数据库5版第七章规范化理论例题解答

关系数据库规范化理论例题解答⊄（⊆⊂∈∉）例：证明定理 Armstrong公理是正确的，即如果F成立，则由F根据Armstrong公理所推导的函数依赖总是成立的。

设有R(U，F)，X、Y、Z均是U的子集，F是R的函数依赖集，推理规则如下：A1：自反律(reflexivity)如果Y ⊆X ⊆U，则X→Y为F所蕴涵。

A2：增广律(augmentation)如果X→Y为F所蕴涵，且Z⊆U，则XZ→YZ为F的所蕴涵。

(XZ代表X∪Z)A3：传递律(transitivity)如果X→Y和Y→Z为F所蕴涵，则X→Z为F的蕴涵。

证：设t1,t2是关系R中的任意两个元组。

A1：如果t1［X］=t2［X］,则因Y X，有t1［Y］=t2［Y］，故X→Y成立。

A2：如果t1［XZ］=t2［XZ］,则有t1［X］=t2［X］,t1［Z］=t2［Z］。

已知X→Y成立，因此可得t1［Y］=t2［Y］,由上可知t1［YZ］=t2［YZ］，故XZ→YZ成立。

A3：如果t1［X］=t2［X］,则t1［Y］=t2［Y］；如果t1［Y］=t2［Y］,则t1［Z］=t2［Z］由上可得，如果t1［X］=t2［X］,则t1［Z］=t2［Z］，故X→Z成立。

例：证明定理根据三条推理规则得到下面三条推理规则是正确的。

(1) 合并规则由X→Y，X→Z，有X→YZ。

(2) 伪传递规则由X→Y，WY→Z，有XW→Z。

(3) 分解规则如果X→Y，且Z ⊆ Y，则X→Z成立。

证： (1) 如果X→Y，则X→XY (A2)如果X→Z，则XY→YZ (A2)由上可得X→YZ (A3)(2) 如果X→Y，则WX→WY (A2)WY→Z （已知条件）故得WX→Z (A3)(3) 如果Z⊆Y，则Y→Z (A1)X→Y （已知条件）故得X→Z （A3）例：证明定理 X→Y能由Armstrong公理推导出的充要条件是Y⊆X + F证：设Y=｛A1,A2,…,Ak｝，先证充分性：假定Y ⊆X +F，则根据X+F的定义，X→Ai(i=1,2,…,k)可由Armstrong公理导出，根据合并规则则有X→Y。

再证必要性：设X→Y可由Armstrong公理导出，根据分解规则X→Ai(i=1,2,…,k)成立，根据X +F的定义可得Y⊆X+F。

例．证明（1）由{X→YZ，Z→CW}推出X→CWYZ （2）由{X→Y}推出WX→Y解：（1） X→YZ 已知X→Y ，X→ Z，分解Z→CW 已知X→CW 传递X→CWYZ 合并（2） X→Y 已知WX→WY 增广WX→Y 分解例：设V、W、Z是U的子集，A、B是U的属性，令X=VZ，Y=WZ，试证由{V→W，W→V，X →A } 可推出Y→A证：已知X=VZ， X→A ，则 VZ→A已知W→V，增广，则WZ → VZ ，传递WZ →A已知Y= WZ，则Y→A例：设F=｛AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG｝,求BD+F解：令X(0)=BD，考察X(0)的所有子集｛BD｝,｛B｝,｛D｝，是否作为决定因素出现在F中。

只有D→EG,将EG纳入X(1)，得：X(1)=BD∪EG=BDEG考察X(1)的所有子集作为决定因素出现在F中，有D→EF,BE→C，得：X(2)=BDEG∪EGC=BCDEG继续找决定因素为X(2)子集的依赖：D→EG，C→A，BE→C，BC→D，CG→BD，CE→AG，得： X(3)=BCDEG∪ABCDEG=ABCDEG因X(3)=U，结束。

BD+F=ABCDEG例：求证F=｛AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG｝中的BD是一个候选码。

解： BD+F=ABCDEG, 则BD→ABCDEG，即BD→u考察BD的子集，求得B+F=B，D+F=DEG因此BD是关系模式的候选码。

例：设关系模式R(A,B,C,D,E)的函数依赖集F=｛AB→CE,E→AB,C→D｝，试问R最高属于第几范式。

解：先求决定因素的闭包AB+F=ABCEDE+F=EABCDC+F=CD再求AB子集A，B的闭包 A+F=A，B+F=B 。

因此，AB和E可作为候选码，主属性为A，B，E，非主属性为C，D，不存在非主属性对候选码的部分函数依赖，因此R∈2NF。

存在D对AB码的传递函数依赖，R 3NF。

例：设有关系模式R(A,B,C,D,E,H)其两个函数依赖集分别是F={AB→E，AC→H，AD→B，B→C，C→D}G={AD→BEH,B→C,C→D}判定F是否等价G。

解：先求X→Y∈F关于G的属性闭包X+G，并判Y⊆X+G。

AB+G=ABCDEH, 则E∈AB+GAC+G=ACDBEH, 则H∈AC+GAD+G=ADBEHC, 则B∈AD+GB+G=BCD, 则C∈B+GC+G=CD, 则D∈C+G再求X→Y∈G，关于F的属性闭包X+F,并判Y⊆X+F。

AD+F=ADBCHE, 则BCH⊆ AD+FB+F=BCD, 则C∈B+FC+F=CD, 则D∈C+F因此，F与G等价。

例：设F={AB→E，AC→H，AD→BH，B→C，C→D}，试证AC→H是冗余的。

解：令G={AB→E，AD→BH，B→C，C→D}AC+G=ACDBH，包含H，AC→H是冗余的例：设F=｛AB→C,B→D,C→E,EC→B,AC→B｝，求F的极小函数依赖集Fc 。

解：(1) F1={AB→C,B→D,C→E,EC→B,AC→B}(2) AB+F1-{AB→C}=ABD, C {A,B,D}，保留AB→CB+F1-{B→D}=B, D∉ {B}，保留B→DC+F1-{C→E}=C, E∉ {C}，保留C→EEC+F1-{EC→B}=EC, BC∉{E,C}，保留EC→BAC+F1-{AC→B}=ACEBD,B∈{A,B,C,D,E}，取掉AC→B则F2={AB→C,B→D,C→E,EC→B}(3) ({AB}-{A})+F2=B+F2=BD, C∉{B,D} ，保留AB中的A({AB}-{B})+F2=A+F2=A, C∉{A}，保留AB中的B({EC}-{E})+F2=C+F2=CEB, B∈{C,E,B} 取掉EC中的E则F3={AB→C,B→D,C→E,C→B}因此Fc = F3={AB→C,B→D,C→E,C→B}。

应当指出，给定F后，Fc不一定是唯一的，检查顺序不一样，可能导致不同的极小函数依赖集。

例如，对F={A→B,B→A,B→C,A→C,C→A}，按从前到后顺序，可以求出：Fc={A→B,B→C,C→A}若从第三个开始，可以求出：Fc={A→B,B→A,A→C,C→A}它们都是F的极小函数依赖集。

例: 有关系模式R(A，B，C，D，E) F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}, ρ={R1(A,D),R2(A,B),R3(B,E),R4(C,D,E),R5(A,E)}, 试判别ρ是否为无损分解。

解：(1) 构造初始矩阵如图(2) 检查F的函数依赖，并修改M对于A→C，A列上行1，行2，行5的值相等(为a1)，将行1，行2，行5对应C列上的交叉点的值b13,b23,b53改为b13(b13的行号最小)对于B→C，B列上，行2，行3的值相等，修改C列上的行2，行3的值为b13对于C→D，将 D列上行1，行2，行3，行5的值改为a4对于DE→C，D、E列上，行3，行4，行5的值同为a4,a5将C列对应行的值改为a3对于CE→A，C、E列上，行3，行4，行5的值同为a3,a5,将A列对应行的值改为a1检查一遍后，M矩阵的行3变为a1,a2,a3,a4,a5算法终止，ρ是无损分解。

例5-9: 设有关系模式R(A，B，C)，F={A→B,C→B},ρ1={R1(A,B),R2(B,C)}, ρ2={R1(A,C),R2(B,C)},求ρ1, ρ2是否无损分解解: 对于ρ1有，U1=AB，U2=BC，U1∩U2=B，U2-U1=C，U1-U2=A对于B→A, B+F=B, 所以B→A∉F+对于B→C, B+F=B，所以B→C∉F+因此ρ1不是无损分解。

对于ρ2有，U1∩U2=C，U1-U2=A，U2-U1=B对于C→B，C+F=CB，所以C→B∈F+因此ρ2是无损分解。

例： R(A，B，C)，F={A→B，B→C}，若U1={A,B},U2={A,C},U3={B,C},求ΠU1(F)，ΠU2(F), ΠU3(F)。

解：根据定义ΠU(F)={X→Y｜X→Y∈F+∧XY⊆Ui},则:ΠU1(F)={A→B}, ΠU2(F)={A→C}, ΠU3(F)={B→C}。

例： R(A，B，C)，F={A→B,C→B},ρ={R1(A,B),R2(A,C)}，求ΠU1(F)，ΠU2(F)解：ΠU1(F)={A→B},ΠU2(F)=φ例: 设有R(A,B,C,D),F={A→B,B→C,C→D,D→A}，试判断分解ρ={R1(A,B),R2(B,C),R3(C,D)}是否保持依赖。

解：ΠU1(F)={A→B，B→A },ΠU2(F)={B→C，C→B }，ΠU3(F)]={C→D，D→C },令G=Πu1(F)∪Πu2(F)∪Πu3(F)={A→B, B→A ，B→C, C→B ，C→D，D→C },显然F中的前三个函数依赖都包含在G中，现在只须判断D→A是否属于G+。

求D+G=DCBA A∈D+G所以D→A∈G+，ρ可以保持依赖。

例: 设有关系模式R(C，T，H，R，S，G), 最小函数依赖集Fc={C→T,HR→C,T→R,CS→G,HS →R},将R分解成3NF且保持依赖。

解 : 按算法得:ρ={R1(C,T),R2(H,R,C),R3(T,R),R4(C,S,G),R5(H,S,R)}例: 设有关系模式S(S#,SN,SA,SS,SD,DN,C#,G)，其函数依赖集F={S#→SN,S#→SA,S#→SS,S#→SD,SD→DN,(S#,C#)→G}，求S一个满足3NF且保持依赖且无损的分解。

解：求极小函数依赖集Fc，知Fc =F 。

S的码为(S#,C#)τ={S1(S#,SN,SA,SS,SD),S2(SD,DN),S3(S#,C#,G)}例5-13：设有关系模式R(S#,C#,G,TN,D), 属性含义, S#:学号；C#:课程号；G：成绩；TN：任课教师；D：教师所在系。

给定函数依赖集F={(S#,C#)}→G, C#→TN, TN→D}，求分解R为BCNF的无损分解。

解：初试化ρ={R}, R的码为(S#,C#)，对TN→D，TN不包含码，分解R为ρ={ R1(TN, D),R2(S#, C#, G, TN)， }F1={ TN→D}, 码是 TN， F2={(S#,C#)}→G, C#→TN},码是(S#,C#)对于R2中C#→TN，C#不包含码，分解R2，ρ={ R1(TN, D)，R2(C#, TN)， R3(S#, C#, G) , }，F2={ C#→TN},码是C#，F3={(S#,C#)}→G },码是(S#,C#)R1，R2，R3都属于BCNF，分解完成。