初中数学 极坐标与参数方程、不等式选讲(含答案)

专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+， 所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x +=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l． 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值问题． 2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离． 【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B，2π）， 由余弦定理，得AB（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． 3．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c ++≤++．（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos 23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．5. 【2018年理数全国卷II 】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．一、考向分析：二、考向讲解考查内容解 题 技 巧(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．坐标系与参数方程坐标系 参数方程直角坐标系 圆的参数方程椭圆的参数方程极坐标系 直线的参 数方程 不等式选讲绝对值不等式不等式证明的基本方法绝对值不等 式的解法比较法综合法 分析法 绝对值三 角不等式柯西不 等式极坐标与参数方程注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．（5）已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝x0＋t cosα，y＝y0＋t sinα(t为参数)。

a.若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M0M1→||M0M2→|＝|t1t2|，|M1M2→|＝|t2－t1|＝t2＋t12－4t1t2。

b．若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝t1＋t22。

c．若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0。

提醒：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何含义。

不等式证明的基本方法1.绝对值不等式的求解方法(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可.(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.a.令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；b.将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；c.由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；d.取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.2.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法:(1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决;(2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,再根据题目要求,求解参数的取值范围. 由于|x －a|＋|x －b|与|x －a|－|x －b|分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a|＋|x －b|≤c(c ＞0)或|x －a|－|x －b|≥c(c ＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观． (3)应熟记以下转化:f(x)>a 恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a 恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a 有解⇔f(x)max >a;f(x)<a 有解⇔f(x)min<a;f(x)>a 无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a 无解⇔f(x)min≥a.3.绝对值不等式的综合应用a ．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．b ．f(x)＜a 恒成立⇔f(x)max ＜a. f(x)>a 恒成立⇔f(x)min ＞a.4.利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有： (1)a 2≥0；(2)|a|≥0；（3）a 2＋b 2≥2ab ；它的变形形式又有(a ＋b)2≥4ab ，a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22等；(4)a ＋b 2≥ab (a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2(a>0)，b a ＋ab ≥2(ab>0)，b a ＋ab≤－2(ab<0)等． 5.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”． 6、证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法： （1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． （2）利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． （3）转化为函数问题，数形结合进行证明．7、当x 的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如()f x x a x b =+++的函数的最小值，以及解析式形如()f x x a x b =+-+的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．考查绝对值不等式的证明：【例】已知0a >，0b >，332a b +=， 证明：(1)55()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+， 所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．【例】已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明：8ac bd +≤． 【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤， 因为22224,16,a b c d +=+=所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤. 【例】设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（Ⅰ）13ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥ 【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤（Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥， ∴222()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++ 即222a b c a b c b c a ++≥++，∴2221a b c b c a++≥ 考查绝对值不等式的解法：【例】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -． 【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 考查不等式恒成立问题：【例】已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|。