个节目是说相声的概率是 ； （2）求第二个节目是弹古筝的概率． 20．（8分）已知抛物线y ＝﹣x 2+2x +3．（1）抛物线与x 轴的交点坐标是 ， （直接写出结果）； （2）抛物线的顶点坐标是 （直接写出结果）； （3）画出这条抛物线大致图象，并根据图象回答；①当x 取什么值时，y ＞0； （直接写出结果） ②当﹣1＜x ＜2时，y 的取值范围是 （直接写出结果）．21．（6分）关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝x1x2﹣4，求k的值．22．（6分）如图，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A和点B．（1）根据图象，求满足kx+b≥x2﹣4x+3的x的取值范围．（2）当2≤x≤2t﹣3时，二次函数的最大值和最小值之差为4，求t的值．23．（6分）在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）．（1）求出这个二次函数的解析式；（2）请求出这名男同学比赛时的成绩？24．（6分）如图，顶点为P（3，﹣2）的抛物线与x轴交于A，B两点，AB＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q在抛物线上，且△QAB的面积为12，求点Q的坐标．25．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式：（2）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．26．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．27．（10分）【创新是民族进步的灵魂！华为一直在科技领域追求极致美学、极致工艺、极致创新．真正意义上做到遥遥领先！】我们不妨约定：若y1，y2是关于x的函数，当m≤x≤n时，总有y1﹣y2≥K（K ＞0），并存在x0满足m≤x0≤n，使得y1﹣y2＝K，我们则称函数y1对y2在[m，n]领域“K阶领先”．（1）已知一次函数y1＝﹣4x+5对y2＝2x﹣10在[﹣2，1]领域“K阶领先”，求K的值；（2）已知二次函数y1=x2+2(t+2)x+t2（t为常数）的图象与一次函数y2＝x相交于A，B两点，其横坐标分别记为x1和x2，且满足1x1+1x2=−1，请判断二次函数y1对一次函数y2能否在[t，t+1]领域“t﹣2阶领先”，请说明理由；（3）已知二次函数y1=x2+bx+c的顶点经过一次函数y＝﹣4x﹣1的图象，若二次函数y1=x2+bx+ c对一次函数y2＝﹣4x+2在[2，3]领域“2阶领先”，求二次函数y1=x2+bx+c的解析式．2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区平江草桥九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）一组数据﹣2，0，3，1，﹣1的极差是（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据极差的定义求解即可．【解答】解：数据﹣2，0，3，1，﹣1的极差是3﹣（﹣2）＝3+2＝5，故选：D．2．（3分）将一元二次方程x（x+1）＝2化为一般形式，正确的是（）A．x2+x＝2B．x2﹣x+2＝0C．x2+x﹣2＝0D．x2+2x﹣2＝0【分析】先去括号，然后把3移到方程左边即可．【解答】解：去括号得x2+x＝2，移项得x2+x﹣2＝0．故选：C．3．（3分）将抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1B．y＝﹣3（x﹣2）2+1C．y＝﹣3（x+2）2﹣1D．y＝﹣3（x+2）2+1【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为：y＝﹣3（x+2）2﹣1．故选：C．4．（3分）根据表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（）A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质．【解答】解：观察表格可知：当x＝0.5时，y＝﹣0.5；当x＝1时，y＝1，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1．故选：B．5．（3分）二次函数y＝（x﹣m）2+n的图象如图所示，则一次函数y＝mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过二、三、四象限．【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴一次函数y＝mx+n的图象经过一、三、四象限，故选：C．6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（）A．4B．8C．12D．16【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m 求得答案即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝8，∵x1＝3x2，解得x1＝6，x2＝2，∴m＝x1x2＝6×2＝12．故选：C．7．（3分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（）A．x1＝2，x2＝6B．x1＝﹣2，x2＝﹣6C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝1，x 2＝﹣3【分析】根据已知方程的解得出x +3＝1，x +3＝﹣3，求出两个方程的解即可． 【解答】解：∵方程x 2+2x ﹣3＝0的解是x 1＝1，x 2＝﹣3， ∴方程（x +3）2+2（x +3）﹣3＝0中x +3＝1或x +3＝﹣3， 解得：x ＝﹣2或﹣6， 即x 1＝﹣2，x 2＝﹣6， 故选：B ．8．（3分）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：且当x =32时，对应的函数值y ＜0．有以下结论：①abc ＞0；②m +2n ＜﹣10；③关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0的负实数根在−12和0之间；④P 1（t ﹣1，y 1）和P 2（t +1，y 2）在该二次函数的图象上，则当实数t ＞13时，y 1＞y 2．其中正确的结论是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④【分析】根据待定系数法得到二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2，根据题意代入x =32时，得到94a −32a +2＜0，解不等式求得a ＜−83，进一步求得b ＞0，c ＞0，即可判断①；由表格数据可知m ＝2a +2，n ＝42a +2，即可得出m +n ＝4a +4，由a ＜−83，即可得出m +2n ＜﹣10，即可判断②；根据抛物线的对称性可知抛物线与x 轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，即可判断③；由y 1＞y 2，根据图象上点的坐标特征求得t ＞12即可判断④．【解答】解：将（0，2），（1，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得：{c =2a +b +c =2，解得{b =−a c =2，∴二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2， ∵当x =32时，对应的函数值y ＜0， ∴94a −32a +2＜0， ∴a ＜−83，∴﹣a＞83，即b＞83，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①不正确；∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，∴m+2n＝6a+6，∵a＜−8 3，∴m+2n＜﹣10，故②正确；∵抛物线过（0，2），（1，2），∴抛物线对称轴为x=1 2，又∵当x=32时，对应的函数值y＜0，∴根据对称性：当x=−12时，对应的函数值y＜0，而x＝0时y＝2＞0，∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间，故③正确；∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），∵a＜0，∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），解得t＞12，故④不正确，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（3分）二次函数y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．【解答】解：二次函数y ＝﹣（x +1）2﹣2的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．10．（3分）若关于x 的方程x 2+mx ﹣2＝0的一根为2，则m ＝ ﹣1 ．【分析】把x ＝2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣2＝0得关于m 的方程，解方程即可．【解答】解：把x ＝2代入关于x 的方程x 2+mx ﹣2＝0得：4+2m ﹣2＝0，2m ＝﹣2，m ＝﹣1，故答案为：﹣1．11．（3分）从3名男生和2名女生中随机抽取“支援江苏、抗击疫情”志愿者，若抽取1名，则恰好抽到1名男生的概率是 35 ．【分析】先求出总人数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：∵总人数＝2+3＝5人，其中男生有3名，∴抽取1名，则恰好是1名男生的概率=35．故答案为：35． 12．（3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，若方差S 甲2＜S 乙2，则队员身高比较整齐的球队是 甲 队（填“甲”或“乙”）．【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S 甲2＜S 乙2∴队员身高比较整齐的球队是甲．故答案为：甲．13．（3分）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为 1501（1+x ）2＝1815 ．【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，列一元二次方程即可．【解答】解：根据题意，得1501（1+x）2＝1815，故答案为：1501（1+x）2＝1815．14．（3分）已知点A（﹣1，a），B（3，b）均在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k上，则a＜b．（填“＞”“＝”或“＜”）【分析】由点A比点B离对称轴的距离远，即可求解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝2，而点A比点B离对称轴的距离远，故a＜b，故答案为：“＜”．15．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13−2022x1+x22的值是4045．【分析】把x1代入原方程得x12−2022＝x1，根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=−ba=1，x1⋅x2=ca=−2022，整理x13−2022x1+x22=x1(x12−2022)+x22=x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2，即可求解．【解答】解：把x1代入原方程得：x12−x1﹣2022＝0，∴x12−2022＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2=−ba=1，x1⋅x2=ca=−2022，∴x13−2022x1+x22=x1(x12−2022)+x22=x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2＝12﹣2×（﹣2022）＝4045；故答案为：4045．16．（3分）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为−214或﹣3．【分析】分两种情形：如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可．【解答】解：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1=−12，x2＝3，则抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），B（3，0），把抛物线y＝﹣x2+2x+3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标M（1，﹣4），如图，当直线y＝x+b过点B时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴3+b＝0，解得：b＝﹣3；当直线y＝x+b与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有1个交点时，直线y＝x+b与该新图象恰好有三个公共点，即（x﹣1）2﹣4＝x+b有相等的实数解，整理得：x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，解得：b=−21 4，所以b的值为：﹣3或−21 4，故答案为：−214或﹣3．三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）解方程：（1）（x ﹣1）2＝16；（2）x 2+x ﹣3＝0；（3）x 2﹣3x +2＝0；（4）x+2x−2=3x+10x 2−4．【分析】（1）用直接开平方法对所给方程进行求解即可．（2）用公式法对所给方程进行求解即可．（3）用因式分解法对所给方程进行求解即可．（4）根据解分式方程的步骤对所给方程进行求解即可．【解答】解：（1）（x ﹣1）2＝16，则x ﹣1＝±4，所以x 1＝5，x 2＝﹣3．（2）x 2+x ﹣3＝0，Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，则x =−1±√132， 所以x 1=−1+√132，x 2=−1−√132． （3）x 2﹣3x +2＝0，（x ﹣1）（x ﹣2）＝0，则x ﹣1＝0或x ﹣2＝0，所以x 1＝1，x 2＝2．（4）x+2x−2=3x+10x 2−4，（x +2）2＝3x +10，x 2+4x +4﹣3x ﹣10＝0，x 2+x ﹣6＝0，则（x ﹣2）（x +3）＝0，所以x 1＝2，x 2＝﹣3．当x ＝2时，（x ﹣2）（x +2）＝0，所以x ＝2是原方程的增根．当x ＝﹣3时，（x ﹣2）（x +2）≠0，所以x ＝﹣3是原方程的解．18．（6分）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为 40 ；（2）统计的这组项数数据的平均数为 2 项、众数为 2 项、中位数为 2 项；（3）若该年级有800名学生，估计该年级参加4项活动的有多少人？【分析】（1）根据参与2次的学生人数和百分比求出总人数，再根据百分比的定义求m 即可；（2）根据平均数，众数，中位数的定义求解即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题．【解答】解：（1）本次接受调查的学生人数为18÷45%＝40（人），∵m %=440×100%＝10%，∴m ＝10．故答案为：40；（2）这组数据的平均数为1×13+2×18+3×5+4×440=2，∵这组数据中，2出现了18次，出现的次数最多，∴这组数据是众数是2，∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间位置的两个数都是2，∴这组数据的中位数为2+22=2； 故答案为：2，2，2；（3）800×440=80（人），答：估计该年级参加4项活动的有80人．19．（6分）在“庆元旦、迎新年”班级活动中，同学们准备了四个节目：A 唱歌、B 跳舞、C 说相声、D 弹古筝．并通过抽签的方式决定这四个节目的表演顺序．（1）第一个节目是说相声的概率是14 ；（2）求第二个节目是弹古筝的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出第二个节目是弹古筝的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）第一个节目是说相声的概率是14， 故答案为：14； （2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中第二个节目是弹古筝的结果数为3，∴第二个节目是弹古筝的概率为312=14． 20．（8分）已知抛物线y ＝﹣x 2+2x +3．（1）抛物线与x 轴的交点坐标是 （3，0） ， （﹣1，0） （直接写出结果）；（2）抛物线的顶点坐标是 （1，4） （直接写出结果）；（3）画出这条抛物线大致图象，并根据图象回答；①当x取什么值时，y＞0；﹣1＜x＜3（直接写出结果）②当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是0＜y≤4（直接写出结果）．【分析】根据函数的图象和性质逐次求解即可．【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝3或﹣1，即抛物线与x轴的交点坐标是（3，0），（﹣1，0）；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y＝﹣x2+2x+3＝4，即抛物线的顶点坐标是（1，4）；（3）根据（1）、（2）中的点，抛物线的大致图象如下：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围为：0＜y≤4，故答案为：（1）（3，0），（﹣1，0）；（2）（1，4）；（3）图象见解答，①﹣1＜x＜3，②0＜y≤4．21．（6分）关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2＝x1x2﹣4，求k的值．【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；（2）根据x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，代入x1+x2＝x1x2﹣4，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0，解得：﹣8k+8＞0，∴k＜1；（2）∵x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，x1+x2＝x1x2﹣4，∴2（k﹣1）＝k2﹣1﹣4，解得：k1＝3，k2＝﹣1，∵k＜1，∴k＝﹣1．22．（6分）如图，二次函数y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A和点B．（1）根据图象，求满足kx+b≥x2﹣4x+3的x的取值范围．（2）当2≤x≤2t﹣3时，二次函数的最大值和最小值之差为4，求t的值．【分析】（1）根据二次函数解析式求出点C的坐标，然后求出点B的坐标，根据函数图象点A以及点A右边的部分，点B以及点B左边的部分的自变量x的取值范围即为不等式的解集；（2）先把抛物线解析式化为顶点式，进而求出抛物线的对称轴，从而得到二次函数的最小值，即可求出对应的最大值；进而得到t的值．【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣4x+3，令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或3，∴A（1，0），令y＝0时，y＝3，∴点C坐标（0，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（4，3），由图象可知，满足kx+b≥x2﹣4x+3的x的取值范围为：1≤x≤4；（2）∵抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴当x＝2时，y有最小值为﹣1，∵二次函数的最大值和最小值之差为4，且x＞2时，y随x增大而增大，∴二次函数的最大值为3，此时（x﹣2）2﹣1＝3，解得：x＝0或4，∴2t﹣3＝4，解得：t=7 2．23．（6分）在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）．（1）求出这个二次函数的解析式；（2）请求出这名男同学比赛时的成绩？【分析】（1）由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将（0，2）代入即可求解．（2）由（1）求得的函数解析式，令y＝0，求得的x的正值即为铅球推出的距离．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y ＝a （x ﹣h ）2+k ，由于顶点坐标为（6，5），∴y ＝a （x ﹣6）2+5．又A （0，2）在抛物线上，∴2＝62•a +5，解得：a =−112．∴二次函数的解析式为y =−112（x ﹣6）2+5， 整理得：y =−112x 2+x +2． ∴这个二次函数的解析式是y =−112x 2+x +2； （2）当y ＝0时，−112x 2+x +2＝0．∴x 1＝6+2√15，x 2＝6﹣2√15（不合题意，舍去）．答：这名男同学比赛时的成绩是（6+2√15）米．24．（6分）如图，顶点为P （3，﹣2）的抛物线与x 轴交于A ，B 两点，AB ＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 在抛物线上，且△QAB 的面积为12，求点Q 的坐标．【分析】（1）由题意可得抛物线与x 轴的两交点坐标为A （1，0），B （5，0），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），把点P （3，﹣2）代入求得a 的值，即可求出抛物线的解析式；（2）设Q （x ，y ），根据△QAB 的面积为12，可得12×4|y|=12，求出y 的值，再把y 的值代入抛物线解析式求x 的值，即可求出结果．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为P （3，﹣2），∴抛物线的对称轴为x ＝3，∵AB ＝4，∴抛物线与x 轴的两交点坐标为A （1，0），B （5，0），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5），把点P （3，﹣2）代入，得a （3﹣1）（3﹣5）＝﹣2， 解得a =12，∴抛物线的解析式为y =12(x −1)(x −5)=12x 2−3x +52．（2）设Q （x ，y ），∵△QAB 的面积为12，∴12×4|y|=12， 解得y ＝6或y ＝﹣6，当y ＝6时，12x 2−3x +52=6，解得x 1＝﹣1，x 2＝7，当y ＝﹣6时，12x 2−3x +52=−6，无实数解，∴点Q 的坐标为（﹣1，6）或（7，6）．25．（8分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．（1）求抛物线的解析式：（2）探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P ，C ，A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点C （0，4）在抛物线y ＝ax 2+bx +c 上先求出c 的值，再由抛物线过点A （﹣2，0）、抛物线的对称轴为直线x ＝1列方程组，求出a 、b 的值即可；（2）设P （1，n ），分三种情况讨论：①当AP ＝AC 时，20＝9+n 2，此时P （1，）或（1，﹣）；②当AP ＝PC 时，9+n 2＝1+（4﹣n ）2，此时P （1，1）；③当AC ＝PC 时，20＝1+（4﹣n ）2，此时P （1，4+）或（1，4﹣）．【解答】解：（1）把C （0，4）代入y ＝ax 2+bx +c ，得c ＝4；把A （﹣2，0）、c ＝4，代入y ＝ax 2+bx +4，得4a ﹣2b +4＝0；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，∴−b 2a =1，联立得：{4a −2b +4=0−b 2a =1， 解得{a =−12b =1， ∴抛物线的解析式为y =−12x 2+x +4；（2）存在一点P ，使得以点P ，C ，A 为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，设P （1，n ），∴AP 2＝9+n 2，AC 2＝20，PC 2＝1+（4﹣n ）2，①当AP ＝AC 时，20＝9+n 2，解得n =±√11，∴P(1，√11)或(1，−√11)；②当AP ＝PC 时，9+n 2＝1+（4﹣n ）2，解得 n ＝1，∴P （1，1）；③当AC ＝PC 时，20＝1+（4﹣n ）2，解得n =4+√19或n =4−√19，∴P(1，4+√19)或(1，4−√19)；综上所述：P 点坐标为(1，√11)或(1，−√11)或（1，1）或(1，4+√19)或(1，4−√19)．26．（8分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴相交于点C ．（1）求该函数的表达式；（2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P 作PQ ⊥BC ，垂足为点Q ，连接PC ． ①求线段PQ 的最大值；②若以点P 、C 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．【分析】（1）设交点式y ＝a （x +1）（x ﹣4），再展开可得到﹣4a ＝2，解得a =−12，然后写出抛物线解析式；（2）①作PN ⊥x 轴于N ，交BC 于M ，如图，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式为y =−12x +2，设P （t ，−12t 2+32t +2），则M （t ，−12t +2），用t 表示出PM =−12t 2+2t ，再证明△PQM ∽△BOC ，利用相似比得到PQ =−√55t 2+4√55t ，然后利用二次函数的性质解决问题；②讨论：当∠PCQ ＝∠OBC 时，△PCQ ∽△ABC ，PC ∥x 轴，利用对称性可确定此时P 点坐标；当∠CPQ ＝∠OBC 时，△CPQ ∽△ABC ，则∠CPQ ＝∠MPQ ，所以△PCM 为等腰三角形，则PC ＝PM ，利用两点间的距离公式得到t 2+（−12t 2+32t +2﹣2）2＝（−12t 2+2t ）2，然后解方程求出t 得到此时P 点坐标． 【解答】解：（1）抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），即y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a ，则﹣4a ＝2，解得a =−12，所以抛物线解析式为y =−12x 2+32x +2；（2）①作PN ⊥x 轴于N ，交BC 于M ，如图，BC =√22+42=2√5，当x ＝0时，y =−12x 2+32x +2＝2，则C （0，2），设直线BC 的解析式为y ＝mx +n ，把C （0，2），B （4，0）得{n =24m +n =0，解得{m =−12n =2， ∴直线BC 的解析式为y =−12x +2，设P （t ，−12t 2+32t +2），则M （t ，−12t +2），∴PM =−12t 2+32t +2﹣（−12t +2）=−12t 2+2t ，∵∠NBM ＝∠NPQ ，∴△PQM ∽△BOC ，∴PQ OB =PM BC ，即PQ =4×PM 2√5， ∴PQ =−√55t 2+4√55t =−√55（t ﹣2）2+4√55，∴当t ＝2时，线段PQ 的最大值为4√55； ②当∠PCQ ＝∠ABC 时，△PCQ ∽△ABC ，此时PC ∥OB ，点P 和点C 关于直线x =32对称，∴此时P 点坐标为（3，2）；当∠CPQ ＝∠OBC 时，△CPQ ∽△ABC ，∵∠OBC ＝∠NPQ ，∴∠CPQ ＝∠MPQ ，而PQ ⊥CM ，∴△PCM 为等腰三角形，∴PC ＝PM ，∴t 2+（−12t 2+32t +2﹣2）2＝（−12t 2+2t ）2， 解得t =32， 此时P 点坐标为（32，258），综上所述，满足条件的P 点坐标为（3，2）或（32，258）．27．（10分）【创新是民族进步的灵魂！华为一直在科技领域追求极致美学、极致工艺、极致创新．真正意义上做到遥遥领先！】我们不妨约定：若y 1，y 2是关于x 的函数，当m ≤x ≤n 时，总有y 1﹣y 2≥K （K＞0），并存在x0满足m≤x0≤n，使得y1﹣y2＝K，我们则称函数y1对y2在[m，n]领域“K阶领先”．（1）已知一次函数y1＝﹣4x+5对y2＝2x﹣10在[﹣2，1]领域“K阶领先”，求K的值；（2）已知二次函数y1=x2+2(t+2)x+t2（t为常数）的图象与一次函数y2＝x相交于A，B两点，其横坐标分别记为x1和x2，且满足1x1+1x2=−1，请判断二次函数y1对一次函数y2能否在[t，t+1]领域“t﹣2阶领先”，请说明理由；（3）已知二次函数y1=x2+bx+c的顶点经过一次函数y＝﹣4x﹣1的图象，若二次函数y1=x2+bx+ c对一次函数y2＝﹣4x+2在[2，3]领域“2阶领先”，求二次函数y1=x2+bx+c的解析式．【分析】（1）设y＝y1﹣y2＝﹣4x+5﹣2x+10＝﹣6x+15，函数y随x的增大而减小，进而求解；（2）求出t＝3，得到y＝y1﹣y2＝x2+10x+9﹣x＝x2+9x+9，再根据二次函数的性质求解；（3）①当p﹣2≥3时，即p≥5，则只要x＝3时，y≥0即可，即可求解；②当p﹣2≤2、4＜p＜5时，同理可解．【解答】解：（1）设：y＝y1﹣y2＝﹣4x+5﹣2x+10＝﹣6x+15，函数y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝﹣6x+15＝9，当x＝﹣2时，y＝﹣6x+15＝21，则y≥9且x＝1时，y＝0，即x＝1时，y1﹣y2＝9，故K＝9；（2）不存在，理由：联立y1=x2+2(t+2)x+t2（t为常数）和y2＝x并整理得：x2+（2t+3）x+t2＝0，则x1+x2＝﹣2t﹣3，x1x2＝t2，则1x1+1x2=x1+x2x1x2=−2t−3t2=−1，解得：t＝3或﹣1，∵K＝t﹣2＞0，故t＝3，则K＝t﹣2＝1，则设y＝y1﹣y2＝x2+10x+9﹣x＝x2+9x+9，函数y的对称轴为x=−9 2，则在[t，t+1]时，即[3，4]时，需要满足y＝x2+9x+9≥1，当x＝3时，y＝x2+9x+9＝45，当x＝4时，y＝x2+9x+9＝61，而在[3，4]时，y＝x2+9x+9≠1，故在[t，t+1]领域不存在“t﹣2阶领先”；（3）设抛物线顶点坐标为：（p，﹣4p﹣1），则二次函数的表达式为：y1＝（x﹣p）2﹣4p﹣1，则y1﹣y2＝（x﹣p）2﹣4p﹣1+4x﹣2＝x2+（4﹣2p）x+p2﹣4p﹣3，当若二次函数y1=x2+bx+c对一次函数y2＝﹣4x+2在[2，3]领域“2阶领先”时，即y1﹣y2＝（x﹣p）2﹣4p﹣1+4x﹣2＝x2+（4﹣2p）x+p2﹣4p﹣3≥2，设y＝y1﹣y2﹣2＝x2+（4﹣2p）x+p2﹣4p﹣5，即y≥0，函数y的对称轴为x＝p﹣2，①当p﹣2≥3时，即p≥5，则只要x＝3时，y≥0即可，当x＝3时，y＝x2+（4﹣2p）x+p2﹣4p﹣5＝9+（4﹣2p）×3+p2﹣4p﹣5≥0，解得：p≥8或p≤2，而p≥5，故p≥8，当x＝3时，p＝8时，y＝0，即y1﹣y2＝2，故p＝8；②当p﹣2≤2时，即p≤4，则当x＝2时，y≥0，即4+（4﹣2p）×2+p2﹣4p﹣5≥0，解得：p≥7或p≤1，而p≤4，即p≤1，当x＝2时，p＝1，y＝0，即y1﹣y2＝2，故p＝1；③当4＜p＜5时，则函数y在顶点处为非负即可，即（p﹣2）2+（4﹣2p）×（p﹣2）+p2﹣4p﹣5≥0，该方程无解；综上，p＝1或8，故抛物线的表达式为：y1＝（x﹣1）2﹣5或y1＝（x﹣8）2﹣33．。
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2015-2016学年第一学期期中考试 九年级 数学（学科）20015年11月
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案填在答题纸相对应的位置上．．．．．．．．．．．． 1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ▲ )
A ．2
2
10x x
+
= B ．ax 2＋bx ＋c ＝0 C ．(x －1)(x －2)＝1 D ．3x 2－2xy －5y 2＝0
2．抛物线y ＝x 2－2x ＋1的顶点坐标是( ▲ )
A ．(1，0)
B ．(－1，0)
C ．(－2，1)
D ．(2，－1)
3．一元二次方程x (x －2)＝0根的情况是( ▲ )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根
4．抛物线()2
23y x =+-可以由抛物线2x y =平移得到，则下列平移过程正确的是( ▲ )
A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
5．已知△ABC 的两边长分别为2和3，第三边长是方程2
x 一7x+10=0的根，则△ABC 的 周长为 ( ▲ ) A ．7 B ．10 C ．7或10 D ．以上都不对
6．在同一坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝bx 2＋a 的图象可能是( )
7．关于方程88(x －2)2＝95的两根，下列判断正确的是( ▲ )
A ．一根小于1，另一根大于3
B ．一根小于－2，另一根大于2
C ．两根都小于0
D ．两根都大于2
8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：
点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系正确的是( ▲ )
学校班级__________ 姓名
学号
考试号
A ．y 1＞y 2
B ．y 1＜y 2
C ．y 1≥y 2
D ．y 1≤y 2 9．已知α，β是方程x 2+2012x+1=0的两个根，则（1+2014α+α2）（1+2014β+β2）的值为（ ▲ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，抛物线y ＝x 2＋1与双曲线y ＝k x
的交点A 的横坐标是1，
则关于x 的不等式
k x
＋x 2＋1 < 0的解集是( ▲ )
A ．x ＞1
B ．x ＜−1
C ．0＜x ＜1
D ．−1＜x ＜0
二、填空题：本大题共8小题
，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题纸相．．．．对应．．
的位置上．．．．．． 11．方程x 2=3x 的根是▲．
12．二次函数y ＝－2(x －1)(x －3)的图象的对称轴是 ▲．
13．一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系
是2125
1233
y x x =-
++．则他将铅球推出的距离是▲m ． 14．关于x 的一元二次方程x 2＋(m －2)x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲．
15．如果αβ、是一元二次方程2
3 1 0x x +-=的两个根，那么2+2ααβ-的值是_ ▲．
16．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，则当x ＝1时，y 的值为 ▲． 17．如图，邻边不等．．
的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙(可利用的围墙长
度超过6 m)，另外三边所围的栅栏的总长度是6 m ．若矩形的面积为4 m 2，则AB 的长
度是 ▲m ．
18．已知抛物线y ＝x 2－x 与直线y ＝x ＋1的两个交点的横坐标分别为a 、b ，则代数式
(a －b )(a ＋b －2)＋ab 的值等于 ▲．
三、解答题：本大题共11小题，共76分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
19．(本题满分8分)解方程：(1) x 2－4x －3＝0（2）(x ＋1)(x －2)＝x ＋1
(第17题)
(第16题)
20．(本题满分5分) 写出二次函数y ＝－x 2－4x －6的图象的顶点坐标和对称轴的位置，并求出它的最大值或最小值
21．(本题满分5分)已知a 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，求代数式：
2352362a a a a a -⎛
⎫÷+- ⎪--⎝⎭
的值．
22．(本题满分6分)如图．二次函数2y ax bx c =++的图象经过A ，B ，C 三点．
(1)观察图象，写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出抛物线解析式； (2)求此抛物线的顶点标和对称轴；
(3)观察图象，当x 取何值时，0?0?0?y y y <=>?
23．(本题满分6分)从方程到函数的变化：
(1) 若一元二次方程x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根为x 1、x 2．当x 1＋x 2＝3时，求m 的值；
(2) 若二次函数y ＝x 2－(m ＋1)x ＋m 的图象与x 轴交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当
OA ＋OB ＝3时，求m 的值．
24．(本题满分7分) 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM
为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标． (2)求这条抛物线的解析式．
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD —DC —CB ，使C 、D 点在抛物
线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
25．(本题满分8分)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的
建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，求2012年共建设了多少万平方米廉租房．
26．(本题满分6分)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．
（1）求k 的取值范围；
（2）若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．
27．(本题满分9分)如图，在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交与点A (－1，
0)、
B (3，0)两点，抛物线交y 轴于点
C (0，3)，点
D 为抛物线的顶点．直线y ＝x －1
交抛物线于点M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． （1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）问点P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少？
（3）设E 为线段OC 上的三等分点，连接EP ，EQ ，若EP ＝EQ ，求点P 的坐标．
28．(本题满分8分) 如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4 cm ，BC=8 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以l cm ／s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发． (1) 几秒钟后△PBQ 的面积等于3 cm 2． (2) △PBQ 的面积可能等于5cm 2吗?为什么? (3) 出发后几秒时，△PBQ 的面积最大？ (4) 几秒时，△PBQ 与△ABC 相似？
29．(本题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标是（4，0），并且OA =OC =4OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．
（1）写出抛物线的解析式_______________；
（2）若点P 使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形，直接写出所有符合条件的点P 的坐标
________________________________________；
（3）过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ，交直线AC 于点D ．过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ．连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．
参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．A 4．B 5．A 6．D 7．A 8．B 9．D 10．D 二、填空题
11．0、3 12．直线x =2 13．10 14．0或8 15．4 16．-4 17．1 18．-1 三、解答题
19．x 1=-1，x 2=3 x 1= -1，x 2=3
20．顶点（-2，-2）对称轴x= -2 最大值-2 21．
()133a a +
1
3
22．（1）A （-1,0） B （0，-3） C （4,5）239
344
y x x =
-- （2）顶点375,216⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称轴x= 32 （3）略
23．（1）m=2 （2）2m =±
24．（1）M （12,0） P （6，6） （2）2
126
y x x =-+ （3）15 25．（1）50% （2）18
26．（1）k ≤ （2）k = -3 27．（1）y =-x 2+2x +3，D （1,4）
（2）当P 点坐标为（，-）时，线段PQ 最长为
（3）（1，0），（2，1），（0，-1） 28．（1）3,1 （2）不能 （3）2 （4）0.8或者2
29．（1）y=-x 2+3x+4；
（2）P 的坐标是（2，6）或（-2，-6）
（3）。