中考数学专题 动态几何之单动点形成的面积问题(含解析)
初三压轴题专项----因动点产生的面积问题
因动点产生的面积问题
教学目标
对中考可能出现的压轴题类型进行模块复习
教学内容
常见解法：
1.观察要求的图形是什么形状，各点坐标是否知道；
2.是否有一条边与x轴、y轴平行或重合，是否为规那么的图形，如是，直接用公式计算；
3.割，大多应用于四边形或多边形；
4.补，即用作差法求面积。实在没有方法就做高形成梯形，再做差。
2.如图，：抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点 ，并且 = .
〔1〕求这条抛物线的解析式；
〔2〕过点 作 ∥ 轴，交抛物线于点 ，设抛物线的顶点为点 ，试判断△ 的形状，并说明理由；
〔3〕设点 在抛物线的对称轴 上，且△ 的面积等于△ 的面积，请写出点 的坐标〔无需写出解题步骤〕．
3.：抛物线 经过点 ， ，且对称轴 与 轴交于点 .
〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕如图，点 、 分别是 轴、对称轴 上的点，且四边形 是矩形，点 是 上一点，将 沿着直线 翻折， 点与线段 上的 点重合，求 点的坐标；
〔3〕在〔2〕的条件下，点 是对称轴 上的点，直线 交 于点 ， ，求 点坐标.
Байду номын сангаас家庭作业：
1.如图，在直角坐标平面内，点 的坐标为〔3,0〕，第一象限内的点 在直线 上，∠ =45度．
〔1〕求点 的坐标；
〔2〕如果二次函数的图像经过 、 、 三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标 ；
〔3〕如果将第〔2〕小题中的二次函数的图像向上或向下平移，使它的顶点落在直线 上的点 处，求△ 与△ 的面积之比．
1.如图，在平面直角坐标系 中，直角梯形 的顶点 为坐标原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ∥ ， =4， =3， =5，点 在边 上， =3，过点 作 的垂线 ，交 轴于点 ．
中考数学动态几何之面积问题真题与分析
中考数学动态几何之面积问题真题与分析动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。
前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。
从四方面进行动态几何之面积问题：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。
一、静态面积问题：典型例题：例1：如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】A ．91032π⎛⎫- ⎪⎝⎭米2B ．932π⎛⎫- ⎪⎝⎭米2C ．9632π⎛⎫- ⎪⎝⎭米2D ．()693π-米2【答案】 C 。
【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】连接OD ，则DOC AOD S S S ∆=-扇形影阴。
∵弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，∴OC=12OA=12×6=3。
∵∠AOB=90°，CD ∥OB ，∴CD ⊥OA 。
在Rt △OCD 中，∵OD=6，OC=3，∴2222CD=OD OC 6333-=-=。
又∵CD 333sin DOC ==OD 62∠=，∴∠DOC=60°。
∴2DOC AOD 60619S S S =333=6336022ππ∆⋅⋅=--⋅⋅-扇形影阴（米2）。
故选C 。
例2：如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】A ．3B ．2C ．3D ．2例3：如图，直线l 与反比例函数2y=x的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点,若AB ：BC=(m 一l)：1(m>l)则△OAB 的面积(用m表示)为【 】A.2m 12m -B. 2m 1m -C. ()23m 1m -D. ()23m 12m- 【答案】B 。
中考数学动点问题归纳总结2.动点与函数图象之面积问题
2.动点与函数图象之面积问题1.如图,在直角坐标系xOy 中,已知()0,1,0)A B ,以线段AB 为边向上作菱形ABCD ,且点D 在y 轴上．若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ,则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为( ).A ．B ．C ．D ．答案：A解析：解：∵()0,1,0)A B ,∴1,OA OB ==2AB ∴===,∵tan 1OB BAO OA ∠=== 60BAO ∴∠=︒,∴菱形ABCD 的高为22⨯= ∵菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,∴菱形沿y 轴方向滑落的速度为1,沿x ①点A 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是三角形,面积2122S t =⋅⋅=, ②点A 在x 轴下方,点C 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是梯形,面积1[(1)]22St t =-+=-, ③点C 在x 轴下方时,x 轴下方部分为菱形的面积减去x 轴上方部分的三角形的面积,2212t))22S t =⨯--=--, 纵观各选项,只有A 选项图形符合．故选A ．2.如图,AB 为半圆的直径,点P 为AB 上一动点,动点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动到点B ,运动时间为t ,分别以AP 与PB 为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为( ).A ．B ．C ．D ． 答案：D解析：解：设P 点运动速度为v (常量),AB a = (常量),则,-AP vt PB a vt ==； 则阴影面积222111)()()222222a vt a vt s πππ-=--（ 2222()444v t avt vavt tπππ-+==-+ 由函数关系式可以看出,D 的函数图象符合题意．故选D ．3.如图,在矩形ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,动点,P Q 分别从点,C D 出发,沿线段,CB DC 方向匀速运动,已知,P Q 两点同时出发,并同时到达终点,B C ．连接,OP OQ ．设运动时间为t ,四边形OPCQ 的面积为S ,那么下列图象能大致刻画S 与t 之间的关系的是（ ）.A ．B ．C ．D ． 答案：A解析：作OE BC ⊥于E 点,OF CD ⊥于F 点,如图,设,BCa ABb ==,点P 的速度为x ,点F 的速度为y , 则,CP xt DQ yt ==,所以,CQ b yt =-O Q 是对角线AC 的中点,OE OF ∴、分别是ACB ACD 、V V 的中位线,11,22OE b OF a ∴==, ,P Q Q 两点同时出发,并同时到达终点,a b x y∴=,即ay bx =, 1111()22221114441(0)4OCQ OCPS S S a b yt b xt ab ayt bxt a ab t x ∴=+=⋅-+⋅⋅=-+=<<V VS ∴与t 的函数图象为常函数,且自变量的范围为0a t x<<4.如图1,E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P 从点B 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止,点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1/cm s ．若,P Q 同时开始运动,设运动时间为(),t s BPQ V 的面积为()2y cm ．已知y 与t 的函数图象如图2,则下列结论错误的是（ ）.A ．6AE cm =B ．4sin 5EBC ∠= C ．当010t<≤时, 225y t = D ．当12t s =时,PBQ V 是等腰三角形答案：D解析：(1)结论A 正确,理由如下：分析函数图象可知,10,4BCcm ED cm ==, 故1046AE AD ED BC ED cm ====﹣﹣﹣.(2)结论B 正确,理由如下：如图,连接EC ,过点E 作EF BC ⊥于点F ,由函数图象可知,10BC BE cm ==114010522BEC S BC EF EF EF ==⋅⋅=⋅⋅=V 8EF ∴=,84sin 105EF EBC BE ∴∠===. (3)结论C 正确,理由如下：如图,过点P 作PG BQ ⊥于点G ,BQ BP t==Q 211142sin 22255BPQ y S BQ PG BQ BP EBC t t t ∴==⋅⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=V . (4)结论D 错误,理由如下：当12ts =时,点Q 与点C 重合,点P 运动到ED 的中点,设为N ,如图,连接,NB NC .此时8,2AN ND ==,由勾股定理求得：NB NC ==10,BC BCN =∴Q V 不是等腰三角形,即此时PBQ V 不是等腰三角形.故选D.5.如图,正方形ABCD 中,8AB cm = ,对角线AC BD 、相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以1/cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、时停止运动,设运动时间为(),ts OEF V 的面积为()2s cm ,则()2s cm 与()t s 的函数关系可用图像表示为（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：根据题意,8BE CF t CE t ===-,Q 四边形ABCD 为正方形,,45OB OC OBC OCD ∴=∠=∠=︒,Q 在OBE V 和OCF V中 OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()OBE OCF SAS ∴≌V V ,OBE OCF S S ∴=V V ,218164OBCOECF S S ∴==⨯=四边形V 2116(8)214162CEFOECF S S t t t t ∴-=--⋅=--四边形V21(4)8(08)2t t t =-+≤≤， ∴2()s cm与()t s 的函数图象为抛物线一部分,顶点为()4,8,自变量为08t ≤≤．6.正方形ABCD 的边长与等腰直角三角形PMN 的腰长均为4cm ,且AB 与MN 都在直线l 上,开始时点B 与点M 重合.让正方形沿直线向右平移,直到A 点与N 点重合为止,设正方形与三角形重叠部分的面积为()2ycm ，MB 的长度为()x cm ,则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：D解析：根据题意分析可得：正方形与三角形重叠部分的面积先越来越快的增大；当MB 的长度为4时,面积为8,取得最大值；随后,越来越快的减小,最后为0．7.如图,两个边长相等的正方形ABCD 和EFGH ,正方形EFGH 的顶点E 固定在正方形ABCD 的对称中心位置,正方形EFGH 绕点E 顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为S ,旋转的角度为,S θ与θ的函数关系的大致图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：如图,过点E 作EM BC ⊥于点,M EN AB ⊥于点N ,Q 点E 是正方形的对称中心,EN EM ∴=,由旋转的性质可得NEK MEL ∠∠=,在Rt ENK V 和Rt EML V 中,NEK MEL EN EMENK EML ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩故可得ENK EML ≌V V ,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的148.如图,A 点在半径为2的O e 上,过线段OA 上的一点P 作直线l ,与O e 过A 点的切线交于点B ,且60APB ∠︒=,设OP x =,则PAB V 的面积y 关于x 的函数图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ． 答案：D解析：因为AB 切O e 于A ,所以90PAB ∠︒=在Rt PAB V 中,2,60AP x APB ∠︒=-=60,(2)AB tan AB x AP︒∴=-⋅=Q21(2)(2)22y x y x ∴=-=-且02x ≤<.9.矩形ABCD 中,8 , 6 AD cm AB cm ==.动点E 从点C 开始沿边CB 向点B以2 /cm s 的速度运动至点B 停止,动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1 /cm s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ,设运动时间为x (单位：s ),此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm ),则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：分两种情况讨论：当4x ≤时,2682248y x x x⨯+⨯=-=- ,此时函数的图象为抛物线的一部分,它的最上点是抛物线的顶点(0,48),最下点为(4,16),当46x <≤时,点E 停留在点B 处,故488y x =-,此时函数的图象为直线488y x =-的一部分,它的最上点为(4,16),最下点为(60)，．结合图象可选A.10.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,动点P 从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动,当P 运动到B 点时,P Q 、两点同时停止运动,设P 点运动的时间为,t APQ V 的面积为S ,则S 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：D 解析： 当02t<≤时,P 点在AB 上,Q 点在BC 上,这时,,2AP t BQ t == ,2122S t t t ∴⨯⨯==当24t <≤时,P 点仍在AB 上,Q 点在CD 上,这时,AP t APQ=V 的边AP 上的高为4,1422S t t ∴⨯⨯==.11.如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t ,正方形除去圆部分的面积为S (阴影部分),则S 与t 的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：由图中可知：在开始的时候,阴影部分的面积最大,可以排除B,C 。
专题27 动态几何之单动点形成的面积问题(原卷版+解析版)-1.doc
2016中考数学预测押题--专题27 动态几何之单动点形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四S射。
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。
本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8.若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长。
(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BM=1，点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点.请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM+OB 的最小值.原创模拟预测题2. 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则当3时，x 的取值是A. 1B. 14C. 13D. 3原创模拟预测题3. 如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A= 30，动点P 从点B 出发，沿B-C-D 的路线向点D 运动。
动点产生的面积问题
运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．动点产生的面积问题内容分析知识结构模块一：面积计算的问题知识精讲【例1】 如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析【例3】 如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例4】 如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★ 【答案】 【解析】A B CDE F 图1GHABCDE F 图2GH【例5】 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ． （1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值； （2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标； （3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ． （1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．模块二：与面积相关的函数解析式知识精讲【例8】 如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析BAB CDMP【例10】已知：如图1，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连结EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．设正方形ABCD的边长为1．（1）证明：△CMG≌△NBP；（2）设BE＝x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB 上，CE＝CD．（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当CD＝5时，求△CDE的面积．【难度】★★★【答案】【解析】AB CDEA BCDEFGPMN【例12】 如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例13】 如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ． （1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★ 【答案】 【解析】xA BCD EFG【例14】 如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例15】 如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDE PAQ 图1备用图HAB C DEF G【例16】 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形．A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ． （1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例17】 已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，AB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB DEFABCD图1备用图备用图ABCD【例18】如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．（1）当DG＝1时，求证菱形EFGH为正方形；（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当DGGHE的度数．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDEFGH【例19】已知：如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0，0)，A(8，0)，B(4，4)，C(0，4)，直线l：y＝x＋m保持与四边形OABC的边交于点M、N（M 在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝S1－S2（S≥0）．（1）求∠OAB的大小；（2）当M、N重合时，求l的解析式；（3）当m≤0时，线段AB上是否存在点N，使得S＝0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与m的函数关系式．【难度】★★★【答案】【解析】x【例20】 在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCD E F P O【习题2】已知直线2y x=-+与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线(0)y kx b k=+≠经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分．若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值．【难度】★★★【答案】【解析】【习题3】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【习题4】 如图，已知：过点A （8，0）、B （0，y =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1） 写出点C 的坐标和t 的取值范围； （2） 求s 与t 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业【作业2】 如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）． （1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业3】 如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2） 当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDP Q【作业4】如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x==-+，的图像交于点A，动点P从点O开始在线段O向点A方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x 轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PAMN，设它与△ABO重叠部分的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动的时间t（秒）的关系式．【难度】★★★【答案】【解析】。
专题10 动点产生的面积关系(解析版)
专题10 动点产生的面积关系教学重难点1.体会点的运动过程，能从点的运动过程中抓住一些不变的量；2.能从点的运动过程中建立自变量与面积的关系式；3.让学生学会求一些基本图形的面积；4.体会压轴题的解题方法和思路。
【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先让学生初步体会到压轴题中求图形面积的种类，可以看看每一类图形学生都是怎么求解的；2再根据第2个图引导学生总结求三角形面积的一般方法。
时间5分钟左右完成。
压轴题中求图形面积类型：三角形面积的一般求解方法：【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。
例1（2020静安区建承中学一模）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan∠DBC 的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【整体分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案； （2）过点D 作DH ∠BC 于H ，在∠ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案；（3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB∠∠OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF 的方程，即可求出点E 的坐标. 【详解】解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入20y ax bx c a =++≠（）得，03,0934,300a b a b c =+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x =-+-．（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在∠ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∠DH//y轴，∴25 CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355 CH DH==⨯=．∴64255 BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32 DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∠OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∠∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∠∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA ． ∴△OAB∠∠OFA ， ∴13OB OA OA OF ==． ∴OF=9，即F （9，0）；设直线AF 的解析式为y=kx+b （k≠0），可得093k b b =+⎧⎨-=⎩ ，解得133k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF 的解析式为：133y x =-， 将x=2代入直线AF 的解析式得：73y =-，∴E （2，73-）. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.例2..已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB =（如图所示）。
专题27 动态几何之单动点形成的面积问题(压轴题)
《中考压轴题》专题27：动态几何之单动点形成的面积问题一、选择题1.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，点E 在边AD 上，∠ABE=45°，BE=DE ，连接BD ，点P 在线段DE 上，过点P 作PQ ∥BD 交BE 于点Q ，连接QD ．设PD=x ，△PQD 的面积为y ，则能表示y 与x 函数关系的图象大致是A. B. C. D.2.如图，已知点A 是直线y=x 与反比例函数k y x =（k ＞0，x ＞0）的交点，B 是k y x=图象上的另一点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过点P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M ，N ．设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为A. B. C. D.3.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是A. B. C. D.4.如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是A. B. C. D.5.如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是A．B．C．D．6.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=7时，点E应运动到A．点C处B．点D处C．点B处D．点A处7.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．8.如图，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最大值是（）A．8B．12C．212D．1721.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以2cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=秒时，S1=2S2．2.如图，已知动点A在函数4y=x(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于_.3.如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了▲秒（结果保留根号）.1.如图，抛物线21y x mx n 2=-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．2.如图，矩形OABC 的顶点A （2，0）、C （0，23）.将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转30°，得矩形OEFG ，线段GE 、FO 相交于点H ，平行于y 轴的直线MN 分别交线段GF 、GH 、GO 和x 轴于点M 、P 、N 、D ，连结MH.（1）若抛物线2l :y ax bx c =++经过G 、O 、E 三点，则它的解析式为：▲；（2）如果四边形OHMN 为平行四边形，求点D 的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN 抛物线l 交于点R ，动点Q 在抛物线l 上且在R 、E 两点之间（不含点R 、E ）运动，设ΔPQH 的面积为s ，当33<s <62时，确定点Q 的横坐标的取值范围.3.在平面直角坐标系中,抛物线()2y x k 1x k =+--与直线y kx 1=+交于A,B 两点，点A 在点B 的左侧.（1）如图1，当k 1=时，直接写出．．．．A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线()()2y x k 1x k k >0=+--与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）.在直线y kx 1=+上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由.4.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，△PAC 的面积最大？并求出此时P 点的坐标和△PAC 的最大面积．5.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接AE．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，求出P′的坐标，并判断P′是否在该抛物线上．6.如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为．7.如图1，矩形ABCD 的边AD 在y 轴上，抛物线2y x 4x 3=-+经过点A 、点B ，与x 轴交于点E 、点F ，且其顶点M 在CD 上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A ，B ，C ，D ；（4分）（2）若点P 是抛物线上一动点（点P 不与点A 、点B 重合），过点P 作y 轴的平行线l 与直线AB 交于点G ，与直线BD 交于点H ，如图2．①当线段PH=2GH 时，求点P 的坐标；（4分）②当点P 在直线BD 下方时，点K 在直线BD 上，且满足△KPH ∽△AEF ，求△KPH 面积的最大值．（4分）8.如图1、2，已知四边形ABCD 为正方形，在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD （或延长线）于E ，作PF ⊥DC （或延长线）于F ，作射线BP 交EF 于G ．（1）在图1中，设正方形ABCD 的边长为2，四边形ABFE 的面积为y ，AP=x ，求y 关于x 的函数表达式；（2）结论：GB ⊥EF 对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC ∽△PFB ．9.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（其中m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似？11.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A 向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．12.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点M（m，n）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当S△MFQ：S△MEB=1：3时，求点M的坐标．13.如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，103）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．15.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．（1）求点N落在BD上时t的值；（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．16.在平面直角坐标系xOy中，点M（2,2），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M，使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM.点P是»AB上的动点.（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP·OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E.①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S，求S与t的函数关系式及S的取值范围.17.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．18.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．19.如图1，抛物线y=ax 2+bx ﹣1经过A （﹣1，0）、B （2，0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式．（2）如图1，当点P 的横坐标为32时，求证：△OBD ∽△ABC ．（3）如图2，若点P 在第四象限内，当OE=2PE 时，求△POD 的面积．（4）当以点O 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标．20.如图，已知直线l 的解析式为1y x 12=-，抛物线y =ax 2＋bx ＋2经过点A （m ，0），B （2，0），D 51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（1）求抛物线的解析式及A 点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P （x ，y ）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P 作PE 垂直x 轴于点E,延长PE 与直线l 交于点F ，请你将四边形PAFB 的面积S 表示为点P 的横坐标x 的函数，并求出S 的最大值及S 最大时点P 的坐标；（3）将（2）中S 最大时的点P 与点B 相连，求证：直线l 上的任意一点关于x 轴的对称点一定在PB 所在直线上．21.如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，点P 为AB 边上一动点，DP 交AC 于点Q.（1）求证：△APQ ∽△CDQ ；（2）P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1个单位的速度向B 点移动，移动时间为t 秒.①当t 为何值时，DP ⊥AC ？②设APQDCQ S S y ∆∆=+，写出y 与t 之间的函数解析式，并探究P 点运动到第几秒到第几秒之间时，y 取得最小值.22.如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的三个顶点的坐标分别是A （4，3），O （0，0），B （6，0）．点M 是OB 边上异于O ，B 的一动点，过点M 作MN ∥AB ，点P 是AB 边上的任意点，连接AM ，PM ，PN ，BN ．设点M （x ，0），△PMN 的面积为S ．（1）求出OA 所在直线的解析式，并求出点M 的坐标为（1，0）时，点N 的坐标；（2）求出S 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出S 的最大值；（3）若S ：S △ANB =2：3时，求出此时N 点的坐标．23.如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与y 轴交于点C(0，4)，与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为()2,0-，抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E.（1）求抛物线的解析式；（2）若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE 的一条动直线Z 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标.24.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 为抛物线的顶点，点P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D 重合）．（1）求∠OBC 的度数；（2）连接CD 、BD 、DP ，延长DP 交x 轴正半轴于点E ，且S △OCE =S 四边形OCDB ，求此时P 点的坐标；（3）过点P 作PF ⊥x 轴交BC 于点F ，求线段PF 长度的最大值．25.如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．26．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；=2S△BPD；（2）当m为何值时，S四边形OBDC（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．27．如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M （0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．28．在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB,垂足为Q，连接AP．（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AOP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．29．如图，抛物线2y x 2x 3=--+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点.（1）求A 、B 、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）.若FG=22DQ ，求点F 的坐标.30．如图，已知抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，连接BC.（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）若点P 为线段BC 上的一点（不与B 、C 重合），PM ∥y 轴，且PM 交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，当△BCM 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM 的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q ，使得△CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标.31.如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．（1）求∠OAB的度数；（2）求证：△AOF∽△BEO；（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．32.在平面直角坐标系中，已知M 1（3，2），N 1（5，﹣1），线段M 1N 1平移至线段MN 处（注：M 1与M ，N 1与N 分别为对应点）．（1）若M （﹣2，5），请直接写出N 点坐标．（2）在（1）问的条件下，点N 在抛物线2123y x x k 63=++上，求该抛物线对应的函数解析式．（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B ，与y 轴交于点A ，点E 为线段AB 中点，点C （0，m ）是y 轴负半轴上一动点，线段EC 与线段BO 相交于F ，且OC ：OF=2：3，求m 的值．（4）在（3）问条件下，动点P 从B 点出发，沿x 轴正方向匀速运动，点P 运动到什么位置时（即BP 长为多少），将△ABP 沿边PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的△ABP 面积的14，求此时BP的长度．33.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积和为S 1．（1）求证：∠APE=∠CFP ；（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF=x ，12S y S =．①求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值；②当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称时，求y的值．34.如图1，点A是ｘ轴正半轴上的动点，点B的坐标为（0，4），M是线段AB的中点。
中考数学 专题30 动态 几何之面动形成的面积问题(含解析)
专题30 动态几何之面动形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。
本专题原创编写面动形成的面积问题模拟题。
在中考压轴题中，面动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
一.平移形成的面积问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以5cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M 落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN 的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】（1）t－2（2）t=4或t=203（3）221t2t(2t4)4S520t22t84(t8)43<<<<⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩4）t=143或t=5或6≤t≤8。
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专题27 动态几何之单动点形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。
动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。
以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。
本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。
1. 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考：如图1，点P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP 、BP 为边在同侧作正方形APDC 与正方形PBFE.（1）在点P 运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.（2）分别连接AD 、DF 、AF ，AF 交DP 于点A ，当点P 运动时，在△APK 、△ADK 、△DFK 中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ=8.若点P 从点A 出发，沿A→B→C→D 的线路，向D 点运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长。
(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BM=1，点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点.请直接写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所经过的路径的长及OM+OB 的最小值.图1FEDCABP【答案】（1）当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32； （2）存在两个面积始终相等的三角形，图形见解析； （3）PQ 的中点O 所经过的路径的长为6π；（4）点O 所经过的路径长为3，OM+OB 的最小值为 【解析】试题解析：（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值． 设AP=x ，则PB=8-x ，根据题意得这两个正方形面积之和=x 2+（8-x ）2=2x 2-16x+64=2（x-4）2+32， 所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32； （2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK 与△DFK ． 依题意画出图形，如图所示．设AP=a ，则PB=BF=8-a ． ∵PE ∥BF ，113图3OHG FE D CA BPMN图2OQCD ABP P∴， 即， ∴PK=，∴DK=PD-PK= a-=，∴S △APK =PK•PA=••a=，S △DFK =DK•EF=•8-a ）=，∴S △APK =S △DFK ；所以PQ 的中点O 所经过的路径的长为：×2π×4=6π；（4）点O 所经过的路径长为3，OM+OB 的最小值为．如图，分别过点G 、O 、H 作AB 的垂线，垂足分别为点R 、S 、T ，则四边形GRTH 为梯形．PK APBF AB =88PK aa =-(8)8a a -(8)8a a -28a 1212(8)8a a -2(8)16a a -121228a 2(8)16a a -34113如图，作点M 关于直线XY 的对称点M′，连接BM′，与XY 交于点O ．由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM′最小．在Rt △BMM′中，由勾股定理得：BM′=∴OM+OB 的最小值为 考点：四边形综合题．2. 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则当y=34时，x 的取值是【 】A. 1B. 14C. 133【答案】C 。
【考点】动点问题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，分类思想的应用。
22113MM BM '+=113故选C。
3.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=30，动点P从点B出发，沿B-C-D的路线向点D运动。
设△ABP 的面积为y (B、P两点重合时，△ABP的面积可以看做0)，点P运动的路程为x，则y与x之间函数关系的图像大致为【】A. B. C. D.【答案】C。
【考点】动点问题的函数图象，菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，分类思想的应用。
【分析】当点P在BC上运动时，如图1，∵△ABP的高1PE BP sin PBE BP sin A x2 =⋅∠=⋅∠=，∴△ABP的面积1111y AB PE=2x x 2222=⋅⋅⋅⋅=。
当点P在BC上运动时，如图2，故选C。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P、Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连接PQ，设运动时间为t（t >0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从点B向点A运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P 、Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l ： ①当l 经过点A 时，射线QP 交AD 于点E ，求AE 的长； ②当l 经过点B 时，求t 的值．【答案】（1）5 （2）， （3）3、t ＝2.5，【解析】试题分析：（1）在矩形ABCD 中，由△APE ∽△OPQ ，得．②（ⅰ）如图③，当点Q 从B 向A 运动时l 经过点B ，tt t t S 565254)3(212+-=⋅-=)30(<<t 1445=t 225AC AB BC =+=3,=⋅=∴=OQ OP APAE OP AP OQ AE 图②BQ ＝CP ＝AP ＝t ，∠QBP ＝∠QAP∵∠QBP ＋∠PBC ＝90°，∠QAP ＋∠PCB ＝90° ∴∠PBC ＝∠PCB CP ＝BP ＝AP ＝t∴CP ＝AP ＝AC ＝×5＝2.5 ∴t ＝2.5．（ⅱ）如图④，当点Q 从A 向B 运动时l 经过点B ，考点：矩形、相似三角形点评：本题考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性质，相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似5.如图，已知动点A 在函数2y=x(x>o)的图象上，AB⊥x 轴于点B ，AC⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点Ｅ，使AE=AC 。
直线DE 分别交x 轴，y 轴于点P ，Q 。
当QE ：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _。
2121【答案】32。
【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】过点D 作DG⊥x 轴于点G ，过点E 作EF⊥y 轴于点F 。
∴图中阴影部分的面积=221141433AB 22t 242⨯=⋅=⋅=。
6. 如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P （a ，b ）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P （a ，b ）运动时，矩形PMON 的面积为定值2．当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S 1，△OEF的面积为S 2。
试探究：21S S -是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由。
【答案】存在。
∵四边形OAPN 是矩形，∠OAF=∠EBO=45°， ∴△AME、△BNF、△PEF 为等腰直角三角形。
∵E 点的横坐标为a ，E （a ，2﹣a ）， ∴AM=EM=2﹣a 。
∴AE 2=2（2﹣a ）2=2a 2﹣8a+8。
∵F 的纵坐标为b ，F （2﹣b ，b ），∴BN=FN=2﹣b 。
∴BF 2=2（2﹣b ）2=2b 2﹣8b+8。
∵PF=PE=a+b﹣2，∴EF 2=2（a+b ﹣2）2=2a 2+4ab+2b 2﹣8a ﹣8b+8。
∵ab=2，∴EF 2=2a 2+2b 2﹣8a ﹣8b+16。
∴EF 2=AE 2+BF 2。
∴线段AE 、EF 、BF 组成的三角形为直角三角形，且EF 为斜边。
∴此三角形的外接圆的面积为()()2221S EF 2a b 2a b 2442πππ==⋅+-=+-。
∵()PEF OME OMPF 111S PF ON PM S PF PE S OM EM 222∆∆=+⋅=⋅=⋅梯形，，， ∴S 2=S 梯形OMPF ﹣S △PEF ﹣S △OME ，=12（PF+ON ）•PM﹣12PF•PE﹣12OM•EM学习好资料 欢迎下载=12 [PF （PM ﹣PE ）+OM （PM ﹣EM ）]= 12（PF•EM+OM•PE ）=12PE （EM+OM ） =12（a+b ﹣2）（2﹣a+a ）=a+b ﹣2。
∴()221S S a b 2a b 22π-=+--+-。
设m=a+b ﹣2，则222121S S m m m 222ππππ⎛⎫-=-=--+ ⎪⎝⎭， ∵<02π-，∴当2m π=时，21S S -有最大值，最大值为12π。
【考点】单动点问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，二次函数的性质，偶次幂的非负性质，转换思想的应用。