2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛真题(Word)
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三、（本小题满分 20 分） 如图，在锐角△ABC 中，M 是 BC 的中点，圆 O 过点 A 且与直线 BC 相切于点 C，直线 AM 与圆 O 交 于点 D，直线 BD 与圆 O 交于另一点 E，证明：∠EAC=∠BAC.
1
a1
+
1 a2
+
+
1 a2018
=
A. 1
B. 2
C. 3
（） D. 2018
4.已知四面体 ABCD 内接于球，且 AD 为球的直径，若△ABC 和△BCD 都是边长为 1 的等边三角形，
则四面体 ABCD 的体积为
（）
A. 2 6
B. 2 12
C. 3 6
D. 3 12
5.若 0 x ，且 sin4 x + cos4 x = 1 ，则 tan x 的值
2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
第一试
一、选择题（每小题 6 分，共 8 小题，共 48 分）
1.已知集合
M
=
x
|
x
=
sin
(2m
− 6
3)
,mZ
，
N
=
x
|
x
=
cos
n 3
,
n
Z
，则
M、N
的关系为（M = N
C. M N
A. 9
B. 7
C. 5
（） D. 2
8.在边长为 8 的正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是 AD 边上的一点，且 DN=3NA，若对于常数 m，在正方形 ABCD 的边上恰好有 6 个不同的点 P，使 PM PN = m ，则实数 m 的取值范围为（ ）
A. 3
B. 2
C. 2 3
2
9
4 13
A. 1
B. 2
C. 1
2
3
6.设 x, y R ，且 log4 ( x + 2y) + log4 ( x − 2y) = 1，则 x − y 的最小值为
A. 3
B. 2
C. 2 3
（） D. 3
2
（） D. 4
( ) 7.若既约分数 p p, q N 化为小数是 0.18…，则当 q 最小时，p= q
正整数 n 的最大值为_______.
12.设 n 是正整数，当 n 100 时， n2 + 3n +1 的小数部分的前两位数是________.
第二试
一、（本小题满分 20 分）
( ) 已知函数 f ( x) = 2cos x cos x + 3 sin x −1, x R.
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调递增区间；
且 AB = 3p .设点 A,B 在 l 上的射影为 A´,B´，今向四边形 ABA´B´内任投一点 M，则点 M 落在△FA´
B 内的概率为______.
11.已知函数
f
(x)
=
x
+
1 x
−1，若存在
x1,
x2 ,
,
xn
1 4
, 4
，使得
f
( x1)
+
f
( x2
)
+
f ( xn−1 ) = f ( xn ) ，则
D. M N
2.已知
a
=
log8
5,
b
=
log4
3,
c
=
2 3
，则
a、b、c
的大小关系为
A. a b c
B. b c a
C. b a c
（） D. c b a
3. 已 知 数 列 an 满 足 a1 = 1, an+1 = n +1+ an, n N ， 若 x 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 则
（Ⅱ）设点 P1 ( x1, y1 ), P2 ( x2, y2 ),
, Pn ( xn, yn ) 都在函数
y
=
f
( x) 的图像上，且满足 x1
=
6
, xn+1
− xn
=
2
.
求 y1 + y2 + + y2018 的值.
二、（本小题满分 20 分）
如图，圆 C 与 x 轴相切于 T (2, 0) ，与 y 轴的正半轴相交于点 A、B 两点（A 在 B 的上方），且 AB = 3 .
四、（本小题满分 30 分）
已知函数 f ( x) = x , g ( x) = k ( x −1), k R.
ln x
（Ⅰ）证明：对任意 k R ，直线 y = g ( x) 都不可能是 y = f ( x) 的切线；
（Ⅱ）若存在
x e, e2 ，使得
f
( x)≤g ( x) +
D. 4
二、填空题（每题 8 分，共 4 小题，共 32 分） 9.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 A − C = ，a、b、c 构成等差数列，则 cos B = _____.
2
10.如图，已知抛物线 y2 = 2 px ( p 0) 的焦点为 F，准线为 l，过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点，
1 2
，求
k
的取值范围.
五、（本小题满分 30 分）
( ) ( ) ( ) a a2 + bc b b2 + ac c c2 + ab
设 a,b, c 0 ，证明：
+
+
≥ab + bc + ac.
b+c
a+c
a+c
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a+b 的值等于 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是 （ ） A ．2log xB ．2log x -C ．2x-D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010AB +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D ．1010A B ⋅5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤< 则角θ的取值范围是（ ）A ．[0,]4π B ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n ）的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin α=则(4cos 2)f α的值是14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围.二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。
）1．已知函数()()2438f x xx x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。
若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A ．03a <<．02a << C ．3a >33a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。
2018年全国高中数学联赛A卷真题word版
一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}A x x C ∈=2，则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上， 满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=ni ia1互素，且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。
2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题+答案
cos B
10.
|AB| = 3p
△F A′B′
答案
1 .
3
解析
(
π)
3
cos B = − cos(A + C) = − cos 2C + = sin 2C =
2
4
y2 = 2px(p > 0) AB l
F A′ B′
l
F
AA′B′B
.
A, B MM
=
S△A′ B ′ F S AA′B′B
=
|A′B′| · p |A′B′| · (|AA′| + |BB′|)
[
]
4
1
f (x) = x + − 1 ∈ 3, 15
x
4
11
n
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
n = 6.
44
√
12. n
n > 100
n2 + 3n + 1
.
答案 49.
解析
√
√
1
n2 + 3n + 1 + n + 1
13
1
√
−2=
n2 + 3n + 1 − n − 1
n
− 2 = n2 + n + 1 − 1 + n > 0
√ B： 2
12
π 5. 0 < x <
2
sin4 x cos4 x 1
+
=
9
4 13
tan x
A： 1 2
B： 2 3
6. x, y ∈ R
2018年全国高中数学联赛模拟试题与参考 答案
解得− ≥ ������＞ − 4.
注意：函数的定义域不能为空集。
2.已知函数������(������) = 1 −
（������＞������）若������(������) = 2 ln √������ − ������(������)，则������(������������)的取值范围为____________.
P
注：也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答，但过于繁琐，本解
答采用熟知的结论：������������ + ������������ = ������. 7.对于 ≤ ������ ≤ 1，则(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为___________.
的等腰三角形，则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图，易得 AE⊥BE，由等量关系，CE=ED=2，AF=BF=4，AE=BE=2√2.
由垂径定理，OF⊥AB，OE⊥CD，由对称性得 O 在 EF 上.
F
由勾股定理，OF + AF = AO = R = OC = （4 − OF）² + CE²
故������������������������ =
=
=
=
2
²
，若������������������������＜0，则������������������������＜0，这不可能.
∴ ������������������������＞0. ������������������������ ≤ √ .
在 BDP 中由正弦定理得 1 x
sin 2 60
最新-2018年全国高中数学联赛一 精品
2018年全国高中数学联合竞赛试题（一）及参考答案说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1．使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是 （ ）A ．36-B ．3C ．36+D ．6解：令63,63≤≤-+-=x x x y ，则)6)(3(2)6()3(2x x x x y --+-+-=∴≤<∴=-+-≤,60.6)]6()3[(2y x x 实数k 的最大值为.6选D.2．空间四点A 、B 、C 、D 满足BD AC DA CD BC AB ⋅====则,9||,11||,7||,3||的取值 （ ） A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个解：注意到32+112=130=72+92，由于0=+++DA CD BC AB ，则DA 2=22)(CD BC AB DA ++==AB 2+BC 2+CD 2+2（2222(2)(BC CD BC AB AB CD CD BC BC AB ++-=⋅+⋅+⋅+)AB CD CD BC BC AB ⋅+⋅+⋅=)()(2222CD BC BC AB CD BC AB +⋅+++-，即 022222==-+=⋅CD AB BC AD BD AC ，BD AC ⋅∴只有一个值0，故选A.3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延 长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8解：如图，连BA 1，则AA 1=2sin(B+)22cos(2)222sin(2)2C B C B C B A A -=-+++= )2cos(2cos 2cos 2cos )22cos(22cos 1C B C A C B A A C B A AA -=-++-+=-=∴π,sin sin )2cos(B C B +=-+π同理,sin sin 2cos 1C A B BB +=,sin sin 2cos 1B A C CC +=),sin sin (sin 22cos 2cos 2cos111C B A CCC B BB A AA ++=++∴ 原式=.2sin sin sin )sin sin (sin 2=++++CB AC B A 选A. 4．如图，ABCD —D C B A ''''为正方体，任作平面a 与对角线AC ′垂直，使得a 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥A —A ′BD 与C ′—C B D '''后，得到一个以平行平面A ′BD 与C B D ''为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱B A ''剪开，展平在一张平面上，得到一个 11A B B A ''，而多边形W 的周界 展开后便成为一条与1A A '平行的线段（如图中1E E '）， 显然11A A E E '='，故l 为定值.当E ′位于B A ''中点时，多边形W 为正六边形，而当E ′移至A ′处时，W 为正三角形，易知周长为定值l 的正六边形与正三角形面积分别为22363243l l 与，故S 不为定值.选B. 5．方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线解：)23cos()22cos(,223220,32ππππππ->-∴<-<-<∴>+ ， 即3sin 2sin >，又03c o s2c o s,03c o s,02c o s ,32,220>-∴<>∴<<<<πππ，方程表示的曲线是椭圆.4232sin(232sin22)3cos 2(cos )3sin 2(sin π++-=--- ）……（*） .423243,432322,0232sin ,02322ππππππ<++<∴<+<<-∴<-<-.0(*),0)4232sin(<∴>++∴式π即3cos 2cos 3sin 2sin -<-.∴曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C.6．记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，M=}4,3,2,1,|7777{4433221=∈+++i T a a a a a i ，将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2018个数是（ ）A ．43273767575+++B ．43272767575+++ C ．43274707171+++D ．43273707171+++解：用p k a a a ][21 表示k 位p 进制数，将集合M 中的每个数乘以74，得}4,3,2,1,|]{[}4,3,2,1,|777{74321432231=∈==∈+⋅+⋅+⋅='i T a a a a a i T a a a a a M i i ，M ′中的最大数为[6666]7=[2400]10.在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2018个数是2400－2018=396，而[396]10=[1104]7将此数除以74，便得M 中的数43274707171+++.故选C. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上. 7．将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式202019192210)(y a y a y a y a a y g ++++= ，其中4-=x y ，则615212010+=+++a a a .解：由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121++=----=x x x x x f令51)4()(,421+++=+=y y y g y x 得，取,1=y 有615)1(2120210+==++++g a a a a8．已知)(x f 是定义在（0，+∞）上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是.51310<<<<a a 或 解：∵)(x f 在（0，+∞）上定义，又)1)(13(143;087)41(212222--=+->++=++a a a a a a a ，仅当1>a 或31<a 时， .(*)01432>+-a a)(x f 在（0，+∞）上是减函数，1431222+->++∴a a a a 50,052<<∴<-⇒a a a结合（*）知51310<<<<a a 或. 9．设α、β、γ满足πγβα20<<<<， 若对于任意0)cos()cos()cos(,=+++++∈γβαx x x R x ，则.34παγ=- 解：设0)(,0)(,),cos()cos()cos()(=-=∈+++++=αγβαf x f R x x x x x f 知由，,0)(,0)(=-=-βγf f即,1)cos()cos(,1)cos()cos(-=-+--=-+-βγβααγαβ.21)cos()cos()cos(,1)cos()cos(-=-=-=-∴-=-+-αγβγαβγβγα∵πγβα20<<<<，]34,32[,,ππβγαγαβ∈--- ， 又.34.32.,παγπβγαβαγβγαγαβ=-∴=-=--<--<-只有 另一方面，当32πβγαβ=-=-，有R x ∈∀+=+=,34,32παγπαβ， 记θα=+x ，由于三点))34sin(),34(cos(),32sin(),32(cos(),sin ,(cos πθπθπθπθθθ++++构成单位圆122=+y x 上正三角形的三个顶点，其中心位于原点，显然有.0)34cos()32cos(cos =++++πθπθθ即.0)cos()cos()cos(=+++++γβαx x x 10．如图，四面体DABC 的体积为61，且满足∠ACB=45°， AD+BC+32=AC ，则CD=3.解：61)45sin 21(31=≥︒⋅⋅⋅⋅DABC V AC BC AD，即.12≥⋅⋅AC BC AD 又323≥++=AC BC AD 323≥⋅⋅AC BC AD ，等号当且仅当AD=BC=12=AC 时成立，这时AB=1，AD ⊥面ABC ，∴DC=3.11．若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 80 .解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标C（11,y x ）、D （22,y x ），则CD 所在直线l 的方程b x y +=2，将直线l 的方程与抛物线方程联立，得.1122,12+±=⇒+=b x b x x令正方形边长为a ，则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ①在172-=x y 上任取一点（6，－5），它到直线b x y +=2的距离为5|17|,b a a +=②①、②联立解得.80.1280,80.63,32min 2221=∴==∴==a a a b b 或12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”，将所有“吉祥数”从小到大排成一列.52000,2005,,,,5321==m m a a a a a 则若解：∵方程m x x x k =+++ 21的非负整数解的个数为,1m k m C -+而使2(0,11≥≥≥i x x i ）的整数解个数为,12--+m k m C 现取m=7，可知，k 位“吉祥数”的个数为P （k ）=65+k C .∵2018是形如2abc 的数中最小的一个“吉祥数”，且P （1）=66C =1，P （2）=67C =7，P （3）=68C =28，对于四位“吉祥数”1abc ，其个数为满足a+b+c=6的非负整数解个数， 即6136++C =28个.∵2018是第1+7+28+28+1=65个“吉祥数”，即.200565=a 从而n=65，5n=325. 又P （4）=210)5(,8461069===CP C ，而.330)(51=∑=k k P∴从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52018.∴第325个“吉祥数”是52018，即.520005=m a三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13．数列{}n a 满足：.,236457,1210N n a a a a n n n ∈-+==+证明：（1）对任意m a N n ,∈为正整数；（2）对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数.证明：（1）由题设得,51=a 且{}n a 严格单调递增，将条件式变形得36457221-=-+m m m a a a ，两边平方整理得0972121=++=++n n n n a a a a ①0972112=++-∴--n n n n a a a a ②①－②得⇒=-+∴>=-+--++-++07,,0)7)((111111m n n n n n n n n n a a a a a a a a a a.711-+-=n n n a a a ③由③式及5,110==a a 可知，对任意m a N n ,∈为正整数.……………………10分（2）将①两边配方，得211121)3(1),1(9)(n n n n n n n n a a a a a a a a +=-∴-=+++++。
2020陕西高中数学竞赛预赛试题(含答案)
2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题考生注意：1，本斌專分两试’第一试共两大趣.满分》）分；第二试共五大题，满分120分'2.用蓝色｛或黑色｝钢笔、巫字笔或圖殊笔作筌.3.解題书坊•不要趙违荣订銭.4・不能使用计算器.第一试一、选择题:本题共8小题,每小题6分，共48分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目姜求的.1.已知集合M % lx = sin E Z ,N = y | y = cos 孑,"e Z，则M 耳 N的关系是（）A・M宇/V B. If = /V C. N^M D•网门/V=e22.（2）31 a =log85.6 =1（）^3^ = -^-,则的大小关系是（）A. a > I）>c B・b>c > a C. b >a >c c >h> a3・已知数列a爲满足a〕++1 +叫（"2 ）•若［幻表示不超过实数兀的最大整数，则詁存…+在卜A. IB. 2C.3D. 20184.已知四面休ABCD内接丁球0.忖AD是球（）的点径•若△佔C和△BCD都是边长为1的等边三角形侧四而体ABCD的体积是（）A返B返C渥D渥-6 * 12 6 - 12八zn ■口 sin x cos x 1 Ml i r,/r M/r 0 <x <—%H.—+ —^― = —,W'J laiLV H'jfllTE i 殳兀j E R. H. 1哄(x+2y) +1(典(兀-2y) = 1 •则x - lyl 的最小值是若既约分数)化为小数是0・】8….则当q 啟小时•"二 8•在边l<为8的止方形ABCD 中.M 是BC 的中点.N 是DA 边I ：一点.H. DN = 3M1用 灯尸常数加.任止方形AHCD 的边I .恰冇6个不同的点P.使PM • RV =叽则实数处的取值 范冈址( )A. ( -8.8)B. ( 一1 .24)C. ( -1 ,8)I). (()&)二、填空题：本题共4小题海小题8分■共32分 将答案填在题中的横线上.9. i 殳△ ABC 的内角.4、〃、C 的灯边分别为心心［1.人- C =歩％ c 成等并数列•则10. 御图1.12.)31拋物线r = 2严(〃〉())的焦点为F.准线为I,过点F 的点线耳抛物线交r A B 网点JIJ.iB I = 3p ・设点A 、Bfl ： I I •.的射影分别为•—今向四边形AA 7TB 内任投•点协，则点M 落在内的飪率址 ____________ .11. 11知南数/(%)=%+ £~-1 .若存在知宀，…%“W ±4〕，使彳"(浙)+/(七)+・・•+/(“" =/(也)・则||瀝数〃的灵大值是 _________ .IX 15 ”是匸整数.当«> 100IIJ ,、后硏T 的小数部分的前两位数是5. 6. B.2 C. 2/T D.47. A. 9B.7C51).2第二试—■（本题满分20分）已曲1 唄数人鼻）=2cosr （ c （＞sx + ） - 1 G R.（1） 求函数/U ）的讯调递增区间;（2） 设点匕（衍皿）出（心上），…止（盼几）•…都在函数y=/（-r ）的图象上，且满足 ■札=y-(n e N* ).求的+y 2 +…+畑8的值• 二、（本题满分20分）如图2•圜c 与％轴相切于点r （2,o ）?H Y 轴的正半轴和交干两点（*在B 的上方），且I 肋I =1（1）求恻（?的方程：⑵设过点〃的1丁线小椭I 略+「1相交于P ®対点…求o 4证册"平分厶PAQ.三. （本题满分20分）如1*1 3.在锐角WC 中,M 是BC 的中点JM] O 过点4 HJ j 代线BC 相切丁•点C.戌线M 网0交T •另一点D,也线HD * j IW1（）交于另一点 E. \m,^EAC = ABAC.7T心二&屯"内四.(本题满分30分)L1 知函数/(x) =j^.g(x) =k( x - I ).Z- G R.(I )证明:炖任总* w R•也线y=gix)祁不町能是Illi线y =/(.v)的切线:(2)若存在"[e J・使/(小W g(.<)十*,求"勺取值范FH.五.(本题满分30分)设aj^c均为止实数,求证：2 2 2a( a + be ) l){lf + ca ) c( c + ab) _ 7；H 1 : 2 ah + /“• + ca b+c c + a a + b2018年陕西省预赛答案第一试一、选择餐（毎小軀6分，共8小SL 共勰分）4. 己知砂面体"（Q 内樓千球.且"星球的玄径.若MBC 和似T ）衿是边长为I 的等边三角號 則四面体 川BCD的体枳杲（A.返65 若= .且——+ —=—.剜un*的值杲()2 94 131 o _ 3 A. —B. *C. ID.— 232Hi D.由柯西不等氏(9才4)(竺上*竺丄."cos 订几由取$条件知氾上口竺上=>伽.2丄・9 4 81162&设比…■ filo&(x+2rHlo S4(x-2jp) = !t 卄恻的燉小值是()A. 7TB. 2C.裁D. 4> 入由S^.v 2-4/=41ix>2|>|.不妨设“2粽& 丿=3仇"(一彳£), Ax^|d = —-一邑也.等式右边是&的偶甬放不妨^g=2-smtf ^€[o,-)=>sin^i-rcostf^2.11心“心。
最新-2018年全国高中数学联赛试题及参考答案精品
最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。
（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。
（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。
（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。
（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。
8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。
2018年陕西省数学竞赛试题及解答
界 f ( p)
得最小值为 11 时， p 2 . 8.在边长为 8 的正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点， N 是 AD 边上的一点，且
DN 3 NA ，若对于常数 m .在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P ，使 y C D PM PN m ，则实数 m 的取值范围
p 18 p 19 100 100 ,取倒数， 0.19 ,即 pq p , q 的下 q 100 q 100 19 18
2018 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
第 4 页 共 8 页（陕西横山中学刘克忠整理）
100 100 100 p 单调递增，当 p 1 时， 5.26 , 5.56 ，不存在满足条件 19 19 18 100 100 2 10.52 , 2 11.11 ， q 11 满足条件.因此， q 取 的 q ；当 p 2 时， 19 18
A. (8,8) C. (1,8) 解析：C.
B. (1, 24) D. (0,8)
N
M x B
A
建立如图所示的直角坐标系, A(0, 0) , M 是 BC 的中点, M (8, 4) ,又 N 是 AD 边上
的一点，且 DN 3 NA ， N (0, 2) ,设 P ( x, y ) ，则 PM (8 x, 4 y ) ,
1 1 1 根据抛物线的定义, S梯形AABB ( AA BB ) AB AB AB AB 3 p , 2 2 2 1 AB p S ABF 1 1 2 S ABF A B p ,所求概率为： . 1 2 S梯形AABB AB 3 p 3 2 1 1 11.已知函数 f ( x) x 1 ，若存在 x1 , x2 , , xn [ , 4] ，使得 f ( x1 ) f ( x2 ) x 4