系统辨识 第7章 模型结构辨识
系统辨识
1. 模型与系统1）模型：把关于实际系统的本质的部分信息简缩成有用的描述形式。
它用来描述系统的运动规律，是系统的一种客观写照或缩影，是分析、预报、控制系统行为的有力工具。
模型是实体的一种简化描述。
模型保持实体的一部分特征，而将其它特征忽略或者变化。
不同的简化方法得到不同的模型。
2）系统：有些书里也称为过程，按某种相互依赖关系联系在一起的客体的集合。
本身的含义是比较广泛的，可以指某个工程系统、某个生物学系统，也可以指某个经济的或社会的系统。
这里所研究的“对象”是抽象的，重要的是其输入、输出关系。
2. 残差和新息1）新息（输出预报误差）：是过程输出预报值与实测值之间的误差。
（P13）过程输出预报值： 输出预报误差： 过程输出量： 2）残差：是滤波估计值和实测值之差。
3. 系统可辨识的条件最小二乘方法满足开环可辨识条件；激励信号是持续激励，阶次至少要(na+nb+1)阶。
可辨识条件：为了辨识动态系统，激励信号u 必须在观测的周期内对系统的动态持续地激励。
满足辨识对激励信号最起码的要求的持续激励信号应具备的条件，称“持续激励条件”。
4. 建立数学模型1）建立方法：①理论分析法：机理法或理论建模，“白箱”问题②测试法：系统辨识，“黑箱”问题③两者结合：“灰箱”理论问题2）基本原则：①目的性-明确建模的目的，如控制、预测等。
因为不同的建模目的牵涉到的建模方法可能不同，它也将决定对模型的类型、精度的要求。
②实在性-模型的物理概念要明确。
③可辨识性-模型的结构要合理，输入信号必须是持续激励的；另外数据要充足。
④节省性-待辨识的模型参数个数要尽可能地少。
以最简单的模型表达所描述的对象特征。
5. 辨识：就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。
1）试验设计：包括输入信号（幅度、频带等）、采样时间、辨识时间（数据长度）、开环或闭环辨识、离线或在线辨识（P19）目的：使采集到的数据序列尽可能多地包含过程特性的内在信息。
系统辨识课件方崇智
e
ˆ (假设的数学关系) f
系统的 实际输 出
(1)数学模型
• 数学模型和真实系统的区别
不可测干扰 可测 输入
u, d , f z
可测 输出
可测 输入
e
综合误差
ˆ (假设的数学关系) f
ˆ , e拟合u, z关系 u, z f
可测 输出
(1)数学模型
• 数学模型的两类形式及其用途
可测 输入
第6章 模型阶次辨识 内 容：Hankel矩阵法、F-Test定阶法。
第7章 系统辨识在实际中注意的问题
参考书：
1.方崇智、萧德云编著，《过程辨识》，清华大学出版社，北京 2.李言俊，张科编著，《系统辨识理论及应用》，国防工业出版社，北京 3.蔡季冰编著，《系统辨识》，北京理工大学出版社，北京
预修课程：自动控制原理，概率统计与随机过程
e
综合误差
可测 输出 •系统分析 •系统设计
ˆ (假设的数学关系) f
ˆ f
•预测(预测控制) •性能监测与故障诊断 •仿真
ˆ z
•在线估计和软测量 •模型评价与系统辨识
(1)数学模型
• 数学模型的近似性和外特性等价
u u
d f
e ˆ f u
z
近似性
ˆ f
ˆ z
d
u u
从黑箱角度出 发,外特性等价 (统计意义)
(1)设计辨识实验，获取实验数据
数据集是辨识的三要素之一
min J fˆ , K ( z (1)
z ( L), u(1)
u( L), )
数据集性质→影响辨识结果，u →数据集，因 此要设计辨识实验(重点设计u)
(1)设计辨识实验，获取实验数据
《系统辨识》课件
23
第二章
过渡响应法和频率响应法
§21 过渡响应法（时域法） 采用非周期试验信号，通过系统的动态响应研究系 统的模型。 一、非参数模型的辨识 在时域中建立线性系统非参数模型时，用很简便的 方法就可得到脉冲响应曲线，阶跃响应曲线、方波响应 曲线或它们的离散采样数据表。 脉冲响应：可以采用幅值相当大，宽度很窄的方波 来近似δ 函数 。 对于线性系统，脉冲响应，阶跃响应和方波响应之 24 间是可以相互转换的。
过程的非线性与时变性（有助于模型类的选择）
噪声水平（以便用多大的输入，使得观测量有多
大的信噪比）
变量之间的延迟（滞后环节参数） 2）输入信号的选择（阶跃、方波、脉冲、PRBS）。
16
第一章
概
述
3）采样速度的选择（要采集数据就有采样速度选择 问题）。实际上先采用较短的采样间隔，在数据分析时， 可根据需要隔几个取一个数据。 4）试验长度的确定（试验时间问题）。辨识精度与 试验时间的长短有关。 2、模型结构确定 根据辨识的目的及对被辨识系统的先验知识，确定
系统辨识
电气工程与自动化学院 陈 冲
1
课程主要内容
第一章
第二章 第三章 第四章 第五章
概
述
过渡响应法和频率响应法 辨识线性系统脉冲响应函数的相关分析法 线性系统参数估计的最小二乘法 线性系统的状态估计法
结束
2
第一章
一、建模的必要性 二、模型 三、建模方法
概
述
四、系统辨识的内容（或步骤）
8系统辨识原理及辨识模型简介
(3) 参数模型估计 在系统辨识工具箱中包括多种参数模型估计的函数，它们 都具有共同的命令结构。 m = function(Data,modstruc) m = ... function(Data,modstruc,'Property1',Value1,…'PropertyN',Valu eN) 变量Data是包括输入输出序列的iddata对象，而modstruc 说明了被估计模型的特定结构。模型估计的结果返回到变 量m中，它是存放了多种信息的模型对象。在大多数情况 使用时可以不必考虑对象的细节重要输入模型名称m就可 以了。若查看m的简要信息输入present(m)，通过get(m)则 可以得到更为详细的参数信息，参数值仍然可以采用圆点 引用的形式得到，例如m.par返回的就是估计参数。 函数调用(...,'Property1', Value1,...,'PropertyN',ValueN)的参 数影响着模型结构及估计算法。
(5) AR 模型 对于单个输出信号，ARX模型的特例就是AR模型
A(q) y(t ) e(t )
（8.10）
arx命令同样可以应用在此特例上：m = arx(y,na)，但是对于标量信号， 可以通过如下命令可以有更多的选择：m = ar(y,na) 通过对参数的设置可以选择参数估计的最小二乘类方法，包括Burg机遇 网格的方法、几何网格的方法、Yule-Walker方法以及修正的协方差法。 相关格式内容可通过“help ar ”命令得到。
(8.12)
定义式（8.11）离散模型的语法结构为：m= idss(A,B,C,D,K,X0,'Ts',T)，若令 T=0，则表 示连续时间模型（见式 8.12）即：m=idss(A,B,C,D,Kt,X0,'Ts',0)
系统辨识步骤及内容
系统辨识步骤及内容系统辨识是研究如何用实验研究分析的办法来建立待求系统数学模型的一门学科。
Zadeh(1962)指出：“系统辨识是在输入和输出数据的基础上，从一类模型中确定一个与所观测系统等价的模型”。
Ljung(1978)也给出如下定义：“系统辨识有三个要素——数据、模型类和准则，即根据某一准则，利用实测数据，在模型类中选取一个拟合得最好的模型”。
实际上，系统的数学模型就是对该系统动态本质的一种数学描述，它向人们提示该实际系统运行中的有关动态信息。
但系统的数学模型总比真实系统要简单些，因此，它仅是真实系统降低了复杂程度但仍保留其主要特征的一种近似数学描述。
建立数学模型通常有两种方法，即机理分析建模和实验分析建模。
机理分析建模就是根据系统内部的物理和化学过程，概括其内部变化规律，导出其反映系统动态行为并表征其输入输出关系的数学方程（即机理模型）。
但有些复杂过程，人们对其复杂机理和内部变化规律尚未完全掌握（如高炉和转炉的冶炼过程等）。
因此，用实验分析方法获得表征过程动态行为的输入输出数据，以建立统计模型，实际上是系统辨识的主要方面，它可适用于任何结构的复杂过程。
系统辨识的主要步骤和内容有以下几个方面。
1、辨识目的根据对系统模型应用场合的不同，对建模要求也有所不同。
例如，对理论模型参数的检验及故障检测和诊断用的模型则要求建得精确些。
而对于过程控制和自适应控制等用的模型的精度则可降低一些，因为这类模型所关心的主要是控制效果的好坏，而不是所估计的模型参数是否收敛到真值。
2、验前知识验前知识是在进行辨识模型之前对系统机理和操作条件、建模目的等了解的统称。
有些场合为了获得足够的验前知识还要对系统进行一些预备性的实验，以便获得一些必要的系统参数，如系统中主要的时间常数和纯滞后时间，是否存在非线性，参数是否随时间变化，允许输入输出幅度和过程中的噪声水平等。
3、实验设计实验设计的主要内容是选择和决定：输入信号的类型、产生方法、引入点、采样周期、在线或离线辨识、信号的滤波等。
系统辨识与模型预测控制
系统辨识与模型预测控制系统辨识与模型预测控制是现代控制理论中的关键概念，它们在工程领域中被广泛应用于系统建模及控制设计中。
本文将详细介绍系统辨识与模型预测控制的基本概念、原理、方法和应用。
一、系统辨识系统辨识是指通过实验数据对系统的动态行为进行建模和估计的过程。
它可以帮助我们了解系统的性质和结构，并在控制系统设计中提供准确的数学模型。
系统辨识的主要任务是确定系统的参数和结构，并评估模型的质量。
1.1 参数辨识参数辨识是系统辨识的主要内容之一，它通过收集系统的输入和输出数据，并根据建模方法对参数进行估计。
常用的参数辨识方法包括最小二乘法、极大似然法、频域法等。
参数辨识的结果对建模和控制设计具有重要的指导意义。
1.2 结构辨识结构辨识是指确定系统的数学结构，即选择合适的模型形式和结构。
常用的结构辨识方法有ARX模型、ARMA模型、ARMAX模型等。
结构辨识的关键是根据系统的性质和实际需求选择适当的模型结构，以保证模型的准确性和有效性。
二、模型预测控制模型预测控制是一种基于系统动态模型的控制方法，它通过在线求解最优控制问题实现对系统的控制。
模型预测控制通过对系统未来动态行为的预测，结合控制目标和约束条件，求解优化问题得到最优控制输入。
它具有优良的鲁棒性和适应性，并且能够处理多变量、非线性以及时变系统的控制问题。
2.1 模型建立模型预测控制的第一步是建立系统的数学模型，通常采用系统辨识的方法得到。
模型可以是线性的或非线性的，根据实际需求选择适当的模型结构和参数。
2.2 控制器设计模型预测控制的核心是设计控制器，控制器的目标是使系统输出跟踪参考轨迹，并满足约束条件。
控制器设计通常通过求解一个离散时间最优控制问题来实现，常用的方法有二次规划、线性规划、动态规划等。
2.3 优化求解模型预测控制的关键是求解最优控制问题，将系统的模型和控制目标转化为一个优化问题，并通过数值优化方法求解得到最优解。
常用的优化算法包括线性规划、非线性规划、遗传算法等。
系统辨识
3.系统辨识
建模的方法：
机理建模：依据系统工作所服从的物理、化
学、生物的定理、定律，以及系统的结构数 据推导出数学模型。 －白箱建模 机理模型、解析模型。 系统辨识：通过观测实际系统的输入、输出 数据，从一类数学模型中选择一个特定的数 学模型，该模型在数学上等价于相应的实际 系统。 －黑箱建模 两者相结合，用机理分析确定模型结构，用 系统辨识方法确定模型参数。 －灰箱建模
系统辨识
吴刚
中国科学技术大学工业自动化研究所
2010年11月21日
引论
第一节 定义与分类
1.系统（system）
一般定义： 由相互联系、相互制约、相互作
用的各个部分组成的，具有一定整体功能和 综合行为的统一体。 工程系统中：由相互联系的元部件组成的具 有某种特定功能的整体。 如：晶体管、放大器、电机 伺服系统、调节器、惯性导航平台 磨煤机、水处理、锅炉、发电机 生产线、电网、互联网 企业、联合企业、经济协作区、国民经 济系统
7.先验知识
对模型结构、参数、数据的实际知识或信息
对实际系统的数学假定
主导时间常数
系统时延 系统通频带 系统非线性与时变特性 输入/输出信号变化幅值
噪声水平
8.参数估计的方法
离线辨识 在线辨识（实时辨识） 最小二乘法 极大似然法 辅助变量法 随机逼近法 互相关法
n
向后一步平移算子：
q X t X t 1 yt ai q yt bi q ut
i i i 1 i 1 n n
1
A(q ) yt B(q )ut 1 A(q ) 1 ai q 1 a1q an q
1 i 1 i 1 n n
系统辨识理论及应用
系统辨识理论及应用本文旨在介绍系统辨识理论及其在实际应用中的重要性和背景。
系统辨识是一种重要的工具和技术，用于分析和推测系统的特性和行为。
通过系统辨识，我们能够对系统进行建模、预测和控制。
系统辨识理论的起源可以追溯到控制工程学科，并逐渐扩展到其他领域，如信号处理、人工智能和统计学等。
它在工程、科学和经济等领域都有广泛的应用。
系统辨识的目标是通过观察系统的输入和输出数据，从中提取出系统的特征和动态模型。
系统辨识理论和应用的重要性在于它能帮助我们理解和掌握复杂系统的行为，并能够对系统进行建模和预测。
通过系统辨识，我们可以获取关键的系统参数和结构信息，从而为系统设计和控制提供指导和支持。
本文将介绍系统辨识理论的基本原理和方法，包括信号采集和预处理、模型结构的选择和参数估计等。
我们还将探讨系统辨识在不同领域的应用案例，如机械系统、电力系统和金融市场等。
希望本文能够为读者提供关于系统辨识理论及应用的基本概念和方法，并激发对系统辨识领域的进一步研究兴趣。
本文将概述系统辨识理论的基本原理和方法，并介绍其在不同领域的应用。
系统辨识是一种通过分析数据和模型之间关系来推断系统特性和行为的方法。
它基于数学和统计学的原理，将现实世界中的系统建模为数学模型，并利用实验或观测数据来验证和修正这些模型。
系统辨识的基本原理是通过获取系统的输入和输出数据，并根据数据推断系统的结构、参数和动态特性。
通过此过程，系统辨识能帮助我们了解系统的内部机制和行为。
常用的系统辨识方法包括参数辨识、结构辨识和状态辨识。
参数辨识主要关注模型中的参数值，通过数据分析和优化算法来确定最佳参数估计值。
结构辨识则关注模型的拓扑结构，即确定模型的数学表达形式和连接关系。
状态辨识是根据系统的输入和输出数据，推断系统的状态变量值和状态转移方程。
系统辨识在各个领域有着广泛的应用。
在控制工程领域，系统辨识可以帮助设计控制器和优化控制策略。
在信号处理领域，系统辨识可以用于信号分析和滤波。
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n1
n2
n3
计算不同n1、n2、n3时的AIC值，取最小的AIC值对应的
n1、n2、n3值为系统的阶次。
5、零点--极点消去检验
定阶原理：
a( z 1 ) y(k ) b( z 1 )u(k ) (k )
则系统的闭环脉冲传函G(z)为：
G( z) b( z 1 ) a( z 1 )
强噪声情况
解决方法
根据脉冲响应序列，求自相关序列的估计值
N 1 Rh ( ) hk hk , 0,1,2,.... N 1 k 0 Rh ( ) , 0,1,2,.... 自相关系数 h ( ) Rh (0)
以自相关系数作为汉格尔矩阵的元素，确定矩阵的秩
推论：当
2、 Hankel矩阵定阶
无噪声情况（扰动=0）
定理(1964年Lee)： 若l大于系统的阶次n，则汉格尔矩阵的秩等于 系统的阶次n。
推论：
当l=n+1时，汉格尔矩阵的行列式为0 对于每个k值以及不同的l值，计算汉格尔矩 阵的行列式，可以判定模型的阶次n
2、 Hankel矩阵定阶
问题 由于数据受到噪声的污染，当l=n+1时，行 列式的值并不会等于零
加1，则t至少大于3，J值的下降才明显。
3、残差平方和定阶
方法 1. 试探模型阶次n逐次的从n=1,2,…对模型参 数做出估计
2. 计算 J 1 , J 2 ,... t1 , t 2 ,...
3. 若 t (n0 1, n0 ) 3.00, t (n0 , n0 1) 3.00
则表示模型阶次从n0增加到n0+1，J减小已不明显
4、AIC信息准则
由
N 2 lnL( Y | θ ) lnσ e const 2 p n 1 n2 2
2 ˆe AIC 2lnL 2p N lnσ 2(n1 n2) C
取
2 ˆe AIC N lnσ 2(n1 n2)
ε(k)为服从正态分布的白噪声, 经推导可得：
2 ˆ AIC N ln 2(n1 n2 n3)
1 ˆ 式中： N
2
2 ˆ (k ) k 1
N
ˆ u (k i ) c ˆ (k ) y (k ) a ˆ i y (k i ) b ˆiˆ(k i) i
如果实际系统的阶数为n0 ,则当 n n0 时， G(z)中必有零极点可对消。 此时，通过计算多项式 a( z 1 )和b( z 1 ) 的根， 就可判定阶次的合理性。
第 7章 模型结构辨识
模型结构的判断问题
系统辨识中重要的一环
单输入-单输出系统
模型阶次
延迟时间
多输入-多输出系统
各种结构参数（状态模型的结构不变量）
1、模型结构的确定 1、纯滞后时间的确定
u(k)
B d z A
y(k)
y(k ) a1 y(k 1) ... an y(k n) b1u(k d 1) ... bn u(k d n)
b( z 1 ) b0 b1 z 1 bn 2 z n 2
e(k)为服从正态分布的白噪声, 则似然函数为：
1 2 N / 2 T ˆ L(Y | θ) (2 πσσ e ) exp (Y Φ θ) (Y Φ θ) 2 2 σ e
lnL
此时J值所在的点是曲线上最大的拐点，此后J值基本不变化或
变化很小。
依上述原则，上述曲线模型阶次为3
3、残差平方和定阶 2.F检验法
实际工程应用时，在定阶过程中，并不是取Jn最小时n值， 作为系统模型的阶次，而是对在n增大过程中，使Jn显著 减小的n值感兴趣。 引入统计量t作为检验的准则
J 1 J 2 N 2n2 t (n1 , n2 ) J2 2(n2 n1 )
令置信度
, 0.05 N 100,200,300,1000
F (2,100) 3.09 F (2,200) 3.04,
由F分布表查得
F (2,300) 3.03 F (2,1000) 3.00 F (2, ) 3.00
在置信度
0.05
下，当N>100时，若模型阶次增
ห้องสมุดไป่ตู้
N N 1 2 T ln 2 π lnσ e ( Y Φθ ) (Y Φθ) 2 2 2 2 σe
lnL( Y | θ) N 2 lnσ e const 2
由
lnL ˆ (Φ T Φ) 1 Φ T Y 0θ θ lnL 1 T 2 ˆ e ˆ ˆe 0 σ e 2 N σe
N--输入输出数据的组数； J1—模型阶次n1时的损失函数； J2—模型阶次n2时的损失函数 当N足够大是，t服从F(f1,f2)分布 自由度 f1 2(n2 n1 ), f 2 N 2n2
3、残差平方和定阶
J 1 J 2 N 2n2 t (n1 , n2 ) J2 2(n2 n1 )
纯滞后时间一般式可事先已知的 阶跃响应曲线 计算输入与输出信号的互相关函数
比较不同纯滞后时间的损失函数
先辨识模型参数，再用F检验u(k)前面几项的零参数
1、模型结构的确定 2、模型阶次n的确定： (1)按残差方差定阶 (2) AIC准则定阶 (3)按残差白色定阶 (4)零点-极点消去检验定阶 (5)利用行列式比定阶 (6)利用Hankel矩阵定阶
弱噪声情况
解决方法
行列式检测法
对于每个不同的l值，计算出汉格尔矩阵的行列式的平均值
H (l , k )的平均值 Dl H (l 1, k )的平均值
Dl
画出Dl和l的关系图
l n0
Dl为最大时的l值是系统模型的合适阶次
2、 Hankel矩阵定阶
问题 当噪声较大时，上图中的尖峰很难看出来
7.2 用Hankel矩阵确定模型阶次
2、Hankel矩阵定阶
根据脉冲响应的采样值来判定模型的阶次
扰动 脉冲 系统 输出 h0 , h1 ,...,hN
汉格尔（Hankel）矩阵
hk h H (l , k ) k 1 ... hk l 1 hk 1 hk 2 ... hk l hk 2 hk 3 ... hk l 1 hk l 1 ... hk l ... ... ... hk 2l 2 ll ...
7.3 用残差平方和判定模型的阶次
3、残差平方和定阶
定阶原理
计算不同阶次n辨识结果的估计误差方差， 按估计误差方差最小或最显著变化原则来确定模 型阶次n
按估计误差方差最小定阶
F检验法 实际工程中采用F检验法
3、残差平方和定阶 1.按估计误差方差最小定阶
系统差分方程
向量形式
a(z1 ) y(k) b(z1 )u(k) ε(k)
选取不同的阶数n1、n2，按上式计算AIC值，其中最小 AIC对应的n1、n2值即为系统的阶次
n1, n2 1 2 3 4
1
2 3 4
1022.94
280.046 25.864 15.931
341.766
51.085 14.070 15.108
97.353
30.393 15.599 16.218
23.380
n J 1 592.65 2 469.64 3 447.25 4 426.40 5 418.73 6 416.56
t
50.94
9.67
9.43
3.15
0.99
依F检验法，系统模型阶次为3。
7.3
AIC信息准则(赤池，akaike)
4、AIC信息准则 1.AIC定阶原则
AIC准则定义为：
AIC 2lnL 2p
16.800 17.649
按AIC准则n1=3、n2=2
4、AIC信息准则
(2) 有色噪声情况
系统模型 a(z1 ) y(k) b(z 1 ) u(k) c(z1 ) (k)
a( z 1 ) 1 a1 z 1 a n1 z n1 b( z 1 ) b0 b1 z 1 bn 2 z n 2 c( z 1 ) 1 c1 z 1 c n 3 z n 3
式中 L--是模型的似然函数； P--是模型中的参数个数。 定阶原则：AIC最小值所对应的n即为系统阶次。 含义：使L最大时的最小的n值为模型阶次
4、AIC信息准则 2.AIC计算公式
(1) 白噪声情况 系统模型
a(z1 ) y(k) b(z 1 ) u(k) e(k) a( z 1 ) 1 a1 z 1 an1 z n1
Y Φθ ε
ˆ (ΦT Φ) 1 ΦT Y θ
LS估计 残差
指标函数
ˆ(k ) y(k ) y ˆ (k ) e
ˆ 2 (k ) Jn e
k n 1 n N
依次计算n=1,2,3,· · · 时的指标函数Jn，并将其绘制成曲线。
3、残差平方和定阶
定阶原则：则随着n增大，J值是下降的。若n0为正确的阶次，