第六章 非线性规划(管理运筹学,李军)
精心整理的运筹学重点6.非线性规划N L P
∂f 2 ( x) ∂f ( x ) ∂x 2 ∂x x 2,0 1 / 2 , 0 0 1 1 2 0 −1 H (X ) = = ,[ H ( X )] = 0,1/50 ∂f ( x) ∂f 2 (x ) 0,50 2 ∂ x x ∂ x 2 1 2
2 r1* (5 − x12 − x2 )=0
r2* (6 − 3 x1 − x2 ) = 0 r1* ≥ 0 r2* ≥ 0
情况 １：假设两约束完全不起作用，此时 r1* = r2* = 0 情况 ２：第一个约束起作用，第二个不起作用， r2* = 0 ，检验知是一个 Ｋ－Ｔ 点。 情况 ３：第二个约束起作用，第一个不起作用， r1* = 0 情况 ４：两个约束完全起作用， r1* > 0, r2* > 0 ２）带约束问题最优化方法－－－－－制约函数法（外点法、内点法） 外点法：将有约束问题转成无约束极值问题，分两种情况 １． 等式约束
∂f ( x) ∂x 2 x 4 ∇f ( x ) = 1 = 1 , ∇ f ( x0 ) = ∂f ( x) 50 x2 100 ∂x 2
0 0 0 0
则 X + λ d = X − λ∇f ( X ) = [ 2 − 4 λ , 2 − 100λ ]
４．带约束问题的最优化方法
min f ( x) s.t g i ( x) ≥ 0
１）最优性条件 Ｋ－Ｔ 条件（判断最优的条件）
∇f ( x* ) − ∑ rj*∇g j ( x * ) = 0
* r* j g j(x ) = 0
r* j ≥0
2 2 min f ( x) = 2 x1 + 2 x1x2 + x2 −10x1 − 10x 2 2 例求 5 − x12 − x2 ≥0
运筹学资料5非线性规划
解无约束问题的算法: 解无约束问题的算法: 求f(X)的驻点X*,若是凸函数, f(X)的驻点 ,若是凸函数, 的驻点X* 得到最优解.否则,转下一步. 得到最优解.否则,转下一步. 在驻点X*处 计算H(x). 在驻点X*处,计算H(x). 根据H(x)来判断该驻点 是否是 根据H(x)来判断该驻点X*是否是 来判断该驻点X* 极值点. 极值点.
X ∈ E1
解:利用一阶必要条 件求出有可能成为最 优解的那些点: 优解的那些点: f(X) = 6x(x2-1)2 =0 得到: f(X 得到: x1=0,x2=1,x3= -1 进一步考虑二阶必要条件,缩小范围: 进一步考虑二阶必要条件,缩小范围: 二阶必要条件
H(X) =xxf(X) = 6(x2-1)2+24 x2(x2-1) = H(x1) =xxf(x1) = xxf(0) =6>0 = H(x2) =xxf(x2) = xxf(1) = 0 = H(x3) =xxf(x3) = xxf(-1) =0 = f(f(X)在 =0点正定 依二阶必要条件, f(X)在x1=0点正定,依二阶必要条件, 点正定, x1=0为(P1)的局部最优解.而x2=1, =0为 的局部最优解. =1, x3= -1满足二阶必要条件和一阶必要条 但它们显然都不是最优解. 件,但它们显然都不是最优解.
例6-3 Min f(X)= 2x12+5x22+x32+ 2x2x3 2x + 2x1x3 - 6x2+3 X ∈ E3 f(X 解:f(X) = (4x1+ 2x3, 10x2+ 2x3 – 6, 2x1+ 2x2 + 2x3 )=0 驻点x*=(1,1,驻点x*=(1,1,-2)
运筹学中的非线性规划问题-教案
教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。
1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。
1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。
1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。
1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。
1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。
1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。
1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。
1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。
1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。
1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。
1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。
二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。
2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。
2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。
2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。
2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。
第六章 非线性规划
第六章 非线性规划由前几章知道，线性规划的目标函数和约束条件都是其自变量的线性函数，如果目标函数或约束条件中包含有自变量的非线性函数，则这样的规划问题就属于非线性规划。
第一节 基本概念一、 非线性规划的数学模型非线性规划数学模型的一般形式是⎪⎩⎪⎨⎧=≥==),,2,1(0)(),,2,1(0)()(min l j x g m i x h x f ji （6.1）其中，X=（n χχχ,,,21 ）T 是n 维欧氏空间E n 中的点（向量），目标函数)(X f 和约束函数)()(X j X i g h 、为X 的实函数。
有时，也将非线性规划的数学模型写成 ⎩⎨⎧=≥),,2,1(0)()(min l j X g X f j (6.2)即约束条件中不出现等式，如果有某一约束条件为等式0)(=X g j ，则可用如下两个不等式约束替代它： ⎩⎨⎧≥-≥0)(0)(X g X g jj模型（6.2）也常表示成另一种形式：{}⎩⎨⎧=≥=⊂∈),,2,1(,0)(|),(min l j X g X R E R X X f j n (6.3)上式中R 为问题的可行域。
若某个约束条件氏“≤”不等式的形式，只需用“-1”乘这个约束的两端，即可将其变成“≥”的形式。
此外，由于[])(m in )(m ax x f X f --=，且这两种情况下求出的最优解相同（如有最优解存在），故当需使目标函数极大化时，只需求其负函数极小化即可。
二、二维问题的图解当只有两个自变量时，求解非线性规划也可像对线性规划那样借助于图解法。
考虑非线性规划问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥-+=-+-+-=000505)1()2()(min 212122212221x x x x x x x x x X f (6.4)如对线性规划所作的那样，在21Ox x 坐标平面画出目标函数的等值线，它是以点（2.1）为圆心的同心圆，再根据约束条件画出可行域，它是抛物线段ABCD （图6-1）。
第6讲 非线性规划
1 gi X
其中称r lng i X 或 r
i 1 i 1
m
m
1 为障碍项，r为障碍因子 gi X
X D
这样问题（）就转化为求一系列极 1 值问题： k min I X , rk 得 X （rk） 0
10
内点法的迭代步骤
(1) 给定允许误差 0 ，取r1 0,0
k1
5) 判断精度： j 1,, n ， 若 则点 X 为近似最优解；
k j
否则，令 k 1 k j 1,, n ，k=k+1，返回步骤(2)． j j
14 返回
1、二次规划
标准型为： Min Z= 1 XTHX+cTX
2
s.t. AX<=b
m k
m
返回(3） ．
11
近似规划法
近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X
和约束条件 g i X 0 (i 1,..., m); h j X 0 ( j 1,, l )
近似为线性函数，并对变量的取值范围加以限制，从
而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之，
i 1 j 1
(2)
将问题（ ）转化为无约束问题： minn T X , M 1
X E
(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，这 里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚：当 D 时，满 X 足各 i X 0, hi X 0 ，故罚项=0，不受惩罚．当 D 时， g X 必有 0或hi X 0 的约束条件，故罚项>0，要受惩罚． gi X
管理运筹学判断题背诵讲义
管理运筹学判断题背诵讲义第一章 线性规划与单纯形表a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的； b) 线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点； d)如线性规划问题存在可行域，则可行域定包含坐标的原点；e)对取值无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-其中'j x ≥0,''j x ≥0,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现'j x >0，''j x >0；f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与j σ>0对应的变量都可以被选作换人变量；g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；h) 单纯形法计算中,选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从 单纯形表中删除,而不影响计算结果；j)线性规划问题的任-可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；k)若X 1,X 2分别是某一线性规划问题的最优解则X=1λX 1 +2λX 2也是该线性规划问题的最优解，其中1λ，2λ可以为任意正的实数；1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为 minz=ai ix ∑(ai x 为人工变量)，但也可写为minz=i ai ik x ,只要所有k i ,均为大于零的常数； m)对一个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好为m n c 个；n) 单纯形法的迭代计算过 程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解定是基可行解；p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优；r) 将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“一”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值:t)一个企业利用3种资源生产4种产品建立线性规划模型求解得到的最优解中最多只含有3种产品的组合；u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解； v)一个线性规划问题求解时的选代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。
非线性规划
·16·第2章 非线性规划在许多实际问题中，所建立的优化模型的目标函数或约束条件（或二者）是非线性的，所以非线性规划也是运筹学中最常用的方法之一，在生产管理和过程控制中有广泛的应用。
2.1 非线性规划问题举例【例2-1】钢铁厂自备发电厂负荷的最优分配问题。
设自备发电厂有3台蒸汽透平发电机，输入燃料，内部有高炉煤气和焦炉煤气，外购的有液化石油气。
设内部煤气不足，需用外购的液化石油气。
由于机组对输入各种燃料的输出特性不同，应如何分配燃料，使自备电厂效益最好？为了确定各种燃料的分配，设y i ，i =1，2，3为各机组的有效电力（MW ），x 1i ，i =1，2，3为各机组输入高炉煤气；x 2i ，i =1，2，3为各机组输入焦炉煤气；x 3i ，i =1，2，3为各机组输入液化石油气。
设电力单价为e c ，液化石油气单价为l c ，则可写出如下模型NP ：目标函数 max f(x )=e c (1y +2y +3y )-l c (31x +32x +33x ) 约束条件1）高炉煤气使用量上限B F11x +12x +13x ≤B F2）焦炉煤气使用量上限C F21x +22x +32x ≤C F3）各机组电力上、下限max ,i y 和min ,i ymax ,i y ≤i y ≤min ,i y i =1，2，3其中各机组电力与输入燃料关系如下：i y =a 0i +a 1i 2i p +a 2i i p +a 3i F s i i =1，2，3式中 a ——系数；si F ——抽气流量(t/h)；i p ——中间变量。
且 i p =i b 1b q i x 1+i b 2c q i x 2+i b 3l q i x 3式中b 为系数，q 为各燃料热值（103Kcal/Nm 3）。
这一数学模型的约束是线性的，而目标函数是非线性的，构成一个非线性规划问题。
第2章 非线性规划·17·2.2 基础知识非线性规划问题的一般形式是（NP ） min f (x 1，x 2，…，x n )（2-1a ） s.t. i g (1x ，2x ，…n x ) ≤0，i =1，2，…，m （2-1b ）j h (1x ，2x ，…n x )≤0，i =1，2，…，s（2-1c ） 写成向量形式，为 （NP ） min ()f x（2-2a ） s.t. i g (x )≤0，i =1，2，…，m（2-2b ）j h (x )≤0，i =1，2，…，s（2-2c ）定义2-1（全局最优解） 一个定义在X ∈x 上的函数()f x ，如果对X ∈x 的每一点 都有f (x ) ≥f (xˆ) 则称ˆx为全局极小解，ˆ()f x 为全局极小值。
管理运筹学 (李军 杨纬隆 著) 华南理工大学出版社 答案
6、某农场有 100 公顷土地及 25 万元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季 4500
人日，春夏季 6000 人日，如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为 20 元／人日，秋冬
季 12 元／人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物不需
<= 0
17 ， - 3 乙A +乙B +乙C
<= 0
课 -乙A -乙B
+
2 3
乙C
<=
0
，
-丙A -丙B
+
丙C
<=
0
原材料的限制，有以下不等式成立：
甲A +乙A + 丙A <= 2000 ，甲B +乙B + 丙B <= 2500 ，甲C +乙C + 丙C <= 1200
在约束条件中共有 9 个变量，为方便计算，分别用 x1 , x2 ．．． x9 表示，即令 x1 =甲A ，
（3） max z = 2x1 + 3x2 x1 − x2 ≤ 2
− 3x1 + x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0
m （4） max z = x1 + x2 co x1 − x2 ≥ 0 w. 3x1 − x2 ≤ −3
www.khda x1,x2 ≥ 0
网
解：
案
（1）
答
后
课 8
4
Q*(9 ,1) 4
7、用图解法求解下列线性规划问题
（1） max z = 2x1 + x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6 非线性规划1、判断函数的凸凹性 （1）3)4()(x x f -=，4≤x （2）22212132)(x x x x X f ++= （3）21)(x x X f =（1）解：'2f (x)3(4)0x =--<=， x<=4,故f(x)在（-∞，4]上是不减函数，''f (x)6(4)0x =->=，故f(x)在（-∞，4]上是凸函数。
（2）解：f(x)的海赛矩阵22()26H x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因H （x ）正定，故f （x ）为严格的凸函数。
（3）解：取任意两点(1)11(,)Xa b =、),(22)2(b a X =，从而(1)11().f X a b =，(2)22().f X a b =，(1)11()(,)T f X b a ∇=看下式是否成立：(2)(1)(1)(2)(1)()()().()f X f X f X X X >+∇- 2211112121..(,)(,)T a b a b b a a a b b >+--2121().()0a a b b -->1212,,,a a b b 是任意点，并不能保证上式恒成立，故所以12()f X x x =既非凸函数，也非凹函数。
2、分别用斐波那契法和黄金分割法求下述函数的极小值，初始的搜索区间为]15,1[∈x ，要求5.0|)()(|1≤--n n x f x f 。
x x x x X f 1357215)(234-+-=解：斐波那契法已知δ = 0.5/(15-1)=1/28、a = 1、b = 15，有128n F δ≥=，即8n =。
7821134()15(151) 6.3529FF a b b a =--=--≈ 7821134()1(151)9.6471F F b a b a =+-=+-≈11()168.876()592.4527f a f b =-<=故搜索区间可以从[1,15]缩减为[1,9.6471]。
已经存在一个已知的试点1 6.3529a =及其函数值1()168.876f a =-，将原试点1 6.3529a =改为1 6.3529b =，1()168.876f b =-。
计算一个新试点131219.6471(9.64711) 4.2941a =--≈，11()99.7703()168.876f a f b =->=-，故搜索区间缩减为[4.2941,9.6471]。
将原有点1 6.3529a =视为1a ，新的试点81134.2941(9.6471 4.2941)7.5883b =+-≈ 故搜索区间缩减为[4.2941,7.5883]。
继续选取对称点比较函数值，以使区间进一步缩短，直到区间长度不大于0.5，因此符合精度要求的点为6.35295 6.764726.5588+≈，近似极小值为-169.799。
黄金分割法1a =，15b =，10.382()10.382(151) 6.348a a b a =+-=+-= 10.618()00.618(151)9.652b a b a =+-=+-=,11( 6.348)168.822(9.652)595.7061f a f b ==-<==，故搜索区间缩减为[1,9.6527]。
令1b =6.348，寻找新点1a =4.3051，11( 4.348)100.096( 6.348)168.822f a f b ==->==-，故搜索区间缩减为[4.3051,9.6527]。
1( 5.5674)147.644f a ==-，1(7.6095)114.599f b ==-(6.0495)163.291f =-， (6.8294)166.403f =- (6.348)168.822f =-， (6.8294)166.403f =-因6.8295-6.348=0.4815<0.5，因此符合精度要求的近似极小点为6.8295 6.3482 6.58875+≈，近似极小值为-169.7。
3、试计算出下述函数的梯度和海赛矩阵（1）232221)(x x x X f ++= （2）)ln()(222121x x x x X f ++= （3）2143)(221x x e x x X f += （4）)ln()(2112x x x X f x+=（1）解：123()(2,2,2)Tf X x x x ∇=，200()020002H X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）解：121222221122112222()(,)Tx x x x f X x x x x x x x x ++∇=++++22221122112222222221122112211222241()()422x x x x x x x x H X x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--+---=⎢⎥++-----⎣⎦（3）解：1212212121()(34,64)x xx xTf X x x e x x x e ∇=++121212122222122212114464(1)()64(1)64x x x x x x x x x x e x x x e H X x x x ex x e ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦（4）解：22121111211()(,ln )x x T f X x x x x x x -∇=++ 222222221221211121112211111221(1)ln ()1ln (ln )x x x x x x x x x x x x x x H X x x x x x x x -----⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦4、用梯度法（最速下降法）求函数22212121244)(x x x x x x X f ---+=的极大点，初始点T X )1,1()0(=。
解：初始近似点(0)(1,1)T X=，1212()(44,42)T f X x x x x ∇=----(0)()(1,1)T f X ∇=-，2(0)2()2f X ∇==又因为41()12H X --⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，λ0 =(0)(0)(0)(0)(0)()()12()()()T T f X f X f X H X f X ∇∇∇∇-=下一迭代点 )1(X =-)0(X λ0)()0(X f ∇=1211121132⎛⎫⎪-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，(1)13()(,)22T f X ∇=λ1 =(1)(1)(1)(1)(1)1()()2()()()124T T f X f X f X H X f X ∇∇∇∇-=-=-(2)X =(1)X -λ1(1)()f X ∇=145118223113228⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(2)11()(,)88T f X ∇=-，λ2 =12(3)(0.5625,1.6875)T X =，(3)11()(,)88T f X ∇=-，λ2 =12(4)(0.5781,1.7031)T X =，(4)()(0.0625,0.0625)T f X ∇=，λ3 =14(5)(0.5703,1.7109)T X =，(5)()(0.01563,0.015625)T f X ∇=-，λ4 =12(6)(0.5723,1.7129)T X =，(6)()(0.00781,0.00781)T f X ∇=，λ5 =14(7)(0.5713,1.7139)T X =，(7)()(0.00196,0.001952)T f X ∇=-因为2(7)()0.002763f X ∇=已经很小，所以过程可以结束。
此时所得的近似极大点是(7)(0.5713,1.7139)T X =。
5、用牛顿法求解2121)(max ++=x x X f ，初始点T X)0,4()0(=，分别用最佳步长和固定步长0.1=λ进行计算。
6、用变尺度法求解22131)2()2()(min x x x X f -+-=，初始点T X )3,0()0(=，要求近似极小点梯度的模不大于5.0。
解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001)()0(XH ，(0)03X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T x x x x X f ),23()(1221---=∇于是(0)()(0,24)T f X ∇=(0)(0)(0)1000()()012424PH Xf X⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦利用一维搜索 λ0：+)0((min Xf λ))0(P ，可得 λ018=，于是：(1)(0)(0)10800(0,0)324T X X P λ⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦(1)()(12,0)T f X ∇= (0)(1)(0)(0,3)T X X X ∆=-=- (0)(1)(0)()()(12,24)T G f X f X ∆=∇-∇=-利用式（6-17）有：)0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()0()()()()()()()()0()1()()(G X H G X H G G X H X G X X T T T T X H X H ∆∆∆∆∆∆∆∆-+=11872010001442880101288576-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦14032161613⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485(1)(1)(1)140245321612()()16130PH X f X ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦再利用一维搜索 λ1：+)1((min Xf λ))1(P ，可得 λ1524=-，于是：(2)(1)(1)121X X P λ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦T X f )0,0()()2(=∇于是(2)(2,1)T X =即为极小点，函数)(X f 的极小为0。
7、写出下述非线性规划问题的K-T 条件（1） 1)(min x X f = （2） 2221)3()3()(min -+-=x x X f0)1(231≥--x x 0421≥--x x0,21≥x x 0,21≥x x（1）解：()(1,0)Tf X ∇=，211()[3(1),1]Tg X x ∇=---，2()[1,0]Tg X ∇=，3()[0,1]T g X ∇=。
对三个约束条件分别引入拉格朗日乘子*1γ、*2γ和3γ*，则有如下K －T条件：*211231103(1)00011x γγγ***⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3112[(1)]0x x γ***--=210x γ**= 320x γ**= *1γ，2γ*，30γ*≥即：*211213(1)0x γγ**+--= 130γγ**-=3112[(1)]0x x γ***--=210x γ**= 320x γ**= *1γ，2γ*，30γ*≥（2）解：12()(26,26)Tf X x x ∇=--，1()[1,1]Tg X ∇=--,2()[1,0]Tg X ∇=，3()[0,1]T g X ∇=。