高等代数习题

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高等代数习题答案

《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3，则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。

高等代数习题答案

高等代数(北大版第三版)习题答案I I(总95页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A 为一个n 级实对称矩阵，且0<A ，证明：必存在实n 维向量0≠X ，使0<'A X X 。

证因为0<A ，于是0≠A ，所以()n A rank =，且A 不是正定矩阵。

故必存在非退化线性替换Y C X 1-=使()BY Y ACY C Y AX X '=''='-12222122221n p p p y y y y y y ----+++=++ ，且在规范形中必含带负号的平方项。

于是只要在Y C Z 1-=中，令p y y y === 21,1,021=====++n p p y y y 则可得一线性方程组 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=++++++1102211,122,111,122111212111n nn n n n n p p p n pn p p n n x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c x c ，由于0≠C ，故可得唯一组非零解()ns s s s x x x X ,,,21 =使()0111000<--=----+++='p n AX X s s，即证存在0≠X ，使0<'A X X 。

13．如果B A ,都是n 阶正定矩阵，证明：B A +也是正定矩阵。

证因为B A ,为正定矩阵，所以BX X AX X '',为正定二次型，且 0>'A X X ， 0>'B X X ，因此()0>'+'=+'BX X AX X X B A X ，于是()X B A X +'必为正定二次型，从而B A +为正定矩阵。

高等代数习题

多项式习题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ B ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．整系数多项式()f x 在Z 上不可约是()f x 在Q 上不可约的( C ) 条件。

A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要3．下列对于多项式的结论不正确的是（ A ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f4．最小的数域是有理数域。

5．设(),()[]f x g x F x ∈，若,))((,0))((m x g x f =∂=∂，则=⋅∂))()((x g x f m 。

6.求用2x -除43()25f x x x x =+-+的商式为 x 3+4x 2+8x +15 ，余式为 35 。

7．用()34g x x =+除()f x 所得的余式是函数值)34(-f 。

8. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为()g x 。

9.设)(x f 为3次实系数多项式，则 ( B )A. )(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C. )(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.10. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得。

11．多项式32()22f x x x x =+--的有理根是 -1 。

12. 设()p x 是多项式()f x 的一个(1)k k ≥重因式，那么()p x 是()f x 的导数的一个k -1重因式。

(完整版)高等代数习题集

《高等代数》试题库一、选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是（）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

高等代数试题及参考答案

高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。

错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中，线性无关的是（）. A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=. D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（）. A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （） 5．任何数域都包含有理数域. （）三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= . 四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）311110100(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分）得同解方程组取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量）将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。

高等代数学习题集

高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。

高等代数练习题

高等代数练习题一、选择题1、每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（）A 、一次因式的乘积B 、一次与二次因式的乘积C 、只能是二次因式的乘积D 、以上结论均不对 2、多项式2128234++-x x x 在有理数域上（）A 、可约B 、不可约C 、不一定可约D 、不能确定 3、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（）A 、系数行列式不为0B 、系数行列式为0C 、系数矩阵可逆D 、系数矩阵不可逆 4、若存在u （x ），v （x ）使u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ）=1，则（） A 、f （x ）｜g （x ） B 、g （x ）｜f （x ） C 、f （x ）g （x ）=1 D 、以上均错 5、下列说法正确的是（）A 、设A 、B 是两个n 级矩阵，则秩（A+B ）≤秩A+秩BB 、设21V V 、是两向量空间，则dim （21V V +）=dimV 1+dimV 2C 、以上均对D 、以上均错 6、模m 的完全剩余系有（）A 、唯一一个B 、无穷多个C 、有有限个D 、不一定有 7、设p 是素数，a 是整数，且(p,a)=1，则（）A 、)(mod p a a p ≡B 、)(mod 0p a p ≡C 、)(mod 01p a p ≡-D 、以上均错 8、多项式f(x)除以x-a 所得的余数为（）A 、f(0)B 、f(x-a)C 、f(a)D 、以上均错9、在xy 平面上，顶点的坐标(x,y)满足41,41≤≤≤≤y x ，且x,y 是整数的三角形个数有（） A 、560 B 、32 C 、516 D 、44 10、零多项式的次数是（）A 、0次B 、1次C 、2次D 、不定义次数二、填空题1、方程032234=-+-x x x 的有理根为___________________。

2、排列657893的逆序数是_____________________。

高等代数(上)_习题集(含答案)

《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。

2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（）关。

3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （）。

4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（）。

5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（）。

6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（）。

7. 设行列式014900716=--k，则=k （）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（） 11. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（）14. 若排列n j j j 21的逆序数为k ，则排列11j j j n n -的逆序数为（）15. 当=a （）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。

16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（）21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（）。

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高等代数习题
第一章基本概念
§1.1 集合
1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？
2、设a是集A的一个元素。

记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？
3、设
写出和 .
4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集．
5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？
6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正．
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
7．证明下列等式：
(i)
(ii)
(iii)
§1.2映射
1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射．
2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射．
3、是不是全体实数集到自身的映射？
4．设f定义如下：
f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？
5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？
6、设a ,b是任意两个实数且a<b.试找出一个[0,1]到[a ,b]的双射.
7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与g f一般不相等。

8、设A是全体正实数所成的集合。

令
(i)g是不是A到A的双射？
(ii)g是不是f的逆映射？
(iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？。