方程求根
方程的求根公式
方程的求根公式一元二次方程的回顾和启示学过初中数学都知道对于任何一个实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0,~a \neq 0 ，通过配方可以得到\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} ，根据判别式 \Delta=b^2-4ac 的符号，可以判断方程实根的个数，并且可以得到求根公式。
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\\要么是 2 个不同的实根 \Delta>0 ，要么是 1 个二重实根\Delta=0 ，要么是 1 对共轭虚根 \Delta<0 ；计算重数的情况下都是 2 个根。
记两根为x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ,~ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\可以直接验证韦达定理：两根之和 x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} 以及两根之积x_1x_2=\dfrac{c}{a}，判别式 \Delta=a^2(x_1-x_2)^2 .求根公式看上去复杂，但如果把上述两式代入求根公式，就可以得到x=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{x_1-x_2}{2}\right)^2}=\frac{x_1+x_2}{2}\pm\frac{x_1-x_2}{2}\\。
注：如果 x_1,~x_2 是共轭虚根，x_1-x_2 就是纯虚数，对负数\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2 开方不能得到 \dfrac{|x_1-x_2|}{2} .几何意义：记 s=\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{b}{2a} 是两根的平均值，乘积为 p=x_1x_2=\dfrac{c}{a} . 如果 x_1,~x_2 都是实根，则d=\dfrac{|x_1-x_2|}{2}=\sqrt{s^2-p} 是根到平均值的距离。
方程求根的数值方法
1）逐步搜索法
适当取一个小正数 h ，逐步计算 f(a) 、 f(a+h) 、 f(a+2h) 、 f(a+3h)、 …… 的值，直到相邻两个值 异号，则取这两点的中点为近似根。
2）图形放大法
y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。 借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
3）数值迭代逼近法
f ( xn ) xn1 xn f ( xn ) n 0,1,......
当初值x0和方程的根 x*接近时， f(x) 近似等于 以此产生的序列 {Xn}得到 f(x)=0 的近似解，称为 f(x0)+f’(x0)(x-x0)， Newton法，又叫切线法。 则
f(x)=0
与
f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0
变端点弦截法又称两点割线法
弦截法的几何解释
求解方程f(x)=0的快速弦截法
(1) (2) 输入 : x0 , x1 , , N ; L 0, f 0 f ( x0 ), f1 f ( x1 ); | f1 | 时做 x1 x0 f1 ; f 2 f ( x2 ); L L 1; f1 f 0
1.5 4 1.5 3 x1 1.5 1.2543 3 4 1.5 1 4 得到方程的一个 x1 x1 3 x2 x1 1.1723 3 近似根 1.1640 ， 4 x1 1
4 x2 x2 3 x3 x2 1.1641 3 4 x2 1 4 x3 x3 3 x4 x3 1.1640 3 4 x3 1 4 x4 x4 3 x5 x4 1.1640 4 x4 1
f (1.125) 0 f (1.1875 ) 0,
5次 方程 求根
5次方程求根在代数学中，一个方程是一组数学式子，其中包含一个未知量（通常用x表示），并且要求找到该未知量的值使得方程等式成立。
在这篇文章中，我们将探讨五种不同的方程求根方法。
1. 因式分解法对于简单的方程，可以使用因式分解法来求根。
这种方法通过将方程进行因式分解，然后解出未知量的值。
例如，考虑以下方程：2x^2 + 4x = 0。
将方程因式分解得到：2x(x + 2) = 0。
因为一个数乘以0等于0，所以方程的解为x = 0或x = -2。
2. 牛顿-拉夫逊法牛顿-拉夫逊法是一种迭代法，用于求解任意函数的根。
该方法通过使用函数的导数来逐步逼近根的值。
例如，考虑以下方程： x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0。
使用牛顿-拉夫逊法得到根的近似值为x ≈ 1.0、x ≈ 2.0和x ≈ 3.0。
3. 二分法二分法是一种简单的求根方法，适用于单调递增或递减的函数。
该方法通过在函数的定义域中二分搜索来逐步逼近根的值。
例如，考虑以下方程：x^2 - 2 = 0。
使用二分法得到根的近似值为x ≈ 1.41。
4. 配方法配方法是一种用于解决二次方程的方法，该方法通过将方程转化为一个完全平方式程来求解。
例如，考虑以下方程：x^2 + 6x + 9 = 0。
将方程转化为(x + 3)^2 = 0，得到方程的解为x = -3。
5. 因子法因子法是一种基于因式分解的方法，用于解决多项式方程。
该方法通过将多项式进行因式分解来求解方程。
例如，考虑以下方程：x^3 + 3x^2 + 2x = 0。
将方程进行因式分解得到：x(x + 1)(x + 2) = 0。
因为一个数乘以0等于0，所以方程的解为x = 0、x = -1或x = -2。
总之，以上是五种不同的方程求根方法。
选择哪种方法取决于方程的类型和难度。
方程求根(计算方法)
高斯像(2)
高斯像(3)
高斯像(4)
第二章 方程求根
§2.2 二分法
§2.2 二分法
❖ 定义：如果函数f(x)在区间[a,b]上连 续，且f(a)f(b)<0，则方程在区间[a,b]上 一定有实根，[a,b]叫方程的有根区间。
【注记】f(a)f(b)<0只保证有实根, 但并不保证根是 唯一, 即不保证是单根, 也不排斥f(a)f(b)>0时在[a,b] 上有根的情形。即，f(a)f(b)<0对于在[a,b]上有实根 是充分的, 但不必要；f(a)f(b)<0对于在[a,b]上有唯 一单实根不充分也不必要。如图所示：
§2.1 问题的提出
• 有多种数值算法可以求解非线性方程， 我们在本章将学习其中得几种，它们是：
✓ 二分法(bisection method) ✓迭代法(iteration method) ✓牛顿法(Newton method) ✓牛顿下山法(Newton downhill method)。
牛顿(1)
§2.1 问题的提出
➢ 扫描流程
§2.1 问题的提出
【历史注记】人们很早就探索了高次方程的数值解 的求法。巴比伦泥板中有平方表和立方表，利用它 们可以解某些特殊的二次和三次方程。中国古人相 当系统地解决了求高次方程数值解的问题，《九章 算术》以算法形式给出了二次方程及正系数三次方 程正根的具体计算程序；7世纪王孝通也给出了求 三次方程正根的数值解法；11世纪贾宪在《黄帝九 章算法细草》中创“开方作法本源图”,用“立成 释锁法”解三次和三次以上高次方程, 同时他又提 出一种更为简便的“增乘开方法”；13世纪秦九韶 在《数书九章》中的“正负开方术”最后完成，提 供了一个用算筹布列解任何次数字方程的可行算法。
二次方程求根公式
二次方程求根公式
一次方程求根公式：
1. 一次方程求根公式是：ax+b=0，其中a和b是实数，x是未知数。
2. 求解一次方程求根问题时，需要先将该方程换成x的单项式形式，此次是：x=-b/a。
3. 由-b/a，可求得未知数x的值x=-b/a，即为一次方程的解。
二次方程求根公式：
1. 二次方程求根公式是：ax2+bx+c=0，其中a、b、c是实数，x是未知数。
2. 在求解二次方程求根的问题时，要先将二次方程换成0=ax2+bx+c的标准型式，
3. 将二次方程转换为一个二次函数y=ax2+bx+c，然后根据该二次函数解对应的韦达定理求解。
4. 韦达定理求解二次方程时，要先求得二次方程的判别式：Δ=b2-4ac。
5. 如果Δ>0，则二次方程有两个不相等的根，分别为：x1=(-b+√Δ)/2a，x2=(-b-√Δ)/2a。
6. 如果Δ=0，则该二次方程有一个重根，为：x=(-b+√Δ)/2a。
7. 如果Δ<0，则二次方程无实数根，即无解。
求根的相关公式
求根的相关公式摘要：一、引言二、求根公式简介1.二次方程求根公式2.分式方程求根公式3.三次方程求根公式4.反比例方程求根公式三、求根公式的应用1.二次方程的应用2.分式方程的应用3.三次方程的应用4.反比例方程的应用四、求根公式的局限性五、结论正文：一、引言在数学中，求根是一个常见的问题。
本文将介绍几种常见的求根公式，以及它们的适用范围和局限性。
二、求根公式简介1.二次方程求根公式二次方程的标准形式为ax+bx+c=0，它的求根公式为x,x=(-b±√(b-4ac))/(2a)。
2.分式方程求根公式分式方程的一般形式为ax+b=cx+d，它的求根公式为x=(c-b)/(a-c)。
3.三次方程求根公式三次方程的一般形式为ax+bx+cx+d=0，它的求根公式为x=((-b+√(b-3ac))/(3a)，x=((-b-√(b-3ac))/(3a)，x=c/a。
4.反比例方程求根公式反比例方程的一般形式为ax=b，它的求根公式为x=b/a。
三、求根公式的应用1.二次方程的应用二次方程在几何中常常用来求解抛物线的顶点，也可以用来求解一些实际问题，如物体在重力作用下的运动轨迹等。
2.分式方程的应用分式方程在解决一些实际问题中非常有用，如流水线的工作效率问题，交通流量问题等。
3.三次方程的应用三次方程在数学理论研究中较为常见，如解决一些复杂的几何问题，曲线拟合等。
4.反比例方程的应用反比例方程在物理中常常用来描述一些反比例关系，如电阻和电流的关系，力矩和转速的关系等。
四、求根公式的局限性尽管求根公式可以解决很多问题，但它们也有一些局限性。
首先，对于非线性方程，求根公式可能无法求解；其次，对于一些复杂的问题，可能需要借助其他数学工具，如数值计算方法等。
五、结论总的来说，求根公式是数学中一个基本且重要的工具，它可以解决很多实际问题。
计算方程根的公式
计算方程根的公式一、一元二次方程根的公式。
对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
1. 推导过程。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们首先将方程进行配方。
- 方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。
- 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即((b)/(2a))^2。
- 得到x^2+(b)/(a)x + ((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。
- 左边可以写成完全平方式(x + (b)/(2a))^2=frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)。
- 通分右边得到(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}。
- 然后开平方，得到x+(b)/(2a)=±frac{√(b^2)-4ac}{2a}。
- 移项就得到求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
2. 判别式Δ=b^2-4ac的意义。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，此时x =-(b)/(2a)（两个根相同）。
- 当Δ<0时，方程没有实数根，在复数范围内有两个共轭复数根。
二、一元三次方程根的公式（卡尔丹公式）对于一元三次方程ax^3+bx^2+cx + d=0(a≠0)，我们可以通过变换将其化为不含二次项的形式。
令x = y-(b)/(3a)，代入原方程得到y^3+py+q = 0，其中p=frac{3ac - b^2}{3a^2}，q=frac{2b^3-9abc + 27a^2d}{27a^3}。
其求根公式为：y=sqrt[3]{-(q)/(2)+√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}+sqrt[3]{-(q)/(2)-√((frac{q){2})^2+((p)/(3))^3}}1. 判别式Δ = ((q)/(2))^2+((p)/(3))^3的意义。
方程求根
迭代法—算例分析2
例如：求方程 f ( x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根 x*
22
§2.2
迭代法—算例分析2
例如：求方程 f ( x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根 x*
3 解：将方程改写为 xk 1 x ， k 1
由此建立迭代公式： xk 1 3 xk 1 (k 0,1, 2, ) 计算结果如下表
f (1)<0, f (2)>0 记 I0=[1,2] , x0 =(1+2)/2=1.5
因为 f (x0) f (1)>0 得 I1=[1.5, 2] , x1 =(1.5+2)/2=1.75
f (x1) f (1.5)<0 得 …….
I2=[1.5, 1.75] , x2 =(1.5+1.75)/2=1.625
if B A 0 where else x1 2 x2 2 x3 2 where
( B 2 A3 | B |)1 / 3 ;
A cos( a , 3 3 2 a A cos( ) , 3 3 4 a A cos( ) , 3 3 arccos( B / A3 / 2 ) ; )
二分法
求 f (x) = 0 的根
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
y
f (x)
a
x*
b
x
称[a, b]为方程的有根区间。
7
§2.1
二分法—算法构造
a x a1
b2 x* x
b
给定有根区间 [a, b] ( f(a) ·f(b) < 0) 和 精度 或 1. 令 x = (a+b)/2 2. 如果 b – a < 或 f (x) < , 停机，输出 x 3. 如果 f (a) f (x) < 0 , 则令 b = x，否则令 a = x, 返回第1步 用二分法求根，通常先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。
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山西大学计算机与信息技术学院实验报告
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五实验结果
六、结果分析
1二分法需要十次计算，迭代法需要三次计算，牛顿迭代法需要一次计算。
牛顿迭代法计算量最少。
2用牛顿法解方程式，应该尽量使初值接近零点，这样能够更节省时间，得到的根更准确。
3二分法和牛顿法都是解方程的两个比较好的方法，二分法在解一元方程应用中相比牛顿法要简单些，特别是写程序要简单些，但是二分法求根过程的步骤要比牛顿法多，牛顿法不仅可以解一元方程，还可以解多元可微分方程，而且求根速度很快，但是牛顿法有一个缺点就是要在根的附近才能求解，如果离根距离太大，有可能不能解出根来，所以在不知根在哪个小范围的情况下，最好先用二分法找到一个比较小的区间，再在这个区间上求方程的根，这样的求解是可行的。
另外，如果在某点处，矩阵的行列式为零，则在运算中会出现分母为零的情况，牛顿法不能继续求解，这也是牛顿法的个缺点，但是遇到这种情况的时候，如果稍稍改变初值，求解过程就会实现了。