求解有约束非线性规划问题的新算法
信赖域算法非线性优化问题课件
非ห้องสมุดไป่ตู้性优化问题的求解方法
总结词
非线性优化问题的求解方法主要包括梯度法、牛顿法、 拟牛顿法、共轭梯度法等。此外，还有一些启发式算 法如模拟退火、遗传算法等也被广泛应用于求解非线 性优化问题。
详细描述
梯度法是最早用于求解非线性优化问题的方法之一， 其基本思想是沿着目标函数的负梯度方向搜索。牛顿 法基于泰勒级数展开，构造一个二次模型逼近目标函 数，并在此基础上求解极小值。拟牛顿法是牛顿法的 改进，通过构造一个正定的拟牛顿矩阵来逼近海森矩 阵。共轭梯度法结合了梯度法和牛顿法的思想，在每 一步迭代中沿着当前搜索方向的前一方向共轭的方向 进行搜索。
可解释性与透明度
研究如何提高信赖域算法的可解释性和透明度，使其在关键领域（如 医疗、金融等）得到更广泛的应用。
信赖域算法的挑战和机遇
挑战
非线性、非凸、大规模、多模态等复杂优化问题对信赖域算法提出了更高的要求。同时，算法的稳定性和收敛速 度也是需要克服的难题。
机遇
随着计算能力的提升和算法理论的不断发展，信赖域算法有望在更多领域发挥重要作用。例如，在数据科学、机 器学习、人工智能、控制系统等领域，信赖域算法具有广阔的应用前景。同时，与其他先进技术的结合也为信赖 域算法的发展提供了新的机遇。
信赖域算法的未来发展
深度学习与机器学习集成
探索将信赖域算法与深度学习、机器学习等先进技术相结合，以解决 复杂、高维的非线性优化问题。
智能优化
结合人工智能和优化算法，开发能够自适应学习和进化的智能优化系 统。
强化学习与优化算法结合
利用强化学习中的智能体与环境交互学习的特点，与信赖域算法结合， 实现更高效的优化。
• 可以处理约束优化问题。
信赖域算法的优缺点
线性和非线性优化的算法研究
线性和非线性优化的算法研究优化问题是现代科学与工程领域中的重要问题之一。
在日常生活中，我们经常面临着各种各样的优化问题。
例如，我们要求自己每天的工作和生活都能够更加高效地完成，我们要让自己的饮食和运动更加合理科学，我们的公司要最大化盈利并最小化成本，我们的政府要优化资源配置以满足人民的不同需求等等。
为了解决这些优化问题，科学家们利用数学建立了各种优化模型，并研究了相应的优化算法。
其中，线性和非线性优化算法是两种最常用也最基础的优化算法之一。
1. 线性优化的算法研究线性优化问题指的是目标函数和约束条件都是线性的优化问题。
这类问题在现实中非常常见。
例如，制定一个最佳的生产计划以最大化利润、最小化成本；设计一个最优的物流运输方案以最小化总运费等等。
线性优化问题的数学基础是线性代数和线性规划。
线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，在许多优化问题的模型建立中，经常需要使用向量和矩阵进行表达。
而线性规划是一个针对线性优化问题的数学分支，它的主要目标是寻找一个在所有满足约束条件的解中，能够最大/最小化目标函数值的解。
而解决线性规划问题有两个重要的算法：单纯形法和内点法。
单纯性法是由美国数学家George Dantzig在1947年发明的算法。
它是目前解决线性规划问题最重要且最常用的算法之一。
单纯性法的核心思想是：通过不断地将无界的解空间向各约束的可行域逼近，最终找到全局最优解。
单纯性法不断调整进入基变量和离开基变量，直到找到满足约束条件的最大/最小值。
此外，内点法是针对线性规划问题的另一种重要算法。
它于1984年被美国数学家Narendra Karmarkar发明，相对于单纯性法而言，内点法对于大规模更为复杂的问题具有很高的求解效率。
内点法的基本思想是：将可行域内的每个解都转化为具有一定可行性的解，然后在这个集合中找到全局最优解。
2. 非线性规划的算法研究对于非线性优化问题，目标函数和/或约束条件包含非线性项。
运筹学中的非线性规划问题-教案
教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。
1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。
1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。
1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。
1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。
1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。
1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。
1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。
1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。
1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。
1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。
1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。
二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。
2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。
2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。
2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。
2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。
序列二次规划法
n
（1-10）
其中， E 代表等式约束下的集合， I k 代表不等式约束中起作用约束的下标 集合。
此式即式 （1-8） ， 可以用同样的方法求解。 在求得式 （1-10） 的解 [ S
k 1
, k 1]T
之后，根据 k-t 条件，若解中对应原等式约束条件的乘子不全为零，对应起作用 约束条件的乘子不小于零，则 S 最优解 S * 。 综上所述，在迭代点 X 上先进行矩阵 H 的变更，在构造和求解相应的二 次规划子问题，并该子问题最优解 S * 作为下一次迭代的搜索方向 S 。然后在 该方向上对原非线性最优化问题目标函数进行约束一维搜索， 得到下一个迭代点
此问题是原约束最优化问题的近似问题，但其解不一定是原问题的可行点。 为此，令
S X Xk
将上述二次规划问题变成关于变量的 S 的问题，即
1 min f ( X ) S T 2 f ( X k ) S f ( X k )T S 2 s. t. gu ( X k )T S gu ( X k ) 0 (u 1,2,..., p) hv ( X k )T S hv ( X k ) 0
T
等于 n m 。由线性代数知，此方程要么无解，要么有惟一解。如果有解，利用 消元变换可以方便的地求出该方程的惟一解， 记作 [ S 若此解中的乘子向量
k 1
k 1
根据 k-t 条件， , k 1]T 。
不全为零， 则S 。
k 1
就是等式约束二次规划问题式 （1-8）
的最优解 S * ，即 S* S
2 序列二次规划的研究
最优化理论及方法是一个具有广泛应用背景的研究领域。 它研究诸如从众多 的方案中选出最优方案等问题，常见的各种模型如线性规划，二次规划，非线性 规划， 多目标规划等。 最优化理论及方法已经在经济计划， 工程设计， 生产管理，
非线性规划的解法
非线性规划的解法非线性规划是一类重要的数学规划问题，它包含了很多实际应用场景，如金融市场中的资产配置问题，工程界中的最优设计问题等等。
由于非线性目标函数及约束条件的存在，非线性规划问题难以找到全局最优解，面对这样的问题，研究人员提出了众多的解法。
本文将从梯度法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等方法进行介绍，着重讨论它们的优劣性和适用范围。
一、梯度法首先介绍的是梯度法，在非线性规划中，它是最简单的方法之一。
梯度法的核心思想是通过寻找函数的下降方向来不断地优化目标函数。
特别是在解决单峰函数或弱凸函数方面优势明显。
然而，梯度算法也存在一些不足之处，例如：当函数的梯度下降速度过慢时，算法可能会陷入局部最小值中无法跳出，还需要关注梯度方向更新的频率。
当目标函数的梯度非常大，梯度法在求解时可能会遇到局部性和发散性问题。
因此，它并不适合解决多峰、强凸函数。
二、牛顿法在牛顿法中，通过多项式函数的二阶导数信息对目标函数进行近似，寻找下降方向，以求取第一个局部极小值，有时还可以找到全局最小值。
牛顿法在计算方向时充分利用二阶导数的信息，使梯度下降速度更快，收敛更快。
因此，牛顿法适用于单峰性函数问题，同时由于牛顿法已经充分利用二阶信息，因此在解决问题时更加精确，准确性更高。
但牛顿法的计算量比梯度法大，所以不适合大规模的非线性规划问题。
此外，当一些细节信息不准确时，牛顿法可能会导致计算数值不稳定和影响收敛性。
三、共轭梯度法共轭梯度法是非线性规划的另一种解法方法。
共轭梯度法沿预定义的方向向梯度下降，使梯度下降的方向具有共轭性，从而避免了梯度下降法中的副作用。
基于共轭梯度的方法需要存储早期的梯度，随着迭代的进行，每个轴线性搜索方向的计算都会存储预定的轴单位向量。
共轭梯度方法的收敛速度比梯度方法快，是求解非线性规划的有效方法。
四、拟牛顿法拟牛顿法与牛顿法的思路不同，它在目标函数中利用Broyden、Fletcher、Goldfarb、Shanno（BFGS）算法或拟牛顿法更新的方法来寻找下降方向。
PSO求解约束优化问题
总结词
PSO算法在机械设计优化问题中具有广泛的 应用前景，能够提高机械性能和可靠性。
详细描述
机械设计优化问题涉及到多个参数和复杂约 束条件，如强度、刚度和疲劳寿命等。PSO 算法能够根据设计要求和约束条件，优化设 计方案，提高机械性能和可靠性，减少设计 时间和成本。
案例四：求解电力系统优化问题
总结词
03
PSO算法求解约束优化问题
基于PSO的约束优化算法流程
初始化粒子群
评估粒子适应度
根据问题的约束条件和目标函数，初始化 一组粒子，每个粒子代表一个潜在的解。
根据约束条件和目标函数，评估每个粒子 的适应度，即其优劣程度。
更新粒子速度和位置
迭代优化
根据粒子自身的速度和位置，以及整个粒 子群中其他粒子的速度和位置，更新每个 粒子的速度和位置。
02
在PSO算法中，每个解被视为一 个粒子，粒子在搜索空间中飞行 ，通过不断更新粒子的位置和速 度来逼近最优解。
PSO算法的基本原理
01
02
初始化一群粒子，每个 粒子代表一个潜在的解。
计算每个粒子的适应度 值，根据适应度值评估 其优劣。
03
根据粒子的适应度值和 个体最优解、全局最优 解的信息，更新粒子的 速度和位置。
约束优化问题的求解方法
约束优化问题的求解方法可以分为解 析法和数值法两大类。解析法主要是 通过数学推导和分析来求解，适用于 一些简单的问题。数值法则是通过迭 代和搜索的方法来寻找最优解，适用 于大规模和复杂的约束优化问题。
常见的数值法包括梯度法、牛顿法、 拟牛顿法、共轭梯度法等。这些方法 在求解过程中需要用到目标函数和约 束条件的梯度信息，因此对于非线性 约束优化问题，需要用到数值微分等 近似方法来计算梯度。
带约束的非线性优化问题解法小结
(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。
上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。
非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。
到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。
在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。
在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。
关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。
到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。
利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。
此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。
在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。
下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。
1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。
2022年Python数学实验与建模第3章 非线性规划
航空基础学院数学第教8研页室
数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
定理 3.2（无约束优化问题有局部最优解的充分 条件） 设 f (x)具有连续的二阶偏导数，点 x*满足 f ( x* ) 0；并且2 f ( x* )为正定阵，则 x*为无约束优
化问题的局部最优解。
定理 3.1 和定理 3.2 给出了求解无约束优化问题 的理论方法，但困难的是求解方程f ( x* ) 0，对于 比较复杂的函数，常用的方法是数值解法，如最速降 线法、牛顿法和拟牛顿法等。
航空基础学院数学第教3研页室
数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
定义 3.1 记非线性规划问题(3.1)或(3.2)的可行
域为 K。
（1）若 x* K ，且x K ，都有 f ( x* ) f ( x)， 则称 x*为(3.1)或(3.2)的全局最优解，称 f ( x*)为其全 局最优值。如果x K , x x*，都有 f ( x*) f ( x)， 则称 x*为(3.1)或(3.2)的严格全局最优解，称 f ( x*)为
若 f ( x)，gi ( x),i 1,2, , p和hj ( x), j 1,2, ,q中至
少有一个是 x的非线性函数，称如下形式的数学模型：
min f ( x),
s
.
t
.
gi hj
( (
x x
) )
0, 0,
i 1,2, j 1,2,
, p, ,q
(3.1)
航空基础学院数学第教1研页室
若 x*是问题(3.4)的局部最优解，则存在实向量
λ* [1* , 2* ,
,q* ]T Rq，使得L( x*, λ* ) 0，即
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第 4步 终止计算, 输出最优解。
2. 2 算例分析 用上述方法求解下列问题
m ax z = x1 + x2 4 3x1 + 2x2 2 % 9
1 1/10 1 /10
0 - 1 /10 9 /10
0 13 /2 22. 5
由表 3~ 4可知, 21和 22是候选进 基变量。 由于 21 与基变量 23 或 24不 相邻, 因 此不能进 基。类似地, 由于 24不能 离基, 因此 22 不能进 基, 因此最终的单纯形表就是近似问题的最好解, 即原问题的最优解是
徐裕生, 杜英阁, 王佳佳
(西安建筑科技大学 理学院, 西安 710055)
摘
要: 提出了一种针对目标函数、约束条件都是非线性的非线性规划问题的新算法。此算
法主要是利用可分离函数和近似求解的思想来求解问题。数值计算结果显示, 该方法是可行和
有效的。
关 键 词: 非线性规划; 可分离函数; 近似模型; 单纯形法
( Co llege o f Science, X ia'n U niversity of A rchitecture and T echnology, Shaanx i 710055, Ch ina)
Abstract: T h is article describes a new algo rithm fo r so lving non linear programm ing problem s w hose target funct ions and constraints are non linear. T his a lgorithm uses separable functions and approx im ate solutions to so lve the problem s. Num erical resu lts show that the algorithm is feasible and effective. K ey w ord s: nonlinear programm ing; separab le funct ion; approx im at ion m ode;l sim plex
[ 5] 袁亚湘. 非线性 优化计 算方 法 [ M ]. 北 京: 科学 出版 社, 2008.
[ 6] 运筹学 (修订版 ) [M ]. 北京: 清华大学出版社, 1990.
( 责任编辑 刘 舸 )
第 24卷 第 6期 V o .l 24 N o. 6
重 庆 理 工 大 学 学 报 ( 自然科学 ) Journa l of Chongqing U niversity of T echnology( N atural Science)
2010年 6月 Jun. 2010
*
求解有约束非线性规划问题的新算法
x1 = 0
x2 ! 2
23 + 3
24 =
2
& 190+
3
&
1 10
=
2.
1
z = 0+ 2. 14 = 19. 45 x2 = 2. 1近似等于真正的最优值 2. 121 32。
用 AMPL 或 Excel规划求解得到该问题的 精
确解是
x1 = 0 x2 = 2. 121 32 z* = 20. 25
3 结束语
表 3 新表 1
x1
21
22
23
24
s1
s1
3 - 8 - 6 0 [ 10] 1
1
23
0
1
1
1
1
0
1
z - 1 16 15 0 - 65 0 16
由新算法可以看出, 该算法只能保证局部 最 优解, 近似解 对于原 问题来 说可 能是不 可行的。 事实上, 近似模型可能给出不是原问题解空间 里 的其他点, 但是该算法却提供了一种求解非线 性 规划问题的新思路。
目前, 对求解非 线性规划问题已经有很多的 算法, 通常可分为间接算法和 直接算法。间接算 法通过处理从原问题中得到的若干个线性规划来 求解非线性问题, 而直接算法则直接处理原问题。 F rank和 W olfe曾于 1956 年提出了求解非线性规 划问题的算法 (简称为 F rank W o lfe方法 ), 此算法 的基本思想是: 在每次迭代中, 将目标函数 f ( x )线 性化, 解线性规划求出下降可行方向, 进而沿此方 向在可行域内作一维搜索, 然后对目标函数利用 一阶 T ay lor多项式展开线性逼近 f ( x )。本文介绍 的这种新算法则是从另外一个角度对此问题进行 求解 [ 1- 6] 。该算法主要是利用可分离函数将非线
k
f ( x ) ! f ( ak ) k
k= 1
k
x=
ak k
k= 1
其中: k 是关于第 k 个间断点的非负权值, 并且有
k
k = 1, k ∀0, k = 1, 2, k。
k= 1
满足以下 2个条件时, 这样近似是合理的: #
最多有 2个 k 是正的; ∃ 若 k 为正, 则仅有一个
邻近的 k + 1或者 k - 1可取正值。此 2个条件也可
22 + 16 23 + 81 24
同理有 g2 ( x2 ) ! 2 22 + 8 23 + 18 24。因而原问 题近似转化为求下列线性22 + 16 23 + 81 24 3x1 + 2 22 + 8 23 + 18 24 % 9
s. .t
21 + 22 + 23 + 24 = 1
24是进基变量, 由于 行的, 由单纯形方法中的 建立新表如表 4所示。
23是正的, 因此这是可 规则知 s1 将离基。再
表 4 新表 2
x1
21
22
23
24 3 /10 - 8 /10- 6 /10 0
23 - 3 /10 18 /10 16 /10 1
z 37/2 - 36 - 24 0
24
s1
中图分类号: O22
文献标识码: A
文章编号: 1674- 8425( 2010) 06- 0094- 03
N ew a lgorithm for solving constra ined nonlinear programm ing problem s
XU Yu sheng, DU Y ing ge, W ANG J ia jia
作为限制基的条件。
2 算法步骤及算例分析
2. 1 算法步骤 第 1步 将非线性规划问题通过可分离函数
转化为近似的线性规划问题。 第 2步 对第 1步所得的近似的线性规划问
题, 通过对 i 的值是否满足上述所提的限制基的 条件, 利用单纯形方法进行求解。若满足, 则所得 的单纯形表给出该问题的近似最优解; 否则, 转入 第 3步。
在区间上如何近似表达一元函数呢? 假设要 在区间 [ a, b ] 上近似 f ( x ), 定义 ak ( k = 1, 2, k ) 为 x 上的第 k 个间断点, 使得 a1 < a2 < < ak, a1 和 ak 恰好是指定区间的端点 a 和 b, 这样 f ( x )被 近似 (采用线性加权和法线性近似 )表示为
s. .t x1, x2 ∀ 0
首先考虑可分离函数
f1 (x 1 ) = x1 , g1 ( x1 ) = 3x 1 ,
f2 (x2 ) = x2 4 g2 ( x2 ) = 2x2 2
显然 f 1 ( x1 ), g1 (x 1 )一致都是线性的, 在这种 情况下, x 1 被看成是所要的变量之一。现在考 虑 f2 ( x2 )和 g2 (x 2 ), 将其变为线性的。设置 4个间断 点: a2k = 0, 1, 2, 3, 分别对应 k = 1, 2, 3, 4。由于 x2 的值不能超过 3, 则可得表 1的情形。
表 1 x2 的值不能超过 3时的情形
k
a 2k
f2 ( a2k ) = a2k4
g2 ( a2k ) = 2a2k2
1
0
0
0
2
1
1
2
3
2
16
8
4
3
81
18
故有
f2 ( x2 ) ! 21f 2 ( a21 ) + 22f 2 ( a22 ) + 23 f2 ( a23 ) + 24f 2 ( a24 ) ! 0 & 21 + 1 & 22 + 16 & 23 + 81 24 =
显然 线 性 函 数 g ( x1, x2 xn ) = a1 x1 +
* 收稿日期: 2009- 12- 18 基金项目: 陕西省教育厅专项 科研基金资助项目 ( 03 jk065); 西安建筑科技大学基础研究基金资助项目 ( 02BR01) 作者简介: 徐裕生 ( 1950 ) , 男, 安徽怀远人, 教授, 主要从事最优化理论与算法研究。
x1 ∀0, 2k ∀ 0, ( k = 1, 2, 3, 4)
其中 2k的值必须满足限制基条件。表 2为初表, 其中 s1 为松弛变量。
96
重庆理工大学学报
表 2 初表
x1
21
22
23
24
s1
s1
3
0
2
8 18 1
9
21
0
1