2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-8-第8讲-函数与方程
第8讲 函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数y ＝f (x )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点．
(2)三个等价关系：方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点．
2．函数零点的判定
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y ＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0)
的图象
与x 轴 的交点 (x 1，0)，(x 2，0)
(x 1，0) 无交点 零点个数
两个
一个 零个
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )
(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)在b 2
－4ac <0时没有零点．( )
(4)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ [教材衍化]
1．(必修1P92A 组T5改编)函数f (x )＝ln x －2
x
的零点所在的大致范围是( )
A ．(1，2)
B ．(2，3) 和(3，4)
D ．(4，＋∞)
解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－2
3＞0，得f (2)·f (3)
＜0.故选B.
2．(必修1P88例1改编)函数f (x )＝e x
＋3x 的零点个数是______．
解析：由已知得f ′(x )＝e x
＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)
＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．
答案：1 [易错纠偏]
(1)错用零点存在性定理； (2)误解函数零点的定义； (3)忽略限制条件；
(4)错用二次函数在R 上无零点的条件． 1．函数f (x )＝x ＋1
x
的零点个数是______．
解析：函数的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点．
答案：0
2．函数f (x )＝x 2
－3x 的零点是______． 解析：由f (x )＝0，得x 2
－3x ＝0， 即x ＝0和x ＝3. 答案：0和3
3．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是______．
解析：二次函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需
f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8 答案：(－8，1] 4．若二次函数f (x )＝x 2 ＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是______． 解析：由题意得Δ＝k 2－4k <0，解得0 函数零点所在区间的判断 设f (x )＝－1，g (x )＝ln x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )存在的零点一定位于下列 哪个区间( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，e) D ．(e ，3) 【解析】 h (x )＝f (x )－g (x )的零点等价于方程f (x )－g (x )＝0的根， 即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它们仅有一个交点A ，横坐标的范围为(0，1)，故选A. 【答案】 A 判断函数零点所在区间的3种方法 (1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上． (2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点． (3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 1．(2020·金华十校联考)函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) 解析：选A.因为f ? ????14＝π 4 ＋log 214<0， f ? ????12＝π2 ＋log 212 >0，所以f ? ????14·f ? ?? ??12 <0，故函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为 ???? ??14，12. 2．(2020·杭州市严州中学高三模拟)若a A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 解析：选A.因为f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )， 所以f (a )＝(a －b )(a －c )， f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )， 因为a 0，f (b )<0，f (c )>0， 所以f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内． 函数零点个数的问题 (1)函数f (x )＝? ????x 2 ＋x －2，x ≤0， －1＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 (2)已知函数f (x )满足f (x )＝f (3x )，且当x ∈[1，3)时，f (x )＝ln x ，若在区间[1，9)内，函数g (x )＝f (x )－ax 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) 3,3)，1 e )) 3,9)，1 3e )) 3,9)，1 2e )) 3,9)，ln 33 )) 【解析】 (1)法一：由f (x )＝0得? ????x ≤0， x 2＋x －2＝0 或??? ? ?x >0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点． 法二：函数f (x )的图象如图所示， 由图象知函数f (x )共有2个零点． (2)因为f (x )＝f (3x )?f (x )＝f ? ????x 3，当x ∈[3，9)时，f (x )＝f ? ???? x 3＝ln x 3，所以f (x )＝ ???? ?ln x ，1≤x <3，ln x 3 ，3≤x <9，而g (x )＝f (x )－ax 有三个不同零点?y ＝f (x )与y ＝ax 的图象有三个不同交点，如图所示，可得直线y ＝ax 应在图中两条虚线之间，所以可解得ln 39 .故选B. 【答案】 (1)B (2)B 判断函数零点个数的3种方法 (1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且 f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数有 多少个零点或零点值所具有的性质． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1 ＝|x －2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示． 由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. 2．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x >0时，f (x )＝???? ?2|x －1| －1，0 2 f （x －2），x >2，则函数 g (x )＝4f (x )－1的零点个数为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 解析：选D.由f (x )为偶函数可得，只需作出x ∈(0，＋∞)上的图象，再利用对称性作另一半图象即可．当x ∈(0，2]时，可以通过y ＝2x 的图象进行变换作出f (x )的图象，当x >2时，f (x )＝12f (x －2)，即自变量差2个单位，函数值折半，进而可作出f (x )在(2， 4]，(4，6]，…的图象，如图所示．g (x )的零点个数即f (x )＝1 4的根的个数，也即f (x )的图 象与y ＝1 4 的图象的交点个数，观察图象可知，当x >0时，有5个交点，根据对称性可得当 x <0时，也有5个交点，共计10个交点，故选D. 函数零点的应用(高频考点) 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现．主要命题角度有： (1)利用函数零点比较大小； (2)已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围； (3)利用函数零点的性质求参数的范围． 角度一 利用函数零点比较大小 (2020·台州模拟)已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ， 函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( ) A ．f (a ) B ．f (a ) C ．f (1) D ．f (b ) 【解析】 由题意，知f ′(x )＝e x ＋1>0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0 ＋0－2＝－1<0，f (1)＝e 1 ＋1－2＝e －1>0，所以函数f (x )的零点a ∈(0，1)； 由题意，知g ′(x )＝1 x ＋1>0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ ln 1＋1－2＝－1<0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2)． 综上，可得0 角度二 已知函数的零点(或方程的根)的情况 求参数的值或范围 (1)设函数f (x )＝log 2(2x ＋1)，g (x )＝log 2(2x －1)，若关于x 的函数F (x )＝g (x ) －f (x )－m 在[1，2]上有零点，则m 的取值范围为________． (2)(2018·高考浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝? ????x －4，x ≥λ， x 2－4x ＋3，x <λ，当 λ＝2时，不 等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 【解析】 (1)令F (x )＝0，即g (x )－f (x )－m ＝0. 所以m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1) ＝log 2 2x －12x ＋1＝log 2? ?? ??1－22x ＋1. 因为1≤x ≤2，所以3≤2x ＋1≤5. 所以25≤22x ＋1≤23，13≤1－22x ＋1≤35. 所以log 2 13≤log 2? ????1－22x ＋1≤log 2 35， 即log 2 13≤m ≤log 2 3 5 . 所以m 的取值范围是? ?????log 2 13，log 2 35. (2)若λ＝2，则当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2 －4x ＋3<0，得1 －4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4. 【答案】 (1)??????log 2 13，log 2 35 (2)(1，4) (1，3]∪(4，＋∞) 角度三 利用函数零点的性质求参数的范围 已知函数f (x )＝|ln x |，若0 D ．[3，＋∞) 【解析】 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，如果 f (a )＝f (b )，则0 |ln b |＝t (t >0)， 由00，从而?????ln a ＝－t ，ln b ＝t ，即? ????a ＝e －t ， b ＝e t ，所以a ＋2b ＝1e t ＋2e t ，而e t >1，又y ＝2x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数，所以2e t ＋1e t ∈(3，＋∞)．故 选C. 【答案】 C 已知函数的零点(或方程根)的情况求 参数问题常用的三种方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解． 1．(2019·高考浙江卷)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝???? ?x ，x <0，13 x 3－12（a ＋1）x 2 ＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( ) A ．a <－1，b <0 B ．a <－1，b >0 C ．a >－1，b <0 D ．a >－1，b >0 解析：选C.由题意可得，当x ≥0时，f (x )－ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2 －b ，令f (x )－ax －b ＝0，则b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2 ＝16x 2[2x －3(a ＋1)]．因为对任意的x ∈R ，f (x )－ax －b ＝0 有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x ≥0时，b ＝16x 2 [2x －3(a ＋1)]必须有2个 零点，所以3（a ＋1） 2 >0，解得a >－1.所以b <0.故选C. 2．已知函数f (x )＝? ??? ?log 2（x ＋1），x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数 m 的取值范围是________． 解析：函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为 y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图象，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又 抛物线顶点为(－1，1)，由图可知实数m 的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1) 3．(2020·杭州学军中学高三质检)若函数f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，且a ∈R )恰有两个不同的零点，则a 的取值范围为________． 解析：由f (x )＝0，得|2x －1|＝－ax ＋5. 作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象，观察可以知道，当－2 答案：(－2，2) [基础题组练] 1．(2020·浙江省名校联考)已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 33 －74 － － A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 解析：选B.依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知， f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1，6] 上的零点至少有3个． 2．(2020·温州十校联考(一))设函数f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 解析：选B.法一：因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，所以f (1)·f (2)<0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，所以函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)． 法二：函数f (x )的零点所在的区间为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数f (x )的零点所在的区间为(1，2)． 3．已知函数f (x )＝? ?? ??12x －cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C.作出g (x )＝? ?? ??12x 与h (x )＝cos x 的图象如图所示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C. 4．已知函数f (x )＝? ????1e x －tan x ? ????－π2 是函数y ＝f (x )的零点， 且0 A ．大于1 B ．大于0 C ．小于0 D ．不大于0 解析：选＝? ????1e x 是减函数，y 2＝－tan x 在? ????－π2，π2上也是减函数， 可知f (x )＝? ????1e x －tan x 在? ?? ??－π2，π2上单调递减． 因为0 5．(2020·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2 ＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) C ．－7 8 D ．－38 解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2 ＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2 ＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2 ＋1)＋f (λ－x )＝0?f (2x 2 ＋1)＝－f (λ－x )?f (2x 2 ＋1)＝f (x －λ)?2x 2 ＋1＝x － λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0， 解得 λ＝－7 8 .故选C. 6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝|x |x ＋2 －kx 2 (k ∈R )有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．k <0 B ．k <1 C ．0 D ．k >1 解析：选D.分别画出y ＝ |x |x ＋2 与y ＝kx 2 的图象如图所示， 当k <0时，y ＝kx 2 的开口向下，此时与y ＝|x | x ＋2 只有一个交点，显然不符合题意； 当k ＝0时，此时与y ＝|x | x ＋2 只有一个交点，显然不符合题意， 当k >0，x ≥0时， 令f (x )＝ |x |x ＋2 －kx 2 ＝0， 即kx 3＋2kx 2 －x ＝0， 即x (kx 2 ＋2kx －1)＝0， 即x ＝0或kx 2 ＋2kx －1＝0， 因为Δ＝4k 2 ＋4k >0，且－1k <0，所以方程有一正根，一负根，所以当x >0时，方程有唯 一解．即当x ≥0时，方程有两个解． 当k >0，x <0时，f (x )＝ |x |x ＋2 －kx 2 ＝0， 即kx 3 ＋2kx 2 ＋x ＝0，kx 2 ＋2kx ＋1＝0， 此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k 2 －4k >0，解得k >1， 综上所述k >1. 7．(2020·金丽衢十二校高三联考)设函数f (x )＝?????tan[π2（x －1）]，0 ，则f (f (e))＝________，函数y ＝f (x )－1的零点为________． 解析：因为f (x )＝?????tan[π2（x －1）]，0 ln x ，x >1， 所以f (e)＝ln e ＝1， f (f (e))＝f (1)＝tan 0＝0， 若0 2(x －1)]＝1， 方程无解； 若x >1，f (x )＝1?ln x ＝1?x ＝e. 答案：0 e 8．已知函数f (x )＝ 2 3x ＋1 ＋a 的零点为1，则实数a 的值为________． 解析：由已知得f (1)＝0，即231 ＋1＋a ＝0，解得a ＝－12 . 答案：－1 2 9．已知函数f (x )＝? ????2x ，x ≤0， |log 2x |，x >0，则函数 g (x )＝f (x )－1 2 的零点所构成的集合为 ________． 解析：令g (x )＝0，得f (x )＝12，所以?????x ≤0，2x ＝12或? ????x >0，|log 2x |＝12，解得x ＝－1或x ＝2 2或 x ＝2，故函数g (x )＝f (x )－12的零点所构成的集合为?????? ????－1，22，2. 答案：?????? ????－1，2 2，2 10．(2020·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝|x 3 －4x |＋ax －2恰有2个零点，则实数a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )＝|x 3 －4x |＋ax －2恰有2个零点即函数y ＝|x 3 －4x |与y ＝2－ax 的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝|x 3 －4x |的图象如图，当直线y ＝2－ax 与曲线y ＝－x 3 ＋4x ，x ∈[0，2]相切时，设切点坐标为(x 0，－x 3 0＋4x 0)，则切线方程为y －(－x 3 0＋4x 0)＝(－3x 2 0＋4)(x －x 0)，且经过点(0，2)，代入解得x 0＝1， 此时a ＝－1，由函数图象的对称性可得实数a 的取值范围为a <－1或a >1. 答案：a <－1或a >1 11．设函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点； (2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2 －2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. 所以函数f (x )的零点为3和－1. (2)依题意，f (x )＝ax 2 ＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，所以b 2 －4a (b －1)>0恒成立，即对于任意b ∈R ，b 2 －4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2 －4×(4a )<0?a 2 －a <0，解得0 [综合题组练] 1．(2020·杭州市富阳二中高三质检)已知函数f (x )＝? ????e x －2（x ≤0） ln x （x >0），则下列关于函 数y ＝f [f (kx )＋1]＋1(k ≠0)的零点个数的判断正确的是( ) A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有4个零点 B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有3个零点 C ．无论k 为何值，均有3个零点 D ．无论k 为何值，均有4个零点 解析：选C.令f [f (kx )＋1]＋1＝0得， ? ????f （kx ）＋1≤0，e f （kx ）＋1－2＋1＝0或?????f （kx ）＋1>0 ln[f （kx ）＋1]＋1＝0， 解得f (kx )＋1＝0或f (kx )＋1＝1e ； 由f (kx )＋1＝0得， ? ????kx ≤0，e kx －2＋1＝0或?????kx >0ln （kx ）＝－1； 即x ＝0或kx ＝1e ； 由f (kx )＋1＝1 e 得， ? ????kx ≤0，e kx －2＋1＝1e 或?????kx >0ln （kx ）＋1＝1e ； 即e kx ＝1＋1e (无解)或kx ＝e 1e －1； 综上所述，x ＝0或kx ＝1e 或kx ＝e 1 e －1； 故无论k 为何值，均有3个解，故选C. 2．(2020·宁波市高三教学评估)设函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R 且a >0)，则 “f ? ?? ??f ? ????－b 2a <0”是“f (x )与f (f (x ))都恰有两个零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C.由已知a >0，函数f (x )开口向上，f (x )有两个零点，最小值必然小于0，当取得最小值时，x ＝－b 2a ，即f ? ? ??? －b 2a <0，令f (x )＝－b 2a ，则f (f (x ))＝f ? ? ??? －b 2a ，因为f ? ? ?? ? －b 2a <0，所以f (f (x ))<0，所以f (f (x ))必有两个零点．同理f ? ???? f ? ????b 2a <0?f ? ? ??? －b 2a <0?x ＝－b 2a ， 因为x ＝－b 2a 是对称轴，a >0，开口向上，f ? ? ? ?? －b 2a <0，必有两个零点所以C 选项正确． 3．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于x 的不等式x 2 ＋|x －a |<2至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式为2－x 2 >|x －a |，则0<2－x 2 . 在同一坐标系画出y ＝2－x 2 (y ≥0，x ≥0)和y ＝|x |两个函数图象，将绝对值函数y ＝|x |向左移动，当右支经过(0，2)点时，a ＝－2；将绝对值函数y ＝|x |向右移动让左支与抛物线y ＝2－ x 2(y ≥0，x ≥0)相切时， 由? ????y －0＝－（x －a ）y ＝2－x 2 ，可得x 2 －x ＋a －2＝0， 再由Δ＝0解得a ＝94 . 数形结合可得，实数a 的取值范围是? ????－2，94. 答案：? ????－2，94 4．已知函数f (x )＝? ????12x ，g (x )＝log 12 x ，记函数h (x )＝?????g （x ），f （x ）≤g （x ），f （x ），f （x ）>g （x ），则 函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 解析：由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为 x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 2 2 ＝5 － x 1＋x 2 2 ，所以x 1＋x 2＝5. 答案：5 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.) 3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 教材分析 本节课是数学新人教版九级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面： 1.理解并掌握二次函数的概念； 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式，培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面：通过学生的主动参与，师生、学生之间的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级（上）第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面，它是在正比例函数，一次函数，对函数认识的完善与提高；也是对方程的理解的补充，同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情，给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例，进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点是从实例中抽象出二次函数的定义，会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程： 一、提出问题，导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？图象形状各是什么？ 2、教师提出问题：投篮球时篮球运行的路线是什么曲线？这种曲线的形状是怎样的？是否象以前学过的函数图象？能否用新的函数关系式来表示？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗？ 二、合作交流，形成概念。1．列式表示下面函数关系。 问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形 的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。 问题2：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注： （1）学生参与小组合作讨论后，能否明白题意，写出相应关系式。 （2）问题3中可先分析一年后的产量，再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察，分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论，它们的共同点： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数，且a≠0 （2）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。（3）x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b，c是常数，a≠0）的函数，叫二次函数。 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
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