闵行区中考数学二模试卷及答案

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2022年上海市闵行区中考数学二模试题及答案解析

2022年上海市闵行区中考数学二模试卷1. 下列实数中，一定是无限不循环小数的是( ) A. √83 B. 27C. √5D. 0.2022022022…2. 下列运算正确的是( ) A. 3m +2m =5m 2 B. (2m 2)3=8m 6 C. m 8÷m 4=m 2D. (m −2)2=m 2−43. 在下列方程中，有实数根的是( )A. √4x +1=−1B. x 2+3x +1=0C. x 2+2x +3=0D. xx−1=1x−14. 2019年1月1日“学习强国”学习平台正式上线，每天登录“学习强国”APP 学习可以获得积分．小张在今年5月份最后几天每天的学习积分依次为50，46，44，43，42，46，那么这组数据的中位数和众数分别是( )A. 44和50B. 44和46C. 45和46D. 45和505. 在下列函数中，同时具备以下三个特征的是( )①图象经过点(1,1)；②图象经过第三象限；③当x <0时，y 的值随x 的值增大而增大．A. y =−x 2+2B. y =−xC. y =−2x +3D. y =1x6. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，分别联结DE 、EF 、DF 、AE ，点O 是AE 与DF 的交点，下列结论中，正确的个数是( ) ①△DEF 的周长是△ABC 周长的一半； ②AE 与DF 互相平分；③如果∠BAC =90°，那么点O 到四边形ADEF 四个顶点的距离相等； ④如果AB =AC ，那么点O 到四边形ADEF 四条边的距离相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 因式分解：2x 2−6x =______．8. 计算：3(2a ⃗ −b ⃗ )+5(2a ⃗ +3b ⃗ )=______．9. 已知函数f(x)=√x，那么f(3)=______．x−110. 方程√2−x=5的根是______．11. 不等式组{16x>24x−329x>7x−6的解集是______．12. 一个布袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从布袋中任取一个球记下数字作为点P的横坐标x，不放回小球，然后再从布袋中取出一个球记下数字作为点P的纵坐标y，那么点P(x,y)落在直线y=x+1上的概率是______．13. 明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长______尺．(注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺)14. “双减”政策全面实施后，中学生可以自由选择是否参加校内课后延时服务，因此放学时间也有差异，有甲(16：30)、乙(17：20)、丙(18：00)三个时间点供选择．为了解某校七年级全体学生的放学时间情况，随机抽取了该校七年级部分学生进行统计，绘制成如图不完整的统计图表，那么扇形统计图中表示丙时间点的扇形圆心角为______度．15. 如图，过原点且平行于y=3x−1的直线与反比例函数y=k(k≠0,x>0)的图象相交x于点C，过直线OC上的点A(1,3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD=2BD，那么点C的坐标为______．16. 如图，点G为等腰△ABC的重心，AC=BC，如果以2为半径的⊙G分别与AC、BC相切，且CG=2√5，那么AB的长为______．17. 如图，已知点G是正六边形ABCDEF对角线FB上的一点，满足BG=3FG，联结FC，如果△EFG的面积为1，那么△FBC的面积等于______．18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB的中点，将AM沿CM所在的直线翻折，点A落在点A′处，A′M⊥AB，且交BC于点D，A′D：DM的值为______．19. 计算：3−1+|4−√3|−912−1√3−2． 20. 解方程组：{x +y =54x 2−9y 2=0．21. 北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？22. 直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作preA ，这时preA =底边腰=BCAB ．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题： (1)pre60°的值为______． (A)12； (B)1； (C)√32；(D)2．(2)对于0°<A <180°，∠A 的正对值preA 的取值范围是______． (3)如果sinA =817，其中∠A 为锐角，试求preA 的值．23. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M.过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．(1)求证：BE=FG；(2)如果AB⋅DM=EC⋅AE，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．(1)求抛物线的表达式；(2)以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．25. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=26，BC=42，cosB=5，AD=DC.点M在射线13CB上，以点C为圆心，CM为半径的⊙C交射线CD于点N，联结MN，交射线CA于点G．(1)求线段AD的长；(2)设线段CM=x，AG=y，当点N在线段CD上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的GC取值范围；(3)联结DM，当∠NMC=2∠DMN时，求线段CM的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、原式=2，是整数，不合题意；B、2是分数，是无限循环小数，不合题意；7C、√5是无理数，是无限不循环小数，符合题意；D、0.2022022022…，是无限循环小数，不合题意；故选：C．根据无限不循环小数的概念解答即可．此题考查的是实数，有理数和无理数统称实数．2.【答案】B【解析】解：A、3m+2m=5m，原计算错误，故此选项不符合题意；B、(2m2)3=8m6，原计算正确，故此选项符合题意；C、m8÷m4=m4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、(m−2)2=m2−4m+4，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．根据合并同类项法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式进行计算即可．本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式．解题的关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式．3.【答案】B【解析】解：A．√4x+1=−1，∵√4x+1≥0，∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；B.x2+3x+1=0，∵Δ=32−4×1×1=9−4=5>0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；C.x2+2x+3=0，∵Δ=22−4×1×3=4−12=−8<0，∴方程无实数根，故本选项不符合题意；D.xx−1=1x−1，方程两边都乘x−1，得x=1，检验：当x=1时，x−1=0，所以x=1是增根，即原方程无实数根，故本选项不符合题意；故选：B．根据√4x+1的值是非负数，即可判断选项A；根据根的判别式即可判断选项B和选项C，方程两边都乘x−1得出x=1，再进行检验，即可判断选项D．本题考查了解无理方程，根的判别式和解分式方程等知识点，注意：二次根式√a中a≥0，√a≥0．4.【答案】C【解析】解：对这组数据重新排列顺序得，42，43，44，46，46，50，∴这组数据的中位数是44+462=45，在这组数据中，46出现的次数最多，∴这组数据的众数是46，故选：C．根据中位数和众数的概念解答．本题考查的是中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．5.【答案】A【解析】解：图象经过点(1,1)，故B不符合题意；图象经过第三象限，故C不合题意；当x<0时，y的值随x的值增大而增大，故D不合题意，故符合题意的只有A，故选：A．根据一次函数，反比例函数以及二次函数的性质即可判断．本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，熟知函数的性质是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，∴EF=12AB，DF=12BC，DE=12AC，∴EF+DF+DE=12(AB+BC+AC)，∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，∴DE//AC，DF////BC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AE与DF互相平分，故②正确；③∵∠BAC=90°，四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形，∴AE=DF，OA=OE=OD=OF，∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；④∵AB=AC，∴AD=AF，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是菱形，∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．综上所述：正确的是①②③④，共4个，故选：D．①根据三角形中位线定理即可解决问题；②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题；③证明四边形ADEF是矩形，进而可以解决问题；④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．7.【答案】2x(x−3)【解析】解：2x2−6x=2x(x−3)．故答案为：2x(x−3)．直接提取公因式2x即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8.【答案】16a⃗+12b⃗【解析】解：3(2a⃗−b⃗ )+5(2a⃗+3b⃗ )=6a⃗−3b⃗ +10a⃗+15b⃗=16a⃗+12b⃗ ．故答案是：16a⃗+12b⃗ ．实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，所以根据实数的运算法则解答即可．本题主要考查了平面向量．此题属于平面向量的计算，属于基础题．9.【答案】√32【解析】解：∵f(x)=√xx−1，∴f(3)=√33−1=√32，故答案为：√32．将x=3代入该函数解析式进行计算可得此题结果．此题考查了运用实数的计算求解函数值的能力，关键是能准确代入、计算．10.【答案】x=−23【解析】解：√2−x=5，方程两边平方，得2−x=25，解得：x=−23，经检验x=−23是原方程的解，即原方程的解是x=−23，故答案为：x=−23．方程两边平方得出2−x=25，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．11.【答案】−3<x<4【解析】解：{16x>24x−32①9x>7x−6②，解不等式①得：x<4，解不等式②得：x>−3，∴原不等式组的解集为：−3<x<4，故答案为：−3<x<4．按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．12.【答案】13【解析】解：列表得：∵共有6种等可能的结果，数字x、y满足y=x+1的有2种，分别是(1,2)，(2,3)，∴数字x、y满足y=x+1的概率为：26=13；故答案为：13．首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=x+1的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】15【解析】解：设绳索长x 尺，竿长y 尺，由题意得：{x =y +512x =y −5，解得：{x =20y =15，即竿长15尺，故答案为：15．设绳索长x 尺，竿长y 尺，由题意：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，列出方程组，解方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14.【答案】36【解析】解：由题意知，被调查的总人数为10÷25%=40(人)，∴丙时间点的人数为40−(10+26)=4(人)，则扇形统计图中表示丙时间点的扇形圆心角为360°×440=36°，故答案为：36．先根据甲时间点人数及其所占百分比求出总人数，再求出丙时间点的人数，继而用360°乘以丙时间点人数所占比例即可．本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．15.【答案】(√33,√3) 【解析】解：过原点且平行于y =3x −1的直线为y =3x ，∵A(1,3)，∴AB =3，OB =1，∵AD =2BD ，∴BD =1，∴D(1,1)将D 坐标代入反比例解析式得：k =1；∴反比例函数的解析式为；y =1x ，由{y =3x y =1x 解得：{x =√33y =√3或{x =−√33y =−√3， ∵x >0，∴C(√33,√3)；故答案为：(√33,√3)．根据A 坐标，以及AB =2BD 求出D 坐标，代入反比例解析式求出k 的值，直线y =3x 与反比例解析式联立方程组即可求出点C 坐标．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例函数的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．16.【答案】3√5【解析】解：如图，延长CG 交AB 于点D ，设⊙G 与AC 相切于点F ，连接FG ．∵AC 是切线，F 是切点，∴GF ⊥AC ，∴CF =√CG 2−GF 2=√(2√5)2−22=4，∵CA =CB ，G 是△ABC 的重心，∴CD 是中线，∴CD ⊥AB ，AD =DB ，∵CG =2DG ，∴CD=3√5，∵tan∠FCG=FGCF =ADCD，∴AD=12CD=3√52，∴AB=2AD=3√5，故答案为：3√5．如图，延长CG交AB于点D，设⊙G与AC相切于点F，连接FG.利用勾股定理求出CF，再利用重心的性质求出CD，根据tan∠FCG=FGCF =ADCD，求出AD即可解决问题．本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，解直角三角形，切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17.【答案】4【解析】解：如图，连接CE，正六边形的每个内角的度数为：180×(6−2)÷6=120°，∴∠A=∠AFE=120°，∵AF=AB，∴∠AFB=∠ABF=(180−120)÷2=30°，∴∠BFE=∠AFE−∠BFE=120−30=90°，同理可得∠CEF=90°，∴∠BFE+∠CEF=180°，∴BF//CE，∴S△GBC S△GEF =GBGF，即S△GBC1=3GFGF，∴S△GBC=3，∴S△FBC=S△GBC+S△GEF=3+1=4．故答案为：4．连接CE，先利用正六边形的性质和等腰三角形的性质可求出∠BFE=∠CEF=90°，进而可判断出BF//CE；再利用平行线的性质：两平行线之间的距离处处相等可得S△GBCS△GEF =GBGF=3，即可计算出△GBC的面积；最后再次利用该平行线的性质可得S△FBC=S△GBC+S△GEF计算即可得答案．本题主要考查正多边形的性质和平行线的性质，掌握等高不等底的两个三角形面积之比等于底之比是解题关键．18.【答案】√2【解析】解：连接AA′，交CM于点P，如图，设DM=a(a>0)，AM=b(b>0)，∵M是AB的中点，∠ACB=90°，∴CM是Rt△ABC有斜边上的中线，∴CM=12AB，即AM=BM=CM，∴BM=CM=b，AB=AM+BM=2b，∵A′M⊥AB，∴∠A′MB=∠A′MA=90°，即∠DMA=∠DMB=90°，∴DB=√DM2+BM2=√a2+b2，∵AM、A′M关于CM对称，∴A′M=AM，∠AMC=∠A′MC，AA′⊥CM，∴A′M=b，∴A′D =A′M −DM =b −a ．∵∠A′MA =90°，∴∠AMC +∠A′MC =90°，∴2∠AMC =90°，∴∠AMC =45°，∵AA′⊥CM ，∴△APM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，∴AP =MP =√22AM =√22b ，∴CP =CM −MP =b −√22b =2−√22b ， ∵AA′⊥CM ，∴∠APC =90°，∴AC =√AP 2+CP 2=(√22b)+(2−√22b)=√2−√2|b|，∵b >0， ∴√2−√2×|b|=b √2−√2，故AC =b √2−√2，∵在Rt △ABC 中，sinB =AC AB ，在Rt △DMB 中，sinB =DM DB ， ∴AC AB =DM DB ，∴b √2−√22b =√a 2+b ， ∴√a 2+b =√2−√22， ∴a 2a 2+b 2=(√2−√22)2=2−√24，故a 2+b 2a 2=2−√2，∴1+(b a )2=√2)(2+√2)(2−√2)=4+2√2， ∴(b a )2=3+2√2，∵a >0，b >0， ∴b a >0，∴b a =√3+2√2=√(√2+1)2=√2+1， ∴A′DDM =b−a a =ba−1=√2，即A′D ：DM 的值为√2．故答案为：√2．连接AA′，交CM 于点P ，可设DM =a(a >0)，AM =b(b >0)，由直角三角形斜边上的中线的定义可得CM 是Rt △ABC 有斜边上的中线，可得BM =CM =b ，AB =AM +BM =2b ，再由折叠的性质可得A′M =AM ，∠AMC =∠A′MC ，AA′⊥CM ，从而可求得∠AMC =45°，则可证得△APM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，故有CP =CM −MP =b −√22b =2−√22b ，从而可求得AC =b √2−√2，再由sinB =AC AB ，sinB =DM DB ，得AC AB =DM DB ，可求得a 2+b 2a 2=2−√2，b a =√3+2√2=√(√2+1)2=√2+1，即可求解．本题主要考查翻折变换(折叠问题)，解答的关键是明确折叠的过程中相应的边或角之间的关系．19.【答案】解：原式=13+4−√3−3+2+√3=103．【解析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、分数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．本题考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．20.【答案】解：{x +y =5①4x 2−9y 2=0②，由②得：(2x +3y)(2x −3y)=0．∴2x +3y =0，2x −3y =0，∴原方程组可化为{x +y =52x +3y =0，{x +y =52x −3y =0．解方程组解{x +y =52x +3y =0得{x 1=15y 1=−10；解方程组{x +y =52x −3y =0得{x 2=2y 2=3． ∴原方程组的解为：{x 1=15y 1=−10，{x 2=2y 2=3．【解析】因式分解方程组中的方程②，化为两个一元一次方程，与组中的方程①重新构成新的方程组，求解即可．本题考查了高次方程，把高次方程转化为一元一次方程是解决本题的关键．21.【答案】解：设玩具厂改良生产线前每天生产x 箱“冰墩墩”，根据题意，得6000x =6000x+20+10，化简得：x 2+20x −12000=0，解得x 1=100，x 2=−120(不合题意，舍去)，经检验，x 1=100是原方程的根，且符合题意，答：玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”．【解析】设玩具厂改良生产线前每天生产x 箱“冰墩墩”，根据改良生产线后提前10天完成任务，列分式方程，求解即可．本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．22.【答案】B 0<preA <2【解析】解：(1)在△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴BC =AB ，∴pre60°=BC AB =1，故答案为：B ；(2)在△ABC 中，根据三角形的三边关系得，BC <AB +AC ，∵AB =AC ，∴BC <2AB ，∴preA =BC AB <2，∵preA>0，∴0<preA<2，故答案为：0<preA<2；(3)如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，∵sinA=BDAB =817，∴设AB=17k，BD=8k(k≠0)，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=√AB2−BD2=√(17k)2−(8k)2=15k，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC=17k．∴DC=AC−AD=2k，在Rt△BCD中，BC=√BD2+CD2=√(8k)2+(2k)2=2√17k，∴preA=BCAB =2√17k17k=2√1717．(1)先判断出△ABC是等边三角形，进而得出BC=AB，最后用新定义求解，即可球场答案；(2)先判断出BC<2AB，最后用新定义求解，即可求出答案；(3)过点B作BD⊥AC于D，设AB=17k，BD=8k(k≠0)，进而用勾股定理求出AD，BC，最后用新定义求解，即可求出答案．此题主要考查了等腰三角形的性质，新定义，勾股定理，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解(3)的关键．23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠ECD=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，又∵FG⊥BC，∴∠BGF=∠B=90°，∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，即：∠AEF=90°，∴∠GEF+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠GEF，在△ABE与△EGF中，{∠B=∠BGF ∠BAE=∠GEF AE=FE∴△ABE≌△EGF(AAS)，∴BE=FG；(2)如图，连接AM，DE，∵∠B=∠ECD，∠BAE=∠GEF，∴△ABE∽△ECM，∴AB EC =AEEM，∵AB⋅DM=EC⋅AE，∴AB EC =AEDM，∴AE EM =AEDM，∴EM=DM，在Rt△AEM与Rt△ADM中，{EM=DMAM=AM，∴Rt△AEM≌Rt△ADM(HL)，∴AD=AE．∴点A在线段DE的垂直平分线上，∵EM=DM，∴点M在线段DE的垂直平分线上，∴AM垂直平分DE．【解析】(1)由“AAS”可证△ABE≌△EGF，可得BE=FG；(2)由相似三角形的性质可证EM=DM，由“HL”可证Rt△AEM≌Rt△ADM，可得AE=AD，可得结论．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵点A坐标为(−1,0)，点B坐标为(3,0)．设抛物线y=a(x+1)(x−3)(a≠0)，∵抛物线经过点C(0,4)，∴4=−3a．解得a=−43．∴抛物线的表达式是y=−43x2+83x+4；(2)①由于⊙G与⊙E内切，当r⊙G<r⊙E时，则EF−GB=GE，设EF=5t，FG=3t，GE=4t，则5t−GB=4t，∴GB=t<GE=4t，∴点E在线段CB的延长线上．又∵已知点E在线段BC上，∴矛盾，因此不存在．当r⊙G>r⊙E时，则GB−EF=GE，又∵GE=GB−EB，∴EF=EB；②∵OC⊥OB，FD⊥OB，∴∠COB=∠EDB=90°．∴tan∠OBC=EDBD =OCOB=43．∴设BD=t，则DE=43t；在Rt△BED中，由勾股定理得，BE=√DE2+DB2=√t2+(43t)2=53t．∴DF=DE+EF=43t+53t=3t，∴F坐标为(3−t,3t)，∵F点在抛物线y=−43x2+83x+4上，∴3t=−43(3−t)2+83(3−t)+4，∴解得t=74，t=0(点F与点B重合，舍去)．∴F坐标为(54,21 4).【解析】(1)根据点A、B的坐标，设抛物线y=a(x+1)(x−3)，再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；(2)①分两种情形，当r⊙G>r⊙E时，则GB−EF=GE，则EF=EB，当r⊙G<r⊙E时，则EF−GB= GE，设EF=5t，FG=3t，GE=4t，则5t−GB=4t，则GB=t<GE=4t，从而得出矛盾；②由tan∠OBC=EDBD =OCOB=43.设BD=t，则DE=43t，利用勾股定理得BE=5t3，则F坐标为(3−t,3t)，代入抛物线解析式，从而解决问题．本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，圆与圆的位置关系，三角函数等知识，根据⊙G与⊙E内切，得出EF=EB是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)过点A作AH⊥BC于H，过点D作DE⊥AC于E，∵在Rt△ABH中，∠AHB=90°，AB=26，cosB=513，∴BH=10，AH=24，∴CH=BC−BH=32．∵在Rt△AHC中，∠AHC=90°，由勾股定理得，AC=√AH2+CH2=40，∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，AE=12AC=20．∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB=∠DCA，在Rt△ADE中，cos∠DAC=AEAD =cos∠ACB=CHAC=45，∴AD=CD=25；(2)延长MN交AD的延长线于点F．∵AD//BC，∴DF CM =DNCN，AFCM=AGGC，∵CM=CN=x，CD=AD=25，∴DN=25−x，∴DFx =25−xx，∴DF=25−x，∴AF=50−x，∴y=AGGC =50−xx(0<x≤25)；(3)当点N在CD上时，∵CM=CN，∴∠NMC=∠MNC．∵∠NMC=2∠DMN，∠MNC=∠DMN+∠MDN，∴∠DMN=∠MDN．∴DN=MN=25−x，∵MG=35x，MG=12MN，∴MN=65x．∴65x=25−x，∴x=12511，即CM=12511；当点N在CD的延长线上时，DN=x−25，延长DA交射线MN于点P．∵∠NMC=2∠DMN，∴∠NMD=∠DMC，∵AD//BC，∠NMC=∠MNC，∴∠NPD=∠MNC，NPPM =DNDC，∴DN=PD=x−25．∵AD//BC，∴∠PDM=∠DMC，∴∠NMD=∠PDM．∴PM=PD=x−25．∴65x−(x−25)x−25=x−2525，∴x=55，即CM=55，综上所述，线段CM的长为12511或55．【解析】(1)过点A作AH⊥BC于H，过点D作DE⊥AC于E，首先利用cosB=513，得出BH的长，从而得出AH、CH、AC的长，再根据cos∠DAC=AEAD =cos∠ACB=CHAC=45，可得答案；(2)延长MN交AD的延长线于点F.根据AD//BC，得DFCM =DNCN，AFCM=AGGC，表示出DF的长，从而得出AF的长，即可得出答案；(3)分两种情形，当点N在CD上时，可得DN=MN=25−x，再利用三角函数表示出MG的长，从而得出答案，当点N在CD的延长线上时，DN=x−25，延长DA交射线MN于点P.同理可得答案．本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，三角函数，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，运用分类思想是解决问题(3)的关键．。

闵行区中考数学二模试卷及答案

闵行区2015学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果单项式22n a b c 是六次单项式，那么n 的值取（A ）6；（B ）5；（C ）4；（D ）3．2（A（B（C1；（D1．3．下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是（A ）3y x =；（B ）3y x =-；（C ）3y x =；（D ）3y x=-． 4．一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（A ）平均数；（B ）中位数；（C ）众数；（D ）方差．5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（A ）正五边形；（B ）等腰梯形；（C ）平行四边形；（D ）圆．6．下列四个命题，其中真命题有（1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin 20a ⋅o ．（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．学校_____________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：22-= ▲ ．8．在实数范围内分解因式：32a a -= ▲ ． 92=的解是 ▲ ． 10．不等式组30,43x x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是 ▲ ．11．已知关于x 的方程20x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ．12．将直线213y x =-+向下平移3个单位，那么所得到的直线在y 轴上的截距为 ▲ ．13．如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称 ▲ ．14．如图，已知在梯形ABCD 中，AD AB a =uu u r r AD b =uuu r r AE =u u u r a rb r17．点10cm ，最短的弦长为8cm ，那么OP的长等于 ▲ cm 18．如图，已知在△ABC 中，AB = AC ，1tan 3B ∠=，将△ABC 翻折，使点C 与点A 重合，折痕DE 交边BC 于点D ，交边AC 于点E ，那么BDDC的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）110212(cos60)32--++-o．20．（本题满分10分）解方程：222421242x x x x x x-+=+--． 21．（本题满分10分，其中每小题各5分）ABD C（第14题图） E ABC（第18题图）（第16题图）乘公车 y %步行x %骑车 25%私家车15%学生出行方式扇形统计图师生出行方式条形统计图如图，已知在△ABC 中，∠ABC = 30o ，BC = 8，sin A ∠=，BD 是AC 边上的中线．求：（1）△ABC 的面积；（2）∠ABD 的余切值．22．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为i =1∶512，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53o 时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡 AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8≈o ，cos530.6≈o ， tan53 1.33≈o ，cot 530.75≈o ）．23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作 AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于点G ，交边AB 于点H ．联结AF ，CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =⋅． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线l ．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M 的坐标；（2）如果直线y kx b =+经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直线l 的对称点为N ，试证明四边形CDAN（3）点P 在直线l 上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，求点P 的坐标．BCD（第21题图）AB DC E（第22题图）F （第24题图）（第23题图）AB CD E FG O H25．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在△ABC中，AB = AC = 6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD = 2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE = AD，求AH的长；（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交线段AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF = x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（第25题图3)闵行区2015学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D；2．B；3．B；4．C；5．D；6．A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4；8．(a a a；9．12x=；10．335x-<≤；11．14m<-；12．2-；13．矩形，等腰梯形，正方形（任一均可）；14．122a b+r r；15．13；16．15；17．3；18．135．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式112+…………………………………………………（8分）12=………………………………………………………………（2分）20．解：(4)(2)22x x x x--+=+．…………………………………………………（2分）26822x x x x-++=+．…………………………………………………（2分）2560x x-+=．………………………………………………………（2分）13x=，22x=．……………………………………………………（2分）经检验3x=是原方程的解，2x=是增根，舍去．………………………（1分）所以原方程的解是3x=．……………………………………………………（1分）21．解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为点E．∵CE⊥AB，∴∠CEB =∠CEA = 90o．在Rt△CBE中，∵∠ABC = 30o，BC = 8，∴CE = 4．………………（1分）利用勾股定理，得BE=．…………（1分）在Rt△CEA中，∵CE = 4，sin A∠=，∴sinCEACA==∠∴8AE=．……………………………（1分）∴8AB AE EB=+=+……………………………………………（1分）∴11(841622ABCS AB CE=⋅=⨯+⨯=+V1分）（2）过点D作DF⊥AB，垂足为点F．∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠DF A=∠CEA = 90o，∴DF // CE．……（1分）又∵BD 是AC 边上的中线，∴12AD DF AF AC CE AE ===．………………（1分）又∵CE = 4，AE = 8，BE =DF = 2，AF = 4，EF = 4．……（1分）∴4BF =+．………………………………………………………（1分）在Rt △DFB 中，∴cot 2BF ABD DF ∠===+…………（1分）22．解：（1）在Rt △BEA 中，222AE BE AB +=．∵i =1∶512，∴设AE = 5k ，BE = 12k ．………………………………（1分）又∵AB =26，∴222(5)(12)26k k +=，…………………………………（1分）解得2k =．………………………………………………………………（1分） ∴AE = 10，BE = 24． …………………………………………………（1分）答：改造前坡顶与地面的距离BE 的长为24米．……………………（1分）（2）过点F 作FH ⊥AD ，垂足为点H ． ∵BC // AD ，BE ⊥AD ，FH ⊥AD ，∴24FH BE ==．……………………………………………………（1分）在Rt △FHA 中，∴cot AHFAH FH∠=．又∵∠F AH = 53o ，∴cot cot 530.7524AHFAH ∠==≈o ．……………（1分）∴18AH =．……………………………………………………………（1分） ∴18108HE AH AE =-=-=．∵FH // BE ，BC // AD ，∴BF = EH = 8．……………………………（1分）答：BF 至少是8米．…………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵矩形ABCD ，∴AE // CF ．∴∠AEO =∠CFO ．…………………（1分）又∵点O 为对角线AC 的中点，∴AO = CO ．………………………（1分）又∵∠AOE =∠COF ，∴△EOA ≌ △FOC ．………………………（1分） ∴EO = FO ．…………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCE 是平行四边形．……………………………………（1分）又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．……………………………（1分）（2）∵EO = FO ，OF = 2GO ，∴EG = GO ．……………………………（1分）∵矩形ABCD ，EF ⊥AC ，∴∠EDC =∠EOC = 90o ．又∵EGD CGO ∠=∠，∴△EGD ∽△CGO ．………………………（2分）∴EG GC DG GO=．………………………………………………………（1分）又∵EG = GO ，∴GO GCDG GO=．………………………………………（1分） ∴2GO DG GC =⋅．…………………………………………………（1分）24．解：（1）抛物线22y ax x c =++经过点C （0，3），∴3c =．…………………………………………………………………（1分）抛物线223y ax x =++经过点A （-1，0）， ∴2(1)230a ⨯--+=．解得 1a =-．∴所求抛物线的关系式为 223y x x =-++．………………………（1分）抛物线的对称轴是直线1x =．…………………………………………（1分）顶点坐标M （1，4）．…………………………………………………（1分）（2）直线y kx b =+经过C 、M 两点，点C （0，3），点M （1，4）， ∴34b k b=⎧⎨=+⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为3y x =+．……（1分）∴点D 的坐标为（-3，0）．∴AD = 2．………………………………（1分） ∵点C 关于直线l 的对称点为N ， ∴点N 的坐标为（2，3）．……………………………………………（1分） ∴CN = 2=AD ．又∵CN // AD ，∴四边形CDAN 是平行四边形．……………………（1分）（3）过点P 作PH ⊥CD ，垂足为点H ．∵ 以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，∴PH = AP ，即：22PH AP =．………………………………………（1分）设点P 的坐标为（1，t ），∴4PM t =-，2222AP t =+．∵在Rt △MED 中，点D 的坐标为（-3，0），点M 的坐标为（1，4），∴DE = ME = 4．∴∠DME = 45o ．∴4PH MH t ==-．即得 2214(4)2t t +=-．………………………………………………（1分）∴ 解得4t =-±．…………………………………………………（1分）∴点P 的坐标为（1，4-+1，4--．……………（1分）25．解：（1）过点H 作HG // CD ，交AB 于点G ．∵AB = AC ，AH ⊥BC ，∴BH = CH ．…………………………………（1分）又∵HG // CD ，AB = 6，AD = 2，∴DG = BG = 2．…………………（1分）又∵HG // CD ，∴AE = EH = 2．………………………………………（1分） ∴AH = 4．………………………………………………………………（1分）（2）联结AP ，设BP = t ．∵以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，∴2AP t =+．…………………………………………………………（1分） ∵以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙A 内切，∴2AP PC =-．………………………………………………………（1分）∴4PC t =+．∴24BC t =+．∴122BH BC t ==+．∴2HP =．………………………………………………………………（1分）在Rt △ABH 中，222AH AB BH =-，在Rt △APH 中，222AH AP HP =-，可得22226(2)(2)2t t -+=+-．………………………………………（1分）解得：2t =±（负值舍去）∴BC =1分）另解：联结AP ，设BP = a ，BC = b ．∵以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，∴2AP a =+．…………………………………………………………（1分） ∵以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙A 内切，∴2AP PC =-．………………………………………………………（1分） ∴22a b a +=--．即24b a =+．①…………………………………（1分）在Rt △APH 中，222AH AP HP =-，在Rt △BCH 中，222AH AC CH =-，可得22211(2)()36()22a b a b +--=-，即：4320a ab +-=．②………………………………………………（1分）把方程①代入方程②得24160a a +-=解得：2a =±（负值舍去）∴BC b ==．………………………………………………………（1分）（3）过点B 作BM // DF ，交AH 的延长线于点M ．∵BM // DF ，AB = 6，AD = 2，DF = x ， ∴13AD AF DF AB AM BM ===．即：3BM x =，AM = 6．…………………（1分）设HM k =．在Rt △ABH 中，222BH AB AH =-，在Rt △BHM 中，222BH BM MH =-，∴22226(6)(3)k x k --=-，即234k x =，∴2223(3)()4BH x x =-，2364AH x =-．……………………………（1分）∴322BC BH ==1分）∴21133(6)2224y BC AH x =⋅=⨯-=∴y 关于x 的函数解析式为：y =………………（1分）自变量x 的取值范围为0x <………………………………（1分）。

闵行区初中二模数学试卷

一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列数中，绝对值最小的是（）。

A. -3B. 2C. 0D. -52. 若方程 2x - 5 = 3 的解为 x，则 x 的值是（）。

A. 4B. 2C. 1D. 03. 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，若∠B = 50°，则∠A 的度数是（）。

A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 一个长方体的长、宽、高分别为 4cm、3cm、2cm，则它的表面积是（）。

A. 52cm²B. 54cm²C. 56cm²D. 58cm²5. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）。

A. y = 2x + 1B. y = -3x + 2C. y = x²D. y = 1/x6. 若 a > b，且 c < 0，则下列不等式中正确的是（）。

A. ac > bcB. ac < bcC. a/c > b/cD. a/c < b/c7. 下列各组数中，存在一个偶数和一个奇数，使得它们的和为偶数的是（）。

A. 2, 4, 6B. 1, 3, 5C. 0, 2, 4D. 7, 9, 118. 若 a, b, c 成等差数列，且 a + b + c = 12，则 b 的值是（）。

A. 3B. 4C. 5D. 69. 在平面直角坐标系中，点 A（-2，3）关于原点对称的点是（）。

A. （-2，-3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）10. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）。

A. 正方形B. 等边三角形C. 梯形D. 圆二、填空题（每题5分，共50分）11. 若 |x - 1| = 3，则 x 的值为 _______。

12. 在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB = 5cm，AC = 3cm，则 BC 的长度为_______。

2024届上海市闵行区初三二模数学试卷(含答案)

2024届上海市闵行区初三二模数学试卷一、选择题1.下列实数中，有理数是（）A.3π−B. 1−C.D.2.下列运算正确的是（）A. 2a a a+= B. 2a a a⋅= C. ()3328a a= D. ()326aa −=3.下列函数中，y 的值随着x 的值增大而增大的是（）A. 1y x=B. 2y x =−+C. 2y x =−D. 1y x=−4.某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166,160,160,150,134,130，那么这组数据的平均数和中位数分别是（） A. 150,150 B. 155,155 C. 150,160 D. 150,1555.在Rt ABC 中，∠CAB=90°，AB=5，AC=12，以点A ，点B ，点C 为圆心的,,A B C 的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（） A. 点B 在A 上B. A 与B 内切C. A 与C 有两个公共点D. 直线BC 与A 相切6.在矩形ABCD 中，AB<BC ，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，联结DE 、DF 、EF ，,AB a BE CF b ===，DE=c ，∠BEF=∠DFC ，以下两个结论：①()()222a b a b c ++−=②2a b c +>其中判断正确的是（） A. ①②都正确 B. ①②都错误C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确二、填空题7.计算：124=_____________8.单项式22xy 的次数是_______________ 9.不等式组2620x x <⎧⎨−>⎩的解集是______________10.计算：()()32523a b a b −++=________________11.分式方程2111x x x =−−的解是______________ 12.已知关于x 的方程220x x m ++=没有实数根，那么m 的取值范围是______________13.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两，牛二、羊五，直金十六两，牛、羊各直金几何?”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两，2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两?”根据题意，设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，那么可列方程组为_______________14.某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷：学生最期待的一项方式是：A 畅谈交流心得；B 外出郊游骑行；C 开展运动比赛；D 互赠书签贺卡。

2024上海闵行区初三二模数学试卷及答案

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闵行区初三数学中考二模卷及答案

闵行区2021学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷 2021.04一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕1．以下实数中，是无理数的是〔A 〕3.14；〔B 〕237；〔C 1；〔D 2．以下运算肯定正确的选项是〔A〔B 1；〔C 〕2a =；〔D 2-3．不等式组21,10x x ->⎧⎨-<⎩的解集是〔A 〕12x >-；〔B 〕12x <-；〔C 〕1x <；〔D 〕112x -<<． 4．用配方法解方程0142=+-x x 时，配方后所得的方程是〔A 〕2(2)3x -=；〔B 〕2(2)3x +=；〔C 〕2(2)1x -=；〔D 〕2(2)1x -=-． 5．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，AB = A ′B ′，∠A =∠A ′，要使△ABC ≌△A ′B ′C ′，还需要增加一个条件，这个条件不正确的选项是〔A 〕AC = A ′C ′；〔B 〕BC = B ′C ′；〔C 〕∠B =∠B ′；〔D 〕∠C =∠C ′．6．以下命题中正确的选项是〔A 〕矩形的两条对角线相等；〔B 〕菱形的两条对角线相等；〔C 〕等腰梯形的两条对角线互相垂直；〔D 〕平行四边形的两条对角线互相垂直．二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕7．计算：124= .8．因式分解：2x y x y -= .9x 的实数根是 .10．如果关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，那么m 的取值范围是 .11．一次函数2(1)5y x =-+的图像在y 轴上的截距为． 12．反比例k y x=〔0k ≠〕的图像经过点〔2，-1〕，那么当0x >时，y 随x 的增大而．〔填“增大〞或“减小〕. 13．抛物线22y a x b x =++经过点〔3，2〕，那么该抛物线的对称轴是直线 .14．布袋中装有3个红球和3个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 .15．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，如果AB a =，AD b =，那么OC = .16．：⊙O 1、⊙O 2的半径长分别为2、5，如果⊙O 1与⊙O 2相交，那么这两圆的圆心距d 的取值范围是．17．如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 的中点，EF ⊥AE ，与边CD 相交于点F ，如果△CEF 的面积等于1，那么△ABE 的面积等于．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠A = 50°，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，点B 与点F 重合，如果∠ADF = 45°，那么∠CEF = 度．三、解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕 19．〔此题总分值10分〕先化简，再求值：21232()222x x x x x++÷+-+，其中2x =．20．〔此题总分值10分〕解方程组：2223,44 1.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩21．〔此题共2小题，总分值10分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分〕如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在边AB 上，以点A 为圆心，线段AD 的长为半径的⊙A 与边AC 相交于点E ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，AF 的延长线与边BC 相交于点G ，联结GE ．DE = 10，12cos 13BAG ∠=，12AD DB =．求：〔1〕⊙A 的半径AD 的长；〔2〕∠EGC 的余切值．22．〔此题共2小题，每题5分，总分值10分〕为了有效地利用电力资源，电力部门推行分时用电．即在居民家中安装分时电表，每天6∶00至22∶00用电每千瓦时0.61元，每天22∶00至次日6∶00用电每千瓦时0.30元．原来不实行分时用电时，居民用电每千瓦时0.61元．某户居民为了解家庭的用电及电费情况，于去年9月随意记录了该月6天的用电情况，见下表〔单位：千瓦时〕．〔1〕如果该用户去年9月份〔30天〕每天的用电情况根本相同，根据表中数据，试估量该用户去年9月总用电量约为多少千瓦时．〔2〕如果该用户今年3月份的分时电费为127.8元，而按照不实行分时用电的计费方法，其电费为146.4元，试问该用户今年3月份6∶00至22∶00与22∶00至次日6∶00两个时段的用电量各为多少千瓦时？〔注：以上统计是从每个月的第一天6∶00至下一个月的第一天6∶00止〕23．〔此题共2小题，每题6分，总分值12分〕〔第15题图〕 A C B D E F 〔第18题图〕 A B C D E F 〔第17题图〕 A F D E B C G：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，BC = 2AD ．DE ⊥BC ，垂足为点F ，且F 是DE 的中点，联结AE ，交边BC 于点G ．〔1〕求证：四边形ABGD 是平行四边形；〔2〕如果AD =，求证：四边形DGEC 是正方形．24．〔此题共3小题，总分值12分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题3分，第〔3〕小题5分〕：在平面直角坐标系中，一次函数3y x =+的图像与y 轴相交于点A ，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 、B 〔1，0〕，D 为顶点．〔1〕求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；〔2〕将上述二次函数的图像沿y 轴向上或向下平移，使点D 的对应点C 在一次函数3y x =+的图像上，求平移后所得图像的表达式；〔3〕设点P 在一次函数3y x =+的图像上，且2ABP ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标． 25．〔此题共3小题，总分值14分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕、〔3〕小题每题5分〕如图，在平行四边形ABCD 中，8AB =，tan 2B =，CE ⊥AB ，垂足为点E 〔点E 在边AB 上〕，F 为边AD 的中点，联结EF ，CD ．〔1〕如图1，当点E 是边AB 的中点时，求线段EF 的长；〔2〕如图2，设BC x =，△CEF 的面积等于y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数定义域；〔3〕当16BC =时，∠EFD 与∠AEF 的度数满足数量关系：EFD k AEF ∠=∠，其中k ≥0，求k 的值．闵行区2021学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕1．C ；2．D ；3．B ；4．A ；5．B ；6．A ．二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕 7．2；8．(1)x y x -；9．2x =；10．1m ≤；11．3；12．增大；13．32x =；14．12； 15．1122a b +；16．37d <<；17．4；18．35．三、解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕19．解：原式32(2)(2)(2)32x x x x x x ++=⨯+-+……………………………………………〔4分〕 A B C D E F G 〔第23题图〕〔第24题图〕 A B C D E F 〔图1〕 A B C DE F 〔图2〕〔第25题图〕 A B CD E F2x x =-．…………………………………………………………………〔2分〕当2x =时，原式===．…………………〔4分〕 20．解：由 22441x x y y -+=，得 21x y -=，21x y -=-． ………………〔2分〕原方程组化为23,21x y x y +=⎧⎨-=⎩； 23,2 1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩……………………………………〔4分〕解这两个方程组，得原方程组的解是112,12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； 221,1.x y =⎧⎨=⎩…………………………………………………〔4分〕 21．解：〔1〕在⊙A 中，∵ AF ⊥DE ，DE = 10，∴ 1110522DF EF DE ===⨯=． …………………………………〔1分〕在Rt △ADF 中，由 12cos 13AF DAF AD ∠==，得 12AF k =，13AD k =．…………………………………………〔1分〕利用勾股定理，得 222AF DF AD +=．∴ 222(12)5(13)k k +=．解得 1k =．……………………………〔1分〕 ∴ AD = 13． …………………………………………………………〔1分〕〔2〕由〔1〕，可知 1212AF k ==．………………………………………〔1分〕∵ 12AD DB =， ∴ 13AD AB =．………………………………………〔1分〕在⊙A 中，AD = AE ．又∵ AB = AC ， ∴ AD AE AB AC=．∴ DE // BC ．…………………〔1分〕 ∴ 13AF AD AG AB ==，EGC FEG ∠=∠． ∴ AG = 36． ∴ 24FG AG AF =-=．…………………………〔1分〕在Rt △EFG 中，5cot 24EF FEG FG ∠==．……………………………〔1分〕即得 5cot 24EGC ∠=．………………………………………………〔1分〕 22．解：〔1〕6∶00至22∶00用电量：4.5 4.4 4.6 4.6 4.3 4.6301356+++++⨯=．……………………………〔2分〕 22∶00至次日6∶00用电量：1.4 1.6 1.3 1.5 1.7 1.530456+++++⨯=．………………………………〔2分〕所以 135 +45 = 180〔千瓦时〕．……………………………………〔1分〕所以，估量该户居民去年9月总用电量为180千瓦时．〔2〕根据题意，得该户居民5月份总用电量为 146.42400.61=〔千瓦时〕．〔1分〕设该用户6月份6∶00至22∶00的用电量为x 千瓦时，则22∶00至次日6∶00的用电量为〔240 –x 〕千瓦时．根据题意，得 0.610.30(240)127.8x x +-=．……………………〔2分〕解得 180x =．…………………………………………………………〔1分〕所以 24060x -=． …………………………………………………〔1分〕答：该用户6月份6∶00至22∶00与22∶00至次日6∶00两个时段的用电量分别为180、60千瓦时．23．证明：〔1〕∵ DE ⊥BC ，且F 是DE 的中点，∴ DC = EC ．即得 ∠DCF =∠ECF ．……………………………………………〔1分〕又∵ AD // BC ，AB = CD ，∴ ∠B =∠DCF ，AB = EC ．∴ ∠B =∠ECF ．∴ AB // EC ．…………………………………〔1分〕又∵ AB = EC ，∴ 四边形ABEC 是平行四边形．……………〔1分〕∴ 12BG CG BC ==．………………………………………………〔1分〕 ∵ BC = 2AD ，∴ AD = BG ．………………………………………〔1分〕又∵ AD // BG ，∴ 四边形ABGD 是平行四边形．……………〔1分〕〔2〕∵ 四边形ABGD 是平行四边形，∴ AB // DG ，AB = DG ．…………………………………………〔1分〕又∵ AB // EC ，AB = EC ，∴ DG // EC ，DG = EC ．∴ 四边形DGEC 是平行四边形．…………………………………〔1分〕又∵ DC = EC ，∴ 四边形DGEC 是菱形．……………………〔1分〕 ∴ DG = DC ．由AD =，即得CG ．………………〔1分〕 ∴ 222DG DC CG +=．∴ 90GDC ∠=︒．∴ 四边形DGEC 是正方形． ……………………………………〔2分〕24．解：〔1〕由 0x =，得 3y =．∴ 点A 的坐标为A 〔0，3〕．………………………………………〔1分〕 ∵ 二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 〔0，3〕、B 〔1，0〕，∴ 3,10.c b c =⎧⎨-++=⎩……………………………………………………〔1分〕解得 2,3.b c =-⎧⎨=⎩∴ 所求二次函数的解析式为223y x x =--+．……………………〔1分〕顶点D 的坐标为D 〔-1，4〕．…………………………………………〔1分〕〔2〕设平移后的图像解析式为2(1)y x k =-++．根据题意，可知点C 〔-1，k 〕在一次函数3y x =+的图像上，∴ 13k -+=．…………………………………………………………〔1分〕解得 2k =．……………………………………………………………〔1分〕 ∴ 所求图像的表达式为2(1)2y x =-++或221y x x =--+．……〔1分〕〔3〕设直线1x =-与x 轴交于点E ．由〔2〕得 C 〔-1，2〕．又由 A 〔0，3〕，得AC =根据题意，设点P 的坐标为P 〔m ，m +3〕．∵ △ABP 与△ABC 同高，于是，当 2ABP ABC S S ∆∆=时，得2AP AC ==1分〕此时，有两种不同的情况：〔ⅰ〕当点P 在线段CA 的延长线上时，得CP CA AP =+=，且0m >．过点P 作PQ 1垂直于x 轴，垂足为点Q 1．易得 1EO AP CA OQ =．∴．解得 2m =．即得 35m +=． ∴ P 1〔2，5〕．………………………………………………………〔2分〕〔ⅱ〕当点P 在线段AC 的延长线上时，得 CP AP AC =-=0m <．过点P 作PQ 2垂直于x 轴，垂足为点Q 2．易得 2EQ OEAC PC =．∴．解得 2m =-．即得 31m +=． ∴ P 2〔-2，1〕．………………………………………………………〔2分〕综上所述，点P 的坐标为〔2，5〕或〔-2，1〕．另解：〔3〕由〔2〕得 C 〔-1，2〕．又由 A 〔0，3〕，得 AC =根据题意，设点P 的坐标为P 〔m ，m +3〕．∵ △ABP 与△ABC 同高，于是，当 2ABP ABC S S ∆∆=时，得 2AP AC ==1分〕∴ 28AP =．即得 22(33)8m m ++-=．………………………………………〔1分〕解得 12m =，22m =-．………………………………………………〔1分〕 ∴ m +3 = 5或1．……………………………………………………〔1分〕 ∴ 点P 的坐标为〔2，5〕或〔-2，1〕．……………………………〔1分〕25．解：〔1〕分别延长BA 、CF 相交于点P ．在平行四边形ABCD 中，AD // BC ，AD = BC ．……………………〔1分〕又∵ F 为边AD 的中点，∴ 12PA AF PF PB BC PC ===．即得 P A = AB = 8．……………………〔1分〕 ∵ 点E 是边AB 的中点，AB = 8，∴ 142AE BE AB ===．即得 12PE PA AE =+=．∵ CE ⊥AB ，∴ tan 428EC BE B =⋅=⨯=．∴ PC =1分〕在Rt △PEC 中，90PEC ∠=︒，12PF PC =，∴ 12EF PC ==1分〕〔2〕在Rt △PEC 中，tan 2EC B BE ==，∴ 12BE EC =．由 BC = x ，利用勾股定理 222BE EC BC +=，得 BE x =．即得 2EC BE ==．………………………〔1分〕∴ 8AE AB BE x =-=-．∴ 16PE PA AE =+=．…〔1分〕于是，由 12PF PC =，得 111222EFC PEC y S S PE EC ∆∆===⨯⋅．∴ 1(16)4y x =-．………………………………………〔1分〕∴ 2110y x =-，0x <≤2分〕〔3〕在平行四边形ABCD 中，AB // CD ，CD = AB = 8，AD = BC = 16．∵ F 为边AD 的中点，∴ 182AF DF AD ===．………………〔1分〕 ∴ FD = CD ．∴ DFC DCF ∠=∠．………………………………〔1分〕 ∵ AB // CD ，∴ ∠DCF =∠P ．∴∠DFC =∠P．……………………………………………………〔1分〕在Rt△PEC中，90PEC∠=︒，12PF PC=，∴EF = PF．∴∠AEF =∠P =∠DFC．又∵∠EFC =∠P +∠PEF = 2∠PEF．……………………………〔1分〕∴∠EFD =∠EFC +∠DFC = 2∠AEF +∠AEF = 3∠AEF．即得k = 3．……………………………………………………………〔1分〕。

闵行初中二模数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. 3.14B. 2/3C. √2D. 1.6182. 已知a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > b + aB. a - b < b - aC. a/b > b/aD. a/b < b/a3. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则它的对角线长为（）A. 7cmB. 9cmC. 12cmD. 13cm4. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于x轴的对称点为（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （2，-3）D. （-2，3）5. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 2x + 16. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = （）A. 50B. 55C. 60D. 657. 下列关于一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解法中，正确的是（）A. 直接开平方B. 因式分解C. 使用公式法D. 使用配方法8. 下列关于圆的性质中，正确的是（）A. 圆的直径等于圆的半径的两倍B. 圆的周长等于圆的直径的π倍C. 圆的面积等于圆的半径的平方的π倍D. 以上都是9. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则该三角形是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形10. 下列关于坐标系中点的位置描述正确的是（）A. 第一象限的点坐标为（x，y），x > 0，y > 0B. 第二象限的点坐标为（x，y），x < 0，y > 0C. 第三象限的点坐标为（x，y），x < 0，y < 0D. 第四象限的点坐标为（x，y），x > 0，y < 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 若x + 2 = 0，则x = _______。

2024年中考数学二模试卷(上海卷)(全解全析)

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

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闵行区2015学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果单项式22n a b c 是六次单项式，那么n 的值取（A ）6；（B ）5；（C ）4；（D ）3．2（A（B（C1；（D1．3．下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是（A ）3y x =；（B ）3y x =-；（C ）3y x =；（D ）3y x=-． 4．一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（A ）平均数；（B ）中位数；（C ）众数；（D ）方差．5．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（A ）正五边形；（B ）等腰梯形；（C ）平行四边形；（D ）圆．6．下列四个命题，其中真命题有（1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a ，那么边心距为sin 20a ⋅．（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个．学校_____________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：22-= ▲ ．8．在实数范围内分解因式：32a a -= ▲ ． 92=的解是 ▲ ． 10．不等式组30,43x x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是 ▲ ．11．已知关于x 的方程20x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ．12．将直线213y x =-+向下平移3个单位，那么所得到的直线在y 轴上的截距为 ▲ ．13．如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称 ▲ ．14．如图，已知在梯形ABCD 中，AD AB a =AD b =AE =ab17．点10cm ，最短的弦长为8cm ，那么OP的长等于 ▲ cm 18．如图，已知在△ABC 中，AB = AC ，1tan 3B ∠=，将△ABC 翻折，使点C 与点A 重合，折痕DE 交边BC 于点D ，交边AC 于点E ，那么BDDC的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）11212(cos60)32--++-．20．（本题满分10分）解方程：222421242x x x x x x-+=+--． 21．（本题满分10分，其中每小题各5分）ABD C（第14题图） EABC（第18题图）（第16题图）乘公车 y %步行x %骑车 25%私家车15%学生出行方式扇形统计图师生出行方式条形统计图如图，已知在△ABC 中，∠ABC = 30o ，BC = 8，sin A ∠=，BD 是AC 边上的中线．求：（1）△ABC 的面积；（2）∠ABD 的余切值．22．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为i =1∶512，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53o 时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡 AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8≈，cos530.6≈， tan53 1.33≈，cot 530.75≈）．23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在矩形ABCD 中，过对角线AC 的中点O 作 AC 的垂线，分别交射线AD 和CB 于点E 、F ，交边DC 于点G ，交边AB 于点H ．联结AF ，CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）如果OF = 2GO ，求证：2GO DG GC =⋅． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =++与x 轴交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线l ．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M 的坐标；（2）如果直线y kx b =+经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直线l 的对称点为N ，试证明四边形CDAN（3）点P 在直线l 上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，求点P 的坐标．BCD（第21题图）AB DC E（第22题图）F （第24题图）（第23题图）AB CD E FG O H25．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在△ABC中，AB = AC = 6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD = 2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE = AD，求AH的长；（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交线段AH于点F．设点P为边BC上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF = x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（第25题图3)闵行区2015学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D；2．B；3．B；4．C；5．D；6．A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4；8．(a a a；9．12x=；10．335x-<≤；11．14m<-；12．2-；13．矩形，等腰梯形，正方形（任一均可）；14．122a b+；15．13；16．15；17．3；18．135．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式112+…………………………………………………（8分）12=………………………………………………………………（2分）20．解：(4)(2)22x x x x--+=+．…………………………………………………（2分）26822x x x x-++=+．…………………………………………………（2分）2560x x-+=．………………………………………………………（2分）13x=，22x=．……………………………………………………（2分）经检验3x=是原方程的解，2x=是增根，舍去．………………………（1分）所以原方程的解是3x=．……………………………………………………（1分）21．解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为点E．∵CE⊥AB，∴∠CEB =∠CEA = 90o．在Rt△CBE中，∵∠ABC = 30o，BC = 8，∴CE = 4．………………（1分）利用勾股定理，得BE=．…………（1分）在Rt△CEA中，∵CE = 4，sin A∠=，∴sinCEACA==∠∴8AE=．……………………………（1分）∴8AB AE EB=+=+……………………………………………（1分）∴11(841622ABCS AB CE=⋅=⨯+⨯=+1分）（2）过点D作DF⊥AB，垂足为点F．∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠DF A=∠CEA = 90o，∴DF // CE．……（1分）又∵BD 是AC 边上的中线，∴12AD DF AF AC CE AE ===．………………（1分）又∵CE = 4，AE = 8，BE =DF = 2，AF = 4，EF = 4．……（1分）∴4BF =+．………………………………………………………（1分）在Rt △DFB 中，∴cot 2BF ABD DF ∠===+…………（1分）22．解：（1）在Rt △BEA 中，222AE BE AB +=．∵i =1∶512，∴设AE = 5k ，BE = 12k ．………………………………（1分）又∵AB =26，∴222(5)(12)26k k +=，…………………………………（1分）解得2k =．………………………………………………………………（1分） ∴AE = 10，BE = 24． …………………………………………………（1分）答：改造前坡顶与地面的距离BE 的长为24米．……………………（1分）（2）过点F 作FH ⊥AD ，垂足为点H ． ∵BC // AD ，BE ⊥AD ，FH ⊥AD ，∴24FH BE ==．……………………………………………………（1分）在Rt △FHA 中，∴cot AHFAH FH∠=．又∵∠F AH = 53o ，∴cot cot 530.7524AHFAH ∠==≈．……………（1分）∴18AH =．……………………………………………………………（1分） ∴18108HE AH AE =-=-=．∵FH // BE ，BC // AD ，∴BF = EH = 8．……………………………（1分）答：BF 至少是8米．…………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵矩形ABCD ，∴AE // CF ．∴∠AEO =∠CFO ．…………………（1分）又∵点O 为对角线AC 的中点，∴AO = CO ．………………………（1分）又∵∠AOE =∠COF ，∴△EOA ≌ △FOC ．………………………（1分） ∴EO = FO ．…………………………………………………………（1分） ∴四边形AFCE 是平行四边形．……………………………………（1分）又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．……………………………（1分）（2）∵EO = FO ，OF = 2GO ，∴EG = GO ．……………………………（1分）∵矩形ABCD ，EF ⊥AC ，∴∠EDC =∠EOC = 90o ．又∵EGD CGO ∠=∠，∴△EGD ∽△CGO ．………………………（2分）∴EG GC DG GO=．………………………………………………………（1分）又∵EG = GO ，∴GO GCDG GO=．………………………………………（1分） ∴2GO DG GC =⋅．…………………………………………………（1分）24．解：（1）抛物线22y ax x c =++经过点C （0，3），∴3c =．…………………………………………………………………（1分）抛物线223y ax x =++经过点A （-1，0）， ∴2(1)230a ⨯--+=．解得 1a =-．∴所求抛物线的关系式为 223y x x =-++．………………………（1分）抛物线的对称轴是直线1x =．…………………………………………（1分）顶点坐标M （1，4）．…………………………………………………（1分）（2）直线y kx b =+经过C 、M 两点，点C （0，3），点M （1，4）， ∴34b k b=⎧⎨=+⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩，∴直线CD 的解析式为3y x =+．……（1分）∴点D 的坐标为（-3，0）．∴AD = 2．………………………………（1分） ∵点C 关于直线l 的对称点为N ， ∴点N 的坐标为（2，3）．……………………………………………（1分） ∴CN = 2=AD ．又∵CN // AD ，∴四边形CDAN 是平行四边形．……………………（1分）（3）过点P 作PH ⊥CD ，垂足为点H ．∵ 以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，∴PH = AP ，即：22PH AP =．………………………………………（1分）设点P 的坐标为（1，t ），∴4PM t =-，2222AP t =+．∵在Rt △MED 中，点D 的坐标为（-3，0），点M 的坐标为（1，4），∴DE = ME = 4．∴∠DME = 45o ．∴4PH MH t ==-．即得 2214(4)2t t +=-．………………………………………………（1分）∴ 解得4t =-±．…………………………………………………（1分）∴点P 的坐标为（1，4-+1，4--．……………（1分）25．解：（1）过点H 作HG // CD ，交AB 于点G ．∵AB = AC ，AH ⊥BC ，∴BH = CH ．…………………………………（1分）又∵HG // CD ，AB = 6，AD = 2，∴DG = BG = 2．…………………（1分）又∵HG // CD ，∴AE = EH = 2．………………………………………（1分） ∴AH = 4．………………………………………………………………（1分）（2）联结AP ，设BP = t ．∵以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，∴2AP t =+．…………………………………………………………（1分） ∵以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙A 内切，∴2AP PC =-．………………………………………………………（1分）∴4PC t =+．∴24BC t =+．∴122BH BC t ==+．∴2HP =．………………………………………………………………（1分）在Rt △ABH 中，222AH AB BH =-，在Rt △APH 中，222AH AP HP =-，可得22226(2)(2)2t t -+=+-．………………………………………（1分）解得：2t =±（负值舍去）∴BC =1分）另解：联结AP ，设BP = a ，BC = b ．∵以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙A 外切，∴2AP a =+．…………………………………………………………（1分） ∵以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙A 内切，∴2AP PC =-．………………………………………………………（1分） ∴22a b a +=--．即24b a =+．①…………………………………（1分）在Rt △APH 中，222AH AP HP =-，在Rt △BCH 中，222AH AC CH =-，可得22211(2)()36()22a b a b +--=-，即：4320a ab +-=．②………………………………………………（1分）把方程①代入方程②得24160a a +-=解得：2a =±（负值舍去）∴BC b ==．………………………………………………………（1分）（3）过点B 作BM // DF ，交AH 的延长线于点M ．∵BM // DF ，AB = 6，AD = 2，DF = x ， ∴13AD AF DF AB AM BM ===．即：3BM x =，AM = 6．…………………（1分）设HM k =．在Rt △ABH 中，222BH AB AH =-，在Rt △BHM 中，222BH BM MH =-，∴22226(6)(3)k x k --=-，即234k x =，∴2223(3)()4BH x x =-，2364AH x =-．……………………………（1分）∴322BC BH ==1分）∴21133(6)2224y BC AH x =⋅=⨯-=∴y 关于x 的函数解析式为：y =………………（1分）自变量x 的取值范围为0x <………………………………（1分）。