2018-2019学年广东省华南师大附中高一下学期期中数学试题(解析版)

广东省华南师大附中高一下学期期中 数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，11a =，25a =，则4a =（ ） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15【答案】C【解析】先求出公差，再根据通项公式求得4a . 【详解】因为，11a =，25a =， 所以公差21514d a a =-=-=， 所以41313413a a d =+=+⨯=， 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.2．在等比数列{}n a 中，0n a >，且121a a +=，349a a +=，则56a a +的值为（ ） A ．16 B ．27 C ．36 D ．81【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >,根据通项公式将已知等式化为首项和公比，联立解出首项和公比，再利用通项公式可求出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >,则1(1)1a q +=，23119a q a q +=，联立以上两式解得113,4q a ==， 所以45456111(1)81a a a q a q a q q +=+=+=.故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，属于基础题.3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，3A π=，3sin B =.2b =，则a =（ ） A ．1 B ．3C ．3D ．43【答案】C【解析】直接根据正弦定理可得结果. 【详解】 因为3A π=，3sin B =.2b =， 所以由正弦定理可得sin sin a bA B=，可得33=， 所以3a =. 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题. 4．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，1cos 4A =，则BC =（ ） A ．5B ．8C ．106D ．41【答案】B【解析】直接根据余弦定理可得结果. 【详解】因为7AB =，6AC =，1cos 4A =， 所以由余弦定理得22212cos 4936276644BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，所以8BC =. 故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题. 5．设，则间的大小关系是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵，，，， ∴，故选D.6．数列{}n a 满足131n n a a +=+，11a =，则此数列的第3项是（ ） A ．13 B ．10 C ．7 D ．4【答案】A【解析】在递推关系式中令1n =和2n =即可求得结果. 【详解】因为131n n a a +=+，11a =， 所以21313114a a =+=⨯+=， 所以323134113a a =+=⨯+=. 故选：A 【点睛】本题考查了数列的概念，考查了求数列中的项，属于基础题.7．数列{}n a 中，对所有*n N ∈，都有：2123n a a a a n ⋅⋅⋅=，则6a =（ ）A ．56B ．65C ．2536D ．3625【答案】D【解析】利用两式相除可得n a ，再令6n =即可求出结果. 【详解】因为2123n a a a a n ⋅⋅⋅=，所以21231(1)n a a a a n -=-L (2)n ≥，所以2n ≥时，22(1)n n a n =-，所以63625a =. 故选：D 【点睛】本题考查了数列的概念，利用已知等式恒成立推出另一个等式，再两式相除求出n a 是解题关键，属于基础题.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则下列条件下有唯一解的是（ ） A ．1a =，b =30A =︒B ．1a =，2b =，3c =C ．1b c ==，45B =︒D ．1a =，2b =，100A =︒【答案】C【解析】通过对四个选项中的条件逐个分析可得答案. 【详解】对于选项A ，因为A 为锐角，且sin a b A >，所以三角形有两解； 对于选项B ，因为a b c +=，故三角形不存在，所以三角形无解；对于选项C ，因为b c =，所以45A B ==o ，所以90C =o ，故三角形有唯一解； 对于选项D ，因为1a =，2b =，100A =︒，所以100B A >=o ，故三角形无解. 故选：C 【点睛】本题考查了求三角形的解的个数，属于基础题. 9．ABC ∆中，若cos cos a bB A=，则该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论. 【详解】 因为cos cos a bB A=， 所以22222222a ba cb bc a ac bc=+-+-，所以22222222()()a b c a b a c b +-=+-， 所以224224a c a b c b -=-， 所以22244()c a b a b -=-， 所以22222()()0a b c a b ---=，所以220a b -=或222c a b =+， 所以a b =或222+=a b c ，所以三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题. 10．在R 上定义运算，*2a b ab a b =++，则满足()*20x x -<的实数x 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()2,1-C ．()()8,21,8--+UD ．()1,2-【答案】B【解析】利用新定义进行运算，将不等式化为一元二次不等式可解得结果. 【详解】由定义可得(2)220x x x x -++-<， 所以220x x +-<，解得21x -<<. 故选：B 【点睛】本题考查了对新定义的理解和应用的能力，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 11．某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a 万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕（ ） A ．()810 1.11a - B ．()81.11a -C ．()710 1.11a -D ．()71.11a -【答案】A【解析】建立等比数列模型后，利用等比数列的前n 项和的公式即可得到结论. 【详解】记2018年为第一年，第n 年退耕{}n a 亩，则{}n a 为等比数列，且1a a =，公比(110%)q =+, 则问题转化为求数列{}n a 的前8项和，所以数列{}n a 的前8项和为：8881(1)(1 1.1)10(1.11)11 1.1a q a a q --==---.所以到2025年一共退耕()810 1.11a -亩. 故选：A 【点睛】本题考查了数列的应用，考查了数学建模能力，考查了等比数列的前n 项和公式，属于基础题.12．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y满足0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ）A ．－1B ．1C ．32-D ．32【答案】D【解析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果.【详解】 如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线，所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=u u u r u u u r r，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u uu r u u u r u u u r ，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r ，又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．函数y =______.【答案】(][),23,-∞-+∞U【解析】根据偶次根式有意义的条件是被开方大于等于0，列不等式可解得. 【详解】由260x x --≥，解得3x ≥或2x -≤， 所以定义域为(][),23,-∞-+∞U . 故答案为：(][),23,-∞-+∞U 【点睛】本题考查了利用偶次根式的被开方大于等于0求函数的定义域，属于基础题.14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知5a =，8b =，7c =，则ABC ∆的面积为______.【答案】【解析】根据余弦定理求出cos A ，再根据同角公式求出sin A ，然后根据三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】因为5a =，8b =，7c =，所以由余弦定理可得22264492511cos 228714b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以sin A ===所以ABC ∆的面积为11sin 8722bc A =⨯⨯=故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，属于基础题. 15．已知a ，b R +∈，且1a b +=，则41a b+的最小值为_______. 【答案】9【解析】根据题意得到41a b + ()4145b a a b a b a b ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭再由均值不等式求解即可. 【详解】已知a ，b R +∈，且1a b +=,41a b + ()414559.b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当4b aa b=时有最小值9. 故答案为9. 【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.16．已知函数()f x 满足()1,11f =，()*,N f m n ∈（*,N m n ∈），且对任何*,N m n ∈，都有：①()(),1,2f m n f m n +=+，②()()1,12,1f m f m +=，给出以下三个结论：（1）()1,59f =；（2）()5,116f =；（3）()6,642f =，其中正确的个数是______个. 【答案】3【解析】由①可知{(,)}f m n 为等差数列，可以求出(,)(,1)22f m n f m n =+-，由②可知{(,1)}f m 是等比数列，可以求出1(,1)(1,1)2m f m f -=⨯，由此可得1(,)222m f m n n -=+-，从而可求出(1,5)f ，(5,1)f 和(6,6)f 的值，进而可得答案.【详解】由①()(),1,2f m n f m n +=+可知{(,)}f m n 是首项为(,1)f m ，公差为2的等差数列，所以(,)(,1)(1)2(,1)22f m n f m n f m n =+-⨯=+-，由②()()1,12,1f m f m +=可知{(,1)}f m 是首项为(1,1)f ，公比为2的等比数列， 所以1(,1)(1,1)2m f m f -=⨯12m -=，所以1(,)(,1)22222m f m n f m n n -=+-=+-，所以11(1,5)22529f -=+⨯-=，故（1）正确；51(5,1)221216f -=+⨯-=，故（2）正确； 61(6,6)226242f -=+⨯-=，故（3）正确.所以正确的个数为3. 故答案为：3 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.三、解答题 17．求不等式3121x <-的解集. 【答案】()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U【解析】通过移项通分将分式不等式化为标准形式，再去分母转化为一元二次不等式即可解得结果. 【详解】因为331102121x x <⇔-<--()421020212x x x x -⎛⎫⇔<⇔--> ⎪-⎝⎭∴12x <或2x > 故原不等式的解集为()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c，且sin cos sin A B a C ⋅=⋅.（1）求B Ð的大小；（2）若ABC ∆的面积为2a ，求cos A 的值. 【答案】（1）4π；（2【解析】（1）根据正弦定理可得cos 2B =，再根据角B 的范围可得结果； （2）根据面积公式可得c =，根据余弦定理可得b =，再根据余弦定理可得cos A 的值.【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得：sin sin c A a C =，所以：cos B ==0B π<<，所以4B π=. （2）因为ABC ∆的面积为21sin 2S ac B a ===，∴c =， 由余弦定理，22222cos 5b a c ac B a =+-=，所以b =.所以222cos 10A ==. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题. 19．已知数列{}n a 中，112a =，123nn n a a a +=+()*n N ∈. （1）求证：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n b 满足()312n n n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）131n n a =- 证明见解析；（2）222nn +-【解析】（1）将123n n n a a a +=+两边倒过来，加上1，变形可证：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结果； （2）根据已知求出2n nnb =后，利用错位相减法可求得结果. 【详解】（1）由已知可得：123111131n n n n a a a a +⎛⎫++=+=+ ⎪⎝⎭，而11130a +=≠所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以113n na += 所以131n n a =-. （2）由（1）得2n n nb =， 231232222n n nT =++⋅⋅⋅+， 231112122222n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++ 两式相减，得：23111111222222n n n n T +=+++⋅⋅⋅+-111211222n n n n n +++=--=-∴222n n n T +=-【点睛】本题考查了用定义证明等比数列，考查了由递推关系式求通项公式，考查了错位相减法求和，属于中档题.20．已知关于x 的不等式220x ax x b --+< （1）若此不等式的解集为()1,2-，求a 、b 的值； （2）若2b a =，解关于x 的不等式220x ax x b --+<.【答案】（1）1a =-，2b =-；（2）当2a <时，解集为(),2a ；当2a =时，解集为空集；当2a >时，解集为()2,a ；【解析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二方程根的关系，列式可解得结果； （2）当2b a =时，不等式可化为()()20x a x --<，然后分类讨论a 即可得到结果.【详解】（1）由不等式的解集为()1,2-，可知方程220x ax x b --+=的两根为－1和2，得21212a b +=-+⎧⎨=-⨯⎩. 解得1a =-，2b =-. （2）由题，2b a =，原不等式可化为()2220x a x a -++>；因此，()()20x a x --<①当2a <时，原不等式等价于2a x <<；②当2a =时，原不等式等价于()220x -<，解集为空集； ③当2a >时，原不等式等价于2x a <<.综上所述：当2a <时，原不等式的解集为(),2a ； 当2a =时，原不等式的解集为空集； 当2a >时，原不等式的解集为()2,a ； 【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，考查了含参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于中档题.21．已知数列{}n a 满足()()()1123212326*n n a a n a n n N +++⋯+-=-⋅+∈，(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}n b 满足2n nn b a a =-，数列{}n b 的前n 项和n S ，设2nn nT S =，证明：12332n T T T T +++⋯+<． 【答案】（1）2nn a =；（2）见解析【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解：(1)数列{}n a 满足()()n 112n a 3a 2n 1a 2n 326+++⋯+-=-⋅+①，则：()()n12n 1a 3a 2n 3a 2n 526-++⋯+-=-⋅+②，-①②得：()()()n nn 2n 1a 4n 622n 52-=---，整理得：()()nn 2n 1a 2n 12-=-⋅，所以：nn a 2=．当n 1=时，首项符合通项，故：nn a 2=．证明：(2)数列{}n b 满足2n n n b a a =-， 则：n nn b 42=-，数列{}n b 的前n 项和()()12n12n n S 444222=++⋯+-++⋯+，()()n n4412214121--=---，()()nn 1221213+=--， 则：n n n n 1n 2311T S 22121+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭， 所以：123n 223n n 13111111T T T T 212121212121+⎛⎫+++⋯+=-+-+⋯+- ⎪-----⎝⎭n 131312212+⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭． 【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型，第二问关键是()()nn 1n 2S 21213+=--的变形.22．已知二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c ∈R ，0a ≠），满足：()f x 在R 上的最小值为0；且对任意x ∈R ，()212x x f x +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求最大的m （1m >），使得存在t R ∈，只要[]1,x m ∈，就有()f x t x +≤. 【答案】（1）()2111424f x x x =++；（2）9 【解析】（1）根据最小值为0，以及211(1)()02f -+-≤=，可得(1)0f a b c -=-+=，根据对称轴的函数值最小可得12ba-=-，在()212x x f x +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭中令1x =可得()11f a b c =++=，联立三个式子可解得12b =，14a c ==，从而可得()2111424f x x x =++；（2）取1x =，可得40t -≤≤，取x m =，可得11t m t -≤≤-+而()1149m t ≤-≤--+=. 【详解】（1）由已知及最小值为0，得()211012f -⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()10f a b c -=-+=①，且函数()f x 的对称轴方程为1x =-，即12ba-=-，② 另一方面，()211112f +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以()11f a b c =++=③联立①②③解得12b =，14a c == 所以()2111424f x x x =++（2）取1x =，有()11f t +≤， 即()()2111111424t t ++++≤ 得40t -≤≤.取x m =，有()f t m m +≤即()()2111424t m t m m ++++≤， 化简得：()()2221210m t m t t --+++≤对于固定的[]4,0t ∈-成立，则11t m t -≤≤-从而()1149m t ≤-≤--=.当4t =-时，对任意的[]1,9x ∈恒有：()()()()211410919044f x x x x x x --=-+=--≤，满足题意， 因此满足条件的m 的最大值为9. 【点睛】本题考查了利用二次函数的性质求二次函数的解析式，考查了一元二次不等式的解法，考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题.。