高等代数习题
高等代数习题
多项式习题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ B ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．整系数多项式()f x 在Z 上不可约是()f x 在Q 上不可约的( C ) 条件。
A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要3．下列对于多项式的结论不正确的是（ A ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f4．最小的数域是 有理数域 。
5．设(),()[]f x g x F x ∈，若,))((,0))((m x g x f =∂=∂，则=⋅∂))()((x g x f m 。
6.求用2x -除43()25f x x x x =+-+的商式为 x 3+4x 2+8x +15 ，余式为 35 。
7．用()34g x x =+除()f x 所得的余式是函数值)34(-f 。
8. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为()g x 。
9.设)(x f 为3次实系数多项式，则 ( B )A. )(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C. )(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.10. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 。
11．多项式32()22f x x x x =+--的有理根是 -1 。
12. 设()p x 是多项式()f x 的一个(1)k k ≥重因式，那么()p x 是()f x 的导数的一个k -1重因式。
(完整版)高等代数习题集
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数试题及参考答案
高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。
错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中，线性无关的是（ ）. A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=. D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）. A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ）三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= . 四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）311110100(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。
高等代数学习题集
高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。
高等代数 习题及参考答案
高等代数习题及参考答案第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：322f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 1）2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。
q(x)?17262x?,r(x)??x?3999；解 1）由带余除法，可得2q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。
2）同理可得2．m,p,q适合什么条件时，有23x?mx?1|x?px?q， 1）242x?mx?1|x?px?q。
2）2(p?1?m)x?(q?m)?0，解 1）由假设，所得余式为0，即?p?1?m2?0?23q?m?0x?mx?1|x?px?q。
?所以当时有?m(2?p?m2)?0?2q?1?p?m?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。
?m?0?q?1??2242p?q?1p?m?2x?mx?1|x?px?q。
??综上所诉，当或时，皆有3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：53f(x)?2x?5x?8x,g(x)?x?3； 1）2）f(x)?x?x?x,g(x)?x?1?2i。
32q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109解 1）r(x)??327；q(x)?x2?2ix?(5?2i)2）r(x)??9?8i。
x?x0的方幂和，即表成4．把f(x)表示成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：5f(x)?x,x0?1； 1）42f(x)?x?2x?3,x0??2； 2）432f(x)?x?2ix?(1?i)x?3x?7?i,x0??i。
3）2345f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)；432x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i) 3）由综合除法，可得42234?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。
高等代数练习题
高等代数练习题一、选择题1、每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ）A 、一次因式的乘积B 、一次与二次因式的乘积C 、只能是二次因式的乘积D 、以上结论均不对 2、多项式2128234++-x x x 在有理数域上（ ）A 、可约B 、不可约C 、不一定可约D 、不能确定 3、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）A 、系数行列式不为0B 、系数行列式为0C 、系数矩阵可逆D 、系数矩阵不可逆 4、若存在u （x ），v （x ）使u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ）=1，则（ ） A 、f （x ）｜g （x ） B 、g （x ）｜f （x ） C 、f （x ）g （x ）=1 D 、以上均错 5、下列说法正确的是（ ）A 、设A 、B 是两个n 级矩阵，则秩（A+B ）≤秩A+秩BB 、设21V V 、是两向量空间，则dim （21V V +）=dimV 1+dimV 2C 、以上均对D 、以上均错 6、模m 的完全剩余系有（ ）A 、唯一一个B 、无穷多个C 、有有限个D 、不一定有 7、设p 是素数，a 是整数，且(p,a)=1，则（ ）A 、)(mod p a a p ≡B 、)(mod 0p a p ≡C 、)(mod 01p a p ≡-D 、以上均错 8、多项式f(x)除以x-a 所得的余数为（ ）A 、f(0)B 、f(x-a)C 、f(a)D 、以上均错9、在xy 平面上，顶点的坐标(x,y)满足41,41≤≤≤≤y x ，且x,y 是整数的三角形个数有（ ） A 、560 B 、32 C 、516 D 、44 10、零多项式的次数是（ ）A 、0次B 、1次C 、2次D 、不定义次数二、填空题1、方程032234=-+-x x x 的有理根为___________________。
2、排列657893的逆序数是_____________________。
高等代数练习题
⾼等代数练习题1．最⼩的数环是，最⼩的数域是。
2．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ?=?=，则(()())f x g x ??=3.求⽤22x x -+除4()25f x x x =-+的商式为，余式为。
4．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式是。
5、如果()(()())f x g x h x +，且)()(x h x f ，则____________ 6. ()()()d x f x d x 若是g(x)的最⼤公因式，则满⾜⽽(f(x),g(x))是指__________________.7、设1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f ，则=))(),((x g x f ____________。
8、设[](),()P x f x g x 中两个多项式互素的充要条件是。
9、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则它是()f x ' 。
10、()f x 没有重因式的充要条件为。
11、()42243f x x x x =+--有⽆重因式。
12、()4323f x x x x =-+-可能的有理根是_________________，全部有理根为。
13、由艾森斯坦判别法，110()n n n n f x a x a x a --=+++ 是⼀个整系数多项式，当满⾜_______________________________________________________________________________()f x 在有理数域上是不可约的. 2n x +在有理数域上是否可约_________________.14、在n 阶⾏列式中，1122n n i j i j i j a a a 这⼀项前的符号为__________________. 15. =---381141102_________________。
高等代数复习题
高等代数复习题一、选择题1. 设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC= 。
(A) ACB ； (B) BCA ； (C) CBA ； （D ）CAB2．设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，则必有（ ）A ． A +B 可逆 B ．AB 可逆C ．A-B 可逆D ．AB+ BA 可逆 3. 设A , B 为n 阶可逆阵，则必有(A) A+B 可逆； (B) A 经初等变换可变为B ； (C) A |=|B |； (D) 存在可逆阵P ，使得B AP P =-1 4．设,,A B C 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）（A ）若20A =，则A =0； （B ）若,0AB AC A =≠，则B=C ； （C ）()kk k AB A B =； （D ）若20A A E --=，则A 可逆。
5．设A,B,C,D 都是n 阶矩阵，如果A 与B 相似，C 与D 相似，则 (A) AC 与BD 相似； (B) AC 与DB 相似 ； (C) A m 与B m 相似 ； (D) A +C 与B+D 相似6．设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值s 21λλλ,,,Λ，而秩s ,,,i ,r n )A E (i i Λ21=-=-λ,如果A 与对角阵相似，则（A ） n r si i =∑=1；（B ）n r si i ≠∑=1；（C ）n r si i ≤∑=1；（D ）n r si i ≥∑=1；7．设A 是m n ⨯矩阵，C 与n 阶单位阵等价，B=AC ，1,rankA r rankB r ==，则 (A) 1r r =； (B) 1r r <； (C) 1r r >； (D) 1r r 与的关系不能确定8．已知3阶矩阵A 的特征值为0，±1，则下列命题不正确的是（ ） （A ）A 不可逆 ； (B) A 的主对角元素之和为0 ； (C) 1和-1所对应的特征向量正交 ；(D) 0=Ax 的基础解系仅有一个解向量。
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高等代数习题第一章基本概念§集合1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集2、设a是集A的一个元素。
记号{a}表示什么 {a} A是否正确3、设写出和 .4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集．5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正．(i)(ii)(iii)(iv)7．证明下列等式：(i)(ii)(iii)§映射1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射．3、是不是全体实数集到自身的映射4．设f定义如下：f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射6、设a ,b是任意两个实数且a<b.试找出一个[0,1]到[a ,b]的双射.7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与g f一般不相等。
8、设A是全体正实数所成的集合。
令(i)g是不是A到A的双射(ii)g是不是f的逆映射(iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么9、设是映射，又令，证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii)如果是满射，那么也是满射；(iii)如果都是双射，那么也是双射，并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则123全体整数全体整数全体有理数baba+→|),(4 全体实数§数学归纳法1、证明:2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数.3、证明二项式定理:是个元素中取个的组合数.这里，4、证明第二数学归纳法原理.5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。
§整数的一些整除性质1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数:; ;; .2、设是整数且不全为0,而 , , .证明,的一个最大公因数必要且只要 .3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果且 ,则 .证明: 任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;令是与的最小公倍数而 ,则 .4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果,则或 .证明,是一个素数(定理1.4.5的逆命题).5、设是两两不相同的素数,而 .证明 ;利用证明,素数有无限多个．§数环和数域1．证明,如果一个数环那么含有无限多个数．2．证明,是数域．3．证明,是一个数环,是不是数域4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环5．设是一整数,令由例1,是一个数环.设 ,记．证明: 是一个数环．．,这里是与的最大公因数．．第二章多项式§一元多项式的定义和运算1．设和是实数域上的多项式．证明：若是(6) ，那么2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和3．证明：§多项式的整除性1．求被除所得的商式和余式：( i )(ii)2．证明：必要且只要3．令都是数域F上的多项式，其中且证明：4．实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式5．设F是一个数域，证明：整除6．考虑有理数域上多项式这里和都是非负整数．证明：7．证明：整除必要且只要整除§多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i )(ii)2. 设证明：若且和不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式．3. 令与是的多项式，而是中的数，并且证明：4．证明：（i）是和的最大公因式；（ii）此处等都是的多项式。
5．设都是有理数域Q 上的多项式。
求使得6．设令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有7．设证明：8．证明：对于任意正整数都有9．证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。
10．决定，使与的最大公因式是一次的。
11．证明：如果那么对于任意正整数，12．设是数域F上的多项式。
与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式：且；如果∈F[x]且，那么证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。
设都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。
证明13．设并且证明：14．设证明：互素的充要条件是存在多项式使得15．设令比照定理，证明：有最大公因式．[提示：如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式．]§多项式的分解1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.3. 证明：当且仅当4. 求在内的典型分解式；求在内的典型分解式5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数使得6．设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约.§重因式1. 证明下列关于多项式的导数的公式：2. 设是的导数的重因式.证明：未必是的重因式；是的重因式的充分且必要条件是3. 证明有理系数多项式没有重因式.4. 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式5. 证明：数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是，这里的是F中的数。
§多项式函数多项式的根1．设 ,求 .2．数环R的一个数说是的一个重根,如果可以被整除,但不能被整除.判断5是不是多项式的根.如果是的话,是几重根3．设求[提示:应用综合除法．]4．将下列多项式表成的多项式.; .5．求一个次数小于4的多项式 ,使6．求一个2次多项式,使它在处与函数有相同的值.7．令是两个多项式,并且可以被整除. 证明8．令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令证明:在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ,使得中每一多项式都可以写成的形式,这里 .在中不可约. 如果 ,求上述的[提示:取是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.] 9．设中多项式且 ,是一个大于1的整数.证明: 的根只能是零或单位根.[提示:如果 是的根,那么都是的根.]§ 复数和实数域上多项式1．设 次多项式 的根是 .求以为根的多项式,这里 是一个数。
（ii ）以11α,21α,…,nα1(假定 都不等于零)为根的多项式.2．设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:若是g ,那么 ;若是是和的一个最大公因式,并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式).3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4．在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积.5．证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.§ 有理数域上多项式1．证明以下多项式在有理数域上不可约:;;.2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是是个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数.3．设是一个整系数多项式.证明:若是和都是奇数,那么不能有整数根.4．求以下多项式的有理根:;;.第三章行列式§线性方程组和行列式§排列1．计算下列排列的反序数：9；2．假设n个数码的排列的反序数是k,那么排列的反序数是多少3．写出4个数码的一切排列．§阶行列式1．确定六阶行列式D=中以下各乘积的符号：2．写出下列四阶行列式中一切带有负号且含元素的项。
3．证明：阶行列式4．考察下列行列式：，，其中是这个数码的一个排列。
这两个行列式间有什么关系5．计算阶行列式6．计算行列式7．证明：行列式8．设在阶行列式中，§子式和代数余式行列式的依行依列展开1．把行列式依第三行展开，然后加以计算．2．计算以下行列式:提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。
3．令计算行列式。
§克拉默规则1．解以下线性方程组：2．设是个不同的数, 是任意个数,而多项式有以下性质: , .用线性方程组的理论证明, 的系数是唯一确定的,并且对的情形导出拉格朗日插值公式.3．设 .用线性方程组的理论证明,若是有个不同的根,那么是零多项式.第四章线性方程组§消元法1．解以下线性方程组：2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。
3．设阶行列式0.证明：用行初等变换能把行列矩阵化为。
4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把化为．§矩阵的秩线性方程组可解的判别法1．对第一和第二种行初等变换证明定理2．利用初等变换求下列矩阵的秩：3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1．4．证明：含有个未知量个方程的线性方程组有解的必要条件是行列式这个条件不是充分的，试举一反例．5．有解6．取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解§线性方程组的公式解1．考虑线性方程组：这里．2．3．设线性方程组：（9）有解，并且添加一个方程：于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中个方程的结果．4．设齐次线性方程组的系数行列式，而中某一元素的代数余子式．证明：这个方程组的解都可以写成的形式,此处k是任意数.5．设行列式令是元素的代数余子式.证明:矩阵的秩．第五章矩阵§矩阵的运算1．计算；；；；．2．证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A．3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：(i) 设B=()是一个n p矩阵．令=是B的第j列，j=1,2,…,p．又设是任意一个p1矩阵．证明：B =．(ii)设A是一个m n矩阵．利用(i)及习题2的结果，证明：A(B )=(AB)．(iii)设C是一个pxq矩阵．利用(ii)，证明： A(BC)=(AB)C．4．设A=证明：当且仅当B=时，AB=BA。
5．令是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵．求．6．求满足以下条件的所有n阶矩阵A(i)i,j=1,2,…,n,(ii)AB=BA ；这里B是任意n阶矩阵。
7．举例证明，当AB=AC时，未必B=C．8．证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I．[提示，考虑AB-BA 的主对角线上的元素的和]9．令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：()()=10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且§可逆矩阵矩阵乘积的行列式1．设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么2．证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵．3．求下列矩阵的逆矩阵：4．设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得(i) 证明可逆，并且(ii)求下列矩阵的逆矩阵。