相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》知识点归纳
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质
（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．
注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a
d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a
d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩
，
交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=
≈0.618AB
．即AC BC AB AC ==
简记为：12长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形
②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形
（3）合、分比性质：
a c a
b
c
d b d b d
±±=⇔=．
注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--
=-⇒=d
c d
c b a b a c
c
d a a b d c b a 等等．
（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m
f e
d c
b a
，
那么b a
n f d b m
e c a =++++++++ ．
知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF
AB
BC
BC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中：
由DE ∥BC 可得：AC AE
AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD
===或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”
．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上
②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．
④全等三角形是相似比为1的相似三角形．
F
E
D
C B A E
B D
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS
4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS
5、判定定理4：直角三角形中，“HL ”
全等与相似的比较：
（3）射影定理：
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，
AD 是斜边BC 上的高，
则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，
∽ ＝＝＞
AB 2=BD ·BC ，
∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·
BC . 知识点5 相似三角形的性质
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
知识点6 相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）
B (3)B B C
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

（有“反A 共角型”、
“反A 共角共边型”、 “蝶型”）
(3)一线三等角的变形:
知识点7 等积式证明题常用方法归纳：
(1)总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
(2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.
即：找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

A B C D E 12A A B
B C C D D E E 12412
(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成
比例.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。

知识点8 相似多边形的性质
(1)相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．
(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．
(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．
知识点9 位似图形有关的概念与性质
（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.
（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
（3）位似图形的对应边互相平行或共线.
（4）位似图形具有相似图形的所有性质.
位似图形的性质：
①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
②在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）。