35导数部分总结(无答案)-江苏省启东中学高考数学复习学案
[整理](教案)江苏启东中学高三二轮复习专题：概率、统计和导数
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概率、统计与导数江苏省启东中学王建彬【高考导航】一、考试内容随机事件的概率，等可能性事件的概率，互斥事件、相互独立事件同时发生的概率，独立重复试验.抽样方法，总体分布的估计，总体期望值和方差的估计.导数的背景，多项式函数的导数.利用多项式研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值.二、考试要求1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.2. 了解等可能事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3.了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.4. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.5. 了解随机抽样，了解分层抽样的意义，会对简单实际问题进行抽样.6. 会用样本频率分布估计总体分布.7. 会用样本平均数估计总体期望值，会用样本的方差估计总体方差.8. 了解导数概念的实际背景.9. 理解导数的几何意义.=该点处导数值.10. y＝x n( n ∈z)数的导数.11. 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间，极大值、极小值及闭区间上的最大、最小值.12.会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题.二、考点简析1.概率(1)随机事件及其概率①理清“频率”与“概率”之间的关系②随机事件概率的取值范围0<P(A)<1m(2)等可能事件的概率：P(A)＝n(3)互斥事件有一发生的概率互斥事件就是不可能同时发生的事件P(A＋B)＝P(A)＋P(B)对立事件：其中必有一个发生的互斥事件，对立事件必互斥.互斥事件不一定对立，对立事件公式：P(A)＋P(A)＝1(4)相互独立事件同时发生的概率相互独立是指其中一个事件是否发生对另一个事件的发生的概率没有影响.要注意“互斥”与“相互独立”的区别.(5)独立重复试验.“独立”是指每次试验的结果与其他各次试验的结果无关. “重复”是指试验为一系列试验，试验并非一次而是多次. 独立重复试验的概率公式为P n ( k)＝C knP k (1－P)n-k .2.(1) 抽样方法简单随机抽样：对于一个总体，只要是通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，而且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，这样的抽样方法叫简单随机抽样.分层抽样：将总体中的个体按不同特点分类，形成几个层次上的不同部分，然后按照各部分所占的比重实施抽样，这样的抽样方法叫分层抽样. (2) 总体分布的估计频数 频率 累积频率 直方图 (3) 总体的期望和方差总体的期望和方差用样本的期望值和方差来估计. 样本的平均数(期望值)x ＝n1( x 1+x 2+…+x n )方差：S 2＝n1［( x 1－x 1 )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2］方差：S*2＝11n -［( x 1－x 1 )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2］3. 导数(1) 定义式 f ′(x)＝lim 0→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(=lim0→∆x x y ∆∆(2) 几何意义k＝f′(x0)＝tanx，切线方程为：y－y0＝k(x－x0)(3) 多项式函数求导法则(x n)′＝nx n-1.(4) 函数单调性判别方法(如图12-1、图12-2所示)x∈(a，b)，f′(x)＞0 x∈(a，b)，f′(x)＜0f(x)在(a,b)内递增f(x)在(a，b)内递减图12-1 图12-2(5) 函数极值判别法(如图12-3、图12-4所示)a＜x＜x0，f′(x)＞0a＜x＜x o，f′(x)＜0 x0＜x＜b，f′(x)＜0 x o＜x＜b，f′(x)＞0 f′(x0)＝0f f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内，f(x)max＝f(x o) f(x)在(a，b)内，f(x)min＝f(x o)图12-3 图12-4(6) 最值方法步骤①求f(x)在(a，b)中极值;②求f(a)，f(b);③ 比较f(a)，f(b)与极值大小. 四、思想方法本讲涉及的思维方法有：观察与试验，分析与综合，一般化与特殊化，联想与猜想，抽象与概括，类比等. 【典型例题】【例1】 采用系统抽样法，从121人中抽取一个容量为12的样本，求每个人被抽取的概率.【解】 用系统抽样法，要先从121中剔除1人，然后将120人分为12组，每组10人，在每组中抽1人，则不被剔除的概率为 120 /121 ，分组后被抽取的概率为1 /10∴12011212110121⋅=【例2】 甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，求： (1)两人都击中目标的概率； (2)恰有一人击中目标的概率； (3)至少一人击中目标的概率.【解】设A ＝｛甲射击一次击中目标｝，B ＝｛乙射击一次击中目标｝，A 、B 是相互独立事件.P(A)＝0,8， P(B)＝0.6. (1) P(A ·B)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.6＝0.48.(2)A ·B 与A ·BP(A B ＋ A ·B)P(A B )＋ P(A ·B) ＝P(A)·［1－P(B)］＋［1－P(A)］P(B)0.8×0.4＋0.2×0.6＝0.44.(3) 至少有一个人击中目标.A ·B 、A ·B 、A ·B有一个发生，P(A ·B ＋A ·B ＋A ·B) =0.44＋0.48=0.92. (3) 也可以这样计算：∵ 至少有一个击中目标的对立事件是两人均A B⋅P(A B ⋅ )＝［1－P(A)］·［1－P(B)］＝(1－0.8)(1－0.6)＝0.081－P(A B ⋅)＝0.92.【例3】已知一枚某型号地对空导弹击中来犯敌机的概率是0.96，需要发射多少枚该型号的导弹，才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999? 【解】A ＝｛一次发射击中敌机｝，P(A)＝0.96，又设B ＝｛发射n 枚至少有一枚击中敌机｝，则B ＝｛发射n 枚都没有击中敌机｝，P(B )＝P n (0)＝ 000.96(10.96)n n C ⋅-＝0.04n .∴P(B)＝1－P(B )＝1－0.04n.1－0.04n ＞0.9990.04n ＜0.001， n ＞2.146， n ∈N ， ∴ n ≥3.即需要发射3枚该型号的导弹.才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999.【例4】 甲、乙两人进行五盘三胜制的象棋赛，若甲每盘的胜率为53，乙每盘的胜率为52 (和棋不算)求： (1)比赛以甲比乙为3比0胜出的概率； (2) 比赛以甲比乙为3比1胜出的概率； (3) 比赛以甲比乙为3比2胜出的概率.【解】 (1) 甲比乙为3比0胜出，也就是说甲连续三场获胜，所以330.2165⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 甲比乙为3比1胜出，则两人一共赛四场比赛，第四场甲获胜，在前三场比赛中乙获胜了一场.所以甲胜出的概率为313230.43255C ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(3) 第五场比赛必须是甲获胜，而前四场比赛中乙获胜两场，所以甲2324230.344455C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【例5】 基本系统是由四个整流二极管(串、并)联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8(即正常工作时)，若要求系统的可靠度大于0.85，请你设计二极管的联结方式，并加以说明.【解】见图(1) 1－0.24＝0.9984＞0.85(2) 两个、两个串联后再并联，可靠度1－(1－0.82)2＝0.8704＞0.85(3)(1－0.22)2＝0.9216＞0.85(4)1－0.2(1－0.83)＝0.9024＞0.85.【注】本题解决实际问题的能力及几次独立重复试验中的某事件恰好发生k次的概率计算.这是一类带有研究性质的问题，要求能阅读、理解对问题进行陈述的材料，能应用数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决学科、生产生活中的问题，并能用恰当的方式表述出来.本题首先要运用分类讨论和枚举的思想方法，由并联到串联逐一讨论，分类时要条理清楚，有规律，不能重复和遗漏.另外画出相应的图形也很有必要，画图时要准确、简洁、明了.对每一个设计图要有相应的说明，即分别计算系统的可靠度即概率.这样设计才算完成.题，对这类带有研究味道的试题要弄清题意，联想知识，表述方案，予以证明.【例6】 皮划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m ／s)的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31. 乙：33，29，38，34，28，36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀.X 甲＝16(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33. X 乙＝ 16(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝33.S*2甲＝15［(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)218，S*2乙＝ 15［(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)215.2.S*2甲> S*2乙 说明二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.【例7】 已知f(x)是三次函数，g(x)是一次函数f(x)－21g(x)＝－x 3＋2x 2＋3x ＋7， f(x)在x ＝1处有极值2，求f(x)的解析式和单调区间.f(x)＝－x 3＋2x 2＋cx ＋df ′(x)＝－3x 2＋4x ＋c f ′(1)＝03＋4＋c ＝0c ＝－1.又∵f(x)x ＝1处有极值2f(1)＝ 2.1＋2－1＋d ＝2 ， d ＝2f(x)＝－x 3＋2x 2－x ＋2.f ′(x)＞03x 2＋4x －1＞13＜x ＜1.f(x)的单调递增的区间为 1,13⎛⎫⎪⎝⎭.由f ′(x)＜03x 2＋4x －1＜013x <或x ＞1. ∴函数f(x)1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ ∪(1， ＋∞).【例8】过曲线Ｌ：)0(12>-=x x y 上的点Ｐ作Ｌ的切线, 与坐标轴交于Ｍ 、Ｎ两点，试求Ｐ点坐标, 使△○ＭＮ的面积最小. 【解】设点Ｐ坐标为),(00y x ，过点P 的切线方程为：)(2000x x x y y -=-，解方程组⎩⎨⎧=-=-0)(2000y x x x y y , 得0020122x y x x -=，解方程组⎩⎨⎧=-=-0)(2000x x x x y y , 得20022x y y -=.又因为),(00y x 在曲线上，所以1200-=x y ，则020121x x x +=，)1(202+-=x y所以S △OMN =2121y x ⋅=02204)1(x x +，把P 看成动点，可以把),(00y x 改写成),(y x ,则=S xx4)1(22+ ， 所以 ='S 2224)13()1(xx x-+，='S 0，得33=x （负值舍去）当330<<x 时，0<'S ；0>'S ,因而S 在33=x 处取极小值,且为最小值, 则所求点P 的坐标为(32,33-)．【例9】(2002天津卷 ·20) 已知 0>a ，函数()()+∞∈-=,0,1x xaxx f 。
启东中学高三数学回归书本知识整理解析几何
江苏省启东中学高三数学回归书本知识整理(解析几何)直线部分一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
注意：规定当直线和x轴平行或重合时，其倾斜角为o0，所以直线的倾斜角α的范围是o o（2）直线的斜率：倾斜角不是o90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，①斜率是用来表示倾斜角不等于o90的直线对于x 轴的倾斜程度的。
②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
③斜率计算公式： 设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =o二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-；注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x=；②k x x y y =--0表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。
（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
江苏省南通市通州高级中学2020届高三数学内部专题3.5 导数部分复习总结(无答案)
§3.5 导数部分总结【命题研究】命题角度一 导数的几何意义[命题要点] ①求切线的倾斜角、斜率；②求切线方程；③已知切线方程，确定字母参数的取值．例1．（1）已知两曲线()cos ,(),(0,)2f x xg x x x π==∈相交于点A . 若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 ． （2）已知曲线3:()C f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点(1,0)A 引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．（3）设函数2()e x ax f x =，直线1ey x =为曲线()y f x =的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的值为 ．命题角度二 导数与函数单调性 [命题要点] ①已知函数，求单调区间；②已知单调区间，求字母参数的取值范围．例2．设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．命题角度三 导数与函数极值、最值[命题要点] ①已知函数，求极值或最值；②已知极值或最值，求字母参数的取值范围． 例3．设函数32(),f x x ax bx x =+-∈R ，其中,a b ∈R ，且函数()f x 的导函数()f x '是偶函 数．（1）若0b ≤，求不等式2212(log (2))(log )0f x f x -+≤的解集；（2）设函数()f x 存在极值．①若0x 为函数()f x 的极值点，且10()()f x f x =，10x x ≠，试探究1x 与02x -的关系； ②求函数(),[1,1]y f x x =∈-的最小值．命题角度四 导数的综合应用[命题要点] ①应用导数研究函数单调性、极值、最值等，将导数内部的知识进行综合；②将函数、方程与不等式等知识板块之间进行综合．例4．已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：．（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．例5．已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<．32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R ()f x '()f x b a 23b a >()f x ()f x '72-a命题角度五 导数在实际问题中的应用[命题要点] 试题模式固定化，先建立函数模型，再应用导数研究函数模型中的最值问题． 例6．如图，有一块矩形空地ABCD ，2AB km =，4BC km =．现规划在该空地四边形AEFG 内建一个商业区，其中顶点,,,A E F G 为商业区的四个入口，且入口F 在边BC 上（不 包含顶点），入口,E G 分别在边,AB AD 上，AE EF =，AG GF =，矩形内其余区域均 为绿化区．（1）设BF t =km ，求t 的取值范围．（2）设商业区的面积为1S ，绿化区的面积为2S ，问入口F 如何选址，即t 为何值时，可使得该商业区的环境舒适度指数21SS 最大？A B C D E F G【课后巩固】1．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为 .2．已知322()3f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b -=_______.3．设函数23()252x f x x x =--+，若对任意的,2[]1x ∈-，都有()f x a >，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数31()2sin 3f x x x =+的定义域为()2,2-，则满足2(1)()0f x f x x ++->的实数x的集合是________．5．若函数31()23f x x ax =-与函数2()2g x x bx =+在开区间(,)(0)a b a >上单调性相反，则b a -的最大值为_________．6．设函数()6ln f x x =，2()44g x x x =-+，则方程()()0f x g x -=有________个实根．7．设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a的取值范围是 .8．如图，某地有一条东西走向的公路1l ，现经过公路1l 上的A 处铺设一条南北走向的公路 2l ．施工中发现A 处正北2百米的B 处有一古迹，为了保护古迹，决定以B 为圆心，2百 米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路1l 、2l ，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路1l 、2l 上，且要求PQ 与圆B 相切（切点为T ）．（1）设BQ x =百米，试利用QTB ∆:QAP ∆，将新建公路PQ 的长表示为x 的函数； （2）试确定点Q 的位置，使新建公路PQ 的长最短．东9．设函数()e sin cos x f x x a x x =-（a ∈R ，其中e 是自然对数的底数）． （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．10．已知函数3()sin (0)2f x ax x a =->，且()f x 在区间[0,]2π上的最大值为32π-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内零点个数，并加以证明．11．已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．（1）求a 的值；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<．。
江苏省启东中学春高二数学选修2-2学案(无答案)4导数的概念(pdf版)
(1) f (1+x) f (1)
.
(2) f (1+2x) f (1)
.
2x
x
变 1．函数 y f (x) 在 x x0 处可导，当 x 0.
(1)
f
( x0
4x) x
f
x0
1,
则
f
(x0 )
.
(2)
f
( x0
4x) x
f
பைடு நூலகம்
x0
1, 则
f
(x0 )
.
(3)
当 x 0,
x (3)加速度是动点运动的路程函数 s(t)对时间 t 的导数.
2．函数 f x 4 3x 在 x=1 处的导数为___________.
3．已知函数 y
f (x) 在 x x0 处可导，当 h 0.
f (x0 h) f x0 h ___________.
h
4．函数 f x x2 在 x=1 处的导数为___________.
（1）求函数的改变量 y f (x x) f (x) ，
11
江苏省启东中学 2019-2020 寒假空中课堂高二数学学案
y （2）求平均变化率 x
f (x x) x
f (x)
，
（3）取极限，得导数 y / ＝ f (x) lim y . x0 x
二、交流质疑、精讲点拨
例题 1．已知函数 f (x) 满足 f (1) 2 ，则当 x 无限趋近于 0 时，
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江苏省启东中学 2019-2020 寒假空中课堂高二数学学案
三、作业巩固、拓展迁移
1．下列命题，正确的有________.
(1)若函数 f x x,则当x 0时，f (0)=0 ；
江苏省启东中学高三数学复习教案：专题复习数学归纳法
专题复习 数学归纳法 一．小题热身：1.用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．解析：当n ≤4时，2n ≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5.2.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *，n>1)时，第一步应验证________． 答案：1＋12＋13<2 ∵ n ∈N *，n>1，∴ n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13. 3.利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1314时，由k 递推到k ＋1时左边应添加的因式是__________．解析：f(k ＋1)－f(k)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12（k ＋1）.答案：12k ＋1－12（k ＋1）4. 已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f(2n )>112时，则f(2k ＋1)－f(2k )＝________．解析：∵ f(2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1，f(2k )＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ，∴ f(2k ＋1)－f(2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 答案：12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 二．典例解析：题型 证明整除性例1设n ∈N *，f(n)＝3n ＋7n －2.(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求证：对任意正整数n ，f(n)都是8的倍数．(1) 解：代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368.(3分)(2) 证明：①当n ＝1时，f(1)＝8是8的倍数，命题成立．(4分)②假设当n ＝k 时命题成立，即f(k)＝3k ＋7k －2是8的倍数，那么当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)．因为7k ＋1是偶数，所以4(7k ＋1)是8的倍数．又由归纳假设知3(3k ＋7k －2)是8的倍数，所以f(k ＋1)是8的倍数，所以当n ＝k ＋1时，命题也成立．根据①②知对任意正整数n ，f(n)都是8的倍数．(10分)跟踪训练1：求证：对一切正整数n ，5n ＋2·3n －1＋1能被8整除．证明：①当n ＝1时，原式＝5＋2＋1＝8，能被8整除；② 假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，则5k ＋2·3k －1＋1能被8整除．设5k ＋2·3k －1＋1＝8m ，m ∈N *，当n ＝k ＋1时，5k ＋1＋2·3k ＋1＝5(5k ＋2·3k －1＋1)－4·3k －1－4＝5(5k ＋2·3k －1＋1)－4·(3k －1＋1)，而当k ≥2，k ∈N *时，3k －1＋1显然为偶数，设为2t ，t ∈N *，故5k ＋1＋2·3k ＋1＝5(5k ＋2·3k －1＋1)－4·(3k －1＋1)＝40m －8t(m ，t ∈N *)，也能被8整除， 故当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②可知，对于一切正整数n ，5n ＋2·3n －1＋1能被8整除．题型二 证明等式例2.用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）(n ∈N *)． 证明：① 当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14（1＋1）＝18， 左边＝右边，所以等式成立．② 假设n ＝k(k ∈N *)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[2（k ＋1）＋2]＝k 4（k ＋1）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2） ＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14（k ＋1＋1）. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②可知，对于一切n ∈N *等式都成立．变式跟踪2：用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ) 证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立． ② 假设当n ＝k(k ∈N )时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n ∈N 均成立．题型三 证明不等式例3.由下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2(n ∈N *)．证明如下： ① 当n ＝1时，由题设条件知命题成立．。
江苏省南通市启东中学导数及其应用多选题试题含答案
江苏省南通市启东中学导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠有两个极值点1x 、()212x x x <，则下列结论正确的是（ ） A ．230b ac ->B ．()f x 在区间()12,x x 上单调递减C ．若()10af x <，则()f x 只有一个零点D ．存在0x ，使得()()()1202f x f x f x +=【答案】ACD 【分析】利用极值点与导数的关系可判断A 选项的正误；取0a <，利用函数的单调性与导数的关系可判断B 选项的正误；分0a >、0a <两种情况讨论，分析函数()f x 的单调性，结合图象可判断C 选项的正误；计算出函数()f x 的图象关于点,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称，可判断D 选项的正误. 【详解】()()320f x ax bx cx d a =+++≠，则()232f x ax bx c '=++.对于A 选项，由题意可知，关于x 的二次方程()23200ax bx c a ++=≠有两个不等的实根，则24120b ac ∆=->，可得230b ac ->，A 选项正确；对于B 选项，当0a <时，且当()12,x x x ∈时，()0f x '>，此时函数()f x 在区间()12,x x 上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当0a >时，由()0f x '>，可得1x x <或2x x >；由()0f x '<，可得12x x x <<.所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递减区间为()12,x x ， 由()10af x <，可得()10<f x ，此时，函数()f x 的极大值为()10<f x ，极小值为()2f x ，且()()210f x f x <<，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内； 当0a <时，由()0f x '<，可得1x x <或2x x >；由()0f x '>，可得12x x x <<. 所以，函数()f x 的单调递减区间为()1,x -∞、()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x ，由()10af x <，可得()10f x >，此时，函数()f x 的极小值为()10f x >，极大值为()2f x ，且()()210f x f x >>，如下图所示：由图可知，此时函数()f x 有且只有一个零点，且零点在区间()2,x +∞内，C 选项正确； 对于D 选项，由题意可知，1x 、2x 是方程2320ax bx c ++=的两根， 由韦达定理可得1223bx x a +=-，123c x x a=， ()()()()()()()()3232f t x f t x a t x b t x c t x d a t x b t x c t x d ⎡⎤⎡⎤-++=-+-+-++++++++⎣⎦⎣⎦()()()()()(322322322322332332a t t x tx x b t tx x c t x d a t t x tx x b t tx x c ⎡⎤⎡=-+-+-++-+++++++++⎣⎦⎣()()322223222a t tx b t x ct d =+++++，取3bt a=-，则322223222333333b b b b b b f x f x a x b x c d a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+=-+⨯-+-++⋅-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦32222223333b b b b a b c d fa a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,33b b f a a⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对称， 1223bx x a+=-，()()1223b f x f x f a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.3．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（ ）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x x aae ef x a -+=⋅，()2xx aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=， 令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<， 02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.4．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当15y =时，有1cos 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭有唯一解0x ， 故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．5．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1e e xx xx e ex e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.6．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中正确的是（ ）A ．函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨⎩的一个承托函数B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]eD ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()xh x e ax =-，则()xh x e a '=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，故C 正确；对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误.故选：BC . 【点睛】方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．7．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=，因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10nna a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>，所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB. 【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.8．（多选题）已知函数31()1x x xe x f x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是（ ）A ．点(0,0)是函数()f x 的零点B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >C ．函数()f x 的值域为)1e ,-⎡-+∞⎣D ．若关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是222e e,(,)e 82⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)xf x x e '=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，当1x >时，4(3)()x e x f x x-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；()y f x =图像所以，当13x <<时， 3()27e f x e << ，综上可得，选项B 正确；对于选项C ，min 1()(1)f x f e=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]2()2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x xx e x g x e x x⎧<⎪=⎨≥⎪⎩当1x <时，/2()(2)=+xg x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：x2x <-2-20x -<<0 01x << /()g x +-+()g x极大值 极小值极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3(2)'()e x g x x -=当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 112x <<2 2x >/()g x-+()g xe极小值极小值2 (2)4eg=，()y g x=图像综上可得，22424<<eae或2a e>，a的取值范围是222e e,(,)e82⎛⎫+∞⎪⎝⎭，D不正确.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.。
高考数学大一轮复习 3.3导数的综合应用学案 理 苏教版-苏教版高三全册数学学案
学案15 导数的综合应用导学目标： 1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．自主梳理1．已知函数单调性求参数值范围时，实质为恒成立问题．2．求函数单调区间，实质为解不等式问题，但解集一定为定义域的子集．3．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为________． 2．(2011·扬州模拟)已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (x )＝a x ·g (x )(a >0，且a ≠1)，f 1g 1＋f －1g －1＝52，则a 的值为____________． 3．(2011·厦门质检)已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m 为________．4．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为______________．5．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．探究点一 讨论函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝x 2e －ax(a >0)，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1 设a >0，函数f (x )＝a ln xx. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[a,2a ]上的最小值．探究点二 用导数证明不等式 例2 已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.变式迁移2 (2010·安徽)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.探究点三 实际生活中的优化问题例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a )．变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2 000t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S 元(以下称S 为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是多少？转化与化归思想例 (14分)(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1. (1)若xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，求a 的取值范围； (2)证明：(x －1)f (x )≥0. 【答题模板】 (1)解 ∵f ′(x )＝x ＋1x ＋ln x －1＝ln x ＋1x，x >0，[2分] ∴xf ′(x )＝x ln x ＋1.由xf ′(x )≤x 2＋ax ＋1，得a ≥ln x －x ，令g (x )＝ln x －x ，则g ′(x )＝1x－1，[5分]当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0， ∴x ＝1是最大值点，g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1， ∴a 的取值范围为[－1，＋∞)．[8分](2)证明 由(1)知g (x )＝ln x －x ≤g (1)＝－1，∴ln x －x ＋1≤0.(注：充分利用(1)是快速解决(2)的关键．)[10分]当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋ln x －x ＋1≤0， ∴(x －1)f (x )≥0.[12分]当x ≥1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋x ln x －x ＋1＝ln x －x ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1x －1x＋1≥0，∴(x －1)f (x )≥0.综上，(x －1)f (x )≥0.[14分] 【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．1．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值； (4)回到实际问题，作出解答．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·无锡模拟)已知曲线C ：y ＝2x 2－x 3，点P (0，－4)，直线l 过点P 且与曲线C 相切于点Q ，则点Q 的横坐标为________．2．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝________. 3．(2011·盐城调研)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，则a ＝f (0)、b ＝f (12)、c ＝f (3)的大小关系为________________．4．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋tx ＋t 在(－1,1)上是增函数，则t 的取值范围是________． 5．若函数f (x )＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系为________．6．在直径为d 的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh 2成正比，其中h 为矩形的长，b 为矩形的宽)7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m ，长和宽的和为20 m ，则仓库容积的最大值为_______________m 3.8．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围为________．二、解答题(共42分)9．(12分)(2011·徐州模拟)设函数f (x )＝kx 3－3x 2＋1(k ≥0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的极小值大于0，求k 的取值范围．10．(14分)(2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．11．(16分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋bx，函数f (x )的图象与x 轴的交点也在函数g (x )的图象上，且在此点有公共切线．(1)求a 、b 的值；(2)对任意x >0，试比较f (x )与g (x )的大小．答案 自我检测1．0<a <1 2.12 3.－2 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2 5.6 课堂活动区例 1 解题导引 求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f ′(x )＝0，求出x 值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．解 ∵f (x )＝x 2e －ax(a >0)，∴f ′(x )＝2x e －ax＋x 2·(－a )e －ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．令f ′(x )>0，即e －ax(－ax 2＋2x )>0，得0<x <2a.∴f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上是增函数． ①当0<2a<1，即a >2时，f (x )在[1,2]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝e －a.②当1≤2a≤2，即1≤a ≤2时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，2a 上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤2a ，2上是减函数，∴f (x )max＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝4a －2e －2.③当2a>2，即0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝4e －2a.综上所述，当0<a <1时，f (x )的最大值为4e－2a；当1≤a ≤2时，f (x )的最大值为4a －2e －2； 当a >2时，f (x )的最大值为e －a.变式迁移1 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ·1－ln xx2(a >0)， 由f ′(x )＝a ·1－ln xx2>0，得0<x <e ； 由f ′(x )<0，得x >e.故f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减． (2)∵f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在[a,2a ]上的最小值[f (x )]min ＝min{f (a )，f (2a )}． ∵f (a )－f (2a )＝12ln a 2，∴当0<a ≤2时，[f (x )]min ＝ln a ； 当a >2时，[f (x )]min ＝ln2a2.例 2 解题导引 利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．(1)解 f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，若a ≤0时，f ′(x )>0恒成立， ∴函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． 若a >0时，令f ′(x )>0，得x >a ，∴函数f (x )的单调增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (2)证明 设F (x )＝23x 3－(12x 2＋ln x )，故F ′(x )＝2x 2－x －1x.∴F ′(x )＝x －12x 2＋x ＋1x.∵x >1，∴F ′(x )>0.∴F (x )在(1，＋∞)上为增函数． 又F (x )在(1，＋∞)上连续，F (1)＝16>0，∴F (x )>16在(1，＋∞)上恒成立．∴F (x )>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.变式迁移2 (1)解 由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R ， 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) －＋f (x )极小值故f (x )单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0， 所以g (x )在R 内单调递增， 于是当a >ln 2－1时， 对任意x ∈(0，＋∞)， 都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x>x 2－2ax ＋1.例3 解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x )．令L ′＝0，得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5， ∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′的值由正变负．∴①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )．②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L (6＋23a )＝(6＋23a －3－a )[12－(6＋23a )]2＝4(3－13a )3.所以Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧96－a ， 3≤a <92，43－13a 3， 92≤a ≤5.综上，若3≤a <92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件售价为(6＋23a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4(3－13a )3(万元)． 变式迁移3 解 (1)因为赔付价格为S 元/吨， 所以乙方的实际年利润为ω＝2 000t －St . 由ω′＝1 000t －S ＝1 000－S tt，令ω′＝0，得t ＝t 0＝(1 000S)2.当t <t 0时，ω′>0； 当t >t 0时，ω′<0.所以当t ＝t 0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量为(1 000S)2吨．(2)设甲方净收入为v 元，则v ＝St －0.002t 2.将t ＝(1 000S)2代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格S 之间的函数关系式：v ＝1 0002S －2×1 0003S4. 又v ′＝－1 0002S 2＋8×1 0003S 5＝1 0002×8 000－S 3S5，令v ′＝0，得S ＝20. 当S <20时，v ′>0； 当S >20时，v ′<0，所以S ＝20时，v 取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格S ＝20元/吨时，可获得最大净收入．课后练习区1．－1 2.5 3.c <a <b 4．t ≥5解析 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t ，∴在(－1,1)上f ′(x )≥0， 即－3x 2＋2x ＋t ≥0，∴t ≥3x 2－2x .设函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故g (x )<g (－1)，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)， 即t ≥5.故t 的取值范围是t ≥5. 5．a >b 解析 f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x ，∵0<x <1，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0,1)上是减函数，得g (x )<g (0)＝0， 故f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上是减函数，得a >b . 6.63d 解析 如图所示，为圆木的横截面，由b 2＋h 2＝d 2， ∴bh 2＝b (d 2－b 2)． 设f (b )＝b (d 2－b 2)， ∴f ′(b )＝－3b 2＋d 2. 令f ′(b )＝0，由b >0， ∴b ＝33d ，且在(0，33d )上f ′(b )>0，在[33d ，d ]上f ′(b )<0.∴函数f (b )在b ＝33d 处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h ＝63d . 7．300 解析 设长为x m ，则宽为(20－x )m ，仓库的容积为V ，则V ＝x (20－x )·3＝－3x 2＋60x ，V ′＝－6x ＋60，令V ′＝0得x ＝10.当0<x <10时，V ′>0；当x >10时，V ′<0，∴x ＝10时，V 最大＝300 (m 3)．8．(－1,0]解析 f ′(x )＝41－x2x 2＋12≥0，解得－1≤x ≤1.由已知得(m,2m ＋1)⊆[－1,1]，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－12m ＋1≤1m <2m ＋1，解得－1<m ≤0.9．解 (1)当k ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当k >0时，f ′(x )＝3kx 2－6x ＝3kx (x －2k)． ∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2k ，＋∞)，单调减区间为(0，2k)．………………(6分)(2)当k ＝0时，函数f (x )不存在极小值．当k >0时，依题意f (2k )＝8k 2－12k2＋1>0， 即k 2>4，由条件k >0，∴k 的取值范围为(2，＋∞)．…………………………………………………………(12分)10．解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5，……………………………………………………(2分) 再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，………………………………………………………………………(4分)而建造费用为C 1(x )＝6x .…………………………………………………………………(6分)最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．………………………………………………………………(8分) (2)f ′(x )＝6－2 4003x ＋52，令f ′(x )＝0， 即2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．…………………………………………(10分) 当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，………………………………………………………………(12分) 故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．……………………………(14分)11．解 (1)f (x )＝ln x 的图象与x 轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g (1)＝a ＋b ＝0.①……………………………………………………………(2分)又f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －b x2， 且f (x )与g (x )在点(1,0)处有公共切线，∴g ′(1)＝f ′(1)＝1，即a －b ＝1.②……………………………………………………(4分)由①②得a ＝12，b ＝－12.…………………………………………………………………(6分) (2)令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )＝ln x －(12x －12x )＝ln x －12x ＋12x， ∴F ′(x )＝1x －12－12x 2……………………………………………………………………(8分)＝－12(1x－1)2≤0. ∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．………………………………………………………(10分) 当0<x <1时，F (x )>F (1)＝0，即f (x )>g (x )；……………………………………………(12分)当x ＝1时，F (1)＝0，即f (x )＝g (x )；…………………………………………………(14分)当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即f (x )<g (x )．综上，0<x <1时，f (x )>g (x )；x ＝1时，f (x )＝g (x )；x >1时f (x )<g (x )．………………………………………………………………………(16分)。
导数部分复习学案解析
导数部分复习学案一、导数的概念及几何意义1导数的概念即表示方法:2、导数的几何意义:(一)、练习1. 质点运动规律为t2 3 ,则在时间(3,3 •氏)中相应的平均速度为2 物体按照s(t) =3t2 t 4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.6、(1) 求下列函数的导数：(8分钟独立完成)(3) f (x)二.xf(x)「( 2)f(x) =x4(4) f (x)二sin x(5) f (x)二-cosx (6) f(x)=3(7) f(x)=e (8) f(x)=log2X(9) f (x) = ln x1(10) f (x)二一xy^^cosx4 4(二)、运算法则:(三)练习1求下列各函数的导数⑴ f(x) =2x (2) f(x)=x3(3) f(x)=3(4) f(x)= .x3x2、求曲线y二x在点(4,2)处的切线1 13、求与曲线y=-相切且过点(--，4)的切线方程x 24、如果质点A按规律s=t2运动，则它在t=3时的瞬时速度是多少？5、已知点P和Q是曲线y=x2-2x-3上的两点，且点P的横坐标是1, 点Q的横坐标是4,求：①割线PQ的斜率；②点P处的切线方程(12)x(13) y =lg x-e3 (14) y = x cosx7.已知曲线C: y = 3 x4— 2 x3—9 x2+ 4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；8求下列函数的导数(1) y = 3x - x2(2)y 二e2x1(3) y 二sin( 3x)4⑷ y = .x-1(5) y = cos-3（6）y =(x 1)99（7）y=2「(8) y = 2xsi n(2x 5)（9）1y4(1- 39、曲线y=e x在（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为多少?三、函数的单调性与导数1函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，如果 ___________ , 那么函数y二f(x)在这个区间内单调_______ ；如果___________ ，那么函数y=f(x)在这个区间内单调____________ .说明：(1)特别的，如果f'(x)=O,那么函数y=f(x)在这个区间内是—2、证明可导函数f x在a,b内的单调性步骤：(1)求导函数f' x ； (2)判断f' x在a,b内的符号；(3)做出结论：f' x 0为增函数，f' x -0为减函数练习：1. (8分钟合作完成)判断下列函数的单调性，并求出单调区间.(1)f(x)=x3 3x; (2) f(x)=x2-2x-3(3) f(x)二s in x-xx (0，二); (4) f (x) = 2x3 3x2 - 24x 12、求证：函数y=2x3 3x2 - 12x 1在区间-2,1内是减函数.3. 求下列函数的单调区间(1)f(x)=2x3—6x2+7 (2) f(x)=1 +2xx⑶ f(x)=sinx , X [0,2二] (4) y=xInx4、已知函数f (x) = 4x • ax2- 2 x3(x • R)在区间1-1,1上是增函数，求实3数a的取值范围.四、函数的极值与导数.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1) 确定函数的定义区间，求导数f (x).(2) 求方程f' (x)=0的根.(3) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格•检查f' (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值求函数y二f(x)的极值的方法：解方程f(x)=o,当「(x°) = 0时：1、___________________________________________________________ 如果在x o附近的左侧f(X).0,右侧f(X)：：：0,那么f(X o)是____________________ 值；2、___________________________________________________________ 如果在x附近的左侧f (x) <0,右侧f (x) - 0,那么f(x。
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§3.5 导数部分总结
【《考试说明》】要求
【真题体验】
1．（2017⋅扬州一模）函数x y xe =在其极值点处的切线方程为 .
2．(2018⋅新课标Ⅰ改编) 设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线
()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 ．
3．(2018⋅江苏)若函数32()21()f x x ax a R =-+∈在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在 [1,1]-上的最大值与最小值的和为_______．
4．(2017⋅山东改编)已知函数2()(cos sin 22)(2cos )x f x e x x x x x =-+-++，则函数()f x 的 极小值为 ．
【命题研究】
命题角度一 导数的几何意义
[命题要点] ①求切线的倾斜角、斜率；②求切线方程；③已知切线方程，确定字母参数的
取值．
例1．（1）（2016⋅南通三模）已知两曲线()cos ,(),(0,)2
f x x
g x x x π
=∈相交于点A .若两曲
线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 ． （2）已知曲线3:()C f x x ax a =-+，若过曲线C 外一点(1,0)A 引曲线C 的两条切线，它们
的倾斜角互补，则a 的值为________．
（3）（2016⋅淮安四模）设函数2
()e
x ax
f x =，直线1e y x =为曲线()y f x =的切线（e 为自然
对数的底数），则实数a 的值为 ．
命题角度二 导数与函数单调性
[命题要点] ①已知函数，求单调区间；②已知单调区间，求字母参数的取值范围． 例2．设函数1
()ln ()f x x a x a R x
=
-+∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 存在两个极值点，求实数a 的取值范围．。