第二章约束非线性规划总结
非线性规划高考知识点归纳总结
非线性规划高考知识点归纳总结非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究在非线性目标函数和非线性约束条件下的优化问题。
在高考数学中，非线性规划通常不会作为主要考点，但了解其基本概念和简单应用对于提高数学素养和解决实际问题具有重要意义。
首先，非线性规划问题可以定义为：给定一个目标函数 \( f(x_1,x_2, ..., x_n) \) 和一组约束条件 \( g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq 0 \)（对于 \( i = 1, 2, ..., m \)），以及 \( h_j(x_1,x_2, ..., x_n) = 0 \)（对于 \( j = 1, 2, ..., p \)），求 \( x \) 的值，使得目标函数 \( f \) 达到最大值或最小值。
在高考中，非线性规划的知识点通常包括以下几个方面：1. 目标函数与约束条件：理解目标函数和约束条件在非线性规划中的作用，以及它们如何影响问题的解。
2. 可行域：掌握如何根据约束条件确定可行域，这是求解非线性规划问题的基础。
3. 拉格朗日乘数法：了解拉格朗日乘数法的基本原理，以及如何利用它求解带有等式约束的非线性规划问题。
4. KKT条件：掌握KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件，这是求解非线性规划问题的必要条件。
5. 数值方法：了解一些基本的数值方法，如梯度下降法、牛顿法等，这些方法在实际求解非线性规划问题时非常有用。
6. 实际应用：能够将非线性规划的概念应用到实际问题中，如资源分配、成本最小化等。
在复习非线性规划时，建议从以下几个步骤进行：- 理解概念：首先，要理解非线性规划的基本概念，包括目标函数、约束条件、可行域等。
- 掌握方法：其次，要掌握求解非线性规划问题的基本方法，如拉格朗日乘数法和KKT条件。
- 练习题目：通过大量的练习题目来巩固知识点，提高解题能力。
- 实际应用：尝试将非线性规划的概念应用到实际问题中，提高解决实际问题的能力。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
第二章 无约束非线性规划
例3
非线性规划问题
解：为其建立数学模型： 设该公司计划经营第一种设备 x1 件，第二种设备 x2 件，根据题意，其 其数学模型为：
MAX x1 , x2 0
f ( X ) 30x1 450x2
2 2
0.5 x1 2 x2 0.25x 800
非线性规划
T n x ( x ,..., x ) R 1 n 设 ，
x * 是的严格局部最优解或严格局部极小点，称 f ( x
)
极值存在的条件
１必要条件：设Ｒ是 n 维欧氏空间的某 一区域，f(X)为定义在Ｒ上的实值函数， Ｘ＊是区域Ｒ的内点，若f(Ｘ）在Ｘ＊处 可微，且在该点取得局部极小值，则必 有
f ( X *) f ( X *) f ( X *) 0 x1 x2 xn 5.1
f ( x * ) f ( x), x X, x x *
则称 x 是的严格整体最优解或严格整体极小点，称 f ( x * ) 是的严格整体最优值或严格整体极小值。
*
最优解和极小点
定义 5.1.2 对于非线性规划，若 x * X ，并且存在 x 的一
* n * N ( x ) x R x x ( 0, R) ，使 个领域
f ( x); gi ( x), i 1,..., p; hj ( x), j 1,...,q : R R ,
n
如下的数学模型称为非线性规划模型：
m i n f ( x ) s .t . g i ( x ) 0, i 1,..., p h j ( x ) 0, j 1,...,q
通 常 情 况 下 ， 目 标 函 数 f(x) 和 约 束 条 件 hi(X)和gi(X)为自变量Ｘ的非线性函数
约束非线性规划PPT课件
(3 )一般 设 { 情 g i(x *|况 i) I(x * ： }线 ) 性无关
则存在非 i(i 负 I(x*实 ))使 , 数 得
f(x* ) i gi(x* )0
(2)
i I(x*)
(2) 式可改写为
l
f (x*) igi (x*) 0
i 1
(3)
i gi (x*) 0, i 0, i 1,2,,l
j1
7
(2)不等式约束极值问题的最优性条件
min f (x) s.t. g(x) 0 (1 )
可行 Q 域 {x|g(为 x)0}。
①可行方向与积极约束: 可行方向:
g1(x)0
x0 d1 d2
x1 d1 d2
g2(x)0
设x0Q， d为 一 个 向 量实 。数 如 0果 ，存 在
使 得 对 任 [意 0,]的 有x0dQ,则 称 d为x0处 的
g1(x*)
g1(x)0 x*
f (x*)
则 f ( x 有 * ) g 1 ( x * , ) 0 。
即 f(x * ) g 1 (x * 0 ) 。
14
(2)如I果 (x*中 ) 有两个指 g1(x)和 标 g2(x， )为不 积妨 极设 并 设 g1(x*和 ) g2(x*线 ) 性无关。
2 0
21
x11
1 3
3 3
x130 3x10
这与 30矛盾。
x1 1 2 3
x2 1 3 3
(4 )若 x 1 0 ,x 2 0 :
230
xx12
1 1
3 3
x1x2
1( x1
x2 4) 2x1 0
0
3x2 0
x1 x2 4 0
求解带约束的非线性规划问题论文
求解带约束的非线性规划问题罚函数法求解带约束的非线形规划问题的基本思想是：利用问题的目标函数和约束函数构造出带参数的所谓增广目标函数，把约束非线形规划问题转化为一系列无约束非线形规划问题来求解。
增广目标函数由两个部分构成，一部分是原问题的目标函数，另一部分是由约束函数构造出的“惩罚”项，“惩罚”项的作用是对“违规”的点进行“惩罚”。
罚函数法主要有两种形式。
一种称为外部罚函数法，或称外点法，这种方法的迭代点一般在可行域的外部移动，随着迭代次数的增加，“惩罚”的力度也越来越大，从而迫使迭代点向可行域靠近；另一种成为内部罚函数法，或称内点法，它从满足约束条件的可行域的内点开始迭代，并对企图穿越可行域边界的点予以“惩罚”，当迭代点越接近边界，“惩罚”就越大，从而保证迭代点的可行性。
1. 外部罚函数法(外点法)约束非线形规划问题min f(x),s.t. g(x)>=0,其中g (x) = (g 1(x),…,gm(x)),将带约束的规划问题转化为无约束非线形规划问题来求解的一个直观想法是：设法加大不可行点处对应的目标函数值，使不可行点不能成为相应无约束问题的最优解，于是对于可行域 S= { x | g(x) >= 0} 作一惩罚函数P(x) = 0, x∈S;K, else其中K是预先选定的很大的数。
然后构造一个增广目标函数F (x) = f (x) + P (x) ,显然x∈S时，F（x）与f (x)相等，而x S 时，相应的F值很大。
因此以F(x)为目标函数的无约束问题minF x) = f(x) + P (x) （1）的最优解也是原问题（NP）的最优解。
上述P(x)虽然简单，但因它的不连续性导致无约束问题（1）求解的困难。
为此将P(x)修改为带正参数M（称为罚因子）的函数P(x) =M ∑[min (0,gj(x))]²则min F(x,M) = f(x) + M∑[min (0,gj(x))]²的最优解x(M) 为原问题的最优解或近似最优解。
第2章 非线性规划
成立，则称函数f(x)在点 0处有极大值；反之，若有 在点x 成立，则称函数 在点 处有极大值；反之， 不等式
f ( x) > f ( x0 )
成立， 在点x 成立，则称函数 f (x)在点 0处有极小值。 在点 处有极小值。
3
第2章 非线性规划
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
f ( k ) ( x0 ) = 0, k = 1, 2,L , n − 1; f ( n ) ( x0 ) ≠ 0
为偶数， 在点x 若n为偶数，则函数 为偶数 则函数f(x)在点 0处有极值，当f(n)(x0)<0 在点 处有极值， 时为极大值， 时为极小值； 为奇数， 时为极大值，当f(n)(x0)>0时为极小值；若n为奇数， 时为极小值 为奇数 则函数f(x)在点 0处没有极值。 则函数 在点x 处没有极值。 在点 6
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第2章 非线性规划
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可 能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。 如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插 入。
2.1 一元函数的极小化
2.1.1 求解单变量极值问题的解析法
2.1.1.1 预备知识
1．极值（极大值或极小值）：若函数f (x)在点 x0双 ．极值（极大值或极小值） 若函数 在点 侧邻域中有定义， 侧邻域中有定义，并且对于某邻域 0 < x − x0 < δ 内 的所有点， 的所有点，不等式
1
第2章 非线性规划
非线性规划的基本概念及问题概述
牛顿法在凸优化问题上表现较好，但在非凸问题 上可能陷入局部最优解。
拟牛顿法
01
拟牛顿法是一种改进的牛顿法，通过构造海森矩阵 的近似来降低计算成本。
02
拟牛顿法在每一步迭代中更新搜索方向，并逐渐逼 近最优解。
03
拟牛顿法在处理大规模非线性规划问题时表现较好 ，但仍然需要计算目标函数的二阶导数。
共轭梯度法
共轭梯度法结合了梯度法和牛 顿法的思想，通过迭代更新搜 索方向来寻找最优解。
共轭梯度法的迭代方向是梯度 方向和上一次迭代方向的线性 组合，可以加快收敛速度。
共轭梯度法适用于大规模优化 问题，尤其在约束条件较多或 非凸函数情况下表现较好。
05
非线性规划的挑战与解决方 案
局部最优解问题
局部最优解问题
案例二：生产计划优化问题
总结词
生产计划优化问题旨在通过合理安排生 产计划，降低生产成本并满足市场需求 。
VS
详细描述
生产计划优化问题需要考虑生产过程中的 各种因素，如原材料需求、设备能力、劳 动力成本等。目标函数通常是非线性的， 因为生产成本和产量之间的关系是非线性 的。约束条件可能包括资源限制、交货期 限制等。
例子
最小化成本函数，其中成本是生产量 的函数，生产量受到资源、生产能力 等约束。
最大化问题
最大化目标函数
在给定的约束条件下，找到一组变量 ，使得目标函数达到最大值。
例子
最大化收益函数，其中收益是销售量 的函数，销售量受到市场需求、价格 等约束。
约束条件下的优化问题
01
在满足一系列约束条件下，寻找最优解，使得目标函数达到最 优值。
梯度法适用于目标函数和约束条件比较简单的情况，但对于非凸函数或约束条件复 杂的情况可能不收敛或收敛到局部最优解。
带约束的非线性优化问题解法小结
(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。
上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。
非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。
到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。
在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。
在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。
关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。
到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。
利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。
此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。
在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。
下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。
1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。
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f ( X 0 )T P 0
f (X0 + λP) <f (X0)
因此，只要P满足上式，即可保证它为X0点的下降方向。
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2.4 约束极值问题4. 可ຫໍສະໝຸດ 下降方向第二章 非线性规划
若X0点的某一方向P，即是该点的可行方向，又是该点的
下降方向，就称它为这个点的可行下降方向。
加上线性无关的条件，从而引出了K-T条件。
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2.4 约束极值问题
(3) Kuhn-Tucker条件
第二章 非线性规划
设X*是NLP问题的局部极小点，函数f(X)和gj(X)(j=1,…,l) 在点X*处有连续一阶偏导数，而且X*处的所有起作用约束 梯度线性无关，则存在不全为零的数u1*, u2*, …,ul * ，使
l * * * f ( X ) u g ( X )0 j j j 1 * j 1,2,...,l u j g j ( X ) 0 uj 0 j 1,2,...,l
这个条件称为Kuhn-Tucker 条件，满足这个条件的点称 为Kuhn-Tucker点。
在X0的不起作用的约束
包括gi(X0) > 0的不等式约束。 几何意义：位于这些约束的内部。
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2.4 约束极值问题
2.可行方向
方向P∈Rn在点X0∈D称为是可行的
第二章 非线性规划
是指存在正数λ0 ，使对一切λ∈[0,λ0]都有X0 + λP ∈D。
记J={ j | gi(X0)=0，1 ≤j ≤l }。即所有起作用约束下标的集合。
9
2.4 约束极值问题
第二章 非线性规划
该定理给出了非线性规划的（局部）最优点应满足的必要 条件。这个条件称为Fritz John条件，满足这个条件的点称 为Fritz John点。 如果u0=0, ▽f(X*)就从式中消去，说明在所讨论的点X*处， 起作用约束的梯度线性相关。这时 Fritz John条件失效。 为了保证u0>0，就需要对讨论点处起作用约束的梯度附近
gi ( X * )T P 0 jJ
对某一点来说，若该点不存在可行下降方向，它就可能是 局部极小点，若存在可行下降方向，它当然就不是极小点。
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2.4 约束极值问题 二、最优性条件（K-T条件）
第二章 非线性规划
库恩-塔克（Kuhn-Tucker)条件是非线性规划领域中最重 要的理论成果之一，具有很重要的理论价值。 (1)Gordan引理
g j ( X 0 P) 0
jJ
因此，只要P满足下式，即可保证它为X0点的可行方向。
gi ( X 0 )T P 0
jJ
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2.4 约束极值问题
3. 下降方向
第二章 非线性规划
设X0 ∈Rn，对某一方向来说，若存在实数λ0’>0 ，使对一
切λ∈[0, λ0’]都有 f (X0 + λP ) <f (X0) 就称P为X0点的一个下降方向。 由泰勒公式 f ( X 0 P) f ( X 0 ) f ( X 0 )T P ( ) 当λ>0足够小时
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8
2.4 约束极值问题
证明
第二章 非线性规划
因为X*是非线性规划的局部极小点，根据定理4，该点不 存在可行下降方向P,满足
f ( X * )T P 0
gi ( X * )T P 0 jJ
根据Gordan引理，必存在不全为零的数u0,u1,…,ul （j∈J），使
u0f ( X * ) u j g j ( X * ) 0
jJ
对j∈J，令相应的uj =0，从而可将上式变为：
u0f ( X ) u j g j ( X * ) 0
* j 1 l
* 且对所有的j，有： u j g j ( X ) 0
j 1,2,...,l
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2.4 约束极值问题 一、基本概念和性质
1. 起作用约束
第二章 非线性规划
对于点X0∈D，在X0点等于零的约束称为对X0起作用的约
束，在X0点不等于零的约束称为对X0不起作用的约束。
在点X0起作用的约束
包括全体等式约束hi(X)=0,i=1,…,m和满足gi(X0)=0，j∈J ⊂{1,…,l)的不等式约束gi(X0) ≥ 0( j∈J )。 几何意义：位于这些约束的边界上。
这可作为可行下降的充分条件。
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2.4 约束极值问题
定理4
第二章 非线性规划
设X*是NLP问题的局部极小点，f(X)在X*处可微，而且
gi(X)在X*处可微，当j∈J
gi(X)在X*处连续，当j∈J 则在X*点不存在可行下降方向，从而不存在P同时满足：
f ( X * )T P 0
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2.4 约束极值问题
(2) Fritz John定理
第二章 非线性规划
设X*是NLP问题的局部最优点，函数f(X)和 gj(X)(j=1,…,l)在X*处有连续一阶偏导数，则必 存在不全为零的数u0,u1,…,ul，使
l * * u f ( X ) u g ( X )0 j j 0 j 1 * u g ( X )0 j 1,2,...,l j j uj 0 j 1,2,...,l
如果P为X0点的可行方向，则存在λ0>0，使对任意λ∈[0, λ0]，有：
g j ( X 0 P) gi ( X 0 ) 0
dg j ( X 0 P) d
0
jJ
jJ
gi ( X 0 )T P 0
这个条件是 P是X0的可行方向的充分条件？
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2.4 约束极值问题
第二章 非线性规划
由泰勒公式
g j ( X 0 P) gi ( X 0 ) gi ( X 0 )T P ( )
对X0起作用的约束，当λ>0足够小时
gi ( X 0 )T P 0 g j ( X 0 P) 0
jJ jJ
对X0不起作用的约束， gi(X0)>0，当λ>0足够小时，也有：