浙江省数学学考试卷及答案
2024-2025学年浙江省温州市龙湾区九年级上学期9月考试数学试题及答案
2024学年第一学期九年级学生学科素养检测 （数学试卷） 2024.09一、选择题（每题3分）1. 下列2024年巴黎奥运会的运动图标中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击发子弹．他们射击成绩的平均数及标准差如下表所示：若要选一名成绩较好且发挥稳定的运动员参奏，则应选择（ ）A. 甲 B ．乙C ．丙D ．丁 5．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()247x +=- B ．()249x +=-C ．()247x +=D ．()242x +=6. 如图，数轴上所表示的不等式组的解集是（ ）A ．1->xB ． 21≤<-xC. 21≤≤-x D ． 2≤x7．据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x ，则列（ ）A.7.82)213.68=+x （ B ．7.82)123.68=+⨯x （C ．[]7.82)1()1(13.682=++++x x D ．7.82)13.682=+x （8．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A ′处，点B 落在点B ′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（ ）A ．115°B ．120°C ．130°D ．140°．如图，在平面直角坐标系中，OABC的边OC个单位的速度向下平移，经过的值为（）C．对角线AC与BD交于点D．4（第8题）（第9题）（第10题）二、填空题（每题3分）15．将正方形纸片ABCD对折，展开得到折痕MN，再次折叠，使顶点D与点M重合，折痕交AD于点E，MN交折痕于点H，已知正方形的边长为4，则MH的长度为．（第13题）（第15题）（第16题）三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）18．解方程：（1） 9)12(2=-x （2）0542=--x x ．19.如图，在小正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图．（1）在图1中，过点B 作AC 的平行线BD ，使得AC ＝BD ； （2）在图2中，找出格点E ，F ，画出正方形BCEF ．20. 如图,在ABC ∆中,D,E 分别是边AB,AC 的中点,延长BC 至点F,使得BC CF 21=,连结CD,DE,EF.(1)求证：四边形CDEF 是平行四边形. (2)若四边形CDEF 的面积为8,求BCD ∆的面积.21.某社区开展了一次爱心捐款活动，为了解捐款情况，社区随机调查了部分群众的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图1和图2．请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次被调查的有 人，扇形统计图中m = ．(2)本次抽取的群众捐款的众数是 元，中位数是 元，并补全条形统计图(无需注明计算过程)；(3)若该社区有2000名群众，根据以上信息，试估计本次活动捐款总金额．22. 如图，一次函数 = 2的图象与反比例函数 =( )的图象交于点 ( 1 ) 和点 ( 1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)当y >y 时，直接写出 的取值范围． (3)求ABO ∆的面积。
浙江省强基(培优)联盟2023-2024学年高二下学期7月学考联考(期末)数学试题含答案
浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学试题卷（答案在最后）浙江强基（培优）联盟研究院命题（时间80分钟总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数()f x =的定义域为（）A.[)1,+∞B.[)1,-+∞ C.(],1-∞ D.(],1-∞-【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域的求法求解；【详解】要使函数有意义，则10x -≥，得1x ≤，所以函数的定义域为(],1-∞．故选：C ．2.已知集合{}{}21,2,3,4,20A B x x x ==--=，则A B ⋃=（）A.{}1,1,2,3,4- B.{}1,2,3,4 C.{}1,0,1,2,3,4- D.{}2,1,2,3,4-【答案】A 【解析】【分析】计算方程的根得出集合{}1,2B =-，再利用集合的并集进行计算得出结果【详解】因为{}{}1,2,3,4,1,2A B ==-，所以{}1,1,2,3,4A B =- ．故选：A ．3.在ABC 中，D 为边AB 的中点，则（）A.0AD BD -=B.0AD DB +=C.CB CD BD-=D.2CA CB CD+=【答案】D 【解析】【分析】由向量的加减法运算法则分别对四个选项进行判断.【详解】AD BD D DB A AB -==+，故A 、B 错误；D C C B D B B D -=-=，故C 错误；由平行四边形法则可知2CA CB CE CD +==，故D 正确；故选：D ．4.数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（）A.2B.2.5C.3D.3.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合百分位数的定义分析求解.【详解】因为数据共有8项，且825%2⨯=，所以第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．故选：B ．5.从数据1,2,3,4,5,6,7,7中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（）A.14B.38C.12D.58【答案】D 【解析】【分析】找到样本空间个数及符合条件的样本点的个数，利用古典概型概率的计算即可求解.【详解】样本空间的样本点总数为8，设事件A ：“这个数平方的个位数是6或9”，A 中的样本点为3,4,6,7,7共5个，所以概率()58P A =．故选：D ．6.已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线l ⊂平面α，则“//l β”是“//αβ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当//l β时，α与β可能相交也可能平行，故//l β不能推出//αβ，即充分性不成立；由//αβ可以推出//l β，即必要性成立．所以“//l β”是“//αβ”的必要不充分条件．故选：B ．7.不等式1101x +≤-的解集是（）A.[)0,1 B.(]0,1 C.[]1,2 D.(]1,2【答案】A 【解析】【分析】将不等式整理为01xx ≤-，解不等式组()1010x x x ⎧-≤⎨-≠⎩，即可得到答案.【详解】不等式可化为11011x x x +=≤--，等价于()1010x x x ⎧-≤⎨-≠⎩解得01x ≤<，所以不等式的解集为[)0,1．故选：A ．8.近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为181425G L ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，G 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.301≈）（）A.16B.72C.74D.90【答案】C 【解析】【分析】由题可知题目相当于解不等式18141255G ⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，然后由对数运算性质结合参考数据可得答案.【详解】由题意知，只要解不等式18141255G⎛⎫⨯≤ ⎪⎝⎭，化简得42lg lg 1855G ≤．因为4lg 05<，所以()()2lglg 21lg 2lg2lg52lg215 4.1418lg4lg52lg 21lg 23lg21lg 5G ----≥===≈----，所以18 4.173.8G ≥⨯=．故选：C ．9.在ABC 中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45,75a B C === ，则b 等于（）A.2B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】由三角形内角和定理得60A = ，由正弦定理得sin 60sin 45b=，解得2b =．故选：A10.已知函数()222x x f x =-，则其图象一定不过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】计算出()22f =，102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，()10f -<，判断出图象过第一，第四，第三象限，得到答案.【详解】因为1x ≠，取2x =，得()22f =，所以()f x 在第一象限有图象，取12x =，得2102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在第四象限有图象，取=1x -，得()21(1)1022f ---=<-，所以()f x 在第三象限有图象．由排除法知图象不过第二象限．故选：B ．11.已知α为锐角，且2π2πsin cos cos sin 55αα⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α的值为（）A.45 B.513C.2425D.916【答案】D 【解析】【分析】根据α是锐角，得到2ππ2πcos sin 525αα=-，故5cos sin 4αα+=，两边平方后，结合同角三角函数关系和正弦二倍角公式求出答案.【详解】因为α是锐角，所以2π2ππ2π2ππ0cos sin 552552αα<<<<<<，所以2ππ2πcos sin 525αα=-，化简得5cos sin 4αα+=，平方得2225sin 2sin cos cos 1sin216ααααα++=+=，所以9sin216α=．故选：D ．12.已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 在1B C 上运动（不含端点），点N 在11B D 上运动（不含端点），直线MN 与直线AC 所成的角为α，直线MN 与平面1ACB 所成的角为β，则下列关于,αβ的取值可能正确的是（）A.30α=︒ B.45α=︒C.60β=︒D.75β=︒【答案】C 【解析】【分析】如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 所以在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面11B D C 和平面1ACB 的法向量，然后求出直线AC 与平面11B D C 所成的角，平面11B D C 与平面1ACB 所成的角，结合最小角定理和最大角定理分析判断.【详解】如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 所以在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则11(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,0,1)A C B D ，所以111(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1),(0,1,1)AC AB CB CD =-===-，设平面11B D C 的法向量为111(,,)n x y z =，则1111110n CB x z n CD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则(1,1,1)n =--r ，对于AB ，设直线AC 与平面11B D C 所成的角为1θ，则1sin cos ,3AC n AC n AC nθ⋅===uuu r ruuu r ruuu r r ，因为1π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 3θ=，由最小角定理得11,cos cos αθαθ><，当30α=︒时，1cos30cos 23θ︒=>=，所以A 错误，当45α=︒时，1cos 45cos 23θ︒=>=，所以B 错误，对于CD ，设平面1ACB 的法向量为(,,)m x y z =，则100m AC x y m AB y z ⋅=-+=⎧⎨⋅=+=⎩，令1x =，则(1,1,1)m =- ，设平面11B D C 与平面1ACB 所成的角为2θ，则21cos cos ,3m n m n m n θ⋅===，由最大角定理得22,cos cos θβθβ><，当60β=︒时，21cos cos60213θ=<︒=，所以C 正确，当75β=︒时，2cos cos75213θ>=︒=，所以D 错误，故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A.样本数据落在区间[)300,500内的频率为0.45B.若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型民营企业能享受到减免税政策C.若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家D.估计样本的中位数为480万元【答案】ABD 【解析】【分析】根据频率分布直方图中，概率等于小长方形的面积，概率之和等于1，即所有小长方形面积之和等于1，中位数公式进行计算判断各个选项.【详解】对于A ，由()0.0010.00150.0020.000521001a ++++⨯=，得0.0025a =，所以数据落在区间[)300,500内的频率为()0.0020.00251000.45+⨯=，A 正确；对于B ,数据落在区间[)200,500内的频率为()0.0010.0020.00251000.55++⨯=，B 正确；对于C,100n =，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是()1000.00250.00250.00150.00050.7⨯+++=，所以符合条件的民营企业有0.710070⨯=家，C 错误；对于D ,数据落在区间[)200,400内的频率为()0.0010.002100+⨯=0.3，数据落在区间[)200,500内的频率为()0.0010.0020.00251000.55++⨯=，估计中位数为0.50.34001004800.25-+⨯=，D 正确．故选:ABD ．14.已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z +=+C.1212z z z z =⋅D.1212z z z z +=+【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由复数的模长公式结合复数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，若1i z =，则22111,1z z =-=，故A 错误；对于B ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()()()()1212i,i i i z z a c b d z z a b c d a c b d +=+-++=-+-=+-+，故B 正确；对于C ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()()12i z z ac bd ad bc =-++=，2212z z ⋅=，故C 正确；对于D ，若121i,i z z =+=，则12121z z z z +=+=，故D 错误．故选：BC ．15.已知平面向量21,e e 的夹角为π3，且121e e == ，若12122,a e e b e e =-=+，则下列结论正确的是（）A.a b⊥B.a =C.a b a+= D.a 在b 上的投影向量为12b- 【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：判断a b ⋅是否等于0即可；对于B 、C ：利用数量积的运算律计算即可；对于D ：先计算b ，再利用投影向量公式计算即可；【详解】由题意得22121211,2e e e e ==⋅= ，对于A ：()()2212121122132212022a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=--=-≠，故A 错误；对于B ：a == ，故B 正确；对于C ：a b a +=，故C 正确；对于D ：b === ，则a 在b上的投影向量为31232a b b b b bb⋅⋅=-⋅=-，故D 正确．故选：BCD16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（）A.函数()211x f x x +=-的图象关于点()1,2成中心对称图形B.若定义在R 上的函数()f x 对任意的x 都有()()22f x f x ++-=，则函数()f x 图象的对称中心为()2,2C.若()y f x a =+是偶函数，则()f x 的图象关于直线x a =成轴对称D.若函数()f x 满足()11y f x =+-为奇函数，且其图象与函数()422x g x =+的图象有2024个交点，记为()(),1,2,,2024i i i A x y i = ，则()202414048iii x y =+=∑【答案】ACD 【解析】【分析】利用题中推广的结论进行验证A,B ；利用偶函数的定义判断B ；根据对称性变化简判断D ；【详解】对于A ，因为()2(1)131211x f x x x+++-==+-为奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,2成中心对称图形，故A 正确；对于B ，设()()g x f x a b =+-，若()g x 是奇函数，则()()()()0g x g x f x a b f x a b +-=+-+-+-=，所以()()2f x a f x a b ++-+=，因为()()()()22112f x f x f x f x ++-=⇒++-=，所以()1f x +-1为奇函数，所以()f x 图象的对称中心为()1,1，故B 错误；对于C ，设()()g x f x a =+，因为()g x 是偶函数，所以()()g x g x =-，则()()f x a f x a +=-+，所以()f x 的图象关于直线x a =成轴对称，故C 正确；对于D ，显然()f x 的图象关于点()1,1成中心对称图形，再考虑()422xg x =+的对称性，()422x g x =+可化为()()()4,22x a h x g x a b b h x +=+-=-+为奇函数，则()()()00,11,h h h ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩即1140,2244,2222a a a b b b -+⎧-=⎪⎪+⎨⎪-=-+⎪++⎩即11448222222a a a -++=+++，令2a t =，则2124222t t t +=+++，即220t t -=，解得2t =或0=t （舍去），所以22a =，则1,1a b ==，因为()h x 为奇函数，所以()422x g x =+图象的对称中心为()1,1．()f x 与()g x 有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点()1,1中心对称，()()()202412202412202414048iii x y x xx y y y =+=+++++++=∑ ，故D 正确．故选：ACD ．非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17.已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为________；体积为________．【答案】①.2π②.【解析】【分析】根据题意，利用勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的侧面积公式和体积公式可求解.【详解】由题意得圆锥的高h ==，所以21π2π,ππ33S rl V r h ====侧．故答案为：2ππ3；18.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，3,4AB AC ==，现将ABD △沿AD 翻折成AB D 'V ，使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________【答案】16π【解析】【分析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.【详解】由题设，,B CD AB C '' 都是直角三角形，只需B C '⊥面AB D '即可，所以鳖臑外接球的球心在过CD 中点且垂直于平面B CD '的直线上，而在直角三角形ACD 中，AC 的中点到点,,A C D 的距离都相等，所以AC 的中点是外接球的球心，所以212,4π16π2R AC S R ====．故答案为：16π.19.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()121,,234P A P B P AB ===，则()P A B = ________．【答案】712【解析】【分析】由题意结合概率运算性质可得答案.【详解】由概率的性质得()()()P A P AB P AB =+，所以()()()111244P AB P A P AB =-=-=，所以()()()()111723412P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=．故答案为：712.20.若函数()2(1)f x x ax b a =++>的值域为[)0,∞+，则11a b a ++-的最小值为________．【答案】3【解析】【分析】根据函数()f x 的值域为[)0,∞+得到Δ0=所以24a b =，代入到11a b a ++-利用均值不等式即可求得最小值.【详解】由题意得2Δ40a b =-=，得24a b =所以()()2221144(2)4114141a a a b a a a a a a a +++++++===----()()()22(1)6191(13)119116634141414a a a a a a a -+-+-+⎡⎤=⋅=⋅=-++≥=⎢⎥---⎣⎦，当且仅当4a =时，等号成立，所以11a b a ++-的最小值为3．故答案为：3.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.已知函数()πsin2sin 23f x x x ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知锐角ABC 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,3b c ==，若()2f A =，求ABC 的面积．【答案】（1）π（2）2【解析】【分析】（1）根据两角和（差）正弦公式化简得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的周期公式计算周期；（2）代入()2f A =计算角A ，在利用三角形面积公式计算的出结果；【小问1详解】()πππsin 2sin 2sin 2sin 2cos cos2sin333f x x x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭1πsin 2sin 2223x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==．【小问2详解】因为()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()πsin 232f A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因为A 是锐角三角形的内角，所以ππ233A -=或π2π233-=A （舍去），所以π3A =．又2,3b c ==，所以ABC的面积1π23sin 232S =⨯⨯⨯=．22.如图，在三棱台111ABC A B C -中，1111124,AA AC AC BC CC AA =====⊥平面,,ABC AB BC D ⊥为AB的中点．（1）证明：111A B DC ⊥．（2）过11,,A D C 的平面把三棱台111ABC A B C -分成两部分，体积分别是1V 和()212V V V <，求12V V 的值．（3）求平面1CC D 和平面11ABB A 所成锐二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）34（3）4【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直1AA BC ⊥，再结合BC AB ⊥，得到BC ⊥平面11ABB A ，进而得到1BC BB ⊥，由直角梯形11BCC B 中的边长关系得到1ABC 是等腰三角形，从而1AB DC ⊥，再结合11AB AB ∥得到结论；（2）取BC 的中点E ，利用平行找到过11,,A D C 的平面，从而两部分分别为斜棱柱111DBE A B C -和几何体11ADECC A ，由11111111-ADECA C ABCA B C DBE A B C V V V =-几何体棱台棱柱即二者的体积关系即可得到12V V 的值；（3）取11A B 的中点F ，找到两个平面的交线，利用垂直找到所求角，再根据三角形相似求得边长，进而求得所成锐二面角的正切值.【小问1详解】如图1，连接1AC ，得1=AC 1BC ．因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥．又BC AB ⊥，1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ，又因为1BB ⊂平面11ABB A ，所以1BC BB ⊥，所以在直角梯形11BCC B 中，1111BC B C BB A D ====，所以11BC AC ==，所以1ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，又因为D 是AB 的中点，所以1AB DC ⊥．又因为11AB AB ∥，所以111A B DC ⊥．【小问2详解】如图2，取BC 的中点E ，连接1,DE C E ，可得11////A C AC DE ．所以过11,,A C D 的平面把棱台分成斜棱柱111DBE A B C -和几何体11ADECC A ，由题意得()111128414233ABCA B C V =⨯⨯++=棱台，111-1442DBE A B C V =⨯=棱柱．因为11111111-28164433ADECA C ABCA B C DBE A B C V V V -=-=>=几何体棱台棱柱，所以12164,3V V ==，故12431643V V ==．【小问3详解】，如图3，取11A B 的中点F ，连接1,C F DF ，则DF 是平面1DCC 和平面11ABB A 所成二面角的棱，过B 作FD 延长线的垂线，垂足为G ，即BG FG ⊥，由棱台上下底面相似得到1//C F CD ，所以1,,,C F C D 四点共面，又由G FD ∈，所以1,,,,C F C D G 五点共面，连接CG ，因为BC ⊥平面11ABB A ，FG ⊂平面11ABB A ，所以BC FG ⊥，又因为BG CG G = ，,BG CG ⊂平面BCG ，所以FG ⊥平面BCG ，因为CG ⊂平面BCG ，所以FG CG ⊥，因为FG 是平面1DCC 和平面11ABB A 所成二面角的棱，BG FG ⊥，BG ⊂平面11ABB A ，FG CG ⊥，CG ⊂平面1DCC ，所以BGC ∠为所求的角．延长1AA 和1BB 交于点O ，过A 作FD 的垂线，垂足为H ，如图4，则AB ==，12AD AB ==OD =，由11112A O AB AO AB ==，1=28AO AA =，因为90OAD AHD ∠=∠=︒，ODA ∠是ADH 和ODA V 的公共角，所以ADH ODA ，所以AH AD OA OD =即8AH =，所以GB AH ==，所以66tan 4BGC ∠==．即平面1CC D 和平面11ABB A所成锐二面角的正切值为4．23.已知函数()()21,0,2,0,x x f x g x x x ⎧-≥==⎨-<⎩（1）若()()f x g x ≤，求x 的取值范围．（2）记{}(),max ,(),a ab a b b a b ⎧≥=⎨<⎩已知函数()(){}max ,2y f x g x ax =--有k 个不同的零点．①若2k =，求a 的取值范围；②若3k =，且,αβ是其中两个非零的零点，求11αβ+的取值范围．【答案】（1）,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）①[]{}2,02-⋃；②()11αβ+∈+∞【解析】【分析】（1）根据题意，分[]0,1x ∈与[)1,0x ∈-代入计算，求解不等式，即可得到结果；（2）（ⅰ）将问题转化为()2h x ax =+的实根个数问题，然后求得212x -≤≤与12x -≤≤时，根的个数，从而可得a 的范围，然后分别检验，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得()11311,24a a aαβ+=++∈，再由对勾函数的单调性，即可得到结果.【小问1详解】由题意得函数()g x 的定义域为[]1,1-．当[]0,1x ∈时，不等式()()f x g x ≤等价于21x -≤，显然满足条件；当[)1,0x ∈-时，不等式()()f x g x ≤等价于2x -≤221x ≤，解得02x -≤<．综上，()()f x g x ≤的解集为,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即当x的取值范围为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，()()f x g x ≤成立．【小问2详解】（ⅰ）令()()(){}()(),12max ,,1,2f x x h x f x g x g x x ⎧-≤<-⎪⎪==⎨⎪-≤≤⎪⎩原题可转化为()2h x ax =+的实根个数问题（二重根为一个零点）．当212x -≤≤-时，即为()2f x ax =+，所以22x ax -=+至多一个实根①；当212x -≤≤时，即为()2g x ax =+，所以2ax =+至多两个实根②．由①知，221,22x a ⎡-=∈--⎢+⎣），所以02a ≤<-，由②知，2ax =+，所以0x =或24,142ax a ⎡⎤=-∈-⎢⎥+⎣⎦，所以2a ≤-或2a ≥+，且0a ≠．当2k =时，若0a =，则有两个零点0和1-，符合题意．当a<0时，①无实根，对于②，只要2414ax a =-≤+，化简得2(2)0a +≥，则20a -≤<，符合题意．当0a >时，若02a <<-，则有三个不等实根，不符合题意．若2a =，则有两个零点0和22-，符合题意．若2a >，则仅有一个零点0，不符合题意．综上所述，当2k =时，a 的取值范围为[]{}2,02-⋃-.（ⅱ）由（ⅰ）得当3k =时，02a <<-，且三个零点分别为224,,024aa a --++，显然,0αβ≠，所以()11311,24a a aαβ+=++∈．易得函数3114y a a =++在()0,2上单调递减，所以3114y a a=++>所以()11αβ+∈+∞．【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数.。
2020年3月浙江省学考选考超级全能生2020届高三全国卷第一次在线联考文科数学试题及参考答案
“超级全能生”2020届高三全国卷第一次在线联考数学文科答案及评分标准二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．714．π615．2416.28π3三、解答题评分标准：1.具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。
2.试题有不同解法时，解法正确可酌情给分。
17．解：(Ⅰ)根据S 4＝2a 5，a 3＋a 4＝7列方程组求出首项和公差即可求解；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的条件求出b n ，进而求出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －1b n ＋14的通项公式，再利用裂项相消法求和即可求证． 解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d.由S 4＝2a 5，a 3＋a 4＝7， 得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝2（a 1＋4d ），2a 1＋5d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，(2分) ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，(4分)S n ＝n （n ＋1）2.(6分) (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得b n ＝a n S n ＝n n （n ＋1）2＝2n ＋1，∴b n －1b n ＋14＝4n （n ＋2）4＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，(9分) ∴T n ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2＝121＋12－1n ＋1－1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2≤34.(12分) 18．解：(Ⅰ)由频数分布表计算平均数及中位数，即可求解；(Ⅱ)根据已知条件，分别求出“青少年”和“老年人”的人数，完成列联表，代入公式可判断．解：(Ⅰ)根据频数分布表可知样本年龄的平均数x ＝20×30200＋30×60200＋40×70200＋50×20200＋60×10200＋70×10200＝37.50.(3分) 设样本年龄的中位数为x ，由题知组距为10，因为30＋60200＝0.45， 所以(x －35)×70200÷10＝0.5－0.45， 即x ＝35＋107≈36.43，(5分) 所以样本年龄的中位数为36.43.(6分)(Ⅱ)由题意知，抽取的“青少年”的人数共有200×(0.015＋0.030)×10＝90(人)，则“中老年”的人数共有200－90＝110(人)．(7分)完成列联表(8分)则K 2＝200×（20×70－40×70）290×110×60×140≈4.714>3.841，(11分) 所以有95%的把握认为肥胖与年龄段有关．(12分)19．解：(Ⅰ)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，所以PA ⊥CD.(1分)因为四边形ABCD 为平行四边形，△ABC 是边长为6的正三角形，所以底面ABCD 为菱形，△ACD 为等边三角形．又点E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD.(2分)因为PA ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面PAE.(4分)又平面PCD ，(5分)所以平面PCD ⊥平面PAE.(6分)(Ⅱ)如图，连接FG ，FC ，FA ，GE ，过点A 作AH ⊥GE 交GE 于点H.因为点F ，G 分别是PB ，PA 的中点，所以FG ∥AB.又GA ⊥平面ABC ，所以GA ＝12PA ＝2，且为三棱锥F －ABC 的高，所以V F －ABC ＝13×12AB·ACsin60°×GA ＝13×12×6×6×32×2＝6 3.(8分)由(Ⅰ)知CE ⊥平面PAE ，所以CE ⊥平面GAE ，CE ⊥AH.因为CE ∩GE ＝E ，所以AH ⊥平面CEGF ，所以AH 为四棱锥A －CEGF 的高．由题可得AE ＝33，GE ＝GA 2＋AE 2＝31，所以AH ＝GA·AE GE ＝69331， V A －CEGF ＝13CE·GE·AH ＝13×3×31×69331＝63，(11分)故V BCF －AEG ＝V F －ABC ＋V A －CEGF ＝12 3.(12分)20．解：(Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(c ，0)，右焦点到直线y ＝2x 的距离为2，即|2c|1＋2＝2，所以c ＝3， 则c ＝a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3.(2分)又椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫12，154，可得14a 2＋1516a 2－3＝1， 解得a 2＝4，所以b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分) (Ⅱ)解法一：显然点M(1，t)在椭圆C 的内部，故－32<t<32，且直线l 的斜率不为0， 当直线l 的斜率存在且不为0时，t ≠0，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)＋t ，代入椭圆C 的方程并化简得(1＋4k 2)x 2＋(8kt －8k 2)x ＋4k 2－8kt ＋4t 2－4＝0.设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kt －8k 21＋4k 2＝2，解得k ＝－14t.(8分) 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，所以直线m 的方程为y －t ＝4t(x －1)，即y ＝t(4x －3)．将点P ⎝⎛⎭⎫12，154代入y ＝t(4x －3)得， t ＝－154<－32， 所以不存在这样的直线m ；(10分)当直线l 的斜率不存在时，t ＝0，所以直线m 的方程为y ＝0，故直线m 不过点P ，综上所述，直线m 不存在．(12分)解法二：显然点M(1，t)在椭圆C 的内部， 故－32<t<32，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，t ≠0，设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)，所以x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1， 两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为M(1，t)，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2t ，故直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14t .(8分) 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线m 的方程为y －t ＝4t(x －1)，即y ＝t(4x －3)．将点P ⎝⎛⎭⎫12，154代入y ＝t(4x －3)得， t ＝－154<－32， 所以不存在这样的直线m ；(10分)当直线l 的斜率不存在时，t ＝0，所以直线m 的方程为y ＝0，故直线m 不过点P ，综上所述，直线m 不存在．(12分)21．解：(Ⅰ)∵函数f(x)＝lnx －x 2－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝1x －2x －1＝－（2x －1）（x ＋1）x. 令f′(x)>0，解得0<x<12； 令f′(x)<0，解得x>12，(2分)∴函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增； 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，(3分) ∴f(x)极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝14－ln2，无极小值．(4分)(Ⅱ)解法一：由题意得f(x)＋(1－m)(x 2＋2x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，∴m ≥lnx ＋x ＋1x 2＋2x在(0，＋∞)上恒成立. 设函数h(x)＝lnx ＋x ＋1x 2＋2x， 则h′(x)＝－（x ＋1）（x ＋2lnx ）（x 2＋2x ）2， 显然x ＋1>0，(x 2＋2x)2>0.(5分)设函数t(x)＝－(x ＋2lnx)，则t′(x)＝－⎝⎛⎭⎫1＋2x <0， 故函数t(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵t(1)＝－1<0，t ⎝⎛⎭⎫12＝－⎝⎛⎭⎫12＋2ln 12 ＝2ln2－12>0， 由零点存在性定理得0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得t(x 0)＝0， 即x 0＋2lnx 0＝0，(8分)且当x ∈(0，x 0)时，t(x)>0，则h′(x)>0；当x ∈(x 0，＋∞)时，t(x)<0，则h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，x 0)上单调递增；在(x 0，＋∞)上单调递减，(10分)∴h(x)max ＝h(x 0)＝lnx 0＋x 0＋1x 02＋2x 0. 又∵x 0＋2lnx 0＝0，x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，则h(x 0)＝lnx 0＋x 0＋1x 20＋2x 0＝12x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，(11分) ∴由m ≥h(x)恒成立，且m 为整数，可得m 的最小整数值为1.(12分)解法二：由题意得f(x)＋(1－m)(x 2＋2x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，设函数h(x)＝lnx －mx 2＋(1－2m)x ＋1，则h′(x)＝1x ＋1－2m －2mx ＝－（x ＋1）（2mx －1）x，x>0.(6分) 当m ≤0时，x ＋1>0，2mx －1<0，则h′(x)>0，则函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．由h(1)＝2－3m>0可得，当x>1时，h(x)>0，与h(x)≤0矛盾，故舍去；(8分)当m>0时，h′(x)＝－2m （x ＋1）⎝⎛⎭⎫x －12m x， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12m 时，h′(x)>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞时，h′(x)<0，故函数h(x)在⎝⎛⎭⎫0，12m 上单调递增； 在⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞上单调递减，(10分) ∴h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12m ＝14m －ln2m ，故14m－ln2m ≤0. 设函数t(m)＝14m －ln2m ， 显然函数t(m)在(0，＋∞)上单调递减，且t ⎝⎛⎭⎫12＝12>0，t(1)＝14－ln2<0， 则当14m－ln2m ≤0时，m 的最小整数值为1.(12分) 22．解：(Ⅰ)当α＝π2时，直线l 的方程为x ＝1； 当α≠π2时，将直线l 的参数方程消去t ，得直线l 的普通方程为y ＝tanα(x －1)．(3分) 因为ρ＝2，所以ρ2＝4，将ρ2＝x 2＋y 2代入，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(5分)(Ⅱ)点P(1，0)在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcosα，y ＝tsinα(t 为参数)上， 将上式代入x 2＋y 2＝4，得t 2＋2tcosα－3＝0.(6分)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cosα，t 1t 2＝－3，(8分)所以1|PA|＋1|PB|＝1|t 1|＋1|t 2|＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（t 1＋t 2）2－4t 1t 2t 1t 2＝4cos 2α＋123≤43， 所以1|PA|＋1|PB|的最大值为43.(10分) 23．解：(Ⅰ)由f(x)<3得|2x －1|－|x|<3，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1－x<3或⎩⎪⎨⎪⎧0<x<12，1－2x －x<3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＋x<3，(3分) 解得－2<x<4，所以不等式f(x)<3的解集为{x|－2<x<4}．(6分)(Ⅱ)由题知|x －3y ＋1|≤13，|2y －1|≤16， 且f(x)≤a －|x|恒成立，即a ≥[f(x)＋|x|]max ，所以f(x)＋|x|＝|2x －1|＝|2(x －3y ＋1)＋3(2y －1)|≤2|x －3y ＋1|＋3|2y －1|≤23＋12＝76. 所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫76，＋∞.(10分)。
2021年浙江省学考选考七彩阳光新高考研究联盟期中联考高三数学试题参考答案
浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟期中联考高三数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.答案：B2.答案：C3.答案：A4.答案：D5.答案：C6.答案：D7.答案：C8.答案：C9.答案：A 10.答案：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.答案：2, 12.答案：5，80 13.，2x y +=14.答案：6π或56π 15.答案：11416.答案：3[,1)4 17.18.解析: （Ⅰ）1()cos 2cos(2)cos 2cos 2sin 2322f x x x x x x π=+−=++……………2分3cos 22)223x x x π=+=+，……………4分 当2[2,2],322x k k k Z πππππ+∈−+∈，函数()f x 单调递增，……………6分 所以()f x 的单调递增区间5[,],1212k k k Z ππππ−+∈. …………………7分（Ⅱ）由已知得())233f απα=+=，所以1sin()33πα+=，……………9分而2())+)1263f πππααα−=+=……………12分22sin ()]39πα=−+=−. …………………14分 19.（本小题满分15分）（Ⅰ）证明：如图，以C 为原点，,CA CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，……………1分（有建系意识给一分）设2PA AC BC ===，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),(2,0,2)A B C P ， 所以3142(1,1,1),(1,0,1),(,0,),(,,0)2233M E N D ，……………4分（M ，N ，D 三个点坐标各占一分）所以 1142(,1,)(,,0)2233MN CD =−−=，，……………6分 因为 0MN CD ⋅=，所以 MN CD ⊥. …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知(2,2,2)(2,0,2),PB CP =−−=，…………………9分 设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =，则0,0.CD n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得420,33220.x y x z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩………………11分 令1x =，则2,1y z =−=−，故平面PCD 的一个法向量为(1,2,1)n =−−， …………………12分设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ，则||sin 3||||2PB n PB n θ⋅===⋅. …………………15分 （本题用补体将几何体放在正方体中同样给分）20.解析：（Ⅰ）由2(1)n n S a =−得，12a =…………………1分112(1)n n S a ++=−，两式相减得，12n n a a +=，………………3分所以2n n a =， …………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）2(1)2(21)n n n S a =−=−，…………………6分 所以1112(21)2n n n S =≤−，………………8分 所以21111112222n n n T ≤+++=−<，………………9分 当1n =时，2131242n T ==−，………………10分 又当2n ≥时，+11112(21)2n n n S =>−，………………12分所以131111(1)11113182=122224212n n n n T −++−>+++=+−−，……………14分 综上可得，131142n n T +−≤<.…………………15分 21.解析：（Ⅰ）设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，则0101014PA y y k x x y y −==−+，021244PB AB k k y y y y ==++，， ………………1分 因为直线PA PB 、的倾斜角互补，所以010244+=0y y y y ++，……………2分 即01220y y y ++=， …………3分又PAB ∆重心的纵坐标为13，故0121y y y ++=， …………5分 所以122y y +=，所以2k =..…………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线:2l y x b =+，与抛物线得2244(1)0x b x b +−+=，…………7分其判别式22116(1)1602b b b ∆=−−>⇒<, 所以 102b <<. …………8分 而212111,4b x x b x x +=−=，…………9分 因此，||AB ===，…………10分 又由（Ⅰ）知，1(,1)4P −到直线l的距离为3||b d +=， …………11分 所以13||()=22PAB S AB d b ∆=⋅=+………12分 令231()(12)(),(0)22f b b b b =−+<<，则3()(61)()02f b b b '=−++<恒成立， 故()f b 在1(0,)2上单调递减， 故3(0,)4PAB S ∆∈ …………………15分（注：弦长公式、点到线距离公式、面积公式三者中无论写出哪个只给一分，不累计得分） 22.解析：（Ⅰ）因为(1)(1)()x x mx m f x e−+−'=−， ………2分 ①当0m =时，1()x x f x e −'=−，当1x >时，()0f x '<，当1x <时，()0f x '>， 所以()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减； ………4分②当0m >时，1(1)(1)()x m x x m f x e −−+'=−，111m−<， 当1(1,1)x m ∈−时，()0f x '>，当1(,1)(1,)x m∈−∞−+∞时，()0f x '<， 所以()f x 在1(1,1)m −单调递增，在1(,1),(1,)m−∞−+∞单调递减； ………6分 ③当0m <时，111m −>，当1(1,1)x m ∈−时，()0f x '<，当1(,1)(1,)x m∈−∞−+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在1(1,1)m −单调递减，在1(,1),(1,)m −∞−+∞单调递增. .…………………8分 （Ⅱ）要证明()+ln ef x x x ≤，只需证明()ln ef x x x ≤−，而ln 1x x −≥，因此只需证明1()f x e ≤， ………9分 当=0m 时，()x x f x e =，由（Ⅰ）知()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以max 1()(1)f x f e==； ………11分 当0m <时，2(1)1()x x m x x x f x e e e++=<≤， ………14分 故()ln ef x x x +≤ ..…………………15分。
浙江省普通高校招生学考数学试卷解析版
普通高校招生学考数学试卷一、选择题（本大题共18小题，共54.0分）1.函数y=log3（x-2）的定义域为（）A. {x|x＞2}B. {x|x＞0}C. {x|x＜2}D. R2.直线y=-2x+6的斜率为（）A. 2B. -2C.D.3.下列点中，在不等式3x+2y-6＞0表示的平面区域内的是（）A. （0，0）B. （1，0）C. （1，1）D. （1，2）4.设{a n}为等差数列，若a2=2，a3=3，则a5=（）A. 4B. 5C. 6D. 75.若α为锐角，，则cosα=（）A. B. C. D.6.椭圆右焦点的坐标为（）A. （1，0）B. （，0）C. （，0）D. （2，0）7.已知函数f（x）=-x3，则（）A. f（x）是偶函数，且在（-∞，+∞）上是增函数B. f（x）是偶函数，且在（-∞，+∞）上是减函数C. f（x）是奇函数，且在（-∞，+∞）上是增函数D. f（x）是奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数8.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD=DB．若M为线段PB的中点，则直线DM与平面ABCD所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.若向量=（x，4）与=（2，1）垂直，则实数x的值为（）A. 2B. -2C. 8D. -810.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=1，A=30°，B=45°，则b的值为（）A. B. C. D. 211.已知m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12.若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（）A. B. 1 C. D. 213.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. 2πC.D.14.已知函数f（x）=，若f（x）=4，则x的值为（）A. 2或-2B. 2或3C. 3D. 515.设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}；②{a n2}；③；④{log2|a n|}，其中一定为等比数列的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④16.函数f（x）=（3ax-b）2的图象如图所示，则（）A. a＞0且b＞1B. a＞0且0＜b＜1C. a＜0且b＞1D. a＜0且0＜b＜117.已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足a+b＞c+d，且|a-b|＜|c-d|，则下列选项正确的是（）A. a2+b2 ＞c2 +d2B. |a2-b2|＜|c2-d2|C. +＜+D. |-|＜|-|18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，且∠APB1=∠ADB1，则点P的轨迹为（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线二、填空题（本大题共4小题，共15.0分）19.已知集合A={1，2}，集合B={2，3}，则A∩B=______；A∪B=______．20.已知实数x，y满足x2+4y2=2，则xy的最大值为______．21.已知A，B为圆C上两点，若AB=2，则的值为______．22.正项数列{a n}的前n项和S n满足S n=．若对于任意的n∈N*，都有a n＞k成立，则整数k的最大值为______．三、解答题（本大题共3小题，共31.0分）23.已知函数f（x）=2sin x sin（x+）（x∈R）．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若y=f（x+φ）（0＜φ＜）为偶函数，求φ的值．24.如图，不垂直于坐标轴的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）有且只有一个公共点M．（Ⅰ）当M的坐标为（2，2）时，求p的值及直线l的方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切于点N，求|MN|的最小值．25.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a=-1，b=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a=1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠-1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：要使函数有意义，则需x-2＞0，解得：x＞2，即函数的定义域为：，故选：A．由函数定义域的求法得：要使函数有意义，则需x-2＞0，解得：x＞2，得解本题考查了函数定义域的求法及解一元一次不等式，属简单题2.【答案】B【解析】解：根据题意，直线的方程为y=-2x+6，则其斜率为-2；故选：B．根据题意，由直线的斜截式方程直接分析可得答案．本题考查直线的斜截式方程的应用，涉及直线的斜率，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：当x=1，y=2时，3+4-6=1＞0，即点D（1，2）位于不等式对应的平面区域内，故选：D．将点的坐标代入不等式进行验证即可．本题主要考查点与平面区域的关系，利用代入法是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的项的计算，属基础题．【解答】解：{a n}为等差数列，因为所以d=1，a3-a2=1，所以a5=a3+2d=5，故选B．5.【答案】D【解析】解：∵α为锐角，且，∴cosα=．故选：D．直接利用同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵椭圆，∴a2=2，b2=1∴c2=a2-b2=1，∴c=1∴椭圆的右焦点坐标为（1，0）故选：A．利用椭圆的标准方程确定几何量，即可得到双曲线的右焦点的坐标．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=-x3，有f（-x）=-（-x）3=x3=-f（x），则函数f（x）为奇函数；又由f′（x）=-3x2，则f′（x）≤0在R上恒成立，则f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，故选：D．根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），即可得函数f（x）为奇函数，求出其导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数单调性的判断方法，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：取BD的中点N，连接MN，∵M，N分别是PB，BD的中点，∴MN∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDB为直线DM与平面ABCD所成的角，∵tan∠MDB====1，∴∠MDB=45°．故选：B．取BD的中点N，连接MN，可证MN⊥平面ABCD，在Rt△MND中计算tan∠MDB即可得出结论．本题考查了直线与平面所成的角的计算，作出线面角是关键．9.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴x=-2．故选：B．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．10.【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，A=30°，B=45°，∴由正弦定理：，得：b===，故选：C．由sin A，sin B，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的长．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”则能推出“m∥n，但是由m∥n不能m⊥α，n⊥α，也可能m∥α，n∥α，故“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，由两条渐近线互相垂直，可得-•=-1，可得a=b，即有c==a，可得离心率e==．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：由三视图得到几何体是半个球与倒放圆锥的组合体，其中球的半径为1，圆锥的高为2，所以体积为××π×13+×12π×2=；故选：A．由三视图得到几何体是半个球与倒放的圆锥的组合体．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．14.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）=，当|x|≤1时，f（x）=x2=4，解可得x=±2，不符合题意，当|x|＞1时，f（x）=x+1=4，解可得x=3，符合题意，故x=3；故选：C．根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论：当|x|≤1时，f（x）=x2=4，当|x|＞1时，f （x）=x+1=4，求出x的值，验证是否符合题意，综合即可得答案．本题考查分段函数的应用以及函数值的计算，注意分析函数解析式的形式，属于基础题．15.【答案】A【解析】解：{a n}为等比数列，设其公比为q，则通项为，所以对于①，2a n是以2a1为首项，以q为公比的等比数列，对于②，为常数，又因为≠0，故②为等比数列，对于③，=，不一定为常数，对于④，=，不一定为常数，故选：A．根据等比数列的通项公式，分别验证即可．本题查了等比数列的判断，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：当a=1时，b=2时，f（x）=（3x-2）2，当x=log32时，f（x）=0，故A不符合，当a=1时，b=-0.5时，f（x）=（3x-0.5）2，当x→+∞时，f（x）→+∞，故B不符合，当a=-1时，b=2时，f（x）=（（）x-2）2，当x=-log32时，f（x）=0，此时符合，当a=-1时，b=0.5时，f（x）=（（）x-0.5）2，当x=log32时，f（x）=0，此时不符合，故选：C．分别取特殊值，根据函数的零点和函数值的变化趋势即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了指数对数函数和指数函数的性质，属于基础题17.【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，排除法，属基础题．取特值排除．【解答】解：取a=6，b=5，c=2，d=8可排除A，C；取a=7，b=4，c=2．d=6可排除B；故选：D．18.【答案】B【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，则点P在对角面A1BCD1内，∵∠APB1=∠ADB1，则点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．因此点P的轨迹为圆．故选：B．正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，可得点P在对角面A1BCD1内，根据∠APB1=∠ADB1，可得点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．本题考查了空间位置关系、圆锥与圆的定义、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】{2} {1，2，3}【解析】解：∵集合A={1，2}，集合B={2，3}，∴A∩B={2}，A∪B={1，2，3}．故答案为：{2}，{1，2，3}．利用交集、并集定义直接求解．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】【解析】解：实数x，y满足x2+4y2=2，则2=x2+4y2≥4|xy|，当且仅当|x|=2|y|时取等号即|xy|≤，∴-≤xy≤故xy的最大值为，故答案为：利用基本不等式即可求出结果．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．21.【答案】2【解析】解：如图所示：在直角三角形ACD中，cos∠CAD==，而•=AB×AC×cos∠CAD=2×AC×=2．故答案为：2由圆的性质得出cos∠CAD==，由数量积的定义可得答案．本题考查数量积的求解，涉及圆的知识和数量积的定义，属基础题．22.【答案】1【解析】解：当n=1时，，解得，当n≥2且n∈N*时，由得：，即，整理得：⇒，即=，∴a n=S n-S n-1===，因为满足，∴，则，∴===，∵，∴，即，∴a n+1-a n＜0，即数列{a n}为递减数列，又==1，∴a n＞1，则整数k的最大值为1．故答案为：1．根据可求得，进而得到a n的通项公式，根据通项公式可证得数列{a n}为递减数列，可求得，由此得到k的最大值为1．本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用S n求得a n的通项公式，进一步证明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果，难点是对于数列是递减数列的证明上，对计算能力要求较高．23.【答案】解：（Ⅰ）由，得f（0）=2sin0sin；（Ⅱ）∵=2sin x cosx=sin2x，∴f（x）的最小正周期为π；（Ⅲ）∵y=f（x+φ）=sin（2x+2φ）为偶函数，∴对任意x∈R都有sin（-2x+2φ）=sin（2x+2φ），即-sin2x cos2φ+cos2x si n2φ=sin2x cos2φ+cos2x sin2φ，即sin2x cos2φ=0，∴cos2φ=0，∵0＜φ＜，∴φ=．【解析】（Ⅰ）直接在函数解析式中取x=0求解；（Ⅱ）利用诱导公式及倍角公式变形，再由周期公式求周期；（Ⅲ）由y=f（x+φ）=sin（2x+2φ）为偶函数，可得对任意实数x都有sin2x cos2φ=0，即cos2φ=0，再结合φ的范围求解．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．24.【答案】解：（1）点M（2，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，故有22=4p，所以p=1，从而抛物线的方程为y2=2x，设直线l的方程为x=m（y-2）+2，代入y2=2x，得y2-2my+4m-4=0．由l与抛物线相切可知，△=4m2-4（4m-4）=0，解得m=2，所以直线l的方程为x=2（y-2）+2，即y=．（2）设直线l的方程为x=my+t（m≠0），代入y2=2px得y2-2pmy-2pt=0．由直线l与抛物线相切可知△=y2-2pmy+8pt=0，所以t=-①又因为直线l与圆x2+y2=1相切，所以，即t=1+m2②将①式代入②式得，所以．设M的坐标为（x0，y0），则y0=pm，从而x0=my0+t=．所以|MN|2=|OM|2-|ON|2===1+-1=≥8，因此当|m|=时．|MN|的长度有最小值，最小值为2．【解析】（1）将M点坐标代入抛物线方程，可得到p的值已以及抛物线的方程，设出直线方程，根据直线与抛物线相切，联立直线和抛物线的方程，消去x，令△=0可得直线方程．（2）设出直线方程，根据直线和抛物线相切，直线与圆相切，将参数减少的一个，再根据|MN|2=|OM|2-|ON|2将|MN|表示成参数的函数，求最值即可．本题考查了直线与抛物线，直线与圆的位置关系，综合性较强，属于难题．25.【答案】解：（Ⅰ）当a=-1，b=2时，由题意知，解得0≤x≤2，所以f（x）的定义域为[0，2]．（Ⅱ）当a=1时，，（i）当，即b≥0时，f（x）定义域为[0，+∞），值域为[，+∞），所以b≥0时，f（x）不是“同域函数”；（ii）当时，即b＜0，当且仅当△=b2-8=0时，f（x）为“同域函数”，所以，综上可知，b的值为．（Ⅲ）设f（x）定义域为A，值域为B；（i）当a＜-1时，a+1＜0，此时0∉A，0∈B，从而A≠B，所以f（x）不是“同域函数”；（ii）当-1＜a＜0时，a+1＞0，设，则f（x）定义域为[0，x0]，①当时，即b≤0时，f（x）值域为B=[0，]，若f（x）为“同域函数”，则x0 =，从而，又因为-1＜a＜0，所以b的取值范围为（-1，0）．当时，即b＞0，f（x）值域为B=．若f（x）为“同域函数”，则，从而，．（*）此时，由可知（*）式不能成立；综上可知，b的取值范围为（-1，0）．【解析】（Ⅰ）建立不等式组求解即可；（Ⅱ）对分类讨论，结合新定义进行分析、求解；（Ⅲ）对a分两种情况讨论，紧扣“同域函数”的概念，建立方程进行求解．本题主要考查函数的定义域与值域，掌握新概念的本质是解题的关键，属于中档题目．。
2024-2025学年浙江省金华市高三上学期10月联考数学检测试卷(含解析)
2024-2025学年浙江省金华市高三上学期10月联考数学检测试卷考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = A .B.{}2,0,2,4-{}2,10-C.D.{}0,2,4{}2,42. 已知，则（）1i z =--()1i z -=A .B. 1D. 22-3. 已知非零向量，，则“”是“向量”的（）a b a b a b +=- a b ⊥ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）()224xy +=αcos α=A. B. D. 35455. 二项式的展开式中的常数项为（ ）622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. 480B. 240C. 120D. 156. 已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为SO 1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为（）SO A. 1D. 127. 函数在区间上的所有零点之和为（ ）()5πsin cos cos 24x f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()π,2π-A .B. C. D. 4π2π3π8. 已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当()f x []0,10x =1x =x ()0f x =（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都n x m =n m <m n ()1f x m =a b a b +ab 属于时，下列选项恒成立的是（）[]0,1A. B. ()()()f a b f a f b +≤+()()()f a b f a f b +≥⋅C.D.()()()f ab f a f b ≥+()()()f ab f a f b ≥⋅二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（X Y ()2,1X N ()4,0.5Y B ~）A. B. ()()04P X P X ≤=≥()()04P Y P Y ≤=≥C.D.()()E X E Y =()()22P X P Y ≤=≤10. 在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），1111ABCD A B C D -12AB AA =M 1DD 则（）A. 过点有且仅有一条直线与直线，都垂直M AC 11B DB. 过点有且仅有一条直线与直线，都相交M AC 11B DC. 有且仅有一个点满足和的面积相等M MAC △11MB D D. 有且仅有一个点满足平面平面M MAC ⊥11MB D 11. 已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）()00,P x y 33:C x y y x +=-A. 曲线的图象关于原点对称C B. 对任意，直线与曲线有唯一交点0x ∈R 0x x =C PC. 对任意，恒有[]01,1y ∈-012x <D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于C 11y -≤≤y π4三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则22143x y +=1F 2F P 212PF F F ⊥线段__________．2PF =13. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为e xy =1x =l ln y a x =+a ______．14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，0x 就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，0x 2-1x 0x 1x 就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛0x 2-1x 0x 1x 掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的2x 20x x >0x 取值范围是__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 在中，角的对边分别为，，，已知，ABC V ,,A B C a b c 222c a b ab =++．()sin cos C B A-=（1）求角和角．C B （2）若边的面积．BC ABC V 16. 已知双曲线与过点，的直线有且只2222:1(0,0)x y C a b ab -=>>A⎫⎪⎭(0,B有一个公共点，且双曲线的离心率．T C e =（1）求直线和双曲线的方程；AB C （2）设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：1F 2F C M 2AF ．21MTF TF A ∠=∠17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三P ABCD -ABCD 60BAD ∠=PAD 角形，是棱的中点．M PC（1）证明：；AD DM ⊥（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．P AD B --60oDM PAB 18. 已知函数．()()e xf x x a =-（1）若，求函数的单调区间和最值；2a =()f x （2）若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数0a ≤()y g x =()y f x =1x =-的解析式并证明：恒成立．()g x ()()g x f x ≤（3）若，且函数在上有两个极值点，求实数的1a =()()()2h x f x t x x =--1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭t 取值范围．19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即4n …{}n a 且．数列满足，．若对于12,,,n a a a ∈Z12n a a a <<<{}n b 11b a =n n b a =，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数{}2,3,,1i n ∈- 1i i b a --k {}n b {}n a k 列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的{}2,3,,1i n ∈- 1i i a b +-k {}n b {}n a “右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数k {}2,3,,1i n ∈- 1i i a b k +-=1i i b a k --=列为的“左右型间隔数列”．{}n b {}n a k （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；{}:1,3,5,7,9n a （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列{}n a ()81n a n n =-{}n b {}n a k 是的“右型间隔数列”，若，且有，求{}n c {}n a k 10n =1212n n b b b c c c +++=+++ 的值；k（3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型{}n a 10a =27a ={}n a 间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于{}n b {},2,3,,1i j n ∈- i j i j a b b a +≠+n a 的最小值（即关于的最小值函数）．n n ()f n 2024-2025学年浙江省金华市高三上学期10月联考数学检测试卷考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = A. B. {}2,0,2,4-{}2,10-C.D.{}0,2,4{}2,4【正确答案】C【分析】先求出集合A ，后根据交集概念计算即可.【详解】因为，{15}A x x =-<<∣{}2,0,2,4,10B =-所以．{}0,2,4A B ⋂=故选：C ．2. 已知，则（）1i z =--()1i z -=A. B. 1D. 22-【正确答案】A【分析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】因为．()()()21i 1i 1i (i)12z -=---=--=-故选：A ．3. 已知非零向量，，则“”是“向量”的（）a b a b a b +=- a b ⊥ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.【详解】因为，为非零向量，ab 若，则，则，a b a b+=-()()22a ba b+=- 222222aa b b a a b b +⋅+=-⋅+ 所以，所以，故充分性成立；40a b ⋅= a b ⊥若，则，所以，a b ⊥ 0a b ⋅= 222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 所以，则，故必要性成立；()()22a ba b+=- a b a b+=- 所以“”是“向量”的充要条件.a b a b+=-a b ⊥故选：C ．4. 若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）()224xy+=αcos α=A. B.D. 3545【正确答案】A【分析】由题意求出点到圆心的距离为，进而可得，结合二倍角的余()d sin=2rd α弦公式计算即可求解.【详解】点到圆心的距离为，圆的半径为，()()0,0d =2r =所以，于是．sin 2r d α===223cos 12sin 1225αα=-=-=故选：A ．5. 二项式的展开式中的常数项为（ ）622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. 480 B. 240C. 120D. 15【正确答案】B【分析】运用通项公式计算即可.【详解】因为得到常数项，则．()621231662C C 2,rrrr r rr T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭4r =.246C 21516240=⨯=故选:B．6. 已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为SO 1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为（）SO A. 1D.12【正确答案】C.【详解】作出轴截面，如图所示，由题意可得：，可知分别为的中点，4,2AB DE ==,D E ,SA SB 则分别为的中点，则，,M N ,OAOB 12DM SO ==可得；2πS ==圆柱侧面积π248πS =⨯⨯=圆锥侧面积故选：C ．7. 函数在区间上的所有零点之和为（ ）()5πsin cos cos 24x f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()π,2π-A. B. C. D. 4π2π3π【正确答案】B【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，作出函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解.5πcos 24x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan y x =【详解】由得，即，()0f x =sin 5πcos cos 24x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πtan cos 24x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的零点即方程的根，()f x 5πtan cos 24x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作出函数和的图象，如图，5πcos 24x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan y x =由图可知两个图均关于中心对称且在上有两个交点，π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭故函数在区间上有4个零点，所以4个零点的和为．()f x ()π,2π-2π故选：B ．8. 已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当()f x []0,10x =1x =x ()0f x =（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都n x m =n m <m n ()1f x m =a b a b +ab 属于时，下列选项恒成立的是（）[]0,1A. B. ()()()f a b f a f b +≤+()()()f a b f a f b +≥⋅C.D.()()()f ab f a f b ≥+()()()f ab f a f b ≥⋅【正确答案】D【分析】使用特值法可排除A,B,C,据，的取值可分类讨论证明D 正确.a b 【详解】当时，，，12a b ==()()=1=0f a b f +()11==44f ab f⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()11==()22f a f b f =所以，，故排除B 、C ；()()()f a b f a f b +<⋅()()()f ab f a f b <⋅当，时，，，，18a =38b =()11==22f a b f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()11==88f a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()31==88f b f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，故排除A ．()()()f a b f a f b +>+下面证明D 的正确性：当，之一为无理数或者0或者1时，不等式右边为0，显然成立．a b 当，都是真分数时，不妨设，，a b n a m =q b p =则不等式右边为，显然有左边大于或等于．1mp 1mp 所以不等式成立．故选：D ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（X Y ()2,1X N ()4,0.5Y B ~）A .B. ()()04P X P X ≤=≥()()04P Y P Y ≤=≥C.D.()()E X E Y =()()22P X P Y ≤=≤【正确答案】ABC【分析】根据正态分布的性质和二项分布的性质计算即可.【详解】对A ，因为，根据对称性，知道，故A 正确；()2E X =对B ，因为，故B 正确；()()()()440411100C (()441622P Y P Y P Y P Y ≤=======≥对C ，因为，故C 正确；()()2,40.52E X E Y ==⨯=对D ，因为，，()122P X ≤=()004113222444111111112C (()C ()()C (()22222216P Y ≤=++=故D 错误.故选：ABC ．10. 在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），1111ABCD A B C D -12AB AA =M 1DD 则（）A. 过点有且仅有一条直线与直线，都垂直M AC 11B DB. 过点有且仅有一条直线与直线，都相交M AC 11B DC. 有且仅有一个点满足和的面积相等M MAC △11MB D D. 有且仅有一个点满足平面平面M MAC ⊥11MB D 【正确答案】AB【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系逐项判断即可.【详解】由图可知直线和直线异面，AC 11B D 则过空间中一点都是有且仅有一条直线与它们垂直，故A 正确；又易知与，都相交，且点在上，1DD AC 11B D M 1DD 所以过点有且仅有一条直线与直线，都相交，故B 正确；M AC 11B D 连接交于，易知，所以，BD AC O MA MC =MO AC ⊥可知到的距离大于，且，M AC DO 1AB A DO ==又到的距离小于，结合所以三角形面积不可能相等，故C 错误；M 11B D 1AA 11AC B D =由正四棱柱易得：平面，又平面，AC ⊥11MB D AC ⊂MAC 所以对任意恒有平面平面，故D 错误.M MAC ⊥11MB D 故选：AB.11. 已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）()00,P x y 33:C x y y x +=-A. 曲线的图象关于原点对称C B. 对任意，直线与曲线有唯一交点0x ∈R 0x x =C PC. 对任意，恒有[]01,1y ∈-012x <D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于C 11y -≤≤y π4【正确答案】ACD【分析】将，替换为，计算即可判断A ；取，可判断有三个交点即可判断x y x -y -0x =B ；利用函数的单调性来得出的取值范围，再结合的单调性3y x x =-300y y -()3f x x x =+进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于，将，替换为，，所得等式与原来等价，故A 33x y y x +=-x y x -y -正确；B ．取，可以求得，，均可，故B 错误；0x =0y =1y =1y =-C ．由，，函数，故，330000x x y y +=-[]01,1y ∈-3y x x =-213y x '=-令，解得：，在，时，，函数单调2130y x '=-=1x =1,x ⎡∈-⎢⎣⎤⎥⎦0'<y 递减，在时，，函数单调递增，所以，x ⎛∈ ⎝0'>y 300y y ⎡-∈⎢⎣又因为是增函数，，所以有，故C 正确；()3f x x x =+1528f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭012x <D ．当时，，又，[]00,1y ∈3300000x x y y +=-≥320002x x x +≥，所以．32000022y y y y -≤-22000x y y ≤-曲线与轴围成半圆，又曲线的图象关于原点对称，22x y y =-y C 则曲线与轴围成图形的面积小于，故D 正确．C y π4故选：ACD ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则22143x y +=1F 2F P 212PF F F ⊥线段__________．2PF =【正确答案】##32 1.5【分析】由已知可得点的横坐标为，代入椭圆方程即可求得点坐标，得出结果.P 1x =P 【详解】因为椭圆，则，所以，，22143xy +=2,1a b c ===()11,0F -()21,0F 因为,212PF F F ⊥所以点的横坐标为，代入求得纵坐标为，即．P 1x =32±232PF =故3213. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为e xy =1x =l ln y a x =+a ______．【正确答案】2【分析】根据是曲线在处的切线求出的方程，再求出与曲线相l e xy =1x =l l ln y a x =+切的切点即可求解.【详解】由得，又切点为，故，切线为，e x y =e xy '=(1,e)e =k l e y x =设与曲线的切点为，，所以，解得切点为，l ln y a x =+()00,e x x 1y x '=01e x =1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，解得．1ln 11e a a +=-=2a =故2.14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，0x就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，0x 2-1x 0x 1x 就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛0x 2-1x 0x 1x 掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的2x 20x x >0x 取值范围是__________．【正确答案】()(),21,-∞-+∞ 【分析】构造函数，，由两次复合列出不等式求解即可.()23f x x =-+()32xg x =--【详解】由题意构造，，()23f x x =-+()32x g x =--则有，，，．()()43f f x x =-()()9f g x x =+()()92g f x x =-()()342x g g x =-因为，恒成立，()()f g x x>()()g f x x<又的概率为0.5，20x x >所以必有或者解得．43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩()(),21,x ∈-∞-⋃+∞故()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 在中，角的对边分别为，，，已知，ABC V ,,A B C a b c 222c a b ab =++．()sin cos C B A-=（1）求角和角．C B （2）若边的面积．BC ABC V 【正确答案】（1），2π3C =π4B =（2【分析】（1）根据余弦定理求出，再将化简为2π3C =()sin cos C B A -=，从而求出即可；2ππsin sin 36B B ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4B =（2）根据边求出，，利用求解即可.BC 2b =c =1sin 2S bc A =【小问1详解】由余弦定理知，故．2221cos 22a b c C ab +-==-2π3C =因为，所以，()sin cos C B A -=2πππsin cos sin 336B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，所以，故．π03B <<2ππ36B B -=+π4B =【小问2详解】因为边上的高，解得，，BC sin sin h b C c B ===2b=c =又，()sin sin sin cos sin cos A B C BC C B =+=+=所以的面积．ABC V 1sin 2S bc A ==16. 已知双曲线与过点，的直线有且只2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ⎫⎪⎭(0,B 有一个公共点，且双曲线的离心率．T C e =（1）求直线和双曲线的方程；AB C （2）设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：1F 2F C M 2AF ．21MTF TF A ∠=∠【正确答案】（1），；:AB y =-2215y x -=（2）证明见解析【分析】（1）由离心率求出关系，并化简双曲线方程，再求出直线方程代入双曲线方程,a b 中，利用求解即可；Δ0=（2）求出点坐标，可进一步证明，进而证明.T 122F F T TF M ∽△△21MTF TF A ∠=∠【小问1详解】因为双曲线的离心率，e =所以，解得，2226a b a +=b =设双曲线方程.222215x y a a -=直线过点，，AB A ⎫⎪⎪⎭(0,B 所以直线，即，AB 1=:AB y =代入双曲线方程，得，22255x y a -=22220x a -+--=由题意，，解得()2Δ24820a =-+=21a =所以双曲线的方程：．C 2215y x -=【小问2详解】因为，于是即，21a =22220xa -+--=2230x -+=所以，代入x=y=y =则，又，所以，T 2F 224TF =因为为线段的中点，所以，M 2AF M ⎫⎪⎪⎭所以．222124F M F F F T ⋅===又，所以，故．122F F T TF M ∠=∠122F F T TF M ∽△△21MTF TF A∠=∠17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三P ABCD -ABCD 60BAD ∠=PAD 角形，是棱的中点．M PC （1）证明：；AD DM ⊥（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．P AD B --60oDM PAB 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取与中点，．连接，，，，证明四边形AD PB O N PO OB ON MN 是平行四边形．得到线面垂直，再用性质即可.ODMN （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，再用向量夹角计算公式计算PAB n即可.【小问1详解】证明：分别取与中点，．连接，，，，AD PB O N PO OB ON MN 则运用中位线性质知且,则11//,22NM BC NM BC =11//,22OD BC OD BC =，//,OD MN OD MN =则四边形是平行四边形．ODMN 侧面是正三角形，易知，.PAD AD OP ⊥底面是菱形，，则底面是正三角形，则.ABCD 60BAD ∠=BAD AD OB ⊥平面， 平面，,,OP OB O OP OB =⊂ POB AD ∴⊥POB 平面，.ON ⊂ POB AD ON ∴⊥由于四边形是平行四边形．，．ODMN DM ON ∥AD DM ∴⊥【小问2详解】由（1）知为二面角的平面角，即，前面知道，POB ∠P AD B --60POB ∠=AD OB ⊥则过O 做AD 的垂线Oz ，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系O ,,OA OB Oz 如图，O xyz -设，则，，，，，2AB =A (1,0,0)()1,0,0D-()C-()B 32P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，，34M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭34DM ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭()AB =-32PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的一个法向量为，PAB n =(x,y,z )则，进而求得一个法向量为．030x z ⎧-+=⎪-=()n = 设直线与平面所成角为，DM PAB α则．sin DM n DM n α⋅=== 18. 已知函数．()()e xf x x a =-（1）若，求函数的单调区间和最值；2a =()f x （2）若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数0a ≤()y g x =()y f x =1x =-的解析式并证明：恒成立．()g x ()()g x f x ≤（3）若，且函数在上有两个极值点，求实数的1a =()()()2h x f x t x x =--1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭t 取值范围．【正确答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，(),1-∞()1,+∞()1e f =-无最大值．（2），证明见解析()12e e a ag x x +=--（3）．22e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数与单调性的关系求解单调区间，再结合单调性求解最值即可；（2）根据导数的几何意义求出；令12()e e a ag x x +=--，利用导数求出最小值为即()()()()12e e e x a a u x f x g x x a x +=-=-++()u x ()10u -=可；（3）因为函数在上有两个极值点，所以()()()21e xh x x t x x =---1,22⎛⎫⎪⎝⎭在上有两个变号零点，分离参数得，求解直线()()e 21x h x x t x -'=-1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭121e x x t x -=与函数在上的图象有两个交点即可.1y t =()21e x x H x x -=1,22⎛⎫⎪⎝⎭【小问1详解】因为，所以，定义域为，求导得，2a =()()2e x f x x =-R ()()1e xf x x -'=故当时，；当时，，(),1x ∞∈-f '(x )<0x ∈(1,+∞)f '(x )>0所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，()f x (),1∞-(1,+∞)所以最小值为，无最大值．()1ef =-【小问2详解】，所以，又，()()1exf x x a =-+'()1e a f '-=-()11e af +-=-所以，即；()()11e e a ag x x +=-+-12()e e a a g x x +=--令，()()()()12e e e x a a u x f x g x x a x +=-=-++则，，这里表示的导函数．()()1e e x au x x a =-++'()()2e xu x x a =-+''()u x ''()u x '令，则，()0u x ''=2=-x a 当变化时，与的变化情况如下表：x ()u x ''()u x 'x(),2a ∞--2a -()2,a ∞-+()u x ''-+()u x '单调递减2e ea a --+单调递增所以当时，函数有极小值，极小值为，也是最小值，2=-x a ()u x '2e e a a--+因为当时，无限趋向于，所以当时，，x →-∞()u x '0e a ≤2x a <-()0u x '<又，此时，在上单调递减，在上单调递增，()10u '-=()u x (),1∞--()1,∞-+所以，即不等式恒成立．()()10u x u ≥-=g (x )≤f (x )【小问3详解】因为函数在上有两个极值点，()()()21e xh x x t x x =---1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在上有两个变号零点，()h x '1,22⎛⎫⎪⎝⎭因为，令，即，()()e 21x h x x t x -'=-()0h x '=()e 210x x t x --=因为不是的根，所以，0x =()e 210xx t x --=121e x x t x -=令，则，()2112e 2x x H x x x -⎛⎫=<< ⎪⎝⎭()()()()()()222e 121e 121e e x xxxx x x x x H x x x -+--+==-'当时，；当时，，112x <<()0H x '>12x <<()0H x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()H x (12,1)()1,2又，，，作出函数在上的图象，102H ⎛⎫= ⎪⎝⎭()11e H =()2322e H =()H x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当，即时，直线与函数在上的图象有两个交点，23112e e t <<22e e 3t <<1y t =()H x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭设两个交点的横坐标分别为，且，12,x x 12x x <由图可知，当或时，，此时，112x x <<22x x <<121e x x t x ->()121e 0e x x x h x tx t x -⎛⎫- ⎝'=>⎪⎭当时，，此时，12x x x <<121e x x t x -<()121e 0e x x x h x tx t x -⎛⎫- ⎝'=<⎪⎭所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，ℎ(x )11,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()12,x x ()2,2x 此时，函数有两个极值点，合乎题意．()f x 因此，实数的取值范围为．t 22e e,3⎛⎫⎪⎝⎭19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即4n …{}n a 且．数列满足，．若对于12,,,n a a a ∈Z12n a a a <<<{}n b 11b a =n n b a =，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数{}2,3,,1i n ∈- 1i i b a --k {}n b {}n a k 列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的{}2,3,,1i n ∈- 1i i a b +-k {}n b {}n a “右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数k {}2,3,,1i n ∈- 1i i a b k +-=1i i b a k --=列为的“左右型间隔数列”．{}n b {}n a k （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；{}:1,3,5,7,9n a （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列{}n a ()81n a n n =-{}n b {}n a k 是的“右型间隔数列”，若，且有，求{}n c {}n a k 10n =1212n n b b b c c c +++=+++ 的值；k （3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型{}n a 10a =27a ={}n a 间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于{}n b {},2,3,,1i j n ∈- i j i j a b b a +≠+n a 的最小值（即关于的最小值函数）．n n ()f n 【正确答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【分析】（1）由“左右型间隔数列”的定义，求数列的所有递增的“左右1型k {}:1,3,5,7,9n a 间隔数列”；（2）根据“左型间隔数列”和“右型间隔数列”的定义，由k k，则有，代入通项计算即可；1212n n b b b c c c +++=+++ 1291016a a k a a ++=+（3）由“右4型间隔数列”的定义，有，可知，则144i i i b a a +=->-{}3i i b a n n -∈≥-∣有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ，化简即可．()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- 【小问1详解】数列的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或{}:1,3,5,7,9n a 1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由，可得，12101210b b b c c c +++=+++ 239239b b b c c c +++=+++ 即，即，128341088a a a k a a a k ++++=+++- 1291016a a k a a ++=+即，所以．16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯80k =【小问3详解】当时，由，可知．{}2,3,,1i n ∈- 144i i i b a a +=->-{}3i i b a n n -∈≥-∣又因为对任意，都有，{},2,3,,1i j n ∈- i j i ja b b a +≠+即当时，两两不相等．{}2,3,,1i n ∈- i i b a -因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ．()382n n -=+所以的最小值函数．n a ()()382n n f n -=+另外，当数列的通项{a n }()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列的通项时也符合题意．{b n }(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
浙江省数学学业水平考试参考试卷(此卷仅作参考)
浙江省数学学业水平考试参考试卷（此卷仅作参考）选择题部分一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。
每小题中只有一个选项是符合题意的。
不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则AB 的元素个数是(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 2．22log 12log 3-=(A)2- (B)0 (C)12(D)2 3．若右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 (A)圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 4．函数R))(3π2sin()(∈+=x x x f 的最小正周期为 (A)2π(B) π (C) π2 (D) 4π 5．直线230x y ++=的斜率是 (A)12-(B)12(C)2- (D)2 6．若1x =满足不等式2210ax x ++<，则实数a 的取值范围是 (A)(3,)-+∞ (B)(,3)-∞- (C)(1,)+∞ (D)(,1)-∞ 7．函数3()log (2)f x x =-的定义域是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)(,2]-∞ (D)(,2)-∞ 8．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3(C)(1,-(1,9．各项均为实数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =(第3题图)(A)2 (B)2-10．下列函数中，图象如右图的函数可能是(A)3y x = (B)2xy =(C)y =2log y x =11．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件12．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是(A) ()+∞,0 (B)()2,0 (C)()+∞,1 (D) ()1,0 13．设x 为实数，命题p ：x ∀∈R ，20x ≥，则命题p 的否定是（A ）p ⌝：∈∃0x R,020<x （B ）p ⌝：∈∃0x R, 020≤x（C ）p ⌝：x ∀∈R,20x < （D ）p ⌝：x ∀∈R,20x ≤ 14．若函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则实数a 的值为(A)1 (B)0 (C)1- (D)1± 15．在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平面，且,,//a b αβαβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或异面 16．在△ABC 中，三边长分别为c b a ,,，且︒=30A ，︒=45B ，1=a ，则b 的值是(A)21(B) 22 (C) 2 (D) 2617．若平面向量,a b 的夹角为60，且|2|=|a b |，则 (A)()⊥+a b a (B)()⊥-a b a (C)()⊥+b b a (D)()⊥-b b a(第10题图)18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1BC 的中点，则DE 与面11B BCC 所成角的正切值为19．函数44sin cos y x x =-在]3π,12π[-的最小值是(A)1-(B)2-12(D)1 20．函数1()2xf x x=-的零点所在的区间可能是 (A)(1,)+∞ (B)1(,1)2 (C)11(,)32 (D)11(,)4321．已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为 (A)0 (B)18 (C)96 (D)60022．若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则此双曲线的离心率是323．若将一个真命题．．．中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题．．．，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题： ①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行． 其中是“可换命题”的是(A)①② (B)①④ (C)①③ (D)③④24．用餐时客人要求：将温度为10C 、质量为25.0 kg 的同规格的某种袋装饮料加热至A 1（第18题图）C C ～︒︒4030.服务员将x 袋该种饮料同时放入温度为80C 、5.2 kg 质量为的热水中，5分钟后立即取出．设经过5分钟加热后的饮料与水的温度恰好相同，此时，1m kg 该饮料提高的温度1t C ∆与2m kg 水降低的温度2t C ∆满足关系式11220.8m t m t ⨯∆=⨯⨯∆，则符合客人要求的x 可以是(A)4 (B)10 (C)16 (D)2225．若满足条件20,20,210x y x y kx y k -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--+≤⎩的点(,)P x y 构成三角形区域，则实数k 的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)(0,1) (C)(1,1)- (D)(,1)(1,)-∞-+∞非选择题部分二、填空题(共5小题，每小题2分，共10分)26．已知一个球的表面积为4πcm 3，则它的半径等于 ▲ cm ．27．已知平面向量(2,3)=a ，(1,)m =b ，且//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．28．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ▲ ．29．数列{}n a 满足⎩⎨⎧≤≤≤≤=--,1911,2,101,2191n n a n n n 则该数列从第5项到第15项的和为 ▲ ．30．若不存在．．．整数x 满足不等式2(4)(4)0kx k x ---<，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题(共4小题，共30分) 31．(本题7分) 已知,54sin ),π,2π(=∈θθ求θcos 及)3πsin(+θ的值.32．（本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成）（A ） 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =, 4BC =, 5AB =, 点D 是AB 的中点.(1)求证:1AC BC ⊥; (2)求证:1AC ∥平面1CDB .（B ）如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC平面⊥PA ABCD ，32,2,3===AB AD PA ,BC =6.(1)求证:;PAC BD 平面⊥ (2)求二面角A BD P --的大小.33．(本题8分) 如图，由半圆221(0)x y y +=≤和部分抛物线 2(1)y a x =-（0y ≥，0a >）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点(2,3).（1）求a 的值；（2）设(1,0)A ,(1,0)B -，过A 且斜率为k 的直线 l 与“羽毛球形线”相交于P ,A ,Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？ 若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（第33题图）（第33题B 图）A B 1BC 1（第33题A 图）34．(本题8分) 已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． (1)若1a =，试判断并证明函数()f x 的单调性；(2)当(1,6)a ∈时，求函数()f x 的最大值的表达式()M a ．参考答案一、选择题(共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题3分，共60分。
浙江省杭州市2023届高三上学期教学质量检测数学试题含解析
2022学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷（答案在最后）考生须知：1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3.考试结束，只需上交答题卡.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}210,lg 0A x x B x x =-<=≤∣∣，则A B ⋃=（）A.{01}x x <<∣B.{01}xx <≤∣C.{11}xx -<<∣ D.{11}xx -<≤∣【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式解法以及对数函数性质可求得集合,A B ,根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意可得{}{}210{|11},lg 0{|01}A xx x x B x x x x =-<=-<<=≤=<≤∣∣，故{|11}A B x x ⋃=-<≤，故选：D.2.若复数4i1iz =+（其中i 为虚数单位），则||z =（）A.B.2C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由除法运算化简复数，再根据定义求模即可.【详解】因为()()()4i 1i 4i 22i 1i 1i 1i z -===+++-，则||z ==.故选：C ．3.已知1tan 2α=-，则sin 22cos24cos24sin 2αααα+=-（）A.114B.114-C.52D.52-【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值.【详解】2222221sin 22cos22sin cos 2cos 2sin tan 1tan 1474cos24sin 24cos 4sin 8sin cos 22tan 4tan 142αααααααααααααααα++-+-====-----.故选：A ．4.已知二次函数()f x 的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数()g x 的图象，则不等式()2log g x x >的解集是（）A.(),2-∞ B.()2,+∞ C.()0,2 D.()0,1【答案】C 【解析】【分析】作出函数()g x 与2log y x =的图象，数形结合可得出不等式()2log g x x >的解集.【详解】根据图中信息作出函数()g x 、2log y x =的图象如下图所示：因为()01f =，则()21g =，且2log 21=，由图可知，不等式()2log g x x >的解集为()0,2.故选：C.5.已知非零向量,a b的夹角的余弦值为15，且(3)(2)a b a b +⊥- ，则||||a b =（）A.1B.23C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】结合向量数量积运算及向量垂直的表示，可得关于||||a b、的齐次方程，即可进一步求得||||a b 的值.【详解】1cos ,5a b <>= 由(3)(2)a b a b +⊥-得2222(3)(2)253230a b a b a ab b a a b b+⋅-=+-=+-=.∴2230a ab b ⎛⎫⎪+-= ⎪⎝⎭，令0at b=> ，∴2230t t +-=，解得1at b ==或32-（舍去）.故选：A.6.冬末春初，人们容易感冒发热，某公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热．根据下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计量，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）①中位数是3，众数为2；②均值小于1，中位数为1；③均值为3，众数为4；④均值为22．A.①③B.③④C.②③D.②④【分析】根据中位数、众数、平均数、标准差等知识确定正确答案.【详解】任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为2，2，2，3，3，4，6，则满足中位数是3，众数为2，但第7天是6人高于5人，故①错误；任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃的人数为0，1，2，4，4，4，6，则满足均值是3，众数为4，但第7天是6人高于5人，故③错误；对于②，将7个数据从小到大排列为1234567,,,,,,x x x x x x x ，41x =，123567117x x x x x x ++++++<，所以1235676x x x x x x +++++<，由于123567,,,,,x x x x x x 是自然数，且12356701x x x x x x ≤≤≤≤≤≤≤，所以1234567,,,,,,x x x x x x x 都不超过5，②正确.对于④，将7个数据从小到大排列为1234567,,,,,,x x x x x x x ，123456727x x x x x x x ++++++=，123456714x x x x x x x ++++++=，()()()()()()()22222221234567222222227x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-=，()()()()()()()22222221234567222222214x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-=，由于123567,,,,,x x x x x x 是自然数，若自然数x 大于5，则()2216x -≥，矛盾，所以123567,,,,,x x x x x x 都不超过5，④正确.综上所述，正确的为②④.故选:D7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过焦点F 与C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴交于D ，E 两点，且4||||5DE AB =，则直线l 的方程为（）A.10x ±-=B.10x y ±-=C.220x y ±-= D.210x y ±-=【分析】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，根据4||||5DE AB =求出r ，进而得到M 点横坐标；再设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-，由韦达定理得到k 与M 横坐标的关系，进而求出k ．【详解】设||2(24),AB r r AB =≥的中点为M ，MN y ⊥轴于点N ，过A ，B 作准线=1x -的垂线，垂足分别为11,A B ，如下图：由抛物线的定义知112(||1)||||||2MN AA BB AF BF AB r +=+=+==，故||1MN r =-，所以8||5DE r ==，即21650250r r -+=，解得52r =或58r =（舍去），故M 的横坐标为32，设直线()()1122:(1),,,,l y k x A x y B x y =-，将(1)y k x =-代入24y x =，得()2222240k x k x k -++=，则2122243k x x k++==，解得2k =±，故直线l 的方程为220x y ±-=．故选：C ．【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．8.若过点(,)a b 可以作曲线1(0)y x x x=->的两条切线，则（）A.0b a >> B.1a b a a >>- C.10a b aa<-<< D.10a b a a-<<<【答案】B 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，结合导数法有000|x y bk y x a-='=-，则存在两条切线等价于方程有两个不同正解，结合判别式法及韦达定理列不等式组即可化简判断选项.【详解】设切点为()00,x y ，则00x >，∴211(0)y x x '=+>，则0002000111x b y b x k x x ax a---=+==--，化简得：200()20a b x x a --+=①，则44()a a b ∆=--，∵过点(,)a b 可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴()202Δ00a b aa b -⎧->⎪-⎪⎪>⎨⎪⎪>-⎪⎩，∴1a b a a >>-.故选：B ．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x ．下列命题中正确的是（）A.()f x 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形B.()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x，最小值为0D.()f x【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数对称的结论，即可验证选项A,由()0f x ≥，知()y f x =和2()y f x =在定义域内的单调性相同，可验证选项B ,通过单调性，即可求得最大值和最小值.【详解】对于选项A ，由(3)()f x f x -=，得()f x 的对称轴为直线32x =，因此()f x 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形．对于选项BCD ，因为2()0,()3f x f x ≥=+，函数()y f x =和2()y f x =在定义域内的单调性相同，而2()y f x =在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当32x =时，()f x ；当0x =或3时，()f x 取到最小值故选：ABD.10.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A.事件B 与事件(1,2,3)i A i =相互独立B.()1522P A B =C.()25P B = D.()245|8P A B =【答案】BD 【解析】【分析】由题设求出()i P A 、(|)i P B A (1,2,3)i =，利用条件概率公式、全概率公式判断B 、C 、D ，根据()(),()i i P A P B P A B 是否相等判断事件的独立性.【详解】由题意11()2P A =，21()5P A =，33()10P A =，先1A 发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则15(|)11P B A =，先2A 发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则24(|)11P B A =，先3A 发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则34(|)11P B A =，所以1115()(|)()22P A B P B A P A ==，B 正确；2224()(|)()55P A B P B A P A ==，3336()(|)()55P A B P B A P A ==，()1122339(|)()(|)()(|)()22P B A P A P B A P A P B B A A P P ++==，C 错误；则11()()()P A P B P A B ≠，22()()()P A P B P A B ≠，33()()()P A P B P A B ≠，A 错误；()2222()(|)()|()(845)P A B P B A P A P A B P B P B ⋂===，D 正确.故选：BD11.若函数()π1sin 2(0)62f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭在区间0,24π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则（）A.存在ω，使得函数()f x 为奇函数B.函数()f x 的最大值为12C.ω的取值范围为(0,4]D.存在4个不同的ω，使得函数()f x 的图象关于直线π2x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】对A 选项，计算()f x -，得到其与()f x -的关系即可判断，对B 选项，根据正弦函数的值域即可求出()f x 的最大值，对C 选项，根据()f x 在区间π0,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，得到不等式组ππ2π62πππ2π1262k k ω⎧-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ ，解出即可，对D 选项，令πππ2π,Z 262m m ω⨯+=+∈，解出ω，再结合C 选项ω范围则可得到ω的值.【详解】解：()π1sin 262f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为R ，()()π1π1sin 2sin 26262f x x x f x ωω⎛⎫⎛⎫-=-+-=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒成立，则不存在ω，使得函数()f x 为奇函数，故A 错误;由π1sin 216x ω⎛⎫-+⎪⎝⎭ ，得31()22f x - ，则()f x 的最大值为12，故B 正确;由于()f x 在区间π0,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故ππ2π62πππ2π1262k k ω⎧-+⎪⎪⎨⎪++⎪⎩ ,Z k ∈解第一个不等式得13k ≤，Z k ∈ ,故max 0k =，解二式得244k ω≤+，故4ω≤，又0ω>，所以04ω< ，故C 正确;令πππ2π262m ω⨯+=+，m ∈Z ，解得13m ω=+，Z m ∈，由04ω< 知ω的取值为13，43，73，103，共4个值，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题的难点在于C,D 选项的判断，根据()f x 的某个单调增区间，则其整体应该在ππ2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，即应该是后者的子集，再结合0ω>，从而得到关键的不等式组，解出ω范围，而D 选项我们采取代入法，将π2x =代入则内部整体应等于对称轴通项即ππ2x k =+，Z k ∈再结合ω范围，则得到所有ω取值.12.已知函数3()13xxf x =+，设(1,2,3)i x i =为实数，且1230x x x ++=．下列结论正确的是（）A.函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称B.不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >C.若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++<D.若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++>【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，由()()1f x f x -+=可判断；对B ，根据函数单调递增可求解；对CD ，根据()f x 的性质画出函数图象，表示出直线AD 的方程，根据,B C 均在直线AD 上方建立不等关系可得.【详解】对A ，()()3313113133113x x xx x x xf x f x ---+=+=+=++++ ，∴函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故A 正确；对B ，31()11313x x xf x ==-++ 在R 上单调递增，且()102f =，则1(1)2f x ->化为()(1)0f x f ->，则10x ->，解得1x >，故不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >，故B 正确；对CD ，30x >，则可得101113x<-<+，且()f x 关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，在R 上单调递增，可得()f x 函数图象如下：,B C 均在直线AD 上方，其中直线AD 的方程为()23231122f x x y x x x +-=++，则可得()()2322231122f x x f x x x x +->++，()()2333231122f x x f x x x x +->++，所以()()()()()232323232323231111122222f x x f x x f x f x x x f x x x x x x +-+-+>+++=++++，()()()23111f x x f x f x +=-=- ，()()()231112f x f x f x ∴+>-+，即()()()12332f x f x f x ++>，故C 错误，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出函数的对称性和单调性画出函数图象，数形结合求解.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()241(12)xx ++的展开式中3x 的系数为_______________.【答案】40【解析】【分析】利用4(12)x +的展开式的通项，令x 的指数等于3和1，即得展开式中3x 的系数.【详解】因为4(12)x +的展开式的通项()14422C C rrr r r r T x x +==，令3r =和1r =，可得3x 的系数为331442C 2C 842440+=⨯+⨯=.故答案为：40.14.将函数y =π3sin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-##5π24-【解析】【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.【详解】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=-72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.15.已知双曲线2221y x a-=，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线的离心率e 的取值范围为__________．【答案】213⎭【解析】【分析】设出切线方程，联立双曲线方程消元得一元二次方程，则两条切线等价于Δ0=有两个不等实根，即可进一步列判别式不等式求得参数范围，从而求得离心率的取值范围.【详解】设切线方程为(22)y k x -=-代入2221y x a-=得()222224(1)4(1)0a k x k k x k a -+----=，易得k a ≠±，由2203840k k a ∆=⇒-++=，由题意此方程有两个不等的实根，故()22146412403a a ∆=-+>⇒<，则22713c a =+<，所以13c e =<，即13e <<，又k a =±代入223840k k a -++=得1a =±，所以e =，故离心率e 的取值范围为3⎫⎪⎭．故答案为：213⎫⎪⎭．16.已知不等式()()ln ln 10,1xa a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1e e ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知得出()1ln ln 1x aa x ->-，对()1,x ∀∈+∞恒成立，而在0a >，1x >上10x a ->，()ln 10x ->，可得1a >，将()1ln ln 1x a a x ->-化为()()()()1ln ln 11ln e ln 1e x a x x a x ---⋅>-⋅，令()e x f x x =，根据导数得出其单调性，则()()()()1ln ln 11ln e ln 1e x a x x a x ---⋅>-⋅可化为()()()()1ln ln 1fx a f x ->-，即可根据单调性得出ln(1)ln 1x a x ->-，令()ln(1)1x x g x -=-，根据导数得出()()1e 1eg x g ≤+=，即可得出1ee a >，即可得出答案.【详解】()()ln ln 10,1xa a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，则()1ln ln 1x aa x ->-，对()1,x ∀∈+∞恒成立，0a > ，1x >，10x a -∴>，()ln 10x ->，则要满足()1ln ln 1x aa x ->-，则ln 0a >，即1a >，()1ln ln 1x a a x ->-化为：()()1ln ln e ln 1x a a x ->-，两边乘1x -得：()()()()()()1ln ln 11ln e1ln 1ln 1ex ax x a x x x ---⋅>--=-⋅，令()e x f x x =，则()e e x xf x x ='+，令()e e 0xxf x x =+>'，解得1x >-，则()e xf x x =在()1,-+∞上单调递增，不等式()()ln ln10,1x a a a x a a >->≠，对()1,x ∀∈+∞恒成立，即1x >时，()()()()1ln ln 11ln e ln 1ex ax x a x ---⋅>-⋅恒成立，则()()()()1ln ln 11ln eln 1ex ax x a x ---⋅>-⋅可化为：()()()()1ln ln 1fx a f x ->-，当1x >，1a >时，(1)ln 0x a ->，()ln 10x ->，则根据单调性可得()()1ln ln 1x a x ->-，则ln(1)ln 1x a x ->-，令()ln(1)1x x g x -=-，则()()()21ln 11x g x x --'=-，令()0g x '>，解得e 1x <+，即()ln(1)1x x g x -=-在()1,e 1+上单调递增，令()0g x '<，解得e 1x >+，即()ln(1)1x x g x -=-在()e 1,∞++上单调递减，则()()1e 1e g x g ≤+=，则1ln ea >，即1e e a >，10ee e 1>= ，综上1ee a >，故答案为1ee ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}1n S +是公比为2的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】(1)由数列{}1n S +是公比为2的等比数列，写出通项公式，用1(2)n n n a s s n -=-≥求得通项公式.(2)考查用错位相减法求和,写出n T ，n qT ，两式错位作差，化简.【小问1详解】()11112n n S a -+=+⋅，①2n ≥时，()211112n n S a --+=+⋅，②①-②()()21222n n a a n -⇒=+⋅≥，∵{}n a 为等比数列∴211111221aa a a a +=⇒=⇒=∴12n n a -=【小问2详解】12n n na n -=⋅，∴()01221122232122n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，①()()12212122222122n n n n T n n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅+⋅ ，②①-②得，2112222n nn T n --=++++-⋅ ()()112221212112n n n n n n n n ⋅-=-⋅=--⋅=-⋅--∴()121nn T n =-⋅+.18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.（1）求B ；（2）若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）3B π=；（2）2,6]+.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理计算作答.（2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答.【小问1详解】在ABC 中，()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=，由正弦定理得：2(2)(2)2a c a c a c b -+-=，整理得222b ac ac =+-，由余弦定理得：2221cos 22a cb B ac +-==，而0B π<<，所以3B π=.【小问2详解】由（1）知，3B π=，由正弦定理得：2sin sin sin sin 3a cb A C B π====，则,a A c C ==，而23A C π+=，令,33A C ππθθ=+=-，在锐角ABC 中，032032ππθππθ⎧<+<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得66ππθ-<<，cos 12θ<≤，于是得(sin sin 2sin cos 4cos 24333a c πππθθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎤+=++-==∈ ⎪ ⎪⎥⎦⎝⎭⎝⎭⎦，则26a b c +<++≤，所以ABC周长的取值范围是2,6]+.19.已知函数()f x 满足()2()31f x f x x =-+-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程2()1f x k x x =--恰有四个不同的实根，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()1f x x =+（2）10,(1,)5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）构造等式()2()31f x f x x -=--，即可解得()f x 的解析式；（2）对k 的符号分类讨论，其中0k >时，由参变分离可得11(1)31x k x =++-+恰有四个不相等的实根，结合对勾函数性质数形结合讨论即可.【小问1详解】由题意得：()2()31f x f x x -=--，∴()2[2()31]31f x f x x x =--+-，解得()1f x x =+；【小问2详解】i.当0k <时，明显无解；ii.当0k =时，|1|0x +=只有一个实根，不符合条件；iii.当0k >时，2111(1)311x x x k x x --==++-++恰有四个不相等的实根.∴11(1)31x x k ++=++与11(1)31x x k++=-+共有四个不相等的实根.∴132132k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得15k >或101k <<，∴105k <<或1k >，∴实数k 的取值范围是10,(1,)5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．20.第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为()10n n *∈N，统计得到以下22⨯列联表，经过计算可得24.040K≈.男生女生合计了解6n不了解5n合计10n 10n（1）求n 的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；（2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望.附表：()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0010k 2.7063.8415.0246.63510.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）20n =，有95%的把握；（2）①2021；②()112E X =.【解析】【分析】（1）完善22⨯列联表，根据2K 的计算可得出关于n 的等式，即可解得正整数n 的值，结合临界值表可得出结论；（2）①分析可知这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，利用组合计数原理结合古典概型和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；②分析可知11~10,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值.【小问1详解】解：22⨯列联表如下表所示：男生女生合计了解6n 5n 11n 不了解4n 5n9n 合计10n10n20n()2220654520 4.040101011999n n n n n n K n n n n⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，N n *∈ ，可得20n =，()2 3.8410.05P K ≥= ，因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；【小问2详解】解：①采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为3439C 42011C 8421-=-=；②由题意可知11~10,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()111110202E X =⨯=.21.已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为32，上顶点为M ，下顶点为N ，2MN =，设点(,2)(0)T t t ≠在直线2y =上，过点T 的直线,TM TN 分别交椭圆C 于点E 和点F．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线EF 恒过定点，并求出该定点；（3）若TMN △的面积为TEF 的面积的k 倍，则当t 为何值时，k 取得最大值？【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）t =±【解析】【分析】（1）由短轴长及离心率求得参数，可得标准方程；（2）分别联立直线TM 、直线TN 与椭圆的方程，解出E F 、坐标，即可写出直线EF 方程，判断定点；（3）设EF 交y 轴与P ，由TMN TMNTEF TMN FPN PEMS S S S S S =-+△△△△△△得到关于t 的齐次式函数，结合均值不等式讨论最值即可.【小问1详解】由题意可得2221,MN b b ==⇒=由椭圆的离心率为2可得22223144b e a a =-=⇒=，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】由题意知直线TM 的方程为1x y t =+，直线TN 的方程为31x y t=-．由22141x y x y t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．同理，2222436,3636t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．所以()()()()()()2222222243222236814416192436443636424824436364EFt k t t t t t t t t t t t t t t t t t t -===+----+--++-+++++++()()()2222121212161612t t ttt t -+-=-=-+，所以直线EF 的方程为：222241284164t t t y x t t t --⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即21210162t x y t -+-=，所以，直线EF 过定点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小问3详解】设EF 交y 轴与P ，则2218||2||||364TEF TMN FPN PEM t t S S S S t t t =-+=-+++△△△△．因为||TMNS t =△，所以424222401441641114424144324TMN TEF S t t k S t t t t++===+≤+++++△．当且仅当22144t t=，即t =±时，等号成立．所以当t =±时，k 取得最大值43．【点睛】方法点睛：（1）直线过顶点问题，一般可写出直线方程，通过方程判断定点，本题直线上的点由其它直线与圆锥曲线相交所得，故可联立直线与圆锥曲线求得交点，即可写出直线方程。
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2018年6月浙江省数学学考试卷及答案一 选择题1. 已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则AB =（ ）A. {1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3} 答案：B 由集合{1,2}A =，集合{2,3}B =，得{2}AB =.2. 函数2log (1)y x =+的定义域是（ ）A. (1,)-+∞B.[1,)-+∞C.(0,)+∞D.[0,)+∞ 答案：A∵2log (1)y x =+，∴10x +>，1x >-，∴函数2log (1)y x =+的定义域是(1,)-+∞. 3. 设R α∈，则sin()2πα-=（ ）A. sin αB.sin α-C.cos αD.cos α-答案：C 根据诱导公式可以得出sin()cos 2παα-=.4. 将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（ ） A. 2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 答案：D设球原来的半径为r ，则扩大后的半径为2r ，球原来的体积为343r π，球后来的体积为334(2)3233r r ππ=，球后来的体积与球原来的体积之比为33323843r r ππ=.5. 双曲线221169x y -=的焦点坐标是（ ） A. (5,0)-，(5,0) B.(0,5)-，(0,5)C.(，D.(0,， 答案：A因为4a =，3b =，所以5c =，所以焦点坐标为(5,0)-，(5,0).6. 已知向量(,1)a x =，(2,3)b =-，若//a b ，则实数x 的值是（ ）A. 23-B.23C.32-D.32答案：A(,1)a x =，(2,3)b =-，利用//a b 的坐标运算公式得到320x --=，所以解得23x =-.7. 设实数x ，y 满足0230x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩，则x y +的最大值为（ ）A. 1B.2C.3D.4 答案：B作出可行域，如图：当z x y =+经过点(1,1)A 时，有ax 2m z x y =+=.8. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45B =，30C =，1c =，则b =（ ）A.2B.2答案：C由正弦定理sin sin b cB C=可得sin 1sin 4521sin sin 302c B b C ⋅︒====︒9. 已知直线l ，m 和平面α，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ） A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B因为“直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线”，但是“直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。
10. 要得到函数()sin(2)4f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）A. 向右平移8π个单位 B.向左平移8π个单位 C.向右平移4π个单位 D.向左平移4π个单位 答案：A因为()sin(2)sin 2()48f x x x ππ=-=-，所以要得到()sin(2)4f x x π=-的图象只需将()sin 2g x x =的图象向右平移8π个单位.11. 若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则βα-的值（ ） A. 与m 有关，且与n 有关 B.与m 有关，但与n 无关 C.与m 无关，且与n 无关 D.与m 无关，但与n 有关答案：D∵2222m n m nx m n n x m nx-+-<⇒-<-<⇒<<∴22m n m nnβα+--=-=，与m无关，但与有关.12.在如图所示的几何体中，正方形DCEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，N，6AB=，2AD DC==，23BC=，则该几何体的正视图为（）A B C D答案：C画三视图要注意：可见轮廓线要用实线，不可见轮廓线要用虚线，所以选C.13.在第12题的几何体中，二面角E AB C--的正切值为（）A.33 B.32 C.1D.233答案：D过点C作CM AB⊥连接EM,因为平面DCEF与平面ABCD垂直且EC DC⊥，所以EC ABCD⊥平面,所以EC AB⊥,所以AB⊥平面EMC，所以EMC∠即是两平面的二面角.过C作//CN AD，所以四边形ADCN为平行四边形，所以234CN BN==，CB=2，,所以3CM=,23tanECEMCCM∠==n14. 如图，A ，B 分别为椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB 上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心率为（ ）A.13 B.3 C.23 D.6答案：D 法一：设EOA θ∠=，2HOA θ∠=，则tan BO bOA aθ==，1tan 2AB a k b θ=-=，结合正切的二倍角公式知2221ba ab ba=-，化简得223a b =，故6c e a ==.法二：22AB a b =+，22a b EA +=，22222cos HA OA HAO a a b a b=⋅∠=⋅=++，22222HE HA EA a b=-=+，22OA OBOH ABa b⋅==+.由内角平分线定理，OA EA OH EH=，代入化简得223a b =，故6c e a ==.15. 三棱柱各面所在平面将空间分为（ ）A. 14部分B.18部分C.21部分D.24部分 答案：C想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，俯视图如图所示，分成7个区域.拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），分成上中下三个大块，每个大块7个区域，共21个区域.16. 函数2()()x n mf x e -=（其中e 为自然对数的底数）的图象如图所示，则（ ）A. 0m >，01n <<B.0m >，10n -<<C.0m <，01n <<D.0m <，10n -<<答案：C2x my e =为偶函数，向右移n 个单位为()f x ，由图可知01n <<，当x →∞时，0y →，故0m <.17. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和.若对任意的n N *∈，有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） A.43 B.32 C.53D.2答案：A由3n S S ≥可知公差0d >，30a ≤，40a ≥. 法一：如图，在数轴上标出数列{}n a ，不妨设原点O 到4a 的距离为(01)m m ≤≤，公差1d =.则652131[,2]112a m a m m +==+∈++. 法二：655551a a d d a a a +==+，由上图可知，5d a 是45a a 占5Oa 的比值，这个比值与m 的大小有关，m 越大，这个比值越小，所以51[,1]2d a ∈，653[,2]2a a ∈. 18. 已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（ ）A. 21x y y x +>+ B.112x y y x+>+ C.21x y y x ->- D.112x y y x->- 答案：B对于A ，取x y =，该不等式成立，但不满足x y >；对于C ，该不等式等价于12x y x y +>+，取0x →，1y =，该不等式成立，但不满足x y >； 对于D ，该不等式等价于112x y x y+>+，取0x →，1y =，该不等式成立，但不满足x y >； 下面证明B 法一：该不等式等价于112x y x y ->-，而1112x y y x y y->->-. 函数1()f x x x=-在(0,)+∞上单增，故x y >. 法二：若x y ≤，则112y x <，故112x y y x+<+，矛盾.二 填空题19. 圆22(3)1x y -+=的圆心坐标是_______，半径长为_______.答案：(3,0)；1.因为圆22(3)1x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)，半径1r =.20. 如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点相连， 得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，得到第3个正方形，依此类推，则第6个正方形的面积为______.答案：12.第1个正方形边长为4，面积116S =,第二个正方形边长为，面积28S =,以此类推得到1162n n S -=，所以612S =21. 已知lg lg lg()a b a b -=-，则实数a 的取值范围是_______.答案：[4,)+∞.易得aa b b =-，故21121111b b a b b b b===-++---. 由0a b >>得2001b b b >⎧⎪⎨>⎪-⎩，故1b >，所以224a ≥+=.22. 已知动点P 在直线:22l x y +=上，过点P 作互相垂直的直线PA ，PB 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OM OP ⋅的最小值为_______. 答案：25. 设(,22)P t t -，:(22)PA l m y t x t +-=-，(22,0)A mt m t -+，:22()PB l y t m x t +-=--，(0,22)B mt t -+，故(,1)22t mtM mt m t -+-+. 22252((1))2(1)(1)2(1)4222225t mt t OM OP t m t t t t t t ⋅=-++--+=+-=-+≥.三 解答题23.已知函数1()sin 2f x x x =+，x R ∈. （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合.答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）max ()1f x =，{|2,}6x x k k Z ππ=+∈.解答：（Ⅰ）113()sin 1626644f πππ=+=+=.（Ⅱ）因为()cossin sincos sin()333f x x x x πππ=+=+，所以，函数()f x 的最大值为1，当232x k πππ+=+，即2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取到最大值，所以，取到最大值时x 的集合为{|2,}6x x k k Z ππ=+∈.24. 如图，直线l 不与坐标轴垂直，且与抛物线2:C y x =有且只有一个公共点P .（Ⅰ）当点P 的坐标为(1,1)时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为R ，过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点.当2RA RB RP ⋅=时，求点P 的坐标.答案：（Ⅰ）210x y -+=；（Ⅱ）11(,)42±. 解答：（Ⅰ）设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为1(1)y k x -=-，联立方程组21(1)y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得210ky y k -+-=，由已知可得14(1)0k k ∆=--=，解得12k =，故，所求直线l 的方程为210x y -+=. （Ⅱ）设点P 的坐标为2(,)t t ，直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为2()y t k x t -=-，联立方程组22()y t k x t y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消去x ，得220ky y t kt -+-=，由已知可得214()0k t kt ∆=--=，得1(0)2k t t =≠，所以，点R 的纵坐标22tt kt -=，从而，点R 的纵坐标为(0,)2t ，由m l ⊥可知，直线m 的斜率为2t -，所以，直线m 的方程为22ty tx =-+.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线m 的方程代入2y x =，得22224(21)04t t x t x -++=，所以2242(21)4410t t t ∆=+-=+>，12116x x =，又1RA =，2RB =，24214RP t t =+，由2RA RB RP ⋅=，得242121(14)4t x x t t +=+，即24211(14)164t t t +=+，解得12t =±，所以，点P 的坐标为11(,)42±. 25. 设函数2()3()f x ax x a =-+，其中a R ∈.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.答案：（Ⅰ）21(,]4-∞；（Ⅱ）[1,0]-. 解答： （Ⅰ）当1a =时，2251,0()1,0x x x f x x x x ⎧---≤⎪=⎨-+->⎪⎩， （ⅰ）当0x ≤时，2521()()24f x x =-++，此时21()(,]4f x ∈-∞； （ⅱ）当0x >时，213()()24f x x =---，此时3()(,]4f x ∈-∞-， 由（ⅰ）（ⅱ），得()f x 的值域为21(,]4-∞. （Ⅱ）因为对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，所以()1(1)1f a f a ≥-⎧⎨+≥-⎩，即2223413(1)(21)1a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩，解得10a -≤≤. 下面证明，当[1,0]a ∈-，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，（ⅰ）当0a x ≤≤时，22()f x x ax a =-+-，2()(0)1f a f a ==-≥-，故()min{(),(0)}1f x f a f ≥≥-成立；（ⅱ）当01x a ≤≤+时，22()5f x x ax a =---，(1)1f a +≥-，(0)1f ≥-，故()min{(1),(0)}1f x f a f ≥+≥-成立.由此，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-.所以，实数a 的取值范围为[1,0]-.。