江苏省南京市鼓楼区2016届九年级上学期期中考试数学试题(原卷版)
南京市鼓楼区2016届第一学期九年级期中检测
数学试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．方程x 2
=x 的解是( )
A ．x=1
B ．x=0
C ．x 1=1，x 2=0
D ．x 1=-1，x 2=0
2．一组数据5，2，5，3，2.5，5，5，5.5，这7个数据的众数和中位数分别是( ) A ．5.5，5 B ．5，5 C ．5，4 D ．5，3
3．沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为( ) A ．20（1+2x ）=80
B ．2×20（1+x ）=80
C ．20（1+x 2
）=80 D ．20（1+x ）2
=80
4．有一组数据如下：3，a ，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是( )
A B ．2 C D ．10
5．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD 的度数为( )
A ．130°
B ．100°
C ．80°
D ．50°
6．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E ，F ，∠E=α，∠F=β，则∠A=( )
A ．α+β
B ．
2
αβ
+ C ．180-α-β D ．
1802
αβ
︒--
二、填空题（每小题2分，共20分）
7．写出一个解为1和2的一元二次方程： ．
8．已知⊙O的半径是3，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O．
9．如果关于x的一元二次方程x2+4x-m=0没有实数根，那么m的取值范围是
10．小明上学期平时成绩为90分，其中成绩为88分，期末成绩为94分，若平时、期中、期末的成绩按3：3：4计算，计算结果作为学期成绩，则小明上学期学期成绩为分．
11．已知一元二次方程x2-6x-5=0的两根为m，n，则m2-mn+n2= ．
12．已知⊙A的半径是6，点A的坐标是（-3，-4），那么⊙A与x轴的位置关系是．
13．将圆心角为90°，面积为4π的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径
为．
14．如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB=30°，则∠DBA=．
15．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、52°、40°，则∠A=．
16．同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是．
三、解答题
17．（1）解方程：①x2-6x-4=0 ②x2-12x+27=0
（2）直接写出方程（x2-6x-4）（x2-12x+27）=0的解为．
18．为了从甲、乙两名射击运动员中选拔一名参加比赛，对这两名运动员进行测试，他们10次射击命中的环数如下：
根据测试成绩，你认为选择哪一名运动员参赛更好？为什么？
19．已知△ABC，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）用尺规在图1中作出△ABC的外接圆，在图2中作出△ABC的内切圆．
（2）△ABC的外接圆半径为，内切圆半径为．
20．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是；
（2）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．
求证：DB=DC．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，直线l与⊙O相切，切点为P，l∥BC，l与BC间的距离为7．（1）仅用无刻度的直尺，画出一条弦，使这条炫将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写画法）．
（2）求弦BC的长．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，点O在边BC上，⊙O经过点A，B，且与BC相交于点D．（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，请直接写出阴影部分的面积．
24．某水产店每天购进一种高档海鲜500千克，预计每千克盈利10元，当天可全部售完，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．当天剩余的海鲜全部以每千克盈利5元的价格卖给某饭店，如果该水产店要保证当天盈利6500元，那么每千克应涨价多少元？
25．某课题小组研究如下的几个问题．
（1）边长为1的等边三角形从图1位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动一周，求点P运动的路径长（直接列式计算）；
（2）边长为1的正方形从图2位置开始沿直线顺时针无滑动地向右滚动，当正方形滚动一周时，求点P运动的路经长（直接列式计算）．
（3）请你将（1）（2）中的正多边形化成一个边长为1，边数大于4的正多边形，按（1）（2）的方式滚动一周，求其任意一个顶点运动的路径长（请写出你选的图形的名称，直接写出结果）
26．要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱笆围成．如果篱笆的总长为40m，设养鸡场垂直于墙的一边长为xm，求养鸡场的长和宽．27．如图，在平面直角坐标系中，直线l的表达式是y=-x+1，长度为2的线段AB在y轴上移动，设点A的坐标为（0，a）．
（1）当以A为圆心，AB为半径的圆与直线l相切时，求a的值；
（2）直线l上若存在点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，则a的取值范围为；
（3）直线l上是否存在点C，使得∠ACB=90°？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．。
江苏省南京市鼓楼区2016_2017学年九年级数学上学期期中试卷(含解析)苏科版
2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣12．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm24．某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明 90 80 83 82若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．855．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．166．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．9．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．10．一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= ．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA= °．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．15．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为°．16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．三、解答题（共11小题，满分88分）17．解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：中位数/环众数/环方差平均成绩/环甲 a 7 7 1.2乙7 b 8 c（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．26．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前 60 200 60×20提价后60﹣200+x （60﹣）×20（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）27．问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB ⊥BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ∥DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=∠BAD，因为OB=OC，所以∠CBO=∠BCO ，因为BD=BA，所以∠BAD=∠BDA ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到∠ECB=∠CBO ，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2=x，x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，x=0，x﹣1=0，x1=0，x2=1，故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．【解答】解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm2【考点】圆锥的计算．【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【解答】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．4．某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明 90 80 83 82若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．85【考点】加权平均数．【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．【解答】解：张明的平均成绩为：（90×3+80×3+83×2+82×2）÷10=84；故选C．【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．5．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．16【考点】弧长的计算．【分析】由三角形的内角和公式求出∠A，即可求得圆心角∠BOC=90°，由弧长公式求得半径，再由勾股定理求得结论．【解答】解：连接OB，OC，∵∠B=75°，∠C=60°，∴∠A=45°，∴∠BOC=90°，∵的长度为4π，∴=4π，∴OB=8，∴BC===8，故选B．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，弧长公式，圆周角定理，勾股定理，熟记弧长公式是解决问题的关键．6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【考点】垂径定理的应用．【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 4 ，使得方程左边配成一个完全平方式．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O 外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离大于半径，可判定点P在圆外．【解答】解：∵⊙O的直径为2，∴⊙O的半径为1，∵OP=2＞1，∴点P在⊙O外，故答案为：外．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判定点与圆的位置关系是解题的关键．9．若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是﹣2 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系即可得出x1+x2的值，此题的解．【解答】解：∵一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=﹣=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为﹣是解题的关键．10．一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．【考点】概率公式．【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵有2个红球、3个白球，∴共有2+3=5个球，∴摸到红球的概率是；故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，关键是要明确：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】先根据OD=OF得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF的度数，根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵OD=1，OF=OG=2，∴cos∠DOF==，∴∠DOF=60°．同理，∠AOE=60°，∴∠EOF=180°﹣60°﹣60°=60°，∴图中阴影部分的面积==．故答案为：．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= 8 ．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，再根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论．【解答】解：取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，在Rt△ODH中，∵OH2+DH2=OD2，即（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，∴AH=AB﹣BH=10﹣2=8．故答案为：8．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA= 20 °．【考点】圆周角定理．【分析】根据三角形的内角和得到∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵∠C=80°，∠CEA=30°，∴∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=20°，∴∠CDA=∠B=20°，故答案为：20．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：x2﹣35x+34=0 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【解答】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．故答案为：x2﹣35x+34=0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．15．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为22.5 °．【考点】圆周角定理．【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB=86°﹣30°=56°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB，即可得到∠ACB的大小．【解答】解：连结OA、OB，如图，∵点A、B的读数分别为65°，20°，∴∠AOB=65°﹣20°=45°，∴∠ACB=∠AOB=22.5°．故答案为：22.5．【点评】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，会使用量角器是解决本题的关键．16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是①②③．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．【考点】切线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】首先连接OD，OE，易得四边形ODBE是正方形，即可得点O在∠B的平分线上，OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，O不在AC的垂直平分线上，点O不在AC上．【解答】解：∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，∵∠B=90°，∴四边形ODBE是正方形，∴BE=BD=OE=OD=5，∴点O在∠B的平分线上，CE=BC﹣BE=5，AD=AB﹣BD=11﹣5=6，∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，∵OA==，OC==5，∴OA≠OC，即O不在AC的垂直平分线上；∵AC==，∴点O不在AC上．∴①②③错误，④正确．故答案为：①②③．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质．注意证得四边形ODBE是正方形是关键．三、解答题（共11小题，满分88分）17．解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．【解答】解：（1）（x+1）（x+5）=0，∴x+1=0或x+5=0，解得：x=﹣1或x=﹣5；（2）∵a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=1+4=5，∴x=，∴x1=，x2=．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲 a 7 7 1.2乙7 b 8 c（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【考点】方差；条形统计图；折线统计图；中位数；众数．【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．【解答】解：（1）甲的平均成绩a==7（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），其方差c=×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=×（16+9+1+3+4+9）=4.2（环）；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．【点评】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m ﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t与m的方程组即可．【解答】（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．【考点】切线的性质．【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．【点评】本题考查了切线的性质，解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形，难度不大．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．【考点】无理方程；分式方程的增根．【分析】（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：（1）两边平方，得16﹣6x=x2，整理得：x2+6x﹣16=0，解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，所以原方程的根为x=2；（2）移项得：2=6﹣x两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x+36，解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍）．【点评】本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根．23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．【考点】切线的性质．【分析】（1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=7，则可求得圆环的面积【解答】（1）证明：如图1中，连接OP．∵AB是小圆的切线，P是切点，∴OP⊥AB，∴PA=PB．（2）解：如图1中，连接OB．∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，∵S圆环=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），∴S圆环=πa2．（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，∵AB=8，CD=6，∴AE=EB=4，CE=DE=3，∴OA2﹣OC2=7，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．故答案为7π．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，注意数形结合思想的应用，属于中考常考题型．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．【解答】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=﹣2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．【点评】本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）作出BD、BC的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O为圆心AO长为半径画圆即可；（2）以B为圆心，BC长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接BD，CD即可．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）如图所示：点D即为所求．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及圆周角定理，关键是掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．26．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前 60 200 60×20提价后60﹣200+x （60﹣）×20（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．【解答】解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，整理，得x2﹣420x+32000=0，解得x1=320，x2=100．当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．答：每间客房的定价应为300元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．27．问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB ⊥BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ∥DE．解法探究：。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为2cm，则点P在⊙O( )A. 外B. 内C. 上D. 无法确定2. 下列方程中，没有实数根的是( )A. x2=xB. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2+2x−1=03. 20名同学参加某比赛的成绩统计如表，则成绩的众数和中位数(单位：分)分别为( )成绩/分80859095人数/人2864A. 85，85B. 85，87.5C. 85，90D. 90，904. 已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+m2−m=0有一根为0，则m的值是( )A. 0B. 1C. 0或1D. 0或−15. 如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则BE⏜的度数为( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°6. 如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为( )A. 4B. 5C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7. 方程x2=1的解是______．8. 已知⊙O的半径为10cm，圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O的位置关系是______．9. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月借阅图书845本，设该校这两个月借阅图书的月均增长率为x，根据题意可列方程为______，x=______．10. 设x1，x2是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，则x1x2−x1−x2=______．11. 正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则由半径OA，OC和AC⏜围成的扇形的面积为______．12. 若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，另一组数据x1+2，x2+3，x3−5，x4−2，x5+1的平均数是b，则a______b(填写“>”、“<”或“=”)．13. 将半径为3cm面积为3πcm2的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，该圆锥的底面半径为______cm．14. 如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD=ED，CD//AE，∠ABC=140°，则∠D=______．15. 已知m是方程x2−3x−1=0的一个根，则m3−10m=______．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1.过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。
南京市鼓楼区2016 2017年九年级上期中数学试卷有问题详解
实用文档2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）2=x的根是（x ）1．方程A．x=1 B．x=﹣1C．x=0，x=1D．x=0，x=﹣121122﹣4x+4=0的根的情况是（）2．一元二次方程xA．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）2222πcm D．48πcm80 C．60πcmA．30πcm B．名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：．某单位要招聘14）2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：85 ．．84 D82 A．B．83 C4π，则且的长度为BC的长度为何？°，ABC．如图，有一圆O通过△的三个顶点．若∠B=75°，∠C=605 ）（A．8 B．8 C．16 D．166．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）2﹣4x=5时，方程的两边同时加上x7．用配方法解方程，使得方程左边配成一个完全平方式．实用文档8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．2+4x+1=0的两根是x、x，则x+x的值是9．若一元二次方程2x ．221110．一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= ．°．CEA=30°，则∠CDA= ．若∠与AB交于点E，连接ADC=80°，∠的直径，弦．如图，13AB为⊙OCD的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，30m，宽20m14．如图，某单位准备将院内一块长2，根据条件，可列，设小道进出口的宽度为剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532mx m ．出方程：处的读A、B．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点15C落在半圆上，若点°．ACB2065数分别为°、°，则∠的大小为实用文档16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．三、解答题（共11小题，满分88分）17．解下列一元二次方程．2+6x+5=0；1）x（2+x﹣1=0．（2）x18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：中位数/环众数/环方差平均成绩/环1.2 7 甲a 7cb乙87（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？2﹣（m+2）x的方程mxx+2=0 19．已知关于（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．20．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．实用文档；1名，恰好选中乙同学的概率是（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．（2）随机选取O上一点．O中，AB 为直径，C为⊙．在⊙21 的大小；的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的切线，与（Ⅰ）如图1．过点C作⊙OAB上一点，且OD经过AC的中点E，连接（Ⅱ）如图2，D为DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：2，解可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，得x=3，x=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x=﹣1是原方程的增根，舍去，212所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；=6．x+2（2）23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为7π．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．实用文档元时，所有客房都可以住60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天20026．某青年旅社有20元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出满．客房定价每提高10 每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．元/ 1）填表（不需化简）（提价后200+x 20 ﹣）×60 ﹣（60元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯140002）若该青年旅社希望每天纯收入为（总收入﹣维护费用）收入= ．问题呈现：27OBE是⊙DC的延长线于点E．求证：ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交O如图1，⊙是Rt△ABC的外接圆，∠的切线．问题分析：．∥DE BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB OB 连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明⊥解法探究：）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：（1CBO= ∠因为OB=OC，所以∠由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=BAD，，2如图，连接AD∠ECB=，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到∠∠BD=BA，所以BAD=∠BDA ，因为∠BCOO的切线．是⊙DE∥OB，从而证明出BECBO ，所以AD，请说明理由．，小丽发现AD于点HBF⊥交，作直径，连接）如图（23ADBF 的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．是⊙）利用小丽的发现，请证明（3BEO实用文档实用文档2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）2=x的根是（）1．方程xA．x=1 B．x=﹣1C．x=0，x=1D．x=0，x=﹣12112【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．2=x，x 【解答】解：2﹣x=0，xx（x﹣1）=0，x=0，x﹣1=0，x=0，x=1，21故选C．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．2﹣4x+4=0的根的情况是（）2．一元二次方程xA．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【考点】根的判别式．【分析】将方程的系数代入根的判别式中，得出△=0，由此即可得知该方程有两个相等的实数根．2﹣4x+4=0中，解：在方程【解答】x2﹣4×1×4=0，=△（﹣4）∴该方程有两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入方程的系数求出△=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式得正负确定方程解得个数是关键．3．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）2222π．cm60Cπ．cm30A．πB48cm ．πD80cm实用文档【考点】圆锥的计算．【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【解答】解：∵h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，，由勾股定理，l==10π×10=60π，=×2×6圆锥侧面展开图的面积为：S侧2．π所以圆锥的侧面积为60cm C．故选：【点评】本题主要考察圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．）2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：85 ．．84 DA．82 B．83 C 加权平均数．【考点】【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可．10=84；）÷3+83×2+82×2×【解答】解：张明的平均成绩为：（903+80×C．故选【点评】此题考查了加权平均数的计算公式，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．5．如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？）（A．8 B．8 C．16 D．16【考点】弧长的计算．【分析】由三角形的内角和公式求出∠A，即可求得圆心角∠BOC=90°，由弧长公式求得半径，再由勾股定理求得结论．【解答】解：连接OB，OC，实用文档∵∠B=75°，∠C=60°，∴∠A=45°，∴∠BOC=90°，4π，∵的长度为π，∴=4 ，∴OB=8，BC=∴==8 故选B．本题主要考查了三角形内角和定理，弧长公式，圆周角定理，勾股定理，熟记弧长公式是解决问【点评】题的关键．．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小6 ）的圆形镜子的碎片是（D．均不可能A．①B．②C．③【考点】垂径定理的应用．【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，【解答】进而可得到半径的长．．故选A本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分【点评】线的交点即为该圆的圆心．分）分，满分小题，每小题220二、填空题（共102，使得方程左边配成一个完全平方式．4 7．用配方法解方程x﹣4x=5时，方程的两边同时加上【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．22 x【解答】解：∵﹣4x=54x+4=5+4﹣，∴x，实用文档2 4，使得方程左边配成一个完全平方式．﹣4x=5∴用配方法解方程x时，方程的两边同时加上【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；；②把二次项的系数化为1 ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．的倍数．1，一次项的系数是2选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为．外O 与⊙O的位置关系是：点P在⊙8．若⊙O的直径为2，OP=2，则点P点与圆的位置关系．【考点】在圆外．到圆心的距离大于半径，可判定点P【分析】由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P 解：【解答】，的直径为2∵⊙O ，的半径为1∴⊙O 1，∵OP=2＞O 外，∴点P在⊙故答案为：外．的大小关系判定点与圆的位置与半径r【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，利用点到圆心的距离d 关系是解题的关键．2．﹣2 、xx，则x+x9．若一元二次方程2x的值是+4x+1=0的两根是2121根与系数的关系．【考点】的值，此题的解．x+x【分析】根据根与系数的关系即可得出212 x，的两根是+4x+1=0x、【解答】解：∵一元二次方程2x21﹣=2．∴x+x=﹣21故答案为：﹣2．是解题的关键．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为﹣个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，210．一只不透明的袋子中装有个红球、3．摸到红球的概率是概率公式．【考点】【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式进行计算即可得出答案．个白球，32【解答】解：∵有个红球、∴共有个球，2+3=5实用文档∴摸到红球的概率是；．故答案为：可能出现的结=A）事件A【点评】此题主要考查了概率公式的应用，关键是要明确：随机事件A的概率P（果数÷所有可能出现的结果数．，则图中阴E、FABO为圆心，OG为半径作弧分别交、DC于点11．如图，四个小正方形的边长都是1，若以．影部分的面积为【考点】扇形面积的计算．【分析】先根据OD=OF得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF的度数，根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵OD=1，OF=OG=2，∴cos∠DOF==，∴∠DOF=60°．同理，∠AOE=60°，∴∠EOF=180°﹣60°﹣60°=60°，∴图中阴影部分的面积==．．故答案为：【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．12．如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH= 8 ．【考点】垂径定理；勾股定理．实用文档【分析】取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，再根据勾股定理求出r的值，进而可得出结论．【解答】解：取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，在Rt△ODH中，222222，解得r=5，+4+DH =OD=r，即（r﹣2OH∵）∴AH=AB﹣BH=10﹣2=8．故答案为：8．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此【点评】题的关键．°．则∠CDA= 20 C=80°，∠CEA=30°，若∠与AB为⊙O的直径，弦CDAB交于点E，连接AD．．13如图，【考点】圆周角定理．的直径，得到∠OBC，由AB为⊙=70【分析】根据三角形的内角和得到∠CAB=180°﹣80°﹣30°°，连接°，根据圆周角定理即可得到结论．ACB=90 °，C=80°，∠CEA=30【解答】解：∵∠=70°，°∴∠CAB=180°﹣80°﹣30 的直径，为⊙BC，∵ABO连接°，∴∠ACB=90 ∴∠B=20°，B=20°，∴∠CDA=∠．故答案为：20本题考查了圆周角定理，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．【点评】实用文档14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，2，设小道进出口的宽度为x m532m，根据条件，可列剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为2﹣35x+34=0 ．出方程：x【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．2，532mxm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为【分析】设小道进出口的宽度为即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【解答】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，2﹣35x+34=0．整理，得：x2﹣35x+34=0．故答案为：x【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．15．将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为22.5 °．【考点】圆周角定理．，即可AOBACB==56°，根据圆周角定理得∠∠OBOA，，则∠AOB=86°﹣30°O【分析】设半圆圆心为，连的大小．得到∠ACB ，如图，、OB【解答】解：连结OA 20°，B的读数分别为65°，A∵点、°，°=4520∴∠AOB=65°﹣AOB=22.5∴∠ACB=∠°．．22.5故答案为：实用文档【点评】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，会使用量角器是解决本题的关键．16．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是①②③．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．【考点】切线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】首先连接OD，OE，易得四边形ODBE是正方形，即可得点O在∠B的平分线上，OE 是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，O不在AC的垂直平分线上，点O不在AC 上．【解答】解：∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，∵∠B=90°，∴四边形ODBE是正方形，∴BE=BD=OE=OD=5，∴点O在∠B的平分线上，CE=BC﹣BE=5，AD=AB﹣BD=11﹣5=6，∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，=5OA==，OC=，∵，OA≠OC∴的垂直平分线上；不在即OAC=∵AC=，ACO∴点不在上．∴①②③错误，④正确．故答案为：①②③．实用文档是正此题考查了切线的性质、角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质．注意证得四边形ODBE【点评】方形是关键．88分）三、解答题（共11小题，满分17．解下列一元二次方程．2 +6x+5=0）x；（12．+x﹣1=0（2）x 因式分解法．【考点】解一元二次方程- ）因式分解法求解可得；【分析】（1 ）公式法求解可得．（2 ，）=01）（x+1）（x+5【解答】解：（x+5=0，x+1=0∴或5；或x=﹣1解得：x=﹣，c=﹣12）∵a=1，b=1，（2 4ac=1+4=5﹣∴b，，∴x=∴xx，==．21本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．【点评】18．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：实用文档根据以上信息，整理分析数据如下：平均成绩/中位数/环众数/环方差环1.2 a 7 7 甲c乙b78（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【考点】方差；条形统计图；折线统计图；中位数；众数．【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．（环），）甲的平均成绩a==7【解答】解：（1 ，9、10、8、8、、∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、67、7、8=7.5（环），∴乙射击成绩的中位数b=2222222]77﹣））+（107+2×（﹣7）﹣+3×（87）﹣+（9）7其方差c=﹣×[（37）+（4﹣）（+6﹣716+9+1+3+4+9=）×（（环）；=4.2（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．【点评】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．2﹣（m+2）的方程．已知关于xmxx+2=0 19（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；）（△=m﹣2（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=的方程组即m与t，然后解关于2t=，可．实用文档x=1；时，方程变形为﹣2x+2=0，解得【解答】（1）证明：当m=022，方程有两个实数解，≥0（﹣4m2=m﹣2当m≠0时，△=（m+2））为何值，方程总有实数根；所以不论m ，2）设方程的另一个根为t（2t=，根据题意得2+t=，t=1，则2+t=1+2t，解得，所以m=1 ．m 的值位1，方程的另一个根为1即2，x+x﹣是一元二次方程ax=+bx+c=0（a≠0）的两根时，，【点评】本题考查了根与系数的关系：若xx2121=．也考查了根的判别式．xx21名同学打第一场比赛．220．甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选；3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余名同学，求其中有乙同学的概率．（2）随机选取2 列表法与树状图法；概率公式．【考点】）直接利用概率公式求解；【分析】（1名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2（公式求解．名，恰好选中乙同学的概）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余31名同学中随机选取【解答】解：（1=；率；故答案为（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．实用文档（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；，若∠PAB的延长线相交于点的中点E，连接DC并延长，与OD（Ⅱ）如图2，D为上一点，且经过AC 的大小．°，求∠PCAB=10【考点】切线的性质．°，∠CAB=54°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90 然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；°，然后利用圆周角定理求得∠EAO=80AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．ACD= 解：（Ⅰ）如图，连接OC，【解答】相切于点C，∵⊙O与PC OCP=90°，∴OC⊥PC，即∠CAB=27°，∵∠°，∠∴∠COB=2CAB=54 °，AOE中，∠P+∠COP=90在Rt△°﹣∠∴∠P=90COP=36°；E为AC的中点，（Ⅱ）∵，即∠AEO=90°，∴OD⊥AC °，EAO=10在Rt△AOE中，由∠°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80AOD=40∠°，∴∠ACD= 的一个外角，ACD∵∠是△ACP=3010A=40ACDP=∴∠∠﹣∠°﹣°°．实用文档【点评】本题考查了切线的性质，解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形，难度不大．22．我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：2解可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x，像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，舍去，是原方程的增根，=﹣1但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，xx得x=3，=﹣1．221．所以原方程的解是x=3 运用以上经验，解下列方程：=x；（1）x+2．=6（2）无理方程；分式方程的增根．【考点】）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；【分析】（1 ）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．（2 【解答】解：（1）两边平方，得2，﹣6x=x162 +6x﹣16=0整理得：x，x=2；解得x=﹣8，11 8是增根，x=经检验﹣x=2；所以原方程的根为2）（=6﹣移项得：2x两边平方，得2 12x+364x﹣12=x，﹣=12解得x=4，x（不符合题意，舍）．21【点评】本题考查了无理方程，利用平方转化成整式方程是解无理方程的关键，注意要检验方程的根．23．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．，求证：PAP=BP；，大圆的弦（1）如图1AB切小圆于点中的圆环面积；，请用含有（2）若AB=2aa的代数式表示图1 ，则圆环的面积为，两点，且、交小圆于，若大圆的弦）如图（32ABCDAB=8CD=6 ．7π实用文档【考点】切线的性质．1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．【分析】（）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．2（22222222，则可求得圆﹣CEOC=OA，继而可得﹣AE，OEOA=OC=7﹣OC（3）首先连接OA，，由勾股定理可得：OE 环的面积．中，连接OP【解答】（1）证明：如图1P是切点，∵AB是小圆的切线，AB，∴OP⊥PA=PB．∴．）解：如图21中，连接OB（是小圆的切线，∵大圆的弦AB ，⊥AB，AP=PB∴OP2222 =a，=（2a÷2∴OB）﹣OP2222π（OB），﹣S∵S=S大﹣小=πOBOP﹣πOP=圆环2．S=πa∴圆环于点ABE．中，连接2OA，OC，作OE⊥（3）解：如图222222 AE，OE=OC，﹣CEOEOCERtAOERt在△与△中：=OA﹣2222 OA∴﹣AE=OC﹣，CE实用文档2222，CE=AE∴OA ﹣OC﹣∵AB=8，CD=6，∴AE=EB=4，CE=DE=3，22=7，﹣OC∴OA2222）=7OCπ．=π（OA∴圆环的面积为：πOA ﹣πOC﹣故答案为7π．【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆的面积的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，注意数形结合思想的应用，属于中考常考题型．24．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．【解答】解：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）2000（1+x）=60000．解得：x=0.5，x=﹣2（不合题意，舍去）．21答：南瓜亩产量的增长率为50%．【点评】本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，解题的关键是了解有关增长率问题的一般解法，难度一般．25．如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．【考点】作图—复杂作图；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）作出BD、BC的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O为圆心AO长为半径画圆即可；（2）以B为圆心，BC长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接BD，CD即可．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；实用文档）如图所示：点D即为所求．（2此题主要考查了复杂作图，以及圆周角定理，关键是掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂【点评】直平分线的交点，叫做三角形的外心．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．元时，所有客房都可以住间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天2006026．某青年旅社有201个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出满．客房定价每提高10元，就会有x元．元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了1）填表（不需化简）（提价后200+x 60 （﹣60﹣）×20（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．【解答】解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．∴入住的房间数量=60﹣故。
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x﹣1＝0B．x2＝3C．4x﹣3y＝3D．x2﹣y2＝3 2．（2分）已知⊙O的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为，则点P与⊙O的位置关系（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）二次函数y＝2（x﹣3）2+2的图象的顶点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，2）C．（3，﹣2）D．（﹣3，﹣2）4．（2分）如图，在长40m、宽22m的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列出方程（）A．（40﹣x）（22﹣x）＝760B．（40+x）（22+x）＝760C．40×22﹣40x﹣22x＝760D．40×22﹣40x﹣22x﹣x2＝7605．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示．x⋯﹣1012⋯y⋯0343⋯下列说法中，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象经过点（4，0）C．图象与x轴只有一个公共点D．点（2，3）右边的图象呈下降趋势6．（2分）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E且总有∠BED＝45°，则AE2+BE2的值（）A．随着OE的增大而增大B．随着OE的增大而减小C．随着OE的增大先增大后减小D．保持不变二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．（2分）写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、﹣2．8．（2分）已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为．9．（2分）若点（1，y1）与（2，y2）都在函数y＝﹣x2+3的图象上，则y1，y2的大小关系是．10．（2分）若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．11．（2分）若一元二次方程x2+mx﹣3＝0（m为常数）的一个根是x＝1，则另一个根是．12．（2分）如图是函数y＝ax2+bx+c的部分图象，则该函数图象与x轴负半轴的交点坐标是．13．（2分）已知⊙O的半径等于4cm，AB为⊙O的弦，其长为4cm，则弦AB所对的圆周角的度数为．14．（2分）五边形ABCDE为圆的内接五边形，其中AB＝AE，∠A＝100°，则∠B+∠D ＝°．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，若∠E＝25°，∠CAD＝45°，则∠CDA的度数为°．16．（2分）等边△ABC的边长是，直线l经过等边△ABC的外心O，过B作BD⊥l，垂足为D，连接CD，则CD的最小值是．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程．（1）（x﹣1）2﹣16＝0；（2）x2﹣3x+1＝0．18．（7分）已知二次函数y＝x2﹣mx+1的图象经过点（2，3）．（1）求m的值；（2）该二次函数的图象是否经过点（﹣2，6）？判断并说明理由．19．（7分）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点P．（1）求证AP＝BP；（2）已知图中阴影部分面积为10π，求弦AB的长．20．（8分）一个直角三角形的两条直角边长度之和是10cm，面积是12cm2，求斜边的长．21．（7分）二次函数图象的顶点为（﹣1，2），图象经过（0，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）结合图象，直接写出当﹣2≤x≤3时y的取值范围．22．（8分）尺规作图：作已知圆的一条直径．要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图．23．（8分）已知关于x的方程x2﹣4x+4﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：不论k取何值时，该方程总有实数根．（2）方程的两个实数根可能都是负根吗？判断并说明理由．24．（8分）如图是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象．（1）求该图象顶点的坐标；（2）该图象经过怎样的平移可以得到函数y＝x2的图象？（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式．25．（8分）某商店八月份的销售额为30万元，九月份因经营不善销售额有明显下降，商店积极改进，十月份的销售额恢复到30万元，已知十月份销售额的增长率是九月份销售额的下降率的1.5倍．求九月份的销售额．26．（10分）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，BC与⊙O相交于点E，D是AC的中点，直线DE与直线AB相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）已知AB＝4，当AC长度变化时，AF的长也随之变化．①当AC＝时，AF＝6；②在整个变化过程中，AF的长是否存在最大值？判断并说明理由．27．（9分）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．从特殊验证已知四边形ABCD的各边长依次为7，15，20，24，求它的面积S何时最大？小敏的演算纸解：分别考虑LB为直角、钝角或锐角的情形．Ⅰ．∠B为直角易得S＝⋯Ⅱ．∠B为钝角易证当∠ABC为钝角时，∠ADC也为钝角．设两条垂线段AE＝x，AF＝y．…Ⅲ．∠B为锐角同理可得Ⅱ中结论综上所述，S的最大值为…．（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为．（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．向一般进发（3）已知四边形ABCD的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．B；2．C；3．A；4．A；5．D；6．D；二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题7．答案不唯一，正确即可，如：x2﹣x﹣6＝0；8．60π；9．y1＞y2；10．2π；11．﹣3；12．（﹣1，0）；13．45°或135°；14．220；15．35；16．2；三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）x1＝5，x2＝﹣3；（2）x1＝，x2＝．；18．（1）m的值是1．（2）点P（﹣2，6）不在这个二次函数图象上．； 19．（1）证明见解析；（2）2．；20．斜边长为cm．；21．（1）y＝﹣（x+1）2+2；（2）﹣14≤y≤2．；22．见解答．；23．（1）见解析；（2）不可能，理由见解析．；24．（1）该图象顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）将该图象向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得函数y＝x2的图象；（3）将该图象绕原点旋转180°直接写出所得图象对应的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．；25．九月份的销售额为20万元．；26．4；27．234；。
2016年南京市中考模拟数学测试卷(鼓楼一模)及答案分析
2016年南京市中考模拟数学测试卷（鼓楼一模）全卷满分120分.考试时间为120分钟.如果圆锥底面的半径为 10,那么扇形的圆心角为0A = 1，则O 0的半径为D . 4 .2二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分.） 7 . 16的平方根是▲, 9的立方根是 —▲& 2016年3月，鼓楼区的二手房均价约为 25000元/m 2，若以均价购买一套 100m 2的二手房, 该套房屋的总价用科学记数法表示为 ▲ 元. 9.因式分解：3a 3 - 12a =▲.10 .为了估计鱼塘里青鱼的数量（鱼塘内只有青鱼） 鱼，记下品种后放回，稍后再随机捞出一条鱼记下 为0.2，那么可以估计鱼塘里青鱼的数量大约为 11 .计算 p 18a 2—{2a (a > 0)的结果是 ▲.212 .点A(X 1,y”，B(x 2, y 2)是反比例函数y =——图像上的两点，右x 1 >x 2> 0,则y 1▲ y 2 •(填x“>“=”或 “V” )、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）1.比一1大的无理数是 A . 3.14C . 222. 一组数据4, 5, 3,4, 4的中位数、众数和方差分别是 3.4.5. A . 3, 4, 0.4 B . 4, 4, 4.4C . 4, 4, 0.44, 3, 0.4计算x 2 x 3^x 的结果是 A . x 4 B . x 5C . x 6D . x 7如图，菱形 12 A. 12ABCD 中，AB = 5, BD = 6, 则菱形的高为 24 B. 5C . 12D . 24用一张半径为20的扇形纸片制成一个圆锥（接缝忽略不计） A . 60 °B . 90 °C . 135 °D . 180 °6.等腰直角△ ABC 中，/ BAC = 90°, BC = 8, O 0 过点 B , C , 点0在厶ABC 的外部，且C . 41 ，将200条鲤鱼放进鱼塘，随13•如图，将一张矩形纸片沿 EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D ’、C 的位置，若/ 1 = 40° 贝D EF =▲•14.若△ ABC 的三边长分别为 6、8、10,则厶ABC 的内切圆半径为▲ •15. 已知y 是x 的二次函数，函数 y 与自变量x 的部分对应值如下表：该二次函数图像向左平移 ▲ 个单位长度，图像经过原点. 16.如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（0, 1）和（｛3, 0）,若在第四象限存在点 6使厶OBC 和厶OAB 相似，则点的 C 坐标是 ▲.明、证明过程或演算步骤）217. （ 5分）计算：（x — 3）（3 + x ）— （x + x — 1）.18. （ 7分）（1）解不等式：3（2x + 5）＞2（4x + 3）,并将其解集表示在数轴上.E........ Dy 」 11 1 1AI i i D ，i i i11 /F COB x（第 13 题）\z CAB（第 16 题）11小题，共88分•请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说三、解答题（本大题共（2）写出一个一元一次不等式，使它和（1）中的不等式组成的不等式组的解集为x w 2，这个不等式可以是▲.19.（7分）（i）解方程：2X^^=47^；（2）2x- 1220. （7分）网易新闻的数读” 专栏旨在用数据说话，提供轻量化的阅读体验•近日，网易新闻对部分国家教师职业情况进行了调查，提供了如下的一幅统计图，请你阅读这幅图并回答下面的问题.（1）该调查的方式属于_▲ （填“抽样调查”或“普查”）；（2）图中展示了亚洲国家中国、日本、韩国、印度、印尼、土耳其、以色列”和欧洲国家捷克、英国、西班牙、瑞士、芬兰、匈牙利、意大利、希腊、德国、荷兰、瑞典、葡萄牙、比利时、法国”的教师平均年薪，你估计两组数据的方差哪一个小？（3）请选择一个亚洲国家、一个欧洲国家，结合图中数中国教师：最受尊重，工资垫底阙数读: Varkjey CENtfiFoundahonx OECD公欢霑射和岡业的1A可稈曲苗—2SX 学生聆杭邮的*«程糜各S3戦禅畔耳年廝（建无】据，写出你对这两个国家的教师职业的评价21. （ 9分）如图，在 口 ABCD 中，E 、F 为AD 上两点，AE = EF = FD ，连接BE 、CF 并延长,交于点G ,且GB = GC . （1） 求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）若厶GEF 的面积为2.① 求四边形BCFE 的面积； ② 四边形ABCD 的面积为▲22. （ 8分）（1 ）甲乙两只不透明的袋子中各装有完全相同的 3个球，甲袋中的3个球分别标 上数字1、2、3，乙袋中的3个球分别标上数字 4、5、6.分别从两只袋子中各摸出一个球， 求摸到的两球的标号之和为奇数的概率;（2）请利用一枚质地均匀的小正方体设计一个试验，使试验结果的概率与（ 1）中相同.（友情提醒：1•说明小正方体的每个面的数字.2 •叙述试验方案，不需说明理由.）A（第 21 题）GD23. （8分）为了测量校园内旗杆AB的高度，小明和小丽同学分别采用了如下方案.（1）小明的方案：如图1，小明在地面上点C处观测旗杆顶部，测得仰角/ ACB = 45°然后他向旗杆反方向前进20米，此时在点D处观测旗杆顶部，测得仰角/ ADB = 26.6。
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江苏南京鼓楼区九年级上期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1【答案】C【解析】试题分析：移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，所以由x2=x，得x2﹣x=0，即x（x﹣1）=0，所以可得x=0，x﹣1=0，解得x1=0，x2=1，故选C．考点：解一元二次方程-因式分解法【题文】一元二次方程的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【答案】B【解析】试题分析：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，因此该方程有两个相等的实数根．故选B．考点：根的判别式【题文】如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2【答案】C【解析】试题分析：由h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，评卷人得分圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．考点：圆锥的计算【题文】某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明90808382若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．85【答案】C【解析】试题分析：根据加权平均数的计算公式进行计算：张明的平均成绩为：（90×3+80×3+83×2+82×2）÷10=84；故选C．考点：加权平均数【题文】如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．16【答案】B【解析】试题分析：由三角形的内角和公式求出∠A=45°，即可求得圆心角∠BOC=90°，由弧长公式，求得半径OB=8，再由勾股定理求得BC=，故选B．考点：弧长的计算【题文】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【答案】A【解析】试题分析：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．考点：垂径定理的应用【题文】用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．【答案】4【解析】试题分析：要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．可由x2﹣4x=5，得x2﹣4x+4=5+4，用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．考点：解一元二次方程-配方法【题文】若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．【答案】外【解析】试题分析：由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离OP=2＞1，可判定点P在圆外．考点：点与圆的位置关系【题文】若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．【答案】-2【解析】试题分析：根据根与系数的关系即可由一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，得到x1+x2=﹣=﹣2．考点：根与系数的关系【题文】一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．【答案】【解析】试题分析：先求出总球的个数2+3=5个球，再根据概率公式进行计算即可得出摸到红球的概率是．考点：概率公式【题文】如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．【答案】【解析】试题分析：先根据OD=OF得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF=60°，根据扇形的面积公式即可得出：图中阴影部分的面积=．考点：扇形面积的计算【题文】如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH=．【答案】8【解析】试题分析：取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，再根据勾股定理得OH2+DH2=OD2，即（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，进而可得出AH=AB﹣BH=10﹣2=8．考点：1、垂径定理；2、勾股定理【题文】如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA=°．【答案】20【解析】试题分析：根据三角形的内角和得到∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据圆周角定理即可得到∠CDA=∠B=20°．考点：1、圆周角定理，2、三角形的内角和【题文】如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．【答案】x2﹣35x+34=0【解析】试题分析：设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．考点：由实际问题抽象出一元二次方程【题文】将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为°．【答案】22.5【解析】试题分析：设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB=86°﹣30°=56°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB，即可得到∠ACB =∠AOB=22.5°．考点：圆周角定理【题文】如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．【答案】①②③【解析】试题分析：首先连接OD，OE，∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，∵∠B=90°，∴四边形ODBE是正方形，∴BE=BD=OE=OD=5，∴点O在∠B的平分线上，CE=BC﹣BE=5，AD=AB﹣BD=11﹣5=6，∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，∵OA=，OC=，∴OA≠OC，即O不在AC的垂直平分线上；∵AC=，∴点O不在AC上．∴①②③错误，④正确．故答案为：①②③．考点：1、切线的性质；2、线段垂直平分线的性质【题文】解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．【答案】（1）x=﹣1或x=﹣5（2）x1=，x2=【解析】试题分析：（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．试题解析：（1）（x+1）（x+5）=0，∴x+1=0或x+5=0，解得：x=﹣1或x=﹣5；（2）∵a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=1+4=5，∴x=，∴x1=，x2=．考点：解一元二次方程-因式分解法【题文】甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【答案】（1）7，7.5，4.2（2）乙【解析】试题分析：（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．试题解析：（1）甲的平均成绩a==7（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），其方差c=×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=×（16+9+1+3+4+9）=4.2（环）；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．考点：1、方差；2、条形统计图；3、折线统计图；4、中位数；5、众数【题文】已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析（2）1，1【解析】试题分析：（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t与m的方程组即可．试题解析：（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．考点：1、根与系数的关系；2、根的判别式【题文】甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是 ___ ；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率=．考点：1、列表法与树状图法；2、概率公式【题文】在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．【答案】（Ⅰ）36°（Ⅱ）30°【解析】试题分析：（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．试题解析：（Ⅰ）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．考点：切线的性质【题文】我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．【答案】（1）x=2（2）x1=4，x2=12【解析】试题分析：（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．试题解析：（1）两边平方，得16﹣6x=x2，整理得：x2+6x﹣16=0，解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，所以原方程的根为x=2；（2）移项得：2=6﹣x两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x+36，解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍）．考点：1、无理方程；2、分式方程的增根【题文】圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为 ____ ．【答案】（1）证明见解析（2）πa2（3）7π【解析】试题分析：（1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=7，则可求得圆环的面积试题解析：（1）证明：如图1中，连接OP．∵AB是小圆的切线，P是切点，∴OP⊥AB，∴PA=PB．（2）解：如图1中，连接OB．∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，∵S圆环=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），∴S圆环=πa2．（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，∵AB=8，CD=6，∴AE=EB=4，CE=DE=3，∴OA2﹣OC2=7，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．考点：1、垂径定理，2、勾股定理，3、圆的面积，4、切线的性质【题文】某农场去年种植南瓜10亩，亩产量为2000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．【答案】50%【解析】试题分析：根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．试题解析：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=﹣2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．考点：一元二次方程的应用【题文】如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析【解析】试题分析：（1）作出BD、BC的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O为圆心AO长为半径画圆即可；（2）以B为圆心，BC长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接BD，CD即可．试题解析：（1）如图l 20060×20提价后____________（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元【解析】试题分析：（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．试题解析：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，整理，得x2﹣420x+32000=0，解得x1=320，x2=100．当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．答：每间客房的定价应为300元．考点：一元二次方程的应用【题文】问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O 的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB ____ BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ___ DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=∠BAD，因为OB=OC，所以 __ ，因为BD=BA，所以 ______ ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到 ____ ，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．【答案】问题分析：⊥，∥（1）∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO（2）BF⊥AD（3）证明见解析【解析】试题分析：问题分析：直接得出结论即可；解法探究：（1）根据证明方法直接写出结论；（2）先判断出OD=OA，再用垂径定理即可得出结论；（3）方法1，先判断出AC是⊙O的直径，进而判断出四边形BEDH是矩形即可；方法2，先判断出AH=DH，再判断出AC是⊙O的直径，进而判断出OH是△ACD的中位线，即可得出DE∥OB ，即可得出结论；试题解析：问题分析：故答案为：⊥，∥；解法探究：（1）故答案为：∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO；（2）如图3，连接OD，∴OD=OA，∵BD=BA，∴BF垂直平分AD，即：BF⊥AD（垂径定理），（3）方法1，∵BF⊥AD，∴∠BHD=90°，∵∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵∠E=90°，∴四边形BEDH是矩形，∴∠EBO=90°，∴BE是⊙O的切线；方法2，∵BF⊥AD，∴AH=DH（垂径定理），∵∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AO=CO，∴OH是△ACD的中位线，∴OH∥DC，即：DE∥OB，∵∠E=90°，∴∠EBO=90°，∴BE是⊙O的切线．考点：1、圆的性质，2、垂径定理，3、切线的判定，4、矩形的判定和性质，5、三角形的中位线。
鼓楼区九年级上学期期中数学
江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0 C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=02．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根3．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜04．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列命题正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．三角形的外心到三边距离相等C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线5．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°6．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）二、填空题（每小题2分，共20分）7．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为．8．（2分）（1997•陕西）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2=．9．（2分）（2017秋•句容市期中）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为．10．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为．11．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程．12．（2分）（2016秋•淮安期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD=°．13．（2分）（2014秋•玄武区期末）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是．14．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB=°．15．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦CD的长为．16．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a ≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：x﹣2﹣10123y70﹣5﹣8﹣9﹣8则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有．三、解答题（本题10个小题，满分88分）17．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）解下列方程：（1）x2﹣3x+2=0（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．18．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．19．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．20．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为m（用含x的代数式表示）；（2）求（1）中x的值．21．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．22．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．求证：DB=DC．23．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？24．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．25．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知△ABC，∠C=90°．（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．26．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上．（1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象；（3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案．x﹣2﹣1 01234 y12017-2018学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1=3 B．x2+x﹣1=0 C．x2+y=5 D．ax2+bx+c=0【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；B、是一元二次方程，故此选项正确；C、不是一元二次方程，故此选项错误；D、不是一元二次方程，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）一元二次方程x2﹣6x+9=0的根的情况（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不等的实数根D．有两个相等的实数根【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：△=36﹣4×9=0，∴该方程有两个相等的实数根，故选：D．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．3．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0【分析】A、由抛物线的开口向下，可得出a＜0，结论A错误；B、由抛物线与y轴的交点位置，可得出c＞0，结论B错误；C、由当x=1时y＞0，可得出a+b+c＞0，结论C正确；D、由a＜0及﹣＞0，可得出b＜0，结论D错误．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵抛物线开口向下，∴a＜0，结论A错误；B、∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，结论B错误；C、∵当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，结论C正确；D、∵抛物线的对称轴在y轴右侧，且a＜0，∴﹣＞0，∴b＜0，结论D错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）下列命题正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．三角形的外心到三边距离相等C．矩形的四个顶点一定在同一个圆上D．与圆的一条半径垂直的直线是该圆的切线【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以A选项错误；B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以B选项错误；C、矩形的四个顶点一定在同一个圆上，所以C选项正确；D、经过半径的外端并且与这条半径垂直的直线为该圆的切线，所以D选项错误．故选：C．【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，⊙O中的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠OBC等于（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，根据等腰三角形的性质求解即可．【解答】解：∵弧AB的度数为60°，∴∠AOB=60°，∵AC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°﹣∠AOB=180°﹣60°=120°．∵OB=OC，∴∠OBC=∠C=30°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，利用了弧的度数等于圆心角的度数和邻补角定义求解．6．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，过A、B、C三点作一圆弧，点B与下列格点连线中，能够与该弧所在的圆相切的是（）A．（0，3） B．（1，3） C．（2，3） D．（4，3）【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．【解答】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，∴EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1）或（1，3），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）或（1，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．二、填空题（每小题2分，共20分）7．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将一元二次方程x2+x=2化成一般形式为x2+x ﹣2=0．【分析】把2移到等号左边即可．【解答】解：x2+x=2，x2+x﹣2=0，故答案为：x2+x﹣2=0．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．8．（2分）（1997•陕西）设方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，则（x1+x2）2﹣x1x2=73．【分析】由根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入所求式子中计算即可求出值．【解答】解：∵方程x2+x﹣72=0的两个根是x1和x2，∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣72，则（x1+x2）2﹣x1x2=1+72=73．故答案为：73【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．9．（2分）（2017秋•句容市期中）已知圆弧所在圆的半径为6，所对圆心角为60°，则这条弧的长为2π．【分析】利用弧长的计算公式计算即可．【解答】解：l==2π，故答案为2π．【点评】本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．熟记公式是解题的关键．10．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的函数图象对应的二次函数表达式为y=3（x+2）2﹣1．【分析】利用二次函数平移规律进而求出即可．【解答】解：y=3x2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y=3（x+2）2﹣1．故答案为：y=3（x+2）2﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．11．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）某企业2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x，根据题意可列方程400（1+x）2=484．【分析】利用增长率模型即可列出方程．【解答】解：∵2014年底缴税400万元，2016年底缴税484万元，∴设年平均增长率为x，则可列出方程为400（1+x）2=484，故答案为：400（1+x）2=484．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握增长率模型是解题的关键，即a（1±x）2=b．12．（2分）（2016秋•淮安期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BCD=130°．【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠BOD=100°，∴∠A=50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣50°=130°．故答案为：130．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键．13．（2分）（2014秋•玄武区期末）圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm，则这个圆锥的侧面积是60πcm2．【分析】根据底面半径OB=6cm，高OC=8cm，由勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC==10cm，∴这个圆锥的侧面积是：×2πrl=π×6×10=60πcm2故答案为：60πcm2．【点评】本题考查了圆锥的侧面积的求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．14．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠P=50°，则∠ACB=65°．【分析】由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴∠AOB=180°﹣∠P=130°，由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是连接BC、OB，利用直径对的圆周角是直角，切线的性质，圆周角定理解答．15．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，则弦CD的长为8．【分析】如图，连接OC；首先证明CE=DE；其次运用勾股定理求出CE的长，即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC；∵直径AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5；∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE==4，∴CD=2CE=8．故答案为8．【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理、垂径定理等几何知识点来分析、判断、求解．16．（2分）（2017秋•鼓楼区期中）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a ≠0）中的x与y的部分对应值如下表所示：x﹣2﹣10123y70﹣5﹣8﹣9﹣8则下列结论：①当x＜1时，y＞﹣8；②x=﹣5是方程ax2+bx+c=0的一个根；③当x=6时，y的值是7；④二次函数y=ax2+bx+c+9的图象与x轴只有一个交点，正确的有①③．【分析】根据表格中的数据确定出抛物线的顶点坐标公式，开口方向，以及增减性，判断即可．【解答】解：由表格中的数据可得：顶点坐标为（2，﹣9），与x轴一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线开口向上，与x轴另一个交点为（5，0）；x=﹣2或6时，y=7；当x＜2，y随x的最大而减小，由x=1时，y=﹣8，得到x＜1时，y＞﹣8；正确的有：①③故答案为：①③【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．三、解答题（本题10个小题，满分88分）17．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）解下列方程：（1）x2﹣3x+2=0（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0．【分析】（1）根据十字相乘法解方程即可求解；（2）先提取公因式（x+1），根据因式分解法解方程即可求解．【解答】解：（1）x2﹣3x+2=0，（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2；（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0，（x﹣2）（x+1）=0，解得x1=2，x2=﹣1．【点评】本题考查了解方程的方法﹣配方法、公式法、因式分解法，熟练掌握解方程的三种方法是解题的关键．18．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m2+2m+2017的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）代入x=1可得出m2+2m=0，将其代入m2+2m+2017中即可求出结论．【解答】（1）证明：∵△=（2m）2﹣4（m2﹣1）=4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当x=1时，m2+2m=0，∴m2+2m+2017=0+2017=2017．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=1找出m2+2m=0．19．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知：如图，OA=OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC=BD．【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE=BE，再由垂径定理可知CE=DE，故可得出结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，∵OA=OB，∴AE=BE，又∵在⊙O中，∴CE=DE，∴AC=BD．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．20．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某生物兴趣小组打算用16米的篱笆围成一个长方形生物园饲养小兔，如图所示，生物园的一面靠墙（墙有足够长），面积为30m2．（1）设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的一边为16﹣2x m（用含x的代数式表示）；（2）求（1）中x的值．【分析】（1）由篱笆的长度结合垂直于墙的边长为xm，即可求出平行于墙的一边的长度；（2）根据长方形的面积公式结合生物园的面积为30m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵垂直于墙的边长为xm，∴平行于墙的一边为（16﹣2x）m．故答案为：16﹣2x．（2）根据题意得：x（16﹣2x）=30，整理，得：x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．答：x的值为3或5．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据篱笆的长度用含x的代数式表示出平行于墙的一边的长度；（2）根据长方形的面积公式列出一元二次方程．21．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），求一元二次方程ax2+bx﹣2=0的根．【分析】把已知两点坐标代入二次函数解析式求出a与b的值，代入方程计算即可求出解．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣2的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，3），∴，解得：，所求方程为2x2﹣3x﹣2=0，即（2x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣，x2=2．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．22．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．求证：DB=DC．【分析】由同弧所对的圆周角相等可得出∠DAC=∠DBC，结合角平分线的性质可得出∠EAD=∠DBC，根据圆内接四边形的性质可得出∠EAD=∠BCD，进而可得出∠DBC=∠DCB，再根据“等角对等边”即可证出DB=DC．【解答】证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，∴∠DAC=∠DBC．∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠DBC．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理以及角平分线的性质，根据圆内接四边形的性质结合角平分线的性质，找出∠DBC=∠DCB是解题的关键．23．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）某商场某种品牌鞋子平均每天可销售20双，每双盈利44元，若每双降价1元，则平均每天可多销售5双，如果每天要盈利1600元，那么每双应降价多少元？【分析】等量关系为：（44﹣降价的价钱）×（20+降价后增加的双数）=1600，把相关数值代入即可求解．【解答】解：设每双应降价x元．（44﹣x）×（20+5x）=1600，解得x1=4，x2=36．答：每双应降价4元或36元．【点评】找到利润的等量关系是解决本题的关键；难点是得到降价后一共卖出的量．24．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O在AB上，⊙O过B、D两点，分别交AB、BC于E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=1，∠A=45°，求阴影部分的面积．【分析】（1）欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；（2）先得出△OAD是等腰直角三角形，再利用阴影部分的面积等于△OAD的面积减去扇形ODE的面积解答即可．【解答】（1）证明：∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；（2）∵AC⊥OD，∠A=45°，∴△OAD是等腰直角三角形，∵AD=1，∴△OAD的面积=．∵∠DOE=45°，∴扇形ODE的面积=，∴阴影部分的面积=．【点评】本题综合考查了切线的判定、平行线截线段成比例等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（8分）（2017秋•鼓楼区期中）已知△ABC，∠C=90°．（1）用直尺和圆规作一个半圆，使圆心O在AC上，且与AB、BC都相切（不写作法，保留作图痕迹）．（2）若AC=4，BC=3，求（1）中半圆的半径．【分析】（1）先作∠B的角平分线与AC的交点为O，以O为圆心，OC为半径画半圆即可；由∠ACB=90°得到OC⊥CB且OC=r，BC与半圆O相切，再过点O作OD垂直于AB交AB于点D，因为OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，所以OD=OC=r且OD ⊥AB，从而证得AB与半圆O相切；（2）先设半圆的半径为r，已知半圆O与AB相切于点D，得到OD⊥AB，∠ADO=90°，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB的长，再在△ADO 和△ACB中，∠ADO=∠ACB∠A=∠A，证得△ADO∽△ACB，利用相似三角形的性质：两个三角形相似对应边的比相等直接求解．【解答】解：（1）作∠B的角平分线与AC的交点O，以O为圆心，OC为半径画半圆；∵∠ACB=90°∴OC⊥CB且OC=r，∴BC与半圆O相切过点O作OD垂直于AB交AB于点D∵OB平分∠ABC且OD⊥AB，OC⊥BC，∴OD=OC=r且OD⊥AB∴AB与半圆O相切；（2）设半圆的半径为r，∵半圆O与AB相切于点D∴OD⊥AB∴∠ADO=90°在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴AB===5，在△ADO和△ACB中∠ADO=∠ACB∠A=∠A∴△ADO∽△ACB∴=，∴r=．答：半圆的半径为．【点评】本题考查了切线的判断与性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，此题综合性较强，比较复杂，一定要细心去做．26．（10分）（2017秋•鼓楼区期中）已知二次函数y1=ax2﹣2x﹣3（a≠0）的图象与一次函数y2=﹣x﹣1的图象有一个交点在x轴上．（1）求出该二次函数的表达式和图象的顶点坐标；（2）填写下面的表格，并利用表格中的数据在方格纸上画出该二次函数的图象；（3）当x在什么范围内时，y1＞y2？当x在什么范围内时，y1•y2＜0？请直接写出答案．x﹣2﹣1 01234 y1【分析】（1）先利用一次解析式确定一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），再把（﹣1，0）代入y1=ax2﹣2x﹣3得a=1，从而得到抛物线解析式，然后把抛物线配成顶点式得到顶点坐标；（2）利用抛物线解析式计算自变量为﹣2、﹣1、0、1、2、3、4时对应的函数值，然后利用描点法画出二次函数解析式；（3）先通过解方程组得抛物线与一次函数的交点坐标，再写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围可满足y1＞y2；然后找出满足函数值异号的自变量的范围确定y1•y2＜0．【解答】解：（1）当y=0时，﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，则一次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）；把（﹣1，0）代入y1=ax2﹣2x﹣3得a+2﹣3=0，解得a=1，所以抛物线解析式为y1=x2﹣2x﹣3，因为y1=（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）如图，（3）解方程组得或，所以抛物线与一次函数的交点坐标为（﹣1，0）、（2，﹣3），当﹣1＜x＜2时，y1＞y2；当x＞3时，y1•y2＜0．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与一次函数的函数值的大小，可利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，。
2016~2017学年江苏南京鼓楼区初三上学期期末数学试卷
1. 关于x的一元二次方程x2 − x − 2 = 0的根的情况是（ ）．
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有且只有一个实数根
D. 没有实数根
2. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）．
A. y = 2x − 1
B. 1 y=− x
．
（4）
若m
⩽
x
⩽
m
+
时， 4
−10
⩽
y1
⩽
8，则m的值为
．
26. 为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为30元/盒的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每盒售价40元时．每 天能出售500盒．并且售价每上涨1元，其销售量将减少10盒，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超 过进价的180%． （1） 求每天销售利润y（元）与每盒售x（元）之间的函数关系式，并求每天销售利润的最大值． （2） 如果超市想要每天获得利润不少于8000元，求售价的范围．
18. 初二某班体育老师对A、B两组各10名男生“立定跳远”项目进行了检测，两组成绩（满分13分）如下： ． 、 、 、 、 、 、 、 、 、 A 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12 ． 、 、 、 、 、 、 、 、 、 B 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13 （1） 分别计算两组的平均成绩． （2） 哪个组成绩比较整齐？
． y ⩾ 0
其中正确的结论是
．（填写正确结论的序号）．
16.
如图，△ABC 中，AB
=
， 17 AC
=
， 10 BC
=
，则 21
江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷
江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）方程x2＝x的根是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1 2．（2分）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定3．（2分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm24．（2分）某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明9080 8382若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82B．83C．84D．855．（2分）如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B＝75°，∠C＝60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8B．8C．16D．166．（2分）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（2分）用配方法解方程x2﹣4x＝5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．8．（2分）若⊙O的直径为2，OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O．9．（2分）若一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．10．（2分）一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．11．（2分）如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．12．（2分）如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB＝2，HD ＝4，则AH＝．13．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C ＝80°，∠CEA＝30°，则∠CDA＝°．14．（2分）如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：．15．（2分）将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为°．16．（2分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝11，BC＝10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．三、解答题（共11小题，满分88分）17．（8分）解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5＝0；（2）x2+x﹣1＝0．18．（8分）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：中位数/环众数/环方差平均成绩/环甲a77 1.2乙7b8c（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？19．（6分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．20．（5分）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．21．（8分）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．22．（7分）我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，解下列方程：（1）＝x；（2）x+2＝6．23．（8分）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP＝BP；（2）若AB＝2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB＝8，CD＝6，则圆环的面积为．24．（7分）某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．25．（7分）如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB＝∠CDB，BC＝BD，求作点D．26．（8分）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前6020060×20提价后（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用）27．（16分）问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC 的延长线于点E．求证：BE是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB BE，由题意知∠E＝90°，故只需证明OB DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB＝∠BAD，因为OB＝OC，所以，因为BD＝BA，所以，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．C；2．B；3．C；4．C；5．B；6．A；二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．4；8．外；9．﹣2；10．；11．；12．8；13．20；14．x2﹣35x+34＝0；15．22.5；16．①②③；三、解答题（共11小题，满分88分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．7π；24．；25．；26．60﹣；200+x；（60﹣）×20；27．⊥；∥；∠CBO＝∠BCO；∠BAD＝∠BDA；∠ECB＝∠CBO；。
江苏省南京市汇文中学2016届九年级上学期期中考试数学试题解析(解析版)
汇文中学2015-2016学年第一学期期中检测九年级数学试卷一、选择题（各题所给答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共18分）1．方程2x2=x的根为( )A．x=12B．x=0 C．x1=2，x2=0 D．x=12或x=02．我校男子足球队22名队员的年龄如下表所示：这些队员年龄的众数和中位数分别是( )A．18，17 B．17，18 C．18，17.5 D．17.5，18【答案】A．【解析】试题解析：18出现的次数最多，18是众数．第11和第12个数分别是17、17，所以中位数为17．故选A．考点：中位数．3．下列命题中，是真命题的是( )A．三点确定一个圆 B．长度相等的弧是等弧C．圆周角等于圆心角的一半 D．正七边形有七条对称轴【答案】D．【解析】试题解析：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B、错误，能够重合的弧是等弧；C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；D、正确．故选D．考点：命题与定理．4．已知⊙O的直径为8，直线l上有一点M，满足OM=4，则直线l与⊙O的位置关系是( )A．相交 B．相离或相交C．相离或相切D．相交或相切【答案】D．【解析】试题解析：∵⊙O的直径为8，∴半径为4，∵OM=4，当OM垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=4=r，⊙O与l相切；当OM不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜4=r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选D．考点：直线与圆的位置关系．5．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是( )A． B．4.75 C．5 D．4.8【答案】D．【解析】试题解析：如图，∵∠ACB=90°，∴EF是直径，设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，∴EF为直径，OC+OD=EF，∴CO+OD＞CD，∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值∴由三角形面积公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．故选D．考点：1.切线的性质；2.勾股定理的逆定理；3.圆周角定理．6．如图已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题：①△AED∽△BEC ②∠AEB=90°③∠BDA=45° ④图中全等的三角形共有3对．其中正确的命题有( )个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D．【解析】试题解析：①根据圆周角的推论，可得到：∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE，则△AED∽△BED，正确；②由上面的分析可知，BE=CE=3，AB=5，AE=AC-CE=4，根据勾股定理的逆定理，△ABE为直角三角形，即∠AEB=90°，正确；③∵AE=DE，∴∠EAD=∠EDA=45°，正确；④从已知条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌△DCA共3对，正确．其中正确的命题有4个；故选D．考点：命题与定理．二、填空题（每题3分，共30分）7．若a是方程x2-2x-1=0的解，则代数式2a2-4a+2011的值为．8．已知三角形三边长分别为1cm cm cm，则此三角形的外接圆半径为 cm．.【解析】试题解析：∵三角形的三条边长分别为1cm cm，12+）2=）2，cm为斜边的直角三角形，（cm）．考点：1.三角形的外接圆与外心；2.勾股定理的逆定理．9．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是⊙O上一点，∠EMF=55°，则∠A=．【答案】70°．【解析】试题解析：连接OF，OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∴∠AEO=∠AFO=90°，∵∠EMF=55°，∴∠EOF=110°，∴∠A=180°-110°=70°．考点：三角形的内切圆与内心．10．一组数据1，2，x，0，-1的极差为3，则整数x的值是．【答案】2或-1.【解析】试题解析：当x是最大值，则x-（-1）=3，所以x=2；当x是最小值，则2-x=3，所以x=-1；所以x的值为2或-1．考点：极差．11．已知圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则它的表面积为 cm2（结果保留π）．【答案】15π.【解析】试题解析：由勾股定理知：圆锥母线长=5cm，则圆锥侧面积=12×6π×5=15πcm2．考点：圆锥的计算．12．一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x= ．【答案】22.【解析】试题解析：这组数据23，27，20，18，x，12，共6个；最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．将除x外的五个数从小到大重新排列后为12 18 20 23 27；20这个数总是中间的一个数，由于中位数是21，所以中间还一个是22，即x=22．考点：中位数．13．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ACBD一定是形．【答案】矩.【解析】试题解析：连接AC、BC、BD、AD，∵AB、CD为圆O的直径，∴OA=OB=OC=OD，∴四边形ACBD为矩形．考点：1.圆周角定理；2.矩形的判定．14．若一组数据a1，a2，…，a n的方差是5，则一组新数据2a1，…，2a n的方差是．【答案】20.【解析】试题解析：一组数据a1，a2，…，a n的方差是5，设其平均数为m，方差为n，即n=5；则一组新数据2a1，2a2，…，2a n的平均数是2m，方差是S2=4n2=20．考点：方差．15．若一个圆锥的侧面积是它底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是．【答案】180°．【解析】试题解析：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．由题意得S底面面积=πr2，l底面周长=2πr，S扇形=2S底面面积=2πr2，l扇形弧长=l底面周长=2πr．由S扇形=12l扇形弧长×R得2πr2=12×2πr×R，故R=2r．由l 扇形弧长=180n rπ得： 2πr=2180n r π⨯解得n=180°． 考点：圆锥的计算．16．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③AC AB CD BC=；④AC 2=AD•AB，其中单独能够判定△ABC∽△ACD 的有 ．【答案】①②④. 【解析】试题解析：由图可知∠A 为两个要证明相似的三角形的公共角，因此，只要再找出一组对应角相等，或两组对应边成比例即可证明△ABC ∽△ACD ． 而①②④分别与∠A 为△ABC 与△ACD 的公共角相结合，均可推出△ABC ∽△ACD ． ③中∠A 不是已知的比例线段的夹角，故不正确． 考点：相似三角形的判定．三、解答题17．已知关于x 的一元二次方程x 2-6x+k=0有两个实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-6x+k=0与x 2+mx-1=0有一个相同的根，求常数m 的值．【答案】(1) k≤9;(2) 83-. 【解析】试题分析：（1）根据题意知△=b2-4ac ≥0，从而求出k 的取值；（2）根据题意和（1）知当k=9时，方程有相同的根，然后求出两根，再求m 的值即可． 试题解析：（1）∵b 2-4ac=（-6）2-4×1×k=36-4k≥0 ∴k≤9（2）∵k是符合条件的最大整数且k≤9∴k=9当k=9时，方程x2-6x+9=0的根为x1=x2=3；把x=3代入方程x2+mx-1=0得9+3m-1=0∴m=83 .考点：根的判别式．18．有四张背面图案相同的卡片A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小敏将这四张卡片背面朝上洗匀摸出一张，放回洗匀再摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸出卡片所有可能的结果；（卡片可用A、B、C、D表示）（2）求摸出的两张卡片图形都是中心对称图形的概率．【答案】(1) 所有情况见解析；（2）14．【解析】试题分析：（1）列举出所有情况即可；（2）中心对称图形是绕某点旋转180°后能够和原来的图形完全重合，那么B，D是中心对称图形，看所求的情况占总情况的多少即可．试题解析：（1）树状图：或列表法（2）由图可知：只有卡片B、D才是中心对称图形．所有可能的结果有16种，其中满足摸出的两张卡片图形都是中心对称图形（记为事件A）有4种，即：（B，B）（B，D）（D，B）（D，D）．∴P（A）=41 164=．考点：1.列表法与树状图法；2.中心对称图形．19．一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问甲同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？【答案】）1）70；6；（2）甲同学数学比英语考得更好．【解析】试题分析：由平均数的概念计算平均数，根据标准差是方差的算术平方根计算标准差，根据标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差，计算数学和英语的标准分，然后比较．试题解析：（1）数学考试成绩的平均分x数学=1(7172696870)70 5++++=，英语考试成绩的标准差S英语6=；（2）设甲同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩标准分为P英语，则P数学=(7170)-=P英语=1 (8885)62-÷=．∵P数学＞P英语，∴从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好．考点：1.标准差；2.算术平均数．20．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，半径OD⊥BC，垂足为E，若BC=，DE=3．求：（1）⊙O的半径；（2）弦AC的长；（3）阴影部分的面积．【答案】（1）6；（2）6；（3）6π【解析】试题分析：（1）半径OD⊥BC，所以由垂径定理知：CE=BE，在直角△OCE中，根据勾股定理就可以求出OC 的值；（2）根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，因而在直角三角形ABC中根据勾股定理得到AC的长；（3）阴影部分的面积就是扇形OCA的面积减去△OAC的面积．试题解析：（1）∵半径OD⊥BC，∴CE=BE，，，设OC=x，在直角三角形OCE中，OC2=CE2+OE2，∴x2=（）2+（x-3）2，∴x=6即半径OC=6；（2）∵AB为直径，∴∠ACB=90°，AB=12，∴AC2=AB2-BC2=36，∴AC=6；（3）∵OA=OC=AC=6，∴∠AOC=60°，∴S 阴=S 扇-S △OAC =26061663602π⨯⨯-⨯⨯=6π．考点：1.扇形面积的计算；2.勾股定理；3.垂径定理；4.圆周角定理．21．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x 元．（1）写出售出一个可获得的利润是 元．（用含x 的代数式表示）（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？【答案】（1）x+10；（2）每个定价为70元，应进货200个．【解析】试题分析：（1）根据利润=销售价-进价列关系式；（2）总利润=每个的利润×销售量，销售量为400-10x ，列方程求解，根据题意取舍.试题解析：由题意得：（1）50+x-40=x+10（元）（2）设每个定价增加x 元．列出方程为：（x+10）（400-10x ）=6000解得：x 1=10 x 2=20要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．考点：一元二次方程的应用．22．在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，AE=3，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF=∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）在Rt△ABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）∵CD=AB=4，AE⊥BC，∴AE⊥AD；在Rt△ADE中，6==，∵△ADF∽△DEC，∴AD AF DE CD=；4AF=，解得AF=考点：1.勾股定理；2.平行线的性质；3.平行四边形的性质；4.相似三角形的判定与性质．23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=，求⊙O的半径．【答案】(1)作图见解析；BC是⊙O的切线．理由见解析；（2）2.【解析】试题分析：（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；由∠BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得AC∥OD，又由∠C=90°，则问题得证；（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值．试题解析：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆．判断结果：BC是⊙O的切线．如图2，连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAB∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即：OD⊥BC，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为r，则OB=6-r，∵BD=，在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，即r2+（）2=（6-r）2，解得r=2．故⊙O的半径是2．考点：1.作图—复杂作图；2.切线的判定．24．如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）IE2=ED•EA．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由内心的性质可知；∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE，由圆周角定理可知∠BCE=∠BAE，从而得到∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE，从而得到∠EIC=∠ICE，于是得到IE=EC；（2）先证明DCE∽△CAE，从而可得到CE2=DE•EA，由IE=EC从而得到IE2=DE•EA．试题解析：（1）如图所示；连接IC．∵点I是△ABC的内心，∴∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE．又∵∠BAE=∠BCE，∴∠CAE=∠BCE．∴∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE．∴∠EIC=∠ICE．∴IE=EC．（2）由（1）可知：∠CAE=∠BCE．又∵∠AEC=∠DEC，∴△DCE∽△CAE．∴CE DE AE CE．∴CE2=DE•EA．∵IE=EC，∴IE2=DE•EA．考点：三角形的内切圆与内心．25．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=513，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；（2）30°；（3）485．【解析】试题分析：（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；（3）过点C作CG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=12BE=5，由于∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，得到∠GCE=∠A，△ADE∽△CGE，于是得到sin∠ECG=sin∠A=513，在R t ECG中求得，根据三角形相似得到比例式AD DECG GE=，代入数据即可得到结果．试题解析：（1）连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．（2）如图1，连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴AF=OF，∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=12∠AOF=30°；（3）如图2，过点C作CG⊥BE于G，∵CE=CB，∴EG=12BE=5，∵∠ADE=∠CGE=90°，∠AED=∠GEC，∴∠GCE=∠A，∴△ADE∽△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A=5 13，在R t ECG中，=12，∵CD=15，CE=13，∴DE=2，∵△ADE∽△CGE，∴AD DE CG GE=，∴AD=DEGE，CG=245，∴⊙O的半径OA=2AD=48 5．考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．26．如图△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，△DEA 绕点A旋转，边AD、AE 与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5．回答下列问题：（1）求证：△GAF∽△GBA；（2）求证：AF2=FG•FC；（3）设y=AF2+AG2，FG=x，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（4）探究BF2、FG2、GC2之间的关系，证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）y=x2+5x；（4）FG2=BF2+GC2．证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，由外角的性质得到∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，于是得到∠CFA=∠BAG，即可得到结论．（2）方法同（1）证得△AGF∽△ACF，根据相似三角形的性质即可得到结论．（3）由△GAF∽△GBA，可得AG2=FG•BG，又由AF2=FG•FC，易得y=AF2+AG2=FG•（CB+FG），继而求得y与x的函数关系式．（4）首先把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知识证明∠ACP+∠ACB=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系．试题解析：（1）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，∵∠CFA=∠B+∠FAB，∠GAB=∠FAG+∠FAB，∴∠CFA=∠BAG，∴△GAF∽△GBA；（2）∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，∵∠FGA=∠B+∠EAC，∠CAF=∠FAG+∠EAC，∴∠AGF=∠CAF，∴△AGF∽△ACF， ∴AF CF FG AF=， ∴AF 2=FG•FC．（3）∵△GAF∽△GBA， ∴AG FG BG AG=， ∴AG 2=FG•BG，∵AF 2=FG•FC，∴y=AF 2+AG 2=FG•BG+FG•FC=FG•（BG+FC ）=FG•（CB+FG ）， ∵FG=x，CB=5，∴y=x（x+5）=x 2+5x ；（4）把△ABF 旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP， ∴∠1=∠4，AF=AP ，CP=BF ，∠ACP=∠B，∵∠1+∠3=45°，∴∠4+∠3=45°，∴∠2=∠4+∠3=45°，∴∠2=∠PAG，在△FAG 和△PAG 中， 2AF AP PAG AG AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFG≌△AGP（SAS ），∴FG=GP，∵∠ACP+∠ACB=45°+45°=90°，∴在Rt△PGC 中，GP 2=GC 2+CP 2，∴FG 2=BF 2+GC 2．考点：相似形综合题．高考一轮复习：。