4.4反函数

4.4 反函数的概念
考点诠释
1 反函数的定义：
2 互为反函数的两个函数的性质：
① 原函数和反函数的图像关于直线y x =对称；
② 反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域 ③ 若原函数是奇函数则反函数也为奇函数； ④ 原函数与反函数有相同的单调性； ⑤ [()][()]11f f x f f x x --==
注意：①“一个函数为单调函数”是“这个函数具有反函数”的充分非必要条件；
（单调函数一定有反函数；但是若一个函数有反函数这个函数未必单调，例如，反
比例函数）
②反函数与原函数的交点不一定在直线y x =上；
若反函数与直线y x =有交点，这个点一定在反函数上。

③若函数()y f x =的反函数为()1y f x -=
则函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-； 函数()1y f x =+的反函数为()11y f x -=-
例题精析
例1 求下列函数的反函数 （1
）[,]503y x =∈-
；（2）(,)332232
x y x x x +=≥-≠-+ 精辟分析
解： （1）
[,]2
52503y x =-∈-，[,],50y ∴∈-且.
22
259y x =-
x ∴=；
所以原函数[,]503y
x =∈-的反函数为[,]50y x =∈-。

（2）313
23246
x y x x +=
=+++
,,,324624602x x x x ≥-≠-∴+≥-+≠33462x ∴≤-+或3046x >+,1
12
y y ∴≤->
又,.1333333461246422212
y y x x x y y y --=+=∴=-=
+--- 所以函数(,)332232x y x x x +=
≥-≠-+的反函数是(,)331
1212
x y x x x -=≤->- 方法规律和总结 求一个函数的反函数可以遵循以下步骤：
1 求原来函数的值域；
2 把()()y f x x D =∈看作关于x 的方程，用y 的解析式表示x ，即
()x g x =；2 如果()x g y =中任一个y 对应唯一的x ，那么()(),.1f x g x x A -=∈如果()x g y =中，存在一个y 对应多个x ，那么原函数不存在反函数。

误区警示 （1）学生会忽视x 是小于0
的，开方时错解为x = 例2 已知函数12y x m =+和1
3
y nx =-互为反函数，求 （1）实数,m n 的值；
（2）两个函数图像的交点P 的坐标；
精辟分析
解：（1）由1
2
y x m =
+，得,22x y m =-所以反函数为22y x m =- ,.2123n m =⎧⎪∴⎨-=-⎪⎩解方程组，得162
m n ⎧
=⎪⎨⎪=⎩ （2）由1126123y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解方程组，得13
1
3x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴点P 坐标为(,)1133。

例3 已知函数5
2x y x m -=+的图像关于直线y x =对称，求实数m 的值。

思维引领 因为52x y x m -=+存在反函数，且图像关于直线y x =对称，所以函数5
2x y x m
-=
+的反函数就是它本身。

方法一：利用反函数与函数5
2x y x m -=+是同一个函数，求出m 的值
方法二：因为（5,0）在5
2x y x m
-=+的图像上，所以(,)05在其反函数的图像上，也就
是在5
2x y x m
-=+的图像上，从而确定m 的值。

精辟分析
解：方法一：由52x y x m -=
+，得5
12my x y
+=-，所以52x y x m -=+的反函数为512mx y x +=-。

因为
52x x m -+与5
12mx x
+-是同一函数的解析式，所以1m =-。

方法二：在5
2x y x m
-=+中，令,50x y ==。

所以(,)50在52x y x m -=
+的图像上，故(,)50关于y x =对称的点(,)05在5
2x y x m -=+的反
函数上。

因为52x y x m -=+的反函数是其本身，故(,)05在52x y x m -=+上，即5
5m
-=，
解得1m =-。

方法规律总结 如果一个函数的图像关于直线y x =对称，那么这个函数的反函数就是它
本身。

例4
已知,311233x x x +==，求12x x +的值。

思维引领 直接通过方程解出,12x x 的难度比较大，因为方程是三次方程。

我们对方程进行
变形;33112233x x x x -=-=，则发现实际上,12x x 是函数,3y x =-分别与函数3
y x =和函
数y =的交点。

由于3y x =
和y 互为反函数所以图像关于直线y x =对称，所以根据图像可以得到。

解：如图函数,3y x =-的图像为直线l ，l 与3y x =的交点为(,)311x x
，与函数y =的交点为(,)322x x 。

3y x =和3y x =互为反函数。

又直线AB 垂直于直线y x =，所以点
A,B 关于直线y x =对称。

点A 的纵坐标31x 就是点B 的横坐标2x 。

312113x x x x ∴+=+=。

拓展训练
一 填空题
1 已知函数()y f x =的反函数是()12
3x f x -+=，则()9f =___________
2 已知函数x
y a k =+的图像经过(,)17点，又其反函数()1
f x -的图像经过点(,)40，则函
数()f x 的
3 已知函数()y f x =有反函数，则方程()f x b =的解的个数为______ 0或1
4 已知函数2
1y x ax =++，(,)12x ∈有反函数，则a 的取值范围是_____1a ≥-或2a ≤-
5 “已知函数()f x 是单调函数”是“函数()f x 有反函数”的_______条件。

充分非必要
6 已知函数()1
a x
f x x a -=--的反函数()1f x -的图像的对称中心为(,)13-，则实数a 的值为
________
7 已知函数()y f x =图像恒过定点(,)10，则函数()11y f x -=+过点________ (,)02 8点（1,2）既在函数y kx b =+的图像上，又在该函数的反函数的图像上，则数对（k,b ）为______________ 二 选择题
9已知函数y =y =_________ A [,]10- B [,]01 C [,]11- D [,)(,]1001-
三 解答题
10求函数)1y x =
≤-的反函数。

解：函数的定义域为(,]1-∞-，值域为[,),0+∞由y =
得221y x =-，得
x =故所求反函数为[,)0y x =∈+∞。

11若函数()3f x a x b =+
-与函数()121
c g x x =++互为反函数，求,,a b c 的值 解：因为()g x 的定义域为(,)(,)11
22
-∞--+∞，()f x 的值域时(,)(,)a a -∞+∞，又因
为()g x 的定义域是()f x 的值域，所以;1
2
a =-又因为()f x 的定义域为(,)(,)
b b -∞+∞，
()g x 的值域为(,)(,)11-∞+∞，所以1b =；所以()13
21
f x x =-+-。

令3x =，则
(),31f =即(,)31在原函数图像上，又因为(),()f x g x 互为反函数，所以(,)31关于直线y x =的对称点为(,)13在()g x 的图像上。

,3163c c ∴=+=；,,.1
162
a b c ∴=-==
12 给定实数(,)01a a a >≠，已知函数(,)11
1x y x R x ax a
-=
∈≠-，证明：这个函数的图像关于直线y x =对称。

证明：由(),(),().11
11111x y x y ax x x ay y ax a
-=
≠-=--=-- 若1010ay y -=⎧⎨-=⎩解方程组，得11
y a =⎧⎨=⎩与已知矛盾，10ay ∴-≠即()11
1y x y ay a -=
≠- 所以原函数与反函数是同一个函数，所以这个函数的图像关于直线y x =对称。

五年高考试题
（2009年上海）已知函数1()y f x -=是()y f x =的反函数。

定义：若对给定的实数
(0)a a ≠，函数()y f x a =+与1()y f x a -=+互为反函数，则称()y f x =满足“a 和性
质”；若函数()y f ax =与1()y f ax -=互为反函数，则称()y f x =满足“a 积性质”。

(1)判断函数2()1(0)g x x x =+>是否满足“1和性质”，并说明理由； (2)求所有满足“2和性质”的一次函数；
(3)设函数()(0)y f x x =>对任何 0a >，满足“a 积性质”。

求()y f x =的表达式。