数学物理方程讲义课后答案一二章姜礼尚版本
数学物理方程第一章、第二章习题全解
18
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
2δρ ut ( x , 0 ) = k ( c - δ≤ x ≤ c + δ) 在这个小段外,初速度仍为零, 我们想得到的是 x = c 处受到冲 击的初速度 , 所 以 最后 还 要 令 δ→ 0。此 外 , 弦是 没 有 初 位 移的 , 即 u( x, 0) = 0 , 于是初始条件为
3. 有一均匀杆 , 只要杆中任一小段有纵向位移或速度 , 必导致 邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去, 就有纵波沿着杆传播, 试推导 杆的纵振动方程。
解 如图 1 9 所示, 取杆
长方向为 x 轴正向, 垂直于杆长
方向的 各截 面 均 用 它 的 平 衡 位 置 x 标记 , 在时刻 t, 此截面相对
u( x, 0) = 0 0,
ut ( x , 0 ) = δkρ,
| x - c| >δ | x - c | ≤ δ (δ→ 0)
所以定解问题为
utt - a2 uxx = 0
u(0 , t) = u( l, t) = 0 u( x, 0) = 0 , ut ( x , 0 ) =
0, | x - c| > δ δkρ, | x - c | ≤ δ (δ→ 0 )
16
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
第一章 课后习题全解
1 .4 习题全解
1. 长为 l 的均匀杆 , 侧面绝缘 , 一端温度为零 , 另一端有恒定热
流 q进入 ( 即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q) , 杆的初始
温度分布是 x( l 2
x) ,试写出相应的定解问题。
解 见图 1 8, 该问题是一维热传导方程, 初始条件题中已给
u x
普通物理学程守洙江永久03守恒定律习题详细解答
目录 结束
3-4 一根特殊弹簧，在伸长x m时，沿它 伸长的反方向的作用力为(52.8x +38.4x2)N。 （1）试求把弹簧从x=0.50拉长到 x =1.00 时，外力克服弹簧力所作的功。 （2）将弹簧的一端固定，在另一端栓一质 量为 2.17 kg 的物体 ，然 后 把 弹 簧 拉到 x =1.00,开始无初速地释放物体，试求弹簧 缩回到x=0.5。时物体的速率。
目录 结束
已知： l = 3.6m m = 50kg M = 100kg 解：由动量守恒 M V m v = 0 v mv V V dt = m v dt V= M M t m t v dt s = 0V d t = l M 0 t m s + s´= l s´= 0 v d t s = s´ M m s s s m = = = s´ M M + m s ´+ s l m 50 × 3.6 = 1.2m s= l = M +m 100 + 50 目录 结束
设弹簧最大伸长为 x m
1 mv 2 + 1k x 2 mg x0 = 0 0 2 2 mg 将 x0= 代入，得： k mg 1 1k ( m g ) 2 2 mg = mv 0 + 2 k k 2 mg 2 v = k
2 0
m v 0 =g k
目录 结束
3-9 一小船质量为100kg，船头到船尾共 长3.6m。现有一质量为50kg的人从船尾走 到船头时，船头将移动多少距离？假定水的 阻力不计。
b
2
1 mbω 2 Ay = 0 m y dy = ω 2 两分力的功和路径无关，是一恒量。 所以有心力为保守力。
目录 结束
3-3 一根原长 l0 的弹簧，当下端悬挂质 量为m的重物时，弹簧长l = 2l0 。现将弹簧 一端悬挂在竖直放置的圆环上端A点。设环 的半径R=l0把弹簧另一端所挂重物放在光滑 圆环的B点，如图所示。已知AB长为1.6R。 当重物在B无初速地沿圆环滑动时，试求： A （1）重物在B点的加 速度和对圆环的正压力； （2）重物滑到最低点 R C 时的加速度和对圆环 B 的正压力。
数理方程习题解答
+
α
2 2
=
α32
+
α
2 4
，取单位特征方向，
α12
+
α
2 2
+ α32
+
α
2 4
= 1。所以，α12
+
α
2 2
= α32
+
α
2 4
=
1 2
。记
α1
=
1 2
cosθ ,
α2
=
1 2
sinθ ,α3
=
1 2
cosϑ,
α4
=
1 2
sinϑ
，则
α
=
⎛ ⎜⎝
1 2
cosθ ,
1 sinθ , 2
1 2
cosϑ,
则杆上各点 在时刻 的位移是
。
在杆上任取一段，其两端点静止时的坐标为
,此小杆段在时刻 的相对伸长
为： 律知张力为
，令
得 点在时刻 的相对伸长为ux (x, t) ，由 Hooke 定
，再此小杆段上用 Newton 第二定律得
两边同除 并令
得：
若杨氏模量为 为常数则得：
。
1 牛顿(Newton)第二定律与动量守恒定律等价，也可以用动量守恒定律来见方程，见《数学物理方程 讲义》 （姜礼尚、陈亚浙）P1
=
1 2
sinθ ,α3
=
±
1 sinθ ，则 2
α
=
⎛ ⎜⎝
cosθ
,
1 sinθ , ± 2
1 2
sin
θ
⎞ ⎟⎠
。
( ) 2 对波动方程utt − a2 uxx + uyy = 0 过直线l : t = 0, y = 2x 的特征平面。
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案第一章．颠簸方程§ 1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔嫩逐条而平均的弦线有一端固定，在它自己重力作用下，此线处于铅垂均衡地点，试导出此线的细小横振动方程。
解：如图 2，设弦长为l ，弦的线密度为，则 x 点处的张力 T ( x) 为T ( x)g(lx)且 T( x) 的方向老是沿着弦在 x 点处的切线方向。
仍以 u( x, t) 表示弦上各点在时辰 t 沿垂直于 x 轴方向的位移，取弦段 ( x, xx), 则弦段两头张力在 u 轴方向的投影分别为g(l x) sin ( x); g (l( xx)) sin (xx)此中 (x) 表示 T (x) 方向与 x 轴的夹角又sintgux.于是得运动方程x2u[l( xx)]u∣xxg [lx]u∣x gt 2xx利用微分中值定理，消去x ，再令 x0 得2ug[( l x) ut 2] 。
x x5. 考证u( x, y,t )t 21在锥 t 2 x 2 y 2 >0 中都知足颠簸方程x 2 y 22u2u2u证：函数 u( x, y,t )1在锥 t 2x 2 2内对变量 t 2x 2 y 2t 2 x 2y >0y 2x, y, t 有u3二阶连续偏导数。
且(t2x 2 y 2) 2 tt2u35(t2x2y 2) 23(t2x2y2) 2 t2t23(t 2x 2y 2) 2 (2t 2x2y 2)u3x2 y 2)2 x(t2x2u35t2x2y223 t2x2y22 x 2x25 t2x2y22 t22 x2y22 u5同理t2x2y22 t2x22y2y22 u 2u52u .所以t 2 x 2y 2 2 22x 2 y 2x2y2tt2即得所证。
§2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用流传波法，求解颠簸方程的特点问题（又称古尔沙问题）2ua 22ut 2x 2u x at 0(x) (0)(0)u x at( x).解： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0得 ( x) =F （ 0） +G （ 2x ）令 x+at=0得( x) =F （2x ） +G(0)所以F(x)=( x) -G(0).2G （ x ） = ( x) -F(0).2且F （ 0） +G(0)= (0) (0).所以u(x,t)=(xat) + ( x at ) - (0).22即为古尔沙问题的解。
数学物理方程讲义姜礼尚答案
数学物理方程讲义姜礼尚答案11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社这些书应该够了，其他书不一一列举。
从中选择一本当作课本就可以了。
外国数学分析教材：11《微积分学教程》菲赫金格尔茨著数学分析第一名著，不要被它的大部头吓到。
我大四上半年开始看，发现写的非常清楚，看起来很快的。
强烈推荐大家看一下，哪怕买了收藏。
买书不建议看价格，而要看书好不好。
一本好的教科书能打下坚实的基础，影响今后的学习。
12《数学分析原理》菲赫金格尔茨著上本书的简写，不提倡看，要看就看上本。
13《数学分析》卓立奇观点很新，最近几年很流行，不过似乎没有必要。
14《数学分析简明教程》辛钦课后没有习题，但是推荐了《吉米多维奇数学分析习题集》里的相应习题。
但是随着习题集的更新，题已经对不上号了，不过辛钦的文笔还是不错的。
15《数学分析讲义》阿黑波夫等著莫斯科大学的讲义，不过是一本讲义，看着极为吃力，不过用来过知识点不错。
16《数学分析八讲》辛钦大师就是大师，强烈推荐。
17《数学分析原理》rudin中国的数学是从前苏联学来的，和俄罗斯教材比较像，看俄罗斯的书不会很吃力。
不过这本美国的书还是值得一看的。
写的简单明了，可以自己试着把上面的定理推导一遍。
18《微积分与分析引论》库朗又一本美国的经典数学分析书。
有人认为观点已经不流行了，但是数学分析是一门基础课目的是打下一个好的基础。
19《流形上的微积分》斯皮瓦克分析的进一步。
中国的数学分析一般不讲流形上的微积分，不过流形上的微积分是一种潮流，还是看一看的好。
20《在南开大学的演讲》陈省身从中会有一些领悟，不过可惜好像网络上流传的版本少了一些内容。
21华罗庚《高等数学引论》科学出版社数学分析习题集不做题就如同没有学过一样。
希望将课本后的习题一道道自己做完，不要看答案。
买习题集也要买习题集，不买习题集的答案。
1《吉米多维奇数学分析习题集》最近几年人们人云亦云的说这本书多么不好，批评计算题数目过多，不适合数学系等等。
数学物理方程第二版答案
2u u g [(l x) ] 。 2 x x t
5. 验证
u ( x, y , t )
1 t x y
2 2 2
在锥 t x y >0 中都满足波动方程
2 2 2
2u 2u 2u 1 2 2 2 在锥 t x y >0 内对变量 2 2 证：函数 u ( x, y, t ) 2 2 2 2 t x y t x y
同理，若 x 0 为自由端，则相应的边界条件为
(3)若 x l 端固定在弹性支承上， 而弹性支承固定于某点， 且该点离开原来位置的 偏移由函数 v(t ) 给出，则在 x l 端支承的伸长为 u(l , t ) v(t ) 。由虎克定律有
u ∣ x 0 0 x
E
u ∣ x l k[u(l , t ) v(t )] x u u ) ∣ x l f (t ) x
利用微分中值定理，消去 x ,再令 x 0 得
2u u u x sx 2 . ES b x s x t x x t
若 s( x) 常数，则得
x
2 u u u E b x 2 x x t t
其中 ( x) 表示 T ( x) 方向与 x 轴的夹角 又 于是得运动方程
sin tg
u x.
x
2u u u [l ( x x)] ∣ x x g [l x] ∣ x g 2 x x t
利用微分中值定理，消去 x ，再令 x 0 得
+
x at 1 (h ) ( )d . 2a(h x) x at
即为初值问题的解散。 ２． 问初始条件 ( x) 与 ( x) 满足怎样的条件时， 齐次波动方程初值问题的解仅由右传 播波组成？ 解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at) 其中 F，G 由初始条件 ( x) 与 ( x) 决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何 x,
数学物理方程课后参考答案第二章
第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xuk t s x u k t s x u k dQ x x x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
数学物理方程课后作业答案
于 杆 x=L 端 为 自 由 振 动 ， 故
u x |x = L = 0
u |x=0 = 0 。综上所述，定解条件为：
⎧ u t |t = 0 = 0 ⎪ b ⎪ u | = k x = 1 + x ⎪ t=0 L ⎨ ⎪ u |x = 0 = 0 ⎪ ⎪ ⎩ u x |x= L = 0
tan β L = −
5. 一根均匀弦两端分别在 x=0 及 x=L 处固定，设初始速度为零，初 始时刻弦的形状为一抛物线，抛物线的顶点为（ ，h） 。求弦振动的 位移。 解：设位移函数为 u ( x, t ) ，他是下列定解问题的解：
L 2
⎧ ⎪ 2 u = a u xx , tt ⎪ ⎪ ⎨u x =0 = u x = L = 0, ⎪ ⎪u = 4h x ⎛1 − x ⎞；u t =0 t ⎜ ⎟ ⎪ L ⎝ L⎠ ⎩
于是得到固有值问题：
⎧ X // ( x ) + λ X ( x ) = 0 ⎪ ⎨ X ( x ) x =0 = 0 ⎪ / ⎩[ X ( x ) + hX ( x )] x= L = 0
所以当 λ > 0时，X = A cos β x + B sin β x
X
x=0
= A=0
∴ A = 0, B ≠ 0
2. (2)
u xx + 2u xy − 3u yy = 0
△=2 －4×(-3)=16﹥0 dy ⎛ dy ⎞ ⎜ ⎟ −2 −3 = 0 dx ⎝ dx ⎠
2
2
解：由题意可知： => 双曲型
=>
dy = 3 或 -1 dx
3
⎧ε = 3 x − y 令 ⎨ ⎩η = x + y