【高中数学】专题2.2 函数的单调性(学生版)
函数性质的八大题型综合应用(学生版)-高中数学
函数性质的八大题型综合应用题型梳理【题型1函数的单调性的综合应用】【题型2函数的最值问题】【题型3函数的奇偶性的综合应用】【题型4函数的对称性的应用】【题型5对称性与周期性的综合应用】【题型6类周期函数】【题型7抽象函数的性质】【题型8函数性质的综合应用】命题规律从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.知识梳理【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.(3)函数单调性的几条常用结论：①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数．3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．(5)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数f(x)=ma x+1a x-1(x≠0)或函数f(x)=m a x-1a x+1．②函数f(x)=±(a x-a-x)．③函数f(x)=log a x+mx-m=log a1+2mx-m或函数f(x)=log a x-mx+m=log a1-2mx+m④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(5)若f(x+a)=f(1x)，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b2,0对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b2,c 2对称.3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4(b-a)．举一反三【题型1函数的单调性的综合应用】1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x= f1-x，且f x 在2，+∞上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()A.f4 <f1 <f2B.f2 <f1 <f4C.f1 <f2 <f4D.f4 <f2 <f1【变式训练】1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x=f x ，且当x≥1时，f(x)单调递增，则不等式f2-x≥f(x+1)的解集为()A.12,+∞B.0,1 2C.-∞,-12D.-∞,122(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =-x2+2ax+4,x≤1,1x,x>1是-12,+∞上的减函数，则a 的取值范围是()A.-1,-12B.-∞,-1C.-1,-12D.-∞,-13(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()A.-43,-1 ∪1,4 B.-∞,-43∪4,+∞ C.-∞,1-132∪1+132,4D.-1,1【题型2 函数的最值问题】1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x <6，则6x -x 2有()A.最小值3B.最大值3C.最小值9D.最大值9【变式训练】1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b的取值范围是()A.-∞,-4B.9,+∞C.-4,9D.-92,92(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤bb ,a >b，设f x =min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是()A.-2或4B.6C.4或6D.-43(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D ，如果对D 中的任意一个x ，都有f x >0,-x ∈D ，且f -x f x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是()A.若0在g x 定义域中，则g 0 =1B.若g x max =g 4 =4，则g x min =g -4 =14C.若g x 在0,+∞ 上单调递增，则g x 在-∞,0 上单调递减D.若g x 定义域为R ，且函数h x 也是定义域为R 的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”【题型3 函数的奇偶性的综合应用】1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，若f (-2)=5，则不等式f (x )>12的解集为()A.-∞,-12 ∪0,16B.-12,0 ∪0,16C.-∞,-12 ∪16,+∞ D.-12,0 ∪16,+∞ 【变式训练】1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-12，则102k =1 g (k )=()A.-51B.52C.4152D.40922(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()A.f f 2 >f f 3B.f g 2 <f g 3C.g g 2 >g g 3D.g f 2 <g f 33(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()A.2016B.2017C.4032D.4034【题型4 函数的对称性的应用】1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f (x )的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y =x 对称，且当x ∈[-1,0]时，f (x )=x 2，则f 174 =()A.-194B.-92C.-72D.-174【变式训练】1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y =f x 满足f a +x +f (a -x )=2b ，则说y =f x 的图象关于点a ,b 对称，则函数f (x )=x x +1+x +1x +2+x +2x +3+...+x +2021x +2022+x +2022x +2023的对称中心是()A.(-1011,2022)B.1011,2022C.(-1012,2023)D.1012,20232(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R ，且y =f 3+3x 为偶函数，y =g x +3 +2为奇函数，对∀x ∈R ，均有f x +g x =x 2+1，则f 7 g 7 =()A.615B.616C.1176D.20583(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1的图象关于点(1,0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0，x1≠x2，满足f x2-f x1x2-x1<0，则不等式x-1f x+1≥0的解集为()A.-∞,1∪2,+∞B.-4,-1∪0,1C.-4,-1∪1,2D.-4,-1∪2,+∞【题型5对称性与周期性的综合应用】1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2为奇函数，g1 =1,f x =g3-x+1，则下列说法正确的个数为()①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④2024n=1f(n)=2024.A.1B.2C.3D.4【变式训练】1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x∈R都有f x+2=-f x ，且f-x= -f x ，当x∈-1,1时，f x =x3.则下列结论正确的是()A.函数y=f x 的图象关于点k,0k∈Z对称B.函数y=f x 的图象关于直线x=2k k∈Z对称C.当x∈2,3时，f x =x-23D.函数y=f x的最小正周期为22(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R,f1 =0，且f0 ≠0,∀x,y ∈R都有f x+y+f x-y=2f x f y ，则下列说法正确的命题是()①f0 =1；②∀x∈R,f-x+f x =0；③f x 关于点1,0对称；④2023i=1f(i)=-1A.①②B.②③C.①②④D.①③④3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g(x)的定义域均为R，f(x+1)为偶函数，且f(3-x)+g(x)=1，f(x)-g(1-x)=1，则下面判断错误的是()A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数C.2022i=1f(i)=2022D.2023i=0g(i)=0【题型6 类周期函数】1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =12f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤332，则m 的最小值为()A.278B.298C.134D.154【变式训练】1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x,x ∈1,2.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.1,2B.1,52C.12,2D.2,522(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183t-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-1 ∪0,3B.-∞,-3 ∪0,3C.-1,0 ∪3,+∞D.-3,0 ∪3,+∞3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()A.-∞,52B.-∞,72C.-∞,92D.-∞,112【题型7 抽象函数的性质】1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是()A.f 0 =1B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称C.g 1 +g -1 =0D.若f 1 =1，则2023n =1 f n =1【变式训练】1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()①f 0 =0；②fx 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023n =1f (n )=12.A.1B.2C.3D.42(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x ,y 恒有f (x -y )+f (x +y )=f (2x )成立，且当x <0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值;(2)判断f x 的单调性，并证明;(3)解关于x 的不等式:f x 2-(a +2)x +f (a +y )+f (a -y )>0.3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x ,y 恒有f x +y =f x +f y ，当x >0时，f x <0，且f 1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3 上的最大值；(3)若f x <m 2-2am +2对所有的x ∈-1,1,a ∈ -1,1 恒成立，求实数m 的取值范围.【题型8 函数性质的综合应用】1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f (x )=a x ，g (x )=b ⋅a -x +x ，a >0且a ≠1，若f (1)+g (1)=52，f (1)-g (1)=32，设h (x )=f (x )+g (x )，x ∈[-4,4]．(1)求函数h (x )的解析式并判断其奇偶性；(2)判断函数h (x )的单调性(不需证明)，并求不等式h (2x +1)+h (2x -1)≥0的解集．【变式训练】1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13+f 23 +⋯+f 20263 的值．2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6x +1及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．直击真题1(2023·全国·统考高考真题)若f x =x +a ln2x -12x +1为偶函数，则a =( )．A.-1B.0C.12D.12(2021·全国·统考高考真题)已知函数f x 的定义域为R ，f x +2 为偶函数，f 2x +1 为奇函数，则() A.f -12=0 B.f -1 =0C.f 2 =0D.f 4 =03(2022·全国·统考高考真题)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1，则22k =1f (k )=()A.-3B.-2C.0D.14(2021·全国·高考真题)设f x 是定义域为R 的奇函数，且f 1+x =f -x .若f -13 =13，则f 53=()A.-53B.-13C.13D.535(2022·天津·统考高考真题)函数f x =x 2-1x的图像为()A. B.C. D.6(2022·全国·统考高考真题)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ，且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7．若y =g (x )的图像关于直线x =2对称，g (2)=4，则22k =1f k = ()A.-21B.-22C.-23D.-247(2021·全国·统考高考真题)设函数f x 的定义域为R ，f x +1 为奇函数，f x +2 为偶函数，当x ∈1,2 时，f (x )=ax 2+b ．若f 0 +f 3 =6，则f 92=()A.-94B.-32C.74D.528(2020·全国·统考高考真题)已知函数f (x )=sin x +1sin x，则()A.f (x )的最小值为2B.f (x )的图象关于y 轴对称C.f (x )的图象关于直线x =π对称D.f (x )的图象关于直线x =π2对称9(2020·山东·统考高考真题)若定义在R 的奇函数f (x )在(-∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足xf (x -1)≥0的x 的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]。
高考数学专题复习 函数的单调性(学生版)
第二讲 函数的单调性【套路秘籍】1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值【套路修炼】考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________．【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4)3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞，考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a )2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 3．设a =ln22，b =ln33，c =1e ，则( )A ． c <a <bB ． c <b <aC ． a <b <cD ． b <a <c 4．已知x =1.10.1，y =0.91.1，z =log 2343，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ． x >y >zB ． y >x >zC ． y >z >xD ． x >z >y考向三 单调性的运用二---解不等式【例3】（1）f(x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)（2）已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]【举一反三】1．若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ． (0,23)B ． (0,23)∪(1,+∞) C ． (1,+∞) D ． (0,1)2．设函数f (x )={2x ， x ≥0x ， x <0 ，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A ． (−∞ ， −1]B ． (1 ， +∞)C ． (−1 ， 0)D ． (−∞ ， 0)3．定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足f(log 12x)>0的x 的集合为______．4．设函数f(x)=x 3+1,若f(1−2a)<f(a),则实数a 的取值范围是 _______。
专题07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性函数的单调性（1）单调函数的定义一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间D A ⊆：如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x 当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是增函数．如果对于D 内的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间D 上是减函数．①属于定义域A 内某个区间上；②任意两个自变量1x ，2x 且12x x <；③都有12()()f x f x <或12()()f x f x >；④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．（2）单调性与单调区间①单调区间的定义：如果函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()f x 在区间D 上具有单调性，D 称为函数()f x 的单调区间．②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．（3）复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.2．函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有) ()(f x f x --=，那么函数()f x 就叫做奇函数关于原点对称判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果0(())f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果0(())f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数．注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内(即定义域关于原点对称)．3．函数的对称性(1)若函数()y f x a =＋为偶函数，则函数()y f x =关于x a =对称．(2)若函数()y f x a =＋为奇函数，则函数()y f x =关于点(0)a ，对称．(3)若()()2f x f a x =-，则函数()f x 关于x a =对称．(4)若2(2)()f x f a x b -=＋，则函数()f x 关于点()a b ，对称．4.函数的周期性（1）周期函数：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有(()f x T f x +=），那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做()f x 的最小正周期.【方法技巧与总结】1.单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 是()f x 定义域内一个区间上的任意两个量，且12x x <；②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若()f x 是增函数，则()f x -为减函数；若()f x 是减函数，则()f x -为增函数；②若()f x 和()g x 均为增(或减)函数，则在()f x 和()g x 的公共定义域上()()f x g x +为增(或减)函数；③若()0f x >且()f x 为增函数，1()f x 为减函数；④若()0f x >且()f x 为减函数，1()f x 为增函数．2.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()(01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-．③函数2()log log (1aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =+或函数()log )a f x x =．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+．②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-．③函数(||)f x 类型的一切函数．④常数函数3.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数4.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.5.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．【题型归纳目录】题型一：函数的单调性及其应用题型二：复合函数单调性的判断题型三：利用函数单调性求函数最值题型四：利用函数单调性求参数的范围题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明题型七：已知函数的奇偶性求参数题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值题型九：已知()f x =奇函数+M 题型十：函数的对称性与周期性题型十一：类周期函数题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性题型十三：函数性质的综合【典例例题】题型一：函数的单调性及其应用例1．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有()-()-f a f b a b>0成立，则必有（）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增例2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数a ，b 都有()()()0a b f a f b -->⎡⎤⎣⎦，则不等式()()315f x f x ->+的解集为（）．A ．(),3-∞B ．()3,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞例3．（2022·全国·高三专题练习）()252f x x x =-的单调增区间为（）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数1()22xxf x =-.（1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（2）解关于x 的不等式2(log )(1)f x f <.例5．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axf x x =-（0a ≠）在(11)-，上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．题型二：复合函数单调性的判断例6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数y =）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．[]12-，例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()213log 412y x x =-++单调递减区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,2-D ．()2,6-例8．（2022·全国·高三专题练习）函数2231()(2x x f x --=的单调递减区间是（）A ．(,)-∞+∞B ．(,1)-∞C ．(3,)+∞D ．(1,)+∞【方法技巧与总结】讨论复合函数[()]y f g x =的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：1．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[()]y f g x =为增函数；2．若()u g x =，()y f u =在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则[()]y f g x =为减函数．列表如下：()u g x =()y f u =[()]y f g x =增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型三：利用函数单调性求函数最值例9．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域I 内单调递增且有界的函数()f x ，即0M ∃>，x I ∀∈，()f x M ≤．则下列函数中，所有符合上述条件的序号是______．①()f x =()21x f x x =+；③()e e e ex xx x f x ---=+；④()11e x f x -=+．例10．（2022·全国·高三专题练习）定义在()0,∞+上的函数()f x 对于任意的*,x y R ∈，总有()()()f x f y f xy +=，且当1x >时，()0f x <且()1f e =-．（1）求()1f 的值；（2）判断函数在()0,∞+上的单调性，并证明；（3）求函数()f x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．例11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0)2axf x a x =≠-.（1）判断函数()f x 在区间()2,2-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若()33f =，求[]1,1x ∈-时函数()f x 的值域.例12．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知a b <，函数()f x 的定义域为I ，若存在[,]a b I ⊆，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，我们就说()f x 是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是（）①()21f x x =-+；②2()f x x =；③()2f x =+；④1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④【方法技巧与总结】利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：1．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是增函数，在区间[)b c ，上是减函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最大值()f b ．2．如果函数()y f x =在区间(]a b ，上是减函数，在区间[)b c ，上是增函数，则函数()()y f x x a c =∈，在x b =处有最小值()f b ．3．若函数()y f x =在[]a b ，上是严格单调函数，则函数()y f x =在[]a b ，上一定有最大、最小值．4．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递增函数，则()y f x =的最大值是()f b ，最小值是()f a ．5．若函数()y f x =在区间[]a b ，上是单调递减函数，则()y f x =的最大值是()f a ，最小值是()f b ．题型四：利用函数单调性求参数的范围例13．（2022·河南濮阳·一模（理））“1b ≤”是“函数()()22,0log 2,20bx x f x x b x +>⎧=⎨++-<≤⎩是在()2,-+∞上的单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例14．（2022·全国·江西科技学院附属中学高三阶段练习（理））已知函数()()e 4,0,2log 1,10,x m m x f x x x ⎧+>⎪=⎨-+-<≤⎪⎩若1x ∀，2x ∈R ，()()12120f x f x x x ->-，且()()2g x f x x =--仅有1个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,4e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭例15．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数2()2f x x ax b =-+在区间（-∞，1]是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[1，+∞）B ．（-∞，1]C ．[-1，+∞）D ．（-∞，-1]例16．（2022·全国·高三专题练习）若函数21,1()2,,1ax x f x x ax x -<⎧=⎨-≥⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．()0,1例17.（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =0a >且1a ≠）在区间[)1,3上单调递增，则实数a 的取值不可能是（）A ．13B ．12C ．23D ．56例18．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）函数()53x f x x a +=-+在()1,+∞上是减函数，则实数a的范围是_______.例19．（2022·全国·高三专题练习）如果5533cos θsin θ7(cos θsin θ),θ[0,2π]->-∈，则θ的取值范围是___________．例20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 满足()()()()1,f x y f x f y x y R +=+-∈，当0x >时，()1f x >，且()12f =.（1）求()()0,1f f -的值，并判断()f x 的单调性；（2）当[]1,2x ∈时，不等式()()231f ax x f x -+<恒成立，求实数a 的取值范围.【方法技巧与总结】若已知函数的单调性，求参数a 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a 的不等式，利用下面的结论求解．1.若()a f x >在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔>在[]m n ，上的最大值．2.若()a f x <在[]m n ，上恒成立()a f x ⇔<在[]m n ，上的最小值．题型五：基本初等函数的单调性例21．（2022·全国·高三阶段练习（文））下列函数在()1,3上单调递减的是（）A ．24y x x =-B ．12x y -=C ．y =D ．cos 1y x =+例22．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A ．xy e -=B ．3y x =C ．ln y x=D ．y x=例23．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是奇函数，且()()12120f x f x x x ->-对任意12,x x R ∈且12x x ≠都成立，设32a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3log 7b f =，()30.8c f =-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a<<D ． a c b<<例24．（2022·山东·济南一中模拟预测）设函数()232xf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()ln 3a f =，()5log 2b f =-，c f =（e 为自然对数的底数），则（）．A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．a c b>>【方法技巧与总结】1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.题型六：函数的奇偶性的判断与证明例25．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减例26．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x=--C ．3y x x=--D ．3=-+y x x例27．（2022·广东·二模）存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（）A ．()sin g x x=B ．()22g x x x=+C ．()3g x x x=-D ．()()x xg x e e-=+例28．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )（2）f (x )＝(x ＋（3）f (x ).（4）f (x )＝2221,0,21,0;x x x x x x ⎧-++>⎨+-<⎩例29．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,+∞上的单调性.【方法技巧与总结】函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.题型七：已知函数的奇偶性求参数例30．（2022·北京海淀·二模）若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-例31．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a （）A ．-1B ．0C ．1D ．±1例32．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数()22x x af x a +=-为奇函数，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．±1例33．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））已知函数()(1)1x mf x x e=++为偶函数，则m 的值为_________.例34．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()22330x xa a a f x -+=-⋅≠为奇函数，则=a ______．例35．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数()2221x xa b f x x -+⋅=+为偶函数，则=a ______．例36.（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数)1()e ln e x xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为R 上的偶函数，则实数=a ___________.【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为()()f x f x -=±，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值例37．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设()f x 为奇函数，且0x >时，()e ln xf x x =+，则()1f -=___________.例38．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数()f x ，当0x >时，()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()2,2f --处的切线的斜率为（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5例39．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时，()232f x x x m =-+，则()f x 在[]1,2上的最大值为()A ．1B ．8C ．5-D ．16-例40．（2022·江西·模拟预测（理））(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2022sin 25+=--x f x g x x x ，则下列说法错误的是（）A ．(0)1g =B ．()g x 在[]0,1上单调递减C ．(1101)-g x 关于直线1101=x 对称D ．()g x 的最小值为1例41．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x f x x =+-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x x ---B ．21x x -++C ．121x ----D ．121x --++例42．（2022·北京·高三专题练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当()0,1x ∈时，()241xxf x =+.(1)求()1f 和()1f -的值；(2)求()f x 在[]1,1-上的解析式.例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且其定义域均为{R,1}x x x ∈≠±.若()1()1f xg x x +=-，求()f x ，()g x 的解析式.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式.题型九：已知()f x =奇函数+M例44．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知()34f x ax =++（a ，b 为实数），()3lg log 102022f =，则()lg lg3f =______．例45．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数()2sin 414x xf x x -=++，且()5f a =，则()f a -=（）A ．2B ．3C ．－2D ．－3例46．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A ．4B ．8C ．12D ．16例47．（2022·上海·高一专题练习）若函数()()2221sin 1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 3g x M m x M m x π⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦图像的对称中心不可能是_______A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．28,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．416,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例48．（2022·河南·温县第一高级中学高三月考（理））若函数()()113e sin 1ex x x f x --⋅--=在区间[]3,5-上的最大值、最小值分别为p 、q ，则p q +的值为（）．A ．2B ．1C ．6D ．3例49．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））函数()()211()2x x f x x x e e x --=--+在区间[1,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M N +的值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．4例50．（2022·广东潮阳·高一期末）函数()()22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.例51．（2022·安徽·合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数2222020sin ()2x x e e x xf x x λλμ++=++有最大值和最小值，且最大值和最小值的和为6，则λ-μ=___.【方法技巧与总结】已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+=（2）max min ()()2f x f x M +=题型十：函数的对称性与周期性例52．（2022·天津三中二模）设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的12,x x D ∈，且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称函数()f x 具有对称性，其中点(,)a b 为函数()y f x =的对称中心，研究函数1()1tan(1)1f x x x x =+++--的对称中心，求13540432022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A ．2022B ．4043C ．4044D ．8086例53．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()24f x f x +=+，且()1f x +是奇函数，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的图象关于直线12x =对称C ．()f x 是奇函数D ．()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称例54．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()2220222f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数()2021f x +的图象关于点()2021,0-对称，且()12022f =，则()2021f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例55．（2022·新疆·三模（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()6f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则下面结论正确的是（）A ．()()()3ln 3e e f f f <<-B ．()()()3e ln 3ef f f -<<C ．()()()3e e ln 3f f f <-<D ．()()()3ln 3e ef f f <-<例56．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f =则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-例57．（2022·广东茂名·模拟预测）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且3()()2f x f x -=-，且当30,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()23f x x =-，则(2021)(2022)(2023)f f f -+--的值为（）A ．4B ．4-C ．0D ．6-例58．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若32f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数且()12f =，则()()()202020212022f f f ++=（）A ．2-B ．4C ．4-D ．6例59．（2022·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习）函数()()()222f x x x x ax b =+++满足：对x R ∀∈，都有()()11f x f x +=-，则函数()f x 的最小值为（）A ．-20B ．-16C ．-15D ．0例60．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；②函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>例61．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））已知函数()f x 满足()()f x f x -=--，且函数()f x 与()cos 2g x x x =≠-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，()44,x y ，则()41i ii x y =+=∑（）A ．－4πB ．－2πC ．2πD ．4π【方法技巧与总结】（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.题型十一：类周期函数例62．（2022·天津一中高三月考）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,4D ．[]2,4例63．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为R 的函数()f x 满足(2)3()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()18f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是()A ．(](],10,3-∞- B．((,-∞ C ．[)[)1,03,-+∞ D．))⎡+∞⎣ 例64．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)[)2213,0,1{ln ,1,2x x x f x x x x -+∈=∈，若当[)4,2x ∈--时，函数()22f x t t ≥+恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．30t -≤≤B ．31t -≤≤C ．20t -≤≤D ．01t ≤≤例65．（2022·湖北·高三月考）已知函数()11,022(2),2x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨->⎩，其中R a ∈，给出以下关于函数()f x 的结论：①922f ⎛⎫= ⎪⎝⎭②当[]0,8x ∈时，函数()f x 值域为[]0,8③当4,15k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时方程()f x kx =恰有四个实根④当[]0,8x ∈时，若()22xf x a +≤恒成立，则1a ≥-）A ．1B ．2C ．3D ．4【方法技巧与总结】1.类周期函数若()y f x =满足：()()f x m kf x +=或()()f x kf x m =-，则()y f x =横坐标每增加m 个单位，则函数值扩大k 倍．此函数称为周期为m 的类周期函数．xx类周期函数图象倍增函数图象2.倍增函数若函数()y f x =满足()()f mx kf x =或()(xf x kf m=，则()y f x =横坐标每扩大m 倍，则函数值扩大k倍．此函数称为倍增函数．注意当m k =时，构成一系列平行的分段函数，222311()[1)(1)[)()(1)[)(1)[)n n ng x x m g x m x m m f x g x m x m m g x m x m m --∈⎧⎪-+∈⎪⎪=-+∈⎨⎪⎪⎪-+∈⎩，，，，，，，，．题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性例66．（2022·山东聊城·二模）已知()f x 为R 上的奇函数，()22f =，若对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x >时，都有()()()1212210f x f x x x x x ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦，则不等式()()114x f x ++>的解集为（）A ．()3,1-B ．()()3,11,1---C ．()(),11,1-∞-- D ．()(),31,-∞-⋃+∞例67．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]0,1上单调递增，若()3a f =-，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<例68．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R 的偶函数满足()()2f x f x -=，当01x ≤≤时，()1e 1x f x -=-，则方程()11f x x =-在区间[]3,5-上所有解的和为（）A ．8B ．7C ．6D ．5例69．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）求()()22f xg x -的值；（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.例70．（2022·上海·高三专题练习）定义在(－1，1)上的函数f (x )满足①对任意x 、y ∈(－1，1)，都有f (x )+f (y )=f (1x y xy ++)；②当x ∈(－1，0)时，有f (x )>0．求证：21111()()()()511312f f f f n n +++>++ ．【方法技巧与总结】抽象函数的模特函数通常如下：(1)若()()()f x y f x f y +=+，则()(1)f x xf =(正比例函数)(2)若()()()f x y f x f y +=，则()[(1)]x f x f =(指数函数)(3)若()()()f xy f x f y =+，则()log b f x x =(对数函数)(4)若()()()f xy f x f y =，则()a f x x =(幂函数)(5)若()()()f x y f x f y m +=++，则()(1)f x xf m =-(一次函数)(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.题型十三：函数性质的综合例71．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（）A ．()2,1-B．(-C ．()0,1D．(例72．（2022·安徽·六安市裕安区新安中学高三开学考试（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(lo )g )2(1f a f f a +≤，则a 的最小值是（）A ．32B ．1C ．12D ．2例73．（2022·河南许昌·高三月考（理））已知函数31()224e e x xf x x x =-++-，其中e 是自然对数的底数，若()2(6)8f a f a -+>，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(3,2)-C ．(,3)-∞-D ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞例74．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数()3112e 33ex x f x x x =-+-+，其中e是自然对数的底数，若()2(23)6f a f a -+≥，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．(,3]-∞-C ．[1,)+∞D ．[]3,1-例75．（2022·江苏·南京市中华中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1x ≥时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13例76．（2022·内蒙古·赤峰二中高一月考（理））设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[]2x a a ∈+，，不等式()()2f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．)+∞B．)+∞C ．()1-∞，D．⎡⎣例77．（2022·湖南·岳阳一中一模）已知函数221e e ()312x x xf x --=++，若不等式2(4)(2)1f ax f ax -+≤对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]e,0-B ．[]2,0-C ．[]4,0-D ．2e ,0⎡⎤-⎣⎦例78．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121xx f x -=+，若()()e 0x f f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞例79．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知函数()()1ln e 12x f x x =+-(e 为自然对数的底数)，若()()21f a f a ≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[1，+∞)C ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,1,3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【方法技巧与总结】（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.【过关测试】一、单选题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1y x=B ．ln y x x =--C ．3y x x =--D ．3=-+y x x2．（2022·河南·模拟预测（文））已知0x >，0y >，且2e e sin 2sin x y x y ->-，则（）A ．2x y<B ．2x y>C ．x y>D ．x y<3．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-4．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）已知定义在R 上的奇函数()f x 在0x >时满足32()(1)62f x x x =-++，且()()8f x m f x +≤在[]1,3x ∈有解，则实数m 的最大值为（）A ．23B ．2C ．53D ．45．（2022·河北·石家庄二中高三开学考试）已知函数(()cos ln 4f x x x π=+⋅+在区间[5,5]-的最大值是M ，最小值是m ，则()f M m +的值等于()A ．0B ．10C ．4πD ．2π6．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知()f x 为奇函数，且当0x >时()211e xf x x-=+，则曲线()y f x =在点11,22f⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．240x y ++=B ．240x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y ++=7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且()()4f x f x =+，当()0,2x ∈时，()f x =32433log 4f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．-11B ．-8C ．3log 4D ．38log 4-8．（2022·江西·南昌市实验中学一模（理））对于函数()y f x =，若存在0x ，使()()00f x f x =--，则称点()()00,x f x 与点()()00,x f x --是函数()f x 的一对“隐对称点”．若函数()2ln ,0,0x x f x mx mx x >⎧=⎨--≤⎩的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1⋃(1,)+∞C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞二、多选题9．（2022·海南·模拟预测）下面关于函数23()2x f x x -=-的性质，说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞B ．()f x 的值域为RC ．()f x 在定义域上单调递减D ．点(2,2)是()f x 图象的对称中心10．（2022·辽宁·模拟预测）已知定义在R 上的偶函数()f x 的图像是连续的，()()()63f x f x f ++=，()f x 在区间[]6,0-上是增函数，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为6B ．()f x 在区间[]12,18上单调递减C ．()f x 的图像关于直线12x =对称D ．()f x 在区间[]2022,2022-上共有100个零点11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()f x 对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，若函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对任意的()12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，若()20f -=，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()20220f =C ．()f x 的图象关于点()1,0对称D ．()()21f f ->-12．（2022·河北秦皇岛·二模）已知函数())lg f x x =，()212xg x =+，()()()F x f x g x =+，则（）A ．()f x 的图象关于()0,1对称B ．()g x 的图象没有对称中心C ．对任意的[](),0x a a a ∈->，()F x 的最大值与最小值之和为4D ．若()3311F x x x -+-<-，则实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞三、填空题13．（2022·山东临沂·二模）已知函数e ()1xmxf x x =+-是偶函数，则m =__________．14．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()()ln 0f x x a a a =-+>在21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为1，则a 的值为________.15．（2022·广东佛山·三模）已知函数()22x x f x a -=+⋅的图象关于原点对称，若3(21)2f x ->，则x 的取值范围为________．16．（2022·陕西宝鸡·二模（文））若函数f （x ）同时满足：（1）对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；（2）对于定义域上的任意12,x x ，当12x x ≠，恒有()()12120f x f x x x -<-，则称函数f （x ）为“理想函数”，下列①()1f x x=，②()=f x ，③()1212xxf x -=+，④22,0(),0x x f x x x ⎧-=⎨<⎩四个函数中，能被称为“理想函数”的有___________.（填出函数序号）四、解答题17．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a ∈R ，函数2()21x x af x +=+；(1)求a 的值，使得f （x ）为奇函数；(2)若3()2a f x +<对任意x ∈R 成立，求a 的取值范围．18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的函数，()()f x f x -=-恒成立，且12.25f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)确定函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数；(3)解不等式()()10f x f x -+<．19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））设函数()()20,1,R x xf x ka a a a k -=->≠∈，()f x 是定义域为R 的奇函数(1)确定k 的值(2)若()13f =，判断并证明()f x 的单调性；(3)若3a =，使得()()()221f x f x λ≤+对一切[]2,1x ∈--恒成立，求出λ的范围.20．（2022·全国·高三专题练习）定义域均为R 的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()10x f x g x +=．(1)求函数()f x 与()g x 的解析式；(2)证明：1212()()2()2x x g x g x g ++≥；(3)试用1()f x ，2()f x ，1()g x ，2()g x 表示12()f x x -与12()g x x +．21．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x ，对任意12,x x R ∈，满足下列条件：①1212()()()2f x x f x f x +=+-②(2)4f =（1）是否存在一次函数()f x 满足条件①②，若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，说明理由.（2）证明：()()2g x f x =-为奇函数；22．（2022·上海·二模）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x ，满足00()()f x f x -=-，则称()f x 为“M 类函数”.(1)已知函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，试判断()f x 是否为“M 类函数”？并说明理由；(2)设1()423x x f x m +=-⋅-是定义域R 上的“M 类函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()22log 2,3()2,3x mx x f x x ⎧->⎪=⎨-<⎪⎩为其定义域上的“M 类函数”，求实数m 取值范围.。
1 第1课时 函数的单调性 学生版
3．2函数的基本性质3．2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性问题导学预习教材P76－P79，并思考以下问题：1．增函数、减函数的概念是什么？2．函数的单调性和单调区间有什么关系？1．增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②)特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．■名师点拨(1)增减函数定义中x1，x2的三个特征①任意性：定义中符号“∀”不能去掉，应用时不能以特殊代替一般；②有大小：一般令x 1<x 2；③同区间：x 1和x 2属于同一个单调区间． (2)增减函数与自变量、函数值的互推关系 ①x 1<x 2，f (x 1)<f (x 2)，符号一致⇔增函数； ②x 1<x 2，f (x 1)>f (x 2)，符号相反⇔减函数． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．■名师点拨单调性的两个特性(1)“整体”性：单调函数在同一个单调区间上具有的性质是相同的． (2)“局部”性：指的是一个函数在定义域的不同区间内可以有不同的单调性．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( )(2)若函数y ＝f (x )在区间[1，3]上是减函数，则函数y ＝f (x )的单调递减区间是[1，3]．( ) (3)若函数f (x )为R 上的减函数，则f (－3)>f (3)．( )(4)若函数y ＝f (x )在定义域上有f (1)<f (2)，则函数y ＝f (x )是增函数．( )(5)若函数f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．( )函数y ＝f (x )在区间[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A ．[－2，0]B ．[0，1]C ．[－2，1]D ．[－1，1]下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝1－x若y ＝(2k －1)x ＋b 是R 上的减函数，则有( ) A ．k >12B ．k >－12C ．k <12D ．k <－12函数f (x )＝x 2＋2x ＋1的单调递减区间是__________．函数单调性的判定与证明证明函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．(变问法)若本例的函数不变，试判断f (x )在(0，2)上的单调性．利用定义证明函数单调性的步骤[注意] 作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因式乘积的形式．1．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2．已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数．求函数的单调区间画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．(变条件)将本例中“y ＝－x 2＋2|x |＋3”改为“y ＝|－x 2＋2x ＋3|”，如何求解？1.已知函数y ＝f (x )，x ∈[－4，4]的图象如图所示，则函数f (x )的所有单调递减区间为( ) A ．[－4，－2]B ．[1，4]C ．[－4，－2]和[1，4]D ．[－4，－2]∪[1，4]2．函数y ＝1x －1的单调递减区间为________．函数单调性的应用(1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是__________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为__________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为__________．(变条件)若本例(1)中的函数f(x)在区间(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．由函数单调性求参数范围的类型及处理方法(1)由函数解析式求参数(2)利用抽象函数单调性求范围①依据：定义在[m ，n ]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a )<f (b )⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <b （a >b ），m ≤a ≤n ，m ≤b ≤n .②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解． [提醒] 单调区间是D ≠在区间D 上单调． (1)单调区间是D ：指单调区间的最大范围是D . (2)在区间D 上单调：指区间D 是单调区间的子集．1．若函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋2在区间[0，2]上不是单调函数，则a 的取值范围是__________．2．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是__________．1．函数y ＝x 2－6x 的减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定3．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________．4．如图分别为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，试写出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间．[A 基础达标]1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x ＋1|3．若函数f (x )在R 上是减函数，则下列关系式一定成立的是( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a 2)4．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3，0]上( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减 5．(2019·宣城检测)已知函数y ＝ax 和y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f (x )＝bx ＋a 在R 上是( )A ．减函数且f (0)<0B ．增函数且f (0)<0C ．减函数且f (0)>0D ．增函数且f (0)>06．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，5－x ，x <1，则f (x )的单调递减区间是________．7．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21上是增函数，则实数a 的取值范围为________．8．已知函数f (x )在R 上是减函数，A (0，－2)，B (－3，2)是其图象上的两点，那么不等式－2<f (x )<2的解集为________．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，（x －2）2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1.(1)求f (x )的定义域；(2)证明函数f (x )＝2x －1x ＋1在[1，＋∞)上是增函数．[B 能力提升]11．函数y ＝2x －3的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－3] B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23 C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡310， B.⎪⎭⎫ ⎝⎛310， C.⎥⎦⎤ ⎝⎛310，D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡310，13．已知定义在[1，4]上的函数f (x )是减函数，求满足不等式f (1－2a )－f (3－a )>0的实数a 的取值范围．14．已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．[C 拓展探究]15．设f (x )＝x 2＋1，g (x )＝f (f (x ))，F (x )＝g (x )－λf (x )．问是否存在实数λ，使F (x )在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-22,上是减函数且在区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,22上是增函数？。
导数与函数的单调性、极值与最值-讲义(学生版)
导数与函数的单调性、极值与最值一、课堂目标1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．二、知识讲解1. 导数与函数单调性知识精讲（1）导数与函数单调性①如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于，曲线呈上升状态，因此在上是增函数，如下图所示；，（）（），（），②如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于，曲线呈下降状态，因此在上是减函数，如下图所示.，（）（），（），（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓.知识点睛函数在区间可导.（1）若，则函数在此区间内单调递增；（2）若，则函数在此区间内单调递减；（3）若，则函数在此区间内为常数函数.经典例题A.① B.② C.③ D.④1.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（）．巩固练习2.是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能是下列选项中的（ ）．A.B.C. D.经典例题A. B.C.D.3.函数的图象如图所示，则的图像可能是（ ）．A.4.已知函数的图像如图所示，则等式的解集为（ ）．B.C.D.巩固练习A.B.C.D.5.如果函数的图像如右图，那么导函数的图像可能是（）．2. 利用导数求函数的单调区间的步骤知识精讲（1）确定的定义域；（2）求导数；（3）由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.知识点睛需要注意的是：1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；2.在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点（即导函数的零点）外，还要注意定义域内的不连续点和不可导点.经典例题A. B.C.D.6.函数的单调递增区间是（）．巩固练习A. B.C. D.7.函数的单调递增区间为（）．A.B.C.D.8.函数，的单调递减区间是（ ）．和和和和经典例题A. B.C.D.9.函数在上是减函数，则的取值范围是（）．巩固练习A. B.C. D.10.若为函数的递增区间，则的取值范围为（）．A. B.C.D.11.若函数为增函数，则实数的取值范围为（ ）．经典例题12.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）．A. B.C.D.巩固练习A. B.C. D.13.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）．经典例题14.函数在上存在单调增区间，则实数的范围是．巩固练习A. B.C.D.15.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（）．3. 导数与函数的极值知识精讲函数极值与极值点的定义一般地，设函数的定义域为，设，如果对于附近的任意不同于的,都有：①，则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值;②，则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值.极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值.显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小.（）（）（）（）（）（）（）（）（）知识点睛极值点的判断一般地，设函数在处可导，且.①如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点；②如果对于左侧附近的任意，都有，对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点；（）（）（）（）（）（）（）（）③如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点.（）（）经典例题A.B.C. D.16.函数在上的极小值点为（）．A.B.C.D.17.已知，在处有极值，则，的值为（ ）．，或，，或，，以上都不正确巩固练习A.B.C.D.18.函数的极大值为，那么等于（）．4. 求函数的极值的方法知识精讲求极值的步骤：（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）检验在方程的根的左右两侧的值的符号：①如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；②如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；③如果是左右同号，则在这个根处无极值.知识点睛导数与极值的关系：如果函数在区间上是单调递增的，在区间上是单调递减的，则是极大值点，是极大值.如果函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则是极小值点，是极小值.经典例题（1）（2）19.求下列函数的极值．．．巩固练习（1）（2）20.求下列函数的极值．．．A. B. C.D.21.设函数，则函数的极小值为（）．经典例题22.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．巩固练习23.判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．．经典例题24.设函数在和处有极值，且，求，，的值及函数的极值．25.若有极大值和极小值，则的取值范围是 .巩固练习26.已知函数在处取得极值，求的值．5. 求函数在上的最值的步骤知识精讲（1）函数的最大（小）值一般地，如果在上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.（2）求函数在上的最值的步骤①求函数在区间上的极值；②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识点睛最值与极值的区别与联系（1）函数的最值是一个整体性的概念，反映的是函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较；函数的极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；（2）函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性；而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有；（3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得；函数有极值时不一定有最值，有最值时也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得必定是极值.经典例题27.已知函数，求函数在上的最大值和最小值．巩固练习28.函数的最大值为．A.， B.，C.，D.，29.函数在区间上的最大值，最小值分别为（）．30.函数，的最小值等于．经典例题A. B.C.D.31.函数在上最大值为，最小值为，则实数取值范围为（）．巩固练习A. B.C. D.32.若函数在内有最小值，则的取值范围是（）．经典例题（1）（2）33.已知函数．求曲线在点处的切线方程．求函数在区间上的最大值和最小值．巩固练习（1）（2）34.已知函数，曲线在处的切线经过点．求实数的值．设，求在区间上的最大值和最小值．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！四、出门测（1）（2）35.已知函数．写出函数的单调递减区间．求函数的极值．11（1）（2）36.已知函数．求曲线在点处的切线方程；求在区间上的最小值和最大值．。
专题02 函数-2014年高考数学(理)试题分类解析(学生版)
目录专题21 函数及其表示 ............................................................................................................................................ 1 专题22 函数的定义域与值域 ................................................................................................................................ 1 专题23 函数的单调性与最值 ................................................................................................................................ 2 专题24 函数的奇偶性与周期性 ............................................................................................................................ 2 专题25 二次函数与幂函数 .................................................................................................................................... 3 专题26 对数与对数函数 ........................................................................................................................................ 3 专题27 函数的图象 ................................................................................................................................................ 4 专题28 函数与方程 ................................................................................................................................................ 4 专题29 分段函数 .................................................................................................................................................... 5 专题210 新定义函数 .............................................................................................................................................. 6 参考答案 (6)专题21 函数及其表示1【2014高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B 23 C 0 D 21- 2【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）A 1B 2C 3D -1专题22 函数的定义域与值域3【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A )1,0(B ]1,0[C ),1()0,(+∞-∞D ),1[]0,(+∞-∞ 4【2014山东高考理第3题】函数的定义域为（ ）A B C D1)(log 1)(22-=x x f )21,0(),2(+∞),2()21,0(+∞ ),2[]21,0(+∞专题23 函数的单调性与最值5【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+ “高中数学师生群”QQ 群号码：341383390，欢迎各位在读高中学生加入，欢迎各位一线高中数学教师加入“高中数学教师俱乐部”QQ 群号码：44359573，欢迎各位一线高中数学教师加入注：该群为教师群，拒绝学生申请6【2014高考福建卷第4题】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）ABCD7【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =为助力学生学习，特为学生提供打印纸质文档服务，A4纸每页01元，可提供“百度文库”或“中学学科网”下载后打印服务，可包邮。
3.2.1函数的单调性与最值(学生版)
3.2.1函数的单调性【知识梳理】1.函数的单调性和单调区间(1)函数的单调性条件一般地,设函数f (x )的定义域为D ,区间I ⊆D :如果∀x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时都有都有结论f (x )在区间I 上单调递增f (x )在区间I 上单调递减图示(2)函数的单调区间如果函数y =f (x )在区间I 上是单调递增或单调递减,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间I 叫做y =f (x )的.温馨提示(1)函数的递增(或递减)是针对定义域D 内的某个区间I 而言的,显然I ⊆D.(2)定义中x 1,x 2有三个特征:①x 1,x 2属于同一个区间;②任意性,x 1与x 2不能用I 上的特殊值代替;③有序性,通常规定x 1<x 2.2.增函数与减函数当函数f (x )在它的定义域上单调递增时,称它是;当函数f (x )在它的定义域上单调递减时,称它是.例1根据定义，研究函数()(0)f x kx b k =+≠的单调性．【变式1】证明函数f(x)＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增．【变式2】求证：函数f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上单调递增．题型一证明或判断函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝1x2－1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．跟踪练习：根据定义,研究函数f(x)=K1在x∈(-1,1)上的单调性.题型二利用图象确定函数的单调区间【例2】设函数f(x)2＋4x＋3，－4≤x<0，x＋3，x≥0，画出函数f(x)的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间．题型三函数单调性的应用【例3】(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝2，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．(2)已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．3.2.2函数的最大(小)值【知识梳理】函数的最大值与最小值.最大值最小值条件一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足∀x∈D,都有∀x∈D,都有∃x0∈D,使得结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上点的f(x)图象上点的温馨提示(1)最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f(x0)等于最值. (2)对于定义域内的任意x,都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),“任意”两个字不可省略.例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为2() 4.914.718h t t t=-++，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这是距地面的高度是多少（精确到1m）？【变式1】已知函数f(x)x2，0≤x≤2，x>2，求函数f(x)的最大值、最小值．例5已知函数2()1f xx=-（[2,6]x∈），求函数的最大值和最小值．【变式2】已知函数f(x)＝32x－1.(1)证明：函数f(x)(2)求函数f(x)在[1,5]上的最值．能力提升题型一利用图象求函数最值【例1】已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．题型二：利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x)＝x＋16 x .(1)判断函数f(x)在(4，＋∞)上的单调性并证明；(2)求函数f(x)在[6，9]上的最值．【练】已知函数f(x)=K1r2,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.题型三求二次函数的最值【例3】已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]．【练】1.已知二次函数f(x)=x2-2x+3.(1)当x∈[-2,3]时,求f(x)的最值.(2)当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).2.已知函数f(x)=ax2+2bx+1,x∈[1,3],且a,b为常数.(1)若a=1,求f(x)的最大值;(2)若a>0,b=-1,且f(x)的最小值为-4,求a的值.。
人教版高数必修一第5讲：函数的单调性(学生版)
函数的单调性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用；一、函数单调性的定义1、图形描述：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。
2、定量描述对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。
3、单调性与单调区间若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。
有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(],0x ∈-∞时是减函数。
而有的函数在整个定义域上都是单调的。
2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
函数的基本性质(题型精练)(学生版)
函数的基本性质(题型精练)目录：01函数的单调性02求函数的单调区间03利用函数单调性求最值04利用函数单调性求参数范围05函数的奇偶性06函数的奇偶性的应用07函数的对称性、周期性及其应用(含难点)08利用函数的基本性质比较大小01函数的单调性1(23-24高三上·河南南阳·阶段练习)已知函数f(x)=1x-2．(1)求f(x)的定义域；(2)用定义法证明：函数f(x)=1x-2在(0,+∞)上是减函数；(3)求函数f(x)=1x -2在区间12,10上的最大值．2(23-24高一上·陕西汉中·期中)已知函数f x =2x-1 x+1．(1)试判断函数f x 在区间-1,+∞上的单调性，并证明；(2)求函数f x 在区间0,+∞上的值城．3(23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习)已知函数f(x)=x+bx过点(1,2)．(1)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性，并用定义证明；(2)求函数f(x)在2,7上的最大值和最小值．02求函数的单调区间4(21-22高三上·贵州贵阳·阶段练习)函数f (x )=ln (2x 2-3x +1)的单调递减区间为()A.-∞,34B.-∞,12C.34,+∞D.(1,+∞)5(2023·海南海口·二模)已知偶函数y =f x +1 在区间0,+∞ 上单调递减，则函数y =f x -1 的单调增区间是．03利用函数单调性求最值6(2021·四川泸州·一模)函数f (x )=ln x +ln (2-x )的最大值为.7(23-24高三上·河南焦作·阶段练习)已知函数f (x )=x +1x，x 1,x 2∈12,3 ，则f x 1 -f x 2 的最大值为()A.43B.12C.56D.18(2022·山东济南·一模)已知函数f x =x -1 2x +1 x 2+ax +b x 2，对任意非零实数x ，均满足f x=f -1x.则f -1 的值为；函数f x 的最小值为.04利用函数单调性求参数范围9(2023·天津河北·一模)设a ∈R ，则“a >-2”是“函数f x =2x 2+4ax +1在2,+∞ 上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10(2023·陕西商洛·一模)已知函数f (x )=-x 2+2ax ,x ≤1(3-a )x +2,x >1是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是()A.1,3B.1,2C.2,3D.0,311(2024·全国·模拟预测)若函数f (x )=4|x -a |+3在区间[1,+∞)上不单调，则a 的取值范围是()A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1]12(2023高三·全国·专题练习)已知函数f x =x +4x，g (x )=2x +a ，若∀x 1∈12,1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是()A.a ≤1B.a ≥1C.a ≤2D.a ≥205函数的奇偶性13(23-24高三上·江苏常州·期末)已知定义在-1,1区间上的函数f x =x+ax2+1为奇函数．(1)求函数f x 的解析式；(2)判断并证明函数f x 在区间-1,1上的单调性.14(2022高三·全国·专题练习)设f x =x3+ax2-2x(x∈R)，其中常数a∈R.(1)判断函数y=f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若不等式f x >32x3在区间12,1上有解，求a的取值范围.15(23-24高三上·河南周口·期末)已知函数f x =ax+b1+x2是定义在-1,1上的函数，f-x=-f x 恒成立，且f12=25.(1)确定函数f x 的解析式，并用定义研究f x 在-1,1上的单调性；(2)解不等式f x-1+f x <0.16(23-24高三上·新疆阿克苏·阶段练习)已知奇函数f(x)=-x2+2x,x>0, 0,x=0,x2+mx,x<0.(1)求f(-m)的值；(2)若函数f(x)在区间[-1,a2-2]上单调递增，试确定a的取值范围.06函数的奇偶性的应用17(2024·河北保定·二模)若函数y =f x -1是定义在R 上的奇函数，则f -1 +f 0 +f 1 =()A.3B.2C.-2D.-318(23-24高三下·陕西西安·阶段练习)定义域均为R 的函数f x ，g x 满足f x =g x -1 ，且f x -1 =g 2-x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 是偶函数C.g x 是奇函数D.g x 是偶函数19(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =a -12x-1a ∈R 为奇函数，则实数a 的值为()A.12B.-12C.1D.-120(23-24高三上·云南楚雄·期末)已知f x 是定义在R 上的奇函数，f 1 =f 3 =0，且f x 在0,2 上单调递减，在2,+∞ 上单调递增，则不等式f (x )2x -1≤0的解集为()A.-∞,-1 ∪0,12 ∪1,+∞ B.-3,-1 ∪0,12 ∪1,3C.-∞,-1 ∪0,12 ∪3,+∞D.-3,-1 ∪0,12 ∪1,321(2024·陕西·一模)已知定义在R 上的函数f (x )，满足x 1-x 2 f x 1 -f x 2 <0，且f (x )+f (-x )=0．若f (1)=-1，则满足|f (x -2)|≤1的x 的取值范围是()A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]22(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)函数f x 在-∞,+∞ 上单调递减，且为奇函数.若f 1 =-2，则满足-2≤f 1-x ≤2的x 的取值范围是()A.0,2B.-2,0C.1,3D.-1,107函数的对称性、周期性及其应用(含难点)23(2024·山东济南·二模)已知函数f x 的定义域为R ，若f -x =-f x ,f 1+x =f 1-x ，则f 2024 =()A.0B.1C.2D.324(2024·四川南充·三模)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，函数g x +1 的图象关于y 轴对称，f x +2 +g x +1 =-1，f -4 =0，则f 2030 -g 2017 =()A.-4B.-3C.3D.425(2024·广东广州·模拟预测)已知函数f x 的定义域为R ，且满足f x =-f 2-x ,f x +2 为偶函数，当x ∈1,2 时，f x =ax 2+b ，若f 0 +f 3 =6，则f 253=()A.329B.113C.-43D.-17926(23-24高一上·广东广州·期中)已知函数f x ，g x 的定义域均为R ，且f x +g 2-x =5，g x -f x -4 =7．若y =g x 的图象关于直线x =2对称，g 2 =4，下列说法正确的是()A.g 2+x =g 2-xB.y =g x 图像关于点3,6 对称C.f 2 =3D.f 1 +f 2 +⋯f 26 =-2827(2024·河南·二模)已知函数f x 是偶函数，对任意x ∈R ，均有f x =f x +2 ，当x ∈0,1 时，f x =1-x ，则函数g x =f x -log 5x +1 的零点有个.28(23-24高三下·重庆·阶段练习)已知函数f x 的定义域是R ，f 32+x =f 32-x ，f x +f 6-x =0，当0≤x ≤32时，f x =4x -2x 2，则f 2024 =．29(2023高三·全国·专题练习)设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1，x 2∈0,12，都有f (x 1+x 2)=f (x 1)⋅f (x 2)，且f (1)=a >0．(1)求f 12 ,f 14；(2)证明f (x )是周期函数；(3)记a n =f 2n +12n，求a n ．30(2023·浙江绍兴·二模)已知定义在0,+∞ 上的增函数f x 满足:对任意的a ,b ∈0,+∞ 都有f ab =f a +f b 且f 4 =2，函数g x 满足g x +g 4-x =-2，g 4-x =g x +2 . 当x ∈0,1 时，g x =f x +1 -1，若g x 在0,m 上取得最大值的x 值依次为x 1，x 2，⋯，x k ，取得最小值的x 值依次为x1，x2，⋯，x n，若ki =1x i +g x i +ni =1x i +g x i =21，则m 的取值范围为08利用函数的基本性质比较大小31(23-24高三上·天津蓟州·阶段练习)已知奇函数f x 在R 上是增函数，若a =f log 215，b =f log 24.1 ，c =f 20.5 ，则a ,b ,c 的大小关系为()A.a <c <bB.b <a <cC.c <b <aD.c <a <b32(23-24高一上·陕西西安·期中)定义域为R 的函数f x 满足f 3-x =f x +3 ，且当x 2>x 1>3时，f x 1 -f x 2 x 1-x 2 >0恒成立，设a =f 2x 2-x +5 ，b =f 52 ，c =f x 2+4 ，则()A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >c >a33(23-24高三上·福建厦门·期中)已知定义在R 上的函数f (x )满足，①f (x +2)=f (x )，② f (x -2)为奇函数，③当x ∈0,1 时，f x 1 -f x 2 x 1-x 2>0x 1≠x 2 恒成立.则f -152 、f (4)、f 112 的大小关系正确的是()A.f -152 >f 4 >f 112 B.f -152 >f 112 >f 4 C.f 112 >f 4 >f -152D.f 4 >f 112 >f -152一、单选题1(2024·山西晋中·三模)下列函数中既是奇函数，又在0,+∞ 上单调递减的是()A.f x =2xB.f x =x 3C.f x =1x-x D.f x =ln x ,x >0,-ln -x ,x <02(2024·山东·二模)已知函数f x =2x 2-mx +1在区间-1,+∞ 上单调递增，则f 1 的取值范围是( )．A.7,+∞B.7,+∞C.-∞,7D.-∞,73(2024·山东·二模)已知函数f x 是偶函数，且该函数的图像经过点M 2,-5 ，则下列等式恒成立的是( )．A.f -5 =2B.f -5 =-2C.f -2 =5D.f -2 =-54(2024·全国·模拟预测)函数f x =e x -e -x4ln x +1的大致图象是()A. B.C. D.5(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =3x -2-32-x ，则满足f x +f 8-3x >0的x 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,2C.2,+∞D.-2,26(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的m <n <0，都有(m -n )(f (m )-f (n ))<0，且f (-2)=0，则不等式f (x +1)-f (-x -1)x ≥0的解集为()A.[-3,-1]∪[0,1]B.[-2,2]C.(-∞,-3)∪(-2,0)∪(2,+∞)D.[-3,-1]∪(0,1]7(2024·湖南岳阳·三模)已知函数f (x )=e x +a ,x <a x 2+2ax ,x ≥a，f (x )不存在最小值，则实数a 的取值范围是()A.(-1,0)B.13,+∞C.(-1,0)∪13,+∞D.-13,0∪(1,+∞)8(2024·浙江绍兴·模拟预测)已知:对于任意的正数x,y，z≤2xy，若满足x+y=1，则x2+y2+1xy+5x2+5y2+z2+10xy-3xz-3yz≥k恒成立，那么k的最大值是()A.6+3B.6+112C.8+3 D.8+112二、多选题9(2021·江西·模拟预测)已知函数f(x)=2x+3x+4，则下列叙述正确的是()A.f(x)的值域为-∞,-4∪-4,+∞B.f(x)在区间-∞,-4上单调递增C.f(x)+f-8-x=4 D.若x∈x x>-4,x∈Z，则f(x)的最小值为-3 10(2024·江苏南京·二模)已知函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy)+|x|+|y|，则()A.f(0)=1B.f(1)=-1C.f(x)是偶函数D.f(x)是奇函数11(2023·河南·三模)已知函数f x =ln x-1-2x-1，则下列结论正确的是()A.f x 在定义域上是增函数B.f x 的值域为RC.f log20232024+f log20242023=1D.若f a =e b+1e b-1-b，a∈0,1，b∈0,+∞，则ae b=1三、填空题12(2023·上海嘉定·一模)函数y=2x2-3x+5x-1在x∈32,3上的最大值和最小值的乘积为13(2024·湖北黄石·三模)设a，b∈R+，若a+4b=4，则a+2bab的最小值为，此时a的值为.14(2023·云南保山·二模)对于函数f x ，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f x 为“倒戈函数”，设函数f x =3x+tan x-2m+1m∈R是定义在-1,1上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是.。
数学高一(上)沪教版(函数的性质 单调性)学生版
例1、判断函数 在区间 上的单调性。
变式练习1：已知 ，判断 在 上的单调性，并证明。
变式练习2：证明：函数 在 上是减函数。
例2、求下列函数的单调区间
（1） （2） （3）
例3、已知 为偶函数，且当 时单调递减，求 的单调区间。
变式练习1：设 是定义在 上的单调函数，且
（1）求 的值；
A B C D
课题
函数的性质--单调性（二）
教学目的
3、掌握函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性；
2、掌握函数单调性与函数图像的关系。
教学内容
【知识梳理】
1．函数单调性的定义？
2．证明函数单调性的步骤是什么？
3．求函数的单调区间
4．利用函数单调性解决一些问题；
5．抽象函数与函数单调性结合运用
【课堂小练】
1.“ 是奇函数”是“存在定义域内无数个 ，使 成立”的（）
A．充分非必要条件B必要非充分条件
C充要条件D既非充分又非必要条件
2.设函数 为R上的奇函数，瑞对任意实数 ，当 时，总有 成立，则函数 为R上的（）
A增函数B减函数C不能确定D以上均不正确
3.若 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 _________
2．若函数 在定义域上是单调的，则 的图像与x轴的交点个数最多有一个．
3．求复合函数的单调区间的一般步骤是：(1)求函数的定义域；(2)求内层函数的单调区间；(3)考察外层函数的单调性；（4）由“同增异减”确定复合函数的单调区间．
4．当内层函数在单调区间上的值域是外层函数的单调区间的子集时，刚只要直接求出内层函数的单调区间，由“同增箅减”即可得到复合函数的单调区间，反之，则应对内层函数的单调区间进行分段，以满足上述要求。
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【高中数学】函数的单调性【套路秘籍】1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值【套路修炼】考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间 ． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间 ． (5)函数33y x x =-的单调增区间为__________．【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4) 3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞，考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a )2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 3．设a =ln22，b =ln33，c =1e ，则( )A ． c <a <bB ． c <b <aC ． a <b <cD ． b <a <c 4．已知x =1.10.1，y =0.91.1，z =log 2343，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ． x >y >zB ． y >x >zC ． y >z >xD ． x >z >y考向三 单调性的运用二---解不等式【例3】（1）f(x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)（2）已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]【举一反三】1．若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ． (0,23)B ． (0,23)∪(1,+∞) C ． (1,+∞) D ． (0,1)2．设函数f (x )={2x ， x ≥0x ， x <0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A ． (−∞ ， −1]B ． (1 ， +∞)C ． (−1 ， 0)D ． (−∞ ， 0)3．定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足f(log 12x)>0的x 的集合为______．4．设函数f(x)=x 3+1,若f(1−2a)<f(a),则实数a 的取值范围是 _______。
考向四 单调性运用三---求参数【例4】（1）已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a的取值范围是________.（2）已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a []ax 2－(2－a )x ＋3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则a 的取值范围是________（3）若函数f(x)={x 2−a2x +8,x ≤1ax ,x >1为R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ． (4,+∞) B ． [4,+∞) C ． [4,6] D ． (0,+∞) 【举一反三】1.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.2．已知函数f(x)={x 2+(4a −3)x +3a,x <0log a (x +1)+2,x ≥0（a ＞0且a ≠1）是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ． （0，34] B ． [34，1） C ． [23，34] D ． （23，34]考向五 单调性的运用四---最值【例5】（1）函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．（2）函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________． （3）函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________（4）函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．（5）函数f (x )＝13x⎛⎫⎪⎝⎭－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为_______（6）求y ＝log 3x ＋log x 3－1的值域 ．（7）y =的值域 。
【套路总结】求函数值域，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，而常用的方法有： 1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或(至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，①：换元→分离常数→反比例函数模型②：换元→分离常数→模型 ③：同时除以分子：→②的模型④：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ①：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围.②：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可.③形如型,可用此法求其值域.6.利用基本不等式法:先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行)(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d ++=+c a ,ax by cx d +=+2ax bx cy dx e ++=+a y x x =±2dx ey ax bx c +=++21y ax bx cdx e =+++22ax bx c y dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===()y f t =y ax b cx d =+±+【举一反三】1.函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________.2.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≤b，b，a>b.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.2.如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥12时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为。
考向六分类讨论思想【例6】判断函数f(x)＝x＋ax(a>0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明.【举一反三】1.判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性．2.判断函数f (x )＝axx 2－1(a ≠0)在区间(－1,1)上的单调性．【套路运用】1.．下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是 。
2.．函数f(x)=√x 2+3x −4的单调增加区间是__________. 3．函数f(x)=lg(-x 2+2x )的单调增区间____________.4.函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________．5．函数2213x xy的单调增区间为________．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是__________．7.函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．8．已知f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是 。