反比例函数及应用
反比例函数的应用
反比例函数的应用一、反比例函数的定义及性质反比例函数是指一个函数y=k/x，其中k为常数，x≠0。
反比例函数的图像是一条经过原点的双曲线。
反比例函数具有以下性质：1. 定义域为x≠0，值域为y≠0。
2. 函数图像关于y轴对称。
3. 当x趋近于0时，y的值趋近于正无穷或负无穷。
4. 当x>0时，y>0；当x<0时，y<0。
5. 反比例函数是单调递减的，在定义域内任意两个正数之间，其对应的函数值满足大小关系：y1>y2。
二、反比例函数在实际生活中的应用1. 电阻与电流在电路中，电阻与电流之间存在着一种反比例关系。
根据欧姆定律可知：U=IR，其中U表示电压（单位为伏特），I表示电流（单位为安培），R表示电阻（单位为欧姆）。
将该式变形得到：I=U/R。
可以看出，在给定电压下，电流与电阻成反比例关系。
因此，在设计电路时需要考虑到这种关系。
2. 速度与时间在物理学中，速度与时间也存在着一种反比例关系。
根据物理学公式可知：v=s/t，其中v表示速度（单位为米/秒），s表示路程（单位为米），t表示时间（单位为秒）。
将该式变形得到：t=s/v。
可以看出，在给定路程下，速度与时间成反比例关系。
因此，在计算物体的运动时间时需要考虑到这种关系。
3. 人口密度与土地面积在城市规划中，人口密度与土地面积也存在着一种反比例关系。
根据城市规划原理可知：城市的人口密度应该与土地面积成反比例关系，以保证城市的空间利用率和居住质量。
因此，在进行城市规划时需要考虑到这种关系。
4. 光线强度与距离在光学中，光线强度与距离也存在着一种反比例关系。
根据光学原理可知：光线强度随着距离的增加而减弱，其强度与距离成反比例关系。
因此，在设计照明系统时需要考虑到这种关系。
三、反比例函数的解题方法1. 求解函数值对于给定的x值，可以通过代入函数公式求解对应的y值。
例如：已知y=3/x，求当x=2时，y的值为多少。
解：将x=2代入函数公式得到：y=3/2。
反比例函数的图像和性质的综合应用
解析
根据题意，将点 A（-2 ，3）和点 B（3，-2 ）分别代入两个函数中 ，得到关于 m、k、b 的方程组，解方程组求 得 m、k、b 的值，即 可得到两个函数的解析
式。
05
反比例函数在几何图形中应用
相似三角形判定定理推广
预备定理
平行于三角形的一边，并且和 其他两边相交的线段，所截得 的三角形的三边与原三角形三 边对应成比例。
反比例函数图像在平面直角坐标系中 ，沿y轴方向平移，函数表达式不变， 图像沿y轴平移。
伸缩变换规律
01
当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而减小；
02
当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从 左往右，y随x的增大而增大。
03
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数； k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3
平行四边形面积问题
通过已知相邻两边及其夹角求解面积，或已知面 积和一边长度及夹角求解另一边长度，应用反比 例函数进行求解。
速度、时间、距离关系分析
匀速直线运动问题
通过已知速度和时间求解距离，或已 知距离和时间求解速度，利用反比例 关系建立方程。
变速直线运动问题
曲线运动问题
通过已知速度和方向的变化规律，求 解某时刻的速度或某段时间内的平均 速度及运动轨迹，结合反比例函数进 行综合分析。
解析
根据题意，将点（-2， -1）代入两个函数中， 得到关于 k、m、n 的 方程组，解方程组求得 k、m、n 的值，即可 得到两个函数的解析式 。再将 x = 3 代入两个 函数中，得到关于 k、 m、n 的另一个方程， 与前面的方程组联立求 解，即可得到最终的解
反比例函数的模型及应用 第一讲
反比例函数模型及应用 第一讲一、反比例函数的四个模型：（证明略）模型一：（1）=ABOC S k 矩形；（2）=2ACO ABO ACN OBM kS S S S ∆∆∆∆===模型二：=ABO AMNB S S ∆梯形;模型三：AM BN =模型四：AB N //M注：以上四个模型中点A 、B 都是反比例函数上的任一点.二、模型的应用例1：如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象交于C ，D 两点，过C ，D 两点 分别作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列 四个结论：①△DEF 与△CEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC=BD ． 其中正确的结论是____________（填写序号）．例2：已知反比例函数(0)ky k x=>的图象与一次函数y=-x+6 相交与第一象限的A 、B 两点，如图所示，过A 、B 两点分别做 x 、y 轴的垂线，线段AC 、BD 相交与P ，给出以下结论：① OA=OB ；②△OAM ∽△OBN ；③若△ABP 的面积是8，则k=5；④ P 点一定在直线y=x 上；其中正确的结论是____________（填 写序号）．例3：（2014遵义）如图，反比例函数(0)ky k x=>的图象与矩 形ABCO 的两边相交于E 、F 两点，若E 是AB 的中点，2BEF S ∆=，则k 得值为____________ .例4：（2013•重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶 点O 与原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数(0)ky k x=>的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ， ND ⊥x 轴，垂足为D ，连接OM 、ON 、MN ．下列结论：①△OCN ≌ △OAM ；②四边形DAMN 与△MON 面积相等；③若∠MON=45°， MN=2，则点C的坐标为1)．其中正确的结论是____________（填写序号）．一、反比例函数与几何图形的综合（重庆中考12题） 1. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A ，B 两点 的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C ，D 两点在反比例函k y x =（0x <）的图象上，则k 的值为______________．第1题图 第2题图2. 如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象 上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x =的图象上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为______________．3. 如图，在函数11k y x =（0x <）和22ky x =（0x >）的图象上，分别有A ，B 两点，若AB ∥x 轴，交y 轴于点C ，且OA ⊥OB ，12AOC S =△，92BOC S =△，则线段AB 的长度为__________．第3题图 第4题图4. 如图，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，C 在x 轴上，∠ACB= 90°，22AC BC ==3y x=（0x >）的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．连接DE ，当△BDE ∽△BCA 时，点E 的坐标为______________． 5. 如图，已知直线12y x =与双曲线ky x=（0k >）交于A ，B 两点，点B 的坐标为(-4，-2)，C 为第一象限内双曲线ky x=（0k >）上一点．若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为______________．第5题图 第6题图6. 如图，直线12y x =与双曲线ky x=（0k >，0x >）交于点 A ，将直线12y x =向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线ky x=（0k >，0x >）交于点B ．若OA=3BC ，则k 的值为____________．7. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABOC 的对角线OA ，BC交于点E ，双曲线ky x =（0k <）经过C ，E 两点．若□ABOC 的面积为10，则k 的值为________________．第7题图第8题图8.如图，正方形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC，BD的交点．若反比例函数2yx=（0x>）的图象经过A，E两点，则点E的坐标为________________．。
反比例函数及应用
反比例函数及应用反比例函数是一种常见的函数形式，在数学中广泛应用于各种领域，包括经济、物理、工程等。
本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质以及其应用。
一、反比例函数的定义及图像特征反比例函数的定义为：$$y=\frac{k}{x}$$其中，$k$ 为比例系数，且 $x\neq0$。
反比例函数的图像具有以下特征：1. 曲线始于第一象限，以原点为渐近线。
2. 当 $x>0$ 时，函数值单调递减。
3. 当 $x<0$ 时，函数值单调递增。
4. 反比例函数关于 $x$ 轴对称。
5. 当 $x\to\infty$ 时，函数值趋近于 $0$；当 $x\to0$ 时，函数值趋近于无穷大。
下图为反比例函数图像的示意图：[image]二、反比例函数的性质反比例函数的常见性质包括：1. 定义域为 $x\neq0$，值域为 $y\neq0$。
2. 对称轴为 $x$ 轴。
3. 函数连接点为原点。
4. $k$ 的正负决定了函数的增减性和图像所在的象限。
5. 当 $k>0$ 时，函数单调递减；当 $k<0$ 时，函数单调递增。
三、反比例函数的应用反比例函数在各种学科领域中都有广泛的应用。
下面我们将介绍一些具体的应用案例。
1. 经济学中的应用：供给曲线在经济学中，供给曲线描述了在一定时间内产品供给量与价格之间的关系。
在某些情况下，供给量与价格是反比例的关系。
例如，对于某种商品，生产成本不变的情况下，供给量与价格之间的关系可以表示为：$$Q=\frac{k}{p}$$其中，$Q$ 表示供给量，$p$ 表示价格，$k$ 为常数。
这个函数就是反比例函数。
经济学家可以通过这个函数来分析供给量和价格之间的关系，制定合理的政策和措施。
2. 物理学中的应用：洛伦兹力定律在物理学中，洛伦兹力定律描述了运动带电粒子在电场和磁场中所受到的力。
当电荷 $q$ 以速度 $v$ 运动时，所受力可以表示为：$$F=q(v\times B)$$其中，$B$ 为磁感应强度，$v$ 为运动速度。
中考一轮复习--第11讲 反比例函数及其应用
1
∴a=2,∴直线 OB 的函数表达式为 y=2x.
(2)如图,作 CD⊥OA 于点 D,∵C(1,2),
∴OC= 12 + 22 = 5.
在平行四边形 OABC 中,
CB=OA=3,AB=OC= 5,
∴四边形 OABC 的周长为 3+3+ 5 + 5
=6+2 5,
即四边形 OABC 的周长为 6+2 5.
动程序.若在水温为30 ℃时接通电源,水温y(℃)与时间x(min)的关
系如图所示.
(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;
(2)怡萱同学想喝高于50 ℃的水,请问她最多需要等待多长时间?
考法1
考法2
考法3
考法4
分析:(1)根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式,注意
函数图象是循环出现的;(2)根据(1)中的函数解析式可以解答本题.
(1)求k的值及直线OB的函数表达式;
(2)求四边形OABC的周长.
考法1
考法2
考法3
考法4
解:(1)依题意有:点 C(1,2)在反比例函数 y= (k≠0)的图象上,
∴k=xy=2.
∵A(3,0),∴CB=OA=3.又 CB∥x 轴,∴B(4,2).设直线 OB 的函数表达
式为 y=ax,∴2=4a,
考法1
考法2
考法3
考法4
反比例函数的图象和性质
例2(2019·江苏镇江)已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数y=- 2
的图象上,则y1
y2.(填“>”或“<”)
答案:<
2
反比例函数在数学、物理学科的应用
反比例函数在数学、物理学科的应用1. 反比例函数的概念和定义反比例函数是指函数y=k/x，其中k为非零常数，x≠0。
反比例函数在数学中是一种简单而重要的函数类型，具有许多特殊的性质和应用。
反比例函数在实际生活中也有广泛的应用，尤其在物理学中。
2. 物理学中的反比例函数应用在物理学中，许多反比例函数是基本的物理定律。
例如，牛顿第二定律F=ma，其中F为力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
牛顿第二定律可以变形为a=F/m，即加速度和力成反比例关系。
当力增大时，加速度减小；当质量增大时，加速度减小；当质量减小时，加速度增大。
这种反比例关系在物理学中是非常常见的。
3. 实例：牛顿万有引力定律除了牛顿第二定律，牛顿万有引力定律也是一种经典的反比例关系。
牛顿万有引力定律是指任意两个物体之间的引力，与它们之间的距离的平方成反比例关系，即F=Gm1m2/d^2，其中G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，d为它们之间的距离。
这个定律告诉我们，当两个物体之间的距离变小时，引力会变大；当它们之间的距离变大时，引力会变小。
这种反比例关系在宇宙中的天体运动和星系的形成中起着非常重要的作用。
4. 电学中的反比例函数反比例函数在电学中也有广泛的应用。
例如，欧姆定律V=IR中，电阻R和电流I成反比例关系。
当电阻增大时，电流减小；当电阻减小时，电流增大。
这种关系在电路设计和电子工程中是非常重要的。
5. 小结反比例函数是一种在数学和实际应用中都非常常见的函数类型。
它具有许多重要的性质和应用，例如物理学中的牛顿第二定律和万有引力定律，电学中的欧姆定律等等。
在学习和应用反比例函数时，我们需要注意它们的特殊性质和应用场景，以便更好地理解和应用。
根据反比例函数知识点归纳
根据反比例函数知识点归纳反比例函数，也叫作反比函数或除法函数，是指一种特殊的函数关系，其中一个变量的值与另一个变量的值成反比例关系。
反比例函数的一般形式为y=k/x，其中k为常数。
反比例函数有一些重要的性质和应用。
下面将详细介绍这些知识点。
1.反比例函数的图像特点：反比例函数的图像通常表现为一个曲线，被称为“反比例曲线”或“双曲线”。
反比例曲线的特点是：随着x的增大，y的值趋于0，而y的值增大，x的值趋于0。
反比例曲线除了通过原点(0,0)之外，通常不会与坐标轴相交。
2.反比例函数的定义域和值域：在反比例函数y=k/x中，由于除数x不能为0，所以反比例函数的定义域为x≠0。
对于y的值，可以小于0，等于0，或者大于0。
因此，反比例函数的值域为y≠0。
3.反比例函数的变化趋势：当x增大，y的值会减小，反之亦然。
这是由于y=k/x中的比例关系决定的。
当x接近于0时，y的值会增大，并且y趋于无穷大。
同样的，当x接近于无穷大时，y的值会趋于0。
4.反比例函数的渐近线：反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
当x的值趋于0时，y的值趋于无穷大（y=±∞），这时反比例曲线与y轴相交。
当y的值趋于0时，x的值趋于无穷大（x=±∞），这时反比例曲线与x轴相交。
5.反比例函数的平移：对于反比例函数y=k/x，当其中一个变量a不为0时，通过平移可以得到y=k/(x-a)。
平移参数a的作用是改变反比例曲线的位置。
当a>0时，反比例曲线向左平移；当a<0时，反比例曲线向右平移。
6.反比例函数的应用：反比例函数在现实生活和各个学科中都有广泛的应用。
一些常见的应用包括：-电阻和电流成正比，电阻和电压成反比；-面积和压力成反比，即布尔莱的定律；-速度和时间成反比，即速度和路程的关系；-人口增长和资源消耗成反比，即人口增长与资源分配的关系。
7.反比例函数的解析式：反比例函数的一般形式为y=k/x。
关于反比例函数的知识点
关于反比例函数的知识点反比例函数是数学中经常用到的一种重要函数类型。
它是一种特殊类型的函数，通过定义两个变量之间的关系，其中一个变量的增加导致另一个变量的减小，反之亦然。
本文将详细介绍反比例函数的定义、图像、性质以及一些实际应用。
一、反比例函数的定义反比例函数的定义如下：y = k / x其中，x 和 y 是变量，k 是一个常数。
在反比例函数中，y 的值与 x 的值成反比例关系，即 x 越大，y 越小，反之亦然。
常数 k 称为比例常数，它决定了函数的形状。
二、反比例函数的图像反比例函数的图像通常是一个双曲线，它的形状取决于比例常数 k 的值。
当比例常数 k 大于 0 时，反比例函数的图像在 x 轴的正半轴和 y 轴的负半轴上分别存在一个渐近线。
这是因为当 x 趋近于无穷大时，y 趋近于 0，当 y 趋近于无穷大时，x 趋近于 0。
当比例常数 k 小于 0 时，反比例函数的图像与前一种情况相似，但是渐近线位于 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上。
三、反比例函数的性质1. 定义域和值域：由于反比例函数中 x 不能为 0，所以它的定义域为 x ≠ 0。
根据函数的定义，可以得出反比例函数的值域为 y ≠ 0。
2. 对称性：反比例函数具有轴对称性，即当 (x, y) 在反比例函数中时，(-x, -y) 也在反比例函数中。
3. 变化率：反比例函数的变化率是一个常数，即在函数图像上的任意两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2) 中，斜率 k = y1 / x1 = y2 / x2 是一个常数。
四、反比例函数的实际应用反比例函数在实际生活中有许多应用。
以下是一些常见的实际应用示例：1. 物体的速度和时间：当物体的运动速度保持不变时，物体在单位时间内所需的时间与其速度成反比例关系。
当速度增加时，所需时间减小；当速度减小时，所需时间增加。
2. 货币兑换：兑换货币时，汇率决定了兑换后的货币数量。
如果汇率变高，那么兑换后的货币数量就变少；如果汇率变低，兑换后的货币数量就变多。
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《反比例函数》回顾与思考
【教学目标】①体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。
②能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y ＝k x
(k≠0)探索并理解其性质(k ＞0或k ＜0时，图象的变化)。
【知识梳理、基础训练】
考点一 反比例函数的定义
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．其自变量x 的取值范围是 . 反比例函数的解析式还可以写成xy ＝k (k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积总等于已知常数k .
考点二 反比例函数的图象和性质
1．反比例函数y ＝k x (k 是常数，k ≠0)的图象是 ．因为x ≠0，k ≠0，相应地y 值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x 轴和y 轴，但永不与x 轴、y 轴 ．
某农场的粮食总产量为1500吨，设该农场人数为x 人，平均每人占有粮食数为y 吨，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）
A B C D
2．反比例函数的图象和性质
反比例函数y ＝k x
(k 是常数，k ≠0)的图象总是关于 对称的，它的位置和性质受k 的符号的影响.
①当k ＞0时，函数的图象在第 象限，在每一象限内,y 随x 的增大而 ；
②当k ＜0时，函数的图象在第 象限，在每一象限内,y 随x 的增大而 .
反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，其对称轴是直线y ＝x 和直线y ＝-x ；又是中心对称图形. 对称中心是原点.
1.在下列反比例函数中，图象在一、三的是 ，图象在二、四的是 ，图象在每一象限内，y 随x 增大而减小的是 ，y 随x 增大而减小的是 .
x y 3)1(-= x y 2)2(= x y 23)3(= x y 3)4(-= 2.已知直线y=5x 与双曲线y ＝5x
的一个交点为（1，5），则一个交点坐标为为 3．当x >0时，函数y ＝－5x
的图象在第( )象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四
4．已知反比例函数的图象经过点(－1,2)，则它的解析式是( ) A ．y ＝－12x B ．y ＝－2x C ．y ＝2x D ．y ＝1x
5．对于反比例函数y ＝2x
，下列说法正确的是( ) A ．图象经过点(1，－2) B ．图象在第二、四象限
C ．当x >0时，y 随x 的增大而增大
D ．图象关于原点成中心对称
6．对于函数y ＝m －4x ，当x <0时，y 的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是( )
A ．m >4
B ．m <4
C ．m >－4
D ．m <－4
7．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝5x
的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则对应的函数值y 1，y 2的关系是( )
A y 1＜y 2＜0
B y 2＜0＜y 1
C 0＜y 1＜y 2
D y 1＜0＜y 2
考点三 反比例函数表达式的确定
1．由于反比例函数y ＝k x 的解析式中只有一个待定系数k ，因此只需已知一组对应值就可以求出k .
2．待定系数法求解析式的步骤
(1)设出含有待定系数的函数解析式；
(2)把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；
(3)解方程求出待定系数的值，从而确定解析式．
1．已知点(12)-，在反比例函数k y x
=的图象上，则k = ． 2.已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为 ．
考点四 反比例函数系数k 的几何意义
反比例函数y ＝k x (k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x
(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积
为 .
如图，若点A 在反比例函数(0)k y k x
=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ． 【例题精讲】
例1.反比例函数y ＝m ＋1x
在每个象限内的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是( )
A ．m ＜0
B ．m ＞0
C ．m ＞－1
D ．m ＜－1
例2.若点P 1(－1，m )，P 2(－2，n )在反比例函数y ＝k x
(k >0)的图象上，则m n (填“>”“<”或“＝”)． 例3.下列图形中阴影部分的面积相等的是(
)
A ．②③
B ．③④
C ．①②
D ．①④
例4 .将油箱注满k 升油后，轿车可行驶的总路程s (单位：千米)与平均耗油量a (单位：升/千米)
之间是
反比例函数关系s ＝k a (k 是常数，k ≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．
(1)求该轿车可行驶的总路程s 与平均耗油量a 之间的函数解析式(关系式)．
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
例5．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y ＝k x 的图象经过点A (1，3)．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点O 是坐标原点，将线段OA 绕O 点顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．
【上交作业】
1.反比例函数x
k y =(k ＞0)的部分图象如图所示，A 、B 是图象上两点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，若△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，则S 1和S 2 的大小
关系为（ ）
A S 1＞ S 2
B S 1= S 2
C S 1 ＜S 2
D ． 无法确定
2.函数x
a y = (a ≠0)与y=)1(-x a (a ≠0)在同一坐标系中的大致图象是（ ）
3.如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别
是6和4，反比例函数)0( x x
k y =的图象经过点C ，则k 的值为_________．
4.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函
数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E．
（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？。