2.1一元二次方程
25x2+50x-11=0
下列方程是否为一元二次方程，若是， 指出其二次项系数、一次项系数和常数项。 (1) 3x(1-x)+10=2(x+2) 可以写成：3x2-x-6=0 解：去括号，得：3x-3x2+10=2x+4 。 整理，得： -3x2+x+6=0 。 二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。 (2) 5x(x+1)-7=5x2+4 2+5x-7=5x2+4 5x 解：去括号，得： 。 5x-11=0 整理，得： 。 这是一元一次方程，，不是一元二次方程。 (3) (5-x)(x+1)+3=3(x-1) 2 解：去括号，得：5x+5-x -x+3=3x-3 。
ax +bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0）
其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项． 4x2-140x+325=0 二次项系数是4、一次项系数是-140、常数项是325． 0.01t 2-2t = 0． a=0.01，b= -2，c=0
2
a=25，b=50，c= -11 要确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数 项先将方程化成一般形式。
9、已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4=0有 一根为2，求m。
a≠2
a＝2，b≠0
10、P29
B
7
1、这节课你学到了什么知识？发现什么？
认识了一元二次方程，懂得数学知识来源于生活。
2、一元二次方程的意义、一般形式是什么？
由只含有一个未知数的二次多项式组成的整式方程叫 作一元二次方程.一般形式是：
2
5、一件衣服由300元经过两次降价后售价为243元， 2=243 300(1x ) 设这两次平均降价率为x，则所得方程是： 。 6、一块长和宽分别为40cm，28cm的矩 形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形， 折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 364cm2 .截去的小正方形的边长应当是多少？ 7、已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一个根是 3，求a的值。 8、方程(2a-4)x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元 二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
问题三：据某市交通部门统计，2012年全市汽车拥有量市75 万辆，两年后的2014年增加到108万辆，求该市两年来汽车拥 有量的平均增长率？ 分析：设平均每年增长率为x. 用代数式表示： 2 2013年有汽车 75(1+x) 万辆。2014年有汽车 75(1+x) 万辆。 由此列出方程: 75(1+x)2=108 . 方程化简为： 25x2+50x-11=0 4x2-140x+325=0 0.01t 2-2t = 0．25x2+50x-11=0 观察上述方程，它们有什么共同点？ （1）它们分别含有几个未知数？
一个
（2）它们的左边分别是 x 和 t 的几次多项式？
二次多项式
2 2-140x+325=0 4 x 0.01 t -2t = 0．25x2+50x-11=0 结论 从上述方程中受到启发，如果一个方程通过整 理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二 次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程. 一个一元二次方程可化成它的一般形式是：
⑦4x2=5x ( √ ) ⑧3y2+4=5y ( √ ) 2、把一元二次方程(x-√5 )(x+√5)+(2x-1)2=0化为一般 A ） 形式，正确的是（ A. 5x2-4x-4=0 B. x2-5=0 C. 5x2-2x+1=0 D. 5x2-4x+6=0 3、 一元二次方程3x2+x-2=0的二次项系数和常数项 分别为（ C ）. A.3，1 B. -1，-2 C. 3，-2 D. -1，2 4、将方程3x =5x+2化为一元二次方程的一般形式 2 3 x -5x -2=0 . 是：
湘教版SHUXUE九年级上
本节内容
2 ax +bx+c=0
2.1
x=
2 √ b -4ac -b±
执教：黄亭市镇中学
2a
肖彩峰
1、什么叫方程？什么叫方程的解吗？我们学了哪些方程？ 2、什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？ 3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实 际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤 吗? 问题一 如图所示，某住宅小区内有一栋旧 x 建筑，占地为一边长为35 m的正方形.现打 x 算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900 x x m2的正方形草坪，使四周留出的人行道的 35cm 宽度相等，问人行道的宽度为多少米？
x2-x-11=0 整理，得： 。 二次项系数是1，一次项系数是-1，常数项是11。
1、判断下列方程是否为一元二次方程：Leabharlann 练习① 10x2=9
( √ )
③2x2-3x-1=0 ( √ )
⑤2xy-7=0 ( ×)
②2(x-1)=3x ( × ) ④ 12 2 =0 ( ×) x x ⑥9x2=5-4x ( √ )
ax +bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0）
其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．
2
3、在ax2+bx+c=0中，对a、b、c的值有什么条件限制? a≠0，b、c可以为0. 作业：P28-----P29
分析 我们可以建立方程的模型来计算人行道的宽度, 设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m. 根据题意，可以列出方程 (35-2x) = 900 2 把方程通过移项，可以写成 (35-2x) -900 = 0 4x2-140x+325=0
2
35cm
问题二 小明和小亮分别从家里出发骑车去学校，在离学校还 有 1 km 处第一次相遇，此时他们的骑车速度分别为 3 m/s 和 2 m/s. 小明继续以 3 m/s的速度匀速前进；而小亮则逐渐 加快速度，以 0.01 m/s2的加速度匀加速前进. 已知匀加速运动求路程s的公式是：s=v0t + 1 at 2 2 其中t是时间，vo是初速度的大小， 学校 a是加速度的大小. 你能计算出 1 km 经过多长时间他们再次相遇吗？ 分析 设经过 t s 小明与小亮相遇.则在这段时间，小明骑车行 1 2 2 t + × 0.01 t 驶的路程为 3t m，小亮骑车行驶的路程为 m. 2 小明行驶的路程 = 小亮行驶的路程 。 问题中的等量关系是： 由此列出方程: 3t = 2t+ 1 ×0.01t 2 2 方程化简为： 0.01t 2-2t = 0．
中职数学2.1一元二次方程
一次项系数
大胆试一试：
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) x2 6x 32 =( x+ 3)2 (2) x2 8x 42 =( x 4)2
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x 22=( x 2 )2
(4) x2 共同点：
px
(
p 2
)2=(
x
p
2 )2
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
合作交流探究新知
问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？
（1）解：设场地宽为X米，则长为（x+6）米，根据题意得:
X（X+6） = 16 整理得：X2+6X－16 = 0
x 2 6 x 16 0
移项
x 2 6 x 16
两边加上32,使左边配成
x2 2bx b2的形式
x 2 6 x 32 16 32
左边写成完全平方形式
( x 3)2 25
降次
x 3 5
x 3 5, x Βιβλιοθήκη 3 5得 : x 2, x 8
1
2
例1: 用配方法解方程
x2 6x 7 0
解: 移项得：x2 6x 7
配方得：x2 6x 32 7 32
即 (x 3)2 16
开平方得： x 3 4
∴原方程的解为：x1 1, x2 7
范例研讨运用新知
例2: 你能用配方法解方程
2x2 x 6 0 吗？
解:
化二次项系数为1得：x2
1 2
x
3
0
移项得： x2 1 x 3
浙教版八年级下测试题2.1 一元二次方程
第2章 一元二次方程1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( C )A ．x 2＋1x 2＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．3x 2－2xy －5y 2＝0【解析】 A 是分式方程；B 中缺a ≠0；D 中含有两个未知数，故选C.2．一元二次方程2x 2＝1－3x 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ( B ) A ．2，1，－3B ．2，3，－1C ．2，3，1D ．2，1，3【解析】 由2x 2＝1－3x ，得2x 2＋3x －1＝0，故选B.3．有195张图片平均分给若干名学生，已知每人分得的图片数比人数少2，问：学生有多少人？设学生人数为x ，则( C ) A.12x (x －2)＝195B.12x (x ＋2)＝195C ．x (x －2)＝195D ．x (x ＋2)＝1954．[2013·安顺]已知关于x 的方程x 2－kx －6＝0的一个根为x ＝3，则实数k 的值为( A ) A ．1B ．－1C ．2D ．－25．已知一个一元二次方程的二次项系数为12，一次项系数为1，常数项为－2，则这个一元二次方程是__12x 2＋x －2＝0__.6．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；(3)把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长x .解：(1)4x 2＝25，化为一般式形为4x 2－25＝0.(2)x (x －2)＝100，化为一般形式为x 2－2x －100＝0.(3)x ＝(1－x )2，化为一般形式为x 2－3x ＋1＝0.7．[2013·牡丹江]若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，则2 013－a －b 的值是( A )A ．2 018B ．2 008C ．2 014D ．2 012【解析】 ∵x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx ＋5＝0的一个根，∴a ·12＋b ·1＋5＝0，∴a ＋b ＝－5，∴2 013－a －b ＝2 013－(a ＋b )＝2 013－(－5)＝2 018.8．[2013·黔西南州]已知x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则代数式a 2＋b 2＋2ab 的值是__1__．【解析】 ∵x ＝1是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，∴12＋a ＋b ＝0， ∴a ＋b ＝－1，∴a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝(－1)2＝1.9．已知关于x 的方程x 2－mx ＋n ＝0的两个根是0和－3，则m ＝__－3__，n ＝__0__.【解析】 把x 1＝0与x 2＝－3代入x 2－mx ＋n ＝0，得⎩⎨⎧n ＝0，9＋3m ＋n ＝0，∴⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝0.10．把一元二次方程(x －3)(x ＋3)＋(5x －2)2＝0化成一般形式是__26x 2－20x＋1＝0__．【解析】 由(x －3)(x ＋3)＋(5x －2)2＝0，得x 2－3＋25x 2－20x ＋4＝0，即26x 2－20x ＋1＝0.。
中职数学2.1一元二次方程学案
1、一元二次方程 学案学习目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
重点：用配方法解数字系数的一元二次方程；难点：配方的过程。
导学流程 一、自主学习1、概念学习：（1）一元二次方程：________________________________________________________________________;(2)一元二次方程的一般形式：______________________________,其中，____是二次项系数, ____ 是一次项系数, ____是常数项。
（3）方程的解：___________________________________________________________________________;（4）解方程：_____________________________________________________________________________.2、自学教科书例题，做到练习本上。
二、精讲点拨我们把方程x 2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 练一练 ：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； 从这些练习中你发现了什么特点?(1)当二次项系数为1时，加的常数是________________________________________________；(2)依据的公式是________________________________________________。
三、合作交流1、用配方法解下列方程：（1）x 2 ＋2x －3＝0； （2）x 2-4x-3＝0. （3）x 2 -6x ＋10＝02、总结规律用配方法解二次项系数是1的一元二次方程？有哪些步骤？四、深入探究用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03522=--x x这两道题与前面的两道题有何区别？请与同伴讨论如何解决这个问题？请两名同学到黑板展示自己的做法。
2.1认识一元二次方程(教案)
-理解一元二次方程的定义中a、b、c的含义，尤其是a≠0的条件，这是学生容易混淆的地方。
-公式法的记忆与运用：一元二次方程求解公式x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a)的使用，学生对公式中的符号容易混淆。
-判别式Δ的应用：学生需要理解Δ与方程解的关系，以及不同Δ值对应的解的情况（有两个实数解、一个实数解、无实数解）。
2.1认识一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第二章第一节“认识一元二次方程”。教学内容主要包括以下几部分：
1.一元二次方程的定义：让学生理解什么是一元二次方程，掌握其一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）。
2.一元二次方程的解：介绍一元二次方程的解的概念，即能使方程左右两边相等的未知数的值。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“认识一元二次方程”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：苹果和香蕉的总价与单价问题）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
2.1 一元二次方程 浙教版八年级数学下册同步练习(含解析)
第2章一元二次方程2.1一元二次方程基础过关全练知识点1一元二次方程的相关概念1.(2022浙江诸暨浣纱中学月考)下列方程是一元二次方程的是()A.x2-y=1B.x2+2x-3=0C.x2+1=3 D.x-5y=6x2.已知关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,则k=.3.若方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是.知识点2一元二次方程的一般形式4.下列方程是一元二次方程的一般形式的是()A.2x2-3x=0B.x2=1C.2x2-3x=-1D.2x2=-3x5.【新独家原创】四位同学一起做游戏,分别出一个一元二次方程,甲:x2-2x+3=0,乙:x2-2x=3,丙:3(x2-2x+1)=3,丁:3x2-x=3,当这四个方程化为一般形式时,常数项为0的赢,则这次游戏谁赢了()A.甲B.乙C.丙D.丁6.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项为0,则m等于() A.2 B.-2 C.2或-2 D.07.将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为.知识点3列一元二次方程8.某班学生毕业时,都将自己的照片向本班其他同学送一张留念,全班一共送了1 260张,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为() A.x(x+1)=1 260 B.2x(x+1)=1 260C.x(x-1)=1 260D.x(x-1)=1 260×29.【教材变式·P26合作学习(1)变式】把面积为16 m2的大长方形铁皮割成如图所示的正方形和长方形两个部分,已知长方形的一边长为 6 m,求其邻边长(只需列出方程).10.根据下列问题列一元二次方程,并将方程化为一般形式.(1)三个连续奇数的平方和是251,求这三个数;(2)一个长方形花坛,长20 m,宽8 m,在它的四周有等宽的鹅卵石路,形成一个大长方形,其面积是花坛面积的1.8倍,求路的宽度;(3)用一根长30 cm的铁丝折成一个斜边长13 cm的直角三角形,求这个三角形的直角边长.能力提升全练11.(2022浙江温州外国语学校期中,6,)关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为()A.0B.±3C.3D.-312.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为x=-1,则下列等式成立的是() A.a+b+c=0 B.a-b+c=0C.-a-b+c=0D.-a+b+c=013.若(1-m)x m2+1+3mx-2=0是关于x的一元二次方程,则该方程的一次项系数是() A.-1 B.±1 C.-3 D.±314.方程5x2-1=4x化成一般形式后,二次项系数为正,其中一次项系数,常数项分别是()A.4,-1B.4,1C.-4,-1D.-4,115.已知x1=1,x2=-3是一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)的两个根,求a,b 的值.16.已知关于x的方程(k-2)x2-kx=x2-1.(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?17.有一个三角形,面积为30 cm2,其中一边比这边上的高的4倍少1 cm,若设这边上的高为x cm,请你列出关于x的方程,并判断它是什么方程,若是一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.素养探究全练18.【代数推理】【运算能力】已知实数a是一元二次方程x2-2 022x+1=0的值.的解,求代数式a2-2 021a-a2+12 022答案全解全析基础过关全练1.B x2-y=1中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以A不符合题意;x2+2x-3=0符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,所以B符合题意;x2+1x =3中1x不是整式,不是一元二次方程,所以C不符合题意;x-5y=6中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以D不符合题意.故选B.2.3解析因为关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,所以22+2k-10=0,解得k=3.3.a≠2解析因为方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,所以a-2≠0,解得a≠2.4.A形如ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)是一元二次方程的一般形式.只有A符合题意,故选A.5.C x2-2x+3=0的常数项为3,所以甲输了;x2-2x=3化为一般形式为x2-2x-3=0,常数项为-3,所以乙输了;3(x2-2x+1)=3化为一般形式为x2-2x=0,常数项为0,所以丙赢了;3x2-x=3化为一般形式为3x2-x-3=0,常数项为-3,所以丁输了.故选C.6.B因为常数项为0,所以m2-4=0,解得m=2或-2,当m=2时,方程(m-2)x2+5x+m2-4=0变为5x=0,不是一元二次方程,所以m=2要舍去,故m=-2.7.5,-4,1解析5x2+1=4x移项,得5x2-4x+1=0,所以将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为5,-4,1.8.C全班有x名同学,根据“都将自己的照片向本班其他同学送一张留念”可知全班一共送了x(x-1)张照片,又全班一共送了1 260张照片,所以x(x-1)=1 260.9.解析设其邻边长为x m,则可列方程为x(x+6)=16.10.解析(1)设中间的奇数为x,则(x-2)2+x2+(x+2)2=251,化为一般形式:3x2-243=0.(2)设路的宽度为x m,则(20+2x)(8+2x)=1.8×20×8,化为一般形式:4x2+56x-128=0.(3)设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为(17-x)cm,则x2+(17-x)2=132,化为一般形式:2x2-34x+120=0.能力提升全练11.D将(m-3)x2+m2x=9x+5整理得(m-3)x2+(m2-9)x-5=0,由题意得m-3≠0,m2-9=0,解得m=-3,故选D.12.B把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0.13.C由题意得1-m≠0且m2+1=2,解得m=-1.∴该方程的一次项系数为3m=-3.14.C5x2-1=4x化成一般形式是5x2-4x-1=0,它的一次项系数是-4,常数项是-1.故选C.15.解析 把x 1=1,x 2=-3分别代入一元二次方程ax 2+bx -3=0(a ≠0),得{a +b −3=0,9a −3b −3=0,解得{a =1,b =2.16.解析 原方程可化为(k -3)x 2-kx +1=0.(1)当k -3≠0,即k ≠3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元二次方程.(2)当k -3=0,-k ≠0,即k =3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元一次方程.17.解析 根据题意可得关于x 的方程为12x (4x -1)=30,它是一元二次方程,整理为一般形式为2x 2-12x -30=0,二次项系数为2,一次项系数为-12,常数项为-30.素养探究全练18.解析 因为实数a 是一元二次方程x 2-2 022x +1=0的解,所以a 2- 2 022a +1=0,所以a 2-2 022a =-1,a 2+1=2 022a , 所以原式=a 2-2 021a -2 022a 2 022=a 2-2 022a =-1.。
北师大版 数学九年级上册第二章《2.1 认识一元二次方程》课件
知识模块二 一元二次方程有关概念的应用
(一)自主探究
1．下列方程中，是一元二次方程的是( C )
A．x2＋2y－1＝0 C．2x2＝2x－1
B．x＋2y2＝5
D．x2＋ 1 －2＝0 x
2．将方程(x＋3)2＝8x化成一般形式为__x_2－__2_x_＋__9_＝__0___， 其二次项系数为__1____，一次项系数是_－__2___，常数项是 __9____ ．
练习
1．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取 值范围是_a_≠__1__ ．
2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足_m__＝__－__2 时，它是一元一次方程；当m满足_m_≠_－__2__ 时，它是一元二次 方程．
3．(易错题)已知关于x的方程(m－2)x|m|＋3x－4＝0是一元二
xm
3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ (1)(100－2x)(50－2x)＝3600 (2)(x＋6)2＋72＝102
归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化 成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a 是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
(二)合作探究
1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个 角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分 折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底 面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
答：由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600
2.1.1一元二次方程的概念、一般形式、列方程
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四
个数依次可表示
为： x+1 , x+2 , x+3 , x+ .
根据题意，可得方程：
4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 该方程中未知数的个数和
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
最高次数各是多少？
解题技巧 4
列一元二次方程步骤：
分析题意→找等量关系→设未知数→列方程
课后作业
11.下列是一元二次方程有
(1)7x2 - 6x = 0
（6）
(2)2x2 - 5xy + 6y = 0
(3) 2 x 1 1 0
3x
(4) y 2 0
2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
(3x+2)2=4(x-3)2
x2 + x - 8 = 0 7x2 - 4 = 0
1
1
-8
7
0
-4
课后作业
3 a为何值时，(a－1)2 x ∣ a ∣ +1 －2ax－a+1=0为一 元二次方程？
课后作业
4 随堂练习 第1题
5 习题2.1 第1题
解题技巧 3
描述一元二次方程的各项及其系数：
(1)先将一元二次方程化成一般形式再进行判断. (2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、 去括号、移项、合并同类项等步骤． (3)指出一元二次方程的各项及其系数时，各项或各项的系 数应包括它们前面的符号.
解题技巧 4
2.1 认识一元二次方程(分层练习,5种题型)(解析版)
2.1认识一元二次方程分层练习考查题型一判断一元二次方程考查题型二一元二次方程的一般形式1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0D．3x2+4x﹣2＝0【详解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故选：B．2．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10【详解】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，（3）将2821x x -=化为一般形式为：28210x x -+=则：二次项系数为1，一次项系数为8-，常数项为21；（4）将()()112x x x +-=化为一般形式为：2210x x --=则：二次项系数为1，一次项系数为2-，常数项为1-；（5）将()()4152x x x -=+化为一般形式为：249100x x --=则：二次项系数为4，一次项系数为9-，常数项为10-；（6）将()22264x x -=+化为一般形式为：2540x x +=则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．考查题型三一元二次方程的解∴22112210,10x x x x +-=+-=，∴()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1，故答案为：1．考查题型四一元二次方程的解的估算A ．解的整数部分是3，十分位是1B ．解的整数部分是3，十分位是2C ．解的整数部分是3，十分位是3D ．解的整数部分是3，十分位是4【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．考查题型五已知一元二次方程求未知数的值解得x＝﹣1．（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．3．若方程(m－2)2-2m x+(3－m)x－2=0是关于x的一元二次方程，试求代数式m2+2m－4的值．【详解】解：根据题意，得m2－2=2且m－2≠0，解得m=±2且m≠2，所以m=－2，m2+2m－4=(－2)2+2×(－2)－4=4－4－4=－4．。
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案
浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》教案一. 教材分析《一元二次方程》是初中数学的重要内容，也是八年级下册的重点和难点。
本节课通过引入一元二次方程，让学生了解一元二次方程的定义、解法及其应用，培养学生解决实际问题的能力。
教材从生活实例出发，引导学生认识一元二次方程，并通过探究、合作、交流的方式，让学生掌握一元二次方程的解法，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了方程和不等式的基本知识，对解方程有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生具有较强的逻辑思维能力和抽象概括能力。
此外，学生对于数学问题的探究和合作能力也有待提高。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的定义、解法及其应用。
2.掌握一元二次方程的解法，提高解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作、探究、交流能力，提高学生的逻辑思维和抽象概括能力。
四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程的定义、解法及其应用。
2.重点：一元二次方程的解法。
3.难点：一元二次方程的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究一元二次方程的定义和解法。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
3.利用案例分析法，让学生从实际问题中认识一元二次方程的应用。
4.采用板书演示法，直观展示一元二次方程的解法过程。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和案例，用于导入和巩固环节。
2.准备一元二次方程的习题，用于操练和家庭作业环节。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入一元二次方程，让学生感受一元二次方程在实际生活中的应用。
例如，讲解一个关于面积和高度的问题，引导学生发现方程x^2 - 6x + 9 = 0。
2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的定义，明确方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
解释方程中的a、b、c分别代表什么含义，并引导学生理解一元二次方程的解法。
初高中数学衔接教材 §2.1 一元二次方程(含答案)
初高中数学衔接教材 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根： (1)0322=-+x x ；(2)0122=++x x ；(3)0322=++x x 。
} 用配方法可把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）变为2224()24b b ac x a a -+=①a ≠0，∴4a 2＞0。
于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。
由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。
综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－2ba； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0。
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。
（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=，22a x -=（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1。