第四章 约束非线性规划
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
Chap4约束非线性规划
--11
0
-1 0 11
x
y
2、一般约束非线性规划的最优性条件
（1）两个不等式约束的情形：（以三元函数为例）
min f ( x1, x2 , x3 ) s.t. g1( x1, x2 , x3 ) 0
g2 ( x1 , x2 , x3 ) 0
其中 f, g1, g2 均为可微函数。
g1(x)=0 x*
结合 2* 0 ，可统一写作
i* 0, i 1, 2.
(3)
总之，两个不等式约束的非线性规划问题
min f ( x1, x2 , x3 ) s.t. g1( x1, x2 , x3 ) 0
g2 ( x1 , x2 , x3 ) 0 的最优解应满足的条件为
f ( x* ) 1* g1( x* ) 2* g2 ( x* ) 0
(1)
i* gi ( x1* , x2* , x3* ) 0, i 1, 2.
(2)
i* 0, i 1, 2.
(3)
gi ( x1* , x2* , x3* ) 0, i 1, 2.
(4)
（2）一般的约束非线性规划问题
min f ( x) s.t. hj ( x) 0, j 1, 2, , l,
2 y1 )
0
L y1
2(
y1
y2 )
1(2 x1
6 y1 )
0
L z1
2( z1
z2 )
41
0,
L x2
2( x1
x2 )
2
0,
第4章非线性规划43PPT课件
极值点。
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
定理4.3.2 （极值存在的充分条件） 设 f（X）是定义在n 维欧氏空间 E n 上的某一
开集R 上的实值函数，且 f（X）在R 上二次连续可 微，若存在 X * R , 使得 f (X*) 0,且 2 f ( X * )
出量为Q 。若产品价格为P =4，要素投入价格分别为
PK 4 , PL 3 , 试求该企业得到最大利润时要素投 投入水平。
解: 该企业的利润函数为 YP Q P K K P LL
11
12K3L24K3L
则有
11
m axY12K3L24K3L
6
由极值存在的必要条件
Y K
2 1
4K 3 L2
10
注1： 定理4.3.3 表明等式约束极值问题可以转化
为求拉格朗日函数 L( X , ) 的驻点，即满足
f (X) m ihi (X) 0
i1
hi (X) 0,i 1,2, ,m
的 X 和 。
（4.3.3）
11
例4.3.3 求解下列非线性规划问题
m inf(X)x12x1x2x2210x14x260
一邻域 N ( X ) 上可微，且矩阵 J ( X ) ( h 1 ( X ) , h 2 ( X ) ,, h m ( X ) ) n m （4.3.2）
的秩为 m，若 X 是最优解，则存在拉格朗日乘子
(1,2, , m ),使
m
XL (X , *) f(X ) i h i(X )0 i 1
s.t. h(X)x1x280 解：该问题为具有等式约束的非线性规划问题。
《高级运筹学》非线性规划模型及基本概念
min f ( x1 , x2 ) ( x1 ai ) 2 ( x2 bi ) 2
i 1
m
例3
求表面积为常数6a2 (a>0), 体积最大的长方体体积。
解：设长方体的长、宽、高分别为x1,x2,x3. 则
max f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 s.t. 2( x1 x2 x1 x3 x2 x3 ) 6a 2 x1 0, x2 0, x3 0
许国志等根据史记中：“运筹于帷幄之中，决 胜于千里之外”将其翻译成“运筹学”
本学期教学内容
非线性规划 第一章：非线性规划模型及基本概念 第二章：无约束非线性规划 第三章：约束非线性规划 第四章：多目标规划 现代优化算法简介
《非线性规划》教学参考书
[1] 施光燕、董加礼,最优化方法 高等教育出版社，2004。 [2] 施光燕、钱伟懿，庞丽萍，最优化方法（第二版）高等 教育出版社，2007。
4. 梯度：
定义: 以f(x) 的n个偏导数为分量的向量称为f(x) 在x处的梯 度，记为
f ( x) f ( x) x1 f ( x) x2 f ( x) xn
T
梯度也可以称为函数 f(x) 关于向量 x 的一阶导数.
5. 梯度和方向导数的关系
f ( x 0 ) f ( x 0 )T e P
SETS: N/1..4/:X; ENDSETS max=@sum(N(i):X(i)^0.5); X(1)<400; 1.1*X(1)-(X(1))^(1/2)+X(2)<440; 1.21*X(1)-1.1*(X(1))^(1/2)+1.1*X(2)-(X(2))^(1/2)+X(3)<484; 1.331*X(1)-1.21*(X(1))^(1/2)+1.21*X(2)-1.1*(X(2))^(1/2)+1.1*X(3)(X(3))^(1/2)+X(4)<532.4;
求解带约束的非线性规划问题论文
求解带约束的非线性规划问题罚函数法求解带约束的非线形规划问题的基本思想是：利用问题的目标函数和约束函数构造出带参数的所谓增广目标函数，把约束非线形规划问题转化为一系列无约束非线形规划问题来求解。
增广目标函数由两个部分构成，一部分是原问题的目标函数，另一部分是由约束函数构造出的“惩罚”项，“惩罚”项的作用是对“违规”的点进行“惩罚”。
罚函数法主要有两种形式。
一种称为外部罚函数法，或称外点法，这种方法的迭代点一般在可行域的外部移动，随着迭代次数的增加，“惩罚”的力度也越来越大，从而迫使迭代点向可行域靠近；另一种成为内部罚函数法，或称内点法，它从满足约束条件的可行域的内点开始迭代，并对企图穿越可行域边界的点予以“惩罚”，当迭代点越接近边界，“惩罚”就越大，从而保证迭代点的可行性。
1. 外部罚函数法(外点法)约束非线形规划问题min f(x),s.t. g(x)>=0,其中g (x) = (g 1(x),…,gm(x)),将带约束的规划问题转化为无约束非线形规划问题来求解的一个直观想法是：设法加大不可行点处对应的目标函数值，使不可行点不能成为相应无约束问题的最优解，于是对于可行域 S= { x | g(x) >= 0} 作一惩罚函数P(x) = 0, x∈S;K, else其中K是预先选定的很大的数。
然后构造一个增广目标函数F (x) = f (x) + P (x) ,显然x∈S时，F（x）与f (x)相等，而x S 时，相应的F值很大。
因此以F(x)为目标函数的无约束问题minF x) = f(x) + P (x) （1）的最优解也是原问题（NP）的最优解。
上述P(x)虽然简单，但因它的不连续性导致无约束问题（1）求解的困难。
为此将P(x)修改为带正参数M（称为罚因子）的函数P(x) =M ∑[min (0,gj(x))]²则min F(x,M) = f(x) + M∑[min (0,gj(x))]²的最优解x(M) 为原问题的最优解或近似最优解。
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
09非线性规划：无约束极值问题
X
k +1
=X +k P
k
k
其中P 称为搜索方向，k 称为步长
无约束极值问题的解法
一、梯度法(最速下降法):选择负梯度方向为搜索方向
将f ( X k 1 )在X k点处进行多元泰勒展开： f ( X k 1 ) f ( X k P k ) f ( X k ) f ( X k )T P k o( ) 对充分小的，只要f ( X k )T P k 0 即可保证f ( X k 1 ) f ( X k ) f ( X k )T P k || f ( X k )T || || P k || cos 当 =180即P k 与f ( X k )反向时，f ( X k )T P k 0且最小 称P k f ( X k )为负梯度方向，它是函数值下降最快的方向
max y 30x 1 450x 2
产品1 (x1)
工作时间 售价 0.5 30
产品2 (x2)
2+0.25 x2 450
工作时间 限量
800
0.5x1 (2 0.25 x2 ) x2 800
x1、x2 0
二、非线性规划问题的特点
局部最优点不是全局最优点。
三、极值问题
1、一元函数 y=f(x) ： ① 局部极值点存在的必要条件：f’(x0)=0，此时求出的 x0 为驻点。 ② 局部极值点存在的充分条件： a. 若f’’(x0)<0，则该点 x0 为局部极大值点。 b. 若f’’(x0)>0，则该点 x0 为局部极小值点。
k k k k T k k
+f (x ) H ( x )f (x )
k T k
对 求导并令导数值为零，得到近似最佳步长 f (x ) f (x ) k k T k k f (x ) H ( x )f (x )
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第四章 约束非线性规划 § 4.3 可行方向法
作者：黄希勇 2013.5.28
引入：
对于非线性规划问题，如果不存在约束，从任一个初始点 )0(x 出发，沿)(x f 的负梯度方向进行一维收索，便可求得目标函数的无约束极小值；而对有约束的极小化问题来说，除要使目标函数在每次迭代有所下降之外，还要注意解的可行性问题，为此，在求解约束非线性规划迭代法的设计中，应在每个迭代点)(k x 出构造一个可行下降方向 )(k d 。
引入：有效约束和可行下降方向的概念 考虑非线性规划
⎪⎩
⎪⎨⎧=≥==m i x g l
j x h t
s x f i j .....2,10)(......2,10)(.)
(min （4.3.1）
其中，)(),(),(x g x h x f i j 均为实值连续函数，且具有二阶连续偏导数。
设)0(x 是非线性规划的一个可行解。
现考虑某一不等式约束条件
0)(≥x g i
满足它有两种可能：其一为0)(>x g i ，这时，点)0(x 不是处于由这一约束条件形成的可行域边界上，因而这一约束对)0(x 点的微小摄动不起限制作用，从而称这个约束条件是)0(x 点的不起作用约束(或无效约束)；其二是0)(=x g i ，这时)0(x 点处于该约束条件形成的可行域边界上，
它对)0(x 的摄动起到了某种限制作用，故称这个约束是点的起作用约束(有效约束)。
显而易见，等式约束对所有可行点来说都是起作用约束。
1.1
D e f ： 设可行域是非空集，D x ∈，若对某非零向量n R d ∈，存在0>δ，使对任意),0(δ∈t 均有D td x ∈+,则称d 为从x 出发的可行方向。
若非线性规划的某一可行点)0(x ，对该点的任一方向d 来说，若存在实数't ，使对任意
]',0[t t ∈均有
)()()0()0(x f td x f <+ 就称方向d 为)0(x 点的一个下降方向。
如果方向d 既是)0(x 点的可行方向，又是这个点的下降方向，就称它是该点的可行下降方向。
Eg 4.4: 略
现考虑非线性规划（4.3.1）式，设)(k x 是它的一个可行解，但不是要求的极小点。
为了求它的极小点或近似极小点，根据以前所说，应在)(k x 点的可行下降方向中选取某一方向)(k d ，并确定步长k t ，使
⎩⎨⎧<+=++)
()()
()1()
()()1(k k k k k k x f x f d t x x （4.3.2） 若满足精度要求，迭代停止，)1(+k x 就是所要的点。
否则，从)1(+k x 出发继续进行迭代，直到满足要求为止。
上述方法称为可行方向法； 其特点是：迭代过程中采用的搜索方向为可行方向，所产生的迭代
点列｛X(k)｝始终在可行域内，目标函数值单调下降。
下面介绍Zoutendijk 可行方向法
简 介
● Zoutendijk 可行方向法是Zoutendijk 于1960年提出的. ● Zoutendijk 可行方向法中选择搜索方向包括:起作用（有效）约束构造可行方向和ε起作用约束构造可行方向.
● Zoutendijk 可行方向法可以求解线性约束优化问题和非线性约束优化问题.
考虑线性约束问题
⎪⎩
⎪
⎨⎧
=≥c
Gx b Ax t
s x f .)(min （4.3.3）
其中)(x f 可微，n R x n l G n m A ∈⨯⨯矩阵，为矩阵，为，
维列向量和分别为和l m c b
怎样选择下降可行方向？
由于问题（4.3.3）中约束是线性的，)(x f 是非线性的，在)(k x 附近考察)(x f ，
我们用)(x f 在)(k x 处的一阶Taylor 多项式代替)(x f 。
设)(k x 满足c Gx b x A b x A k k k ==>)
(2)(21)(1,,，其中⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=21A A A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21b b b ，令
d x f x f x f d x x T k k k )()()(,)()()(∇+≈+=，
于是（4.3.3）转化为下述线性规划：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+≥+≥+∇+c
d x G b d x A b d x A t
s d x f x f k k k T k k )()()(.)()(min )(2)(21
)(1)()(
由于)()(k x f 为常数且1)(1b x A k >，故上述线性规划等价于
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≥∇00.)(min 2)(Gd d A t
s d x f T k （4.3.4） 因为0=d 为（4.3.4）的可行点，其对应的目标函数值为0，即*d 为（4.3.4）的最优解，则0)(*)(≤∇d x f T k ：
（1）若0)(*)(<∇d x f T k ，*d 为原问题（4.3.3）在)(k x 处的下降可行方向；
（2）若0)(*)(=∇d x f T k ，)(k x 为（4.3.3）的T K -点； 证明（2）：见课本P79 现在来确定一维搜索的步长？
设)(k x 是（4.3.3）的可行解，不妨设第k 次迭代的出发点)(k d 为)
(k x 处一个下降可行方向后继点)1(+k x 由下列迭代公式给出：
)()()1(k k k k d t x x +=+ 为确定k t ，k t 取值遵循下列原则：
（1）保持迭代)()(k k k d t x +的可行性； （2）使目标函数值尽可能减小；
根据上述原则,可以通过求解下列一维搜索问题来确定步长，这里不再赘述，我们只要知道怎么计算就可以了。
综上得Zoutendijk 可行方向法的步骤为：
（1）确定允许误差ε，任选可行点)0(x 作初始点，令0=k ； （2）根据)(k x 的有效约束把A 分解为2,1A A ,相应的把b 分解为21,b b ，使得2)(21)(1,b x A b x A k k >>； （3）求解线性规划
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≥∇00.)(min 2)(Gd d A t
s d x f T k ,11≤≤-i d n i ,.......
2,1= 设最优解为*d ，式中i d 为向量d 的分量，限制i d 是为使该线性规划有有限最优解；
（4）若ε<∇*)()(d x f T k ，则)(k x 为所求最优点，停止，否则转（5）； （5）若0*1≥d A ，则由一维线收索)(min *)(td x f k +得*)()1(d t x x k k k +=+，令1+=k k 转（2），否则转（6）； （6）设*21)(1,d A v b x A u k =-=，计算
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<-=-
0|min i i i v v u t
由)(min *)(0td x f k t
t +-
≤≤确定*)()1(d t x x k k k +=+，令1+=k k 转（2）；
例：见课本P80。