高代典型习题
24高代每日一题
24高代每日一题高等代数是一门重要的数学学科，也是大多数科学和工程学科的基础。
它研究代数结构，如群、环和域，并研究线性方程组、线性映射等基本概念和性质。
高等代数每日一题有助于巩固和提高对高等代数知识的理解和运用能力。
下面是一些常见的高等代数每日一题和相关参考内容：1. 矩阵求逆：题目：计算下面给出的矩阵的逆矩阵：A = [1 2; 3 4]参考内容：矩阵求逆的方法包括伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法等。
对于上述题目，可以使用伴随矩阵法计算逆矩阵。
根据伴随矩阵法，逆矩阵的计算公式是：A^(-1) =(1/|A|)·adj(A)，其中|A|表示矩阵A的行列式，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵。
通过计算矩阵A的行列式和伴随矩阵，可以得到矩阵A的逆矩阵。
2. 向量空间的基：题目：判断下列向量组是否是向量空间的基：v1 = [1 2 3], v2 = [4 5 6], v3 = [7 8 9]参考内容：向量空间的基是指能够生成向量空间中的所有向量的一组线性无关的向量。
要判断一个向量组是否为向量空间的基，可以使用线性相关性的定义。
如果向量组中的向量线性无关且能够生成向量空间中的所有向量，则它是向量空间的基。
可以使用高斯消元法或矩阵求秩的方法来判断向量组的线性相关性。
3. 特征值和特征向量：题目：计算下面给出的矩阵的特征值和特征向量：A = [1 2; 3 4]参考内容：特征值和特征向量是线性代数中重要的概念。
矩阵A的特征值是指满足方程|A - λI| = 0的λ值，其中I是单位矩阵。
特征向量是指满足方程(A - λI)X = 0的非零向量X。
通过计算矩阵A减去λ乘以单位矩阵I的行列式，可以得到特征值。
然后，通过求解(A - λI)X = 0的解空间，可以得到特征向量。
4. 矩阵的相似性：题目：判断下面给出的两个矩阵是否相似：A = [1 2; 3 4],B = [5 6; 7 8]参考内容：两个矩阵相似是指存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP = B。
(完整版)高等代数习题集
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高代复习习题(1)
高代复习习题填空题每小题三分，共27分，选择题每小题三分，共18分，解答题共四题，共55分。
了解线性变换在不同基下的关系，会求矩阵的若尔当标准形，理解正交矩阵的性质，掌握欧式空间中向量的长度和夹角的性质，会求矩阵的秩，掌握实对称矩阵的基本性质，掌握求欧式空间基的度量矩阵，能够求线性变换在基下的矩阵，掌握线性空间的定义和一些基本的线性空间，掌握欧式空间中正交变换的性质，会求线性空间的维数和一组基，对于实对称矩阵会求正交矩阵使得该实对称矩阵正交相似于对角阵，掌握矩阵的特征值与矩阵的行列式和迹的关系，会求矩阵的最小多项式，理解矩阵可对角化的条件，掌握矩阵特征值和特征向量的性质，掌握对称变换的性质，会证明空间的子空间的和是直和， 掌握双性性函数的性质一．填空题1、设线性变换φ在基321,α,αα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a ，则φ在基123,α,k αα(k 是非零 数)下的矩阵为_____________2、欧式空间中对称线性变换在标准正交基下的矩阵是_______________3、若A 是n 级正交矩阵，n α,,,ααΛ21是A 的n 个列向量，那么n α,,,ααΛ21是欧式空间n R 的__________.4、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101001b c a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201001y z x B ，则B ,A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 __________________5、设A 是一个正交对称矩阵，则A 必相似于对角矩阵______________6、设()()()z ,,,α,y ,x ,α,,α101111321===是3级实对称矩阵矩阵A 的属于3个不同特征值的特征向量，那么z ,y ,x 的值分别为____________7、设向量α,β,γ两两正交，那么2γβα++=___________________8、设1-,2,3是三级矩阵A 的特征值，则=+-*A A 1____________ 9、在欧式空间3R 中，基()()()110121111321,,,α,,,α,,α=-==的度量矩阵为_______10、设4阶矩阵A 的特征多项式为()()321-+λλ，则矩阵A 可能相似的若当标准形有__________________11、设B ,A 分别是欧式空间V 中两组基的度量矩阵，那么A 与B __________12、A λE -与B λE -等价的充要条件是A 与B _____________13、设21,λλ是矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12a b A 的两个特征值，则2221λλ+=______________.14、设三级矩阵A 的特征多项式()53223-+-=-=λλλA λE λf ，则=A ________15、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=53342111a A 的特征值是26321===λ,λλ,若A 相似于对角矩阵，则=a ____16、矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100020000010021A 的最小多项式为____________ 17、在[]n x P 中，线性变换()()()x f x f '=φ，()[]n x P x f ∈∀，在基121-n x ,,x ,x ,Λ下的矩阵为____________________18、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R c ,b ,a b c c a V 是实数域R 上全体2阶对称矩阵关于矩阵的加法和数乘构成的线性空间，令(),A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕ10111101V A ∈∀，那么ϕ关于基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001100001,,的矩阵是_______________二． 1、若矩阵B ,A 相似，则下列说法不正确的是（ ）①它们有相同的特征值 ②它们有相同的特征向量 ③它们有相同的最小多项式 ④它们相同的秩2、设A 是正交矩阵，下列说法不正确的是（ ）①1-='A A ②1±=A ③*A 也是正交矩阵 ④A 的特征值为1±3、若矩阵A 与B 相似，则下列说法不正确的是（ ）①2A 与2B 相似 ②对任意数a ，A aE +与B aE +相似③A 与B 同时相似于对角形 ④A 与B 有相同的若当标准形4、设R 是实数域，下列集合不构成实数域上线性空间n R 的子空间是（ ）①(){}0121=∈=a R a ,,a ,a V n n Λ ②()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∈=∑=n j j n n a R a ,,a ,a V 1210Λ ③()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∈=∑=n j j n n ja R a ,,a ,a V 1210Λ④()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=∈=∑=n j j n n a R a ,,a ,a V 1211Λ 5、设B ,A 是线性变换ϕ在两组基下的矩阵，那么下列最恰当的说法是（ ）①A 与B 相似 ②A 与B 合同③A 与B 有相同的特征值 ④A 与B 有相同的行列式6、设B ,A 都是n 级正交矩阵，且0=+B A ，那么行列式AB E +的值（ ）①等于零 ②不等于零 ③大于零 ④小于零7、如果A 是n 级实反对称矩阵，那么对任意n 维实向量x ，内积()Ax ,x①等于零 ②不等于零 ③大于零或等于零 ④小于零或等于零8、如果A 是n 级实反对称矩阵，那么A 的特征值为 （ ） ①实数 ②1± ③零 ④零或纯虚数9、下列说法不正确的有（）1）正交变换的逆变换是正交变换； 2）正交变换的乘积是正交变换；3）正交变换保持向量的夹角不变； 4）正交变换保持向量的内积不变；5）正交变换保持向量的长度不变； 6）正交变换保持向量的距离不变.① 3个②2个③1个④0个10、如果A是n级实对称矩阵，那么下列说法不正确的是（）①A的特征值为实数②A的特征值大于零③A的属于不同特征值的特征向量必正交④A的属于不同特征值的特征向量必线性无关11、设A是n级复矩阵，下列说法中，（）不是矩阵A相似于对角形的充要条件①A有n个线性无关的特征向量②A的初等因子全是一次的③A有n个不同的特征值④A的不变因子都没有重根12、设ϕ是欧式空间中的对称线性变换，那么下列说法不正确的是（）①ϕ的特征值为实数②ϕ在任意基下的矩阵是实对称矩阵③ϕ的不变子空间的正交补也是它的不变子空间④ϕ的属于不同特征值的特征向量必正交13、设21,λλ是实对称矩阵A 的两个不同的特征值，而ξ是A 的属于1λ的特征向量，α,β是A 的属于2λ的特征向量，那么（ ）①α,β,ξ必线性无关 ②α,β,ξ必两两正交③()()0==β,ξα,β ④ ()()0==β,ξα,ξ14、设2是三级实对称矩阵A 的三重特征值，那么A 必与下列矩阵（ ）相似①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210021002 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210020002 ③⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200021002 ④ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200020002 15、设α,β是相互垂直的实向量，则下列式子不成立的是（ ） ①222βαβα+=+ ②222βαβα+=- ③βαβα-=+ ④ βαβα->+三．习题15、在线性空间3P 中，定义线性变换()()232132132x ,x x ,x x ,x ,x ---=σ，求一组基使得线性变换σ在此基下的矩阵为对角形。
高等代数 习题及参考答案
解易知 有三重根 时， 。若令
，比较两端系数，得
由（1），（3）得 ，解得 的三个根为 ，将 的三个根分别代入（1），得 。再将它们代入（2），得 的三个根 。
当 时 有3重根 ；当 时， 有2重根 。
18．求多项式 有重根的条件。
解令 ，则 ，显然当 时，只有当 才有三重根。
3） 。
解利用剩余除法试根，可得
1）有一个有理根2。
2）有两个有理根 （即有2重有理根 ）。
3）有五个有理根 （即一个单有理根3和一个4重有理根 ）。
28．下列多项式在有理数域上是否可约？
1） ；
2） ；
3） ；
4） 为奇素数；
5） 为整数。
解1）因为 都不是它的根，所以 在有理数域里不可约。
2）利用艾森斯坦判别法，取 ，则此多项式在有理数域上不可约。
指数组
对应 的方幂乘积
4 2 0
4 1 1
3 3 0
3 2 1
2 2 2
原式= (1)
只要令 ,则原式左边 。另一方面，有 ，
代入（1）式，得 。再令 ，得 。
令 ，得
（2）
令 得
（3）
由（2），（3）解得 。因此
原式 。
4）原式=
指数组
对应 的方幂乘积
2 2 0 0
2 1 1 0
1 1 1 1
设原式
高等代数
第一章多项式
1．用 除 ，求商 与余式 ：
1） ；
2） 。
解1）由带余除法，可得 ；
2）同理可得 。
2． 适合什么条件时，有
1） ，
2） 。
解1）由假设，所得余式为0，即 ，
高代考研试题及答案
高代考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C2. 若向量α=(1,2,3)和向量β=(2,3,4)，则向量α和向量β的点积为：A. 20B. 21C. 22D. 23答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)：A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^2+3答案：A4. 若矩阵B为3阶方阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵C为2阶方阵，其特征值为1和2，则矩阵C的特征多项式为________。
答案：λ^2 - (1+2)λ + 1*2 = λ^2 - 3λ + 22. 设向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则向量a和向量b的叉积为________。
答案：(0,0)3. 设函数g(x)=x^2+2x+1，则g''(x)=________。
答案：24. 设线性方程组Ax=b，其中A为3阶方阵，且A的秩为3，b为3维列向量，则该方程组的解集为________。
答案：非空集合三、解答题（每题10分，共60分）1. 求矩阵D=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]的逆矩阵。
答案：矩阵D的逆矩阵为\[\begin{matrix}2 & -1 \\ -3 &2\end{matrix}\]。
2. 设向量c=(3,-1)和向量d=(2,4)，求向量c和向量d的夹角。
答案：向量c和向量d的夹角为cos^-1((3*2 + (-1)*4) / (sqrt(9+1) * sqrt(4+16))) = cos^-1(0.6)。
3. 设函数h(x)=x^3+3x^2-3x+1，求h'(x)和h''(x)。
高等代数练习题
⾼等代数练习题1．最⼩的数环是，最⼩的数域是。
2．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ?=?=，则(()())f x g x ??=3.求⽤22x x -+除4()25f x x x =-+的商式为，余式为。
4．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式是。
5、如果()(()())f x g x h x +，且)()(x h x f ，则____________ 6. ()()()d x f x d x 若是g(x)的最⼤公因式，则满⾜⽽(f(x),g(x))是指__________________.7、设1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f ，则=))(),((x g x f ____________。
8、设[](),()P x f x g x 中两个多项式互素的充要条件是。
9、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则它是()f x ' 。
10、()f x 没有重因式的充要条件为。
11、()42243f x x x x =+--有⽆重因式。
12、()4323f x x x x =-+-可能的有理根是_________________，全部有理根为。
13、由艾森斯坦判别法，110()n n n n f x a x a x a --=+++ 是⼀个整系数多项式，当满⾜_______________________________________________________________________________()f x 在有理数域上是不可约的. 2n x +在有理数域上是否可约_________________.14、在n 阶⾏列式中，1122n n i j i j i j a a a 这⼀项前的符号为__________________. 15. =---381141102_________________。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
高等代数例题(全部)
高等代数例题第一章 多项式1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++2．45P 7 设32()(1)22f x x t x x u =++++，3()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、u 的值。
3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3x px q ++有重根的条件。
5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1nx -在复数域内和实数域内的因式分解。
8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。
求证：11((),())((),())f x g x f x g x =。
10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。
我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最小公倍式。
证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()()[(),()]((),())f xg x f x g x f x g x =。
11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2mn f x xx =+-所得余式为 。
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例 设矩阵
1 −1 1 x 4 y A= −3 3 5
已知其有3个线性无关的特征向量， 已知其有3个线性无关的特征向量，λ = 2 是 －1 重特征值， 的2重特征值，求可逆矩阵 P 使得 P AP 为对角矩阵。 为对角矩阵。
例 已知线性方程组
x1 + 2 x2 + x3 = 3 2 x1 + (a + 4) x2 − 5 x3 = 6 − x − 2 x + ax = −3 1 2 3
−1 *
例 设矩阵
3 2 2 0 1 0 2 3 2 , P = 1 0 1 , B = P −1 A* P A= 2 2 3 0 0 1
特征值和特征向量。 求 B + 2 I 特征值和特征向量。
例 设
xn = xn −1 + 2 yn −1 , yn = 4 xn −1 + 3 yn −1
满足什么条件时， 可对角化？ 问 a, b, c 满足什么条件时， A 可对角化？ 解：
| λ I − A |= (λ − a ) 2 (λ − c)
是否可以对角化？如果可以， 问， A是否可以对角化？如果可以，试求可逆矩阵 P－1 AP 为对角矩阵。 为对角矩阵。 P 使得 例 若 n 阶矩阵 也可以对角化。 也可以对角化。 可以对角化， A 可以对角化，试说明 A 和A
例 已知矩阵 A的特征值为1，2，3。求 A 的特征值为1 的特征值。 的特征值。 解 设 λ 是矩阵 的特征向量， 的特征向量，则 的特征值， A 的特征值， α
2
− 2I
是与之相对应
Aα = λα
⇒
A( Aα ) = A(λα )
2 2
⇒ Aα =λ α ⇒ A2α − 2α = λ 2α − 2α ⇒ ( A − 2 I )α = (λ − 2)α
取何值时， 可对角化？ （1）问 a 取何值时， A 可对角化？ （2）当 A 可对角化时，求可逆矩阵 P使得 PAP −1 可对角化时， 为对角矩阵。 为对角矩阵。
已知1,1,-1是3阶实对称矩阵 A 例 已知 是 阶实对称矩阵 的特征 值，向量
η1 = [1,1,1] ,η2 = [2, 2,1]
f (λ ), α f ( A) →
例 试说明幂等矩阵 ( A = 它的特征值为0或者1 它的特征值为0或者1。 必有特征值， A ) 必有特征值，而且
2
例
求下面矩阵的特征值与特征向量
0 0 3 2 − i 2i 0 1 0 −1 , B = 1 A= 0 0 0 1 3 0 1 0
T
T
分别为对应于特征值 λ1 = λ2 = 的特征向 1 量，求矩阵 A
已知3,0,-6是3阶实对称矩阵 A 例 已知 是 阶实对称矩阵 的特征 值，向量
η1 = [1, a,1] ,η2 = [a, a + 1,1]
T
T
分别为对应于特征值 λ1 = 3, λ2 = −6 的特征 向量， 向量，求矩阵 A
例
设
As×n , Bn×s ，证明： 证明：
有相同的非零特征值， （1） AB与BA 有相同的非零特征值，并且重数 ） 相同； 相同； （2）如果 α 是 AB 的属于非零特征值 λ 的一个特 ） 征向量， 征向量，那么 Bα 是 BA 的属于特征值 λ 的一个 特征向量。 特征向量。
例
已知
a 0 0 A = 0 a b 0 0 c
例
已知 ξ = [1,1, −1] 是矩阵
T
2 −1 2 5 a 3 A= −1 b −2 的一个特征向量
（1）确定参数 a, b以及特征值λ ） 是否可以对角化， （2）矩阵 A 是否可以对角化，说明理由 ）
2 2
注意到 α ≠ 0，因此 应的特征向量也是 这样， 这样，
2
λ −是 2
2
α
Hale Waihona Puke 的特征值， 的特征值，对 A2 − 2 I
A − 2 I 的特征值为－1，2，7。 的特征值为－
问题：如何将此结论扩展到矩阵多项式上面？ 问题：如何将此结论扩展到矩阵多项式上面？ 矩阵多项式上面
λ , α A →
例 求下列矩阵的广义逆矩阵
1 1 2 −1 A= 1 −2 4 1
解 构造分块矩阵
1 2 4 0 0 3 −1 6 2 6 2 1
A B= I5
I4 0
的前4行作初等行变换 行作初等行变换、 列作初等列变换， 对 B 的前 行作初等行变换、前5列作初等列变换， 列作初等列变换 A B 被化为相抵标准形， 直到 被化为相抵标准形，则 被化为
求 x100
x0 = 2, y0 = 1
2
xn 1 2 xn −1 1 2 xn − 2 y = 4 3 y = 4 3 y n −1 n−2 n 1 2 x0 LL = y 4 3 0
有无穷多解，矩阵 A 的特征值为1,-1,0，与 的特征值为1, 1,0， 1,有无穷多解， 其相应的特征向量依次是
α1 = [1, 2a, −1] , α 2 = [a − 2, −1, a + 1] ,
T T
α 3 = [a, a + 3, a + 2]
求 A, A
100
T
例
已知矩阵
1 2 0 A = 2 1 0 −2 a 3