通信原理(第7版)-第11章差错控制编码
D点
10-4
10-5
可见：能节省功率 2 dB
——称为编码增益
10-6
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2PSK调制
编 码 A• 前 •
B• 编 码C
•后 • D
信噪比 (dB)
曹丽娜
—— 付出的代价是带宽增大。 因此，纠错码主要应用于功率受限而带宽不太受限的信道中。
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传输速率RB 和 信噪比Eb/n0的关系
检ｅ个错码，要求：
d0 e1
纠ｔ个错码，要求：
d0 2t1
纠 t 个错码,同时检 e 个错码，要求：
d0et1(et)
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证明：
d0 e1
d0 2t 1 d0et1(et)
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§11.3
纠错编码的性能
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系统带宽和信噪比的矛盾
（2）拉后ARQ系统
第5组
传输速率比第（1）种高。 系统需要双工信道。
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（3）选择重发ARQ系统
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ARQ的主要优点：与前向纠错（FEC）方法相比
码率较高。∵ 用较少的监督码元就能使误码率降到很低；
检错的计算复杂度较低； 检错用的编码方法 和 加性干扰的统计特性基本无关，能适应不
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分组码和系统码
前面的例子：
编码后的每组长度为 n = k+r
信息位与监督位关系：
就是分组码
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分组码 的 符号： 分组码 的 结构：
（n，k）
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码重和码距
码长 (n)：码组（码字）中的码元个数。 码重(W)：码组中“1”的数目。
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§11.2
纠错编码的基本原理
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情形1：没有冗余 —— 不能发现错误
情形2：加入冗余 —— 可以发现错误
许用码组 禁用码组
Байду номын сангаас
冗余 规则：使码组中 “1”的个数为偶数
⤎ 另外4个码组
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（奇数个错码）
也不能 纠正 错误 。
编码规则：
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11.4.3 恒比码 (等重码)
编码规则：
检测方法：计算接收码组中“1”的数目，就可知是否有错。 适用：用于电报传输系统或其他键盘设备产生的字母和符号。
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B编 码C
•后 • D
信噪比 (dB)
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§11.4
简单的实用编码
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11.4.1 奇偶监督码
编码规则：
只有一位监督元 奇数监督 偶数监督
适用：
（∵不知错码位置） 检测随机出现的零星差错。
码率：
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RC
k n
n 1 n
很高 （因为只有一位监督位）。
Eb PsT Ps Ps10-1 n0 n0 n0(1/T) n0RB
10-2
若希望提高RB， 则必使Eb/n0下降，误码率Pe增大。10-3
编
码
A
前 •E
设编码前 系统工作在图中C点， 10-4
提高速率后Pe由C点升到E点。
10-5
但采用纠错编码后，Pe仍可降到 D点。
这时付出的代价仍是带宽增大。 10-6
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差错控制方式 信道类型 —— 根据错码的不同分布规律分为：
差错控制方式：
（FEC）——
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——自动请求重发
（ARQ）
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3 种自动要求重发(ARQ)系统
（1）停止等待ARQ系统
缺点：工作在半双工状态，传输效率较低。
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例
右图所示的某种编码性能
Pe
10-1
A点
10-2 10-3
B点
10-4
10-5
可见：不增大发送功率, 就能
降低误码率约一个半数量级。
10-6
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2PSK调制
编 码 A• 前 •
B•
编 码
C
•后 • D
信噪比 (dB)
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Pe
10-1
C点
10-2 10-3
例
码重为 3
“ 0 1 1 0 1 1” 的距离为 3
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曹丽娜
码距的几何意义：
➢ 对于3位的编码组，可用3维空间来说明
➢ 各顶点之间沿立方体各边行走的几何距离 —— 码距=2
（4个许用码组之间）
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最小码距d0 和检纠错能力的关系
对于（n，k）分组码，有以下结论：
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§11.1
概述
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为保证运送途中不出现打碎灯泡的情况 ——可靠性
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——有效性
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通信中的情况：
针对乘性干扰 — 采用均衡等措施
针对加性干扰
合理选择调制/解调方法，增大发射功率
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差错控制编码
同特性的信道。
ARQ的主要缺点：
需双向信道来重发，不适用单向信道和一点到多点的通信系统。 重发使得ARQ系统的传输效率降低。 信道干扰严重时，将发生因反复重发而造成事实上的通信中断。 不适用于要求实时通信的场合，例如电话通信。
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ARQ系统的原理方框图
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许用码组
例
禁用码组
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这时，能够发现 2个以下错码，或者纠正 1位 错码 。
例
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综上所述：
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k --- 信息码元位数 R c n --- 编码后码字位数
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不同的编码方法，检错 或 纠错 能力也不同 。
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课件
美工设计：陈英
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技术支持：张嘉等人
曹丽娜
第11章
差错控制编码
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通信原理（第7版）
樊昌信 曹丽娜 编著
曹丽娜
本章内容
第11章 差错控制编码
基本概念 —差控方式 编码原理 码距 码率 性能 简单实用码 —奇偶监督 恒比码 正反码 线性分组码 —汉明码 监督矩阵H、生成矩阵G 循环码 — 生成多项式 编译方法 BCH码 RS码 卷积码 — 编译原理 代数表述 几何表述 Turbo码 低密度奇偶校验码 网格编码调制 —TCM信号的产生与解调
曹丽娜
例
解 根据偶数监督规则：
编出的码字应为 ： 11011
若收到 10011，检测结果为：1 0 0 1 1 1---存在错码
若收到 00011，检测结果为：0 0 0 1 1 0---认为无错
可见，奇偶监督码 不能 检出 偶数 个错码。
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11.4.2 二维奇偶监督码（方阵码）
通信原理差错控制编码课件
汉明码特点:
式
中的等号成立，即:
最小码距： 编码效率：
d0 = 3 （纠1或检2）
r 是不小于3
的任意正整数
当 n很大和 r 很小时，码率 Rc 接近 1。
答：最小码距: d0 =3
故能 纠1 或检2
线性分组码的一般原理 H ---监督矩
阵
将前面(7, 4)汉明码的监督方程：
改写为：
表示成如下矩阵形式：
A(x) = h(x)g(x)
而生成多项式 g(x) 本身也是一个码组，即有
A (x) = g(x)
∵码组 A(x)是一个 (n – k)次多项式，故 xkA(x) 是一个n次多项式。
由式
可知， xk A(x)在模 (xn + 1) 运算下也是一个码组，故可写成
38
上式左端分子和分母都是n次多项式，故商式Q(x) = 1。上式可化成
§11.5
（n, k）线性分组码
基本概念
线性码：按照一组线性方程构成的代数码。
即每个码字的监督码元是信息码元的线性组合。 代数码：建立在代数学基础上的编码。
汉明码的构造原理
只有一位监督元
---监督关系式
若 S=0，认为无错（偶监督时）；若 S=1，认为有错 。---检错
若要构造具有纠错能力的（n，k）码，则需增加督元的数目。
在上表中的(23, 12)码称为戈莱(Golay)码。其最小码距为7，能纠3个 随机错码；其生成多项式系数 (5343)8 = (101 011 100 011)2，对应 g(x) = x11 + x9 + x7 + x6 + x5 + x + 1，且解码容易，实际应用较多。
《通信原理》 差错控制编码共161页文档
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
(樊昌信第七版)通原第11章信道编码1
第11章差错控制编码
纠错码与检错码是从应用角度划分的。如果换一个角度，从不同的 侧面去看问题，可以对纠错码作出不同的归类。 (一) 按照对信息序列的处理方法分成分组码和卷积码。 分组码（Block code）——将信息序列每k位分为一组，编码器对 每组的k位信息按一定的规律产生r个校验位（监督元），输出长度 为n=(k+r)的码字。每一码组的(n-k)个校验位仅与本码组的k个信息 位有关，而与别组的信息无关。 卷积码（convolutional code）——编码器给每k0位信息加上(n0-k0) 位校验后得到长度为n0的码字。与分组码不同的是，该码字的编码 运算不仅与本段k0位信息有关，而且还与位于其前面的m组k0位信 息有关。我们称这种码为 (n0,k0,m)卷积码。 (二) 按照校验位与信息位的关系，分为线性码与非线性码。 线性码(linear code)——校验元是信息元的线性组合，编码器不带 反馈回路。 非线性码(nonlinear code)——校验元与信息元不满足线性关系。由 于非线性码的分析比较困难，早期实用的纠错码多为线性码。但当 今发现的好码很多恰恰是非线性码
8
第11章差错控制编码
11.2 纠错编码的基本原理
分组码基本原理：举例说明如下。
设有一种由3位二进制数字构成的码组，它共有8种不同 的可能组合。若将其全部用来表示天气，则可以表示 8种 不同天气，
例如：“000”（晴），“001”（云）， “010”（阴），“011”（雨）， “100”（雪），“101”（霜），
通信原理
1
通信原理
第11章差错控制编码
2
第11章差错控制编码
11.1 概述
通信原理(第7版)-第11章差错控制编码
曹丽娜
例
解 根据偶数监督规则：
编出的码字应为 ： 11011
若收到 10011，检测结果为：1 0 0 1 1 1---存在错码
若收到 00011，检测结果为：0 0 0 1 1 0---认为无错
可见，奇偶监督码 不能 检出 偶数 个错码。
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11.4.2 二维奇偶监督码（方阵码）
改写为：
a6 a5 a4 a2 0 a6 a5 a3 a1 0 a6 a4 a3 a0 0
1a61a51a40a31a20a10a00 1a61a50a41a30a21a10a00 1a60a51a41a30a20a11a00
表示成如下矩阵形式：
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简记为 或
监督矩阵
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G 和H 的关系
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校正子与错误图样
设发送码组为一个n列的行矩阵 A， 接收码组的行矩阵 B
A a n 1 a n 2 a 1 a 0 B b n 1 b n 2 b 1 b 0
D点
10-4
10-5
可见：能节省功率 2 dB
——称为编码增益
10-6
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2PSK调制
编 码 A• 前 •
B• 编 码C
•后 • D
信噪比 (dB)
曹丽娜
—— 付出的代价是带宽增大。 因此，纠错码主要应用于功率受限而带宽不太受限的信道中。
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传输速率RB 和 信噪比Eb/n0的关系
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§11.2
通信原理第11章差错控制编码分析
接收端将接收到的信码原封不动地转发回发端， 并与原发送信码相比较，若发现错误，发端再重 发。
发
数据信息 数据信息
收
图11.1-6 信息反馈法
第11章 差错控制编码
11.1
概述
收端把收到的数据序列全部经反向信道送回发
端，发端比较发出和送回的数据序列，从而发 现有否错误，如果有错误，发端将数据序列再 次传送，直到发端没有发现错误。
编码二： 消息A----“00”；消息B----“11” 最小码距2 若传输中产生一位错码，则变成“01”或“10”， 收端判决为有错（因“01”“10”为禁用码组），但 无法确定错码位置，不能纠正，该编码具有检出 一位错码的能力。 这表明增加一位冗余码元后码具有检出一位错 码的能力
第11章 差错控制编码
11.1
概述
差错控制编码属信道编码，要求在满足有效性 前提下，尽可能提高数字通信的可靠性。 差错控制编码是在信息序列上附加上一些监督 码元，利用这些冗余的码元，使原来不规律的或 规律性不强的原始数字信号变为有规律的数字信 号。例如奇偶校验。 差错控制译码则利用这些规律性来鉴别传输过 程是否发生错误，或进而纠正错误。
11.2
差错控制编码的基本原理
（2）最小码距与检错和纠错能力的关系
一个码能检测e个错码，则要求其最小码dmin≥e+1
一个码能纠正t个错码，则要求其最小dmin≥2t+1 一个码能纠正t个错码，同时能检测e个错码，则要
求其最小码距
dmin≥e+t+1 (e>t)
第11章 差错控制编码
11.2
11.1
概述
（1）检错重发法（ARQ） Automatic Repeat reQuest 收端在接收到的信码中发现错码时，就通 知发端重发，直到正确接收为止。例如奇偶 校验。 检错重发方式只用于检测误码，能够在接 收单元中发现错误，但不一定知道该错误码 的具体位置。 需具备双向信道。
通信原理—差错控制编码基本理论
差错控制概述1. 差错的概念所谓差错，就是在通信接收端收到的数据与发送端实际发出的数据出现不一致的现象。
2. 差错类型通信信道的噪声分为热噪声和冲击噪声两种。
由这两种噪声分别产生两种类型的差错，随机差错和突发差错。
热噪声是由传输介质导体的电子热运动产生的，它的特点是：时刻存在，幅度较小且强度与频率无关，但频谱很宽，是一类随机噪声。
由热噪声引起的差错称随机差错。
此类差错的特点是：差错是孤立的，在计算机网络应用中是极个别的。
与热噪声相比，冲击噪声幅度较大，是引起传输差错的主要原因。
冲击噪声的持续时间要比数据传输中的每比特发送时间要长，因而冲击噪声会引起相邻多个数据位出错。
冲击噪声引起的传输差错称为突发差错。
常见的突发错是由冲击噪声（如电源开关的跳火、外界强电磁场的变换等）引起，它的特点是：差错呈突发状，影响一批连续的bit （突发长度）。
计算机网络中的差错主要是突发差错通信过程中产生的传输差错，是由随机差错和突发差错共同构成的。
3. 误码率数据传输过程中可用误码率Pe来衡量信道数据传输的质量，误码率是指二进制码元在数据传输系统中出现差错的概率，可用下式表达：发生差错的码元数传输旳总码元数4. 差错控制差错控制是指在数据通信过程中能发现或纠正差错，将差错限制在尽可能小的允许范围内差错检测是通过差错控制编码来实现的；而差错纠正是通过差错控制方法来实现的。
差错控制编码差错控制编码的原理是：发送方对准备传输的数据进行抗干扰编码，即按某种算法附加上一定的冗余位，构成一个码字后再发送。
接收方收到数据后进行校验，即检查信息位和附加的冗余位之间的关系，以检查传输过程中是否有差错发生。
差错控制编码分检错码和纠错码两种，检错码是能自动发现差错的编码，纠错码是不仅能发现差错而且能自动纠正差错的编码。
衡量编码性能好坏的一个重要参数是编码效率R：kA =—=i-br其中，n表示码字的位长，k表示数据信息的位长，r表示冗余位的位长。
北京理工大学《通信原理》第11章-差错控制编码
但是这种码不能发现一个码组中的两个错码，因为发生两
个错码后产
检错和纠错
上面这种编码只能检测错码,不能纠正错码。例如，当接收码 组为禁用码组“100”时，接收端将无法判断是哪一位码发生了 错误，因为晴、阴、雨三者错了一位都可以变成“100”。
要能够纠正错误，还要增加多余度。例如，若规定许用码组只 有两个：“000”（晴），“111”（雨），其他都是禁用码组， 则能够检测两个以下错码，或能够纠正一个错码。
例如：“000”（晴），“001”（云），
“010”（阴），“011”（雨），
“100”（雪），“101”（霜），
“110”（雾），“111”（雹）。
其中任一码组在传输中若发生一个或多个错码，则将变 成另一个信息码组。这时，接收端将无法发现错误。
12
第11章差错控制编码
若在上述8种码组中只准许使用4种来传送天气，例如：
若码组A中发生两位错码，则其位置不会超出以O点为圆 心，以2为半径的圆。因此，只要最小码距不小于3，码 组A发生两位以下错码时，
不可能变成另一个准用 码组，因而能检测错码 的位数等于2。
0123
A
B 汉明距离
e
d0
19
第11章差错控制编码
同理，若一种编码的最小码距为d0，则将能检测(d0 - 1)个错码。 反之，若要求检测e个错码，则最小码距d0至少应不小于( e + 1)。
N － 码组的总位数，又称为码组的长度（码长）， k － 码组中信息码元的数目， n – k ＝ r － 码组中的监督码元数目，或称监督位数目。
16
第11章差错控制编码
分组码的码重和码距
码重：把码组中“1”的个数称为码组的重量，简称码重。 码距：把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组
樊昌信《通信原理》(第7版)章节题库(差错控制编码)【圣才出品】
第11章 差错控制编码一、填空题1．码长为31的汉明码，其监督位r 应为 ；编码效率为 。
【答案】r ＝5；26／31【解析】由汉明码的定义可知21r n =-，所以可得其监督位r ＝5。
其编码效率为315263131k n r n n --===2．汉明码是一种能纠 位错码、最小码距为 的线性分组码。
【答案】1；d 0＝3【解析】汉明码能够纠正一个错误或检测两个错码，最小码距为3。
3．已知信道中传输1100000、0011100、0000011三个码组，则其可检测 位错码，可纠正 位错码。
【答案】3；1【解析】在一个分组码中，若检测e 位错码，则要求01d e ≥+；若纠正t 位错码，则要求021d t ≥+。
由题可知，码组间的最小码距为04d =，所以可以检测3位错码，可以纠正1位错码。
4．在分组码中，若要在码组内检测2位错码同时纠正1位错码的最小码距为【答案】4【解析】在一个分组码中，若检测e位错码，同时纠正t位错码，则要求01d t e≥++，且e t>。
故检测2位错码同时纠正1位错码的最小码距为04d=。
5．奇偶监督码有位监督码，能发现个错码，不能检出个错码。
【答案】1；奇数；偶数【解析】奇偶监督码分为奇数监督码和偶数监督码，两者原理相同，有1位监督码。
在接收端按“模2和”运算，故能发现奇数个错码，不能检测出偶数个错码。
6．线性分组码的最小码距为4，若用于纠正错误，能纠正位错误；若用于检测错误，能检测位错误。
【答案】1；3【解析】在一个分组码中，若检测e位错码，要求01d e≥+；若纠正t位错码，要求021d t≥+。
最小码距为04d=，所以可以检测3位错码，可以纠正1位错码。
7．某循环码的生成多项式为g（x）＝x4＋x2＋x＋1，该循环码可纠正位错码，可检出位错码。
【答案】1；3【解析】循环码的生成多项式的项数即为循环码的最小码距。
由题可知该循环码的最小码距为d0＝4，又要求01d e≥+，021d t≥+，所以该循环码可纠正1位错码，可检测3位错码。
差错控制编码
第3章信道编码 (2)3.1差错控制方式 (2)3.2信道编码 (3)3.2.1 差错控制编码的基本原理 (3)3.2.2 差错控制编码的分类 (4)3.2.3 差错控制编码的基本概念 (5)3.3常见的几种检错码 (7)3.3.1 奇偶校验码 (7)3.3.2 水平奇偶校验码 (8)3.3.3 水平垂直奇偶校验码 (9)3.3.4 恒比码 (9)3.3.5群计数码 (10)3.4线性分组码 (11)3.4.1 基本概念 (11)3.4.2 线性分组码的编码 (12)3.4.3 线性分组码的译码 (16)3.5循环码 (18)3.5.1 基本概念 (18)3.5.2 循环码的编码 (25)3.5.3 循环码的译码 (27)3.5.4 常见的几种循环码 (29)3.6BCH码 (30)3.7RS码 (33)3.7.1 RS码的编码 (34)3.7.2 RS码的译码 (35)3.8卷积码 (36)3.8.1 基本概念 (36)3.8.2 卷积码的图解表示 (38)3.8.3 卷积码的译码 (40)3.9几种新的编码方法 (42)3.9.1 网格编码调制（TCM） (42)3.9.2 TURBO码 (47)8.9.3LDPC码 (49)3.9.4喷泉码 (51)本章小结 (56)习题 (57)第3章信道编码在数字通信系统中，干扰会使信号产生变形，致使接收端产生误码，这将严重影响数字通信系统的可靠性。
为了提高数字通信系统的可靠性，除了可采用均衡技术来消除乘性干扰引起的码间串扰外，还可以通过对所传数字信息进行特殊的处理（即信道编码）对误码进行检错和纠错，进一步降低误码率，以满足通信的传输要求。
因此，信道编码是提高数字通信系统可靠性的有效措施之一，能提高传输质量1~2个数量级。
信道编码的目的就是通过加入冗余码来减小误码，进而提高数字通信的可靠性。
香农第二定理指出：对于一个给定的有扰信道，若该信道容量为C，则只要信道中的信息传输速率R小于C，就一定存在一种编码方式，使编码后的误码率随着码长n的增加而按指数下降到任意小的值。
差错控制与信道编码数据通信原理
差错控制与信道编码数据通信原理1. 引言在数据通信中，差错控制和信道编码是两个重要的概念。
差错控制是指通过在发送端和接收端添加一些冗余信息，以检测和纠正数据传输中出现的错误。
信道编码则是通过对数据进行编码，在发送端添加一些冗余信息，以提高在有噪声或其他干扰的信道中的传输质量。
本文将介绍差错控制和信道编码的基本原理及其在数据通信中的应用。
2. 差错控制差错控制是一种在数据传输中检测和纠正错误的技术。
它可以有效地减少在数据传输过程中产生的差错，提高数据传输的可靠性。
差错控制一般包括两个主要方面：错误检测和错误纠正。
2.1 错误检测错误检测是指通过在数据中添加冗余信息，使接收端能够检测出在传输过程中是否发生了错误。
常见的错误检测方法包括纵向冗余校验（Vertical Redundancy Check，简称VRC）、循环冗余校验（Cyclic Redundancy Check，简称CRC）等。
在VRC中，数据在传输前会添加一个校验位，该校验位是通过对数据中每个字节进行奇偶校验得到的。
接收端在接收到数据后，会重新计算校验位，并与接收到的校验位进行比较，从而判断出是否存在错误。
在CRC中，数据在传输前会进行一系列的运算，生成一段校验码，并将该校验码添加到数据中。
接收端在接收到数据后，会重新进行运算，生成校验码，并与接收到的校验码进行比较，从而判断是否存在错误。
CRC具有更高的错误检测能力，广泛应用于数据通信中。
2.2 错误纠正错误纠正是指通过添加冗余信息，使接收端能够检测出并纠正在传输过程中发生的错误。
常见的错误纠正方法包括海明码（Hamming Code）和奇偶校验码等。
在海明码中，数据会经过一系列的运算，生成一段冗余码，并将该冗余码添加到数据中。
接收端在接收到数据后，会进行一系列的运算，检测并纠正数据中的错误。
海明码具有较好的纠错能力，广泛应用于存储介质和数据通信中。
在奇偶校验码中，数据在传输前会进行奇偶校验处理，生成一个校验位，并将该校验位添加到数据中。