乐恩教育一对一辅导相似三角形2
相似三角形判定定理的证明乐乐课堂
相似三角形判定定理的证明乐乐课堂【实用版】目录1.相似三角形判定定理的概念2.相似三角形判定定理的证明方法3.相似三角形判定定理的应用正文一、相似三角形判定定理的概念相似三角形判定定理是指在两个三角形中，如果满足一定的条件，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形的判定定理有以下三种：1.两角对应相等的两个三角形相似；2.两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似；3.三边对应成比例的两个三角形相似。
二、相似三角形判定定理的证明方法1.两角对应相等的两个三角形相似的证明：在三角形 ABC 与三角形 A"B"C"中，如果角 A 与角 A"、角 B 与角B"分别相等，那么三角形 ABC 与三角形 A"B"C"相似。
证明方法主要是利用平行线分线段成比例定理的逆定理，即将两个三角形相等的角重合，然后通过平行线分线段成比例定理证明其余部分也成比例。
2.两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似的证明：在三角形 ABC 与三角形 A"B"C"中，如果边 AB 与边 A"B"、边 AC 与边 A"C"分别成比例，并且角 B 与角 B"、角 C 与角 C"分别相等，那么三角形 ABC 与三角形 A"B"C"相似。
证明方法同样是利用平行线分线段成比例定理的逆定理，将两个三角形相等的角重合，然后通过平行线分线段成比例定理证明其余部分也成比例。
3.三边对应成比例的两个三角形相似的证明：在三角形 ABC 与三角形 A"B"C"中，如果边 AB 与边 A"B"、边 BC 与边 B"C"、边 AC 与边 A"C"分别成比例，那么三角形 ABC 与三角形A"B"C"相似。
预科相似三角形的性质一对一辅导讲义
重点：相似三角形的性质与运用． 难点： 相似三角形性质的灵活运用， 及对 “相似三角形面积的比等于相似比的平方” 性质的理解， 特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．
一.知识链接 1．问题：已知： ∆ABC∽∆A’B’C’ ，根据相 似的定义，我们有哪些结论？ （从对应边上看； 从对应角上看： ）
中小学个性化教育辅导专家
一对一个性化辅导讲义
学科： 姓名 学 习 目 标 难 点 重 点 任课教师： 授课时间： 20 14 年级 九 性 别 年月 日(星期 ) 相似三角形的 学习内容 上课次数 性质和应用
1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。 2、 理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 3、 能用三角形的性质解决简单的问题．
10.如图，光源 P 在横杆 AB 的正上方， AB 在灯光下的影子为 CD， AB / /CD, AB 2, CD 6m ， 点 P 到 CD 的距离是 2.7m，则 AB 与 CD 间的距离是______m。 C A B D
11.将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为
S AE AE 2 （1）若 的值； ② 求 ADE 的值； ，① 求 S ABC AC EC 3 ③ 若 S ABC 5 ，求△ADE 的面积； AE 2 （2）若 S ABC S ， ，过点 E 作 EF∥AB 交 BC 于 F，求□BFED 的面积； EC 3 AE （3）若 k ， S ABC 5 ，过点 E 作 EF∥AB 交 BC 于 F，求□BFED 的面积． EC
EF．已知 AB＝AC＝6，BC＝8，若以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长度
相似三角形知识点总结
相似三角形知识点总结相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，对应边成比例。
在几何学中，相似三角形是一个重要的概念，具有许多有趣的性质和应用。
下面是对相似三角形的一些重要知识点的总结。
相似三角形的定义：两个三角形的对应角相等且对应边成比例，就称它们为相似三角形。
相似三角形的记作为∆ABC ~ ∆DEF。
相似三角形的性质及判定方法：1. AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似的。
即如果∠A = ∠D 且∠B = ∠E，则∆ABC ~ ∆DEF。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，而两对对应边成比例，则它们是相似的。
即如果∠A = ∠D、 AB/DE =AC/DF，则∆ABC ~ ∆DEF。
3. SSS判定法：如果两个三角形的三对对应边成比例，则它们是相似的。
即如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则∆ABC ~∆DEF。
4. 相似三角形的比例关系：对应边的比例关系是相似三角形的重要性质，即在相似三角形中，对应边的比例是相等的，如AB/DE = BC/EF = AC/DF。
5. 相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比值，称为相似比。
相似比是一个常数，用k表示。
即在相似三角形中，AB/DE = BC/EF = AC/DF = k。
6. 三角形高线分割定理：在两个相似三角形中，高线所分割的对应边的比例等于相似比。
即在∆ABC ~ ∆DEF中，AD/DF = AE/EF = BE/DF = k。
7. 相似三角形的面积比：在两个相似三角形中，它们的面积比等于相似比的平方。
如∆ABC ~ ∆DEF，则S(∆ABC)/S(∆DEF)= (AB/DE)² = k²。
相似三角形的应用：1. 比例问题：利用相似三角形的比例关系，可以解决一些有关长度、面积和体积的问题。
2. 测量问题：利用相似三角形的性质，可以测量一些难以直接测量的距离和高度。
3. 形状相似问题：相似三角形的性质也可以用来证明两个图形或物体是相似的，从而得到它们的比例关系。
相似三角形一对一辅导讲义
教学目标1、相似三角形的判定定理2、利用相似三角形的性质及判定解题重点、难点1、相似三角形的判定定理2、平行线分线段成比例定理考点及考试要求1、相似三角形的性质及判定2、利用相似三角形的性质及判定解题教学内容第一课时相似三角形知识梳理课前检测⒈若AB=1m，CD=25cm，则AB∶CD= ；若线段AB=m, CD=n，则AB∶CD= .⒉若MN∶PQ=4∶7，则PQ∶MN= ，MN= PQ ，PQ= MN 。
3. 已知4x－5y=0，则（x＋y）∶（x－y）的值为．4. 若x∶y∶z=2∶7∶5，且x－2y＋3z=6，则x= ，y= ，z= ；5. 已知点C是线段AB的黄金分割点, 且AC>BC则, AC∶AB= .知识梳理1 预备定理一平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似。
三如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
四如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。
七两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
八由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc九（易失误）比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：12 一定相似6.两个全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：17.任意一个顶角或底角相等的两个等腰三角形两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。
8.两个等边三角形( 两个等边三角形，三个内角都是60 度，且边边相等，所以相似)9.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形3 判定定理基本判定(1) 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形复习(1对1辅导精品)
12.直角三角形相似的判定定理：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
13．相似三角形性质的作用
综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题：
(1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等；
(2)可用来计算周长、边长、角度等；
(3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。
注意：
(1)求三角形某边长，可根据相似三角形的性质，得到对应线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线段．
(2)有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：一、是三角形面积公式：S＝ 底×高，这里特别注意图形中“同高”这个隐含条件，二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。
3、如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，则 ＝．
4、已知：如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平
分线，过点D作DE∥CB，交AB于点E， ＝ ，
DE＝6，则AB＝．
（三）、X型
1、如图，AB//CD，AD与BC交于点O，
若 ，则 =．
2、如图，E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE∶ED=1∶2，CE与BD交于点O，则BO：OD=．
（三）、三角形中内接矩形
1、如图，在△ABC中，边BC＝12，高AD＝6，边长为x的正方形PQMN的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则正方形边长x为（）
4、已知：如图三，AD⊥DC，AC⊥BC，AC平分∠BAD，如果AC＝6，AB＝9，则AD=．
5、如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC的顶点O是坐标原点，点B在x轴的正半轴上，且CB⊥x轴，点A的坐标为（0，4），在OB边上有一点P，满足AP＝2 ．
中考之相似三角形方法总结
中考之相似三角形方法总结相似三角形是初中数学常见的重要知识点，掌握相似三角形的方法对于解题非常有帮助。
下面是关于相似三角形方法的总结。
一、相似三角形的定义和判定相似三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的判定方法为：1.AA判定法：如果两个三角形中有两对相对角度相等，则这两个三角形相似。
2.AAA判定法：如果两个三角形的三个内角相对应相等，则这两个三角形相似。
3.SSS判定法：如果两个三角形的对应边长之比相等，则这两个三角形相似。
4.SAS判定法：如果两个三角形中，一对对应角相等，且两对对应边的比值相等，则这两个三角形相似。
二、相似三角形的性质1.相似三角形的对应角相等。
2.相似三角形的对应边长比值相等。
3.相似三角形的高线、中线和角平分线所对应的长度之比相等。
4.相似三角形的周长比例等于它们的边长比例。
5.相似三角形的面积比例等于它们的边长比例平方。
三、相似三角形的计算方法1.已知两个相似三角形的边长比例，可以通过等比例关系来计算未知边长。
2.已知一个相似三角形的高线或者中线和相似比例，可以通过相似比例关系来计算另一个相似三角形的高线或者中线。
3.已知两个相似三角形的面积比例，可以通过面积比例关系来计算未知面积。
4.已知三个相似三角形的边长比例和一个相似三角形的面积，可以通过面积和边长的比例关系来计算未知面积。
四、相似三角形的应用1.根据相似三角形的性质，可以在不直接测量的情况下，计算远处的高度、长度等。
2.可以通过相似三角形的关系来解决各种几何问题，如平行线的证明、角度的计算、比例的求解等。
3.在实际生活中，相似三角形的知识经常用于建筑、测量、工程等领域的计算和设计中。
1.掌握相似三角形的定义和判定方法，能够准确判断两个三角形是否相似。
2.熟练应用AA、AAA、SSS和SAS判定法，能够根据题目给出的条件判定三角形的相似关系。
3.理解相似三角形的性质，能够应用性质计算未知边长、比例、面积等。
一对一相似三角形判定复习教案学案含习题答案
三角形相似的判定教学目标：1、理解并掌握两个相似三角形判定的方法2、能灵活应用四种判定方法判定两个三角形相似，并能结合相似三角形的性质进行证明3、培养学生的观察、动手探究及归纳总结的能力重点、难点：灵活应用判定方法判定两个三角形相似，并能结合相似三角形的性质进行证明 教学内容相似三角形的判定方法：1、有两个角对应相等的三角形相似2、 平行于三角形一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似3、 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似4、 三边对应成比例的两个三角形相似相似三角形的几个基本图形一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。
分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。
本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以△AGD ∽△EGC 。
再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。
例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
证明：∵∠A=36°，△ABC 是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72°又BD 平分∠ABC ，则∠DBC=36°在△ABC 和△BCD 中，∠C 为公共角，∠A=∠DBC=36°∴△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD 。
求证：△DBE ∽△ABCA BCDEF G 1234ABCDABCDE F分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。
乐恩教育初一数学一对一教案图形的初步认识2
个性化教学辅导教案学科数学学生姓名周文娜年级七任课老师李显辉授课时间2012年12 月09日教学目标教学内容：图形的初步认识2考点：1、掌握直线和角的一些简单性质；掌握直线、射线、线段和角的表示方法。
、掌握直线和角的一些简单性质；掌握直线、射线、线段和角的表示方法。
2、会比较两条线段、两个角的大小；认识度、分、秒，并会进行简单的换算。
、会比较两条线段、两个角的大小；认识度、分、秒，并会进行简单的换算。
3、了解方位角、两点间的距离概念，掌握线段的中点、角的平分线、余角和补角的概念，知道余角和补角的性质。
补角的性质。
能力与方法：1.掌握立体图形与平面图形之间的相互转化；掌握立体图形与平面图形之间的相互转化；从现实情景中抽象概括图形的性质并用语言从现实情景中抽象概括图形的性质并用语言进行描述；几何语言的熟悉和运用是难点。
课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议:作业认真，知识点运用不够熟练。
作业认真，知识点运用不够熟练。
过程一．课前交流，了解学生上次课的复习情况一．课前交流，了解学生上次课的复习情况三．典型例题三．典型例题 ：（三）角1、定义1 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．射线是角的两条边．定义2 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2、角的分类、角的分类思考：平角是一条直线吗？周角是一条射线吗？为什么？：平角是一条直线吗？周角是一条射线吗？为什么？平角不是直线，因为平角是一条射线绕它的端点旋转扫过的区域；同理，周角也不是一条射线。
三、角的度量线段有长短，角有大小，那么怎样度量角的大小呢？线段有长短，角有大小，那么怎样度量角的大小呢？我们把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1º；再把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；′；∠β锐角锐角 直角直角 钝角钝角 平角平角 周角周角 范围范围 0＜∠β＜9090°°∠β=90=90°°9090°＜∠°＜∠β＜180180°°∠β=180=180°°∠β=360=360°°O A 顶点顶点边边B α1再把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1＂。
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个性化教学辅导教案
学科数学学生
姓名
尤欣怡年级九
任课
老师
李显辉
授课
时间
2013年1 月12日
教学目标教学内容：相似三角形1
考点：
1.了解线段的比和成比例线段的概念，知道两条线段的比与所采用的度量单位无关；
2.理解并掌握比例的基本性质，了解比例中项的概念；
3.了解黄金分割，能利用比例的基本性质解决一些简单的问题
能力与方法：比例性质及有关计算，黄金分割，比例性质的应用[单击此处输入知识重点，
课堂教学过程课前
检查
作业完成情况：优□良□中□差□
建议:作业认真，知识点运用不够熟练。
过程
一．课前交流，了解学生上次课的复习情况
三．典型例题：
::
a m
a b m n
b n
==
如果
a c
b d
=，那么这四条线段成比例线段，简称比例线段。
比例性质：
如果
a c
b d
=，那么ad bc
=。
如果
a b
b c
=时，2b ac
=。
b叫作a,c的比例中项。
1.已知点c在线段AB上，且AC:CB=2:3,求AB:AC的比值。
2.已知线段a=4cm,b=9cm,求a,b的比例中项。
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，AB=1,求,,
A B A B B C
A C
B
C A C
的值。
例1：如图，已知AB ＝m ，点C 在线段AB 上，并且A C B C A B
A C
=，求线段AC 的长。
如点把C 线段分成两条线段，使A C B C A B
A C
=
，那么点C 叫作线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的
比叫做黄金比。
例2：已知(0)a c k b d b d
==+≠，试说明
a c k
b d
+=+。
练习：已知
a c
b d =，说明
,
.a b c d a b c d b
d
b
d
++--=
=
四．巩固练习：
一、填空题（每小题4分，共40分） 1、若，则
＝________。
2、如果
，则
＝________。
3、已知：线段满足关系式，且，那么＝________。
4、已知：D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AE ＝6，AD ＝3，AB ＝5，则AC ＝________。
A
B
C
A
B
C
5、如图，平行四边形ABCD中，E是BC中点，F是BE中点，AE与DF交于H，则AF:HE ＝________。
6、如图，AB∥BE∥CF，BC＝3，，则AC＝________。
7、如图，DE是△ABC的中位线，且DE＋BC＝6，则BC长为________。
8、如图，△ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则＝________。
9、已知：，（均不为零），则＝________。
10、如图，△ABC中，X是AB上一点，且AX＝2XB，XY∥BC，XZ∥BY，则AZ:ZC＝________。
二、选择题（每小题4分，共16分）
1、若，则等于（）。
（A）3:4；（B）4:3；（C）3:2；（D）2:1。
2、如图，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AD＝，DB＝，EA＝8，EC ＝，要使DE∥BC，则的值应为（）。
（A）－8或－11；（B）8；（C）8或11；（D）11。
3、如图，在△ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF:FD＝1:5，连结CF 并延长交AB于E，则AE:EB等于（）。
（A）1:6；（B）1:8；（C）1:9；（D）1:10。
4、如图，，AF:FB＝2:5，BC:CD＝4:1，则AE:EC＝（）。
（A）5:2；（B）4:1；（C）2:1；（D）3:2。
三、（本题8分）
如图，BG:BE＝14:16，G为AF中点，求BF:FC的值。
四、（本题8分）
如图，△ABC中，BD是∠ABC平分线，ED∥BC，BC＝7，AE＝4，求ED长。
五、（本题8分）
如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，MNPQ是△ABC内接矩形，M、N 在BC上，Q、P分别在AB、AC上，MQ:MN＝4:5，求矩形MNPQ面积。
六、（本题10分）
如图，△ABC中，DE∥BC，FE∥DC，AF＝2，BF＝4，求线段DF长。
七、（本题10分）
如图，△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝3，E为BC上任意一点，EP⊥AB于P，过E作BA平行线交AC于F，设BP＝，四边形APEF面积为，（1）写出与的函数关系
式；（2）取何值，四边形APEF 面积为。
课堂小结：
课堂检测听课及知识掌握情况反馈
测试题（累计不超过20分钟）道成绩
教学需：加快□保持□放慢□增加内容□
课后
巩固
作业10 题巩固复习预习布置
签字年级组长：学管师：
老师课后赏识评价老师最欣赏的地方：老师想知道的事情：老师的建议：。