2015年湖州中考数学试题及答案(解析版)
13．（4 分）（2015•湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10 位评委
给某校的评分情况下表所示：
评分（分）80
85
90
95
评委人数 1
2
5
2
则这 10 位评委评分的平均数是
分．
14．（4 分）（2015•湖州）如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，
B．2
C．8
D．4
9．（3 分）（2015•湖州）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，⊙O 是△ABC 的内切圆，现将 矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG．点 F，G 分别在边 AD，BC 上，连结 OG，DG．若 OG⊥DG，且⊙O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是（ ）
D．
6．（3 分）（2015•湖州）如图，已知在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高线，BE 平分∠ABC， 交 CD 于点 E，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）
A．10
B．7
C．5
D．4
7．（3 分）（2015•湖州）一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相
示），以此类推…．若 A1C1=2，且点 A，D2，D3，…，D10 都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10
的边长是
．
三、解答题（本题有 8 个小题，共 66 分）
第 3页（共 23页）
17．（6 分）（2015•湖州）计算：
．
18．（6 分）（2015•湖州）解不等式组
．
19．（6 分）（2015•湖州）已知 y 是 x 的一次函数，当 x=3 时，y=1；当 x=﹣2 时，y=﹣4， 求这个一次函数的解析式．
同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是
（）
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）（2015•湖州）如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，OA 交小圆于点 D，若 OD=2，tan∠OAB= ，则 AB 的长是（ ）
第 1页（共 23页）
A．4
半径 OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于
．
15．（4 分）（2015•湖州）如图，已知抛物线 C1：y=a1x2+b1x+c1 和 C2：y=a2x2+b2x+c2 都经
过原点，顶点分别为 A，B，与 x 轴的另一交点分别为 M，N，如果点 A 与点 B，点 M 与点
N 都关于原点 O 成中心对称，则称抛物线 C1 和 C2 为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物
A．±2
B．2
C．﹣2
D．
4．（3 分）（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm，圆心角为 240°的扇形，
则这个圆锥的底面半径长是（ ）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．18cm
5．（3 分）（2015•湖州）已知一组数据的方差是 3，则这组数据的标准差是（ ）
A．9
B．3
C．
20．（8 分）（2015•湖州）如图，已知 BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 C，AB 交⊙O 于 点 D，E 为 AC 的中点，连结 DE． （1）若 AD=DB，OC=5，求切线 AC 的长； （2）求证：ED 是⊙O 的切线．
21．（8 分）（2015•湖州）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学 鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一 个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下
22．（10 分）（2015•湖州）某工厂计划在规定时间内生产 24000 个零件．若每天比原计划多 生产 30 个零件，则在规定时间内可以多生产 300 个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数； （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进 5 组机 器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比 20 个工人原计划每天生产的零件总数还多 20%．按此测算，恰好提前两天完成 24000 个零件 的生产任务，求原计划安排的工人人数．
2015 年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）
1．（3 分）（2015•湖州）﹣5 的绝对值为（ ）
A．﹣5
B．5
C．﹣
D．
2．（3 分）（2015•湖州）当 x=1 时，代数式 4﹣3x 的值是（
A．1
B．2
C．3
） D．4
3．（3 分）（2015•湖州）4 的算术平方根是（ ）
线 C1 和 C2，使四边形 ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是
和
．
16．（4 分）（2015•湖州）已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1，以 A1C1 为边
向右作正方形 A1C1C2D2，延长 C2D2 到 A2，以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3（如图所
A．CD+DF=4
B．CD﹣DF=2 ﹣3 C．BC+AB=2 +4 D．BC﹣AB=2
10．（3 分）（2015•湖州）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，点 A 是函
数 y= （x＜0）图象上一点，AO 的延长线交函数 y= （x＞0，k 是不等于 0 的常数）的
图象于点 C，点 A 关于 y 轴的对称点为 A′，点 C 关于 x 轴的对称点为 C′，交于 x 轴于点 B， 连结 AB，AA′，A′C′．若△ABC 的面积等于 6，则由线段 AC，CC′，C′A′，A′A 所围成的 图形的面积等于（ ）
统计图表（不完整）：
选择意向 所占百分
比
文学鉴赏 a
科学实验 35%
音乐舞蹈 b
手工编织 10%
其他
c
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数及 a，b，c 的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有 1200 名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数．
பைடு நூலகம்
第 4页（共 23页）
A．8
B．10
C．3
D．4
二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分）
11．（4 分）（2015•湖州）计算：23×（ ）2=
．
12．（4 分）（2015•湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程 s（千米）与所用时间 t（分
钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是
千米/分钟．
第 2页（共 23页）
2015浙江湖州市中考数学试卷
2015年浙江省湖州市中考数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一 ．选择题(每小题3分，共30分)1 ．（2015浙江省湖州市，3，分）－5的绝对值是( )．A ．－5B ．5C ．15-D ．15【答案】B【解析】由题意，|-5|=5．故选B ．2 ．（2015浙江省湖州市，3，分）当x ＝1时，代数式4－3x 的值是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】当=1时，4－3x ＝4－3×1＝1．故选A ．3 ．（2015浙江省湖州市，3，分）4的算术平方根是( )．A ．±2B ．2C ．－2D 【答案】B【解析】2．4 ．（2015浙江省湖州市，3，分）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( )．A ．6cmB ．9cmC ．12cmD ．18cm【答案】C【解析】 扇形弧长：2401824180l ππ⨯⨯==，设底面圆的半径为r ，则242r ππ=，得r ＝12．5 ．（2015浙江省湖州市，3，分）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是( )．A ．9B ．3C ．32 D【答案】D【解析】6 ．（2015浙江省湖州市，3，分）如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积等于( )．A ．10B ．7C ．5D ．4 AB C D E【答案】C【解析】过点E 作EK ⊥BC 于点K ，∵BE 平分∠ABC ，C D⊥AB，所以EK ＝ED ＝2，所以△BCE 的面积＝115222BC EK ⨯⨯=⨯⨯＝5．故选C ． E D C B AK7 ．（2015浙江省湖州市，3，分）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( )．A ．49B ．13C ．16D ．19【答案】D【解析】列表法：符合题意的情况用“√”表示，不符合题意用“×”表示．所以P(两次黑)＝19．8 ．（2015浙江省湖州市，3，分）如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ．若OD ＝2，tan ∠OAB ＝12，则AB 的长是( )． A ．4 B ．C ．8D ．A【答案】C 【解析】∵tan∠OAB＝12，所以AC＝2OC＝2OD＝2×2＝4，又∵AC是小圆的切线，所以OC⊥AB，由垂径定理，得AB＝8．故选C．9．（2015浙江省湖州市，3，分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC 的内切圆，现将矩形ABD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，连结OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是()．A．CD＋DF＝4 B．CD－DF＝ 3 C．BC＋AB＝4 D．BC－AB＝2【答案】A【解析】D如图所示，设AB与圆O相切于点M，BC与⊙O相切于点H，连结MO并延长MO交CD 于点T，连接OH、OD，过点G作GN⊥AD于点N，分别交OD于点K，交OT于点P．由折叠易知，OG＝DG，OH⊥BC，所以∠OHG＝∠GCD＝90°，∠HOG＋∠OGH＝90°，∵OG⊥DG，所以∠OGH＋∠DGC＝90°，所以∠DGC＝∠HOG，所以△OHG≌△GCD，∴H G＝CD，GC＝OH＝1，易得四边形BMOH是正方形，所以BM＝BH＝MO＝OH＝1，设CD＝1，则HG＝1，AB＝1，所以AM＝m－1，又∵⊙O是△ABC的切圆，所以AC＝m＋1＋m－1＝2m，所以AC＝2AB，所以∠ACB＝30°，所以BC，2＋m，得m1，m＝AB1，BC＝2＋m＝3所以BC－AB＝2，D选项正确；BC＋AB＝2m＋2＝4，C选项正确．由折叠知，OG＝GD，又OG⊥GD，所以△OGD是等腰直角三角形，且OR＝RD，所以RG＝RD，RG⊥RD，注意到GN⊥AD为所作，所以∠GRD＝∠FRD＝90°，∠RKG＝∠NKD，所以∠RKG＋∠RGK＝∠NKD＋∠NDK＝90°，所以∠NKD＝∠RGK，所以△RKG≌△RFD，所以FD＝KG，易得四边形OHGP是矩形，所以PG＝1，由GN∥DC，可得△OPK∽△OTD，所以321 PK OPDT OT=====+=，所以PK＝3KG＝4DF，CD－DF＝1－(43，B选项正确；CD－DF＝1+(4，A选项错误．故选A．D1m-10．（2015浙江省湖州市，3，分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数1yx=(x＜0)图象上一点，OA的延长线交函数y＝2kx(x＞0，k是不等于0的常数)的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A'，点C关于x轴对称点为C'，连结CC'，交x轴于点B，连结AB，AA'，A C''，若△ABC的面积等于6，则由线段AC、CC'，CA''，A A'所围成的图形的面积等于()．A．8 B．10 C．D．【答案】B【解析】过点A ，作AK ⊥x 轴于点K ，连接OA '，由对称性，知O 、A '、C '在一条直线上．设A(a ，1a)，设直线AC 的解析式为y ＝mx ，代入点A 的坐标， 得1am a =，得m ＝21a ，所以直线AC 的解析式为21y x a =， 设C(c ，2k c)，因为C 是直线AC 与反比例函数的交点， 所以221k c c a =⨯，得c ＝±ak ， (1)当k ＜0，则c ＝ak ，所以C(ak ，k a)，所以BK ＝ak －a ， △ABC 的面积等于6， 所以162BC BK ⨯=，即1)()62k ak a a⨯⨯-=（， 得k 2－k －12＝0，得k ＝4或－3，∵k ＜0，所以k ＝－3， 所以反比例函数的解析式为9y x=， 所以线段AC 、CC '，C A ''，A A '所围成的图形的面积＝2OBC OAA S S '∆∆+＝9＋1＝10．(2)当k ＞0，同理，可得所以线段AC 、CC '，C A ''，A A '所围成的图形的面积＝10． 故选B ．二 、填空题(本题有6小题，每小题4分，24分)11 ．（2015浙江省湖州市，3，分）计算：23122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭＝＿＿＿＿＿． 【答案】2【解析】原式＝2×2×2×12×12＝2．12 ．（2015浙江省湖州市，3，分）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(千米)与所用时间t(分钟)的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是＿＿＿＿千米/分钟．)【答案】0.2【解析】v ＝s t ＝210＝0.2(千米/分钟)．13 ．（2015浙江省湖州市，3，分）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况如下表：则这10位评委评分的平均数是＿＿＿＿分．【答案】89【解析】平均分＝8018529059528910⨯+⨯+⨯+⨯=(分)．14 ．（2015浙江省湖州市，3，分）如图，已知C ，D 是以AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径OA ＝2，∠COD ＝120°，则图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿．【答案】23π 【解析】22(180120)223603603n r S πππ-⨯===．15 ．（2015浙江省湖州市，3，分）如图，已知抛物线C 1：y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1和C 2：y ＝a 2x 2＋b 2x ＋c 2都经过原点，顶点分别为A 、B ，与x 轴的另一交点分别为M 、N ．如果点A 与点B ，点M 与点N 都关于原点O 成中心对称，则称抛物线C 1和C 2为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线C 1和C 2，使四边形ANBM 恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是＿＿＿＿和＿＿＿＿．【答案】答案不唯一，如：2y =+和2y +．【解析】这类题答案不唯一，考试中为节省时间计，越简单越好，越特殊越好．因为要求四边形NBMA 是矩形，所以两条抛物线必是关于原点成中心对称图形， 为简单起见，若Rt △ANM 是∠ANM ＝30°的直角三角形，相对简单，此时，不妨设A(1，则M(2，0)，设右边抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，代入A 、M 的坐标，可求得其解析式为2y =+，另一条也易得2y =+．这样的姐妹抛物线还可以源源不断写出．16 ．（2015浙江省湖州市，3，分）已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3(如图所示)，以此类推…．若A 1C 1＝2，且点A ，D 2，D 3，…，D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是＿＿＿＿．…A B D D A C D A D 12391042112433C A 109C A C D【答案】8732(或写成6561128)【解析】解：放入平面直角坐标系中来考查．由题意知A(0，1)，D2(3，2)所以OD10的解析式为y＝11 3x+，由A1C1＝2，得BC2＝3，设C2C3＝m，则D3(3＋m，m)，D3坐标代入y＝113x+，得3m＝3＋m＋3，得m＝3，所以A2C2＝3＝2×32；设C3C4＝n，则BC4＝6＋n，所以D4(6＋n，n)，D4坐标代入y＝113x+，得3n＝6＋n＋3，得m＝92，所以A3C3＝n＝92＝2×94＝2×(32)2；设C4C5＝k，则BC5＝212＋k，D5(212＋k，k)，D5坐标代入y＝113x+，得3k＝212＋k＋3，4k＝27，k＝274，所以A4C4=k＝274＝2×(32)3；……所以A9C9＝2×(32)8＝6561128.三、解答题(本题8小题，共66分)17．（2015浙江省湖州市，6，分）(本题6分)计算：22a ba b a b---．【答案】【解析】 解：原式＝22()()a b a b a b a b a b a b-+-==+--．18 ．（2015浙江省湖州市，6，分）(本题6分)解不等式组24,21 1.x x -<⎧⎨->⎩【答案】【解析】解：24, 21 1. x x -<⎧⎨->⎩①② 解不等式①，得x ＜6，解不等式②，得x ＞1，所以原不等式组的解是1＜x ＜6．19 ．（2015浙江省湖州市，6，分）(本题6分)已知y 是x 的一次函数，当x ＝3时，y ＝1；当x ＝－2时，y ＝－4．求这个一次函数的解析式．【答案】【解析】解：设一次函数解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，将x ＝3，y ＝1和x ＝－2，y ＝－4分别代入y ＝kx ＋b ，得31,24,k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解这个方程组，得1,2.k b =⎧⎨=-⎩∴所求一次函数的解析式为y ＝x －2．20 ．（2015浙江省湖州市，8，分）(本小题8分)如图，已知BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，E 为AC 的中点，连结DE ．(1)若AD ＝DB ，OC ＝5，求切线AC 的长；(2)求证：ED 是⊙O 的切线．EA【答案】【解析】(1)解 连结CD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ，∵AD ＝DB ，∴AC ＝BC ＝2OC ＝10．(2)证明 连结OD ．∵∠ADC ＝90°，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC ＝12AC ， ∴∠1＝∠2，∵OD ＝OC ，∴∠3＝∠4，∵AC 切⊙O 于点C ，∴AC ⊥OC ，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE ⊥OD ，∴DE 是⊙O 的切线．C AE21 ．（2015浙江省湖州市，8，分）(本小题8分)为了深化改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表(不完善)：某校被调查学生选择社团意向统计表某校被调查学生选择社团意向条形统计图社团编织舞蹈实验鉴赏根据统计图表中的信息，解答下列问题： (1)求次调查的学生总人数及a ，b ，c 的值；(2)将条形统计图补充完整；(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上) (3)若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的人数． 【答案】 【解析】解：(1)本次调查的学生总人数：70÷35%＝200(人)， b ＝40÷200＝20%， c ＝10÷200＝5%，a ＝1－(35%＋20%＋10%＋5%)＝30%． (2)补全的条形统计图如图所示．某校被调查学生选择社团意向条形统计图社团其它编织舞蹈实验鉴赏(3)全校选择“科学实验”社团的学生人数约为1200×35%＝420(人)．22 ．（2015浙江省湖州市，10，分）(本小题10分)某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．【答案】 【解析】解：(1)设原计划每天生产零件x 个，由题意得240002400030030x x +=+， 解得x ＝2400，经检验，x ＝2400是原方程的根，且符合题意． ∴规定的天数为24000÷2400＝10(天)．答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天． (2)原计划安排的工人人数为y 人，由题意得2400[520(120%)2400](102)24000y⨯⨯+⨯+⨯-=， 解得y ＝480．经检验，y ＝480是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为480人．23．（2015浙江省湖州市，10，分）(本小题10分)已知在△ABC中，AB边上的动点D 由A向B运动(与A、B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．(1)初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D、E的运动速度相等．求证：HF＝AH＋CF．小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH，再证GF＝CF，从而证得结论成立；思路二：过点F作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM＝AH，再证HF＝MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)：(2)类经探究如图2，若在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点D、E的运动速度1，求ACHF的值；D图3图2图1EFDHBABCEFDHAMHG FEC BA(3)延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记BCAB＝m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示ACHF(直接写出结果，不必写解答过程)．【答案】【解析】(1)证明方法一(选择思路一)过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠ADG＝∠B＝60°，∠A＝60°，∴△ADG 是等边三角形， ∴GD＝AD ＝CE ， ∵DH⊥AC，GH ＝AH ，∵DG∥BC，∴∠GDF ＝∠CEF，∠DGF ＝∠ECF， ∴△GDF≌△CEF，∴GF＝CF ， ∴GH＋GF ＝AH ＋CF ， 即HF ＝AH ＋CF ．A BC EFG H M方法(选择思路二)：过点E 作EM ⊥AC，交AC 的延长线于点M ，如图1， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝∠ECM＝60°， ∵DH⊥AC，EM⊥AC， ∴∠AHD＝∠CME＝90°， ∵AD＝CE ，∴△ADH≌△CEM ， ∴AH＝CM ，DH ＝EM ，又∵∠DHF＝∠EMF＝90°，∠DFH＝∠EFM， ∴△DFH≌△EFM，∴HF ＝MF ＝CM ＋CF ＝AH ＋CF ．(2)解：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，如图2，则∠ADG ＝∠B ＝90°， ∵∠BAC＝∠ADH ＝30°， ∴∠HGD＝∠HDG＝60°， ∴AH＝GH ＝GD ，AD， 由题意可知，AD，∴GD＝CE ，∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF， ∴△GDF≌△CEF，∴GF＝CF ，∴GH＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝AH ＋CF ．B CE FDH A G∴2ACHF=． (3)1AC m HF m+=． 其思路是这样的，如图所示，过点D 作DM ∥BE 交AC 于点M ． 由∠A＝∠ADH＝36°，AB ＝AC ，易得AH ＝HD ＝DM ，△MHD∽△ADM∽△ABC， 所以MH MH MH MD MD BCm MD HD AH AM AD AB======， 所以MH ＝m·MD ， 由DM ∥BE ，AD ＝EC ，得MF MD MD BCm FC EC AD AB====， 所以MF ＝m²FC， 所以AC HF =()()HF AH FC HM MF AH HF HF HM MF+++++=+()()1()m AH HF AH HF m m AH HF m++++==+．E FDH B A M24 ．（2015浙江省湖州市，1，分）(本小题12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，线段AB 的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y 轴和x 轴的正半轴上，点C 为线段AB 的中点．现将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点D ．(1)如图1，若该抛物线经过原点O ，且a ＝13-． ①求点D 的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD ．问：在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB 与∠BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(2)如图2，若该抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q 在抛物线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余．若符合条件的Q 点的个数是4个，请直接写出a 的取值范围．【答案】 【解析】解：(1)①过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图所示． ∵∠DBF ＋∠ABO ＝90°， ∠BAO ＋∠ABO ＝90°， ∴∠DBF ＝∠BAO ，又∵∠AOB ＝∠BFD ＝90°，AB ＝BD ， ∴△AOB ≌△BFD ，∴DF ＝BO ＝1，BF ＝AO ＝2， ∴D 点坐标是(3，1)．根据题意，得13a =-，c ＝0，且a×32＋b×3＋c ＝1，∴b ＝43，∴该抛物线解析式为21433y x x =-+．②∵C 、D 两点纵坐标都为1， ∴CD∥x 轴，∴∠BCD ＝∠ABO ， ∴∠BAO 与∠BCD 互余，若要使得∠POB 与∠BCD 互余，则需满足∠POB ＝∠BAO ， 设点P 的坐标为(x ，21433x x -+)， (Ⅰ)当点P 在x 轴上方时，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ， 则tan ∠POB ＝tan ∠BAO ，即PG BOOG AO=， ∴2141332x xX -+=，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝52， 21433x x -+＝54，∴点P 的坐标是(52，54)，(Ⅱ)当点P 在x 轴下方时，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则PH BOOH AO=,∴2141332x xx -=，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝112． ∴21433x x -+＝114-，∴点P 的坐标是(112，114-)． 综上所述，在抛物线上存在点P 1(52，54)，P 2(112，114-)，使得∠POB 与∠BCD 互余． (2)a 的取值范围是a ＜13-或a >。
2015浙江省湖州市中考数学试题(卷)与解析
2015年省市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•）﹣5的绝对值为（）A．﹣5 B．5C．﹣D．2．（3分）（2015•）当x=1时，代数式4﹣3x的值是（）A．1B．2C．3D．43．（3分）（2015•）4的算术平方根是（）A．±2 B．2C．﹣2 D．4．（3分）（2015•）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm5．（3分）（2015•）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（）A．9B．3C．D．6．（3分）（2015•）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7C．5D．47．（3分）（2015•）一个布袋只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A．B．C．D．8．（3分）（2015•）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（）A．4B．2C．8D．49．（3分）（2015•）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．C D+DF=4 B．C D﹣DF=2﹣3 C．B C+AB=2+4 D．B C﹣AB=210．（3分）（2015•）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（）A．8B．10 C．3D．4二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2015•）计算：23×（）2=．12．（4分）（2015•）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟．13．（4分）（2015•）在“争创美丽校园，争做文明学生”示校评比活动中，10位评委给某校的评分情况下表所示：评分（分）80 85 90 95评委人数 1 2 5 2则这10位评委评分的平均数是分．14．（4分）（2015•）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于．15．（4分）（2015•）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N 都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．16．（4分）（2015•）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17．（6分）（2015•）计算：．18．（6分）（2015•）解不等式组．19．（6分）（2015•）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．20．（8分）（2015•）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：ED是⊙O的切线．21．（8分）（2015•）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：选择意向所占百分比文学鉴赏 a科学实验35%音乐舞蹈 b手工编织10%其他 c根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数．22．（10分）（2015•）某工厂计划在规定时间生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间可以多生产300个零件．（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．23．（10分）（2015•）问题背景已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），边结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．24．（12分）（2015•）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值围．2015年省市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•）﹣5的绝对值为（）A．﹣5 B．5C．﹣D．考点：绝对值．分析：根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．解答：解：﹣5的绝对值为5，故选：B．点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（2015•）当x=1时，代数式4﹣3x的值是（）A．1B．2C．3D．4考点：代数式求值．专题：计算题．分析：把x的值代入原式计算即可得到结果．解答：解：当x=1时，原式=4﹣3=1，故选A．点评：此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（3分）（2015•）4的算术平方根是（）A．±2 B．2C．﹣2 D．考点：算术平方根．分析：根据开方运算，可得一个数的算术平方根．解答：解：4的算术平方根是2，故选：B．点评：本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根．4．（3分）（2015•）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm考点：圆锥的计算．分析：利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解答：解：圆锥的弧长为：=24π，∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12，故选C．点评：考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；5．（3分）（2015•）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（）A．9B．3C．D．考点：标准差；方差．分析：根据标准差是方差的算术平方根，即可得出答案．解答：解：∵数据的方差是S2=3，∴这组数据的标准差是；故选D．点评：本题考查了标准差，关键是掌握标准差和方差的关系，标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．6．（3分）（2015•）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7C．5D．4考点：角平分线的性质．分析：作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．解答：解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5，故选C．点评：本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．7．（3分）（2015•）一个布袋只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．解答：解：列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，∴两次摸出的球都是黑球的概率为，故选D．点评：本题考查了列表法与树状图法的知识，解决本题时采用了两个独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积，难度不大．8．（3分）（2015•）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（）A．4B．2C．8D．4考点：切线的性质．分析：连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB=2AC，因为tan∠OAB=，易得=，代入得结果．解答：解：连接OC，∵大圆的弦AB切小圆于点C，∴OC⊥AB，∴AB=2AC，∵OD=2，∴OC=2，∵tan∠OAB=，∴AC=4，∴AB=8，故选C．点评：本题主要考查了切线的性质和垂径定理，连接过切点的半径是解答此题的关键．9．（3分）（2015•）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．C D+DF=4 B．C D﹣DF=2﹣3 C．B C+AB=2+4 D．B C﹣AB=2考点：三角形的切圆与心；翻折变换（折叠问题）．分析：设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的切圆可得r=（a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC 中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出a，b的值，所以BC+AB=2+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，从而得到CD﹣DF=，CD+DF=．即可解答．解答：解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，∴OG=DG，∵OG⊥DG，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC，在△OMG和△GCD中，∴△OMG≌△GCD，∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．∵AB=CD，∴BC﹣AB=2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的切圆可得r=（a+b﹣c），∴c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2，整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，解得（舍去），∴，∴BC+AB=2+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，∴CD﹣DF=，CD+DF=．综上只有选项A错误，故选A．点评：本题考查了三角形的切圆和心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形切圆的性质．10．（3分）（2015•）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（）A．8B．10 C．3D．4考点：反比例函数综合题．分析：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，设A（a，），C（b，），由△OAD∽△BCO，得到==，根据反比例函数的系数k的几何意义得到S△ADO=，S△BOC=，求出k2=，得到k=﹣，根据S△ABC=S△AOB+S△BOC=（﹣）•b+=6，列出关于k的方程k2+k﹣12=0，求得k=3，由于点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，得到OA′，OC′在同一条直线上，于是得到由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．解答：解：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，∵点A是函数y=（x＜0）图象上一点，∴设A（a，），∵点C在函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，∴设C（b，），∵AD⊥BD，BC⊥BD，∴△OAD∽△BCO，∴==，∵S△ADO=，S△BOC=，∴k2=，∴k=﹣，∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=（﹣）•b+=6，∴k2﹣=12，∴k2+k﹣12=0，解得：k=3，k=﹣4（不合题意舍去），∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，∴OA′，OC′在同一条直线上，∴S△OBC′=S△OBC==，∵S△OAA′=2S△OAD=1，∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．故选B．点评：本题考查了反比例函数的图象的性质，系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确的理解轴对称图形的性质是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2015•）计算：23×（）2=2．考点：有理数的乘方；有理数的乘法．分析：根据有理数的乘方，即可解答．解答：解：23×（）2=8×=2，故答案为：2．点评：本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数乘方的定义．12．（4分）（2015•）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是0.2千米/分钟．考点：函数的图象．分析：根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得答案．解答：解：由纵坐标看出路程是2千米，由横坐标看出时间是10分钟，小明的骑车速度是2÷10=0.2（千米/分钟），故答案为：0.2．点评：本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，利用了路程与时间的关系．13．（4分）（2015•）在“争创美丽校园，争做文明学生”示校评比活动中，10位评委给某校的评分情况下表所示：评分（分）80 85 90 95评委人数 1 2 5 2则这10位评委评分的平均数是89分．考点：加权平均数．分析：平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．解答：解：这10位评委评分的平均数是：（80+85×2+90×5+95×2）÷10=89（分）．故答案为89．点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，85，90，95这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．14．（4分）（2015•）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于π．考点：扇形面积的计算．分析：图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积的计算公式计算即可求解．解答：解：图中阴影部分的面积=π×22﹣=2π﹣π=π．答：图中阴影部分的面积等于π．故答案为：π．点评：考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．15．（4分）（2015•）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N 都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是y=﹣x2+2x和y=x2+2x．考点：二次函数图象与几何变换．专题：新定义．分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．解答：解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，∵OA=MA，∴△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x．点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．16．（4分）（2015•）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：规律型．分析：延长D4A和C1B交于O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A9C9C10D10的边长．解答：解：延长D4A和C1B交于O，∵AB∥A2C1，∴△AOB∽△D2OC2，∴=，∵AB=BC1=1，DC2=C1C2=2，∴==∴OC2=2OB，∴OB=BC2=3，∴OC2=6，设正方形A2C2C3D3的边长为x1，同理证得：△D2OC2∽△D3OC3，∴=，解得，x1=3，∴正方形A2C2C3D3的边长为3，设正方形A3C3C4D4的边长为x2，同理证得：△D3OC3∽△D4OC4，∴=，解得x2=，∴正方形A3C3C4D4的边长为；设正方形A4C4C5D5的边长为x3，同理证得：△D4OC4∽△D5OC5，∴=，解得x=，∴正方形A4C4C5D5的边长为；以此类推…．正方形A n﹣1C n﹣1C n D n的边长为；∴正方形A9C9C10D10的边长为．故答案为．点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长得出规律是解题的关键．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17．（6分）（2015•）计算：．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：原式===a+b．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）（2015•）解不等式组．考点：解一元一次不等式组．分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x＞1，∴不等式组的解集为1＜x＜6．点评：本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．19．（6分）（2015•）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．考点：待定系数法求一次函数解析式．分析：一次函数解析式为y=kx+b，将x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式．解答：解：设一次函数解析式为y=kx+b，将x=3，y=1；x=﹣2，y=﹣4代入得：，解得：k=1，b=﹣2．则一次函数解析式为y=x﹣2．点评：此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．（8分）（2015•）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：ED是⊙O的切线．考点：切线的判定与性质．分析：（1）连接CD，由直径所对的圆周角为直角可得：∠BDC=90°，即可得：CD⊥AB，然后根据AD=DB，进而可得CD是AB的垂直平分线，进而可得AC=BC=2OC=10；（2）连接OD，先由直角三角形中线的性质可得DE=EC，然后根据等边对等角可得∠1=∠2，由OD=OC，根据等边对等角可得∠3=∠4，然后根据切线的性质可得∠2+∠4=90°，进而可得：∠1+∠3=90°，进而可得：DE⊥OD，从而可得：ED是⊙O 的切线．解答：（1）解：连接CD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵AD=DB，OC=5，∴CD是AB的垂直平分线，∴AC=BC=2OC=10；（2）证明：连接OD，如图所示，∵∠ADC=90°，E为AC的中点，∴DE=EC=AC，∴∠1=∠2，∵OD=OC，∴∠3=∠4，∵AC切⊙O于点C，∴AC⊥OC，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即DE⊥OD，∴ED是⊙O的切线．点评：此题考查了切线的判定与性质，解题的关键是：熟记切线的判定定理与性质定理，经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的直径．21．（8分）（2015•）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：选择意向所占百分比文学鉴赏 a科学实验35%音乐舞蹈 b手工编织10%其他 c根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表．分析：（1）先计算出本次调查的学生总人数，再分别计算出百分比，即可解答；（2）根据百分比，计算出文学鉴赏和手工编织的人数，即可补全条形统计图；（3）用总人数乘以“科学实验”社团的百分比，即可解答．解答：解：（1）本次调查的学生总人数是：70÷35%=200（人），b=40÷200=20%，c=10÷200=5%，a=1﹣（35%+20%+10%+5%）=30%．（2）文学鉴赏的人数：30%×200=60（人），手工编织的人数：10%×200=20（人），如图所示，（3）全校选择“科学实验”社团的学生人数：1200×35%=420（人）．点评：本题考查条形统计图，解决本题的关键是读懂图形，获取相关信息．22．（10分）（2015•）某工厂计划在规定时间生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间可以多生产300个零件．（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．考点：分式方程的应用；一元一次方程的应用．分析：（1）可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数；（2）可设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，列出方程求解即可．解答：解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有=，解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）=24000，解得y=480，经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为480人．点评：考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．23．（10分）（2015•）问题背景已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），边结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．考点：相似形综合题．分析：（1）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证明△ADG是等边三角形，得出GD=AD=CE，再证明GH=AH，由ASA证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；（2）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出AH=GH=GD，AD=GD，由题意AD=CE，得出GD=CE，再证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出DG=DH=AH，再证明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出=m，=m，△DGH∽△ABC，得出=m，=m，证明△DFG∽△EFC，得出=m，=m，=，即可得出结果．解答：（1）证明（选择思路一）：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1所示：则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∴∠ADG=∠AGD=∠A，∴△ADG是等边三角形，∴GD=AD=CE，∵DH⊥AC，∴GH=AH，∵DG∥BC，∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GF=CF，∴GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF；（2）解：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2所示：则∠ADG=∠B=90°，∵∠BAC=∠ADH=30°，∴∠HGD=∠HDG=60°，∴AH=GH=GD，AD=GD，根据题意得：AD=CE，∴GD=CE，∵DG∥BC，∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GF=CF，∴GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF，∴=2；（3）解：，理由如下：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3所示：则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，∵∠ADH=∠BAC=36°，∴AH=DH，∠DHG=72°=∠AGD，∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，∴=m，=m，∴△DGH∽△ABC，∴=m，∴=m，∵DG∥BC，∴△DFG∽△EFC，∴=m，∴=m，即=m，∴=，∴===．点评：本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等或三角形相似才能得出结果．24．（12分）（2015•）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值围．考点：二次函数综合题．分析：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=﹣，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣x2+x），分两种情况讨论即可求得；（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．解答：解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DBF=∠BAO，又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，在△AOB和△BFD中，，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF=BO=1，BF=AO=2，∴D的坐标是（3，1），根据题意，得a=﹣，c=0，且a×32+b×3+c=1，∴b=，∴该抛物线的解析式为y=﹣x2+x；②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，∴C（，1），∵C、D两点的纵坐标都为1，∴CD∥x轴，∴∠BCD=∠ABO，∴∠BAO与∠BCD互余，要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣x2+x），（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，则tan∠POB=tan∠BAO，即=，∴=，解得x1=0（舍去），x2=，∴﹣x2+x=，∴P点的坐标为（，）；（Ⅱ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3则tan∠POB=tan∠BAO，即=，∴=，解得x1=0（舍去），x2=，。
2015年浙江省湖州市吴兴区中考一模数学试卷(解析版)
2015年浙江省湖州市吴兴区中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）2．（3分）将抛物线y＝2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1D．y＝2x2﹣1 3．（3分）有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为偶数的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）若⊙O的面积为25π，在同一平面内有一个点P，且点P到圆心O的距离为4.9，则点P与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定5．（3分）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝36．（3分）下列命题中：①直径相等的两个圆是等圆；②优弧所对的弦总比劣弧所对的弦长；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④过三个点能画一个圆；正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（3分）若抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，y1）、B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法判断8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示：则下列结论：①abc ＞0；②b﹣2a＝0；③a+b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x＝3时，y＞0D．方程ax2+bx+c＝0的正根在2与3之间10．（3分）如图，O为坐标原点，边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2B．y＝﹣x2C．y＝﹣x2D．y＝﹣3x2二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）二次函数y＝x2+2x+2的最小值为．12．（4分）从♡10、♡J、♡Q、♡K四张扑克牌中任取2张，共有种不同的取法．13．（4分）抛物线y＝x2﹣5x﹣6与x轴的两个交点坐标分别为．14．（4分）若抛物线y＝mx2+2mx+1的顶点在x轴上，则m的值为．15．（4分）如图所示，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，顶点为D．若抛物线上有一点P（点P不与点C重合），使得S△DCB ＝S△PCB，则这样的点P总共存在个．16．（4分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）的图象与x轴交于A、O两点，顶点为B，将该抛物线的图象绕原点O旋转180°后，与x轴交于点C，顶点为D，若此时四边形ABCD恰好为矩形，则b的值为．三、解答题（共66分）17．（6分）小明家楼下有一圆形花坛，花坛的边缘有A、B、C三棵树，请你用直尺和圆规画出这个圆形的花坛．18．（6分）如图，灯塔A周围1000m水域内有暗礁，一般船由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东60°方向上，这时OA＝2100m，若不改变航向，此船有无触礁的危险？19．（6分）已知二次函数的图象经过（0，0），且它的顶点坐标是（1，﹣2）．（1）求这个二次函数的关系式；（2）判断点P（3，5）是否在这条抛物线的图象上．20．（8分）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、2的三个小球（除数字不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，记下扇形所对应的数，小红任意摸出一个小球，记下小球上所对应的数，然后计算这两个数的乘积．（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的乘积为0的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？21．（8分）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？22．（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．23．（10分）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长．24．（12分）如图所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB 为邻边建立正方形OACB，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，假设A、B 两点运动的时间为t秒：（1）直接写出直线OC的解析式；（2）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使＝6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；得S△BCD（3）在（2）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；（4）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP ＝，CP＝2，∠OP A＝135°，直接写出此时AP的长度．2015年浙江省湖州市吴兴区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选：B．2．（3分）将抛物线y＝2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝2（x﹣1）2C．y＝2x2+1D．y＝2x2﹣1【解答】解：将抛物线y＝2x2向下平移1个单位抛物线变为y＝2x2﹣1．故选D．3．（3分）有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为偶数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据概率公式：P（出现向上一面的数字为偶数）＝．故选C．4．（3分）若⊙O的面积为25π，在同一平面内有一个点P，且点P到圆心O的距离为4.9，则点P与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【解答】解：∵⊙O的面积为25π，∴⊙O的半径R＝5，∵OP＝4.9，OP＜R，所以点P在⊙O内；故选：C．5．（3分）抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝﹣3D．x＝3【解答】解：∵﹣1，3是方程a（x+1）（x﹣3）＝0的两根，∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是x＝＝1．故选：A．6．（3分）下列命题中：①直径相等的两个圆是等圆；②优弧所对的弦总比劣弧所对的弦长；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④过三个点能画一个圆；正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：直径相等的两个圆是等圆，所以①正确；在同圆或等圆中，一条弦可对优弧和劣弧，所以②错误；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以③正确；④过不共线的三个点能画一个圆，所以④错误．故选：B．7．（3分）若抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的图象经过点A（﹣2，y1）、B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法判断【解答】解：∵A点关于直线x＝﹣1的对称点C（0，y1）∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+c中a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下．在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，又∵1＞0＞﹣1，∴y1＞y2．故选：B．8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示：则下列结论：①abc ＞0；②b﹣2a＝0；③a+b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＜0，b＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵对称轴x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b﹣2a＝0，故②正确．③当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故③错误．④图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故④正确；综上所述正确的个数为3个故选：C．9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x＝3时，y＞0D．方程ax2+bx+c＝0的正根在2与3之间【解答】解：∵由图表可以得出当x＝0或2时，y＝1，可以求出此函数的对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，3），∴二次函数解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，再将（0，1）点代入得：1＝a（﹣1）2+3，解得：a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣1）2+3，∵a＜0∴A，抛物线开口向上错误，故A错误；∵y＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣2x2+4x+1，与y轴交点坐标为（0，1），故与y轴交于正半轴，故B错误；∵当x＝3时，y＝﹣5＜0，故C错误；∵方程ax2+bx+c＝0，△＝16+4×2×1＝22＞0，此方程有两个不相等的实数根，由表正根在2和3之间；故选：D．10．（3分）如图，O为坐标原点，边长为的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2B．y＝﹣x2C．y＝﹣x2D．y＝﹣3x2【解答】解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝，∴OB＝2，∴BE＝OB＝1，∴OE＝＝，∴点B坐标为（，﹣1），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣x2，故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）二次函数y＝x2+2x+2的最小值为1．【解答】解：配方得：y＝x2+2x+2＝y＝x2+2x+12+1＝（x+1）2+1，当x＝﹣1时，二次函数y＝x2+2x+2取得最小值为1．故答案是：1．12．（4分）从♡10、♡J、♡Q、♡K四张扑克牌中任取2张，共有6种不同的取法．【解答】解：♡10、♡J、♡Q、♡K四张扑克牌中任取2张，不同的取法有：♡10、♡J；♡10、♡Q；♡10、♡K；♡J、♡Q；♡Q、♡K；♡J、♡K，共6种．故答案为：6．13．（4分）抛物线y＝x2﹣5x﹣6与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0），（6，0）．【解答】解：∵y＝x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6），∴抛物线y＝x2﹣5x﹣6与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0），（6，0）．故答案是：（﹣1，0），（6，0）．14．（4分）若抛物线y＝mx2+2mx+1的顶点在x轴上，则m的值为1．【解答】解：∵抛物线y＝mx2+2mx+1的顶点在x轴上，∴＝0，解得m＝1，m＝0（舍去）．故答案为：1．15．（4分）如图所示，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，顶点为D．若抛物线上有一点P（点P不与点C重合），使得S△DCB ＝S△PCB，则这样的点P总共存在3个．【解答】解：∵S △DCB ＝S △PCB ，∴△DCB 与△PCB 是同底等高的两个三角形，∴点P 所在的直线与直线BC 平行，且点P 、D 到直线BC 的距离相等， 如图，满足条件的点P 有3个．故答案是：3．16．（4分）如图所示，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＜0）的图象与x 轴交于A 、O 两点，顶点为B ，将该抛物线的图象绕原点O 旋转180°后，与x 轴交于点C ，顶点为D ，若此时四边形ABCD 恰好为矩形，则b 的值为 ﹣2 ．【解答】解：如图，连接AB 、OB ．过点B 作BE ⊥x 轴于点E ．要使平行四边形ABCD 是矩形，必须满足AC ＝BD ，∴OA ＝OB ．∵点B 是抛物线的顶点，∴AB ＝OB ，∴△ABO 是等边三角形，∠BAE＝60°，AE＝OA．∵y＝ax2+bx＝ax（x+）＝0，y＝ax2+bx＝a（x+）2﹣∴A（﹣，0），B（﹣，﹣），∴tan60°＝＝＝．解得b＝﹣2．故答案是：﹣2．三、解答题（共66分）17．（6分）小明家楼下有一圆形花坛，花坛的边缘有A、B、C三棵树，请你用直尺和圆规画出这个圆形的花坛．【解答】解如图所示：18．（6分）如图，灯塔A周围1000m水域内有暗礁，一般船由西向东航行，在O处测得灯塔A在北偏东60°方向上，这时OA＝2100m，若不改变航向，此船有无触礁的危险？【解答】解：此船无触礁的危险．过点A作AB⊥OB于点B，由题意可得：∠AOB＝90°﹣60°＝30°，OA＝2100m，∴AB＝OA＝1050（m），∵1050＞1000，∴此船无触礁的危险．19．（6分）已知二次函数的图象经过（0，0），且它的顶点坐标是（1，﹣2）．（1）求这个二次函数的关系式；（2）判断点P（3，5）是否在这条抛物线的图象上．【解答】解：（1）设抛物线的顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣2，将点（0，0）代入得a﹣2＝0，解得a＝2，所以抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2﹣2；（2）当x＝3时，y＝2（3﹣1）2﹣2＝6，所以点P（3，5）不在这条抛物线的图象上．20．（8分）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、2的三个小球（除数字不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，记下扇形所对应的数，小红任意摸出一个小球，记下小球上所对应的数，然后计算这两个数的乘积．（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的乘积为0的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？【解答】解：（1）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，这两个数的乘积为0的有4种情况，∴P（乘积为0）＝＝；（2）游戏不公平．∵这两个数的积为奇数的有2种情况，不为奇数的有10种情况，∴P（小亮赢）＝＝，P（小红赢）＝＝，∴P（小亮赢）≠P（小红赢），∴游戏不公平．21．（8分）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系．（1）求抛物线的表达式；（2）一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？【解答】解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），设抛物线的方程为y＝a（x﹣4）2+6，又因为点A（0，2）在抛物线上，所以有2＝a（0﹣4）2+6．所以a＝﹣．因此有：y＝﹣（x﹣4）2+6．（2）令y＝4，则有4＝﹣（x﹣4）2+6，解得x1＝4+2，x2＝4﹣2，|x1﹣x2|＝4＞2，∴货车可以通过．22．（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．【解答】解：（1）根据题意得解得k＝﹣1，b＝120．所求一次函数的表达式为y＝﹣x+120．（2）W＝（x﹣60）•（﹣x+120）＝﹣x2+180x﹣7200＝﹣（x﹣90）2+900，∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（1+45%），∴60≤x≤87，∴当x＝87时，W＝﹣（87﹣90）2+900＝891．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200，整理得，x2﹣180x+7700≤0，而方程x2﹣180x+7700＝0的解为x1＝70，x2＝110．即x1＝70，x2＝110时利润为500元，而函数y＝﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．23．（10分）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长．【解答】解：（1）EA1＝FC．证明：（证法一）∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．由旋转可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，∴△ABE≌△C1BF．∴BE＝BF，又∵BA1＝BC，∴BA1﹣BE＝BC﹣BF．即EA1＝FC．（证法二）∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．由旋转可知，∠A1＝∠C，A1B＝CB，而∠EBC＝∠FBA1，∴△A1BF≌△CBE．∴BE＝BF，∴BA1﹣BE＝BC﹣BF，即EA1＝FC．（2）四边形BC1DA是菱形．证明：∵∠A1＝∠ABA1＝30°，∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1．∴四边形BC1DA是平行四边形．又∵AB＝BC1，∴四边形BC1DA是菱形．（3）（解法一）过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1．在Rt△AEG中，AE＝．由（2）知四边形BC1DA是菱形，∴AD＝AB＝2，∴ED＝AD﹣AE＝2﹣．（解法二）∵∠ABC＝120°，∠ABE＝30°，∴∠EBC＝90°．在Rt△EBC中，BE＝BC•tan C＝2×tan30°＝．∴EA1＝BA1﹣BE＝2﹣．∵A1C1∥AB，∴∠A1DE＝∠A．∴∠A1DE＝∠A1．∴ED＝EA1＝2﹣．24．（12分）如图所示，动点A、B同时从原点O出发，运动的速度都是每秒1个单位，动点A沿x轴正方向运动，动点B沿y轴正方向运动，以OA、OB 为邻边建立正方形OACB，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，假设A、B 两点运动的时间为t秒：（1）直接写出直线OC的解析式；（2）当t＝3秒时，求此时抛物线的解析式；此时抛物线上是否存在一点D，使＝6？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；得S△BCD（3）在（2）的条件下，有一条平行于y轴的动直线l，交抛物线于点E，交直线OC于点F，若以O、B、E、F四个点构成的四边形是平行四边形，求点F 的坐标；（4）在动点A、B运动的过程中，若正方形OACB内部有一个点P，且满足OP ＝，CP＝2，∠OP A＝135°，直接写出此时AP的长度．【解答】解：（1）∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝45°，∴直线OC的解析式为y＝x；（2）∵t＝3秒，∴OA＝OB＝3，∴点B（0，3），C（3，3），将点B、C代入抛物线得，，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+3，设BC边上的高为h，∵BC＝OA＝3，S＝6，△BCD∴h＝4，∴点D的纵坐标为3﹣4＝﹣1，令y＝﹣1，则﹣x2+3x+3＝﹣1，整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，所以，D1（﹣1，﹣1），D2（4，﹣1）；（3）∵OB＝3，∴EF＝3，设E（m，﹣m2+3m+3），F（m，m），若E在F上方，则，﹣m2+3m+3﹣m＝3，整理得，m2﹣2m＝0，解得m1＝0（舍去），m2＝2，∴F1（2，2），若F在E上方，则，m﹣（﹣m2+3m+3）＝3，整理m2﹣2m﹣6＝0，解得m1＝1﹣，m2＝1+，∴F2（1﹣，1﹣），F3（1+，1+）；（4）如图，将△AOP绕点A逆时针旋转90°得到△AP′C，由旋转的性质得，AP′＝AP，P′C＝OP＝，∠AP′C＝∠OP A＝135°，∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠AP′P＝45°，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，由勾股定理得，PP′＝＝＝，所以，AP＝PP′＝×＝1．。
浙江省11市2015年中考试题分类解析汇编9：平面几何基础
浙江省11市2015年中考数学试题分类解析汇编专题9：平面几何基础1. （2015年浙江湖州3分）如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC =5，DE =2，则△BCE 的面积等于【 】A.10B.7C.5D.4 【答案】C.【考点】角平分线的性质；三角形面积的计算.【分析】如答图，过点E 作EH BC ⊥于点H ，∵CD 是AB 边上的高线，∴ED AB ⊥. ∵BE 平分∠ABC ，DE =2，∴2EH DE ==. ∵BC =5，∴1152522BCE S BC EH =⋅⋅=⋅⋅=V . 故选C.2. （2015年浙江嘉兴4分） 如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ；直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F . AC 与DF 相交于点G ，且AG =2，GB =1，BC =5，则DEEF的值为【 】A.12 B. 2 C. 25 D. 35【答案】D.【考点】平行线分线段成比例的性质.【分析】∵AG =2，GB =1，BC =5，∴21355AB BC +==. ∵直线1l ∥2l ∥3l ，∴35DE AB EF BC ==.故选D.3. （2015年浙江嘉兴4分） 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l 和l 外一点P ，用直尺和圆规作直线PQ ，使PQ ⊥l 于点Q ”. 分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是【 】A. B. C. D.【答案】A. 【考点】尺规作图.【分析】根据垂线的作法，选项A 错误. 故选A.4. （2015年浙江金华3分） 已知35α∠=︒，则α∠的补角的度数是【 】A. 55°B. 65°C. 145°D. 165° 【答案】C.【考点】补角的计算.【分析】根据“当两个角的度数和为180 °时，这两个角互为补角”的定义计算即可：∵35α∠=︒，∴α∠的补角的度数是18035145︒-︒=︒. 故选C.5. （2015年浙江丽水3分） 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是【 】A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形 【答案】C.【考点】多边形的外角性质．【分析】∵多边形的每个内角均为120°，∴外角的度数是：180°﹣120°=60°．∵多边形的外角和是360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6． 故选C ．6. （2015年浙江宁波4分）如图，直线a ∥b ，直线c 分别与a ，b 相交，∠1=50°，则∠2的度数为【 】A. 150°B. 130°C. 100°D. 50° 【答案】 B.【考点】平行线的性质；补角的定义. 【分析】如答图，∵a ∥b ，∴∠1=∠3.∵∠1=50°，∴∠3=50°.∴∠2=130°. 故选B.7. （2015年浙江衢州3分）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt ABC ∆，使其斜边AB c = ，一条直角边BC a =.小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断ACB ∠是直角的依据是【 】A ．勾股定理B ．直径所对的圆周角是直角C ．勾股定理的逆定理D ．90°的圆周角所对的弦是直径 【答案】B ．【考点】尺规作图（复杂作图）；圆周角定理．【分析】小明的作法是：①取AB c =，作AB 的垂直平分线交AB 于点O ；②以点O 为圆心，OB 长为半径画圆；③以点B 为圆心，a 长为半径画弧，与O e 交于点C ； ④连接,BC AC .∆即为所求.则Rt ABC∠是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角.从以上作法可知，ACB故选B．8. （2015年浙江绍兴4分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走【】A. ②号棒B. ⑦号棒C. ⑧号棒D. ⑩号棒【答案】D.【考点】探索规律题（图形变化类）.【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.9. （2015年浙江义乌3分）挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走【】A. ②号棒B. ⑦号棒C. ⑧号棒D. ⑩号棒【答案】D.【考点】探索规律题（图形变化类）.【分析】当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D.10. （2015年浙江舟山3分） 如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ；直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F . AC 与DF 相交于点G ，且AG =2，GB =1，BC =5，则DEEF的值为【 】A.12 B. 2 C. 25 D. 35【答案】D.【考点】平行线分线段成比例的性质. 【分析】∵AG =2，GB =1，BC =5，∴21355AB BC +==. ∵直线1l ∥2l ∥3l ，∴35DE AB EF BC ==.故选D.11. （2015年浙江舟山3分） 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l 和l 外一点P ，用直尺和圆规作直线PQ ，使PQ ⊥l 于点Q ”. 分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是【 】A. B. C. D.【答案】A. 【考点】尺规作图.【分析】根据垂线的作法，选项A 错误. 故选A.1. （2015年浙江杭州4分）如图，点A ，C ，F ，B 在同一直线上，CD 平分∠ECB ，FG ∥CD ，若∠ECA 为α度，则∠GFB 为 ▲ _度(用关于α的代数式表示)【答案】902α-.【考点】平角定义；平行的性质.【分析】∵ECA α∠=度，∴180ECB α∠=-度.∵CD 平分∠ECB ，∴1809022DCB αα-∠==-度. ∵FG ∥CD ，∴902GFB DCB α∠=∠=-度.2. （2015年浙江嘉兴5分）下图是百度地图的一部分（比例尺1:4 000 000）.按图可估测杭州在嘉兴的南偏西 ▲ 度方向上，到嘉兴的实际距离约为 ▲ .【答案】45；120km .【考点】地图的识读；比例的计算.【分析】按图可估测杭州在嘉兴的南偏西45度方向上，经测量，到嘉兴的实际距离约为：3400000012000000120cm cm km ⨯==（由于图的原因可能有差异）.3. （2015年浙江金华4分）如图，直线126l ,l ,,l ⋅⋅⋅ 是一组等距离的平行线，过直线1l 上的点A 作两条射线，分别与直线3l ，6l 相交于点B ，E ，C ，F. 若BC=2，则EF 的长是 ▲【答案】5.【考点】平行线分线段成比例的性质；相似三角形的判定和性质. 【分析】∵直线126l ,l ,,l ⋅⋅⋅ 是一组等距离的平行线，∴AB 2BE 3=，即AB 2AE 5=. 又∵3l ∥6l ，∴ABC AEF ∆∆∽. ∴BC AB 2EF AE 5==.∵BC=2，∴22EF 5EF 5=⇒=.4. （2015年浙江台州5分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DC=3，则点D 到AB 的距离是 ▲【答案】3.【考点】角平分线的性质.【分析】如答图，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∴DC ⊥AC. 又∵AD 是△ABC 的角平分线，DC=3，∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，得DE= DC=3，即点D 到AB 的距离是3.1. （2015年浙江杭州10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a ，b ，c ，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度（1）用记号(a ，b ，c )(a ≤b ≤c )表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形；（2）用直尺和圆规作出三边满足a <b <c 的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹).单位长度【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即2,3,4a b c === 时满足a <b <c .如答图的ABC ∆即为满足条件的三角形.【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图.【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：2,3,4a b c === ，再作图：①作射线AB ，且取AB =4；②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ； ③连接AC 、BC .则ABC ∆即为满足条件的三角形.2. （2015年浙江丽水6分）如图，已知△ABC ，∠C=Rt ∠，AC<BC ，D 为BC 上一点，且到A ，B 两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D 的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD ，若∠B=37°，求∠CAD 的度数.【答案】解：（1）作图如下：（2）∵△ABC 中，∠C=Rt ∠，∠B=37°，∴∠BAC=53°.∵AD=BD ，∴，∠B=∠BAD=37° ∴∠CAD=∠BAC -∠BAD=16°.【考点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的性质.【分析】（1）因为到A ，B 两点的距离相等在线段AB 的垂直平分线上，因此，点D 是线段AB 的垂直平分线与BC 的交点，据此作图即可.（2）根据直角三角形两锐角互余，求出∠BAC ，根据等腰三角形等边对等角的性质，求出∠BAD ，从而作差求得∠CAD 的度数.3. （2015年浙江台州14分）定义：如图1，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点. （1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM =2，MN =3，求BN 的长；（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连接AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点；（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）；（4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND 和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ，若H 是DN 的中点，试探究∆AMF S ，∆BEN S 和四边形MNHG S 的数量关系，并说明理由.【答案】解：（1）∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点， AM =2，MN =3，∴若MN 为斜边，则222=+MN AM BN ，即22232=+BN ，解得5=BN . 若BN 为斜边，则222=+BN AM MN ，即22223=+BN ，解得13=BN . ∴BN 的长为5或13.（2）证明：∵点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，∴222=+EC DE BD .∵在△ABC 中，FG 是中位线，AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ， ∴F M 、MN 、NG 分别是△ABD 、△ADE 、△AEC 的中位线. ∴BD =2FM ，DE =2MN ，EC =2NG .∴()()()222222=+NG MN FM ，即222444=+NG MN FM . ∴222=+NG MN FM .∴点M ，N 是线段FG 的勾股分割点. （3）如答图1，C ，D 是线段AB 的勾股分割点.QPNME（4）+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .理由如下：设=AM a ，=BN b ，=MN c ，∵H 是DN 的中点，∴12==DH HN c . ∵△MND ，△BNE 均为等边三角形，∴60∠=∠=︒D DNE .∵∠=∠DHG NHE ，∴△DGH ≌△NEH .∴==DG EN b .∴=-MG c b .∵∥GM EN ，∴△AGM ∽△AEN . ∴-=+c b a b a c.∴22=-+c ab ac bc . ∵点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，∴222=+c a b .∴2()()-=-a b b a c ，又∵-≠b a c .∴=a b .在△DGH 和△CAF 中，∠=∠D C ，=DG CA ，∠=∠DGH CAF ，∴△DGH ≌△CAF .∴=△△DGH CAF S S .∵222=+c a b ，∴222333444=+c a b . ∴=+△△△DMN ACM ENB S S S .∵=+△△四边形DMN DGH MNHG S S S ，=+△△△ACM CAF AMF S S S ，∴+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .【考点】新定义和阅读理解型问题；开放型和探究型问题；勾股定理；三角形中位线定理；尺规作图（复杂作图）；等边三角形的性质；全等、相似三角形的判定和性质；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）根据定义，分MN 为斜边和BN 为斜边两种情况求解即可.（2）判断FM 、MN 、NG 分别是△ABD 、△ADE 、△AEC 的中位线后代入222=+EC DE BD 即可证明结论.（3）①过点C 作AB 的垂线MN ，②在MN 截取CE =CA ；③连接BE ，作BE 的垂直平分线PQ 交AB 于点D .则点C ，D 是线段AB 的勾股分割点.（作法不唯一）（4）首先根据全等、相似三角形的判定和性质证明△AMC 和△NBM 是全等的等边三角形，再证明+=△△四边形AMF BEN MNHG S S S .。
中考数学——2015浙江中考汇编
2015年浙江省中考试卷汇编浙江省杭州市2015年中考数学试卷 (2)浙江省湖州市2015年中考数学试卷 ................................................................................................ 错误!未定义书签。
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2015年湖州市初三数学竞赛试题及参考答案
2015年湖州市初三数学竞赛试题（2015年12月13日 上午9：00—11：00）题 号 一 二 三总分 1－8 9－14 15 16 17 18 得 分 评卷人 复查人答题时注意: 1．用圆珠笔或钢笔作答． 2．解答书写时不要超过装订线．3．可以用计算器.一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分)．1．一个不透明的盒子里只有若干个红球．为估计红球个数，小明向盒子里放入8个白球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中；不断重复，共摸球400次，其中88次是白球．估计盒子中的红球有（ ）（A ）42个 （B ）36个 （C ）30个 （D ）28个 2．函数y = |x+2| - 1的图象与x 轴所围成的图形的面积等于（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）1/23．如图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 之间的函数图象（收支差额=车票 收入-支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：（1）不改变车票价格，减少支出费用；（2）不改变支出费用，提高车票价格．对于下列四张图（其中虚线表示原图象），下面说法正确的是（ ）（A ）①反映了建议（2），③反映了建议（1） （B ）②反映了建议（1），④反映了建议（2） （C ）①反映了建议（1），③反映了建议（2）（D ）④反映了建议（1），②反映了建议（2）A1xyO1（第3题图）④A1xyO 1③A1xyO 1②A1xyO1① A1xyO 14．如图,AB 是⊙O 的直径，F 是弦CD 的中点，AB CE ⊥于点E ， 若8=AB ，︒=∠45DCE ，则EF 等于（ ） （A ）3 （B ）2 （C）233 （D ）22 5． 已知a,b 是抛物线y=(x-c)(x-c-d)-2与x 轴交点的横坐标，a< b ， 则|a-c| +|c-b| 化简的结果是（ ）（A ）a-b （B ）b-a （C ）a+b-2c （D ）2c-a-b6．小明在超过5点时出门散步，手表上分针与时针的夹角恰好为110度．回来时不到6点钟，发现此时分针与时针再次成110度角．则小明此次散步的时间是（ ） （A ）38分钟 （B ）40分钟 （C ）42分钟 （D ）44分钟7．已知△ABC 的任何两边都不相等，有两条高分别等于4和12．如果第三条高的长度h 为整数，那么h 可能等于（ ） （A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）68．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16… 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ） （A ）49 = 18+31（B ）64 = 26+38 （C ）121 = 57+64 （D ）225 = 105+120二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知m 是实数，若关于x 的不等式组1,521x m x -≥⎧⎨->⎩只有三个整数解，则m 的取值范围是___________.10．如下图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 .（第10题图）（第4题图）AB CDE OF ●4=1+3 9=3+6 16=6+10（第8题图）…11．在平面直角坐标系x Oy 中，直线y x m n =-++与y 轴的正半轴相交于点A ，与双曲线1y x=相交于点B ，C ．若点C 的横坐标是m （2m ≥），则△OAB 的面积S 的取值范围是___________. 12．如图，AD 是△ABC 的角平分线，M 是BC 的中点，MF ∥AD 交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．若2AE =，8AC =，则BE =___________.13．记12....n n S a a a =+++，121(....)n n T S S S n=+++，称n T 为a 1，a 2，… ，a n 这 列数的“均数”．若a 1，a 2，… ，a 500的“均数”为2004，则14，a 1，a 2，…，a 500 这列数的“均数”为___________.14．如图，已知△OAB 和△OCD 都是等腰直角三角形，点O 是直角顶点，OA =10，OC =62．将△OCD 绕点O 旋转，使CD 与OB 相交于点E ． 当△BDE 变成直角三角形时，线段AC 的长为 ．三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分和14分，满分50分）15. 若关于x 的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k 的值与方程的解.OABCDE（第14题图）A BC DM EF（第12题图）x kx x x x x k 1122+=---16．某公路因塌方致使交通中断，需紧急抢通．如果由甲工程队单独施工，需要30小时完成；如果由乙工程队单独施工，则需要60小时方可完成．甲工程队施工所用机械每小时耗油25千克，乙工程队施工所用机械每小时耗油10千克．（1）若要使整个工程施工所用机械总耗油量不超过650千克，则甲、乙两个工程队最多能合作几小时？（2）若先由两个施工队同时施工，再由乙施工队单独施工，则应怎样安排，才能使工程在24小时内（含24小时）完成，且施工总耗油量最省？请说出你的方案，并求出所需要的施工总耗油量．17．如图，在△ABC 中，AC ＞BC ，∠ACB 的外角平分线交△ABC 的外接圆于点D ，DF ⊥AC于点F ．（1）求证：D 是弧ACB 的中点； （2）若12AC =，8BC =，求CF 的值．（第17题图）ABCDEF18．如图，顶点为M 的抛物线23y ax x =--与x 轴交于点A 、B ，过点B 的直线与抛物线的对称轴相交于点C （2,4）．已知P 是该抛物线在x 轴下方部分上的一个动点，过点P 的直线y x m =+分别与抛物线的对称轴、直线BC 相交于点Q 和D ． （1）求抛物线的函数关系式；（2）当△DQM 的面积等于△PQM 面积时，求m 的值； （3）请求出PD QD +的最大值．O BAxy P Q MD C （第18题图）O BAxy MC （备用图1）O BAxy MC （备用图2）2015年湖州市九年级数学竞赛试卷参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） DCCD BBCD二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．23-≤<-x ； 10． ； 11．1528s <≤； 12．10； 13．2014； 14．213或2．三、解答题（共4题，满分50分） 15．（12分）解：若关于x 的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k 的值与方程的解解：原方程化为 ①．---------------------------------2分（1）当k=0时，原方程有一个解， ； ---------------------------------4分（2）当k ≠0时，方程①的判别式 ， 总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，故x=1，得 ． ----------------------------------------------------------------------4分综上可知当k=0时，原方程有一个解， ；当 时，x=-2. --------2分 16．（12分）（1）设两工程队合作x 小时，余下的工作由甲或乙工程队用y 小时单独完成．① 若余下的工作由乙工程队单独完成：则1111306060x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，--------3分 整理，得：360x y +=，即603y x =-；又由题意得：2510()650x x y ++≤，-----------------------------------------------4分 整理，得：3510650x y +≤，将603y x =-代入，得：3510(603)650x x +-≤，解得：10x ≤；--------5分21=k 21=x 21=k 21=x xkx x x x x k 1122+=---31131+-=x y 01)32(2=--+x k kx 0)1(4522>-+=∆k k② 若余下的工作由甲工程队单独完成：则1111306030x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 整理，得：3260x y +=，即3302y x =-； 又由题意，得：1025()650x x y ++≤，整理，得：3525650x y +≤， 将3302y x =-代入，得：33525(30)6502x x +-≤， 解得：20x ≥，此时必然有33002y x =-≤， ∴余下的工作由甲工程队单独完成是不可能的．---------------------6分答：要使整个工程施工所用机械总耗油量不超过650千克，两个工程队最多能合作10小时．（2）设两工程队合作x 小时，余下的工作由乙工程队用y 小时单独完成．由题意得：1111306060x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即：603y x =-， 又由题意得：24x y +≤，---------------------------------------------------7分 将603y x =-代入，得：(603)24x x +-≤，--------------------------8分解得：18x ≥，-----------------------------------------------------------------9分 ∵总耗油量为：2510()x x y ++=5600x +千克，∴当x =18时，总耗油量最省，---------------------------------------------11分∴两工程队合作18小时，余下的工作由乙工程队用6小时完成，且施工总耗油量最省，总耗油量为690千克．--------------------------------------------------------------12分17．（12分） （1）连结BD ，∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠DAB ＝∠DCE ，-------------2分 ∵CD 是∠ACB 的外角平分线，∴∠DCA ＝∠DCE ，又∵∠DCA ＝∠DBA ， ∴∠DAB ＝∠DBA ，------------------3分 ∴D 是¼ACB 的中点；-------------------------------------------------5分 （2）在AF 上取点G ，使GF ＝CF ，连结DG ，∵DF ⊥AC 于点F ，∴DG ＝DC ，---------------------------------6分 ∴∠DGC ＝∠DCA ，又∵∠DCA ＝∠DCE ，∴∠DGC ＝∠DCE ，-------------------7分（第15题图）ABCDE FG∴∠AGD ＝∠BCD ，--------------------------------------------------8分 又∵∠DAG ＝∠DBC ，∴△DGC ≌△DCE ，--------------------9分 ∴AG ＝BC ，------------------------------------------------------------10分 ∴CG ＝AC －BC ，即2AC BCCF -=， ∵12AC =，8BC =，∴CF ＝2．---------------------------------12分18．（14分）（1）由题意，得：122a--=，∴14a =，∴抛物线的函数关系式是2134y x x =--；------------------------------4分 （2）过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点E ，易知PE ∥QC ， ∵抛物线的函数关系式是2134y x x =--， ∴B （6,0），∴直线BC 的函数关系式是6y x =-+，设点P （n ，2134n n --），则E （n ，6n -+），∴2194PE n =-，-----------------------------------------------5分∵C （2,4），直线PD ：y x m =+，∴Q （2,2m +），∴2QC m =-，--------------------------6分 当点P 在对称轴的左侧时(本题图)：∵△DQM 的面积等于△PQM 面积，∴PQ QD =，∴2PE QC =，即：2192(2)4n m -=-，∴28200n m --=-----①，作PG ⊥MC 于点G ，DH ⊥MC 于点H ， 易得：PG DH =，∴1212n m -=-，即：22m n =------②，将②代入①得：28(22)200n n ---=，即：21640n n --=， 解得：8217n =-，或8217n =+(不合题意，舍去)， ∴14417m =------------------------------------------------8分O BAxy P Q MD C （第13题图）E G H（3）如备用图1，过点C作x轴的平行线，交直线PE于点N，交直线PD于点T，易证△CQT、△NPT是等腰直角三角形，且CD⊥PT，∴QD TD=，------------------------------------------------------12分∴PD QD PT+=，∵2PT PN=，而PN的最大值显然是CM的值，∴PD QD+的最大值为82．---------------------------------14分说明：不同解法请酌情给分OBA xyMC（备用图1）PQDTNE。
中考数学二次函数试题及答案解析
中考数学真题分类汇编：二次函数（选择题）一．选择题（共30小题）1．（2015•兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+2．（2015•宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2015•衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．4．（2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．5．（2015•湖北）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．7．（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C． 1 D．﹣58．（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2015•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．11．（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个12．（2015•新疆）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）13．（2015•梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 414．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧15．（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数16．（2015•甘孜州）二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣217．（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣118．（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜019．（2015•台州）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）20．（2015•兰州）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）221．（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜022．（2015•黔南州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小23．（2015•安顺）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 424．（2015•恩施州）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）A．②④B．①④C．①③D．②③25．（2015•日照）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤26．（2015•毕节市）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）A．a＜0 B．b＞0 C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜027．（2015•深圳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（）①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．A． 1 B． 2 C． 3 D． 428．（2015•南宁）如图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣1，下列结论中：•①ab＞0， ②a+b+c＞0， ③当﹣2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）A． 0个B． 1个C． 2个D． 3个29．（2015•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A． 4 B． 3 C． 2 D． 130．（2015•遂宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＞0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 5二．填空题（共21小题）1．（2015•常州）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是．2．（2015•漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x时，y随x的增大而减小．3．（2015•杭州）函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写“增大”或“减小”）．4．（2015•天水）下列函数（其中n为常数，且n＞1）①y=（x＞0）；②y=（n﹣1）x；③y=（x＞0）；④y=（1﹣n）x+1；⑤y=﹣x2+2nx（x＜0）中，y的值随x的值增大而增大的函数有个．5．（2015•淄博）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+8．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．6．（2015•十堰）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是．（只填写序号）7．（2015•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）8．（2015•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．9．（2015•河南）已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．10．（2015•乐山）在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为．（2）若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，则实数a的取值范围是．11．（2015•宿迁）当x=m或x=n（m≠n）时，代数式x2﹣2x+3的值相等，则x=m+n时，代数式x2﹣2x+3的值为．12．（2015•龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．13．（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．14．（2015•绥化）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为．15．（2015•岳阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c=﹣1，则b2=4a．16．（2015•莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．17．（2015•资阳）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．18．（2015•营口）某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为元时，该服装店平均每天的销售利润最大．19．（2015•温州）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为m2．20．（2015•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B （1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．21．（2015•衢州）如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a 的值是．参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．（2015•兰州）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义，可得答案．解答：解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；B、y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，故B错误；C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；D、y=x2+不是二次函数，故D错误；故选：C．点评：本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次函数都是整式．2．（2015•宁夏）函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．解答：解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．点评：本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．3．（2015•衢州）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．专题：计算题．分析：利用一次函数，二次函数，以及反比例函数的性质判断即可．解答：解：当x＞0时，y随x的增大而减小的是，故选B点评：此题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，以及反比例函数的图象，熟练掌握各自的图象与性质是解本题的关键．4．（2015•锦州）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．解答：解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选C．点评：此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．5．（2015•湖北）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．分析：根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．解答：解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．点评：本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．6．（2015•泰安）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：本题可先由一次函数y=﹣mx+n2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致．解答：解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．点评：本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．7．（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C． 1 D．﹣5考点：二次函数的图象．分析：根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．解答：解：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x2+1x=2时y=﹣11，故选：D．点评：本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．8．（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象．分析：根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．解答：解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．9．（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．分析：由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．解答：解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两个不相等的根x1＞0，x2＞0，∴x1+x2=﹣＞0，∴﹣＞0，∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，∵a＞0，开口向上，∴A符合条件，故选A．点评：本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2015•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．解答：解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴y=﹣位于y轴的右侧，故符合题意，D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．故选：C．点评：此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．11．（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个考点：二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．分析：①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．解答：解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．点评：本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．12．（2015•新疆）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．解答：解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．点评：主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．13．（2015•梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：二次函数的性质．分析：利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．解答：解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1，错误；③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确；④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），∴当0＜x＜2时，y＞0，正确．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．14．（2015•南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧考点：二次函数的性质．分析：根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键．15．（2015•福州）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数考点：二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质．分析：求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断．解答：解：设一次函数解析式为：y=kx+b，由题意得，，解得，，∵k＞0，∴y随x的增大而增大，∴A、B错误，设反比例函数解析式为：y=，由题意得，k=﹣4，k＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，∴C错误，当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小．故选：D．点评：本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．16．（2015•甘孜州）二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（）A．x=4 B．x=﹣4 C．x=2 D．x=﹣2考点：二次函数的性质．分析：直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．解答：解：二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣2．故选：D．点评：此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键．17．（2015•常州）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．解答：解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．18．（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（）A．a=b+2k B．a=b﹣2k C．k＜b＜0 D．a＜k＜0考点：二次函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：把（﹣，m）代入y=ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k=，由图象的特征即可得到结论．解答：解：∵y=ax2+bx图象的顶点（﹣，m），∴﹣=﹣，即b=a，∴m==﹣，∴顶点（﹣，﹣），把x=﹣，y=﹣代入反比例解析式得：k=，由图象知：抛物线的开口向下，∴a＜0，∴a＜k＜0，故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．19．（2015•台州）设二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．（1，0）B．（3，0）C．（﹣3，0）D．（0，﹣4）考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．解答：解：∵二次函数y=（x﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线x=3，∴直线l上所有点的横坐标都是3，∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3，故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴是x=h．20．（2015•兰州）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=﹣2的是（）A．y=（x+2）2B．y=2x2﹣2C．y=﹣2x2﹣2 D．y=2（x﹣2）2考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．解答：解：y=（x+2）2的对称轴为x=﹣2，A正确；y=2x2﹣2的对称轴为x=0，B错误；y=﹣2x2﹣2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x﹣2）2的对称轴为x=2，D错误．故选：A．点评：本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的关键．21．（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0考点：二次函数的性质．分析：利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．解答：解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根据题意，，解不等式（1），得m＞0，解不等式（2），得m＞﹣1；所以不等式组的解集为m＞0．故选B．点评：本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．22．（2015•黔南州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（）A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）B．顶点坐标是（1，﹣3）C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而减小考点：二次函数的性质；二次函数的图象．分析：A、将x=0代入y=x2﹣2x﹣3，求出y=﹣3，得出函数图象与y轴的交点坐标，即可判断；B、将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断；C、将y=0代入y=x2﹣2x﹣3，求出x的值，得到函数图象与x轴的交点坐标，即可判断；D、利用二次函数的增减性即可判断．解答：解：A、∵y=x2﹣2x﹣3，∴x=0时，y=﹣3，∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确；B、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误；C、∵y=x2﹣2x﹣3，∴y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x=3或﹣1，∴函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确；D、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x=1，又∵a=1＞0，开口向上，∴x＜1时，y随x的增大而减小，∴x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确；故选B．点评：本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．23．（2015•安顺）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．解答：解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选C．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．24．（2015•恩施州）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）A．②④B．①④C．①③D．②③考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，∴2a﹣b=0，故②错误；∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0；故③错误；由图象可知：当x=﹣1时y＞0，。
【2015中考真题】浙江省湖州市中考数学试题及解析
2015年浙江省湖州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2015•湖州）﹣5的绝对值为（）A．﹣5 B．5C．﹣D．2．（3分）（2015•湖州）当x=1时，代数式4﹣3x的值是（）A．1B．2C．3D．43．（3分）（2015•湖州）4的算术平方根是（）A．±2 B．2C．﹣2 D．4．（3分）（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）A．6cm B．9cm C．12cm D．18cm5．（3分）（2015•湖州）已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（）A．9B．3C．D．6．（3分）（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7C．5D．47．（3分）（2015•湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出A．B．C．D．8．（3分）（2015•湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（）A．4B．2C．8D．49．（3分）（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A．C D+DF=4 B．C D﹣DF=2﹣3 C．B C+AB=2+4 D．B C﹣AB=210．（3分）（2015•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（）A．8B．10 C．3D．4二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2015•湖州）计算：23×（）2=．12．（4分）（2015•湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是千米/分钟．13．（4分）（2015•湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情评分（分）80 85 90 95评委人数 1 2 5 214．（4分）（2015•湖州）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于．15．（4分）（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．16．（4分）（2015•湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17．（6分）（2015•湖州）计算：．18．（6分）（2015•湖州）解不等式组．19．（6分）（2015•湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．20．（8分）（2015•湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC 的中点，连结DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：ED是⊙O的切线．21．（8分）（2015•湖州）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了：选择意向所占百分比文学鉴赏 a科学实验35%音乐舞蹈 b手工编织10%其他 c（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数．22．（10分）（2015•湖州）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．23．（10分）（2015•湖州）问题背景已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），边结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m 的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．24．（12分）（2015•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD 互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．2015年浙江省湖州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）﹣4．（3分）（2015•湖州）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底分析：利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．解答：解：圆锥的弧长为：=24π，；6．（3分）（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）即可．∴S△BCE=BC•EF=×5×2=5，7．（3分）（2015•湖州）一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出C，8．（3分）（2015•湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（）分析：连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB=2AC，因为tan∠OAB=，=，代入得结果．∵tan∠OAB=，9．（3分）（2015•湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（）C+AB=2：三角形的内切圆与内心；翻折变换（折叠问题）．半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC（舍去）+4，由勾股定理可得，CD+DF=．即可解答．⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b﹣c），（舍去）BC+AB=2，x=4，CD+DF=10．（3分）（2015•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，交于x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（）））=，根据反比例函数的系数，，求出，根据（﹣）=6AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．∵点A是函数y=（x＜0）图象上一点，）y=）=，，∴k=﹣，（﹣=6=12，二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2015•湖州）计算：23×（）2=2．（）×=212．（4分）（2015•湖州）放学后，小明骑车回家，他经过的路程s（千米）与所用时间t（分钟）的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是0.2千米/分钟．时间，利用了路程与时间的关系．13．（4分）（2015•湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情评分（分）80 85 90 95评委人数 1 2 5 2考点：加权平均数．分析：平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．解答：解：这10位评委评分的平均数是：（80+85×2+90×5+95×2）÷10=89（分）．故答案为89．点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求80，85，90，95这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．14．（4分）（2015•湖州）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于π．考点：扇形面积的计算．分析：图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积的计算公式计算即可求解．解答：解：图中阴影部分的面积=π×22﹣=2π﹣π=π．答：图中阴影部分的面积等于π．故答案为：π．点评：考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．15．（4分）（2015•湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是y=﹣x2+2x和y=x2+2x．是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．）解得：x2xy=+2﹣x x x16．（4分）（2015•湖州）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．2=C===，的边长为；=x=，的边长为；的边长为的边长为．故答案为．点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长得出规律是解题的关键．三、解答题（本题有8个小题，共66分）17．（6分）（2015•湖州）计算：．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：原式===a+b．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）（2015•湖州）解不等式组．考点：解一元一次不等式组．分析：先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式①得：x＜6，解不等式②得：x＞1，∴不等式组的解集为1＜x＜6．点评：本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．19．（6分）（2015•湖州）已知y是x的一次函数，当x=3时，y=1；当x=﹣2时，y=﹣4，求这个一次函数的解析式．考点：待定系数法求一次函数解析式．分析：一次函数解析式为y=kx+b，将x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式．解答：解：设一次函数解析式为y=kx+b，将x=3，y=1；x=﹣2，y=﹣4代入得：，解得：k=1，b=﹣2．则一次函数解析式为y=x﹣2．点评：此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．（8分）（2015•湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：ED是⊙O的切线．AC21．（8分）（2015•湖州）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了：（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的学生人数．点评：本题考查条形统计图，解决本题的关键是读懂图形，获取相关信息．22．（10分）（2015•湖州）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．（1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；（2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．考点：分式方程的应用；一元一次方程的应用．分析：（1）可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数；（2）可设原计划安排的工人人数为y人，根据等量关系：恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，列出方程求解即可．解答：解：（1）设原计划每天生产的零件x个，依题意有=，解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天；（2）设原计划安排的工人人数为y人，依题意有[5×20×（1+20%）×+2400]×（10﹣2）=24000，解得y=480，经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排的工人人数为480人．点评：考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间．23．（10分）（2015•湖州）问题背景已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），边结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证DH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，且D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．GD CE△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出=m，=m，，得出=m，得出=m，=，即可得出结果．AD=AD=∴=2；）解：，∴=m，∴=m，=m∴=，===点评：本题是相似形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等或三角形相似才能得出结果．24．（12分）（2015•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD 互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=﹣，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣x2+x），分两种情况讨论即可求得；（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．解答：解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DBF=∠BAO，又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，﹣∴b=，x x（，x x，即=，=，x x=，∴P点的坐标为（，）；则tan∠POB=tan∠BAO，即=，=，解得，∴﹣x2+x=﹣，点的坐标为（，﹣）综上，在抛物线上是否存在点P（，）或（，﹣），使得∠POB与∠BCD互余．，代入可得，解得；∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此时直线OQ的斜率为﹣，则直线OQ的解析式为xx4a+）8a+＞0，解得a＞（a＜舍去）＜﹣或＞。
2015湖州中考卷
3。
津 m黄 河 南广图1北京、 l / 天津2015年浙江省社会思品中考精析系列--- 湖州卷一、选择题（本题有21小题，其中1一10题每题1分，11一21题每题2分，共32 分）请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中的对应字 母方框涂黑。
不选、多选、错选，均不给分。
1.2014年11月19日至21日，首届 ▲在浙江乌镇举办，该会议永久会址的牌匾被授予乌镇。
（）A.世界互联网大会B .亚太经合组织会议C .博鳌亚洲论坛D .国家科学技术奖励大会【答案】A 【考点直击】无【解析】本题属于时政题，答案为A 。
2014年12月12日，南水北调中线一期工程正式通水。
读图1，完成2—3题。
2. 该工程正式通水后， ▲ 个省级行政区沿线约6000 万人将直接用上水质优良的汉江水，近1亿人间接受益。
( )A. 2 B . 3 C . 4 D . 5【答案】C 【考点直击】无【解析】本题属于时政题，答案为C 。
3. 丹江口水库位于北京的（）A .东北方向B .东南方向C .西北方向D .西南方向【答案】D【考点直击】历史与社会（考点8)【解析】本题主要考查地图上方向的判定方法。
判定方向的方法有经玮网定向法、 指向标定向法、一般定向法。
该题用一般定向法即可获知，丹江口水库位于北京的)西南方向，故选D。
4.图2所示区域的气候类型主要属于（）A.热带雨林气候B.热带草原气候C.热带沙漠气候D.热带季风气候【答案】B【考点直击】历史与社会（考点2)【解析】主要考查世界气候类型的分布，该图是非洲区域图的一部分，对应世界气候类型分布图可知，该地以热带草原气候为主，故选B。
5.“无言烽火燃，五十年，陈桥驿站披旒冕。
披旒冕，定江山，杯酒之间销兵权。
”所描述的古代帝王是（）A.秦始皇B.汉武帝C.唐太宗D.宋太祖【答案】D-【考点直击】历史与社会(考点15) ^【解析】该题要求学生抓住史料中的关键词，从中获取相关历史信息。
湖州数学中考试题及答案
湖州数学中考试题及答案【注意：以下为模拟试题及答案，可能与实际考试内容存在差异。
以下试题仅供参考学习使用。
】第一部分：选择题1. 一个长方体的边长比例是1:2:3，它的体积是108立方厘米，那么它的表面积是多少？A) 54平方厘米B) 72平方厘米C) 90平方厘米D) 108平方厘米答案：C) 90平方厘米2. 离散变量的特点是什么？A) 取值连续B) 只能取整数值C) 无法绘制成数轴D) 取值无限制答案：B) 只能取整数值3. 已知直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3垂直，那么直线L1与直线L3的关系是：A) 平行B) 垂直C) 相交D) 无关答案：B) 垂直4. 若x和y满足$x^2-y^2=15$，则$(x+y)(x-y)$的值等于：A) 13B) 15C) 17D) 30答案：C) 175. 小明从家走到学校的路上，一共经过了10个红绿灯。
每个红灯停5秒，每个绿灯通过10秒。
小明通过这10个红绿灯共需要多少时间？A) 50秒B) 100秒C) 150秒D) 200秒答案：B) 100秒第二部分：填空题6. 4的平方根是____。
答案：27. 若一元二次方程$x^2-5x+6=0$的两个根分别为a和b，则a+b的值是____。
答案：58. 若一元二次方程$x^2+x-6=0$的两个根分别为m和n，则m、n的和为____，m、n的积为____。
答案：-1，-69. 若函数$y=2x^2+3x+1$，则当x等于2时，函数的值是____。
答案：1510. 已知等差数列的首项为3，公差为4，前n项和为57，则n的值为____。
答案：6第三部分：解答题11. 计算：$$\frac{5}{6} \div \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\right)$$答案：$\frac{15}{2}$12. 若一个立方体的体积增加了8倍，那么它的边长增加了多少倍？答案：2倍13. 解方程：$\frac{x}{5} + \frac{x+1}{6} = \frac{7}{10}$答案：$\frac{43}{26}$14. 若集合A包含元素{1, 2, 3}，集合B包含元素{2, 3, 4}，求A与B的交集和并集。