阻尼性能-材料物性
新型阻尼材料的制备及性能研究
新型阻尼材料的制备及性能研究随着科技的不断进步，新型材料的开发应用随之不断涌现。
阻尼材料作为一种应用广泛的新型材料，在航空航天、汽车、机械等领域被广泛应用，成为了高技术领域发展的重要支柱之一。
本文将介绍新型阻尼材料的制备及性能研究的进展情况。
一、阻尼材料的概念及分类阻尼材料是指在振动或冲击过程中，可以吸收或消耗能量，从而减小振动或冲击强度的材料。
阻尼材料主要分为三类，分别是金属阻尼材料、聚合物阻尼材料和复合阻尼材料。
金属阻尼材料是指利用金属材料的塑性变形、晶界滑移、形变局部化等机制，吸收和耗散振动及冲击能量的一类材料。
金属阻尼材料一般具有高温稳定性和重量轻的优点，但是存在成本高、制备难度大等问题。
聚合物阻尼材料是指采用聚合物基体和一定助剂添加量制备而成的材料。
聚合物阻尼材料多用于在低温、中低频振动环境下，积极利用分子团聚结构吸附、吸收、消耗机械能，减小振动、噪声、冲击的强度。
复合阻尼材料是指将金属阻尼材料、聚合物阻尼材料和其他可用于阻尼材料方面的复合型材料各种材料经过一定比例混合而成。
二、1. 石墨烯阻尼材料石墨烯作为一种新型材料，具有良好的导电性、导热性、和强度，深受科研界的关注。
研究人员在石墨烯材料表面引入氮或硫等元素，制备出了新型的石墨烯阻尼材料。
石墨烯阻尼材料具有很高的吸能特性，在高频振动时表现出优良的阻尼性能。
该材料还具有良好的导电性，可以用于电化学传感器、防静电材料等领域。
2. 超疏水阻尼材料超疏水材料被应用于各种材料表面涂层中，作为一种新型的表面涂层材料。
由于其高纳米结构，可以抑制液滴在表面的粘附，提高材料表面的阻尼性能。
最近，研究人员在超疏水材料的基础上设计了超疏水阻尼材料，该材料可以在极短的时间内从振动中吸收大量的能量，减少机械结构的振动幅值。
这种材料具有应用前景广阔，可以被应用于空间舱、加油机和汽车等领域。
3. 纳米氧化铝阻尼材料纳米粒子可以作为阻尼材料中的助剂添加，来提高材料的性能。
浅谈阻尼的分类
浅谈阻尼的分类
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阻尼 (damping) 是指任何振动系统在振动中，由于外界作用或系统本身固有的原因引起的振动幅度逐渐下降的特性，以及此一特性的量化表征。
阻尼阻碍物体的相对运动、并把运动能量转化为热能或其他可以耗散能量。
常见的阻尼主要包括材料阻尼（内部阻尼）、结构阻尼、流体阻尼三大类。
1. 材料阻尼（内部阻尼）：包括粘性阻尼和滞后阻尼
材料内部颗粒摩擦、缺陷变化，机械能转化为热能，能量在内部就被部分消耗。
应力-应变曲线存在一个迟滞回线，回线的面积等于克服阻尼力所做的功也是每周期振动耗散的能量。
粘性阻尼：在稳态振动的一个周期内，耗能与激励频率显著相关。
滞后阻尼：耗能并不显著地取决于激励频率，但与应变大小有显著关系：大小与位移成正比，方向与速度方向相反。
2. 结构阻尼
结构存在支撑、连接或声辐射都会在振动过程中消耗能量典型的有，由于干摩擦产生的耗能，称为库伦阻尼，阻尼力模型：
3. 流体阻尼
结构在流体中运动，包含振动，受到的阻力。
与流体介质的密度、黏性等都有关，一般与速度的平方成比例。
在低密度介质（空气）中低速运动，一般采用线性模型。
4. 等效阻尼
由于其它阻尼模型相对复杂，因此常将其它模型等效为黏性阻尼进行计算。
等效阻尼通过能量相等进行参数代换。
在简谐振动稳态响应的一个周期内，黏性阻尼耗能πcωA²=其他阻尼耗能WD。
阻尼主要在共振区内起作用
对应的等效黏性阻尼比
'。
阻尼性能及阻尼机理综述
阻尼性能及阻尼机理前言机械构件受到外界激励后将产生振动和噪声；宽频带随机激振引起结构的多共振峰响应，可以使电子器件失效，仪器仪表失灵，严重时甚至造成灾难性后果。
目前，武器装备和飞行器的发展趋向高速化和大功率化，因而振动和噪声带来的问题尤为突出[1]。
振动也会影响机床的加工精度和表面粗糙度，加速结构的疲劳损坏和失效，缩短机器寿命；另外振动还可以造成桥梁共振断裂，产生噪声，造成环境污染[2]。
由此可见，减振降噪在工程结构、机械、建筑、汽车，特别是在航空航天和其他军事领域具有及其重要的意义。
阻尼技术是阻尼减振降噪技术的简称。
通常把系统耗损振动能或声能的能力称为阻尼，阻尼越大，输入系统的能量则能在较短时间内耗损完毕。
因而系统从受激振动到重新静止所经历的时间过程就越短，所以阻尼能力还可理解为系统受激后迅速恢复到受激前状态的一种能力。
由于阻尼表现为能量的内耗吸收，因此阻尼材料与技术是控制结构共振和噪声的最有效的方法[1]。
研究阻尼的基本方法有三大类[1~3]：（1）系统阻尼。
就是在系统中设置专用阻尼减振器，如减振弹簧，冲击阻尼器，磁电涡流装置，可控晶体阻尼等。
（2）结构阻尼。
在系统的某一振动结构上附加材料或形成附加结构，增大系统自身的阻尼能力，这类方法包括接合面、库伦摩擦阻尼、泵动阻尼和复合结构阻尼。
（3）材料阻尼。
是依靠材料本身所具有的高阻尼特性达到减振降噪的目的。
它包括粘弹性材料阻尼、阻尼合金和复合材料阻尼。
本文主要论述阻尼材料的表征方法，阻尼分类，阻尼测试方法，各种阻尼机理，高阻尼合金及其复合材料，高阻尼金属材料最新研究进展，高阻尼金属材料发展中存在的问题及发展方向，高阻尼金属的应用等内容。
第一章内耗（阻尼）机理1.1、内耗（阻尼）的定义振动着的物体，即使与外界完全隔绝，其机械振动也会逐渐衰减下来。
这种使机械能量耗散变为热能的现象，叫做内耗，即固体在振动当中由于内部的原因而引起的能量消耗。
在英文文献中通用“internal friction”表示内耗。
多孔材料的阻尼性能研究
多孔材料的阻尼性能研究引言在工程领域中，阻尼材料的性能研究一直是一个重要的课题。
随着科技的进步，越来越多的多孔材料被应用于各种结构中，如声学、振动控制和能量吸收等领域。
本文将探讨多孔材料的阻尼性能，并介绍一些相关研究成果。
多孔材料的特性多孔材料是指具有孔隙结构的材料，这些孔隙可以是连通的，也可以是不连通的。
多孔材料的特点是具有较低的密度和高的孔隙率。
这种特性使得多孔材料在能量吸收和振动控制方面具有独特的性能。
阻尼机理多孔材料的阻尼机理主要包括内耗阻尼和摩擦阻尼。
内耗阻尼是指材料在振动过程中因分子摩擦和弹性变形而产生的能量损耗。
摩擦阻尼是指材料表面和空气之间的相互作用导致的能量耗散。
这两种阻尼机理共同作用，使得多孔材料具有较好的阻尼性能。
多孔材料在振动控制中的应用多孔材料在振动控制中有广泛的应用。
例如，在机械领域中，通过将多孔材料嵌入结构中，可以有效地减少机械振动的幅度。
在建筑领域中，多孔材料可以用于减少建筑物的噪声和振动传递。
在航空航天领域中，多孔材料可以减少飞行器的振动，提高飞行的平稳性和安全性。
多孔材料的阻尼性能研究方法目前，多孔材料的阻尼性能研究主要通过实验和数值模拟来进行。
实验方法包括共振箱法、阻尼试验和冲击试验等。
数值模拟方法主要采用有限元分析和声学模拟等技术进行。
这些研究方法可以帮助我们了解多孔材料的阻尼特性，为优化材料的设计提供参考。
多孔材料的阻尼性能优化为了进一步提高多孔材料的阻尼性能，有必要对材料的微观结构和物理性质进行优化。
一种方法是通过控制孔隙结构的大小和分布来调节材料的阻尼性能。
另一种方法是改变材料的组成和制备工艺，以增加材料的内耗能力。
这些优化方法能够有效地改善多孔材料的阻尼性能，并为实际应用提供更好的解决方案。
结论多孔材料的阻尼性能研究是一个具有重要实际意义的课题。
通过深入研究多孔材料的阻尼机理和优化方法，有望开发出更具竞争力的高性能多孔材料。
这将有助于解决许多工程领域中的振动和噪声问题，提高设备的稳定性和可靠性。
金属材料的阻尼性能与阻尼材料应用
金属材料的阻尼性能与阻尼材料应用随着工业技术的不断发展，金属材料在各个领域中的应用越来越广泛。
然而，金属材料在某些特殊环境下会出现振动和共振现象，这对设备的运行和结构的稳定性会造成一定的影响。
为了解决这一问题，人们开始研究金属材料的阻尼性能以及阻尼材料在金属结构中的应用。
一、金属材料的阻尼性能1. 阻尼的定义和作用阻尼是指材料对振动或波动所产生的能量吸收和耗散能力。
在金属材料中，阻尼可用来消除振动和共振现象，提高结构的稳定性。
2. 金属材料的内耗机制金属材料的阻尼主要通过材料内部晶界的滑移、位错的运动、材料的相变等机制来实现。
这些机制可以将机械能转化为热能，从而实现对振动能量的耗散。
3. 影响金属材料阻尼性能的因素金属材料的阻尼性能受到多种因素的影响，包括材料的组织结构、纯度、织构、气孔和缺陷等。
合理设计和处理这些因素，可以显著提高金属材料的阻尼性能。
二、阻尼材料在金属结构中的应用1. 阻尼材料的分类和特点阻尼材料可分为粘滞阻尼材料和粘弹性阻尼材料两类。
粘滞阻尼材料表现为黏性和流动性，而粘弹性阻尼材料则同时具有弹性和黏性特性。
2. 阻尼材料在减振系统中的应用阻尼材料广泛应用于减振系统中，例如在建筑物结构中的使用，可以减少地震或风振对建筑物的影响。
阻尼材料还常见于航空航天领域和机械制造业，用于减少噪音和振动。
3. 阻尼材料在振动控制中的应用阻尼材料也广泛应用于振动控制系统中。
通过在结构中引入阻尼材料，可以有效减少结构的共振现象，提高结构的可靠性和稳定性。
4. 阻尼材料在汽车工业中的应用在汽车领域，阻尼材料常用于降低车辆的振动和噪音。
例如，在底盘系统和车身结构中加入阻尼材料，可以显著提升车辆的乘坐舒适性。
结论：金属材料的阻尼性能和阻尼材料的应用对于提高结构的稳定性和振动控制至关重要。
通过深入研究金属材料的阻尼性能及阻尼材料的应用，可以为各个行业提供更加安全、可靠和高效的解决方案。
（字数：601字）。
聚合物材料的阻尼性能研究
聚合物材料的阻尼性能研究聚合物材料的阻尼性能研究一直以来都是材料科学领域的热点之一。
随着科技的不断进步，人们对材料的要求也越来越高，特别是在抗震、减振等工程领域中，对材料的阻尼性能提出了更高的要求。
在这篇文章中，我们将探讨聚合物材料的阻尼性能研究的现状、挑战和前景。
第一部分：聚合物材料的基本特性聚合物材料是由许多相同或不同单体分子在一定条件下反应而成的高分子化合物。
由于其分子链的可塑性和有机物的化学性质，聚合物材料具有许多独特的特性，如轻质、高强度、良好的耐腐蚀性等。
然而，聚合物材料在受力时存在着较低的阻尼性能，这限制了其在工程实践中的应用。
第二部分：聚合物材料阻尼性能的影响因素聚合物材料的阻尼性能受到多种因素的影响。
首先，聚合物的链段结构决定了其分子的运动方式。
线性聚合物分子链的运动方式与空间结构相关，而支化聚合物分子链则会导致分子链的受限运动。
其次，聚合物材料的结晶性也影响着其阻尼性能。
结晶度高的材料具有较高的刚度和弹性模量，而非晶态聚合物则表现出较好的阻尼性能。
此外，添加剂的种类和含量、温度和湿度等环境条件也会对聚合物材料的阻尼性能产生影响。
第三部分：聚合物材料阻尼性能的提升方法为了提高聚合物材料的阻尼性能，研究人员们采取了许多方法。
一种常见的方法是通过添加填充材料来改变聚合物材料的力学性能。
纳米填料、纤维素和碳纳米管等材料的添加可以显著改善聚合物的阻尼性能。
另外，改变聚合物材料的化学结构也是提升其阻尼性能的重要途径。
例如，通过合理选择单体和反应条件，可以合成出具有较好阻尼性能的聚合物材料。
第四部分：聚合物材料阻尼性能研究的挑战尽管在聚合物材料的阻尼性能研究中已经取得了一些重要的成果，但仍然存在一些挑战。
首先，聚合物材料的阻尼性能受到多个因素的综合影响，如填充材料与基体材料的相互作用、材料的制备方法等等，这使得研究工作变得复杂。
其次，聚合物材料的阻尼性能评价方法尚不完善，缺乏统一的标准和有效的测试方法。
浅析阻尼材料阻尼性能测试方法
浅析阻尼材料阻尼性能测试方法【摘要】综合测定复合阻尼材料的阻尼性能，保证其对结构有缓冲振动冲击、噪声和疲劳破坏的作用，对促进复合材料的发展有着积极的意义。
本文结合试验展开探讨，使用科学合理的方法对比分析了玻璃纤维和碳纤维复合材料单向板试件阻尼，期望能给人们这方面有意的参考。
【关键词】阻尼；悬臂梁；纤维增强复合材料；试验0.引言随着我国经济的不断增长和科学技术的发展，各行各业对复合材料的使用越来越多。
但是由于复合材料的阻尼性能受到许多因素的影响，如何深入研究这些因素来提高复合材料的阻尼性能，更好地使用复合材料成为了人们关心的问题。
下面就通过试验对这方面进行相关的讨论分析。
1.理论预测模型预测正交各向复合材料梁的阻尼性能是由Adamset、Bacon和Ni-Adams开始研究的。
Ni-Adams通过考虑对称铺设复合材料梁的正应力ζ1、正应变ε1、剪切应变γ1及其耦合的影响，对阻尼元的模型进行了修改，提高了预报的精度。
主要考虑纤维角度和固有频率对于材料阻尼的影响。
Adams和Maheri同样使用了Adams-Bacon法对玻璃纤维和碳纤维层合板阻尼性能随着缠绕角度变化影响的研究。
Yim-Jang更多的使用了Adams-Bacon法研究各种类型的复合材料层合板面内剪切时的阻尼因子的情况。
2.实验分析复合材料阻尼性能与纤维角度、振动频率、树脂含量等多种因素有关，常用的测试方法有自由衰减法、相位法、振动法等。
2.1自由衰减法将所测试复合材料制成试样，测定试样底部响应衰减曲线，自由振动的振幅衰减速度和阻尼直接相关，用来衡量系统的阻尼特性。
以自由振动时相继两次振动振幅比值的自然对数表示阻尼：δ=In （1）自由衰减法的测设系统主要包括试样端部装置，激励信号系统和接受信号部分，由信号发生器通过电磁能转换器对试样施加激振力，然后由检测装置经信号放大器送入记录和分析仪器进行数据处理，计算阻尼因子。
2.2相位法通过测量频率而变化的相位差求的材料损耗因子的连续频率谱线。
阻尼材料的定义和分类
阻尼材料的定义和分类1. 阻尼材料的定义阻尼材料是一种能够吸收和耗散能量的材料，用于减少振动、噪声或冲击的传递。
它可以将机械能转化为其他形式的能量，从而减少结构或系统的振动幅度和能量传递。
阻尼材料广泛应用于航空航天、建筑、交通工具等领域，以提高结构的稳定性、减少噪声和延长设备寿命。
不同类型的阻尼材料适用于不同频率范围和振动模式。
2. 阻尼材料的分类根据其工作原理和结构特点，阻尼材料可以分为以下几类：2.1 粘性阻尼材料粘性阻尼材料是最常见也是最简单的一类阻尼材料。
它通过在结构中引入黏滞剂来消耗振动能量。
黏滞剂可以是液体或者高分子物质，如油脂或聚合物。
粘性阻尼材料具有良好的耗散特性，在宽频率范围内都能发挥作用。
然而，由于黏滞剂的流动性，粘性阻尼材料的阻尼效果会随温度和频率的变化而改变。
2.2 损耗因子阻尼材料损耗因子阻尼材料是一种通过改变结构中的弹性模量来实现阻尼效果的材料。
它利用了材料内部分子间的摩擦和能量耗散来减少振动传递。
损耗因子阻尼材料通常由两种或多种不同刚度的材料层叠组成，其中一层具有较高的刚度，另一层具有较低的刚度。
当结构振动时，不同刚度层之间会发生相对滑动，从而产生摩擦和能量损耗。
2.3 磁流变阻尼材料磁流变阻尼材料是一种利用磁流变效应实现阻尼控制的智能材料。
它由磁流变液体和载体组成，在外加磁场作用下，可调节其黏滞特性。
磁流变液体是一种含有微小粒子的流体，当施加磁场时，液体内的微小粒子会发生排列和聚集，从而改变液体的黏滞特性。
通过控制外加磁场的强度和方向，可以实现对磁流变阻尼材料阻尼效果的调节。
2.4 液态阻尼材料液态阻尼材料是一种使用液体作为阻尼介质的材料。
它通常由容器、液体和活塞组成。
当结构振动时，活塞在液体中产生阻力，从而减少振动能量传递。
液态阻尼材料具有较高的耗散能力和稳定性，并且不受温度和频率影响。
然而，由于需要使用密闭容器来包裹液体，在设计和制造上具有一定的复杂性。
3. 阻尼材料的应用不同类型的阻尼材料适用于不同领域和应用：•粘性阻尼材料广泛应用于建筑结构、桥梁、机械设备等领域，以减少地震或风振引起的结构损伤。
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材料的阻尼性能（内耗）一．内耗的概念大家都有这样的经验，振动的固体会逐渐静止下来。
如我们用一个铜丝吊一个圆盘使其扭动，即使与外界完全隔绝，在真空环境下也会停止下来。
这说明使振动得以停止的原因来自物体内部，物质不同会有不同的的表现，如改用细铅丝悬挂，振动会较快停下来。
我们把“机械振动能量由于内部的某种物理过程而引起的能量耗损称为内耗”能量损耗的大小对应着内耗损耗的大小，上面铅丝的内耗就比铜丝大（损耗大，衰减快，停得快）。
对于高频振动（兆赫芝以上），这种能量损耗又称超声衰减。
在工程领域又称内耗为阻尼。
在日常生活中，内耗现象相当普遍。
例如，古代保留下来的一些大钟，制造水平很高，敲击后余音不绝，这反映铸钟用的合金材料的内耗很低。
不过一旦钟出现裂纹，其声音便会很快停止下来，表明内耗已大为增加。
又如，人的脊椎骨的内耗很大，这样人走动时脚下的剧烈振动才不会传到人的大脑，而引起脑震荡。
在社会生活中，则常借用内耗概念来比喻一个单位内部因相互不配合使工作效率下降的现象。
关于内耗的研究主要集中在两个方面，一是寻求适合工程应用的有特殊阻尼本领的材料（通常用在两头。
内耗极小的材料，如制备钟表游丝，晶场显微镜的探针材料；内耗很大的材料，如隔音材料，潜艇的螺旋桨及风机）。
二是内耗的物理研究，由于内耗对固体中缺陷的运动及结构的变化敏感（上面大钟内的微裂纹），因此，常利用内耗来研究材料中各种缺陷的弛豫及产生相变的机制。
缺陷有点缺陷（零维）：杂质原子替代原子空位缺陷有线缺陷：位错缺陷有面缺陷：晶界、相界、缺陷有体缺陷：空洞具体实验中常通过改变温度、振动频率或振幅、变温速度、试样组分及加工、热处理、辐照条件等研究各种因素对内耗的影响规律及产生内耗的机制。
上面两方面的研究是相辅相成的。
需求刺激研究，如国防军工需求，潜艇降噪的需要推动了对高阻尼材料的研究；反之，研究有助于开发，如Mn-Cu合金的内耗研究，发现材料在某一温存在一个马氏体相变，可引起很大的内耗峰，此内耗峰的峰位随材料的组分变化，故可通过调节，改变合金组成使这个内耗峰的峰温移至室温附近，以此增加合金在室温条件下的阻尼，现已用在潜艇螺旋桨的制造。
为了较深入的了解内耗，下面我们先介绍滞弹性概念。
二、滞弹性概念现已知道，引起振动能量耗散的根本原因是固体材料在应力的作用下出现了非弹性应变（完全弹性体时不产生内耗的）。
同学们中学时都学过胡克定律F=kx，σ＝Mε或σ＝Jσ细致分析一个理想弹性体要满足三个条件（1）单值性应力－应变一一对应，对应一个应力总有一个确定的应变。
（2）瞬时性响应不需要时间，瞬间完成。
（3）线性应力与应变成正比关系。
我们根据这三种性质满足的程度，作一个图表来区分几种不同类型的固体。
理想弹性体非线性弹性体滞弹性体瞬时范性体粘弹性体完全非弹性体（1）单值性√√√x x x（2）瞬时性√√x √x x（3）线性√x √x √x 滞弹性是与应变或应力非瞬时完成相联系的，即应变对应力的响应不是瞬时的，而是经过一段时间内才能完成。
（是一种非弹性应变源于应变落后于应力，我们常见的几种滞弹性表现：蠕变（或称应变弛豫）、应力弛豫、弹性后效、及内耗和模量亏损。
先看蠕变例子。
在T=0时，突然加一个恒应力σo作用于固体上。
固体除了立即产生一个瞬时弹性形变外，还将继续形变ε（t），直到稳定值。
见下图1（a）所示，（a）（b）图1- （a）滞弹性的蠕变（b）粘弹性蠕变（纵坐标应变，横坐标时间）理想弹性体对应于一条平直线，只有瞬时形变，虚线为滞弹性体的平衡值σo1J R，有σo1→σo1 J R1σo2→σo2 J R1一一对应，→单值性；2σo→2σo J R3σo→3σo J R→线性；瞬时性不满足。
粘弹性体，单值性条件也不满足，见示意图（b）曲线再看内耗，交变应力作用，振动的物体。
由于应变的非瞬时响应将引起应变落后于应力，那么给试样加一个交变应力，应变对应力的响应就会出现应力――应变回线，即引起内耗。
如图2所示图2 交变应力-应变曲线，滞弹性产生回线应力回线的面积大小能反映出内耗的大小，因此，可用它定义内耗。
直线，对应完全弹性，无回滞面积，无损耗；滞弹性有回线面积出现，面积大小对应外加交变应力一周内所作的功。
三、内耗的表征（或称量度）内耗的定义有多种表现形式，主要有三种1、滞后回线法利用上面回滞曲线表示内耗。
内耗→正比于ΔW （一周的损耗），发展到ΔW／W，W为振动一周内弹性能的最大储能。
（比值，无量纲）具体求内耗数值时，利用ΔW正比于ΔA（回线面积），W由最大应力和应变的乘积决定。
为了和其它方式表示的内耗一致，一般将内耗定义为Q-1＝1／2π•ΔW／W2、由弹性模量或顺度表征内耗引入复空间，设σ＝σo e iωt相应应变ε（t）= εo o e i(ω-φ)t =εo (cosφ–isinφ) e iωt = (ε1-iε2) e i(ω-φ)t按定义，复顺度为J＝J1（ω）－iJ2（ω）tgφ=J1（ω）/J2（ω）同理有tgφ= M2（ω）/iM1（ω）下面说明tgφ与Q-1等价，可用于表征内耗。
因振动一周单位体积消耗的能量为ΔW＝∮σdε =π•J2σo2( ∮σdε=∮σo sinωt dε = ...)另一方面，最大储能（π／2处）W = ⌠σdε =1/2 J1σo2有Q-1＝1／2π•ΔW／W＝1／2π•πJ2σo2／1/2 J1σo2＝J1（ω）/J2（ω）＝tgφ说明tgφ可用于表示内耗，φ很小时可用落后的相角直接表示内耗，φ＝0.2时其误差为1%; 完全弹性体, φ=0, 内耗为零.3、非弹性应变法外加应力σ＝σo e iωt, 应变因非弹性而落后于应力一个相位φ角, 可写为两部分，见图3所示.图3 非弹性法图解ε（t）= ε’+ ε’’ = [ ε’1+ (ε1’’-iε2’’) ]e iωtε’＝ε’1 e iωtε’’ = (ε1’’-iε2’’) e iωtε’弹性，ε’’非弹性ε’1弹性，ε1’’非弹性同位相ε2’’非弹性90度位相tgφ＝ε2’’／（ε’1＋ε1’’）≈ε2’’／ε’1（a）可见内耗与非弹性应变的虚部有关复模量M ＝σ/ε =σ0/ [ ε’1+ (ε1’’-iε2’’) ]＝M（1＋itgφ）这里，M ＝σ0/ [ ε’1+ (ε1’’)＝σ0／ε’1•[1＋ε1’’/ε’1]-1 = Mu(1＋ε1’’/ε’1)-1≈ Mu(1- ε1’’/ε’1)复模量中实数部分称为动力学模量，也是实测模量。
由于非弹性存在，它小于未弛豫模量Mu（＝σ0/ε0）M ＝σ0/ [ ε’1+ (ε1’’) < σ0／ε’1称为模量亏损效应，可用ΔM/M来量度，其定义式为ΔM/M＝（Mu－M）／M ≈ε1’’/ε’1(b)由此可见，非弹性应变的实数部分导致模量亏损。
(a)，(b) 两式说明，滞弹性形变导致内耗，必然导致模亏损，并且前者与应力不同相的非弹性应变分量有关，后者与应力同相的非弹性应变分量有关。
四、内耗的测量原理Q-1＝1／2π•ΔW／W＝tgφ＝φ，φ是应变落后于应力的位相。
对晶体来说，φ一般是小量，因此直接精确测量φ是很困难的，但我们可以通过其它物理量的测量来获得φ，通常用的方法有两类。
共振系统的实验（包括强迫振动、自由衰减、磁共振）和波传播法。
（1）共振法共振系统通常有两个组元――试样和惯性元。
试样反映系统的弹性和滞弹性，用一滞弹性弹簧表示；惯性元，即用一个大M表示，其质量远大于试样。
考虑简单的一维运动情况，可用下图表示一个共振系统。
图4 两组元共振系统示意图这里φ是x落后于作用于样品上的F s的相角。
φ一般是小量，一般物体的内耗在10－3量级，直接精确测量很困难，但我们可通过其他物理量的测量，利用物理量之间的关系来求得。
共振法中又有两种模式可求tgφ，自由衰减和强迫振动。
（1）强迫振动模式（在交变外力下运动）试样质量相对惯性元质量很小，可忽略不计，系统的振动方程为m d2x/dt2 +F s =F a(1)设方程的解为x=x o e i(ωt-θ)（2）θ是x落后于F a（外力）的相角,将x=x o e i(ωt-θ)及F s=k1(1+itgφ)x ; F a =F o e iωt代入（1）式有-mω2x o e i(ωt-θ) + k1(1+itgφ) x o e i(ωt-θ)=F o e iωt（3）对比实部、虚部（等式两边实部虚部分别相等）有F0/m•cosθ=x0(ωr2－ω2 ) ωr2＝k1/m （4）F0/m•sinθ=x0ωr 2tgφ（5）上两式相比: （5）／（4）tgθ=ωr 2tgφ/ (ωr2－ω2 ) (6)（4）,（5）两式平方后相加, x02 =(F0/m)2/[(ωr2－ω2 )2+ωr 4tgφ2] (7) 从（7）看出ω=ωr时, x0有最大值(x0)max反映ωr对应着体系的共振频率。
让ω取值为ω1及ω2使x02下降至其最大值的一半。
（见图5所示）图5 振幅平方随频率的变化即x02ω1＝1／2(x0)2max，ω2(x0)2max＝(F0/m)2/[ωr 4tgφ2]，用了ω＝ωr条件即有，ωr 4tgφ2＝[(ωr2－ω1，22 )2+ωr 4tgφ2]ωr4tgφ2＝[(ωr2－ω1，22 )2tgφ＝(ωr2－ω1，22 )／ωr2→(ωr2－ω12 )／ωr2与(ω22－ωr2 )／ωr2进一步简化，(ωr－ω1 ) (ωr＋ω1 )／ωr2≈2ωr (ωr－ω1 )／ωr2＝(ωr－ω1 )／ωr(ω2－ωr) (ωr＋ω2 )／ωr2≈2ωr (ω2－ωr) ／ωr2＝(ω2－ωr) ／ωr 得，ω1＝ωr－tgφωr／2 ；ω2 ＝ωr＋tgφωr／2tgφ＝(ω2－ω1)／ωr这样通过测量ω1，ω2，ωr可求出tgφ，即内耗。
避免了直接测小φ值的困难，此法叫半宽法。
具体测量，先调共振（调ω找(x0)max，示波器上波型最高；然后，调出波形降低一半分别对应的ω1和ω2值。
（相当于收音机调台）另外，有ωr2正比于M1(ω)关系，可得到杨氏模量的相对值。
（2）自由衰减模式先对系统时加一外力使其振动，然后撤去外力，系统此时就处于自由衰减振动状态，其运动方程为mx +F s =0设方程的解为x=x o e i(ωt+iωδt/2π) = A(t)iωt ; dx/dt= i(ω0+iδω0/2π)xd2x/dt2 = - (ω0+iδω0/2π)2x = - (ω02 + iδω0/π- δ2ω02/4π2) x F s = k1(1+itgφ)x代入运动方程,- m(ω02 + iδω0/π- δ2ω02/4π2) x + k1(1+itgφ)x =0方程两边实部、虚部分别相等有ω02 (1- δ2/4π2) -k1 /m =0 →ω02 =( k1 /m)/(1- δ2/4π2)- δω0/π + k1/m tgφ=0 →tgφ= (δω0/π) /( k1/m)δ/2π« 1 时，有ω02 = k1 /m表明自由衰减频率接近共振频率，当损耗越小时，两者越接近。